Einmassenschwinger

4

Teil I.4 Die freie Schwingung

25

Die freie Schwingung

Nachdem die Bewegungsgleichungen in Teil I.2 hergeleitet wurden und in Teil I.3 die Belastungen klassifiziert wurden, werden in diesen folgenden Abschnitten die Lösungen dargestellt. Die Lösung ist hierbei die Funktion der Verschiebung in Abhängigkeit von der Zeit. Zunächst wird die freie Schwingung betrachtet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass die Belastung p(t) und der Gewichtsanteil auf der rechten Seite der Bewegungsgleichung (2.3) verschwindet. Die Bewegungsgleichung lautet damit für diesen Fall

mu  cu  ku  0

4.1

Die freie ungedämpfte Schwingung

Im Fall der freien ungedämpften Schwingung reduziert sich die Bewegungsgleichung durch das Wegfallen der Dämpfungskraft um einen weiteren Term. Damit reduziert sich die Gleichung (2.3) auf

mu  ku  0

u 

oder

k u 0 m

(4.1)

Da im technischen Alltag nur positive Steifigkeiten und Massen zu betrachten sind (also k > 0 und m > 0 sind), kann

k  2 m gesetzt werden. Damit erhält man

u   2 u  0 Für Differentialgleichungen dieses Typs kann ein Lösungsansatz nach Euler verwendet werden. Der Ansatz verwendet eine Exponentialfunktion für die Verschiebung u  Cert ,u  r 2Cert r 2Cert   2Cert  0 

r  i

r 2 2  0

Damit ergibt sich als Gesamtlösung Unter Berücksichtigung von eit  cos t  i sint erhält man ut   C1  C2 cos t  i C1  C2 sint ut   A cos t  B sint

ut   C1eit  C2eit

(4.2)

(4.3)

Die Kreisfrequenz ω ist dabei nur von den Systemwerten der Massen und Steifigkeiten abhängig und wird daher als Eigenkreisfrequenz bezeichnet. Die Schwingung wird als Eigenschwingung des Systems bezeichnet. Diese Schwingung wird durch drei maßgebende Größen charakterisiert:

26 Teil I. 4 Die freie Schwingung

die Eigenkreisfrequenz die Periode der Schwingung

Einmassenschwinger

k m 2 m T   2  k

und die Eigenfrequenz



f 

1 1  T 2

Die Eigenfrequenz f bzw. die Eigenkreisfrequenz ω sind nur vom Bauteil bzw. dem mechanischen System abhängig. Sie spielen in der Strukturdynamik eine ganz wesentliche Rolle.

(4.4) (4.5)

k m

(4.6)

p

u0

umax

u0

Durch Veränderung der Systemwerte kann die Eigenfrequenz beeinflusst werden. Sie  wird vergrößert, wenn * die Steifigkeit k erhöht wird und Abb. 4-1 * die Masse m verringert wird.

T Freie Eigenschwingung

Die Konstanten A und B richten sich nach den Anfangsbedingungen. Wenn zum Beispiel die Anfangsauslenkung und die Anfangsgeschwindigkeit bekannt sind (also wenn die Bedingungen gelten: u(t=0) = u O , u (t=0) = u 0 ), dann ergibt sich

A  uO , B 

u o



oder

u t   uO cos t 

uo



sin t

(4.7)

Die Schwingungsgleichung (4.3) wird oft auch in folgender Form angegeben.

ut   u max cost  

(4.8)

Darin ergibt sich für die Amplitude

 u  u max  u 02   0    und für die Phasenverschiebung  u    tan 1  0    u0 

(4.9)

(4.10)

Einmassenschwinger 4.1.1

Teil I.4 Die freie Schwingung

27

Näherungslösung

Der Steifigkeitswert eines Einmassenschwingers kann auch aus der statischen Verschiebung δ des Einmassenschwingers unter dem Eigengewicht G = mg ermittelt werden. Die Durchsenkung δ infolge des Eigengewichts ergibt sich mit

k

G mg  k k

 

u t 

Damit gilt für die Steifigkeit k

k

mg

m



G

Für die Eigenfrequenz gilt

 f 

k  m 1  2

mg g  m 

Abb. 4-2 Statische Verschiebung des Einmassenschwingers

mit g = 9,81 m/s²

Für den Einmassenschwinger ist diese Formel für die Eigenfrequenz exakt. Als Näherungslösung kann sie für andere schwingende Systeme verwendet werden, z. B. für die Berechnung der niedrigsten Eigenfrequenz eines Balkens mit kontinuierlich verteilter Masse m.

