Nivelamento Geomé Geométrico Material: Nível + 2 Miras Desnível: medição directa, resultante da diferença de “nível” observado nas miras colocadas verticalmente nos dois pontos, pela intersecção do plano horizontal de visada (plano de colimação perpendicular à vertical do lugar e tangente ao cruzamento dos fios do retículo).

l' a la 0

l' b lb 0

E'

E B D/2

A

D/2

D

Topografia – Nivelamento Geom étrico

C. Antunes - FCUL

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Nivelamento Geomé Geométrico

l' a la

l' b l b0

E' 0

E B A

D/2

D/2

D

H A = H E' − l 'a H B = H E ' − l 'b

⇒

Se DAE = DEB então Dados

HA, HB,

Topografia – Nivelamento Geom étrico

∆H AB = l 'a − l'b = (l a 0 + e a ) − ( l b0 + e b )

ea = eb e

∆ H AB = l a0 − lb 0

HB =HA + ∆HAB HA=HB + ∆HBA C. Antunes - FCUL

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1

Precisão e Fontes de Erro Precisão

ERRO RELATIVO

NIVEIS (Ex.)

RÉGUAS

MEIA DIST.

Alta

0,1mm/100m (1ppm)

Wild N3

milim étrica Dupla Esc./Invar

1%

Média

1mm/100m (10ppm)

Leica NA2 Zeiss DiNi

Centrim étrica Madeira/Plást.

10%

Baixa

1cm/100m (100ppm)

Fontes de Erro: NÍVEL ------------------------------MIRAS ------------------------------OBSERVADOR -------------------EXTERNOS -------------------------

Colimação M á graduação Leitura/Calagem Refracção

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Monumentaçção dos pontos Monumenta

Moedas

Pistons

Topografia – Nivelamento Geom étrico

Estacas

Sapatas

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2

Transporte de Cotas Redes e Linhas de Nivelamento apoiadas em marcas de nivelamento (NP) pertencentes a uma rede fiducial (rede de nivelamento nacional).

∆H 5

∆H 4 ∆H 3

N2

∆H 2

∆H 1

P4 P3 P2

P1 N1

Perfil de uma linha de nivelamento

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Erro de Fecho de uma Linha de Nivelamento As Linhas de Nivelamento abrem e fecham nas marcas de nivelamento (marcas de apoio). Os erros acumulados ao longo da linha impedem que a cota transportada até à marca final não coincida com o valor de chegada. Hi, Hf - cotas inicial e final verdadeiras H ' f = H i + ∑ ∆H j - cota transportada (eivada de erros de observação) j

Erro de fecho da linha de nivelamento ε H = H 'f − H f ε H = Hi + ∑ ∆H 'j − H f j

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Precisão dos Desní Desníveis Considerem-se apenas os erros de leitura (el ) e calagem (ec)

ec

e

e

frt

retg

Para o erro de calagem

e ret = e c

D 2

e ret = e l

D 2

e frt = e c

D 2

e Analogamente, para o erro de leitura

e frt = e l

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D 2

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Precisão dos Desní Desníveis Supondo que os erros são independentes para as duas pontarias, tem-se em termos de variância do desnível:

(σ

σ 2∆H =

2 l

+ σ 2c ) 2

D 2 ⇔ σ 2∆ H = KD 2

onde K=

(σ

2 l

Topografia – Nivelamento Geom étrico

+ σ 2c ) - constante do aparelho 2

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Tolerância do Erro de Fecho ε H = ∑ ∆H 'j

• Para Linhas Fechadas:

j

Por aplicação da Lei Geral de Propagação das Variâncias e Covariâncias, vem como Variância do erro de fecho

σ 2ε H =

∑σ j

2 ∆H j

= k ∑ D2j j

O raio do intervalo de confiança (a 99%) determina a Tolerância do Erro de Fecho

∑D

ε H ≤ 2.6 K

2 j

j

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Tolerância do Erro de Fecho • Para Linhas Abertas:

ε H = H i + ∑ ∆H 'j − H f j

Variância do erro de fecho

σε2H = ∑ σ 2∆H j + σ 2Hi + σ 2H f = k ∑ D 2j + 2σ 2H i H f j

Tolerância do Erro de Fecho

j

2 ε H ≤ 2 .6 K ∑ D 2j + 2σ HfHi j

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Tolerância do Erro de Fecho Para os aparelhos disponíveis na F.C.U.L., os valores da constante do aparelho são: - alta precisão (N3)

K =0”.5/206265”

- média -alta precisão (NA2 c/ micro.)

K =1”/206265”

- média precisão (NA2 s/ micro.)

