Ei ~ PWf)=:141'2[~ln 4~0 +

= qJlB 1412 2,303[10 kh

'

.2

4to g I'

s]

+~]

.. ,

(4.1)

donde se hn usado para Ia definicion del tiempo ~dimensional, eltiempo en homs. La ec~acion (4.1) ya se habfn obtenido en el cnpitul6 2 como 1 ecuaci6n (2.64). . Si se grafica la ecuncion(4~1)(Pwfvs log t) se obtiene una recta de pen­ diente m=162,6 q/lB/kh de Ia cual se pueden obtener k 0 kh.· Ademas, si In ecuacion (4.1) se aptica cuando t = 1 hom; se tiene (PI

-~Wflh·)· = ~62,6 qIlB[10g~2'-3,23~0,87S] kh 9uCrw .' .

~,

de donde

~=1,1l5[~ -Pwr.lh +3'23-10g~]

(4.2) 91lCrw La ecuaci6n (4.2) es identica a Ia (3.4) si se tiene en cuentaque al inicio de una prueba de restauraci6n, la pres~0Il: de la pruebn es Pwf, ~t=O' y al inicio de unn prueba de deelinacion (draw down), In presi6n de la prueba es PI' m

Perfodo pseudoestabl~, Ia eeuaci6n pnm Po(to) es 1a (2.39) I 4A . . '.

Po - I n - -2 + 2rrt OA

2 "{CAfw y llevnndo 1a eeuacion (2.39) a In (2.62), se tiene kh. (Pj-P ) = 1 I n4A 7,08xlO -3 _ - - + 21ttOA + S wr qJlB . 2 "{CAfw2 •

,

wf

.'

[l1n

kh 2

] 4A 2 + 2mOA + S "{CAfw .

1 r--­

1· IlB (' 4A 2S 41t· t =141,2 2,303 ~ log ')CAr; + 2,303 + 2,303 DA

2

B(

4 A 4 1 t 264X10-4--'. =1626 qll 10g,-+0,B7S+·, If..I , kh )CAr! .'/2 ,303 'I'

Al ohservaf 1a ecuaci6n (4.3), si se PW1 normal, se obtiene una recta de pendwnte mss

gr~lfica

(~f

!

II I

k -'> \..)0 m =m - 41t 2,64 x 10-4' :;:----C ss 2.303 'I' Jl A

de Ia eual se pueden obtener A y el volumen p

Ademas, del intereepto se puede obtener C A

Intercepto == m [lOg

.

2;303 .

162,6:[IOgt+lOgrt)= x-

(4.11)

De esta drenlli'"

forma.,JlC(2d) k 2 -3,23) , '. k

log t" = 3,23 -log

2

. 4>JlC(2d)

d-

- (

)(),S

kt x 10 3,234>

(4.20)

Jl C

.

Figura 4.5 Representacl6n de 'un barr em de no flujo

donde la tasa no se esta

La interpretacion de la prueba de draw down planteada hasta aqui supone que Ia tasa de flujo se estabiliza desde el iriicio de Ia prueb~. . Por el contrario, cuando Ia tasa de flujo no se estabiliza, una prueba de draw down puede interpretarse aplicando el principio de superposicion(4): supongase que el comportamiento de latasa fue una curva, como Ia que se muestra en Ia figura 4.6., En efecto,aI subdividir todo el intervaIo de Ia prueba en otros enlos que puede considemrse la tasa de fl~jo constante, todoel periodo de flujo puede suponerse como una superposici6n de otrosperfodos en los que Ia tasa se puede tomar tambien como constante. Aplicando el principio de superposi~ion se tendrd

JlB[n

'.

(PI -PM )= 141,2 kh tt(ql, -ql-l)[PD ((t n - tt_lk)+S]

]

y suponiendo que PD se puede reemplazar por Ia aproximacion Iogaritmica, se tiene (Pi:'" PWf)= 162,6 JlkhB

,154

[tI~l,

(q; - qi-l) [log (to - t i_1) .

+ s]l ~

de Ia tasa

4 6 Comportaml ento Figura . bil' 6 .

lZ

. - (421) se Por otm parte, la ecuaclOn .

I

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos 4. Pruebas de

~lJlmando tx eI punto donde las rectas de en . y como este punto cumpIe para las ~do p d~ente n;t y}a de,2m se cortan, ". . ~ < S ecllaclOnes, se tiene . . m(Iogt..

+S)= 2mlo,t!t--·

--'

'\~. [",k(

)2

-3,23J ',':\

'\ 'l'IJ.C 2d I

.

.

"

(4.21)

(

\

\

\

Un grMico de [(P1-P\Vi)!qn] vs RTF donde

\

1

n

qn

i=1

RTF = - L:(qi -qi-J log (tn-ti-l)

"

\

(4.20)

\

?\====~

,

es una linea recta con pendiente m' de Ia cual se puede obtener kh/Il (kh ok) y del intercepto m'S de donde se puede obtener S.

\.

\

\\

POlO Imagen

'\

,

"



."



I>o~

\

\

q

\

\\. :

:::::===:!1 \. \\

'\\\

t

10 ~

­

\

.

,

teada hasta aqui Supone ~a prueba. " \biliza, una prueba de i . Pde superposici6n(4): f curva, como Ia que

..

Figura 4.6 Comportamiento de Ia tasa de flujo en una prueba de draw dO'l,2,'1t donde la tasa no se estabiliz6 ' Por otra parte, la ecuaci6n (4.21) se puede escribir tambiE~n como

'.~n

otros en los que :iodo de flujo puede \~ los que Ia tasa se

yeuando se toman intervaIos de tiempo muy cortos

\ '\

(4.22)

In logaritmiea, ,

La integral

l(~~

)tOg t

- ti_l)dt se conoce como integral de convoluci6n..

1'55

4. Prucbas de flujo de vac:nnnerw de hidrocarburos

4.2 Prueba de dos tasas La prueba de dos tasas es preferible a la prueba de draw down porque no requiere cerrar el pozo para tener la presion promedio del yacimiento; por estamisma razon es preferida tambien a la PBU. ' , /, La ecuacion para analizar una prueba de dos tasas d~pende de si los pedodos de flujo tienen duraciun suficiente para ubi carse en eiperiodo pseudoestable 0 en el transiente: Se usa la nomenclatura que se muestra en la fi~ura 4.7. .

.. I grafico de la ecuacion (4.23) (4.24) .: \ Dcbido a que es diflcil estabthzar qz' e e 6 uida por .una recta. I'; , _~ . s rectas 0 una curva s o ' d pucde mostrar os seCClone . de a los valores mayores de_At:..-- ' La linea recta indicada es la que corre~~~ ___ .-.-.~ , ; El dano de formacion~"p-'f'C\... d"'·'~ prucha de dos

~.

(P1-p"f)=mJ I

.

,L\

Porotra parte;'

hinr de ql a qz' \ '

(Pi

-p",)=roJ)o\

y restando Ia ec\

~ ~I

(P - P q

)

\

llt-'

donde se ha: SU P\

Finalmente, si sel

g:

(PWf,lh - P"'1)=

y recordando que\

s:: log~ - 3.23\ ~flCrw '.

Figura 4.7 Prucba de dos tasas '

se tiene

Cua~do

ambos periodos de flujo estan bnjo el re~imen transiente, la ecua·

cion se obtiene de

APT =AP 1 + AP z

API = m i Qogt+S)

dP2 = 162)6~ (q2 ~ql)Qogdt+S)= (m2 -ml)QogAt+S)

.

roth \

l

dPt =m1Qog(t l + dt)-Iog.dt)+ m 2 Iogdt+m2S

~

= mt

"

[Q>wf,lh-=J

S = 1,1l5

L

" m1 \

Esta prueba dedos ,

scgunda tasa se es:\

procedimiento de 1 \

Cuando en una pru~

pseudoestable, se ti\

presion durante la p

"

'.

