Kapitel 4 Das Dirichlet Prinzip Bevor wir uns der L¨osung von Randwertproblemen mithilfe der eben entwickelten Techniken zuwenden, wollen wir uns einer Idee zur L¨osung widmen, die einige Elemente dieser Entwicklung ben¨otigt, jedoch historisch einer der fruchtbarsten mathematischen Ans¨atze ist und bleibt. Die Idee besteht darin die L¨osung eines Randwertproblems als L¨osung einer Minimierungsaufgabe zu charakterisieren.

Inhaltsangabe

4.1

4.1

Motivation von Variationsmethoden . . . . . . .

79

4.2

Variationsmethoden im Sobolevraum . . . . . .

83

Motivation von Variationsmethoden

Wir beginnen mit dem Dirichletschen Randwertproblem f¨ ur harmonische Funktionen. In der allgemeinen Form hat es f¨ ur ein Gebiet Ω ⊂ n die Gestalt ∆u = 0 in Ω (4.1) u = g auf ∂Ω

R

R

f¨ ur eine gegebene stetige Funktion g : ∂Ω → . Das folgende Lemma motiviert die Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen mit sogenannten Variationsmethoden.

79

80

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP

Lemma 4.1.1 Eine Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), welche die Minimierungsaufgabe Z

k∇uk2 dx = min

 Z 

Ω

Ω

l¨ost, l¨ost die Gleichung (4.1).

  k∇vk2 dx v ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω), v|∂Ω = g , 

Beweis. F¨ ur festes v ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) betrachten wir die Funktion j(t) =

Z

k∇u + t∇vk2 dx.

Ω

Aufgrund der Voraussetzung ist t = 0 ein Minimum dieser Funktion. Es gilt j(t) =

Z

h∇u + t∇v, ∇u + t∇vi dx = j(0)+2t

Ω

Z Ω

2

h∇u, ∇vi dx+t

Z

k∇vk2 dx.

Ω

Damit die Funktion j bei t = 0 ein Minimum hat, ist notwendig, dass Z

h∇u, ∇vi dx = 0

Ω

ist, f¨ ur jedes v ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω). W¨ahlen wir speziell eine Funktion v ∈ C0∞ (Ω), ¨ so ergibt sich, aufgrund unserer Uberlegungen in Abschnitt 3.1, dass Z

h∆u, vi dx = 0

Ω

ist. Nun gilt dies f¨ ur alle v ∈ C0∞ (Ω). Diese Menge liegt dicht in L2 (Ω) (nach Lemma 3.2.6). Damit ist Z h∆u, vi dx = 0 Ω

f¨ ur alle v ∈ L2 (Ω) (da das Skalarprodukt stetig ist). Also ist ∆u = 0.

4.1. MOTIVATION VON VARIATIONSMETHODEN

81

Definition 4.1.2 Das Integral (wenn immer es existiert) D(u) =

Z

k∇uk2 dx

Ω

wird als Dirichletintegral von u bezeichnet. ¨ Die eben angestellten Uberlegungen lassen sich unschwer auf die Poissonsche Gleichung u uhren. ¨bertragen. Wir wollen dies nun ausf¨ Wir betrachten die Gleichung ∆u = f in Ω u = g auf ∂Ω,

(4.2)

wobei f ∈ C(Ω) und g ∈ C(∂Ω) stetige Funktionen seien. Setze o n U = u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) u|∂Ω = g .

In diesem Raum w¨ urden wir gerne L¨osungen f¨ ur die Gleichung (4.2) finden. Definition 4.1.3 F¨ ur u ∈ U sei J(u) =

1 2

Z Ω

2

k∇uk dx +

Z

uf dx

Ω

das Energieintegral von u. Satz 4.1.4 1. Die Gleichung (4.2) besitzt h¨ochstens eine L¨osung. 2. Ist u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) eine L¨osung der Poissonschen Gleichung, so minimiert u das Energieintegral im folgenden Sinn: n o J(u) = min J(v) v ∈ U .

