Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Wprowadzenie do laboratorium 1 Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
Specyfikacja modelu
Zebranie danych statystycznych
Estymacja parametrów modelu
Weryfikacja statystyczna modelu
Praktyczne wykorzystanie modelu
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Specyfikacja modelu Sformułowanie celu i zakresu modelu oraz hipotez badawczych Cele: poznawcze prognostyczne normatywne Wybór i zdefiniowanie zmiennych endogenicznych i egzogenicznych Wybór postaci analitycznej funkcji
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Kolejne etapy budowy modelu
Zebranie danych statystycznych
Struktura danych: dane przekrojowe szeregi czasowe dane panelowe
Estymacja parametrów modelu z wykorzystaniem oprogramowania GRETL
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Weryfikacja modelu testowanie istotności wpływu poszczególnych zmiennych niezależnych na zmienną zależną ( test t-Studenta oraz test F ) ocena stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych (błąd standardowy reszt Se , współczynnik zmienności resztowej Ve , współczynnik determinacji R2 , błędy standardowe parametrów)
testowanie sferyczności / niesferyczności składnika losowego: autokorelacji składnika losowego (test Durbina-Watsona) heteroskedastyczności składnika losowego (test White’a) ocena liniowości postaci analitycznej modelu
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Interpretacja parametrów
w przypadku funkcji liniowej
Interpretuje się je jak pochodne cząstkowe: Współczynnik âi oznacza o ile średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie ceteris paribus (przy niezmienionych pozostałych zmiennych objaśniających) o jednostkę.
w przypadku funkcji potęgowej Interpretuje się je jak współczynniki elastyczności: Współczynnik âi oznacza o ile procent średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie, ceteris paribus, o jeden procent.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Kierunki wykorzystania modelu do celów poznawczych badanie zachowań podmiotów gospodarczych, analiza zależności ekonomicznych, badanie funkcjonowania systemów ekonomicznych, weryfikacja hipotez i teorii ekonomicznych do celów prognostycznych do celów normatywnych poszukiwanie efektywnych decyzji gospodarczych, analiza alternatywnych polityk ekonomicznych
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Przesłanki uwzględnienia składnika losowego w modelu ekonometrycznym: a.
niedeterministyczny charakter zjawisk społeczno-gospodarczych, konieczność uwzględnienia czynnika losowego
b.
błędy wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego, błędy obserwacji
c.
błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej
d.
błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną)
(niedokładnie
Przesłanka (a) odzwierciedla immanentną, niezależną od badającego, własność zjawisk gospodarczych – niedeterministyczny, losowy charakter. Przesłanki (b, c i d) odzwierciedlają błędy, które można ograniczyć w wyniku doskonalenia metod gromadzenia i analizy danych statystycznych oraz metod estymacji.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Założenia modelu KMNK y Xa 1. (Każda obserwacja yt jest liniową funkcją obserwacji xtk oraz składnika losowego εt) E 0 2. (Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru.) 2
E I 3. (Założenie o sferyczności składnika losowego) 2
2
E t I 3a. (Wariancja składnika losowego jest stała, tzn. występuje jednorodność wariancji składnika losowego) E s t 0 s t 3b. (Składnik losowy jest nieskorelowany, nie występuje autokorelacja składnika losowego)
4.
