5 – MECANICA Y FLUIDOS: Viscosimetría, método clásico o de Stokes CONTENIDOS Fuerzas de Fricción en Fluidos. Métodos Industriales de Determinación de la Viscosidad Método de Stokes. Ecuación del movimiento. Velocidad límite. Expresión de la Viscosidad. Unidades. Cálculo de errores. OBJETIVOS
Interpretar el concepto de viscosidad
Determinar la viscosidad utilizando diferentes métodos.
Calcular los errores experimentales en la determinación de la viscosidad y estimar las correcciones necesarias.

V.1

FUNDAMENTOS TEORICOS

V.1.1

Fuerzas de Fricción en Fluidos (definiciones, unidades y propiedades)

Cuando dos cuerpos se ponen en contacto aparecen fuerzas disipativas en los puntos comunes a ambos, explicadas como la suma de un gran número de interacciones moleculares entre los cuerpos. Este valor macroscópico, de tipo estadístico, se denomina habitualmente fuerza de fricción. Cuando se trata de líquidos o fluidos, las fuerzas de fricción se denominan fuerzas viscosas. En este caso se suele imaginar al líquido como si estuviese compuesto por muchas capas de espesor infinitesimal, que se deslizan unas sobre otras, como si entre ellas existiese un movimiento relativo. El rozamiento de una capa con otra generaría las fuerzas viscosas y así cada líquido tendría una particularidad llamada su viscosidad. Se denomina viscosidad a la propiedad que tienen los líquidos de ofrecer cierta resistencia al movimiento entre dos capas próximas. Así, si una fuerza de 1 dina desplaza una capa líquida de 1 cm2 de superficie, a una distancia de 1 cm con una velocidad de 1 cm/s, la viscosidad dinámica ( η ) es de 1Poise. Las dimensiones de la viscosidad dinámica definida así son: g/(cm*s), denominada Poise (P) en honor de Poiseuilles, quien describió una fórmula para calcular el volumen de fluido que pasa por un tubo en un intervalo de tiempo. La viscosidad dinámica en el SI (Sistema Internacional) se expresa como kg/(m*s), siendo por lo tanto 1 kg/(m*s) = 10 Poise. En la parte técnica es más frecuente usar el concepto de viscosidad cinemática ( γ ) que se define como el cociente entre la viscosidad dinámica de un fluido y su densidad. La unidad de medida se llama Stokes = cm2/s

γ =

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η d

Stoke = Poise * cm3/g = g/(cm*s) * cm3/g = cm2/s A veces, resulta más conveniente trabajar con otro concepto relacionado con la mayor ó menor capacidad de un líquido para fluir. Cuanto más viscoso es un líquido, menor será su capacidad de fluir. Por ello se define un índice llamado coeficiente de viscosidad ( φ ) que es la inversa de la viscosidad dinámica. Su unidad es Poise-1 1 η Los cálculos teóricos para determinar la viscosidad de líquidos escapan al presente curso de Física, y son extraordinariamente complejos. Algunos conceptos tradicionales como la distribución de velocidades dentro de una cañería, como la fórmula de Poiseuilles, etc., se pueden encontrar en la bibliografía. Aquí, sólo se remarcan algunas propiedades de tipo práctico y se discutirán las maneras de medir viscosidad de líquidos para fines industriales. Tal vez, la propiedad más conocida sea la relación que existe entre la temperatura y viscosidad de un fluido. La viscosidad de los líquidos disminuye a medida que aumenta la temperatura, mientras que en el caso de los gases, aumenta la viscosidad con el aumento de la temperatura. También existe una relación entre la viscosidad y la presión. En el presente práctico se trabajará a presión atmosférica para simplificar las mediciones.

φ =

V.1.2

Métodos Industriales de Determinación de la Viscosidad

Como las determinaciones de la viscosidad, junto con la teoría que las explica siempre fueron muy complejas, desde siempre se trató de medir en forma práctica este concepto, de manera tal que fuese útil para la mayoría de los fines industriales. Así, han aparecido diferentes índices, que están más o menos relacionados con la viscosidad propiamente dicha y que generalmente son propios de cada país. Junto con las tablas que los relacionan entre sí para que sean comparables. Por ejemplo:




El viscosímetro Engler: es el aparato normal de viscosidad utilizado en países tales como Alemania, Checoslovaquia, Rusia, Hungría, Polonia y Austria. El viscosímetro Saybolt: es el aparato normal en E.E.U.U. El viscosímetro Redwood: es el normal en Inglaterra.

Por lo tanto, se usa en cada país una unidad de medida de la viscosidad expresada en grados Engler, Saybolt y Redwood, respectivamente. Para relacionar estas mediciones se utilizan tablas para poder pasar de un país a otro. Actualmente, esta situación se está revirtiendo con el uso de unidades standarizadas por las normas de control de calidad vigentes en cada país. Por ejemplo la unidad SAE (americana) es hoy la más común en nuestro país para aceites. En síntesis, se normalizan (ó standarizan) diferentes unidades en cada país, de acuerdo al tipo de líquidos y tipo de uso que se le dará. V.1.3 Método de Stokes (publicado en Cambridge Philosophical Transactions – I – 8 (1851)) Este es el método más tradicional y se lo conoce también con el nombre del método de la esfera descendente. Se emplea para cualquier líquido en general. Mide en forma directa la viscosidad dinámica. Consiste en estudiar el movimiento de una esfera que cae en un medio viscoso. 43

Cuando un cuerpo se mueve a velocidad relativamente baja a través de un fluido tal como un gas o un líquido, la fuerza de fricción puede obtenerse aproximadamente suponiendo que es proporcional a la velocidad, y opuesta a ella. Por consiguiente escribimos Ff = fricción del fluido = - Kη v El coeficiente de fricción K, depende de la forma del cuerpo. Por ejemplo, en el caso de una esfera de radio R, un cálculo laborioso indica que K=6 πR Relación conocida como la ley de Stokes. El coeficiente η, como ya se mencionara, es la viscosidad dinámica. Depende de la fricción interna del fluido (la fuerza de fricción entre las diferentes capas del fluido que se mueven a diferentes velocidades). Velocidad de caída del cuerpo, v En la figura de abajo se esquematizan las fuerzas actuantes sobre una partícula que tiene una masa “M” y un radio “R” y cae en el seno de un fluido cuya densidad es “dl” Fuerzas actuantes sobre una esfera que cae en el seno de un fluido.