3. Ist u ∈ U ein Minimum des Energieintegrals auf U, so l¨ost u die Poissonsche Gleichung. Beweis.

82

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP 1. Angenommen wir h¨atten zwei L¨osungen, so w¨ urde die Differenz w ∈ 2 C (Ω) ∩ C(Ω) die Gleichung mit f = 0 und g = 0 auf der rechten Seite l¨osen. Damit ist Z Z 0 = − w∆w dx = k∇wk2 dx. Ω

Ω

Also ist w konstant und damit ist w = 0 aufgrund der Randbedingung. 2. Sei u ∈ U eine L¨osung der Gleichung (4.2). F¨ ur ϕ ∈ C0∞ (Ω) betrachten wir Z Z 1 h∇(u + ϕ), ∇(u + ϕ)i dx + (u + ϕ)f dx J(u + ϕ) = 2 Ω

Ω

= J(u) +

Z

h∇u, ∇ϕi dx + J(ϕ)

= J(u) −

Z

∆uϕ dx + J(ϕ)

= J(u) +

Z

k∇ϕk2 dx

Ω

Ω

Ω

≥ J(u). Nun liegt C0∞ (Ω) dicht in H01 (Ω) und damit kann jedes v ∈ C 2 (Ω) ∩ ur C0 (Ω) ⊂ H01 (Ω) durch ϕ ∈ C0∞ (Ω) approximiert werden. Also ist f¨ v ∈ C 2 (Ω) ∩ C0 (Ω) J(u + v) ≥ J(u), insbesondere hat u die gew¨ unschten Minimierungseigenschaften. 3. Dieser Schritt ist eine geringf¨ ugige Modifikation des Beweis von Lemma ∞ 4.1.1. F¨ ur ϕ ∈ C0 (Ω) betrachten wir Z Z 1 J(u + tϕ) = 2 h∇(u + tϕ), ∇(u + tϕ)i dx + (u + tϕ)f dx Ω

Ω   Z Z Z t2   k∇ϕk2 dx. = J(u) + t h∇u, ∇ϕi dx + ϕf dx + 2 Ω

Ω

Ω

4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM

83

Notwendig f¨ ur die Minimierungsbedingung ist, das Verschwinden des Faktors bei t. Dann ist Z Z Z 0 = h∇u, ∇ϕi dx + ϕf dx = (−∆u + f )ϕ dx. Ω

Ω

Ω

Wie oben folgt aus Tatsache, dass diese Gleichung f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) gilt, dass ∆u − f = 0. Damit ist diese Aussage bewiesen. Weierstraß1 [22] hat gezeigt, dass es nicht notwendig eine Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) mit vorgegebenen Randwerten gibt, die das Dirichletintegral minimiert. Bis dahin ist man davon ausgegangen, dass ein solches Minimierungsproblem immer eine L¨osung besitzt. Nat¨ urlich kann man andere Funktionenr¨aume w¨ahlen um die Existenz eines Minimums zu erzwingen. Dabei ist naheliegend gr¨oßere Funktionenr¨aume heranzuziehen. Wir haben im letzten Kapitel schon vorgearbeitet und die Sobolevr¨aume eingef¨ uhrt.

4.2

Variationsmethoden im Sobolevraum

In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass f¨ ur gewisse Gleichungen die Minimierungsmethoden aus dem letzten Abschnitt 4.1 im Sobolevraum H 1 (Ω) zum Erfolg f¨ uhren. Wir beginnen wieder mit der Gleichung (4.1) ∆u = 0 u = g

in Ω auf ∂Ω

Ziel ist es, eine Funktion u ∈ H 1 (Ω) zu finden, so dass u − g ∈ H01 (Ω) liegt und u das Dirichletintegral, das ja f¨ ur Funktionen in H 1 (Ω) definiert ist, minimiert. Den Zusammenhang mit der klassischen Aufgabenstellung werden wir in einem getrennten Schritt untersuchen. Zun¨achst also die Formulierung des Ergebnisses. Satz 4.2.1 Es sei Ω ⊂ n ein beschr¨anktes Gebiet, g ∈ H 1 (Ω). Dann existiert eine Funktion u ∈ H 1 (Ω) mit folgenden Eigenschaften:

R

1

Karl Weierstraß ()

84

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP 1. u − g ∈ H01 (Ω) und 2. Z

k∇uk2 dx = min

 Z 

Ω

Ω

  2 1 1 k∇vk dx v ∈ H (Ω), v − g ∈ H0 (Ω) . 

