Kontinuumsmechanik - Prof. Popov - WS 09/10 Aufgabenkatalog Kontinuumsmechanik

Seite 1 5. Oktober 2009

Auf den folgenden Seiten ist der Aufgabenkatalog f¨ ur Kontinuumsmechanik abgedruckt, aus dem je¨ de Woche Aufgaben f¨ ur die Große Ubung, die Tutorien und das eigenst¨ andige Arbeiten ausgew¨ ahlt werden. L¨ osungen zu den Tutoriums- und Hausaufgaben werden ungef¨ ahr eine Woche nach Bearbeitung ver¨ offentlicht. Leider schleichen sich manchmal in die ver¨ offentlichten L¨ osungen Fehler ein. Wir bem¨ uhen uns, diese m¨ oglichst z¨ ugig zu beseitigen. Jeder Student ist aber in erster Linie selbst verantwortlich. Darum selbst¨ andig rechnen! Wer gerne noch mehr Aufgaben (mit Musterl¨ osungen) rechnen m¨ ochte, sei auf die breite Auswahl an Aufgabenb¨ uchern verwiesen. Die Aufgaben werden nicht notwendigerweise in der Reihenfolge des Katalogs abgearbeitet.

Inhaltsverzeichnis 1 Kontinuumsschwingungen

2

1.1

Wellengleichung, Ansatz von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Ansatz von Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Grundlagen der Hydromechanik

22

2.1

Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2

Bernoullische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3

Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4

Reibungsbehaftete Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Literatur [1] Gross, Dietmar, Werner Hauger, Walter Schnell und Peter Wriggers: Technische Mechanik, Band 4 Hydromechanik, Elemente der H¨ oheren Mechanik, Numerische Methoden. Springer, 2. Auflage, 1995. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh381. [2] Gummert, Peter und Karl-August Reckling: Mechanik. Vieweg, 2. Auflage, 1987. In der Lehrbuchsammlung: 5Lh296. [3] Gummert, Peter und Karl-August Reckling: Mechanik. Science Publications, Hamburg, ¨ vierte Auflage, 2000. (Altere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh296. [4] Schnell, Walter, Dietmar Gross und Werner Hauger: Technische Mechanik, Band 2 Elastostatik. Springer, 6. Auflage, 1998. (Neuere Ausgabe) in der Lehrbuchsammlung: 5Lh379.

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Kontinuumsschwingungen

1.1

Wellengleichung, Ansatz von d’Alembert

1. (a) Gegeben sei eine Funktion f (t, x) = a cos(x + ct). Bestimme die partiellen Ableitungen ∂f , ∂t

∂f , ∂x

∂2f , ∂t2

∂2f , ∂t∂x 2

∂2f , ∂x∂t

∂2f ! ∂x2

2

(b) Gegeben sei eine Funktion w(x, y) = aex −y , mit x = sin y. Berechne die folgenden Ableitungen: ∂w ∂w dw , , ! ∂x ∂y dy 2. (a) Bestimme die partiellen Ableitungen

∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f ∂2f ∂2f ∂t , ∂x , ∂t2 , ∂t∂x , ∂x∂t , ∂x2

der Funktion

√ f (x, t) = 2t kx + ωt (b) Bestimme f¨ ur den Fall, daß x = v0 t ist, die Ableitung df dt einmal durch Einsetzen von x = v0 t in f und anschließendes Ableiten nach t und einmal durch Anwenden der Formel df ∂f ∂f ∂x = + dt ∂t ∂x ∂t (c) F¨ ur die Koordinaten u und v beschreibe die Funktion guv eine Feldgr¨ oße G: (u, v) → guv (u, v) := u2 + πv 3 Das gleiche Feld G wird f¨ ur die Koordinaten x und y beschrieben durch die (bisher nicht bekannte) Funktion gxy :
(x, y) → gxy (x, y) = guv u(x, y), v(x, y)

Zwischen den Koordinaten (u, v) und (x, y) gelten mit den bekannten Konstanten α und β die Transformationsbeziehungen u(x, y) = αx + βy

und v(x, y) = αx − βy

Bestimme zuerst die partiellen Ableitungen nach den Koordinaten u und v: ∂guv ∂v .

∂guv ∂u

und

Bestimme anschließend unter Verwendung von ∂g∂uuv und ∂g∂vuv und mit den Komponenten ∂u ∂v ∂v der Jakobimatrix ∂u ∂x , ∂y , ∂x und ∂y die Ableitungen nach den Koordinaten x und y: ∂gxy ∂x

und

∂gxy ∂y

(in den dazu passenden Koordinaten)!

Literatur: In der physikalischen und technischen Literatur wird oft f¨ ur die beiden Funktionen gxy und guv und f¨ ur die Feldgr¨ oße G ein und dasselbe Symbol verwendet, z.B. in [1] Abschnitt 4.1.2 S. 200.

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Das widerspricht der in der Mathematik u ¨ blichen Lesart: Z.B. widersprechen sich die beiden Gleichungen (4.4) und (4.5) in [1, S. 200], wenn man sie als Definition einer Funktion w zweier Argumente liest. Hier wird w demzufolge als eine Feldgr¨ oße interpretiert, die an verschiedenen Stellen im RaumZeit-Kontinuum bestimmte Werte annimmt. Die Stelle kann entweder durch die Koordinaten (x, t) oder durch die Koordinaten (ξ, η) identifiziert werden. Diese vom Standard in der Mathemaik abweichende Bedeutung sollte beachtet werden, wenn mathematische S¨ atze wie die Kettenregel angewendet werden sollen. 3. Betrachtet wird die beidseitig eingespannte mit der Seilkraft S0 vorgespannte Saite (Dichte ρ, Querschnittsfl¨ ache A0 ). Sie kann transversale Schwingungen ausf¨ uhren. Mit dem L¨ osungsansatz von d’Alembert soll die L¨ osung zu folgenden Anfangsbedingungen bestimmt werden:

w x S0 L

w(x, ˙ t = 0) = 0 ( w(x, t = 0) =

x f¨ ur 0 ≤ x < L2  2 L w0 2 1 − Lx w0 f¨ ur L2 ≤ x ≤ L

Geg.: ρ, A0 , S0 , L, w0

(a) Welche Gleichung beschreibt das Verhalten der Saite? (b) Wie lautet die allgemeine L¨ osung nach d’Alembert? (c) Bestimme die L¨ osung f¨ ur die gegebenen Anfangsbedingungen. (d) Skizziere die Auslenkung der Saite f¨ ur die folgenden Zeitpunkte: t0 = 0, t1 = S0 1 3 1 5 2 t2 = 4 T , t3 = 8 T , t4 = 2 T , t5 = 8 T mit T = 2L c und c = ρA0 .

1 8T ,

w˙

4. Betrachtet wird eine unendlich lange Saite, die transversale Schwingungen ausf¨ uhren kann. Der Querschnitt der Saite sei A, die Dichte ρ. Sie ist vorgespannt mit der Seilkraft S. Mit dem L¨ osungsansatz von d’Alembert soll die L¨ osung zu folgenden Anfangsbedingungen bestimmt werden:

v0 x 2l

w(x, t = 0) = 0 ,  v0 f¨ ur − l < x < l w(x, ˙ t = 0) = w˙ 0 (x) = 0 sonst Geg.: ρ, A, S, l, v0 (a) Welche Gleichung beschreibt das Verhalten der Saite? (b) Wie lautet die allgemeine L¨ osung nach d’Alembert? (c) Bestimme die L¨ osung f¨ ur die gegebenen Anfangsbedingungen. (Das Integral muß nicht aufgel¨ ost werden.) (d) Skizziere die Auslenkung der Saite im Intervall −3 ≤ τ1 =

1 4,

τ2 =

1 2,

τ3 = 1, τ4 =

3 2

x l

≤ 3 f¨ ur die Zeitpunkte τ0 = 0, q 1 S und τ5 = 2! Dabei ist τ = l ρA t.