F

E

P

Están actuando: P: Peso de la partícula F: Fuerza de fricción opuesta al movimiento dada por la ley de Stokes. E: Empuje o fuerza de flotación. Fuerza contraria dada por el principio de Arquímedes e igual al peso del volumen del fluido desalojado.

Ecuación del movimiento P-E–F= Ma Reemplazando por sus equivalentes: Mg – (Vl dl)g - K η v = M a (Ve de)g – (Vl dl)g - K η v = M a M = masa de la esfera g = aceleración de la gravedad

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Vl = volumen del líquido desalojado por la esfera y por lo tanto = Ve (volumen de la esfera) Vl = Ve dl = densidad del líquido de = densidad de la esfera a = aceleración de la partícula Velocidad límite Se define como velocidad límite (vL) a la velocidad de caída de la esfera en un tiempo infinito, la cual tiende a un valor fijo. La partícula alcanza esta velocidad límite poco después de comenzar la caída en forma asintótica. Observando la ecuación del movimiento, la aceleración a produce un aumento continuo en v y por lo tanto en la fuerza de fricción F, de modo que eventualmente el miembro de la derecha se hace cero. En dicho momento la aceleración es también cero y no hay mayor aumento en la velocidad. La partícula continúa moviéndose en la misma dirección con una velocidad constante, llamada velocidad límite o terminal. (Ve de)g – (Vl dl)g - K η vL = 0 Por lo tanto:

(Ve d e − Vl d l ) g Kη

vL = Expresión de la viscosidad

Finalmente la expresión de la viscosidad es: (V ed e − Vl d l ) g Kν l η = V (d e − d l ) g Kνl

η=

 g  expresada en   = [Poise]  cm * s 

Reemplazando Ve = 4/3 π R3=V y K = 6 π R la viscosidad queda:

η=

2( d e − d l ) R 2 g 9ν l

La expresión anterior muestra que midiendo la densidad del líquido que se trate, el diámetro de la esfera empleada y la velocidad límite de caída se puede obtener la viscosidad. La densidad de la esfera se toma de tablas por lo que se considera una constante, al igual que la aceleración de la gravedad.

V.1.4

Error de apreciación en la determinación de la viscosidad

∆η =

∂η ∂η ∂η ∆dl + ∆R + ∆vl ∂dl ∂R ∂vl

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∆η =

− 2R 2 g − 2(d e − d l ) R 2 g 4(d e − d l ) Rg ∆dl + ∆vl ∆R + 9vl 2 9vl 9vl   1 1 1 ∆η = n ∆dl + 2 ∆R + ∆vl  R vl  (d e − d l ) 

V.1.5

Factor de corrección de la viscosidad. Cálculo del error sistemático

La expresión de la viscosidad expresada en párrafos anteriores es válida para el caso en que la partícula esté cayendo en una masa de fluido tan grande que no haya ninguna otra influencia que la afecte. Sin embargo, en la realidad, la forma del recipiente que contiene al líquido (generalmente un tubo) introducirá perturbaciones en la determinación de la viscosidad por la cercanía de la pared del tubo. No tener en cuenta estas perturbaciones implica cometer un error de tipo sistemático, pues el valor de viscosidad resultaría mayor que el real. Hay varias fórmulas para la corrección de este tipo de error, siendo la más frecuente:

f=

1

siendo r: radio interno del tubo R 1 + 2,1 r Entonces la viscosidad corregida se obtiene multiplicando este factor, por la viscosidad calculada quedando expresado el valor verdadero de la viscosidad como:

µη = ( fη ± ∆η )

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V.2

PROCEDIMIENTOS

1. Se realizan las marcas en el tubo de vidrio, dentro del cual se coloca el líquido a investigar. Midiéndose la distancia entre ellas:

µ y = y ± ∆y . 2. Se mide el diámetro de varias esferas para calcular el radio promedio R. µ R = R ± ∆R . El ∆R calculado por Student. 3. Se mide el diámetro interno del tubo varias veces para obtener el r . 4. Se suelta una esfera dentro del tubo y se toma el tiempo que tarda en recorrer la distancia entre marcas. Se repite el procedimiento con cada una de las esferas y se obtiene: µ t = t ± ∆t . El ∆t calculado por Student. 5. Se calcula la velocidad límite: vL = y / t. 6. Se calcula el error en la velocidad límite: ∆ vl =

∂ vl ∂y

∆ vl =

∆y +

∂ vl ∂t

∆t

1 y ∆y + 2 ∆t t t

7. Se determina la densidad del líquido (dl) utilizando la Balanza de Mohr o el picnómetro. 8. Se calcula el error en la determinación de densidad (dl) 9. Se calcula la viscosidad η . 10. Se calcula el factor f. 11. Se calcula el error en la viscosidad ∆η . 12. Se expresa el resultado final como:

µη = η f ± ∆ η 13. Se prepara el informe de la experiencia prestando especial atención a la discusión del resultado obtenido, debiendo sugerir mejoras razonables.

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