Beweis. Wir betrachten das Infimum   Z  2 1 1 τ := inf k∇vk dx v ∈ H (Ω), v − g ∈ H0 (Ω)   Ω

und eine Folge {un }n∈N in H 1 (Ω) mit un − g ∈ H01(Ω) und τ = lim

n→∞

Z

k∇un k2 dx.

Ω

ur das Dirichletintegral Wir nennen die Folge {un }n∈N eine Minimalfolge. F¨ der Differenz zweier Folgenglieder ergibt sich Z D(un − um ) = h∇(un − um ), ∇(un − um )i dx Ω

= D(un ) + D(um) − 2

Z

h∇un , ∇um i dx

Ω



= 2 (D(un ) + D(um )) − D(un ) + 2

Z



h∇un , ∇um i dx + D(um )

Ω   Z = 2 (D(un ) + D(um )) −  h∇(un + um ), ∇(un + um )i dx

Ω   Z = 2 (D(un ) + D(um )) − 4  h∇( 21 (un + um )), ∇( 21 (un + um ))i dx

= 2 (D(un ) + D(um )) − 4D

Ω 

un + um 2



.

4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM m −g = Die Definition von τ ergibt (beachte un +u 2 1 H0 (Ω))   un + um τ ≤D . 2

1 2

85

((un − g) + (um − g)) ∈

Da D(un ) → τ konvergiert, gibt es zu ε > 0 eine Zahl N mit n > N impliziert, dass τ ≤ D(un ) ≤ τ + ε Mit n, m > N folgt dann 0 ≤ D(un − um ) = 2 (D(un ) + D(um)) − 4D ≤ 4τ + 4ε − 4τ = 4ε. Damit ist die Folge

un +um 2




(4.3)

{∇un }n∈N

eine Cauchy-Folge in L2 (Ω). Aus Satz 3.3.1 folgt nun (man beachte, dass un − um = (un − g) − (um − g) ∈ H01 (Ω) liegt), dass die Folge {un }n∈N eine Cauchy-Folge in L2 (Ω) bildet und daher einen Grenzwert in L2 (Ω) besitzt. Wegen der Konvergenz der ersten Ableitungen hat man sogar Konvergenz in H 1 (Ω) und man findet einen Grenzwert H 1 (Ω) ∋ u = lim un . n→∞

Da das Dirichletintegral auf H 1 (Ω) stetig ist, folgt, dass n o D(u) = min D(v) v ∈ H 1 (Ω), v − g ∈ H01 (Ω) . Bemerkung 4.2.2 Im Beweis haben wir in (4.3) quasi “en passant“ die Ungleichung
D 12 (u + v) ≤ 21 D(u) + 12 D(v)

gezeigt, da die linke Seite nichtnegativ ist. Tats¨achlich gilt mehr, eine kleine Rechnung zeigt, dass f¨ ur 0 ≤ λ ≤ 1 die folgende Ungleichung D(λu + (1 − λ)v) ≤ λD(u) + (1 − λ)D(v). erf¨ ullt ist.

(4.4)

86

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP

Definition 4.2.3 ugt diese AbbilEs sei V ein linearer Raum, I : V → eine Abbildung. Gen¨ dung der Gleichung (4.4), d.h. gilt f¨ ur alle 0 ≤ λ ≤ 1 und alle (u, v) ∈ V × V

R

I(λu + (1 − λ)v) ≤ λI(u) + (1 − λ)I(v), so nennen wir I konvex. Bemerkung 4.2.4 Der Begriff der Konvexit¨at ist f¨ ur die Variationsrechnung zentral. F¨ ur die Existenzbeweise von Minimierern von Funktionalen spielt die Konvexit¨at eine wichtige Rolle. Nun haben wir nat¨ urlich noch keine harmonische Funktion gefunden, die unsere Gleichung l¨ost, sondern nur eine Funktion in H 1 (Ω). Wir kommen nun zu einem ersten Regularit¨atsresultat, das besagt, dass die Minimall¨osung u tats¨achlich harmonisch ist, d.h. schwache L¨osungen der Laplacegleichung sind auch harmonisch. Satz 4.2.5 (Weylsches2 Lemma) Es sei u ∈ L1 (Ω) und f¨ ur alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) gelte Z

u∆ϕ dx = 0.

