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TERMODINAMICA II

5. MOVIMIENTO DE FLUIDOS: TOBERAS Y DIFUSORES

5.1 INTRODUCCIÓN El propósito de este capitulo es describir los aspectos termodinámicos del movimiento de fluidos. En este estudio se tratará de la variación de las propiedades de un fluido que experimenta en un proceso. Este proceso puede ser reversible o irreversible, y el fluido, puede ser compresible o incompresible.

Existe una gran superposición entre los análisis

termodinámicos y los análisis de la mecánica de fluidos. El objetivo de este capitulo será analizar los casos que requieren de explicación termodinámica. Todo flujo o corriente de fluido es irreversible y tridimensional, pero esta consideración impide un análisis accesible. Podemos evaluar aproximadamente un gran numero de condiciones de flujo suponiendo movimiento del fluido en régimen permanente, es decir, corriente constante y unidimensional, y estado estable. Las limitaciones o restricciones que emplearemos en este capitulo son: 

El Flujo másico es Unidimensional



Régimen permanente, intensidad constante a través de un conducto (permanencia en el tiempo)



Estado estable, las propiedades de un fluido en un punto no varían tampoco con el tiempo.

Estas condiciones pueden parecernos demasiado restrictivas, pero en muchos casos los cambios reales que se producen respecto de tales condiciones, son pequeños y es posible despreciarlos. Nos interesa particularmente el movimiento de un fluido a través de una tobera, aspecto muy importante en el diseño de turbinas. Las toberas tienen dos funciones básicas: dirigir el fluido en la dirección deseada y convertir en energía cinética la energía térmica de la sustancia fluyente. Analizaremos en detalle la ultima de estas funciones; sin embargo no estudiaremos la optimización y el análisis del ángulo de acción de las toberas y la configuración angular de los alabes. La velocidad sónica se define en términos de las propiedades termodinámicas y se hace notar la importancia del número de Mach como una variable en el flujo compresible.

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5.2 VELOCIDAD SÓNICA O ACÚSTICA Cuando en un fluido compresible se produce una perturbación de presión, la perturbación viaja con una velocidad que depende del estado del fluido. La onda de sonido es una perturbación de presión. En condiciones atmosféricas normales la velocidad del sonido en el aire es aproximadamente 336 m/s. Una propiedad importante en el estudio de un flujo de gas es la velocidad del sonido a través del gas, la velocidad sónica o velocidad acústica. Por tanto, derivaremos ahora una expresión para la velocidad sónica en un gas en términos de las propiedades del gas.

Figura 5.1 Una pequeña onda de presión en un sistema coordenado estacionario

Consideremos la figura 5.1, donde se ilustra una pequeña onda de presión ocasionada por un embolo, y que se desplaza a través de un fluido compresible. La onda de presión debe ser lo suficientemente débil para que los cambios de propiedad del fluido en el fluido sean pequeños desde el punto de vista diferencial.

Si la onda es demasiado grande no se cumplen las

condiciones de cambio diferencial de las propiedades, y no es valido entonces el siguiente análisis. La onda generada por el movimiento del embolo de la figura 5.1, se desplaza a la velocidad acústica, a, a través del gas estacionario. Si un observador viaja en la onda de presión, le parecería que el fluido avanza desde la región estacionaria (a la derecha) con la velocidad acústica, y que se aleja a una velocidad diferente debido al cambio de presión a través del frente de onda. La masa tiene que observarse al entrar y salir de la superficie de control. La suma de las fuerzas debe corresponder al equilibrio.

Fnet  PA  ( P  dP) A También con la ecuación de cantidad de movimiento,

Fnet  m v x 2  mv x1 Se considera que los efectos de fuerza cortante y de fricción son despreciables.

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Por la ecuación de continuidad:

m   Av= Aa Al igualar las fuerzas a través de la superficie de control obtenemos

PA  ( P  dP) A  a (a-dv)-a  Lo cual se reduce a

dP   a dv

(5.1)

La ecuación de continuidad para la superficie de control es

 aA=(  d  a-dv)A Despreciando los términos diferenciales de segundo orden, por ser mucho menores que los de primer orden, queda

dv=a

d



(5.2)

Sustituyendo la ecuación (5.2) en la ecuación (5.1), obtenemos

a=

dP d

(5.3)

En el caso de pequeñas ondas de presión, el proceso de compresión es esencialmente isentrópico (proceso reversible y adiabático). Para un gas ideal, el proceso es:

Pv k  C También

P  C k Diferenciando

dP  k Pv d  Ordenando la ecuación

dP  kPv d

(5.4)

Además por la ecuación de estado de gases ideales

Pv  RT

(5.5)

Remplazando (5.5) en (5.4)

 dP     kRT  d  s

(5.6)

Finalmente remplazando la ecuación (5.6) en (5.3), obtenemos la velocidad del sonido como una propiedad termodinámica, que depende del tipo de gas y de la temperatura:

 dP  a=    kRT  d  s

(5.7)

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Ejemplo 5.1 Determine la velocidad del sonido en el aire en función de las temperaturas siguientes: (a) 300K y (b) 1000K. Solución: (a)

Para el aire considerándolo como gas ideal tiene las siguientes propiedades

R  287

m2 1 Constante del aire s2 K

Por dato del ejemplo T = 300 K ; En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)

k

CP  1, 4 Relación de calores específicos Cv

Reemplazando en la ecuación (5.7), obtenemos la velocidad del sonido

a= kRT a= 1, 4  287

m2 1  300 K s2 K

a = 347,2 m/s (b)

Por dato del ejemplo T=1000 K En Tabla A-14 Moran y Shapiro(1999)

k

CP  1,336 Relación de calores específicos Cv

m2 1 a= 1,336  287 2 1000 K s K a = 619,2 m/s 5.3 NUMERO DE MACH En el estudio del flujo de gas, un parámetro útil es la razón de la velocidad del gas en cualquier punto a la velocidad sónica en el mismo punto. Esta razón se llama número de Mach y se designa por el símbolo M:

M 

v a

(5.8)

Con frecuencia, los flujos de fluidos se describen cualitativamente en términos de su número de Mach como sigue: M < 1 Flujo subsónico M = 1 Flujo Sónico M > 1 Flujo Supersónico M >> 1 Flujo hipersónico

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Ejemplo 5.2 Una corriente de aire se mueve por un conducto a 900 Km/h, a una temperatura de –40ºC . Calcule cual es su número de Mach. Solución: Por datos del ejemplo tenemos las condiciones del aire V = 900 km/h = 250 m/s T = -40ºC +273 =233 K Para el aire como gas ideal tiene las siguientes propiedades Tabla A-14 Moran y Shapiro (1999)

k

CP  1, 401 Cv

R  287

m2 1 s2 K

La velocidad del sonido a esta temperatura es

a= kRT m2 1 a= 1, 401 287 2  233K s K a = 306,1 m/s El número de Mach para este fluido es

M

v 250  a 306,1

M = 0,82

El Flujo es Subsónico

5.4 PROPIEDADES DE ESTANCAMIENTO Son las propiedades que obtendría un fluido si se llevara a una condición de velocidad cero y elevación cero, en un proceso reversible sin transferencia de calor y energía. Consideremos ahora una corriente de fluido que se desplaza a través de una tubería aislada térmicamente. La energía del fluido aplicando la primera ley de la termodinámica para sistemas abiertos será:

q  w   h2  h1  

v22  v12  g  z2  z1  2

(5.9)

Para este caso consideramos w = 0, no se produce transmisión de trabajo en tuberías (no hay partes móviles). q

= 0, no se produce transmisión de calor. El sistema es (adiabático)

Δep =0, La variación de energía potencial se desprecia para fluidos gaseosos. Remplazando en la ecuación (5.9), se tiene:

q 0  w 0  h  ec  ep 0

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Quedando la ecuación como:

0  h2  h1 

Ordenado la ecuación convenientemente

h1 

v22  v12 2

v12 v2  h2  2 2 2 2

Por lo tanto la energía del fluido a través de cualquier plano es h+v /2, la cual tiene dos 2

componentes una estática, h, y otra dinámica, v /2. Entalpía de estancamiento Si se lleva el fluido al reposo, donde la velocidad es nula, encontraremos que ahí la energía del fluido es ho, a la cual definimos como entalpía de estancamiento (remanso).

hO  h 

v2 2

(5.10)

Temperatura de estancamiento Sustituimos el valor de la entalpía de un gas ideal, h = CpT, en la ecuación (5.10), se tiene:

TO  T 

v2 2Cp

Ordenando la ecuación se tiene la temperatura de estancamiento

TO v2  1 T 2CPT

(5.11)

Si sustituimos en la ecuación (5.11), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la temperatura de estancamiento en función al número de Mach.