(4.23) -

..,,s'

~BrI

. (p\-Pvd )=141,2 kh

L\

y suponiendo que t p\

l

dPt =mIRTF+m 2S ; (4.24) La ecuaciun (4.24) muestra que un ~rafico deiAP T por RTF Llt (RTF log tl + :: IOgLlt) es una recta de pendiente m 1 de Ia cual puede

~,- P.,)= 141)~ q\

obtenerse k.

(PI - p

:t

H

,.

I

Ahora, cuando t=t p.\' wf•tp

)=

~Bn

141,2 kh

L\ I

156

,.

I

~,

\

....

-~

h'd

E'Valuaci(m de yacimientos de hidrocarburos

4. Prucbas de -.~.

,

""

.L~

­

la la prueba de draw down porque no ~resi6n promedio del yacimiento; por

en ala PBU. ba oe dos tasas' depende de si los \ . f!ente para ubi carse en eLperfodo . \.a la nomenclatura que se muestra

I:'

\

\

\

Debido a que es diffcil estabilizar q2' el grafico de Ia ecuacion (4.23) 0 (4.24) puede mostrar dos secciones rectas 0 una .curva seguida por una recta. La Unea recta indicada es Ia que corresponde a los valores mayores de M', El druio de formaci on seconsigue mediante la ecuacion para interpretar Ia prueba de dos tasas, 0 sea, Ia ecuacion (4.23), que tambil:~n puede plantearse pl (PI -pw;)= ill1 [lOg t ,+ .1.t . . .. ilL

+~log.1.t +~s] ql ql .

(4.25)

Por otra parte; llamando Pwfl la expresion para P\\f en el momento de cam·

biar de ql a q2' la cual puede calcularse de

;

(Pi -Pwr)=ml[logtPI + S]

..

y restando la ecuacion (4.25) de la anterior, se tiene

(pwf .-

4-·

~

Pwf1 ) = ill 1 [lOg tp1 + S.:. -log tpl +iog .1.t log.1.t - q2 . ql ql

s]

donde se hn supuesto que tpl > > at y por tanto tpl + M= tpl' Finalmente, si se toma at= 1 hora, se dene

(PWf•lli -pwn)=m.[(l-

transiente, la ecua.

::)8]

y recordando que. k ­ S = log--2 - 3,23 + O,87S > M, Ia ecuacion anterior se convierte en

~i

2) +

1

Pwr. )= 141,2 J.l B [ql (.!.In ( 4A 2rt t pDA + (q2 - ql).!.ln (4AtD Iy)+ , kh 2 Y CArw ~ 2 Ahora, cuando' t=tpo para calcular P\\f se tiene la expresion -

~S] .

(Pi - pwf. =141,2 : [ql (~ln(y ~~; )+21t t PDA) + qls] t)

157

4. Prucbas dc fluj~

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

y restando las dos ecuaciones anteriores (Pwf.1p

-

pwf)= 141,2 ~ [(q2 -ql)~ In(4AtD /y)+ (qz -ql)

s] ,

La ecuacion anterior se puede llevar finrumente a (4.27)

(pwf.t, :... Pwf) == m'[(q2 - ql) log At + (qz -ql)S]

La ecuacion (4.27) muestra que un grMioode (p\\{, tp - p,,{)vs log .6.t es una recta cuya pendiente es m'(q2 - ql) Yde Ia cual se pueden obtener k 0 lill. , Para obtener el daiio se hace Llt = 1 0 sea que 'log Llt = 0 Y Pwf = P,\{,lh; entonces, despejando el daiio de la ecuacion (4.21), se tiene . . ,

p p , ]. S 1,15 wf;; - wf'l)h -log", k 2 +3,23 (4.28) [ m\q2 -ql 'f I!Crw La ecuacion (4.28) es equivalente a la ecuacion (4.26). Cuando en una prueba de dos tasas se hace el cambio de tasa en el perio­ do pseudoestable, en el momento del cambio se tiene de acuerdo con Ia ecuacion (2.34)

(P-Pwf;)==162,6ql~ kh

\

109( 4A 2 J+141,2 q1 I!B S '

YCArw kh

Figura 4.8 Prucba de dl.\

y de acuerdo con Ia ecuacion (2.35) (p-P""tp

.

)= 141,2 x 2,303 q~B x log (0,47X)+ 141,2 q~Bs

De las ecuaciones (2.34) 0 (2.35) se puede despejar P, suponiendoque se conocen los facto res de forma de Dietz, CA , 0 los de Odeh, X, y el area de drenaje; los valores de S y kh (k) se obtienen de Ia interpretacion de In , prueba de dos tasas. Laobtencion de Ia P esposible si se hace elcambio de tasa en el pedodo pseudoestable, pues solo para estos casos se pueden aplicarlas ecuaciones(2.34) y(2.35):' ' En la prueba de dos tasas tambi,en puede ocurrir que al hacer el cambio de ,tasa, esta no se estabilice; por tanto, no se tiene un valor constante para q2 y no se puede apHcar el procesode interpretacion p~esentitdo. La prueba de dos tasas, cuando la segunda. no se estabiliza, tambien pue­ de interpretarse con una ecuacion similar a la (4.21), obtenida para una prueba de draw down cuando no se oonsigue estabilizacion. ' / I" ". EI comportamiento de la tasa de flujo en una prueba de dos tasas c~ando . no se consigue estabilizacion, se representa con la figura 4.8. Suponiendo que tp 60 h, se tiene una recta como se muestra en lit figura 4.12, cuya 'pendiente e~: ill = 0,24 Lpc/h y de acuerdo con 1.1. ecuaci6n para el penodo pseudoestable m

,\

\

Figural

y Ia cat

=m 41t 2,64x10-4k=024 p., 2,303 = Pi -Pws

=141,2 ~

[po(tp+L\t!-po(L\t)o]

Vease si a las 1000 homs se esta en el perfodo tmnsiente 0 en el pseudoes­ table; pam ella se calcula tS8 de t ..

=948 «PIlCr; = 948 0,12 x 0,8 x 15,6 x 10- x 10532 =31,48

Por tanto k (.

Pn \tpD +AtD

)

hr8.

50 21tt OA =-1 I n4A -2 + 2

!CArw

400 350 300 250 l200

150 \ '\I

10

100 50

[llplo 4.2

0 0

4.10, 0 s~a; 92,53. ~a valores de t > 60 h, :'cuya pendiente es: m ?odo pseudoestable

200

l.

I

\( 50 5,55 x 10-

600

800

1000

1200

dt

i gum

,

400

Figura 4.12 Porci6n recta del gnifico normal del ejemplo 4.2 y la caidade, presion,mient~asAt sea menor de t55 es

C]J.1B [ M>=Pj -Pws =141,2-.1I2 Jill

4A ' + L\t)oA-1I2 Ln_ 4 L\t o] +2rc (tp _ y CA ' , ,Y

=141,2 C]J.1B [1I2Ln 1 +21t (tp +L\t)DA] kh CAL\t OA .

165

E'Valuac~6n

4~ Prucba;' dc flujo

de yacimientos de hidrocarburos

4

;qJ.lB[' . 41 J.lCA , ' . 2,64XlO- k(t p +At)]. =141,2- 1I2Ln +2rt ----:---=~--'. 'kh C,,2,64xlO 4kAt '.' 4lJ.lCA '. == 141,2 100xO,8x 1,35 [1I2Ln 0,12x 0,8x15,6x 10-J.1 constante e igual a 1x107 • Las curvas se presentan como Llt por LlPF/q en papellog ; log con T/F como parametro, dondeF es el almacenaje del pozo calcu­ '. ladosegiinlasecuaciones (5.3), (5.7) 0 (5.11c); Tes la transmisibilidad (ldtlll); LlP =:= (Pi- Pwf) para una prueba de draw down,o(p"'S-P,,l,.1t 0) para una prueba de restauracion; y Llt es el tiempo paraunaprueba de draw down oLltc = (tpLlt)/(tp+.ilt) para una de restauracion. '

Figura 5.7 Forma de las curvas tipo de Este'metodo no permite obtener el J obtener una idea del dano 0 estimulac; a. Se prepara un si~tema coordena, iguales). , h. Se grafica Llt por LlP en el pape1 coordenado; Llt esel tiempo pa. tpLlt/( tp + Llt) para una prueba _ P ) para una prueba de draw a wf •, , de restaumClOn. .,' Se ubica el papel trazo del grafi c. tipo y se hacen coincidir los ej 'papel tmzo solo horizontalm que la curva del pa~el t~a.zo con una curva tipo ldenuflCa de T/F de la curva tipo coin de ajus.te p.am tomar.lOS vJal permeabilidad de APF)' T 1 _ T ~ kh .