X jest macierzą n x (k+1) o elementach ustalonych w powtarzalnych próbach
r( x) k 1 n 5. Między zmiennymi objaśniającymi nie ma zależności liniowej.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Z tw. Gaussa-Markowa: Przy powyższych założeniach klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) daje najlepsze (o najniższej wariancji) estymatory wśród liniowych i nieobciążonych. BLUE – Best Linear Unbiased Estimators - najlepsze nieobciążone estymatory liniowe T 1 T aˆ ( X X ) X y
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test Fishera-Snedecora Test F Fishera –Snedecora modelu
umożliwia całościową ocenę przydatności
Hipoteza H 0 : a 1 , a 2 , ... , a i 0 (wszystkie parametry przy objaśniających są równe zero) wobec hipotezy H 1 ,że przynajmniej jeden parametr jest różny od zera R
Wartość statystyki F obliczona dla modelu: F
2
k 1 R
2
n k 1 ma rozkład F o poziomie istotności α oraz s1 k , s 2 n k 1
P { F F kr ( , s1 , s 2 ) } 1 P { F F kr ( , s1 , s 2 ) }
zmiennych
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test Fishera-Snedecora - cd F F kr ( , s1 , s 2 )
► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych objaśniających są nieistotnie różne od zera, a więc wszystkie zmienne objaśniające mają nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując – wszystkie zmienne xi są nieistotne, żadna z nich nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y, model jest nieprzydatny z tego punktu widzenia). F F kr ( , s1 , s 2 )
► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że przynajmniej jeden współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a tym samym przynajmniej jedna zmienna objaśniająca ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując, test oparty na statystyce F daje pozytywną, z punktu widzenia jakości dopasowania modelu, odpowiedź – oszacowany model zawiera istotne zmienne objaśniające). gdzie F kr ( , s1 , s 2 ) – wartość krytyczna statystyki F o poziomie istotności α oraz s1 k ,
s2 n k 1
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test t-Studenta Test t-Studenta: umożliwia zmienne objaśniające H 0 : ai 0
wobec
zmienna losowa
ti
wyselekcjonować
i
odrzucić
nieistotne
H 1 : ai 0 aˆ i S ai
ma rozkład t-Studenta o poziomie istotności α oraz
liczbie stopni swobody r (jest to obliczona wartość statystyki t-Studenta dla danej zmiennej objaśniającej xi ) Liczba stopni swobody : r t ( k 1 ) dla modelu z wyrazem wolnym lub r t k bez wyrazu wolnego P{
t i t kr ( , r ) } 1
P { t i t kr ( , r ) }
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test t-Studenta – cd. ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że współczynnik ai jest nieistotnie różny od zera, a zmienna xi ma nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest nieistotna). t i t kr ( , r )
► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a zmienna xi ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest istotna). t i t kr ( , r )
gdzie t kr ( , r ) – wartość krytyczna statystyki t-Studenta o poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody r Wykorzystując ten test należy zastosować sekwencyjną metodę odrzucania nieistotnych zmiennych objaśniających – zaczynając od zmiennych najmniej istotnych (o najniższej, co do modułu, wartości statystyki tStudenta).
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test t-Studenta w GRETL Dla każdego parametru podawane są: wartość statystyki t-Studenta p-value - empiryczny poziom istotności (dwustronne prawdopodobieństwo związane z rozkładem t-Studenta
symboliczne oznaczenie stopnia istotności (gwiazdki)
Uwaga: Liczba gwiazdek charakteryzuje istotność zmiennych: *** ** *
- zmienna istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,01; - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,05; - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,1.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test F a test t-Studenta Uwaga: Test F nie rozstrzyga czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne, odpowiedź na takie pytanie daje test oparty na statystyce t-Studenta.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Badanie założeń dotyczących składnika losowego Z a ło ż e n ie o s fe r y c z n o ś c i s k ła d n ik a lo so w e g o : 2
E
o z n a c z a , ż e : m a c ie r z k o w a r ia n c ji je s t m a c ie r z ą 2 d ia g o n a ln ą z je d n a k o w y m i w a r to śc ia m i n a p r z e k ą tn e j r ó w n y m i σ i z e r a m i p o z a d ia g o n a ln ą (ξ - w e k to r ) I
m o ż n a r o z b ić n a d w a z a ło ż e n ia : 2
Et
2
w y s tę p u je
I
je d n o r o d n o ść
w a r ia n c ji
sk ła d n ik a
lo so w e g o N ie s p e łn ie n ie te g o z a ło ż e n ia o zn a cza , h e te r o s k e d a s ty c z n o ść s k ła d n ik a lo so w e g o . E s t 0
s t
że
w y stę p u je
s k ła d n ik lo s o w y je st n ie z a le ż n y
N ie s p e łn ie n ie te g o z a ło ż e n ia o z n a c z a , ż e w y stę p u je a u to k o r e la c ja s k ła d n ik a lo so w e g o .