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w(x, t) 5. Eine Saite der L¨ ange l wird mit mit der Kraft N vorgespannt und tr¨ agt die Masse pro L¨ ange µ. Die Seite wird N zur Zeit t = 0 wie dargestellt mit w0 f¨ ur − l0 ≤ x ≤ l0 w(x, t = 0) = 0 sonst ausgelenkt. Die Anfangsgeschwindigkeit ist Null. Berechnen Sie die Bewegung der Saite w(x, t) mit dem Ansatz nach d’Alembert. Benutzen Sie das gegebene Koordinatensystem. Geg.: N , µ, l, c2 =

N µ,

w(x, t = 0),

∂w ∂t |(x,t=0)

w0 x l0

N

l0

l/2

l/2

=0

E, ρ, l, A d 6. Es wird ein Stab aus linear elastischem Material untersucht, der am rechten Ende x (x = 0) u ampfer an die ¨ ber einen viskosen D¨ Umgebung gekoppelt ist. Am linken Ende s (x = l) wird eine Verschiebung s (t) vorgegeben. Aufgrund der vorgegebenen Verschiebung s (t) kommt es zur Ausbreitung von Wellen in dem Stab. Beginnt man mit dem Zustand der Ruhe, breiten sich anfangs Wellen nur in negative xRichtung aus. Es soll untersucht werden, ob es eine D¨ ampfung d gibt, so daß eine Reflexion der Wellen am rechten Rand vollst¨ andig unterbunden werden kann. 7. Eine Masse m trifft zum Zeitpunkt t = 0 auf das freie Ende eines einseitig fest eingespannten geraden Stabes (L¨ ange l, Dichte ρ, Dehnsteifigkeit EA). Unmittelbar vor dem Stoß hat die Masse die Geschwindigkeit v0 und der Stab ist unverformt und in Ruhe.

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

l 2l c

(a) F¨ ur das Zeitintervall 0 ≤ t < ist der zeitliche Verlauf der Kontaktkraft zwischen der Masse und dem Stab zu berechnen. (b) Kann die Masse im betrachteten Zeitintervall vom Stab abheben? w 8. Eine beidseitig eingespannte Saite der h L¨ ange l (Dichte ρ, Querschnittsfl¨ ache A) x ist um die Kraft S vorgespannt. Nach l 4 Einleitung der folgenden Anfangsbedingungen f¨ uhrt sie freie, unged¨ ampfte, rein transversale Schwingungen aus: w(x, ˙ t = 0) = 0 ( w(x, t = 0) =

h ur 0 ≤ x < 4l  4 l x  f¨ 4 x ur 4l ≤ x ≤ l 3 1 − l h f¨

Geg.: ρ, A, S, l, h

v0

m

EA, ρ

S

l

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(a) Bestimmen Sie die d’Alembertsche L¨ osung der Wellengleichung, und zeichnen Sie die Auslenkungen der Saite zu den Zeitpunkten: t0 = 0, t1 = 18 T , t2 = 14 T , t3 = 38 T , ... u ¨ ber eine volle Periode T . (b) L¨ osen Sie die Wellengleichung mit Hilfe des Produktansatzes von Bernoulli. Passen Sie die L¨ osung an die Rand- und Anfangsbedingungen an. (c) Zeichnen Sie die ersten vier Eigenschwingungsformen und die Auslenkung der Saite aus ¨ der gewichteten Uberlagerung dieser vier Eigenformen f¨ ur den Zeitpunkt t = 0. (d) Zeigen Sie, dass die L¨ osung nach Bernoulli die Fourierdarstellung der d’Alembertschen L¨ osung ist. 9. Eine Saite der L¨ ange l wird mit S vorgespannt und tr¨ agt die Masse pro L¨ ange µ. Die Seite wird zur Zeit t = 0 wie dargestellt mit wA (x) ausgelenkt. Die Anfangsgeschwindigkeit ist Null. Berechnen Sie die Bewegung der Saite w(x, t) sowohl mit dem Produktansatz von Bernoulli als auch mit dem Ansatz nach d’Alembert. Benutzen Sie das gegebene Koordinatensystem, und gehen Sie wie folgt vor:

w(x, t)

wA (x) = w0 sin πx l

x l

I. Ansatz nach d’Alembert: (a) Wie lautet der Ansatz nach d’Alembert? (b) Leiten Sie den Ansatz nach der Zeit ab und setzen Sie die Anfangsbedingungen ein. L¨ osen Sie die beiden Gleichungen f¨ ur den Zeitpunkt t = 0. (c) Wie lauten die Randbedingungen des Problems? Wie m¨ ussen entsprechend die Teilwellen fortgesetzt werden, damit eine L¨ osung den Randbedingungen gen¨ ugt? (d) Geben Sie die Gesamtl¨ osung des Problems, also w(x, t), an. II. Ansatz nach Bernoulli: (a) Wie lautet die das Problem beschreibende Differentialgleichung? (b) Verwenden Sie f¨ ur die weitere Berechnung den Produktansatz von Bernoulli w(x) = X(x) · T (t) und formen Sie die partielle Differentialgleichung derart um, daß zwei gew¨ohnliche lineare Differentialgleichungen entstehen. F¨ ur die weitere Berechnung benutzen Sie bitte die L¨ osungsans¨ atze X(x) = A sin(λx) + B cos(λx) und T (t) = C sin(ωt) + D cos(ωt) (c) Wie lauten die Randbedingungen des Problems? (d) Setzen Sie den L¨ osungsansatz in die Randbedingungen ein und berechnen Sie die Frequenzgleichung. Bestimmen Sie die L¨ osung der Frequenzgleichung und damit die Eigenkreisfrequenzen. (e) Werten Sie nun auch die Anfangsbedingungen mit Hilfe der Orthogonalit¨ atsrelationen der Eigenfunktionen aus. Geg.: S, µ, l, c2 =

S µ,

w(x, t = 0) = w0 sin πx l ,

∂w ∂t |(x,t=0)

=0

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1.2 10.

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Ansatz von Bernoulli x

S, µ, γ

S Betrachtet wird eine Saite (L¨ ange l, Spannkraft S und Massebelegung µ) mit elastischer Bettung. Hinweis: Die Bettungssteifigkeit γ ist die Steifigkeit der Bettung bezogen auf die L¨ ange. Die Saite ist an beiden Enden fest eingespannt. (a) Leite an einem infinitesimalen St¨ uck der Saite die Bewegungsdifferentialgleichung f¨ ur das untersuchte System her. Die transversale Auslenkung der Saite sei mit w(x, t) bezeichnet. (b) Wie lauten die Randbedingungen? (c) Nutze einen geeigneten Separationsansatz f¨ ur die Auslenkung w(x, t) und u uhre die ¨ berf¨ hergeleitete partielle Differentialgleichung in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. (d) Gib die Randbedingungen f¨ ur die Ortsfunktion an. Literatur: [1] Abschnitt 4.1 S.198 [3] Abschnitt 8.2.1 S.621

11. Eine Saite (Dichte ρ, Querschnittsfl¨ ache A, L¨ ange l) ist links (x = 0) u ¨ ber ein Loslager gelagert und rechts (x = l) an einem vertikal gef¨ uhrten K¨ orper (Masse m) befestigt. Der starre K¨ orper wird durch eine Feder wie skizziert gest¨ utzt. Die Feder ist in der gezeichneten Lage entspannt. Die ¨ außere Kraft N ist zeitlich konstant (und wirke immer genau waagerecht).

m N ρ, A, l k

1010101 0

(a) Bestimme die Eigenwertgleichung. (b) Zeige, daß sich f¨ ur den Fall k =

−4ρAl+πm πN 16ρAl2

die erste Eigenfrequenz ω1 =

πc 4l

ergibt.

Geg.: l, m, k, N , ρ, A 12. Betrachtet werden die Transversalschwingungen einer Saite (Massebelegung µ). Die Saite ist am oberen Ende fest eingespannt und tr¨ agt am unteren Ende eine Punktmasse m. (a) Leiten Sie an einem infinitesimalen St¨ uck der Saite die Bewegungsdifferentialgleichung f¨ ur das skizzierte System her. Die transversale Auslenkung der Saite sei mit w(x, t) bezeichnet. Hinweis: Die Verschiebungen in x-Richtung werden vernachl¨ assigt. Die Spannkraft ist uber die L¨ ange nicht konstant. ¨ (b) Nutzen Sie einen geeigneten Separationsansatz f¨ ur die Auslenkung 2 w(x, t), und u berf¨ uhren Sie die partielle Differentialgleichung ∂∂tw 2 = h i 2 ¨ ∂ w ∂w Q − gx ∂x2 − g ∂x (Q bekannt und konstant) in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. Geg.: l, µ, m, g

w x l

g µ m

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13. Betrachtet wird eine unter der Vorspannkraft S eingespannte Gitarrensaite der l¨ angenbezogenen Masse µ = ρA. Die Saite werde an der Stelle ξ mit der Amplitude h ausgelenkt (gezupft) und losgelassen. Die Anfangsauslenkung (AB 1) und Anfangsgeschwindigkeit (AB 2) sind gegeben: l ( ξ hx S f¨ ur 0 ≤ x < ξ ξ w(x, t = 0) = h(l−x) f¨ ur ξ ≤ x ≤ l l−ξ h x (AB 1) w(x, t) ∂w = 0 ∀x (AB 2) ∂t x,t=0 Die Differentialgleichung, die das Problem beschreibt, lautet: 2 ∂ 2 w(x, t) 2 ∂ w(x, t) = c ∂t2 ∂x2

mit c2 =

S µ

¨ (a) Uberf¨ uhre die partielle Differentialgleichung mittels Produktansatz in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. Verwende dabei die Abk¨ urzung ω, so dass folgende Ans¨ atze die gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen erf¨ ullen: T (t) = A cos ωt + B sin ωt und X(x) = C cos( ωc x) + D sin( ωc x) (b) Bestimme die Konstanten der Ortsfunktion X(x) durch Auswertung zweier geometrischer Randbedingungen. Zeige, dass die allgemeine L¨ osung des Randwertproblems lautet: P kπct w(x, t) = ∞ + Bk sin k πl c t ) sin k πl x . k=1 (Ak cos l