q  mg EI

, m

 L Abb. 4-3a Schwingungsform für die niedrigste Eigenfrequenz

L Abb. 4-3b Durchbiegung unter Eigengewicht

Die exakte Lösung lautet mit m = Masse je Längeneinheit

1   2

EI EI  9,87 4 mL mL4

Die maximale Durchbiegung unter Eigengewicht kann damit bestimmt werden zu   q L4 / 76,8 EI ; g  mg    m g L4 / 76,8EI Die Näherung für die Eigenfrequenz  1 ergibt danach

1 

g





76,8EI EI  8,76 4 mL mL4

28 Teil I. 4 Die freie Schwingung

Einmassenschwinger

Der Fehler beträgt 12,7 % und liegt im Bereich der Genauigkeit, die für eine Überschlagsberechnung bei der Auslegung eines Bauteils üblicherweise zugrundegelegt wird.

4.1.2

Drehschwingungen

Während einige der Freiheitsgrade der Deckplatte in Abb.11 translatorische Verschiebungen waren, stellte ein Freiheitsgrad eine Verdrehung (rotatorischer Freiheitsgrad) dar. Dieser Verdrehung zugeordnet ist ein Drehträgheitsmoment (vgl. Gleichung (1.4)) und eine Steifigkeit k gegen Verdrehen.

m1

 Drehachse

 Entsprechend der Idealisierung für die lineare Schwingung in Form eines Feder - Masse - Systems kann der EinmassenAbb. 4-4 Drehschwingung Drehschwinger ebenfalls idealisiert werden. Als Differentialgleichung ergibt sich analog

I  kI  mI t 

mit mI(t) als äußere Momentenbelastung [SI-Einheit Nm]. Für die zugehörige Eigenkreisfrequenz erhält man



kI I ,

4.1.3

,

 I   r 2 dm

Beispiele

An einigen einfachen Beispielen soll die Anwendung dieser Darstellungen gezeigt werden. Beispiel 1 Das zu berechnende System ist ein masseloser Kragträger. Am freien Ende ist eine punktförmige große Masse m (Gewicht G) angebracht, vergl. Abb.4-5a. Gesucht sind 1. die Eigenkreisfrequenz, Periode und Eigenfrequenz und 2. die Gleichung für die freie Schwingung, wenn die Masse aus der Ausgangslage losgelassen wird. Die Ausgangslage ist die Anordnung, bei der der Kragträger nicht verformt bzw. gebogen ist. Das Eigengewicht als diejenige Last, die die Biegung hervorruft, ist noch nicht wirksam geworden.

Einmassenschwinger

Teil I.4 Die freie Schwingung

29

k m0

EI

m m

l G

G

u t 

Abb. 4-5a Kragträger mit Punktmasse

u t 

Abb. 4-5b Äquivalenter Einmassenschwinger

Für die Lösung stehen folgende Gleichungen zur Verfügung k 2 1  , T , f  m  T Mit P = k u ist k = Kraft für die Verschiebung u = 1 3EI G k 3 , m l g



3EIg Gl 3

, T

2



 2

Gl 3 3EIg

, f 

1   T 2

Als Zahlenwerte sind folgende Daten gegeben: * Elastizitätsmodul E = 2.1 108kN/m2 (Stahl), * Flächenträgheitsmoment I = 5700 cm4 (IPB200), E I = 1,197 104 kNm2 * Länge l = 3m, * Last G = 30 kN, * Erdbeschleunigung g = 9,81 m s-1 Für die Eigenkreisfrequenz, die Schwingungsdauer (Periode) und die Frequenz ergeben sich

3  1,197  104  9,81  20,9 s1 3 30  3 2 T  0,30 s 20,9 1 f   3,3 Hz 0,3



Die statische Auslenkung berechnet sich zu Gl 3 30  33 ust    0,023 m 3EI 3  1,197  104 Diese Lage ist die Ruhelage für die Schwingung. Damit ergibt sich gleichzeitig als Anfangsbedingung u0 = - ust, ů = 0.