MI' F (Ap )MI' - q - q 11

(

----q-

,Tqll (APF) T.-!- q k~qh= MI' F (Apk

I

q

Como eoincidiO el inieio de ~

ecuacion (5.15) es el eorresp

pd~o afectada por dano. El val!

afeet'ada porel dano se pue9

curva Llt por LlP so' separa deJ

la parte iniciul'.de la' cu~~, t

es constarite; S1 se contlOual

parte final coincida con otr~

J

180

f

,,.I

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

S. Eieeto de almaccnaje y eompletamicnto parciaL EI porque cuando se tra.t? de una prueba de flujo se grafica M y cuando es u~ pru~ba de restauraclOn, tp.1t/(tp+.1t) consiste en que en una pruebade fluJo AP - Pi ­ Pwe y de acuerdo con Ia solucion de Ia ecuacion de difusividad para el periodo transiente p _ p -1412 qJlB (I. 4tD ._.._ ..- - - . _

. . . .;......-1.....

i

CL)

~~--=---=-t..;::::l::::Jll...-~ ~.

... ~{1l1llh

_c,~ .

t0,809 + S)

La; forma de las eunias tipo' de McKinley es fa que se muesfra en la (igura 5.7. .

i

)

\

\ I

;miento de la presion en ene ,

lio.809+ S»)

log( AP ~

(5.12) "(5.12a)

(5.13) tiene (S.14)

son de la fOfma \

,

l 1 I

nal es (p.-P .,) yen 'I I \VI !fiempo adimensio. 'I "p.1t/(tp+.1t); esto ?nes diferentes de .~ de flujo 0 de res. ;mino de Aganval

F/q)

Figura 5.7 "Forma dc las eurvas tipo de McKinley

Este metodo no permite obtener e1 valor de S, pero sf cualitativamente obtener una idea del dano 0 estimulacion. EI procedimiento es: u. Se prepara un sistema coordenado, igual.al de la curva tipo (ciclos iguales). b. Se grafica At por AP en el papel trazo donde se preparo el sistema coordenado; M es el tiempo para unaprueba de.dra'wdown, Me = tpAt/( tp + M) para una prueba de restauracion de presion; AP es (Pi - Pwf) para una prueba de draw down y (Pws - P\\f,At=O) para una prueba de restauracion. . . . c. Se ubica el papel trazo del grafico !It por APF/ q sobre la carta de curvas tipo y se hacen coincidir los ejes de ambas cartas; luego se desplaza el papel trazo solo horizontalmente sobre la carta de curvas tipohasta que lacurva del papel trazo coincida, al menos en su parte inicial, con una curva tipo identificada por un valor de T/F. Se t(::mia el valor de T/F de la curva tipo coincidente y se escoge sobre esta un punto de ajuste para tomar los valores AP)MP y APXF/q)MP Al encontrar la . . permeabilidad de tiPF) T I T kh ( -q- MP F (Apk. =q= qJl

.1

b lien se 0 tmieron JtlcjlJl constante e ;'F/ q en papellog ~ del pozo caleu· ,\ransmisibilidad to (Pws-P\\f, At I' 'ara. , una ., prueba .1uraClOn.

1'.,

k=!.qJl=(tiPF) !._I_qJl q h q MP F (tip)MP h

(5.15)

Como coincidio el inicio de la curva,. el valor de It. encontrado con la eC!lacion (5.15) es el correspondiente a la zona cercana a la pared del pOlO afectada por dano. EI valor de k de la zona del yacimiento que no fue ufectada por el dano se puede encontrar asf: cuando la parte final de la curva At por AP se.separa de la curva tipo que mostraba coincidencia con Ia parte inicial'de la'curVa, es porque el valor de k os diferente ya que F es constante; si se continua el desplazamiento horizontal hasta queesta parte final coincida con otra curva tipo identificada con un nuevo valor de 181

5. Efecto de almacenajc YcompletamientoparciaL.

E'Valuaoi6n de yac;imientos de hidrocarlmros

T/F, este valor es el correspondiente a la formacion libre de dallo, 11: de la

fonnacion se puede calcular de" (T IF), k = k (T I F)w w f

,

.

1

(5.16) .'

.

donde (T/F) es el panlmetro de la curva tipo que coin~idio con la parte inicial de la curva dt por dPF/q y (T/F)f es el panlmetro de la curva tipo que coincidio con la parte final de la curva. La referncia(10) muestra un caso de campo de aplicacion a estas curvas tipo. 3. Metodo de Gringarten: las curvas de Gringarten se elaboran con coordenadas log log; en la ordenada se grafica Po y en la abscisa to! Cso ' Thmpoco se requiere calcular Cso ' pero las curvas tipo no estan separadas por Cso y S, el panlmetro es Csoe2S y las curvasresultan muy congestionadas, 10 cualle resta resolucion. Gringarten obtuvo . las curvastipo haciendo el siguiente razonamientocon respecto a las soluciones de L't ecuacion de difusividad: cuando hay efecto de almace· . naje y la perturbacion de presion aun no ha llegado a la formacion P0-~ - . C

. (5.17)

so

y cuando ya ha desaparecido el efecto de almacenaje, pero aun se esta en el transiente

.!.(ln~. +lnC so e C .

Po='!'ln 4to + S = . . 2 Y 2

so

2s

Po

Figura 5.8 Forma de las t

hastal Yhorizontalmente . CDe2S , dI' identificadapor 1

.

(5.18)

Las ecuaciones (5.17) y (5.18) indican, cuando se graftca Popor toiCso en papellog log; que en tiempos iniciales la curva es una recta de pendiente de 45 0 y en tiempos avanzados, las curvas tratan de hacerse horizontaies porque desaparece el efecto de aimacenaje. Lascurvas son ungrafico de Po por tol Cso yel parametro CDe 2S . La forma es la que aparece en la f.iguraS.B. Para dallos altos la curva trata de alcanzar unmUximo y luego estabilizar· se. Esto, porque despues del efecto de almacen1\ie, empieza el de la zona danada; y como este es el principal responsable de la cai'da de presion, el efecto de la zona no danada sera casi despreciable. Para'dallos menores, 0 sea, las curvas inferiores, no se alcanza a mostrar Ia zona donde Ia caida de. presion trata de estabilizarse. . ./ . . '. Las curvas tipo de Gringarten se obtuvieron de fonna similar a las de Ramey '. (Agarwal) y por las mismas suposiciones. . Cuando se trata de pruebas draw down, M es el tiempo de Ia prueba y cuando son pruebas de restauracion dt es dte; por otra parte dP = Pi - Pwf para pruebas de DD y (Pws - Pwf;lh=O) para PBU. En el procedimiento, el .grafico que se elabora es de dP por Myel papel trazo se desplaza vertical

·'

Ic) so

25

\

2 , El valor de CSD se obtien~ Pero tambien se puede

0\

~ .

-

D

e

J+0,809

f.

S=-ln~C soe

SD

MP

C 1

. '=_I D_

(dt)MP C SD I nde C es la constantE do tD \ Para obtener el valor de , PrJMP YdP)MP , de donde \ )

PDk

J

q~B

7,08 10-3 h(APk -\

El procedimiento recomerl\

ci6n (5.20) , b) calcular Cso1

(5.19). \

4. Curvas dpo de Bourd

forma de curvas dpo l

vada con respecto al ~

tipo se puede anaHzarl

= tn!C SD 0 sea que I

t

"

apo =1

aCto / Cso)

.'

