UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE MATEMATICAS PLAN DE ESTUDIOS ASIGNATURA : GEOMETRIA EUCLIDEA CÓDIGO : 8104645 SEMESTRE : III PRE-REQUISITOS: Geometría Elemental Créditos: 3 FECHA DE ULTIMA REVISIÓN: FEBRERO 2006 1. JUSTIFICACIÓN Tradicionalmente el aprendizaje de la geometría ha estado enmarcado en una metodología de tipo algorítmico, en la cual se introducen conceptos fundamentales como puntos, rectas, segmentos, planos, semiplanos, figuras geométricas en el plano y el espacio, trazado y construcción, empleando el método axiomático-deductivo para estructurar los conceptos enfatizando la formulación de relaciones estrictamente demostradas. Con el movimiento de la llamada “Matemática Moderna” se pretendió dar un cambio de rumbo en la educación matemática, basada en la concepción estructuralista. Según Vasco (Vasco,1994), el grito de “muerte a Euclides”, lanzado por Dieudonné, en una célebre arenga en el coloquio de Royaumont en 1959, retumbó en todo el mundo, llegando al extremo de eliminar la geometría como curso paralelo al álgebra, para dejarla relegada en la parte final de los programas y por supuesto, nunca se alcanzaba a desarrollar. La promesa hecha por Dieudonné de escribir un libro de geometría sin un solo dibujo, la cumplió diez años después al publicar su libro Álgebra Lineal y Geometría Elemental, creación rica en contenido geométrico formal, empleando el método axiomático deductivo, a partir de nociones o definiciones, proposiciones y teoremas de innegable importancia, demostrados en forma elegante y rigurosa. La corriente Bourbakista generó un clima de rigurosidad y abstracción. Afortunadamente el rumbo tomado por la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en el país en las ultimas dos décadas, y en especial de la geometría, está determinado por el desarrollo permanente de las corrientes teóricas de la pedagogía, los planteamientos de algunas comunidades académicas desde las universidades e instituciones educativas y en menor escala, los escasos trabajos en educación matemática propuestos por docentes, en forma aislada, tratando problemas particulares. En este curso se pretende desarrollar el pensamiento geométrico trabajando los sistemas y las estructuras de la geometría euclidiana. A partir de la presentación de los conceptos geométricos en un sistema axiomático deductivo, se consolidan los saberes útiles para el descubrimiento y la solución de problemas geométricos. 2. OBJETIVOS GENERALES Desarrollar el pensamiento geométrico para el manejo del plano y el espacio, mediante la construcción axiomático-deductiva de conceptos de Geometría Euclidea, resolviendo heurísticamente problemas geométricos abiertos e incorporando la Geometría Dinámica en el campo de las representaciones gráficas.