K =4”.5/206265”

Outro critério de Tolerância (norma utilizada) - alta precisão

ε H ( mm) ≤ 4 L( Km)

- média precisão

ε H ( mm ) ≤ 8.3 L(Km )

com L=Σ Dj

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Compensaçção do Nivelamento Compensa Distribuição do Erro de Fecho pelos desníveis observados ε H = H i + ∑ ∆H 'j − H f

H f = H i + ∑ ∆H j

e

j

logo

j

j

Com

(

ε H = ∑ ∆H 'j − ∑ ∆H j = ∑ ∆H 'j − ∆H j j

ε H = −∑ ε j

j

vem

j

Desní vel corrigido (“verdadeiro”): Topografia – Nivelamento Geom étrico

)

ε j = ∆H j − ∆H 'j

∆ H j = ∆H ' j + ε j C. Antunes - FCUL

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Compensaçção do Nivelamento Compensa Método da Distribuição Proporcional do Erro de Fecho εH =

Considere-se a seguinte identidade 1

escrevendo-a da seguinte forma

εH =

∑

∑ 1p ∑ 1p

p1 εH + 1 pk

k

1

∑

εH

k

p2 ε H +L+ 1 pk

1

∑

pn εH 1 pk

obtém-se para correcção dos desní veis 1 εj =

pj

∑ 1p k

Com o critério

pj =

(−ε H ) k

1 σ ∆ Hj 2

=

1

εj = −

vem

2

KD j

D2j

∑D

2 k

εH

k

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Valores Compensados Valor de desní vel compensado para o lanço j ∆H j = ∆ H 'j −

D 2j

εH

n

∑D k =1

2 k

Valor de cota compensada para o ponto j j

j

H j = H i + ∑ ∆H − k =1

' K

∑D

2 k

∑D

2 k

k =1 n k =1

Topografia – Nivelamento Geom étrico

εH

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Compensaçção Clá Compensa Clássica Método da Distribuição Simples do erro de fecho pelos desníveis ∆H j = ∆H 'j −

εH n

j j H j = H i + ∑ ∆H 'k − ε H n k =1

e

Nota:

j

Se

Dj

j =1,n

→ d ( Cte )

∑D

2 k

∑D

2 k

k =1 n

então

k =1

→

j n

Isto é, o método de distribuição proporcional aproxima-se do método de distribuição simples. Topografia – Nivelamento Geom étrico

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Folha de Cá C álculo V.Atrás

V.Frente

F.Inf.

F.Méd.

F.Sup.

Dist.

F.Inf.

F.Méd .

F.Sup.

Dist.

P1-P2

fi1

l a1

fs1

D 1/2

fi1

l f1

fs1

D 1/2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Pn-Pn+1

fin

l an

fsn

D n/2

fin

l fn

fsn

D n/2

∆H’ = l a - lf

D = 100 . (fs - fi) Desnível Obser.

Distância (D)

Invers.Peso (D2)

Correcção ( εj)

Desnív. Compen.

∆H’1

D1

1/P 1

ε1

∆H1=∆H’ 1+ε1

...

...

...

...

...

∆H’n

Dn

1/P n

εn

∆Hn=∆H’ n+εn

ε’ H=Σ∆H k

DT=ΣD k

Σ1/P

-εH=ΣεI

H i +Σ∆Hk - H f = 0

εH=Hi+ε’ H -Hf Topografia – Nivelamento Geom étrico

ε T = 2.6 K Σ1 / P

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Folha de Cá C álculo V.Atrás

V.Frente

F.Inf.

F.Méd.

F.Sup.

Dist.

F.Inf.

F.Méd.

F.Sup.

Dist.

P1-P2

fi1

l a1

fs1

D 1/2

fi1

l f1

fs1

D 1/2

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Pn-Pn+1

fin

l an

fsn

D n/2

fin

l fn

fsn

D n/2

∆H’ = l a - lf

D = 100 . (fs - fi) Desnível Obser.

Distância (D)

Invers.Peso (D2)

Correcção ( εj)

Desnív. Compen.

∆H’1

D1

1/P 1

ε1

∆H1=∆H’ 1+ε1

...

...

...

...

...

∆H’n

Dn

1/P n

εn

∆Hn=∆H’ n+εn

ε’ H=Σ∆H k

DT

Σ1/P

-εH=ΣεI

H i +Σ∆Hk - H f = 0

ε T = 2.6 K Σ1 / P

εH=Hi+ε’ H -Hf Topografia – Nivelamento Geom étrico

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Folha de Cá C álculo a) pelo método apresentado Lado C1-E1 E1-E2 E2-P P-E3 E3-C2 Erro Fecho

L.A. 0,911 1,052 2,156 1,107 1,118

L.F. Desn.Obs Dist 1/Peso Correccão 3,084 -2,173 102,5 0,1021698 -0,0015 3,481 -2,429 188,9 0,3470074 -0,0052 1,371 0,785 93,2 0,0844708 -0,0013 2,754 -1,647 41,6 0,0168291 -0,0003 2,093 -0,975 215,0 0,4495228 -0,0067 -6,439 102831,26 -0,0150 0,015 0,02

b) pelo método clássico Lado C1-E1 E1-E2 E2-P P-E3 E3-C2 Erro Fecho

Desn.Obs -2,173 -2,429 0,785 -1,647 -0,975 -6,439 0,015

Topografia – Nivelamento Geom étrico

Correccão -0,0030 -0,0030 -0,0030 -0,0030 -0,0030 -0,0150

Cota C1= 207,825 Cota C2= 201,371 Des.Corr Cota Comp. -2,1745 205,650 -2,4342 203,216 0,7837 204,000 -1,6473 202,353 -0,9817 201,371 -6,454 0,000

Cota C1= 207,825 Cota C2= 201,371 Des.Corr Cota Comp. -2,1760 205,649 -2,4320 203,217 0,7820 203,999 -1,6500 202,349 -0,9780 201,371 -6,454 0,000 C. Antunes - FCUL

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