I

y por tanto, un grafico de (r

una horizontal con interc1

\ I

182

I. I

I



I' _.,---"' .

i

E'Valuaoi6n de yaoimientos de hidrooarburos

5. Efccto de almacenajc y complctamicnto parcial...

T/F, este valor es el correspondiente a Ia formaci6n libre de dana h de 1a formaci6n se puede caIcuIar de' ," , '.

(T/F)t _I.~-~ ,~_k __

{",

-

'\

1

I _

(5.16)

\\

Po

( \que coincidio con Ia parte parametro de la curva tipo I referncia (1 0) muestra un I. \

',ngarten se elaboran con fica Po y en Ia abscisa to! ? las curvas tipo no estan 2S y las curvas resultan ?ion. Gringarten obtuvo liento con respecto a las 'do' hayefecto de almace. \egado a Ia formacion

t

, (5.17) pero aun se esta en

(5.18) :fica Po por to/C SD en \1 recta de pendiente bcerse horizontales "

1 \

. '

tro CDe 2S. La forma \

'~Iuego estabilizar. ')ieza el de Ia zona \ida de presion, el danos menores, 0 t ta donde Ia caida I

a las de Ramey de Ia prueba y = P.I - P\\f cedimiento, el splaza vertical

t,' e L\P

Figura 5.8 Forma dc las curvas tipo dc Gringartcn y horizontalmente hasta que la curva del papel coincida con una curva tipo identificadapor CDe 2S , de donde 1 f.' 2S / S =-In\CsDe CSD )

(5.19) 2 EI valor de CSD se obtiene de Ia ecuacion (5.5) y Cs de la ecuacion (5.11c). Pero tambien se puede obtener CSD de

(~\.~ ~ (L\t)MP

(5. 19a)

C SD

donde CtD es Ia constante del Hempo adimensional. Para obtener el valor de Ii:. se selecciona el punto de ajuste, el cual da , PD)MP Y L\P)MP , de donde se puede obtener p) D MP

qJlB_ k 7,08 lO7'lh(AP1.u, ­ I

(5.20)

E1 procedimiento recomendado para calcular k y S es: a) caleular k con eeua· cion (5.20) , b) ealcular CSD con eeuaeion (5.19a) y c) caicular S con ecuacion (5.19). 4. Curvas tipo de Bourdet (metodo de derivada): Bourdet presenta otra forma de curvas tipo en las que la presion adimensional, Po' esto. deri. vada con respecto al termino tD/C SD y por tanto la forma de las curvas tipo se puede analizar de Ia siguiente forma. Para tiempos iniciales PD = ~o/Cso 0 sea que ' ' aPD =1 (5.21) a(tD I eSD ) , ypor tanto, un grMico de apo/a(to/c so) por (to/Cso) en papellog log, es una horizontal con intereepto en 1. ' " ,,

5. Efeeto de almacenaje ycomplCtamicnto parciaL.

E'Valuaci6n de yacimientos de hidrocarburos

Ouando ya ha pasado el efecto del sobreflujo, pero el yacimiento todavfa esta en el periodo transiente, se tiene

O,00708kh

Q>l -

pwJ 1[4to

- - - - - - - - - In-+2S q(.lB :' 2 'Y PD

]

.', "0 urva tipo tomando laderivada de PD; no Finalmente Bourdet redefllll su c 1 (t 10 ) En este caso la 0 ) sino con respecto anD'. SD' (t 1 a cto ( 0 s[)J' , ' con respe expresion para la derivada sera

=.!.[m(~)+lnC e ]+0809 2 C o ' o 21

t

aPo -05 1

(to IC o ) - , to IC o

y

a

Log (Po)

(5.22)

o sea que un grafico en papellog log de oP D!o(tD!OSD) por (tn/0SD)es una recta de pendiente -1. Las ecuaciones (5.21) Y(5.22) muestran que un gnifico de OPDlo(tD/OSD) por (tn/0SD) a tiempos iniciales cual}do no hay efecto del dano de formaci on y a tiempos altos cuando ya no hay efecto'de almacenaje, no depende de 0SDe2S. " De acuerdo con 10 ~nterior, las ~urvas de Bourdetpresentan la forma que se muestra en Ia figura 5.9, donde P~ es aPo/iJ(tD/O so )' l~~expresion

de la derivada de Po con respecto a (to/O SD) tiene Ia forma

'8PD = oPD~ =~(7,08X1.0-J kh (PI-Pwf)JOSD(~fJOr;) o~ ot ot " qfJB k O.D 0BD que se ptiede presentar como

oP

,

.

--o-=Constante AP'

,o~

oPD

oLn(~)

°

Fo~ma de las curvus tipo de =oPD ot

=~(7

ot

10-3

oLn(~) ot~ O.D

sD

7,08 x 10-3kh Ocri - Pwf) t = 7,08x 10-3kh = q~ ot 'q~ donde ilP' sigue siendo Ia derivaaa de Observese queen estecaso las un1U"''''", que' en'su'primera version eran de ASl, para cuando se dene solamente el

o[ ~1:(P~) Oln(C~>-) tD )

C.o

donde

. o(Pj-Pwe )

AP=

Figura 5.9

ot

o(AP) =-­

=

ot

p_ara el caso ,de una prueba draw down y AP' o (Pw• -PWI.~~Q) (At.)

o

para una prueba de restauracion. Lo anterior quiere decir que, para trabajar con las curvas tipo de Bourdet, se debe graficar en papel log log en la misma escala de la curva tipo ilP' por 8tj teniendo en cuenta, como en los casos anteriores, si se trata de una 'prueba de flujo 0 de restauracion. .

= ::

0SD SD

y'cuando desaparece e1 efecto del

transiente

oP.

=0

j

~(m~: + m;(J

t-so-)L

om(~:) ~

,

I

=0,5".

9

o sea que al elaborar e1 grafico tiene inicia1mente una recta de 1 una horizontal con intercepto i~

l

184

I ,,;



!

Evaluaci6n de yacimientos de hidrooarburos

5. Eiecto de almacenaje ycomplctamiento parciaL.

Cu~ndo yn ha, pasado el efecto del sobreflujo, pero el yacimiento todavfa esta en el penodo transiente, se Hene ' O,OO70Skh

~; -

Po:~)nt

1;­

y' ·13,304ln(K)' 57,693 Z

R .O.9357

I

Figura 5.13 OrMico de Horner para el ejc las 22 horns Tnbla 5.4 C61culos para claborar curva f 15

10

2.460 2.799 2.963 3.063 3.164

'00

Figura 5.12 Onifico de Horner para los datos de la tabla 5.2

t wus j.

Como este es un valor para Cs que depende de datos de Ia prueba; priede ser mas aceptable que 0,0102 que depende solo de datos del pozo y del fluido. Recordando que S = C

°

_ 0,874C s SD -

=

CPChr;

2

0,874 x 3,85 x 109,15xl0 3 0,14x15xl0-6 X7(0,5)2 .