(c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonalit¨ atsrelationen Eigenfunktionen, dass die Funktion Pder ∞ 2 h l2 w(x, t) = π2 ξ (l−ξ) k=1 k12 sin k πl ξ sin k πl x cos k πl c t die L¨ osung des gegebenen Anfangswertproblems ist.

14. Betrachtet wird eine eingespannte Klaviersaite der L¨ ange l, Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c. Die Saite werde an der Stelle ξ vom Hammer der Breite d getroffen. Die Saite werde dabei initial nicht ausgelenkt (AB 1) und gen¨ uge zum Anfangszeitpunkt der skizzierten Geschwindigkeitsverteilung (AB 2): w(x, t = 0) = 0 ∀x  ∂w v0 cos π(x−ξ) d = ∂t x,t=0 0

l ξ

S

x w(x, t)

v0 d

(AB 1) f¨ ur ξ − d2 ≤ x ≤ ξ + d2 sonst (AB 2)

(a) Wie lautet die das Problem beschreibende Differentialgleichung? (b) Zeige mit dem Produktansatz nach Bernoulli, daß die L¨ osung des Randwertproblems durch folgende Gleichung beschrieben wird: ∞  X kπct k π c t kπx w(x, t) = Ak sin + Bk cos sin l l l k=1

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(c) Werte nun auch die Anfangsbedingungen aus, und zeige unter Ausnutzung der Orthogonalit¨ atsrelationen der Eigenfunktionen, dass die Funktion ∞

w(x, t) =

kπξ πd 4 v0 d X 1 sin l cos k 2l kπx kπct sin sin
2 2 π c k l l 1 − kd k=1

l

die L¨ osung des gegebenen Anfangsrandwertproblems ist. Hinweise zur L¨ osung:

Z

Z

ξ+ d2 ξ− 2d

cos

l 0

sin2

kπx l dx = l 2

∀k ∈ N

π(x − ξ) kπx 2dl2 kπd kπξ sin dx = cos sin d l π(l2 − d2 k2 ) 2l l

15. F¨ ur den skizzierten homogenen Dehnstab (Dichte ρ, Querschnittfl¨ ache A, Elastizit¨ atsmodul E) ermittle man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen der Longitudinalschwingungen.

x, u l

Geg.: ρ, A, E, l

Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 µ, EA 16. Gegeben ist ein beidseitig eingespannter Stab x, u der L¨ ange l, Masse pro L¨ ange µ und Dehnsteifigkeit EA. l (a) Geben Sie die Feldgleichung und die Randbedingungen f¨ ur Stabl¨ angsschwingungen an (ohne Herleitung). Wie groß ist die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit? (b) Bestimmen Sie u ¨ber einen Produktansatz u(x, t) = U (x) · p(t) die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenformen des Stabes und skizzieren Sie U (x) f¨ ur die ersten drei Eigenformen. Geg.: µ, EA, l 17. F¨ ur den homogenen skizzierten Dehnstab (Masse m, Querschnittfl¨ ache A, Elastizit¨ atsmodul E) ermittle man die Eigenkreisfrequenzen und die Eigenfunktionen der Longitudinalschwingungen.

x, u l

Geg.: m, A, E, l

Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 18. Der abgebildete Stab (L¨ ange l, Querschnittsfl¨ ache A, Massebelegung µ) f¨ uhrt ausschließlich L¨ angsschwingungen u(x, t) aus. Der Stab ist aus viskoelastischem Material, das dem folgenden Materialgesetz gehorcht. σ = E(ε + τ ε) ˙

l µ, A, E, τ m

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(a) Leite an einem infinitesimalen St¨ uck des Stabes die Bewegungsdifferentialgleichung f¨ ur die L¨ angsschwingungen u(x, t) her. Hinweis: Beachte das oben angegebene Werkstoffgesetz. ¨ (b) Uberf¨ uhre die partielle Differentialgleichung in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. Benutze dazu einen geeigneten Separationsansatz f¨ ur die Auslenkung u(x, t). (c) Wie lauten die Randbedingungen f¨ ur das System? Folgende Konstanten sind gegeben: l, µ, A, m, E, τ Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 19. Ein mit Masse belegter Stab ist an einem Ende unverschieblich gelagert, an dem anderen mit einer Feder befestigt. Der Stab schwingt nach geeigneten Anfangsbedingungen l¨ angs.

x l E, A, ρ

(a) Wie lautet die Differentialgleichung, die die Schwingung f¨ ur kleine Auslenkungen beschreibt? (b) Forme die partielle Differentialgleichung um in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen.

c

(c) Wie lauten die allgemeinen L¨ osungen dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen? (d) Formuliere die geometrischen und dynamischen Rand- und ¨ Ubergangsbedingungen. (e) Stelle die Frequenzgleichung auf, und l¨ ose sie grafisch. Gegeben seien die Gr¨ oßen: l, c, E, A, ρ. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 20. Ein mit Masse belegter Stab ist an einem Ende unverschieblich gelagert, an dem anderen Ende ist eine Einzelmasse befestigt. Der Stab schwingt nach geeigneten Anfangsbedingungen l¨ angs.

l E, A, ρ

m

Gegeben seien die Gr¨ oßen: l, m, E, A, ρ und

∂2u ∂t2

2

= c2L ∂∂xu2 mit c2L =

E ρ

(a) W¨ahle einen geeigneten Ansatz, um die partielle Differentialgleichung in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen zu u uhren. Begr¨ unde und diskutiere dein weiteres Vorgehen ¨ berf¨ bei der L¨ osung. (b) Wie lauten die allgemeinen L¨ osungen dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen? ¨ (c) Formuliere die geometrischen und dynamischen Rand- und Ubergangsbedingungen. (d) Stelle die Frequenzgleichung auf, und l¨ ose sie grafisch.

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(e) Erl¨ autere den Zusammenhang zwischen den L¨ osungen der Frequenzgleichung und den Eigenformen. 21. F¨ ur den dargestellen am einen Ende eingespannten Stab im Schwerefeld (E, A, ρ gegeben) sollen die Eigenschwingungen untersucht werden. Zur Anfangszeit t = 0 sind L¨ angsverschiebung und Geschwindigkeit vorgegeben als u(x, t = 0) =

1 πx g (− x2 + Lx) + u0 sin 2 c 2 2L

x, u, u˜ E, A, ρ L

∂u |x,t=0 = 0 ∂t Die Differentialgleichung, die das Problem beschreibt, lautet 2 ∂2u 2∂ u = c +g ∂t2 ∂x2

mit

c2 =

g

E ρ

(a) Geben Sie alle Randbedingungen f¨ ur u an. (b) Bestimmen Sie die statische Ruhelage ustat , d.h. diejenige L¨ angsverschiebung, die sich einstellen w¨ urde, wenn das System in Ruhe w¨ are. Benutzen Sie die Randbedingungen. (c) Wie lautet die Differentialgleichung f¨ ur u ˜, und wie lauten die Randbedingungen f¨ ur u ˜, wenn man u ˜ = u − ustat definiert?