TO  k 1  2  1  M T  2 

(5.12)

Presión de estancamiento Para un proceso isentrópico de un gas ideal se tiene,

T2  P2    T1  P1 

 k 1 / k

Si consideramos una deceleración isentrópica, es posible calcular la presión de estancamiento, para un gas ideal.

PO  v2   1   P  2CPT 

k /  k 1

(5.13)

Si sustituimos en la ecuación (5.13), las ecuaciones (5.7) y (5.8), obtenemos la Presión de estancamiento en función al número de Mach

PO   k  1  2   1  M  P   2  

k /  k 1

(5.14)

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La figura 5.2 presenta un diagrama T-s con los diversos estados, donde las irreversibilidades relacionadas con la deceleración en el caso adiabático da por resultado un incremento de la entropía. Asimismo, también se manifiestan en que la presión de estancamiento adiabática, P0’, es menor que la presión máxima, la presión de estancamiento isentrópica, P0.

Figura 5.2 Diagrama T-S que ilustra la temperatura y la presión de estancamiento Ejemplo 5.3 Por un ducto fluye aire a presión de 150 Kpa, con una velocidad de 200 m/s. La temperatura del aire es 300 K. Determine la presión y la temperatura de estancamiento isentrópico. Solución: Considerando al aire como gas ideal con calor específico constante a 300 K En tabla A-14 Moran y Shapiro (1999) Cp = 1,005 KJ/Kg.K K = Cp/Cv = 1,4 A partir de la ecuación (5.11) calculamos la temperatura de estancamiento

TO v2  1 T 2CPT Ordenando la ecuación tenemos

T0  T 

v2 2CP

Por datos del ejemplo tenemos V = 200 m/s T = 300 K Reemplazando valores en la ecuación anterior

T0  300K 

 200 m/s 

2

1kJ 2 1,005kJ/kg.K 1000J 

T0 = 319,9 K

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A partir de la ecuación (5.13) calculamos la Presión de estancamiento

PO  v2   1   P  2CPT 

k /  k 1

Como

TO v2  1 T 2CPT La ecuación de la presión de estancamiento se puede ordenar como

T  P0  P  0  T 

k /  k 1

Relación isentrópica

Por dato del ejemplo P = 150 kpa Reemplazando en la ecuación anterior obtenemos la presión de estancamiento 1,4 / 1,4 1

 319,9 K  P0  150kPa    300 K  P0 = 187,8 kPa

5.5 FLUJO EN TOBERAS Y DIFUSORES – FLUJO ISENTROPICO (REVERSIBLE Y ADIABATICO) Para muchas aplicaciones, la aceleración o desaceleración de un fluido en un canal de flujo puede tratarse como adiabático y reversible por lo tanto isentrópico. En esta sección mostramos que la forma requerida de los canales diseñados para cambiar la velocidad del fluido depende de las condiciones del flujo mismo. Comenzando con las ecuaciones básicas, seremos capaces de relacionar la variación del área de la sección transversal del flujo al cambio de velocidad y presión para el flujo estable unidimensional de cualquier fluido. Ecuaciones de variación de área Para un flujo adiabático sin trabajo realizado y sin cambio de energía potencial, la primera ley es

v2 h  constante 2 Puede ser expresada en forma diferencial como

 v2  d h   0 2  dh  vdv=0

(5.15)

Cuando restringimos aun más el flujo a procesos reversibles, el flujo es isentrópico, de modo que

Tds  0  dh 

dP



(5.16)

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Combinando la ecuación (5.15) y (5.16), obtenemos

dv dP  2 v v

(5.17)

La ecuación de continuidad es constante

v=constante Diferenciando la ecuación de continuidad

d  v  =0 d





dA dv  0 A v

(5.18)

Sustituyendo la ecuación (5.17) en la ecuación (5.18)

dA dP  1 d     A   v2 dP 

(5.19)

Pero sabemos que de la ecuación (5.7)

a2 

dP d

Remplazando en la ecuación (5.19)

dA dP  1 1    A   v2 a 2  2

Despejando 1/v

dA dP  v 2   1 A  v 2  a 2  Finalmente, ordenando

dA A 1  M 2   2  dP  v

(5.20)

Sustituyendo la ecuación (5.17) en (5.20), da

dA A   1  M 2  dv v

(5.21)

El análisis de las ecuaciones (5.20) y (5.21) conduce a las siguientes conclusiones: 1. Cuando M1,

dA dA >0 0. por lo tanto, Para un difusor subsónico, M 0 y el difusor es divergente. Para un difusor supersónico, M>1, dA