30 Teil I. 4 Die freie Schwingung

Einmassenschwinger

Mit Gleichung (2.5) und (4.7) ergibt sich für die Bewegung ut   ust 1 cos t  bei cost  1 umax  2ust Die maximale dynamische Auslenkung und Beanspruchung ist doppelt so groß wie diejenige des statischen Belastungsfalles. Dies entspricht einem Ausschlagen des Trägers in die Gegenrichtung der Ausgangslage. Diese beiden Positionen sind gleichzeitig die Grenzzustände (Amplituden) der Schwingung, die sich einstellt. Der statische Belastungsfall ist der Mittelwert der Schwingung.

Beispiel 2

Maschine

Träger

70

6,00 m

25

Abb. 4-6a Trägerbalken, durch eine Maschine belastet

25

Abb. 4-6b Querschnitt des Trägerbalkens

Es ist ein beidseitig aufgelagerter Träger mit einer darauf montierten Maschine zu berechnen, vergl. Abb. 4-6. Der Querträger ist aus zwei Balken zusammengesetzt. Die Angaben des Maschinenherstellers enthalten folgende Daten: Gewicht des Motors: Betriebsdrehzahl: Eigengewicht jedes Balkens: Last je Balken aus Motorengewicht: E-Modul der Balken:

40 kN 9 1/min 0,25 * 0,7 * 25 = 4,38 kN/n 40/2 = 20 kN 3·107 kN/m2 0,25  0,73 Trägheitsmomente je Balken: I = = 7,15 · 10-3m4 12 Die Auflagerung soll im Mauerwerk sein. Da die Auflagerungsbedingungen damit nicht klar bestimmbar sind, muss mit Grenzbetrachtungen gearbeitet werden. Die Grenzfälle für die Auflagerungsbedingungen sind eine feste Einspannung an beiden Enden (vergl. Abb. 4-7a) und eine momentenfreie Festhaltung an beiden Enden (vergl. Abb. 4-7b). nM gB GM E

= = = =

Die Erregung erfolgt in vertikaler Richtung, es soll daher in erster Näherung nur auf Vertikalschwingungen eingegangen werden. Unter dieser vereinfachenden Annahme kann das Bauteil als Einmassenschwinger behandelt und berechnet werden.

Einmassenschwinger

Teil I.4 Die freie Schwingung

6,00 m

Abb. 4-7a Grenzfall: feste Einspannnung

31

6,00 m Abb. 4-7b

Grenzfall: momentenfreie Festhaltung

Beispiel 2 Fall 1 In diesem Fall wird der Grenzfall mit der festen Einspannung an den Enden betrachtet. Zunächst wird die Steifigkeit der Balkenkonstruktion bestimmt. Die Berechnung der Steifigkeit erfolgt mit Hilfe der Verschiebungsmethode (Verdrehungen brauchen wegen Symmetrie nicht beachtet zu werden) 12 E I k  2 z 33 2  12  3  107  7,15  103  33 4  19,07  10 kN / m Eine Zusammenfassung der mitschwingenden Abb. 4-8a Berechnung der Steifigkeit Masse zu Einzelmassen in Balkenmitte und in den Auflagern ergibt M  MMotor  MBalken M GM gB  L / 2   m m g g 1 kNs2  ( 20  4,38  3 )  3,38 9,81 m Abb. 4-8b Aufteilung der Massen

Die Eigenkreisfrequenz ergibt sich zu

 

K  M

19,07 104  237,5 s 1 3,38

Für die Eigenfrequenz erhält man f 

  37,8 s 1  2268 min1 2

32 Teil I. 4 Die freie Schwingung

Einmassenschwinger

Beispiel 2 Fall 2 In diesem Fall wird der Grenzfall mit der momentenfreien Auflagerung an den Enden betrachtet. Die Berechnung der Steifigkeit erfolgt analog zu Fall 1 (Verdrehungen brauchen auch hier wegen Symmetrie nicht beachtet zu werden) 3EI k  2 3 3 z 2  3  3  107  7,15  103  3 3  4,77  104 kN / m

 0,25 k Fall 1

Abb. 4-8c Berechnung der Steifigkeit

Die Zusammenfassung der mitschwingenden Masse zu Einzelmassen in Balkenmitte und in den Auflagern erfolgt identisch zu Fall 1 Die Eigenkreisfrequenz ergibt sich zu K   0,25  237,5  118,8 s 1 M Für die Eigenfrequenz erhält man f 