(d) Ein Produktansatz liefert nach Einsetzen die allgemeine L¨ osung

∞ X ωk ωk u ˜(x, t) = (Ak cos x + Bk sin x)(Ck cos ωk t + Dk sin ωk t) c c k=1

Bestimmen Sie die unendlich vielen Eigenfrequenzen ωk mithilfe der Randbedingungen f¨ ur u ˜. (e) Zur weiteren Anpassung (und zur L¨ osung des Anfangs-Randwertproblems) betrachten Sie nun die modifizierten Anfangsbedingungen: Wie groß ist u ˜(x, t = 0)? Und wie groß ist ∂∂tu˜ |x,t=0 ? Bestimmen Sie die u ˜(x, t) durch Anpassen an die Anfangsbedingungen. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 22. Zwei St¨abe (L¨ angen L1 , L2 Querschnittsfl¨ achen A1 , A2 , EModuln E1 , E2 und Dichten ρ1 , ρ2 ) sind wie skizziert miteinander verbunden und links fest eingespannt. Das System schwingt ausschließlich in L¨ angsrichtung.

x1

0 1 1 0

E1 , A1 , ρ1 , L1

x2

E2 , A2 , ρ2 , L2

¨ (a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichungen sowie die Rand- und Ubergangsbedingungen f¨ ur die Stabl¨ angsschwingungen? Benutze die eingezeichneten Koordinaten x1 und x2 . Hinweis: Beachte, daß die St¨abe unterschiedliche Dehnsteifigkeiten haben. (b) L¨ ose die partiellen Differentialgleichungen jeweils mit einem Separationsansatz und formuliere das Eigenwertproblem. Hinweis: Eine Herleitung der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ist nicht notwendig.

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(c) Wie lautet die Frequenzgleichung? Hinweis: Die Frequenzgleichung braucht nicht gel¨ ost zu werden. (d) Zeige, daß man bei Aneinanderkopplung zweier identischer St¨ abe auf das bekannte Ergebnis πc ω1 = 2L kommt, wobei L = L1 + L2 und c die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ist. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631 23. Es soll das Eigenschwingverhalten des Systems F¨ orderkorb/Seil einer Schachtanlage untersucht werden. Seil und F¨ orderkorb schwingen in guter N¨ aherung nur in vertikaler Richtung. (a) Stelle das zweite Newtonsche Gesetz f¨ ur ein infinitesimales Seilst¨ uck auf. Die lokale Verschiebung des Seils in x-Richtung sei u(x, t). Leite dann mit dem Hookeschen Materialgesetz N = EA ∂u ∂x die Bewegungsdifferentialgleichung f¨ ur das dargestellte System her.

g x, u L

(b) Gib die Randbedingungen f¨ ur das System an! (Hinweis: EA, ρ Endmasse freischneiden.) (c) Bestimme die statische Ruhelage u0 (x) des Systems!

m

(d) Wie lauten die Differentialgleichung und die Randbedingungen mit der neuen Variablen u ˜ = u − u0 ? (e) Wie groß ist die erste Eigenfrequenz des Systems, wenn der F¨ orderkorb in Schwingung ger¨ at? Verwende die Gleichungen aus Teil (d)!

Geg.: L, E, A, ρ, m, g Literatur: [2, S. 631], [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen 24. Im folgenden sollen die L¨ angsschwingungen eines einseitig eingespannten Stabes untersucht werden. Die Querschnitte sind kreisf¨ ormig, der Radius r verl¨auft linear. Es seien linearelastisches Material, ein eindimensionaler Spannungszustand, u ange l konstante Dichte ρ und E-Modul E vor¨ ber die Stabl¨ ausgesetzt. F¨ ur die Radien r0 = r(x = 0) und r1 = r(x = l) gelte die Beziehung r1 = 23 r0 . Zudem gilt r ≪ l.

x l

r(x)

(a) Leite die (partielle) Bewegungsdifferentialgleichung her! (b) Bestimme daraus mit einem geeigneten Ansatz die (gew¨ ohnliche) Differentialgleichung f¨ ur die Amplitudenfunktion und gib die dazugeh¨ origen Randbedingungen an! (c) Bestimme die Eigenfrequenzen mit einem Produktansatz. (d) Bestimme die erste Eigenfrequenz n¨ aherungsweise mit dem Verfahren von Ritz. Literatur: [1, S. 211] Abschnitt 4.2.1 Freie Longitudinalschwingungen, [3] Bewegungsgleichung der freien, unged¨ ampften Schwingung Kap. 8.2.1 Abs. 3a) Longitudinalschwingungen S.624, L¨ osung nach Bernoulli Kap. 8.2.3 S.631

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0 1 0 0 0 00 11 01 1 01 1 01 1 0G, ρ 1

25. Ein kreiszylindrischer Draht mit dem Radius r und der Dichte ρ sei wie skizziert eingespannt und mit einer Scheibe mit dem Massentr¨ agheitsmoment J verbunden. Ermittle die Frequenzgleichung!

2r

a

Geg.: G, ρ, J, a, b, r. J

26. Ein eingespannter, massebehafteter Stab mit kreisf¨ ormigem Querschnitt tr¨ agt an seinem Ende eine Einzelmasse. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Stab um seine L¨ angsachse schwingen. Geg.: l, m, G, Ip , A, ρ, r

1 0 0 0 0 11 00 01 1 01 1 01 1 0 1

G, ρ

ϑ(l)

b

r

x y

z

G, Ip , A, ρ l

m

(a) Leiten Sie die Wellengleichung (Bewegungsdifferentialgleichung) f¨ ur die freien Torsionsschwingungen her. (b) Formen Sie die Wellengleichung in 2 gew¨ ohnliche Differentialgleichungen um. (c) Wie lauten die allgemeinen L¨ osungen dieser gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen? Wie lautet die L¨ osung der partiellen Differentialgleichung? (d) Formulieren Sie die geometrischen und dynamischen Randbedingungen. (e) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf und l¨ osen Sie sie grafisch. Literatur: [1, S. 219-222] 27. Der skizzierte massebehaftete Balken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Biegeschwingungen versetzt. Gegeben: A, EI, ρ, l

x l

EI, ρ, A

z, w

(a) Wie lautet die das System beschreibende partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig. (b) Formen Sie diese partielle Differentialgleichung mit einem Produktansatz in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen um und geben Sie deren L¨ osungen an. (c) Formulieren Sie die geometrischen und physikalischen Randbedingungen. (d) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf und geben Sie N¨ aherungsl¨ osungen an. 28. Der skizzierte massebehaftete Balken wird durch geeignete Anfangsbedingungen in freie Transversalschwingungen versetzt.

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l (a) Wie lautet die das System beschreibende partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig. (b) Formen Sie diese partielle Differentialgleichung in zwei gew¨ ohnliche um und geben Sie deren L¨ osungen an.

x, u EI, ρ, A z, w

(c) Formulieren Sie die geometrischen und physikalischen Randbedingungen. (d) Stellen Sie die Frequenzgleichung auf und geben sie n¨aherungsweise die erste von Null verschiedene Eigenkreisfrequenz an. Geg.: A, EI, ρ, l 29. Ein Balken (L¨ ange l, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist bei A gelenkig gelagert und bei B in eine H¨ ulse gesteckt, die dem Balken dort eine horizontale Tangente aufzwingt. Die H¨ ulse (Masse m) kann auf einer starren Stange in vertikaler Richtung reibungsfrei gleiten. Der Balken schwingt ausschließlich in Querrichtung.

glatt, starr x 1 0 0 1 11 00 0 1 0 1 01 1 0 1 0 01 1 01 1 001 0w

l B

A

EI, µ

m

(a) Wie lauten die Bewegungsdifferentialgleichung und die zugeh¨ origen Randbedingungen? Hinweis: Keine Herleitung notwendig. (b) Wie lautet die Frequenzgleichung? Hinweis: Die Frequenzgleichung braucht nicht gel¨ ost zu werden. Geg.: EI, µ, l, m 30. Das skizzierte System zweier mit einer Drehfeder gekoppelter l¨ angshomogener schubstarrer Balken (Massenbelag mx , Biegesteifigkeit KB ) soll hinsichtlich seines transversalen Eigenschwingungsverhaltens untersucht werden. Verwenden Sie bitte den Bernoulli- bzw. Produktansatz! (a) Geben Sie alle Rand- und ¨ Ubergangsbedingungen des Systems an! (b) Formulieren Sie die Bedingungen an die Ortsfunktion Xα (xα ) (α = ˜ 1, ˜ 2) f¨ ur die unter (a) ermittelten Beziehungen!

mx , KB

mx , KB

kl ˜ 1

m

˜ 2 k

x˜1

x˜2 l

l

(c) Stellen Sie das Gesamtgleichungssystem f¨ ur die Konstanten Ci (i = 1 . . . 8) auf. Geg.: m, mx , KB , k, kl , l Die Federn sind in der skizzierten Lage spannungslos.

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l

31. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter Balken tr¨ agt am freien Ende eine Einzelmasse. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Balken quer schwingen.