3. OBJETIVOS ESPECIFICOS

Construir y recopilar en un sistema axiomático deductivo los elementos teóricos de Geometría Euclideana con enfoques sintético y analítico, necesarios para abordar la solución de problemas heurísticos en geometría. Analizar los Elementos de Euclides, como contexto histórico de la evolución de los conceptos geométricos de la Geometría Euclidiana. Desarrollar en el alumno la capacidad de realizar demostraciones geométricas argumentando sus deducciones e inferencias por medio de definiciones, postulados y teoremas. Construir las nociones de punto, recta, plano, polígonos y sus clases, círculo y circunferencia, para establecer relaciones de congruencia, paralelismo y perpendicularidad entre algunas de ellas y caracterizar transformaciones como traslaciones, homotecias, rotaciones y simetrías. Resolver problemas geométricos utilizando elementos y teoremas relacionados con la circunferencia. Emplear las nociones básicas de proporcionalidad y semejanza en la solución de problemas geométricos. Resolver problemas geométricos de perímetros, áreas de regiones planas y volúmenes de sólidos, usando las fórmulas dadas y las nociones deducibles de las métricas en el espacio. Hacer construcciones en ambientes de Geometría Dinámica, como Cabri o Sketchpad, para explorar diversos sistemas de representación de teoremas geométricos clásicos y problemas de modelación geométrica, como una opción para verificarlos. Resolver problemas de tipo heurístico, que relacionen el pensamiento geométrico, numérico y analítico que impliquen el uso de conceptos de geometría euclidiana, sus métodos y algoritmos, con ayuda de programas interactivos de geometría dinámica. 4. HABILIDADES Desarrolla la comprensión lectora, mediante el razonamiento, el análisis, la visualización, la construcción y la reflexión para interpretar diversos modelos en términos geométricos Modela matemáticamente problemas de geometría euclidiana y de las transformaciones. Identifica las diferentes maneras de obtener información geométrica de objetos y sus representaciones,. Desarrolla el pensamiento analítico, numérico y geométrico mediante la solución a los diferentes problemas planteados. Deduce las ventajas y desventajas de aplicar los diversos algoritmos y métodos de demostración a la solución de problemas geométricos. Manipula las aplicaciones computacionales de la geometría dinámica en la representación de objetos geométricos y sus transformaciones. 5. COMPETENCIAS Desarrolla el pensamiento geométrico, analítico y numérico especialmente los procesos de pensamiento matemático: particularizar, conjeturar, generalizar y convencer. Identifica y analiza los diferentes enfoques para el planteamiento y resolución de problemas geométricos, enfatizando su representación en el plano y espacio. Desarrolla las competencias comunicativas (hablar, leer, escuchar, escribir) mediante la interacción con el grupo.

Plantea y resuelve problemas geométricos en donde subyacen estructuras geométricas conceptos, relaciones y transformaciones con diversos métodos de la Geometría Euclideana.

y se usan

6. CONTENIDO SINTÉTICO UNIDAD I. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. UNIDAD II. CONCEPTOS GEOMETRICOS. UNIDAD III. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. UNIDAD IV. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. UNIDAD V. REGIONES POLIGONALES Y SUS AREAS. UNIDAD VI. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. UNIDAD VII. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. UNIDAD VIII. SÓLIDOS Y SUS VOLÚMENES. UNIDAD IX. GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO. UNIDAD X. COLINEALIDAD Y CONCURRENCIA. UNIDAD XI. TRANSFORMACIONES. 7. EVALUACIONES

Primer Parcial

Prueba de conocimiento teórico. Investigación . Talleres y tareas.

30 % 10 % 10 %

Segundo Parcial

Prueba de conocimiento teórico. Investigación Talleres y tareas

30 % 10 % 10 %

8. ESTRATEGIA METODOLOGICA

El curso se desarrollará con base en las siguientes actividades: - Lectura Previa. - Plenarias - Lecturas complementarias. - Desarrollo de talleres con discusión de ejercicios. - trabajos de consulta vía biblioteca e INTERNET. - Manejo de una herramienta informática - Trabajo dirigido Lectura Previa Antes de todo trabajo de clase, el estudiante debe realizar una lectura previa, tratando de comprender, razonar y ejemplificar los contenidos, con ello tendrá una base de discusión para la clase. Plenarias. Son clases en las cuales hay necesidad de una puesta en común de los conceptos, sistemas y estructuras geometricas se aclaran los concepciones, enfoques y posiciones teóricas. Lecturas Complementarias. Las debe realizar el estudiante para profundizar las temáticas de clase, adicionalmente desarrolla la capacidad de consulta, ya sea en medios escritos o informáticos. Desarrollo de talleres con discusión de ejercicios En cada semana de trabajo y bajo la supervisión directa del profesor, se desarrolla un taller de ejercicios, a través del cual se soluciona un conjunto de problemas de aplicación a la temática respectiva de clase. Los estudiantes en grupos de trabajo plantearan las soluciones encontradas y se harán las revisiones pertinentes. Trabajos de consulta vía biblioteca e INTERNET La profundización de ciertos temas de interés relacionados con la asignatura, se llevara a cabo recurriendo a los servicios de las bibliotecas de la institución y a INTERNET(recurso disponible en las salas de informática o biblioteca). Manejo de una herramienta informática Se busca el estudiante entre en contacto con la geometría dinámica, teniendo como objetivo utilizar los medios informáticos para profundizar y facilitar la comprensión y representación de las temáticas matemáticas. Trabajos dirigidos Son aquellos que se desarrollan en presencia del docente y en los cuales entre otras muchas actividades se realizan las siguientes: Socialización de lecturas y talleres, negociación de significados y las lecturas orientadas.

9. CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD I. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. La geometría primitiva. La naturaleza empírica de la geometría Helénica.

La contribución griega de la axiomática. Elementos de Euclides. Primeros principios de Euclides y enunciados de las proposiciones del libro I. Los postulados de Hilbert para la Geometría Euclideana plana. UNIDAD II. CONCEPTOS GEOMETRICOS. Rectas, segmentos, rayos Ángulos y Rectas perpendiculares. Tipos de Triángulos. Problemas. UNIDAD III. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. Los axiomas de congruencia. Clasificación de triángulos. Líneas notables del triángulo. Axiomas de desigualdad. Problemas. UNIDAD IV. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. Ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Problemas. UNIDAD V. REGIONES POLIGONALES Y SUS AREAS Clasificación de cuadriláteros. Propiedades de los paralelogramos. Problemas. UNIDAD VI. PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. Semejanza de triángulos. Segmentos proporcionales. Criterios de semejanza en el triángulo. Problemas. UNIDAD VII. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. Axiomas de la circunferencia. Radios y cuerdas. Tangentes y secantes. Problemas. UNIDAD VIII. SÓLIDOS Y SUS VOLÚMENES Prismas y pirámides. Volúmenes de prismas, pirámides, y conos. Volumen de la esfera. Áreas laterales de sólidos. Problemas. UNIDAD IX. GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO. Concurrencias de medianas, mediatrices, bisectrices y alturas. Línea de Euler y teoremas relativos. Problemas. UNIDAD X. COLINEALIDAD Y CONCURRENCIA. Teoremas de Ceva, Menelao, Papus y Pascal. Dualidad. Problemas. UNIDAD XI. TRANSFORMACIONES. Traslaciones, reflexiones, rotaciones y homotecias. Problemas.

10. RECURSOS

Recursos Didácticos

Libros de textos, según la bibliografía disponible en las diferentes bibliotecas de la UPTC, paquetes matemáticos Cabri Geometra, Sketchpad

Recursos Técnicos

Retroproyector, computadoras de la salas de informática, proyector de diapositivas, vídeo beam.

Otros Recursos

Red de Internet (salas de informática) Laboratorio de computadores, software y lenguajes de programación.

11. BIBLIOGRAFÍA GEOMETRÍA ELEMENTAL DESDE UN PUNTO DE VISTA AVANZADO. Edwin Moise, CECSA, México, 1968.

Texto Guía

NOTAS DE GEOMETRÍA, Maria Victoria Gutiérrez, Universidad. Nacional de Colombia, Bogotá 1992. ESTUDIO DE LAS GEOMETRÍAS, Howard. Eves, Tomo 1, UTEHA, México, 1969. LECCIONES DE ALGEBRA Y GEOMETRIA, Claudi Alsina-E. Trilla, Editorial Gustavo Gili S.A., Barcelona, 1984. Textos Complementarios

GEOMETRÍA MODERNA. Edwin Moise, F. L. Downs. Fondo de Cultura Interamericano. Segunda edición. Mexico, 1998. FAMOUS PROBLEMS OF GEOMETRY AND HOW TO SOLVE THEM, Bold, Brian; Dover Publications, New York, 1982. HEURISTICA GEOMETRICA Problemas seleccionados, Mexico 2003.

El profesor indicará las correspondientes direcciones o dará las instrucciones necesarias para la ubicación de los temas de consulta. Direcciones de Internet

Elaboró:

Publio Suárez Sotomonte Profesor de Matemáticas UPTC Aprobó Comité Curricular

Entre otros se consultan: Euclid’s Elements. Texas, Cabri Geometry II Plus. Sketchpad. Geometry, Open Problems.