1\vbsD

= 60 x

9,15 x loJ

= S,SX

. "

105

Yde aqui se puede calcular t\\bs nsf t _ tWb3D$~Cr; '" wb. -

2 64xl0-4 k

_ 5,5x10 5 xO,14xO,5X15xlO--{)(0,5)2 2,64 X10-4 x 24,5

= 22,3 h

o sen que de acuerdo con eST de almacenaje son aqueno~ . AI graficar los datos d~ la que se muestra en la flgur decimal, es 169,37X2,3f

r

390,0591 = ro =

CUl B 162,6/

kh I

y IIll 162,6X/

162 6-q.........-=k=~

, roh 3f

Para calcular el d1

que no hay efecto!

t· pwshh \ = 4.685 - 390/ I

r

/ 192

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

5. Efecto de almacenaje y completamiento parcial.:.

donde At y AP deben tomarse en tiempos iniciales de estaj ademas debe tenerse en cuenta que, en caso de una At = Ate = Attpl(t + At) (' que tomando At = 1,97 h), se tiene P ' 0 sea AP = (3.169 - 709) = 2.460 At =197 295,7 .•

,

(295,7 + 1,97) 1,983

y '" ·169,22Ln{x) + 4664.7 R' =0,9909

yentoncesCs~ 1:983 qB/24 /2.460 1,983' = 988xl,16 --=3,85xlO-

2

10

100

(IP+?ljn1

20

Figura 5.13 Graftco de Horner para el cjemplo 5.1 usando datos a partir de las 22 horas Tabla 5.4 0111culos para elaborar curva tipo del ejemplo 5.1

.

i

I

\ tabla 5.2 'I

I'~tos de la prueba; puede

\1 de datos del pozo y del ,

I

\

At

Pws

0 1,97 2,95 3,94 4,92 5,91

709 3.169 3.508 3.672 3.772 3.873

AP (Pws - Pwf, At = 0) Ate (AUll/t(tll + At»)

10

2.460 2.799 2.963 3.063 3.164

i

. 1,9,83 2,92 3,89 4,84 5,79

I

t"bs = 22,3 h que de acuerdo con este procedimiento, los datos de Ia prueba libres de almacenaje son aqueUos obtenidos despues de las 22 horns. . Al grnficar los datos de la prueba a partir de At = 24,6, se obtiene Ia recta que se muestra en la figura 5.13, cuya pendiente, cuando se usa logaritm~ decimal, es 169,37x2,303=390,0591=m y por tanto o sea

390,0591 =m = qll B 162,6

kh

Y

162,6 qllB =k= 162,6x988xO,5xl,16 34,13md mh 390,0591x7

Para calcular el dano, se debe obtener Pws cuando At que no hayefecto de almacenaje y que Pi = 4.400.

= 1 h, suponiendo "

pw • 'IIIh = 4.685 -390,05911og (295,7+1) 1 = 3.721,01 Lpc

193

S. Efecto de alma~enajc ycomplctamicnto:parcial.:.

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos..

---------------------

La permeabilidad y el dana tainbi.11).

Thbla 5.7 (Continuaci6n) ilt

ilP

16

ilte

767,99

7,829

(dP) , 4,022

(dP)'

"oool....-~ ....r ,,~\...r-~-L"

Dcrivada

3,823/' 45,2101044 {

768,74

8,004

4,277

4,150

17,5

769,48

8,172

4,422

4,349

50,5564103 .. 54,4849603

18,25

769,99

8,332

3,190

3,806

48,9408678

19

770,73

8,484

4,840

4,015

52,9171779

19,75

770,99

8,631

1,776

3,308

44,6274542

16,75 "

.f· .,,(:.r

771,49

21,25

772,24

,22,25

,772,74

23,25

773,22

8,771

3,566

2,671

'.

5,577

4,571

64,3590005

9,076

2,925

4,251

61,4269162

9,239

2,961

2,943

43,5741899

8,905

24,25

773,48

9,392

1,689

2,325

35,2216252

25,25

773,99

9,539

3,486

2,587

40,0386382

26,25

774,49

9,678

3,590

3,538

55,8533837

27,25

774,73

9,811

1,808

2,699

43,4250562

28,5

775,23

9,968

3,177

2,492

/

~---

,

i

I

;' G.Ol0

i

1

\

I

"r

, ____~/__C).QUt

I

\! 1

10 t

;1

36,831688

.I

\

100'

/:~>~.

,',

,20,5

,.'

..- t.'

".,

d

Q,OOO

I

0..1 dI.

Figura 5.18 Curva tipo y de la derivada para el

se ajusta casi completamente a una recta indicando que esa zona esta en el periodo transiente y libre del efecto de almacenaje.

La pendiente de dicha recta cuando se usa logaritmo decimal es 2,303 x

32,05 = 73,81, 0 sea que :,

f

m= 73,81 =162,6 qJl B kh

k=162,6

Y• -32,05ln(x) + 189,4

q~' =1626 174x2,5xl,06 =9,49mD 73,81 h

'

73,81xl07

I

El factor de dml0 se puede obtener usando la ecuacion S = 115 (iut ercepto + 323 -10 k )=. '" , g", C 2 m 'I'll rw 115 (789,4+323_10 ,9,49' =72354) ' , 73,81' g 0,25x2,5x4,2xlO-6 X 0,29 2

"

Finnlmente, el problema t.'imbi€m se resolvio usando el software Pansystem® y los resultados dedicho aniilisis se dan en las paginas siguientes donde aparecen en su orden el gnifico de ilP vs ilt en coordenadas cartesianas, llamado overview plot, el grMico de Horner, llamado semilog plot, 'el de curvas tipo yde diagnostico (curva de Ia derivada) (log log plot) yel grMico de curvas tipo, type curve plot (veanse figuras 5',20 a 5.23), cada uno de

---~-1

.0

ttp+dl)ldl:

i Figura 5.19 Grafico de Horner para los! del ejemplo 5.3 /. Comparense los resultados obtenido/, problema con los obtenidos usando

l

!

~04

/1

R'.O,991S

I

-

""",>-,,"

1

!

i

.,-.--_ _ 'i,:..

"

I

, t

Evaluaci6n de yacimiento~ de hidrocarburos

5. Efeeto de 'almaeenaje y cbmpletamicnto parciaL

Thbla 5.7 (Continuaei6n) 6.t 16 -

I

I

II

6.P

I

~~"

,~~ £--..----"-' ,.........--~

;

I

r~p)'

(AP),

Derivada

)22

3,823

45,2101044

77

4,150

50,5564103

?2

4,349

54,4849603

0

3,806

48,9408678

)

4,015

52,9171779

3,308

44,6274542

2,671,

36,831688

4,571

64,3590005

4,251

61,4269162

2,943

43,5741899

2,325

35,2216252

2,587

40,0386382

3,538

55,8533837

\ 2,699

43,4250562

I;,

.

1

\

estos graficos va acompanado de una tabla resumen de los resultados de su interpretacion (veanse tablas 5.9 a 5.11).

.,

'.

"., I

Fig~ra 5.18 Curva tipo y de la derivada para el ejemplo 5.3

'\ 2,492 :-­ \ que esa zona esta en e. . \

778

776

f

~

./

'

l decimal es 2,303 x ',I

,,1

.

\ \

I

y • ·32.05Ln(x) + 789.4

R'. 0.9918

I

/

,

J

/

/

!. .

~

772

/

762 760

758

~---------------------------------------------+758

"are Pansystem® \uientes donde 18 cartesianas, 'log plot, el de )t) yel grMieo \cada uno de

1

(tp+dt)ldt

Figura 5.19 Gnifieo de Horner para los puntas finales de la prueba de presion del ejemplo 5.3 Comparense los resultados obtenidos en la parte inicial dela solucion del problema con los obtenidos usando el software; se puede ver que los que

205

5. Efecto de almaccnaje Y completamicnto parciaL.

Evaluaci6n de yacimientos de. hidrocarburos .

---------------------

arroja el grMico semilog son similares a los obtenidos en la interpretacion inicial usando las figuras 5.18 y 5.19 pero difieren apreciablemente de los obtenidos con las curvas tipo del software, esto debido posiblemente a deficiencias en el ajuste con las curvas tipo.