E, I, A, ρ

m

Gegeben seien die Gr¨ oßen: l, m, E, I, A, ρ (a) Zeige an einem differentiellen Massenelement, dass gilt:

∂2w ∂t2

4

= −c2Q ∂∂xw4 mit c2Q =

EI ρA !

(b) Forme die partielle Differentialgleichung um in zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen. (c) Bestimme die allgemeine L¨ osung mit einem f¨ ur gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichungen allgemeing¨ ultigen Ansatz der Form X(x) = Aeλx ! (d) Formuliere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen. (e) Stelle die Frequenzgleichung auf! 32. Ein einseitig eingespannter, massebehafteter Balken tr¨ agt am freien Ende eine Einzelmasse und ist dort mit einer Feder abgest¨ utzt. Geeignete Anfangsbedingungen lassen den Balken quer schwingen. l 2

4

2 ∂ w (a) Forme die partielle Differentialgleichung ∂∂tw 2 = −cQ ∂x4 mit c2Q = EI ohnliche DifferentialgleiρA um in zwei gew¨ chungen!

m E, I, A, ρ

c

(b) Bestimme die allgemeine L¨ osung der Ortsfunktion mit einem Exponentialansatz! (c) Formuliere die geometrischen und dynamischen Randbedingungen! (d) Stelle die Frequenzgleichung auf, und gib eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenformen an! Gegeben seien die Gr¨ oßen: l, m, c, E, I, A, ρ

µ = ρA, B = EI 33. Ein Balken sei links fest eingespannt und rechts durch ein x Lager mit der Wand verbunden, das zwar Biegemomenl w te, aber keine Querkr¨ afte u ¨ bertragen kann. Die zugeordne4 w(x,t) ∂ 2 w(x,t) ∂ te Differentialgleichung = −c2 ∂x4 wird mit λ = ∂t2 q Ω c2 = B von folgendem Ansatz erf¨ ullt: c,    µ w(x, t) = B1 cosh(λx) + B2 sinh(λx) + B3 cos(λx) + B4 sin(λx) A1 cos(Ωt) + A2 sin(Ωt) . Bei der L¨ osung der folgenden Aufgaben ist folgende Kurzschreibweise n¨ utzlich: cosh (.) = ch(.) sinh (.) = sh(.) cos (.) = c(.) sin (.) = s(.) tan (.) = t(.) tanh (.) = th(.) . (a) Geben Sie 2 Bedingungen an, die am linken Rand zu jeder Zeit erf¨ ullt sind. Welcher Zusammenhang gilt zwischen B1 und B3 ? Welcher Zusammenhang gilt zwischen B2 und B4 ? (b) Geben Sie nun 2 Bedingungen (Gleichungen) an, die am rechten Rand zu jeder Zeit erf¨ ullt sind. Ersetzen Sie darin B3 und B4 durch B1 und B2 . Berechnen Sie die Summe und die Differenz der beiden Gleichungen. Zeigen Sie, dass die Eigenwerte folgender Gleichung gen¨ ugen: tan(λl) + tanh(λl) = 0.

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(c) Die L¨ osung des Randwertproblems (RWP) lautet in mit den oben erkl¨ arten Kurzschreibweise: w(x, t) =

∞ X  k=1



B1k chλk x + B2k shλk x + B3k cλk x + B4k sλk x A1k cΩk t + A2k sΩk t

W¨ahlen Sie B1k = α (f¨ ur alle k), und bestimmen Sie damit B2k , B3k und B4k abh¨ angig von α und λk l. Bestimmen Sie nun die Eigenformen Ek (λk l, x) so, dass die L¨ osung des RWP geschrieben werden kann als: w(x, t) =

∞ n X k=1

 o Ek (λk l, x) αA1k cos(Ωk t) + αA2k sin(Ωk t)

34. Es sollen die Eigenfrequenzen des skizzierten Systems bestimmt werden. Dabei sollen nur Schwingungsformen in der zwischen den Balken aufgespannten senkrechten Ebene ber¨ ucksichtigt werden. Sowohl die Balken als auch das Seil sollen als massebehaftet und elastisch angesehen werden. Gib die anzuwendenden Bewegungsdifferentialgleichungen ¨ sowie die zugeh¨ origen Rand- und Ubergangsbedinungen an!

35. Ein Balken (L¨ ange l, Biegesteifigkeit EI, Massebelegung µ) ist bei A gelenkig gelagert und bei B mitw einem starren K¨ orper (Masse m) verbunden. Eine starre, masselose Pendelst¨ utze DC (L¨ ange l) h¨ alt die Masse waagerecht. (a) Gib die partielle Differentialgleichung und die Randbedingungen f¨ ur kleine Biegeschwingungen w(x, t) des Balkens an. (b) Stelle die Frequenzgleichung f¨ ur das Systems auf. (c) Bestimme numerisch die erste Eigenfrequenz f¨ ur den Fall, das der starre K¨ orper gerade 10 mal schwerer ist als der Balken. Geg.: l, EI, µ, m

00 11 00 11 00 11 00 11 000 111 00 11 00 11 00 11 00A 11

10 0 10 10 1D 00 11

x EI, µ, l starr, masselos

B

C m

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1.3

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erzwungene Schwingungen

36. Gegeben ist die wie skizziert gelagerte Saite (Masse pro L¨ ange µ, L¨ ange l, Vorspannkraft T ) die durch eine
Streckenlast q(x, t) = q0 sin π2 xl cos Ωt angeregt wird. Es ist eine Partikul¨ arl¨osung mit dem Ansatz w(x, t) = W (x) cos Ωt zu bestimmen.

q(x, t) = q0 sin

πx 2 l




cos Ωt

T x µ w(x, t)

l

(a) Geben Sie die Feldgleichung und alle Randbedingungen an. (b) Bestimmen Sie W (x) indem Sie den Ansatz f¨ ur w(x, t) in die Feldgleichung einsetzen und f¨ ur W (x) einen Ansatz vom Typ der rechten Seite aufstellen. Zeigen Sie, dass die L¨ osung die Randbedingungen erf¨ ullt. (c) F¨ ur welches Ωkrit tritt Resonanz auf?
Geg.: T , µ, l, Ω, q(x, t) = q0 sin π2 xl cos Ωt

37. Gegeben ist die wie skizziert gelagerte Saite (Masse pro L¨ ange µ, L¨ ange l, Vorspannkraft T ) die durch eine Streckenlast q(x, t) = q0 sin( πl x) cos(Ωt) angeregt wird. Es ist eine Partikul¨ arl¨ osung mit dem Ansatz w(x, t) = W (x) cos Ωt zu bestimmen.

q(x, t) = q0 sin πl x cos Ωt T x w(x, t)

µ l

(a) Geben Sie die Feldgleichung und alle Randbedingungen an. (b) Bestimmen Sie W (x) indem Sie den Ansatz f¨ ur w(x, t) in die Feldgleichung einsetzen und f¨ ur W (x) einen Ansatz vom Typ der rechten Seite aufstellen. Bilden Sie w(x, t) und zeigen Sie, dass die L¨ osung die Randbedingungen erf¨ ullt. (c) F¨ ur welches Ωkrit tritt Resonanz auf? Geg.: T , µ, l, Ω, q(x, t) = q0 sin πl x cos(Ωt) 38. Ein Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Massebelegung µ = ρA, L¨ ange l) st¨ utzt sich an seinen beiden Enden (x = − 2l und x = 2l ) u ¨ ber Federn (Federsteifigkeit k) an der Umgebung ab. In der Ruhelage sind die Federn entspannt. An den Punkten P und Q greifen entgegengesetzt wirkende Kr¨ afte mit dem Betrag F (t) = F0 cos Ωt an. Die L¨ angsschwingungen u(x, t) des Stabes im eingeschwungenen Zustand sind zu untersuchen.

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(a) Wie lautet die die L¨ angsschwingungen beschreibende partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig.