Ω

Dann ist u harmonisch auf Ω. Beweis. Es sei h > 0 und n Ωh = x ∈ Ω dist(x,

Rn \ Ω) > h

o

.

F¨ ur x ∈ Ωh sei Jh u(x) die Regularisierung von u. Es sei ϕ ∈ C0∞ (Ωh ) und ρ, die zu Jh geh¨orende Gl¨attungsfunktion. Dann ist (unter Verwendung von 2

Hermann Weyl (9.11.1885-8.12.1955) wurde in Elmshorn geboren und wirkte unter anderem an der ETH Z¨ urich. Sein mathematisches Werk betrifft fast alle modernen Gebiete der Mathematik. Er gilt als einer der produktivsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts.

4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM Satz 3.2.7) Z

ρ



x−y h



u(y) dy∆ϕ(x) dx

ρ



x−y h



u(y)∆ϕ(x) dx dy

Jh u(x)∆ϕ dx =

Z

1 hn

Z

=

Z

1 hn

Z

=

Z

uJh (∆ϕ) dy

=

Z

u∆(Jh ϕ) dy

Ω

87

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

= 0. Insbesondere ist Z

Jh u(x)∆ϕ dx = 0

Ω

C0∞ (Ωh ).

f¨ ur alle ϕ ∈ Dann ist aber Jh u harmonisch, denn wir k¨onnen die Ableitungen auf Jh u w¨alzen, d.h. Z Z 0 = Jh u(x)∆ϕ dx = ∆(Jh u(x))ϕ dx Ω

Ω

C0∞ (Ωh ).

Der Beweis des Satzes 3.2.7 zeigt, dass f¨ ur jedes d.h. f¨ ur alle ϕ ∈ x ∈ Ωh die Menge Jh u(x) ∈ [−kρkL∞ kukL1 , kρkL∞ kukL1 liegt. Wir sch¨atzen nun die Differenz |Jh u(x1 )−Jh u(x2 )| ab. Da Jh u harmonisch ist, gilt die Mittelwertgleichung (auf hinreichend kleinen Kugeln in Ωh ). Dies wollen wir ausnutzen. Also f¨ ur Br (xi ) ⊂ Ωh Z 1 Jh u(xi ) = u(y) dy. ωn r n Br (xi )

Dann hat man die folgende Absch¨atzung 1 |Jh u(x1 ) − Jh u(x2 )| ≤ ωn r n

Z

|u(y)| dy

(Br (x1 )\Br (x2 ))∪(Br (x2 )\Br (x1 ))

≤ cµ((Br (x1 ) \ Br (x2 )) ∪ (Br (x2 ) \ Br (x1 )).

88

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP

Damit ist die Familie Jh u gleichgradig stetig, also relativ kompakt. Damit gibt es eine Folge {h}i∈N mit lim hi = 0

i→∞

und

{Jhi u}i∈N

ist gleichm¨aßig konvergent auf Ωh . Damit ist die Grenzfunktion v stetig, der Grenzwert gen¨ ugt der Mittelwertgleichung und ist demnach harmonisch. Es gilt v = u f.¨ u. und daher ist u harmonisch. Bemerkung 4.2.6 Dies ist nicht die bestm¨ogliche Formulierung des Weylschen Lemmas. Wir wollen nun die Poissonsche Gleichung (4.2) betrachten. Definition 4.2.7 Es sei f ∈ L2 (Ω), g ∈ H 1(Ω). Eine Funktion u ∈ H 1 (Ω) heißt schwache L¨osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poisson-Gleichung ∆u = f u = g