It dos para el cJcmplo 5.3 usandocl Pansystem Tabla 5.10 Resu a Value 0,0116 Wellbore storage coefficient (bbl/psi) r-------~"'-C?14. Dimensionless wellbore storage Permeability (md) Permeability.thic1mess (mdft) .11 Resultados para cl ejcmplo 5.3 us Tabla 5

i

I

i

®

Tabla 5.8 Calculos para clgrMico de Horner con los puntos finales de la prucba de presion del ejemplo 5.3 lit

liP

(tl'+lIt)!lit

£.it

liP

(tp + lit) !lIt

9,75

758,52

2,57230769

17,5

769,48

1,876

10,25

760,01

2,49560976

18,25

769,99

1,84

10,75

760,75

2,42604651

19

770,73

1,80684211

11,25

761;76

2,36266667

19,75

770,99

1,77620253

11,75

. 762,5

2,30468085

20,5

771,49

1,74780488

12,25

763,51

2,25142857

21,25

772,24

1,72141176

12,75

764,25

2,20235294

22,25

772,74

1,68898876

13,25

765,07

2,15698113

23,25

773,22

1,65935484

13,75

765,5

2,11490909

24,25

773,48

1,63216495

14,5

766,55

2,05724138

25,25

773,99

1,60712871

15,25

767,25

2,0052459

26,25

774,49

1,584

767,99

1,958125

27,25

774,73

1,56256881·

28,5

775,23

1,53789474 i

J

J

Permeability (md) WeUbore storage coefficient (bbl/P'l Dimensionless wellbore storage Skinfactor Match point ­ X .!\fatch point ­ y Curve number Curve value I

.l... "., ..... ,t .T~$~~IVfj

,.'

!

16

16,75 I 768,74 1,91522388 Tabla 5.9 Resultados para el ejemplo 5.3 usando el Pansystem®

.

..:'

...... \

I

\

I

.\

I

ml \ -nl

i

Evaluaeion Permeabilidad(md)

9,3907

Permeability-thiokness (md ft)

Radio de investigaci6n (ft)

1.004,8017 292,8222 0,5278

FIO'w efficiency dP skin (rata constante) (psi)

372,8990

-----+\- I

, \

414·;s:z.l..-r-',

I

\:'

\:

31M3,!.

\:

: I:

\J

I

l-----·--i \

\

\I

, \1 I I

5,755

i Skin factor

Extrapolated pressure (psi a)

789,6673 Radial flaw

Extrapolated pressure (psia)

789,6673

Pressure at dt = 1 hour (psia)

699,1793

I'

Figura 5.20 Tcstovervicw arro!

!

,I ~06

j.

.,

"

','

I1

I'

I

.

\

I.

i'

-.

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos ,

5. Efecto dealmacco'aje y completamicnto parcial:..

arraju el gnifico semilog son similares a los obtenidos en Ia interpretacion inicial usando las figums 5.18 y 5.19 pera difieren apreciablemen:te de los obtenidos con las curvas tipo del software, esto debido posiblemente a deficiencias en el ajuste con las_curva~ ti .. ~ :'~ . 'Thbla ,_...------­ 5.8 r...sl".-I~

""""-

:'8 finales de Ia prucba P

.

(tp+Llt)/At

48

1,876

99

1,84

'3

1,80684211

9

1,77620253

)

1,74780488

Thbla 5.10 Resultados para el ejemplo 5.3 usandoel Pansystem®

Value Wellbore storage coefficient (bbl/psi) 0,0116 Dimensionless wellbore storage 1.095,5634 . Permeability (md) 8,9822 I Permeability-thickness (mdft) 961,0953 Tabla 5.11 Resultados para cl ejemplo 5.3 usando cl Pansystem® lhlue 15,4199 8,5382e-3 807,4961 13,9224 Stage 1 -1,3580 -1,5962 11,0000 1,0000e15

Penneability (md)

lVellbore storage coefficient (bbl/psi)

Dimensionless wellbore storage

Skin/actor

1,72141176

Match point - X

Match point - Y

Curve number

Curve value

1,68898876 1,65935484

1,63216495

1,60712871

:::\\

T••tOvervlew .~

1,584

;

..

, 1,56256881

~

•

;a

•

•

....

• • '* •

'II

'

.

i

I

,

"

I II

',1,53789474 i

".,"

1t

1662

\

i

"• l•,..

:

. i•

\

1~J)61

I,

r 0.S7

r

)

0.00417

I, )

5.£1:1132

, )

I,, i

I

I I I I

I

I

)

11.S305

,

40

!

I

r""(ho,,,)

17.443&

!

9.

0

9

Figura 5.20 Test overview arrojado por el Pansystem® para cl ejemplo 5.3

207

5. Efeeto de almaeenajey complCtamicnto parCiaL.

Evaiuaci6(l, de yacimi~tos de, hidrooarburos

I

Radial Flow PIoI,~'_ _,-_-,-_,...-,,-,-,..,..,.-,---"":--,---,­

790'723~!1-rt-r, --'--'t::;-r-r-_lr"T1 .,-r---'--;"I,'" '!I"" \ 1 1I, I 1 ··-i-l- 1__ ,~, i ./.1.I '-'t-t-t_~, i e32693

I

t··-­ , ~r- -11r11·\..... T1

,II

..

! 1111 I " I i\ I

I

--~b-I~~~

j

I'

T1

I

I i

I I Jillil-N­ r

414M2t-,--!--+-4+++H--'-:-+-+--H~l-+++--+-+++4-++H---4--l-H

I

;

l

".",

·1'...."i'

II . I! !".I II

I

II

'I

Ii

i

I'

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Hili

I

I··'I.!

Ii i j! I

!I!I

II:

II!

jll!

I

II

I,'

II'

lllllill)1

~~!j-I.1-+-1­1++1H---4---t'-+++-: 'I ! l'II",.l!+.:+++---i'-+-H-H-H'f---+-+-H ! II'il ;, '1/11 j

too.&o1

r~~§:~'III ::~::, : I I i

0.51

Ii

II'III""'-Iydng

II !rii",·····!t!

Ij

I

10

I

I

I,'i

,i

.j'.-l-.l-.ll.I!"Il

II

.I

,1000

100 Homer rlm& Function * Tpw15.33

Figura 5.23 Gnifieo de ajuste con cur arrojados por Pansystem® en Ia inter

Figura 5.21 Gr:ifieo de Horner y resultados de la interpretacion arrojados por el Pansystem® para el ejemplo 5.3

..

f~",o)

'03

,l

," "

., ~

i

r:

~

10

0.1 Equtvatenl Time (hours) .. Tp!S.33

.0

Figura 5.22 Curvas tipo y de dlagnostieo (curva de Ia derivada) (log log plot) y resultados de interpretacion arrojados por el Pansystem® para el cjemplo 5.3.

208

i

r

I

EvaluaclQrt de yaclmi~tos de hidrocarbums 5. Efecto de almacenajcy cOrriplctamicnto parcial: .. mmr

63.1"3

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0.1

1000

Figura 5.23 GrMIco de ajustc con curvas tipo y resultados de la Intcrpretacion

arrojados por Pansystcm@ en la Interpretacion del cjemplo 5.3 retacion arrojados por

..

,"

I\?g log plot) y \jcmplo 5.3.

209

~

r'

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

5.4 Referencias Bibliograficas 1. Dake, L.P., "Fundamentals of Reservoir Engineering", Elsevier Scientific Publishimg Company, Amsterdam, The Netherlands, 1978 2. Dake, L.P., "The Practice of the Reservoir Engineering", Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, The Netherlands, 1994 3. Lee, J. "Well Testing", SPE Textbok Series, Richardson, TX, USA 1981 4. Sabet, M. A., "Well Test Analisis", Gulf Publishing Company, Houston, TX, USA;1?91 5. Perez, P. R., "Pruebas de Presi6n en Pozos de Petr6leo y Gas", Doeumento Inedito elaborado en la Universidad Naeional de Colombia - Sede Mede­ llin,1995 6'. Ershaghi, I and Woodbury, J.J. "Examples of Pi tfalls in Well Test Analysis", JPT02/85, Pag. 335. 7. Al-Ghamdi, A.H and Issalm, M.B. "Uncertainties and Challenges of Modern Well Test Interpretation", Paper SPE 71589, 2001. 8. Ramey, H. J.Jr. "Pressure Transient Testing", JPT 07/82, Pag. 1407. 9. Bourdet, D Ayoub, J.A. and Pirard, Y.M "Usc of Pressure Derivative in Well-Test Interpretation", SPEFE 06/89, Pag. 293.