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x

k P l

F (t) EA, µ

Q

k F (t)

glatt

(b) Wie lauten die Randbedingungen? Beachten Sie bitte den Ursprung der Koordinate x! (c) Bestimmen Sie nun die L¨ osung u(x, t) im eingeschwungenen Zustand! (d) F¨ ur welche Erregerkreisfrequenzen Ω bewegt sich der Punkt Q nicht? Geg.: F0 , Ω, EA, µ, l 39. Ein Dehnstab (Dehnsteifigkeit EA, Massebelegung µ, L¨ ange l) st¨ utzt sich an seinen beiden Enden (x = 0 und x = l) u ¨ber Federn (Federsteifigkeit k) an der Umgebung ab. In der Ruhelage sind die Federn entspannt. Am Punkt P greift eine Kraft F (t) = F0 cos Ωt an. Die L¨ angsschwingungen u(x, t) des Stabes im eingeschwungenen Zustand sind in den folgenden Schritten zu untersuchen. l k k x P F0 cos Ωt (a) Wie lautet die die L¨ angsschwingungen beglatt schreibende partielle Differentialgleichung? EA, µ Hinweis: Keine Herleitung notwendig. (b) Wie lauten die Randbedingungen? (c) Bestimmen Sie nun die L¨ osung u(x, t) im eingeschwungenen Zustand! (d) F¨ ur welche Erregerfrequenzen Ω bewegt sich der Punkt P nicht? Setzen Sie hier große Erregerfrequenzen Ω voraus und geben Sie N¨aherungsl¨ osungen an. Geg.: F0 , Ω, EA, µ, l 40. Ein einseitig eingespannter massebehafteter Stab (Dehnsteifigkeit EA, Dichte ρ, L¨ ange l) im Schwerefeld tr¨ agt an seinem Ende eine Einzelmasse m. An dieser greift eine harmonische Erregerkraft F (t) = F0 cos Ωt an, die den Stab in erzwungene Longitudinalschwingungen versetzt.

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(a) Leite die das System beschreibende partielle Differentialgleichung durch Freischnitt eines infinitesimalen Massenelementes her. l

(b) Durch eine Transformation auf die statische Ruhelage l¨ aßt sich die Differentialgleichung auf die folgende bekannte Form u uhren: ¨berf¨ 2˜ ∂2u ˜ 2∂ u (x, t) = c (x, t) l ∂t2 ∂x2

mit c2l =

g

x, u

E ρ

EA, ρ

m

Ausgehend von dieser homogenen partiellen Differentialgleichung sollen die L¨ angsschwingungen u ˜p (x, t) im eingeschwungenen Zustand bestimmt werden.

F (t)

Geg.: F0 , Ω, EA, ρ, l, m, g 41. Ein schwingungsf¨ ahiges System wird durch das skizzierte Modell aus zwei Dehnst¨ aben (Dehnsteifigkeit EA, Massenbelag ρA) mit Massenpunkten (Masse m1 , m2 ) und einer idealen Feder (Steifigkeit k) beschrieben.

x, u k m1

m2 1 2L

Geg.: L, k, m1 , m2 , E, ρ, A

1 2L

(a) Geben Sie die Bewegungsgleichung(en) des skizzierten Systems und die dazugeh¨ origen ¨ Rand- und Ubergangsbedingungen an. Im folgenden wird ein Spezialfall betrachtet, der auf folgende Bewegungsdifferentialgleichung und Randbedingungen f¨ uhrt: u ¨(x, t) = c2 u′′ (x, t) ,

u(x = 0, t) = 0 ,

u′ (x = L, t) = 0

(b) Was f¨ ur ein Spezialfall ist das? Welchen Werten m¨ ussen die Massen der zwei Massenpunkte f¨ ur diesen Spezialfall zustreben? (Der Wert f¨ ur k soll hierbei nicht eingegrenzt werden.) Geben Sie c in gegebenen Gr¨ oßen an! (c) Berechnen Sie die Eigenfrequenzen f¨ ur den Spezialfall. (d) Das System (Spezialfall) soll am rechten Ende (x = L) mit einer Kraft angeregt werden. Die Amplitude der Kraft betr¨ agt Fˆ , die Schwingungsperiode T . Berechnen Sie die Schwingungen u(x, t) im eingeschwungenen Zustand! x 42. Erzwungene Schwingungen eines Balkens w ˆ sin Ωt Ein einseitig eingespannter Balken (L¨ ange l, Biegesteifigkeit EI, Massebelegung µ) werde dadurch in erzwungene Schwingungen versetzt, daß die Einspannung eine harmonische Auf- und Abbewegung mit der Frequenz Ω durchf¨ uhrt. Die Durchbiegung w(x, t) des Balkens im eingeschwungenen Zustand ist in den folgenden Schritten zu bestimmen.

1001

EI, µ, l

(a) Wie lautet die die Transversalschwingungen beschreibende partielle Differentialgleichung? Hinweis: Keine Herleitung notwendig.

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(b) Wie lauten die Randbedingungen? (c) Welcher Produktansatz ist zu w¨ ahlen, um die Auslenkung im eingeschwungenen Zustand zu berechnen? Die Ortsfunktion sei mit X(x) bezeichnet. (d) Der Produktansatz f¨ uhrt bekanntlich auf X(x) = A sinh λx + B cosh λx + C sin λx + D cos λx Wie wurde demnach λ definiert? (e) Bestimme davon ausgehend die Durchbiegung im eingeschwungenen Zustand! 43. Ein Kragbalken wird wie abgebildet durch ein Moment am rechten Rand belastet. Man be¨ rechne die Ubertragungsfunktion des Systems an der Stelle, wo das Moment angreift. Eingangsgr¨ oße: ME (x = ℓ, t) = M0 cos(Ωt), Ausgangsgr¨ oße: w′ (x = ℓ, t) KB , mx , ℓ x ME (ℓ, t) z, w(x, t)

Geg.: KB , mx , ℓ, M0 44. Ein Balken ist links und rechts gelenkig gelagert, am rechten Ende (x = L) greift ein periodisches Moment an: M (t) = M0 cos Ωt. (a) Gib die das Problem beschreibende partielle Differentialgleichung und die dazugeh¨ origen Randbedingungen an!

x L

0 1 0 1 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 01 01 0

EI, A, ρ

M (t)

0 1 0 1 00 11 00 11 0 1100101

(b) Bestimme die Schwingungsform im eingeschwungenen Zustand! Geg.: M0 , Ω, L, EI, A, ρ 45. Ein beidseitig gelenkig gelagerter Balken (L¨ ange l, Biegesteifigkeit EI, Massebelegung µ) werde dadurch in erzwungene Schwingungen versetzt, daß am rechten Lager eine harmonische Drehbewegung mit der Frequenz Ω vor- A gegeben ist. Geben Sie die Durchbiegung w(x, t) im eingeschwungenen Zustand an.

x

EI, µ 1 0 0 1 11 00 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 01 01 0

Geg.: l, EI, µ, α(t) = α ˆ sin Ωt, Ω, α ˆ

l B 1 0 0 1 0110101010101 11 0 0 1 α(t)

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46. Ein elastischer, massebehafteter Balken (Biegesteifigkeit EI, L¨ ange 2L, Querschnitts- M (t) fl¨ ache A und Dichte ρ) ist links und rechts gelenkig gelagert. An beiden Enden greift ein periodisches Moment M (t) = M0 cos Ωt an. Unter Vernachl¨ assigung der D¨ ampfung soll die Amplitude im eingeschwungenen Zustand bestimmt werden. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

5. Oktober 2009

x L

L

10100110101001101010 00 11

M (t)

00 11 1 0 1 0 01010101

EI, A, ρ

A

B

(a) Geben Sie die das Problem beschreibende partielle Differentialgleichung an. (b) Wie lauten die Randbedingungen? Beachten Sie die eingezeichnete x-Koordinate. (c) Bestimmen Sie die Amplitude im eingeschwungenen Zustand. (d) Gibt es eine Phasenverschiebung zwischen Fremderregung und Systemantwort. Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. Geg.: M0 , Ω, L, EI, A, ρ 47. Ein Balken (L¨ ange 2l, Massebelegung µ, Biegesteifigkeit EI) ist an beiden Enden an Federn (Steifigkeit k) aufgeh¨ angt. An den Endpunkten werden die Bewegungen s(t) = sˆ cos Ωt durch geeignete Kr¨ afte F (t) erzwungen. x (a) Gib die partielle Differentialgleichung und die Randbedingungen f¨ ur kleine Biegeschwink k gungen w(x, t) des Balkens an. µ, EI s(t) s(t) (b) Bestimme die Balkenschwingungen w(x, t) im eingel l schwungenen Zustand.

0 1 1 0 1 0 1 0 010 1010 1

Geg.: µ, EI, l, k, sˆ, Ω

Geg.: L, EI, m, q(t) = q0 sin Ωt

010 101010 10 10 101

F (t)

F (t) L

48. Eine Kompanie Soldaten marschiert im Gleichschritt u ucke. ¨ ber eine freitragende Br¨ Es wird nur die Abweichung von der statischen Ruhelage betrachtet. Das Problem wird als ein Balken unter r¨ aumlich konstanter und zeitlich periodischer Streckenlast betrachtet.