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test Durbina-Watsona T e s t D u r b in a -W a tso n a w e r y fik u je b r a k / w y s tę p o w a n ie a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u H ip o te z a H 0 : 1 0 o z n a c z a b r a k a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u , w o b e c h ip o te z y H 1 : 1 0 . g d z ie 1 - w s p ó łc z y n n ik a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u S ta ty s ty k a D u r b in a -W a ts o n a d : n
(et et 1 )
d
2
t2
n
et
2
t2
p r z y b liż e n ie : d 2 2 1 2 ( 1 1 )
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test Durbina-Watsona - cd ► taki wynik testu wskazuje, że są podstawy do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: występuje autokorelacja wariancji składnika losowego) ► taki wynik testu nie rozstrzyga d L ( , n , k ) d d U ( , n , k ) kwestii autokorelacji składnika losowego d d U ( , n , k ) ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: nie występuje autokorelacja wariancji składnika losowego) d d L ( , n , k )
d L ( , n , k ) - dolna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu
istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k d U ( , n , k ) - górna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Test Durbina-Watsona dla ujemnej korelacji T e s t d la u je m n e j k o r e la c ji: H ip o te z a H 0 : 1 0 o z n a c z a b r a k a u to k o r e la c ji p ie r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h ip o te z y H 1 : 1 0 . w y k o r z y s tu je s ta ty s ty k ę d ’ = 4 - d . D la u je m n e j k o r e la c ji s ta ty s ty k a d p r z y jm u je w a r to ś c i z p r z e d z ia łu (2 ,4 ). W te d y n a le ż y d o k o n a ć p r z e k s z ta łc e n ia :
d’ = 4 - d
.
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych błąd standardowy reszt Se oraz współczynnik zmienności resztowej Ve współczynnik determinacji R2 : nieskorygowany i skorygowany oraz współczynnik zbieżności φ2 błędy standardowe parametrów Sai
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Odchylenie standardowe składnika losowego Błąd standardowy reszt: e
Se
2
n ( k 1)
Współczynnik zmienności resztowej: Ve
Se y
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Współczynnik R2 W s p ó łc z y n n ik d e te r m in a c ji R k w a d r a t (U n a d ju ste d R -s q u a r e d ) R
2
SSR SST
1
SSE SST
( yˆ y )
2
( y y)
2
1
e
2
( y y)
2
g d z ie : S S T (to ta l s u m o f sq u a r e s ) – c a łk o w ita (o g ó ln a ) w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i e m p ir y c z n y c h o d ś r e d n ie j (z m ie n n o ść c a łk o w ita ) S S R (r e g r e ss io n s u m o f s q u a r e s ) – o b ja ś n io n a w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i te o r e ty c z n y c h o d ś r e d n ie j (z m ie n n o ść o b ja ś n io n a ) S S E (e r ro r su m o f sq u a r e s ) – n ie o b ja śn io n a w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w r e s z t, c z y li su m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i te o r e ty c z n y c h o d e m p ir y c z n y c h (z m ie n n o ść n ie o b ja ś n io n a )
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Współczynnik zbieżności
2
Współczynnik zbieżności :
2
1 R
2
2
e
2
( y y)
2
Skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared) umożliwia porównywalność różnych modeli ekonometrycznych ~2 R 1
n1 n k 1
2
(1 R )
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Jak zapisujemy ostateczny wynik estymacji ŷ = 54,353 - 2,871 x1 + 1,784 x2 + 0,873 x3 (29,410) (0,446) (0,539) (0,310)
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Prognoza na podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego Jeżeli dla klasycznego modelu regresji liniowej o postaci: y i a 0 a 1 x i 1 ... a k x i k i , i 1 , ... , n
spełnione są wszystkie założenia schematu Gaussa-Markowa, wtedy MNK-estymator jest BLUE, a prognoza na okres n+s wynosi: yˆ n s a 0 a 1 x n s , 1 ... a k x n s , k ,
s 1 , ... , T
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Błędy prognozy Błąd prognozy ex ante w okresie n+s - Vn+s : 2
Vn s
2
Se [ 1 xn s ( X
T
X)
1
T
xn s ]
Vn s
2
Vn s
Błąd prognozy ex post w okresie n+s - δn+s : n s y n s yˆ n s
Względne błędy prognozy :
*
Vn s
Vn s yˆ n s
100 %
*
n s
n s yˆ n s
100 %
Irena Woroniecka
EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________
Źródła błędów prognoz a.
błędy estymacji (wartości estymatorów różnią się od rzeczywistych wartości parametrów)
b.
błędy struktury stochastycznej (jeśli założenia dotyczące składnika losowego nie są spełnione, estymatory tracą pożądane własności)
c.
błędy losowe (wynikające z niedeterministycznego charakteru zjawisk społecznogospodarczych)
d.
błędy pomiaru wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego
e.
błędy specyfikacji:
- błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej - błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej, niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną f.
błędy warunków endogenicznych (zmienia się siła oddziaływania między zmiennymi)
g.
błędy warunków egzogenicznych (błędnie przyjęte wartości zmiennych egzogenicznych w okresie prognozy)