  18,9s 1  1134 min1 2

Die Eigenfrequenz des Balkens liegt zwischen 18,9 s-1 und 37,8 s-1. 960 Die Erregerfrequenz von nm  16 s 1 60 liegt nahe bei der möglichen Eigenfrequenz des Balkens. Dadurch kann die dynamische Beanspruchung infolge einer möglichen Unwucht sehr groß werden (Resonanzbereich). Um dies zu vermeiden, sollte die Eigenfrequenz ~ 20 % über der Erregerfrequenz liegen, d. h. hier sollte die Steifigkeit des Balkens vergrößert werden.

Beispiel 3 Es sollen die Eigenfrequenz einer rotierenden Scheibe an einem Torsionsstab (einer Welle) bestimmt werden. Der Torsionsstab hat einen Wellenabsatz und damit zwei unterschiedliche Querschnitte über der Länge, vergl. Abb.4-9. Für dieses Beispiel werden die beiden Fälle vorgestellt, bei denen die Scheibe am Ende des Torsionsstabes angebracht ist (Fall 1, Abb.49) und die Scheibe im mittleren Bereich des Torsionsstabes montiert ist (Fall 2, Abb.4-10).

Einmassenschwinger

Teil I.4 Die freie Schwingung

d2

d1

Beispiel 3 Fall 1 Scheibe am Stabende

33

I

L1 = 16 cm L2 = 40 cm ΘI = 120 Ns2cm

Länge Länge Rotationsträgheitsmoment der Scheibe G = 7,5 * 106 N/cm2 Schubmodul

L1

Die Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) werden Abb. 4-9 als masse- bzw. trägheitslos los betrachtet.

L2

Scheibe am Stabende

4

Für die Torsionssteifigkeit eines kreiszylindrischen Bauteils gilt IT = π d /32. Damit ergibt sich die Steifigkeit der beiden Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) zu GI 7,5  106    8 4 K1  T 1   188,5  106 Ncm L1 32  16

K2 

GIT 2 7,5  106    124   381,7  106 Ncm L2 32  40

Verdrehungen am Stabende infolge MT = 1:  1 1  1       1  1 K K2  K  1 

K 

K1K 2  126,2  106 N K1  K 2

Eigenkreisfrequenz:



K

I



126  2  106  1025,4 s 1 120

Eigenfrequenz: f 

  163,2s 1  9792min1 2

Beispiel 3 Fall 2 Scheibe in Stabmitte Die Abmessungen ungeändert

I d1 sind

gegenüber

Fall

d2

1

L1 = 16 cm L2 = 40 cm ΘI = 120 Ns2cm

Länge Länge Rotationsträgheitsmoment der L1 L2 Scheibe G = 7,5 106 N/cm2 Schubmodul Abb. 4-10 Scheibe am Stabmitte Wie in Fall 1 werden die Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) als masse- bzw. trägheitslos

34 Teil I. 4 Die freie Schwingung

Einmassenschwinger

betrachtet. Die insgesamt wirkende Torsionssteifigkeit der Welle ist hier aus den Steifigkeiten der beiden Abschnitte der Welle additiv zusammenzusetzen. Damit ergibt sich die Gesamtsteifigkeit der beiden Abschnitte des Torsionsstabes (Welle) zu K1  K1  K2  188,5  106  381,7  106  570,2  106 Ncm Eigenkreisfrequenz:

K



I



570,2  106  2179,3 s 1 120

Eigenfrequenz: f 

  346,9s 1  20815,6 min1 2

4.1.4

Formeln für Eigenfrequenzen

Die in Gleichung (4.6) dargestellte Formel ergibt die Eigenfrequenz eines Einmassenschwingers. Bei Mehrmassenschwingern oder Systemen, die Biegeschwingungen ausführen, sind zum Teil auch kurze Formeln verfügbar, die im Alltag zur schnellen Plausibilitätskontrolle verwendet werden können. Hier werden einige solcher Formeln genannt. Es bedeuten: f = Eigenfrequenz, M = Masse, k = Federsteifigkeit, E = Elastizitätsmodul, I = Flächenträgheitsmoment, L = Länge, x,y = Verschiebung Fall 1 ist ein translatorischer 2-Massenschwinger mit 2 Eigenfrequenzen