01 1001

q(t)

0 1 0 1 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 01 01 0

EI, m

(a) Gib die das Problem beschreibende partielle Differentialgleichung an!

10101010 00 11 101010101 0 01010 1

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Seite 21 5. Oktober 2009

(b) Bestimme die Schwingungsform im eingeschwungenen Zustand! (c) Bestimme die Amplitude der Br¨ uckenschwingung in Abh¨ angigkeit von der Schrittfrequenz im eingeschwungenen Zustand!

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Seite 22

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2

2.1

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Grundlagen der Hydromechanik

Hydrostatik

49. Ein Wasserlauf wird durch ein schr¨ag liegendes Klappenwehr begrenzt. Die Wehrklappe ist in ihrem Schwerpunkt S drehbar gelagert. Die Breite der Wehrklappe (senkrecht zur Bildebene) ist b. Bei einem bestimmten Wasserstand klappt das Wehr selbst¨ andig auf. p0 (a) Berechnen Sie die resultierende Kraft auf die Wehrklappe und das Moment bez¨ uglich der Wehrachse infolge des Wasserdruckes! ρ S z0 (b) Berechnen Sie den Wasserstand z0 , bei dem das Wehr selbst¨ andig ¨ offnet!

h

(c) Berechnen Sie das maximale Moment, das erforderlich ist, um das Wehr zu o¨ffnen!

α

Geg.: ρ, h, α, p0 , g 50. Zwei mit (inkompressiblen) Fl¨ ussigkeiten der Dichten ρA bzw. ρB gef¨ ullte Beh¨ alter sind in der skizzierten Weise u ¨ ber ein U-RohrManometer verbunden. Die Dichte der Manometerfl¨ ussigkeit ist ρC . Wie groß ist die Druckdifferenz pA −pB in Abh¨ angigkeit vom Manometeraus- hA schlag △h?

z △h 2 △h 2

1 0

hB

ρA

Geg.: hA , hB , △h, ρA , ρB , ρC

ρC

ρB pB

pA 51. Zwei Fl¨ ussigkeitsbeh¨ alter sind nach nebenstehender Skizze durch ein Rohrsystem miteinander verbunden. ¨ Uber der Fl¨ ussigkeit in beiden Beh¨ altern befindet sich Luft. In den Beh¨ altern und dem Rohrsystem befinden sich drei verschiedene Fl¨ ussigkeiten mit den Dichten ρ1 , ρ2 und ρ3 . Die Druckdifferenz zwischen den beiden Beh¨ altern betr¨ agt pa −pb = ∆p. Wie groß ist die Dichte ρ3 der dritten Fl¨ ussigkeit? Geg.: ∆p, h1 , h2 , h3 , h4 , ρ1 , ρ2 , g

g

h1

ρ3

pa

ρ1

pb

ρ2 h2

h3

h4

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ω

52. EULERsches Fluid: EULERsches Grundgesetz f¨ ur ρ = const.

g

p0

Ein Becher sei mit einem reibungsfreien, inkompressiblen Fluid (ρ = const) gef¨ ullt und rotiere mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω im Schwerefeld der Erde. In einer mitgewegten Basis gilt das EULERsche Grundgesetz der Hydrostatik in bekannten Form (ohne Beweis).

z0

z

(a) Berechnen Sie mit der Vorgabe f = ω 2 rer − gez ein Potential U in Zylinderkoordinaten, aus dem sich f berechnen l¨ aßt aus f = −gradU . Hinweis: Der Gradient von U hat in der mitbewegten Basis < er eϕ ez > die (physikalischen) Komponenten 1 ∂U ∂U [ ∂U ∂r , r ∂ϕ , ∂z ]. (b) Setzen Sie f = −gradU in das EULERsche Grundgesetz der Hydrostatik ein. Was k¨ onnen Sie u ¨ber U + pρ sagen? Stellen Sie p als Funktion von z, r mit den Parametern p0 , z0 dar. (c) Welche Form nimmt die Oberfl¨ ache der Fl¨ ussigkeit an? 53. Eine senkrechte Trennwand der Breite b, die ein Wasserreservoir der Wassertiefe h2 gegen ein anderes der Tiefe ¨ h1 abschließt, soll vor Uberlastung gesch¨ utzt werden. Bei ¨ Uberschreiten einer bestimmten Wassertiefe h2 soll der Ventilk¨ orper der Masse m abheben, damit das Wasser vom Beh¨ alter 2 in den Beh¨ alter 1 fließen kann.

g

p0 A

2

1

h2 Mres

(a) Ab welchem Wasserstand h2,krit u ¨berschreitet das resultierende Moment Mres um den Punkt B den kritischen Wert Mkrit = 9,81 · 106 Nm?

h1

m h3

B

(b) Wie groß muß die Ventilfl¨ ache A sein, damit das Ventil bei Erreichen des Wasserstandes h2,krit ¨ offnet? m Geg.: h1 = h3 = 1m, p0 = 1bar, g = 9,81 s2 , m = 1000kg, Mkrit = 9,81 · 106 Nm, b = 2m 54. Eine transportable Hochwassersperre sei viertelzylinderf¨ ormig mit dem Radius R und der Breite b senkrecht zur Zeichenebene ausgef¨ uhrt. Sie besteht aus homogenem Material der Dichte ρS = 3 · ρW . Die Sperre liegt lose auf dem Grund. Es sei angenommen, daß zwischen Sperre und Grund kein Wasser eindringt und daß dort der Haftreibungskoeffizient µ0 wirksam ist. Es soll der h¨ ochste Wasserstand h0 = R betrachtet werden. g

(a) Wie groß ist die Horizontalkraft Fx des Wassers auf die Sperre? (b) Wie groß ist die Vertikalkraft Fy des Wassers auf die Sperre? (c) Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ0 mindestens sein, damit die Sperre nicht wegrutscht? (d) Wie verl¨ auft die Wirkungslinie der resultierenden Wasserlast? Gib einen Punkt und die Neigung an. Geg.: ρW , R, b, g

x

y

R

h0 ρW

ρS

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55. Eine in einem Wasserbeh¨ alter eingebaute Klappe der H¨ ohe h und der Breite b ist im Punkt D um eine horizontale Achse drehbar gelagert. (a) Wie groß ist die resultierende Wasserlast F auf die Klappe in Abh¨ angigkeit von der H¨ ohe x des Wasserspiegels?

x h d

D

(b) Bei welcher H¨ ohe x des Wasserspiegels ¨ offnet sich die Klappe durch die Wasserlast selbstt¨ atig? Stellen Sie Ihr Ergebnis in einem Diagramm dar. (c) Berechnen Sie nun mit den gegebenen Zahlenwerten, bei welcher Wasserh¨ ohe sich die Klappe o ¨ffnet. kg Geg.: h = 1m, d = 0,45m, b = 1m, g = 9,81 sm2 , ρH2 O = 103 m 3

Literatur: [1, S. 2-8, 18-24] ¨ 56. Die Offnung einer Beh¨ alterwand wird durch eine Klappe K mit der Breite b (senkrecht zum Bild) und der H¨ ohe h verschlossen. Sie ist u ¨ber einen um O drehbaren und masselosen Winkelhebel mit einem zylindrischen masselosen Schwimmer S (Durchmesser d, Breite b) verbunden. Der Auftrieb des Hebels werde vernachl¨ assigt. Geg.: p0 , s, h, b, ρ, g, d

p0

a O S

s d g

ρ

K

h

(a) Bestimmen Sie die Auftriebskraft des Schwimmers, wenn der Wasserspiegel auf der H¨ ohe des Drehpunkts O liegt. (b) Bestimmen Sie die Druckverteilung innen an der Klappe und die Kraft, die aufgrund des Wasserdrucks von innen auf die Klappe wirkt. (c) Wie groß muss a sein, damit die Klappe ¨ offnet, wenn der Wasserspiegel bis zur H¨ ohe des Drehpunkts O gestiegen ist? 57. Korb und H¨ ulle eines Heißluftballons haben zusammen die a ρ (h) Masse m. Im Innern befindet sich erw¨ armte Luft. Der Ballon ist in der H¨ ohe h im Gleichgewicht. Nun wird BalTi last der Masse mab abgeworfen, und der Ballon steigt aus ρi (h) der H¨ ohe h in die H¨ ohe H. Luft werde innen wie außen als ideales Gas unter isothermer Zustands¨ anderung angesehen. Das Ballonvolumen V sei konstant. Das Gewicht m der w¨ ahrend des Aufstiegs ausstr¨omenden Luft sowie der Auftrieb des Ballonkorbes werden vernachl¨ assigt. z Geg.: V, m, g, R, T i , T a , M, h, H. h F¨ ur ideale Gase unter isothermer
Zustands¨ anderung gilt: M ρ(z) = ρ(z0 ) exp − g RT (z − z0 ) .