10. Mckinley, R. M. and Streltsova, T.D "Early Time Pressure Build Up AnalYSis for Prudhoe Bay Wells", JPT 02/84, Pag. 301.

I

,!

El analisis de flujo de

g

unfluido ligeramente (; del gas no es constant~ das de presion no son d, que hay normahnente j no Darcy; y 3) a que el t para considerar que (a~

6.1 Tecnica de , la ecuaci6n de fl\ Al Hussainy, Ramey y q

"

como funcion de pseud~,

m(p)=

r p.

2P dP ~

\ \

la cual, como se mostro tl

gases en el capitulo 1, pi\

!,~[r 6 m(p)] = t\>~a a~

rar , ar k at La ecuacion (6.2) no es u, pues 11 y a en el coeficie~ embargo, Ia ecuacion se PI am(p) am(P) aP

--at=-a-pTt

\

\

Yde acuerdo con la definid, o sea que la ecuacion (6.3\

am(p)

2P

aP

\

at=~at\ Ahora, recordando la defil l Pseudoestable se tiene

\

Idv dP dv..l C =-~ dP => Cv dt =- dt ;,

210

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos ------~~----------

5.4 Referencias BibliograJicas _J__n"I,~-

T.-.~--·-

t

f'

'l

,lg", Elscvicr Scicntific ,'s, 1978 :lg", Elsevicr Seientific ,1994 son, TX, USA 1981 )mpany, Houston, TX,

6. Flujo de gas en un medio poroso

Y Gas", Documento

!)

!ombia - Sedc Mede.

EI analisis de flujo de gas en un medio poroso es diferente del aplic.'ldo para Wcll Test Analysis",

I i

hallenges of Modem , i

32, Pag. 1407. i ~surc Dcrivative in 'ressure Build Up

'I.

un fluido ligeramente compresible. Esto se debc a que 1) la compresibilidad

del gas no es constante y depende fuertemente de la presion; 2) las.perdi­ das de prcsion no son debidas unicamente al flujo Darcy, flujo laminar, sino que hay normalmente una componente importante por flujo turbulento 0 no Darcy; y 3) a que el gradiente de presion ap/Or no es tan pequeno como para considerar que (ap/Orf se pueda aproximar a cero; ­

6.1.Tecnica de Ia pseudopresi6n para obtener, Ia e(!llaci6n de flujo de gas en un medio:po'roso AI Hussainy, Ramey y Crawford(6) proponen una transfonnada concicida como funcion de pseudopresion para el gas real, definida como P

m(p) = r 2P dP (6.1) JPb ~ la cual, como se mostro en la deduccion de la ecuacion de difusividad para gases en el capitulo 1, permite Hegar a.

!i.[r om(p)] = $~C dm(P) rdr

dr

k

dt

-(6.2)

La ecuacion (6.2) no es una ecuacion diferenciallineal de segundo orden, pues 11 y C en el coeficiente del termino ilm(p)/at son funcion de P. Sin embargo, la ecuacion se puede linearizar de la siguiente forma

am(p) am(P) aP

--=---

(6.3) at yde acuerdo c~n la definicion de m(P), ecuacion (6.1); ilm(p)/ap=2P/IlZ o sea que la ecuacion (6.3) quedara

at

ap

am(p) 2P fj P --=-­ at

!lZat

(6.4)

Ahora, recordando la definicion de compresibilidad y suponiendo flujo pseudoestable se tiene 1 dv dP dv C=---=>Cv-=--=-q= constante vdP dt dt

6; Flujade gas en un'media porasa Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

dP =_...9..= q dt Cv C1tr;hq,

y llevando Ia ecuacion (6.5) ala (6.4), se tiene

am(p) 2P q

a t =- IlZ C1tr;hq,

y llevando esta ultima expresion a la ecuaeion (6.2), se tiene

(6.5)

_

2

(6.6)

el v~lor Pq/Z se puede reemplazar de aeuerdo con la ecuaeion de estado de los ,gases' ' , '

i

p ') T =Pscqsc~ ( " sc

y llevando esta expresion a la eeuaeion (6.6) se tiene

,7tkhr;

r a m(P) __2_ Psc qsc T..c + C ar ,. n~ Tsc 2 y Ia constante de integraeion C1 se puede obtener aplieando Ia eondieion :',

,212

m(p)=

Ire dv

r"

= n(r;-r;)h

r..

Jrdrm(p)

2

2)

1th(r. -rw

2 2) ~ r2 e y suponiendo que (re -rw . e "

p::: ~ I'~ rdr r

rw

m(p) \

l

y re~mplaiando m(P) de Ia eeu,

_

[! _.:!...] ~[lr (! -~Jdr]

T , ar Tsc 1tkh r re2

yIn eeuaeion (6.8) se puede integrar finalmente

a m(p)= Psc qsc P..r Tsc, nkh r" r r;

1

Jm(P) 2mhdr

J m(Pwf) +--;::Pscqsc T ;kh sc

I

2 r• Psc qsc m(P)-m(Pwf)=r;'" Tsc

o sea que

- Psc qsc T

C1 ­ Tsc 1tkh

quedando finalmente

'r

Pscqsc lns:-1 Tsc nkhL ~~

m(p)dv

re

r.

am(p)= Psc qsc

_r

2 m(p) = "2

r

,,0 m(p)) =0

or

..-!-f

= 21th

'

ar •

rw 1

Es mas comun tener Ia ecuaClOn l sigue el mismo proeedimiento q,

(6.7) r ar ar . Tsc La eeuaeion (6.7) es una eeuacion difereneiallineal, pues eI tennino de Ia dereeha es constante, si se dene en euenta que eI comp'ortamiento del yacimiento es isotennieoj portanto, se puede proeeder a integrar

de que en ro aP) =0

L1n-­ r

I

ecuaeion similar a la obtenida pa, compresibles. , .1 Cuando la ecuacion (6.9) se apb~ m(Pe)=m(Pwf)+

!~[r am(P)J= _ _2_ Pscqsc T

ypor tanto

Psc q sc _T

.

e

a[ra m(p)]=..:._2_'Psc qsc Trdr . ar 1cklu-; Tsc

r

m(Pr):::m(PWf)+~ nkh

-- 1tkhr 2 Z ,

,

~0

2r2 y;e tiene final mente

q,IlC 2P q

a r K J.LZ C1tr;hq,

Pq

2

I

2!'-

.!~[r am(p)] :r a r

L

am(P) =Pscqsc T

r2 - T 1n':!"'----znkh rw 2re PM sc

. ndo que r Ir es un valOl

y supome \\ 0 r P,

,< '

_!. Psc -

r

l

qsc

'"

~sc

1

"4

.1:-J(rln~- r3 2}· 1Ckh rw 2re I

y ~omo ~a se vio en el easo de \; (6.8)

j

la integral se dene 3

, l

l

r r -=-=- ~.1~

In • r _.:!...- dr = 2 l 2 rw [r,. ( rlnrw re

I

~portnnto

.

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos •

dP

dt =: -

q Cv

I

6; Flujode gas eil un'mcdio p()roso

q =:

Cnr;hq,

(6.S)

y llevnndo la ecuncion (6.5) n In (6.4), se ti~ne m(P) _ 2P - ' ,

~[In.2:..-~+ r; ] 1om(p)= Pscqsc Tsc 1tkh rw 2re2 2r; F,

p....

a

rit

"

ysuponiendo que rv/rc es un valor muypequeiioentonces

-

2

1

rw --70 2r2e y setiene finalmente

(6.2), se tiene

(6.6) n Ia ecuacion de estado de I

Pscqsc T [ I n r - -r2] m(Pr)=m(Pwf)+--(6.9) ' Tsc 1tkh rw 2re2 ecuacion similar a Ia obtenida para el c.'lS0 de flujo de fluidos ligeramente compresibles. ' Cuando la ecuacion (6.9) se aplica en el limite exterior del yacimiento'

[In

ro)_ -m(Pwe ) + Pscqsc

re' -T - -1] (6.9a) Tsc 1tkh rw 2 Es mas comiin tener In ecuacion de flujo en terminos de P, y para ello se sigue el mismo procedimiento que en el cnso delfquidos, 0 sea

m\~e

\ i

ene I

(6.7)

r .. ,r:

m(P)dv m(p) =~w:....-_ _ d;­ _

'~aI, pues el termino de

'II comportamiento del I

~der a

I

Jm(p) 2mhdr 1t(r;-r;)h

I

Jrdrm(p)

integrar :

= 27th ...:----=----=­

7th(r;- r;)

ysuponiendo que (r;-r;) ~

p =~ rr: rdr m(p)

i

!

r; entonces

I

icando la condici6n

'\

I

r2e Jrw . ," , , y reemplnznndo m(P) de Ia ecuacion (6.9) en la expresion anterior

I

2 m(p)=Zre

J[m(pwe)+--Pscqsc T ( 1n--r r2) rdr] Tsc

" ,

"j

,

m(p) - m(pwI) =

~f

re

r..