3  5 

1/ 2 1/ 2

23 / 2 

1/ 2

k   M 

3  5 

1/ 2 1/ 2

23 / 2 

1/ 2

k   M 

k

k M

M x1

x2

k1

k2 Fall 2 ist ein translatorischer 2-Massenschwinger mit ungleichen Massen

M2

M1

x2 1   2 2      1 k k k k k k 4k k  1  2  2   1  2  2   1 2   3/ 2 2   M1 M1 M2  M1 M1 M2  M1M 2        

1 2

x1

Einmassenschwinger

Teil I.4 Die freie Schwingung

k3

Fall 3 ist ein translatorischer 2-Massenschwinger mit ungleichen Massen und Auflagern an beiden Enden

35

k1

k2 M2

M1

x2 x1 1

1 2   2 2     k1  k 2 k 2  k 3  1 k1  k 2 k 2  k 3 4    k1k2  k2k3  k1k3       23 / 2   M1 M2 M M M M    1 2 1 2     

Fall 4 ist ein translatorischer Schwinger ohne Auflager. Dieser Schwinger enthält zwei Massen und damit zwei Freiheitsgrade. Die erste Eigenfrequenz ergibt sich zu Null, sie ergibt sich aus der Starrkörperverschiebung beider Massen, ohne dass die Feder verformt wird. Daher bleibt eine technisch signifikante Eigenfrequenz, obwohl 2 Massen vorhanden sind.

1

1  2k 2 0 ,   2  M 

k Fall 5 ist die translatorische Schwingung einer Masse am Ende eines Biegebalkens, der einseitig eingespannt ist. 1 2

 3EI   3  ML 

1 2

M

M

M

x1

x2

y L

Fall 6 ist die translatorische Schwingung einer Masse in der Mitte eines beidseitig gelagerten Balkens. 1

2  3EI  2     ML3 

M

L2

4.2

y

L2

Die freie gedämpfte Schwingung

Jetzt wird der Fall untersucht, bei dem das System unbelastet ist (p(t) = 0), aber eine Dämpfung mit c u vorhanden ist. Die Bewegungsgleichung hat damit die Form c mü  cu  ku  0 oder umgeformt (4.11) u  u   2 u  0 m Ein Lösungsansatz nach Euler verwendet

u  e rt

36 Teil I. 4 Die freie Schwingung

Einmassenschwinger

Diese Ansatzfunktion in die Bewegungsgleichung eingesetzt ergibt  2 c 2  rt  r  r   e  0 m   c r 2  r 2  0 m

r1,2

c   2m

(4.12)

2

 c      2 2 m  

Damit erhält man für die allgemeine Lösung 2 2  c   c  2 t 2 t  c          t  2m   2m  2m   u t   e G e  G2  e (4.13)  1    Diese Bewegung wird als gedämpfte Eigenschwingung eines Systems bezeichnet. Gekennzeichnet wird sie durch den Wert der Diskriminante

 c  2  2      2m   Man unterscheidet drei Fälle Diskriminante = 0 = kritische Dämpfung Diskriminante > 0 = überkritische Dämpfung Diskriminante < 0 = unterkritische Dämpfung

4.2.1

Kritische Dämpfung, c = ckr

Im Fall der kritischen Dämpfung gilt für die Dämpfung ckr 2

 c kr      2 2 m  

Ckr  2m

Damit erhält man für den Euler-Ansatz aus (4.12) und für die allgemeine Bewegungsgleichung ut   G1  G2t  e t oder mit den Anfangswerten u0 , u0 ut   u0  u0  u 0 t  e t

(4.14)

r1.2   (4.15) (4.16)

Einmassenschwinger

Teil I.4 Die freie Schwingung

37

Die Gleichung besagt, dass die Bewegung keine Schwingung mit mehreren Durchgängen durch die Ruhelage ist, sondern es u t  ist eine aperiodische Bewegung. In Abb. 411 ist eine solche Bewegung dargestellt. Die u0 Schwingung wird in kürzest möglicher Zeit zur Ruhe gedämpft. Für viele praktische Aufgabenstellungen ist dieser Fall uninter- u0 essant, da die üblichen Dämpfungskoeffizienten c