Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen  Diskret  Binomial  Hypergeometrisch  Poisson  Stetig  Normal  Lognormal  Exponential  Verteilung der Stichprobenkennzahle...
Author: Laura Ritter
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Zufallsvariablen  Diskret  Binomial  Hypergeometrisch  Poisson

 Stetig  Normal  Lognormal  Exponential

 Verteilung der Stichprobenkennzahlen

Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik: Beschreibt Häufigkeit der Ausprägungen eines speziellen Experiments Weitergehende Annahme: Ausprägungen werden mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angenommen (Modell!) Wahrscheinlichkeitsraum

Zufalls

Beobachtete Daten:

variable

Spezielle Realisierung

Diskrete Zufallsvariable Zum Modellieren von diskreten Merkmalen Ereignisraum Ω mit abzählbar vielen Ereignissen ω Zufallsvariable:

ω → X (ω )

Bei diskreter ZV kann man Ω mit der Menge aller Ausprägungen xi der Zufallsvariable identifizieren. Beispiel: Augenzahl eines Würfels Ω = {1,2,3,4,5,6},

X ( xi ) = xi

Also zum Beispiel X(3) = 3

Wahrscheinlichkeitsfunktion: xi → P( X = xi ) Jedem Wert der Zufallsvariable (entspricht der Merkmalsausprägung) wird seine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Damit ist im diskreten Fall die Zufallsvariable vollständig charakterisiert. Beispiel Würfel:

pi = P( X = xi ) = 1 / 6 Die ZV ist gleichverteilt!

Verteilungsfunktion: F ( x) := P( X ≤ x) Es gilt:

lim F ( x) = 0

x → −∞

lim F ( x) = 1 x →∞

F monoton steigend Im diskreten Fall ist F eine Treppenfunktion

F ( x) :=

∑p

i: x i ≤ x

i

Vergleiche mit der kumulativen relativen Häufigkeit!

Verteilungsfunktion des Würfelbeispiels: Beispiel Würfel:

F ( x ) = x  0 < x < 7

1

0.8

0.6

F 0.4

0.2

0 0

1

2

3

4

x

5

6

7

Erwartungswert einer ZV: Zufallsvariable X mit Werten x1,x2,…,xr

E ( X ) := x1 p1 + x2 p2 +  + xr pr Beispiel Würfel:

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 µ := E ( X ) = = 3.5 6

Beachte, dass auch gilt:

P ( X ≤ 3.5) = P ( X ≥ 3.5) = 0.5 Der Mittelwert ist hier gleich dem MEDIAN der ZV

Varianz einer ZV: Zufallsvariable X mit Werten x1,x2,…,xr und E(X) = µ

Var( X ) := ( x1 − µ ) 2 p1 +  + ( xr − µ ) 2 pr Beispiel Würfel: 2 2 2 2 2 2 + + + + + 2 . 5 1 . 5 0 . 5 0 . 5 1 . 5 2 . 5 = 2.916 σ 2 := Var ( X ) = 6

Alternative Berechnungsformel für Varianz: r

Var( X ) = ∑ xi p i − [E( X ) ] i =1

2

2

Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz einer ZV: Seien X und Y eine ZV und α eine reelle Zahl Dann gilt:

E(αX ) = α E( X ) E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )

Var(αX ) = α 2 Var( X )

Var( X + α ) = Var( X )

Unabhängige ZV: Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig, falls für beliebige Mengen A und B ihres Wertebereiches:

P( X ∈ A und Y ∈ B ) = P( X ∈ A) P(Y ∈ B) Für unabhängige ZV gilt (und zwar NUR für unabhängige):

Var( X + Y ) = Var( X ) + Var(Y ) Bsp 4-8 an der Tafel

Bernoulli Experiment:

Beispiele:

Bsp 4-8 Prozent

Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen

100 80 60

•Münzwurf (Kopf oder Zahl) •Medizin (krank oder gesund) Codiere Ergebnisse mit X=0 und X=1

40 20 0

X=0

Ergebnis 0 hat Wahrscheinlichkeit p Ergebnis 1 hat Wahrscheinlichkeit q = 1-p

X=1

Binomialverteilung: Führe n unabhängige Bernoulli Experimente durch Bezeichne mit X die Anzahl wie oft Ereignis 0 eintritt, dann ist X binomialverteilt:

Man schreibt:

X~B(n;p)

gibt die Anzahl der Kombinationen mit k Ergebnissen 0 Beachte: Für Bsp. 4-8,c gilt

Z~B(2;0.2)

Bsp. 15: Schadhafte Disketten Disketten funktionstüchtig mit p = 0.8 Packungen der Größe 10 X … Anzahl der guten Disketten pro Packung Wahrscheinlichkeitsfunktion:

Etwa für k=2:

Binomialverteilung: Beispiel 15 (S. 95)

Internet Tip: Statistics Tools for Internet and Classroom Instruction – Tools – Binomial Histogram

Eigenschaften der Binomialverteilung Sei X~B(n;p), dann gilt: Mittelwert: µ = n p Varianz:

σ2 = n p q

Anwendung: Ziehen mit zurücklegen M von N Objekten erfüllen eine gewisse Eigenschaft E Ziehe n mal mit zurücklegen, wir groß ist die Wahrscheinlichkeit k Objekte mit Eigenschaft E zu ziehen? Antwort: X~B(n;M/N)

(Bsp. 4-10 an der Tafel)

Hypergeometrische Verteilung: Bsp 4-13 an der Tafel – Ziehen ohne Zurücklegen Hypergeometrische Verteilung mit Parametern N,M und n

Mittelwert: Varianz:

Bsp. 4-15: Qualitätskontrolle 30 Disketten, davon 10 schadhaft Wähle Stichprobe der Größe 6 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind weniger als 2 Disketten der Stichprobe schadhaft?

P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) Hypergeom. Verteilung mit N=30, M=10, n=6

Bsp. 4-15: Qualitätskontrolle b) Wie groß sind Erwartungswert und Varianz der entnommenen defekten Disketten? Mittelwert: Varianz:

Poissonverteilung: Diskrete Zufallsvariable mit unendlich vielen Werten: Mittelwert: µ = λ Varianz:

σ2 = λ

Typische Anwendung: Verteilung seltener Ereignisse • Kunden an einem Schalter pro Zeiteinheit • Schadensfälle pro Zeiteinheit (Versicherung) • Pro Zeiteinheit zerfallende Atome (Radioaktivität)

Beispiel 4-16: Bankschalter Im Mittel 3 Kunden pro Minute und Zahl der eintreffenden Kunden X sei Poisson-verteilt, d.h. und µ = λ = 3.

Gegenwahrscheinlichkeit:

Poissonverteilung als Approximation für die Binomialverteilung: Eine binomialverteilte Zufallsvariable X~B(n;p) ist für großes n und kleines k näherungsweise Poissonverteilt mit Parameter λ = n k Wahrscheinlichkeiten der Poissonverteilung sind für große n leichter (schneller) zu berechnen als für die Binomialverteilung Faustregel: n>10 und p

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