Tsc

1tkh

rw

2re2

L)

~(ln..!... 7tkh rw 2re2

rdr

=~ Psc

qsc ~J(rIn.2:..-~)dr Tsc 1tkh rw 2 r; y como ya se Yio en el caso de fluido ligeramente compresibIe,al realfz~r Ia integral tiene " I.

r;

(6.8)

I

se

r[rIn.2:..-~) dr rw 2 re2 y, por tanto fw

=

r:2 [In.!!..~] rw 4

'213

, 6; Flujo de gas en un'medio poroso

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

m(P)-m(Pwf):::: Pseqse ~e

,

~(ln~-~) n~

~

(6.10)

4

Las ecuaciones (6.9) y (6.10) usando unidades pnicticas, m(P) en Ipe2/ cp, k en mD, qsc en KPCN/D y h en pies, y suponiendo sc = 14,7 Lpe y Tsc = 520 oR, quedan 2 m(P) - m(P ) Ipea l(ae):::: P. {lpe)lat 147 (KPC) 1.000PCN (30,48Y C.O r wf {l4,7i se 14,71pe ,qse 1KPCN, 1PC

r

x

1D T('R)ln[~-~l/[520'Rn k(md) 1D h (PieS)30,48em] 86.400S rw 2r; ,1000md Ipie

!i.(r OP2):::: ~c~ ap2

m(P )_m(P r)::::(14,7)2 lxl0 (30,48)2 qscT[lns...-~l w r 520 x 86.400 1t kh rw 2 r; 6

::::1.422 '

r ar·

T [In"'£"kh r w 2r2e

k

qsc T [ In--re 3] m(P)-m(Pwf)::::1.422-­ ,C6.10a) kh rw 4 Para aplicar la ecuacion (6.10a), bien sea para calcular la tasa de flujo qsc conociendo Pwf y P, 0 Pwf conociendo qsc y P, se requiere tener un grafico de m(p) por P, el cual se puedeobtener de la siguiente manera: 1.' Se calculan a diferentes presiones ~ y Z para el gas. 2. Se elabora,un grafico, 0 una tabla de 2P/~Z por P. 3., Para un valor de P dado, m(P) es, de acuerdo con la ecuacion (6.1), el area bajo la curva 2P/~Z por P entre Pb y P Y se obtiene dividiendo el intervalo (P-Pb) en n incrementos ~P de igual amplitud yaplicando In regIa de Simpson para encontrar el area bajo la curva, la cual se puede plantear con la expresion m(p)::::L\P [(2PJ 2

~Z

b

+2~(2PJ +(2PJ ~Z ~Z 1=1

1

n

1

~p2J:b :::: (p2 - P; ~

ot,

k

at

. (6.12)

r or

or

!~(r oP) :::: p,C oP

ot

2 $C~ Op2 =.!.~(r oP ) k ot r or or Usando las anteriores ecuaciones, Y aplicado con la ecuacion (6.2) para es posible obtener ecuaciones de fl tanto para gases ideales como reale~ para gases ideales y, en ambos cas or c =liP. La ecuacion (1.55a) .su , P g dependen de la presion, la ecuaclO que ($~/k)es constante. Las ecuale reales y para eHas

r or

or

k

J

1

(6.11)

Algunas veces se acostumbra tomar (;L/Z) como constante al aplicar la definicion de pseudopresion y, por tanto, se tendra de la definicion (6.1) m(P)::::

or·

$~e~ oP :::: .!.~(r oP)

~l

qsc

., ro Z disminuye y, por tanto, el producto viseosidad aumenta con la preslOn pe . nes mayo res Z Y ~ aumentail "'d onstante' para preslO ., flZse puede conSl erar c '. terminos de pseudopreslO n . con la presion y se deben ~sa~ ecua~lO::::I~ula para la' presio~ promedio En la ecuacion (6.13) el termlllO (~). ara calculafP 1 se necesitara -P Y P Y por tanto, cuando se reqUlera p ' \\ . entre \\1' ,

r un proceso ~e, ensayo yerro . e ara el caso de flujo radial de gas,

Finalmente, es bu~~o rec~rda;vid~d ~ada en terminos de la flincion pseu­

ademas de la ecuaclOn.de dlfU(S 39)' (62) tambienexisten las ec,;!acio nes

dopresion en las ecuaClOnes d1.fCI ~de~ly'las ecuaciones (1.58a) y (1.58b)

. (1.55a) y (1.55b) para el caso e bas 1 para el c'aso de un ,gas real . r

1 oZ

c =.-:--­ g p Z oP las ecuaciones (1.58) suponen q (1.58~) supone que las propiedad

la (1.58b) S1.

y teniendo en cuenta esto, las ecuaciones para flujo pseudoestable, ecua­ cion (6.10a) sera

'6.2 Inclusion del da~

rp2._ P!)= 1.422 qse(~)T[ln~-~l ~ , ,~ rw 4

de flujo de gas

(6.13)

Las ecuaciones en terminos de p2 son aplicables cuando se trata de pre­ siones menores de unas 2.000 Lpc, pues en este intervalo de presion la .214

I

Para que las ecuaciones (6'~9 deben inc1uir el factor de dan9 parentesis derecho de las llle~

Evaluaci6n de yacimientos de hidrocarburos

.6. Flujo de gas en un'medio poroso

Pscqsc T ( r 3) n1 (-P) -m(P) wi = - - - - In~-.. ~c n~ ~ 4

Las ecuaciones (6.9)~X (6.101 cp, It: en mD,o~ > Co' el producto (~C)i' gene­ ralmente resulta unas dos 0 tres veces menor en el caso de gas que en el caso de petroleo. Estohace que el coeficiente de difusividad h:/~~C para el gas en un yacimiento dado sea mayor que para el petroleo en el.mismo yacimiento y, por tanto, que el tiempo requerido para pasar del perfodo transiente al pseudoestable sea mas corto para el gas que para el petro­ leo; esto aun es mas cierto cuando h: es un valor grande. Sin embargo, es

223

6: Fluja de gas cnun media paro!:

·Evaluaci6n de yacimientos de ,hidrocarburos

comun asociar a los yacimientos de ga,s con permeabilidades muy bajas; para estos casos Ia duraci6n del perfodo transiente puede ser similar a la duraci6n del transiente ,en yacimientos de petr6leo; esta situaci6n haec que mientras en los vacimientos de petr61eo es comun aplicar la soluci6n del perfodo transiente en la interpretaci6n de pruebas de' presi6n, en los yacimientos de gas es comun apHcar la soluci6n del periodo pseudoestable.

p2') or q . en papel log log es wf p, sc . una r~cta de pendiente lin (vease f.gura 6.2). ,; ,

6.5 Pruebas de- presion en un pozo. de gas(1),(2),(8) Las pruebas de presi6n en un pozo de gas se clasifican en dos tipos: prue· bas de potencial y pruebas de presi6n propiamente dichas. Laspruebas de potencial tienen como objetivo fundamental encontrar la maxima tasa de producci6n del pozo, conocida como AOF (Abs