ρa (H) Ta

Ti ρi (H)

m − mab g

mab

H

(a) Wie lautet die Bedingung, die das Gleichgewicht zwischen Auftrieb und Gesamtgewicht des Ballons (einschließlich Luftf¨ ullung) in der H¨ ohe h beschreibt? Wie lautet die entsprechende Gleichgewichtsbedingung in der H¨ ohe H? Es soll davon ausgegangen werden,

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dass es zur Ermittlung des Auftriebs ausreicht, mit konstanter Dichte im Ballon und in der Ballonumgebung zu rechnen. (b) Welcher Zusammenhang gilt zwischen ρa (H) und ρa (h), und welcher zwischen ρi (H) und ρi (h)? (c) Bestimmen Sie nun die Ballastmasse mab , die n¨ aherungsweise n¨ otig ist, um den Ballon aus der H¨ ohe h in die H¨ ohe H zu bringen unter der zus¨ atzlichen Annahme, dass T i ≈ T a (dass also die Dichte¨ anderungen mit der H¨ ohe innen und außen fast gleich sind).

2.2

Bernoullische Gleichung

58. Das abgebildete System soll mit Mitteln der Stromfadentheorie untersucht werden. Es soll angenommen werden, daß hA die Rohrreibungsverluste vernachl¨ assigt werden k¨ onnen.

A

hB

p0 B C D

hC hD

p0

Es werden Zust¨ ande untersucht, bei denen die Klappe zwischen den beiden Wasserbeh¨ altern geschlossen ist. (a) Zeigen Sie, daß bei der H¨ ohe hB = . . . des Wasserstandes im rechten Beh¨ alter der minimale Druck in der Rohrleitung gerade pk ist. Die Dichte des Wasser sei ρ. offnen, (b) Welche Masse mK muß die Klappe haben, damit sie sich gerade dann beginnt zu ¨ wenn der minimale Druck in der Rohrleitung pk ist. Die Querschnittsfl¨ ache der Klappe sei A. Geg.: p0 , g, hA , hC , hD , A, ρ

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p0

pK

59. Dargestellt ist ein Kessel mit 4 Duschen.

AD

g 1

ρ

Der Umgebungsdruck sei p0 . Der Kesseldruck sei pK . Die Querschnittsfl¨ ache der Ausl¨ asse der Duschen sei AD , die

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2

3

4

H

h

Querschnittsfl¨ ache der Zuleitung sei AZ . Der Wasserspiegel im Kessel

AZ

werde auf konstanter H¨ ohe H gehalten. Hinweis: Entlang einer Stromlinie gilt: p ρ

2

+ v2 + gz = const. (BERNOULLIsche Gleichung) (a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeiten v1 , v2 , v3 und v4 der Duschen. (b) Wir groß muss die Druckdifferenz △p := pK − p0 sein, damit ein bestimmter Volumenstrom V˙ (der sich auf alle 4 Duschen verteilt) entnommen werden kann? (c) Wie ¨ andern sich die unter a) und b) berechneten Gr¨ oßen, wenn bei demselben Volumenstrom nur 2 Duschen aufgedreht sind? 60. Ein dreigeschossiges Wohnhaus werde aus einem Kessel versorgt. Die F¨ ullh¨ ohe H im Kessel sei konstant. Der Luftdruck im Kessel sei pi . Der Austrittsquerschnitt F1 und die H¨ ohen der Austritte hα (α = 1, 2, 3) seien gegeben. Die Str¨ omung sei station¨ ar. Das Fluid sei inkompressibel und reibungsfrei. Der Umgebungsdruck betrage p0 = 16 pi .

g F3 pi H

ρ

z p0

F2 F1

h3 h2 h1

Hinweis: Entlang einer Stromlinie gilt: p v2 ρ + 2 + gz = const. (BERNOULLIsche Gleichung) angig von den gegebenen (a) Bestimmen Sie die Austrittsgeschwindigkeiten v1 , v2 und v3 abh¨ Gr¨oßen p0 , ρ, g, H, h1 , h2 , h3 . (b) Wie groß m¨ ussen die Fl¨ achen F2 und F3 sein, damit u ¨berall derselbe Massentrom M˙ abfließt? (c) In welcher maximalen H¨ ohe u onnte gerade noch Wasser entnom¨ ber dem Boden zmax k¨ men werden?

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61. Auf einem Podest der H¨ ohe H ′ = 0, 5m steht ein großes Gef¨ aß (Durchmesser D = 1m), welches bis zu H¨ ohe H = 1m mit Wasser gef¨ ullt ist (vgl. nebenstehende Skizze). Dieses Gef¨ aß wird mit Hilfe eines Schlauches (Durchmesser d = 1cm) nach dem Heberprinzip entleert. (a) Wie groß ist bei reibungsloser Str¨ omung die Wasseraustrittsgeschwindigkeit vA = f (h) am Schlauchende in Abh¨ anigkeit von der ver¨ anderlichen Wasserh¨ ohe h im Beh¨ alter? (b) Wie groß ist bei reibungsloser Str¨ omung die Entleerungszeit T des Beh¨ alters? 62. Wasserleitung/BERNOULLIsche chung

Glei-

(b) die maximal m¨ ogliche Anzahl von Entnahmestellen W unter der Bedingung, daß an keiner Stelle der Leitungen L1 und L2 Kavitation

(1) A1 L1

D des Druck-

(3)

ρ

Bestimme f¨ ur das dargestellte System unter der Voraussetzung station¨ arer Verh¨ altnisse (a) den Innendruck pi beh¨ alters D,

p0

(0)

(2)

pi

A3 h3

h1 (4)

A4

W

h0

h4

L2 A3

!

auftreten soll (p > pD )! Geg.: h0 , h1 , h3 , h4 , A1 , A3 , A4 , ρ, Umgebungsdruck p0 , Dampfdruck pD , mit h4 < h1 < h3 < h0 und A21 = A3 = 10 A4 , Erdbeschleunigung g. 63. Ein Hochofengebl¨ ase dr¨ uckt Luft (Dichte ̺L ) mit dem Druck p1 in eine Rohrleitung vom Durchmesser d1 . Der Volumenstrom Q soll durch eine einfache Druckablesung kontrolliert werden. Zu diesem Zweck ist in die Leitung eine Verengung mit einem U-Rohr-Manometer eingebaut (Dichte der Fl¨ ussigkeit ̺W ).

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(a) Berechnen Sie den Volumenstrom Q als Funktion der im Manometer angezeigten H¨ ohendifferenz hm bei vorgegebenen Durchmessern d1 und d2 . (b) Berechnen Sie die Empfindlichkeit dhm SQ = dQ f¨ ur das untersuchte Volumenstrommeßger¨ at. Zeichnen Sie die Empfindlichkeit SQ unter Ber¨ ucksichtigung charakteristischer Werte in einem Diagramm als Funktion des Volumenstroms Q.

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p1 d1

p2

v1

v2

d2

̺L

B A

hm ̺W

Gegeben: ̺W , ̺L , p1 , d1 , d2 , g, reibungsfreie, inkompressible Str¨ omung 64. Eine Rohrleitung unter einem Wasserbeh¨ alter m¨ undet ins Freie (Umgebungsdruck p0 ). Mit Hilfe einer d¨ usenf¨ ormigen Verengung und einem Saugrohr soll aus einem unteren Reservoir Wasser gef¨ ordert werden (H¨ ohendifferenz zur D¨ use h).

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0

(a) Wie groß ist der Druck p2 an der Stelle 2 zwischen Saugrohr und D¨ use, wenn das Saugrohr mit stehendem (also ruhendem) Wasser gef¨ ullt ist? (b) Welcher Zusammenhang muss zwischen dem Druck p1 und dem eben berechneten Druck p2 gelten, damit das Wasser aus dem Saugrohr sogar in die D¨ use hineingesaugt wird? (Annahme d < < h) (c) Berechnen Sie mithilfe der Bernoulli-Gleichung ρv2 2 + p + ρgz = const. zwischen 1 und 3 den Druck p1 an der Stelle 1 abh¨ angig von v1 und v3 .

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p0

Beh¨ alter

̺ g

H

1 , A1

3 , A3

d