in Ω auf ∂Ω,

falls, u − g ∈ H01 (Ω) und f¨ ur alle v ∈ H01 (Ω) Z (h∇u, ∇vi + f v) dx = 0 Ω

ist. Bemerkung 4.2.8 Im Gegensatz zur klassischen Aufgabenstellung verlangen wir hier, dass die Randfunktion im Inneren von Ω definiert ist. Im Kontext schwacher L¨osungen bedarf die Definition von Funktionen auf “d¨ unnen“ Mengen zus¨atzlicher ¨ nichttrivialer Uberlegungen. Lemma 4.2.9 Eine Funktion u ∈ H1 (Ω) ist genau dann eine schwache L¨osung des Randwertproblems f¨ ur die Poissongleichung aus Definition 4.2.7, wenn die Funktion w = u − g eine L¨osung der Aufgabe  R R ∇w∇v dx = f v − ∇g∇v dx ∀v ∈ H01 Ω  (4.5) Ω Ω  w ∈ H 1 (Ω). 0

4.2. VARIATIONSMETHODEN IM SOBOLEVRAUM

89

ist. Satz 4.2.10 Schwache L¨osungen u ∈ H 1 (Ω) des Dirichletproblems f¨ ur die Poisson-Gleichung sind genau die Minimierer des Energieintegrals J auf H 1 (Ω) unter der Nebenbedingung, dass u − g ∈ H01 (Ω) ist, also u ist schwache L¨osung genau dann, wenn u − g ∈ H01 (Ω) und n o J(u) = min J(v) v ∈ H01 (Ω), v − g ∈ H01 (Ω) .

¨ Beweis. Folgt aus den Uberlegungen im Beweis von Satz 4.1.4. Wir f¨ uhren das Problem auf ein Problem mit Nullrandbedingungen zur¨ uck. Es sei u ∈ H 1 (Ω) die gesuchte L¨osung und w = u−g. Dann ist w ∈ H01 (Ω) eine schwache L¨osung des Randwertproblems ∆w = f − ∆g in Ω w = 0 auf ∂Ω. Umgekehrt hat man eine schwache L¨osung w ∈ H01 (Ω) dieses Problems, so entsteht durch u=w+g eine schwache L¨osung des urspr¨ unglichen Problems. Satz 4.2.11 Zu jedem f ∈ L2 (Ω), g ∈ H 1 (Ω) gibt es eine Funktion u ∈ H 1 (Ω) mit u − g ∈ H01 (Ω) und o J(u) = min J(v) v ∈ H 1 (Ω), v − g ∈ H01 (Ω) . n

Beweis. Der Beweis folgt den Linien des Beweises von Satz 4.2.1. Im ersten Schritt ist zu zeigen, dass J(·) nach unten beschr¨ankt ist. Die Poincar´esche Ungleichung garantiert uns ein c > 0 mit kk∇(u − g)kkL2 ≥ cku − gk2L2 . Mit

90

KAPITEL 4. DAS DIRICHLET PRINZIP

w = u − g ergibt sich J(u) = J(w + g) Z Z 1 2 = k∇(w + g)k dx + f (w + g) dx 2 Ω

=

1 2

Z Ω

Ω


k∇wk2 + 2h∇w, ∇gi + k∇gk2 dx

c ≥ kwk2H 1 + 0 2

Z Ω

h∇w, ∇gi dx +

Z

k∇gk2 dx − kf |kL2 kwkH01 − kf kL2 kgkL2

Ω

c ≥ kwk2H 1 − kgkH01 kwkH01 − kf kL2 kwkH01 − kf kL2 kgkL2 0 2 c 2 ≥ kwkH 1 − kgkH01 kwkH01 − C. 0 2 Dies ist offensichtlich nach unten beschr¨ankt und damit gilt dies auch f¨ ur das Energieintegral.Damit existiert die Zahl n o 1 σ = inf J(v) v ∈ H1 (Ω), v − g ∈ H0 (Ω)

das Infimum des Energieintegrals. Sei {un }n∈N eine Minimalfolge. Wie zuvor folgt aus der Eigenschaft der Minimalfolge zun¨achst die L2 -Konvergenz von ∇(un − g) und damit auch die von ∇un . Mit der Poincar´eschen Ungleichung u ¨ bertr¨agt sich dies auf die L2 -Konvergenz von un − g und damit auf die der Folge un . Damit konvergiert die Folge {un }n∈N in H 1 (Ω). Der Grenzwert ist der Minimierer des Energieintegrals.