Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Wprowadzenie do laboratorium 1 Estymacja jednorównaniowego modelu popytu na bilety lotnicze

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Etapy budowy modelu ekonometrycznego 

Specyfikacja modelu



Zebranie danych statystycznych



Estymacja parametrów modelu



Weryfikacja statystyczna modelu



Praktyczne wykorzystanie modelu

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Specyfikacja modelu  Sformułowanie celu i zakresu modelu oraz hipotez badawczych Cele:  poznawcze  prognostyczne  normatywne  Wybór i zdefiniowanie zmiennych endogenicznych i egzogenicznych  Wybór postaci analitycznej funkcji

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Kolejne etapy budowy modelu 

Zebranie danych statystycznych

Struktura danych:  dane przekrojowe  szeregi czasowe  dane panelowe 

Estymacja parametrów modelu z wykorzystaniem oprogramowania GRETL

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Weryfikacja modelu  testowanie istotności wpływu poszczególnych zmiennych niezależnych na zmienną zależną ( test t-Studenta oraz test F )  ocena stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych (błąd standardowy reszt Se , współczynnik zmienności resztowej Ve , współczynnik determinacji R2 , błędy standardowe parametrów)

 testowanie sferyczności / niesferyczności składnika losowego:  autokorelacji składnika losowego (test Durbina-Watsona)  heteroskedastyczności składnika losowego (test White’a)  ocena liniowości postaci analitycznej modelu

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Interpretacja parametrów 

w przypadku funkcji liniowej

Interpretuje się je jak pochodne cząstkowe: Współczynnik âi oznacza o ile średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie ceteris paribus (przy niezmienionych pozostałych zmiennych objaśniających) o jednostkę. 

w przypadku funkcji potęgowej Interpretuje się je jak współczynniki elastyczności: Współczynnik âi oznacza o ile procent średnio zmieni się zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie, ceteris paribus, o jeden procent.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Kierunki wykorzystania modelu  do celów poznawczych badanie zachowań podmiotów gospodarczych, analiza zależności ekonomicznych, badanie funkcjonowania systemów ekonomicznych, weryfikacja hipotez i teorii ekonomicznych  do celów prognostycznych  do celów normatywnych poszukiwanie efektywnych decyzji gospodarczych, analiza alternatywnych polityk ekonomicznych

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Przesłanki uwzględnienia składnika losowego w modelu ekonometrycznym: a.

niedeterministyczny charakter zjawisk społeczno-gospodarczych, konieczność uwzględnienia czynnika losowego

b.

błędy wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego, błędy obserwacji

c.

błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej

d.

błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną)

(niedokładnie

Przesłanka (a) odzwierciedla immanentną, niezależną od badającego, własność zjawisk gospodarczych – niedeterministyczny, losowy charakter. Przesłanki (b, c i d) odzwierciedlają błędy, które można ograniczyć w wyniku doskonalenia metod gromadzenia i analizy danych statystycznych oraz metod estymacji.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Założenia modelu KMNK y  Xa   1. (Każda obserwacja yt jest liniową funkcją obserwacji xtk oraz składnika losowego εt) E  0 2. (Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru.) 2

E     I 3. (Założenie o sferyczności składnika losowego) 2

2

E t   I 3a. (Wariancja składnika losowego jest stała, tzn. występuje jednorodność wariancji składnika losowego) E  s t  0  s  t 3b. (Składnik losowy jest nieskorelowany, nie występuje autokorelacja składnika losowego)

4.

X jest macierzą n x (k+1) o elementach ustalonych w powtarzalnych próbach

r( x)  k  1  n 5. Między zmiennymi objaśniającymi nie ma zależności liniowej.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów Z tw. Gaussa-Markowa: Przy powyższych założeniach klasyczna metoda najmniejszych kwadratów (KMNK) daje najlepsze (o najniższej wariancji) estymatory wśród liniowych i nieobciążonych. BLUE – Best Linear Unbiased Estimators - najlepsze nieobciążone estymatory liniowe T 1 T aˆ  ( X X ) X y

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test Fishera-Snedecora Test F Fishera –Snedecora modelu

umożliwia całościową ocenę przydatności

Hipoteza H 0 : a 1 , a 2 , ... , a i  0 (wszystkie parametry przy objaśniających są równe zero) wobec hipotezy H 1 ,że przynajmniej jeden parametr jest różny od zera R

Wartość statystyki F obliczona dla modelu: F 

2

k 1 R

2

n k 1 ma rozkład F o poziomie istotności α oraz s1  k , s 2  n  k  1

P { F  F kr ( , s1 , s 2 ) }  1   P { F  F kr ( , s1 , s 2 ) }  

zmiennych

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test Fishera-Snedecora - cd F  F kr ( , s1 , s 2 )

► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że wszystkie współczynniki stojące przy zmiennych objaśniających są nieistotnie różne od zera, a więc wszystkie zmienne objaśniające mają nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując – wszystkie zmienne xi są nieistotne, żadna z nich nie ma istotnego wpływu na zmienną objaśnianą y, model jest nieprzydatny z tego punktu widzenia). F  F kr ( , s1 , s 2 )

► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że przynajmniej jeden współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a tym samym przynajmniej jedna zmienna objaśniająca ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując, test oparty na statystyce F daje pozytywną, z punktu widzenia jakości dopasowania modelu, odpowiedź – oszacowany model zawiera istotne zmienne objaśniające). gdzie F kr ( , s1 , s 2 ) – wartość krytyczna statystyki F o poziomie istotności α oraz s1  k ,

s2  n  k  1

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test t-Studenta Test t-Studenta: umożliwia zmienne objaśniające H 0 : ai  0

wobec

zmienna losowa

ti 

wyselekcjonować

i

odrzucić

nieistotne

H 1 : ai  0 aˆ i S ai

ma rozkład t-Studenta o poziomie istotności α oraz

liczbie stopni swobody r (jest to obliczona wartość statystyki t-Studenta dla danej zmiennej objaśniającej xi ) Liczba stopni swobody : r  t  ( k  1 ) dla modelu z wyrazem wolnym lub r  t  k bez wyrazu wolnego P{

t i  t kr ( , r ) }  1  

P { t i  t kr ( , r ) }  

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test t-Studenta – cd. ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że współczynnik ai jest nieistotnie różny od zera, a zmienna xi ma nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest nieistotna). t i  t kr ( , r )

► taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a zmienna xi ma istotny statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest istotna). t i  t kr ( , r )

gdzie t kr (  , r ) – wartość krytyczna statystyki t-Studenta o poziomie istotności α oraz liczbie stopni swobody r Wykorzystując ten test należy zastosować sekwencyjną metodę odrzucania nieistotnych zmiennych objaśniających – zaczynając od zmiennych najmniej istotnych (o najniższej, co do modułu, wartości statystyki tStudenta).

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test t-Studenta w GRETL Dla każdego parametru podawane są:  wartość statystyki t-Studenta  p-value - empiryczny poziom istotności (dwustronne prawdopodobieństwo związane z rozkładem t-Studenta



symboliczne oznaczenie stopnia istotności (gwiazdki)

Uwaga: Liczba gwiazdek charakteryzuje istotność zmiennych: *** ** *

- zmienna istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,01; - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,05; - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,1.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test F a test t-Studenta Uwaga: Test F nie rozstrzyga czy wszystkie zmienne objaśniające są istotne, odpowiedź na takie pytanie daje test oparty na statystyce t-Studenta.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Badanie założeń dotyczących składnika losowego Z a ło ż e n ie o s fe r y c z n o ś c i s k ła d n ik a lo so w e g o : 2

E    

o z n a c z a , ż e : m a c ie r z k o w a r ia n c ji je s t m a c ie r z ą 2 d ia g o n a ln ą z je d n a k o w y m i w a r to śc ia m i n a p r z e k ą tn e j r ó w n y m i σ i z e r a m i p o z a d ia g o n a ln ą (ξ - w e k to r ) I

m o ż n a r o z b ić n a d w a z a ło ż e n ia : 2

Et  

2

w y s tę p u je

I

je d n o r o d n o ść

w a r ia n c ji

sk ła d n ik a

lo so w e g o N ie s p e łn ie n ie te g o z a ło ż e n ia o zn a cza , h e te r o s k e d a s ty c z n o ść s k ła d n ik a lo so w e g o . E  s t  0

s  t

że

w y stę p u je

s k ła d n ik lo s o w y je st n ie z a le ż n y

N ie s p e łn ie n ie te g o z a ło ż e n ia o z n a c z a , ż e w y stę p u je a u to k o r e la c ja s k ła d n ik a lo so w e g o .

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test Durbina-Watsona T e s t D u r b in a -W a tso n a w e r y fik u je b r a k / w y s tę p o w a n ie a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u H ip o te z a H 0 :  1  0 o z n a c z a b r a k a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u , w o b e c h ip o te z y H 1 :  1  0 . g d z ie  1 - w s p ó łc z y n n ik a u to k o r e la c ji p ie r w sz e g o r z ę d u S ta ty s ty k a D u r b in a -W a ts o n a d : n

 (et  et 1 )

d 

2

t2

n

 et

2

t2

p r z y b liż e n ie : d  2  2  1  2 ( 1   1 )

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test Durbina-Watsona - cd ► taki wynik testu wskazuje, że są podstawy do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: występuje autokorelacja wariancji składnika losowego) ► taki wynik testu nie rozstrzyga d L ( , n , k )  d  d U ( , n , k ) kwestii autokorelacji składnika losowego d  d U ( , n , k ) ► taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: nie występuje autokorelacja wariancji składnika losowego) d  d L ( , n , k )

d L ( , n , k ) - dolna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu

istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k d U (  , n , k ) - górna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu istotności α , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Test Durbina-Watsona dla ujemnej korelacji T e s t d la u je m n e j k o r e la c ji: H ip o te z a H 0 :  1  0 o z n a c z a b r a k a u to k o r e la c ji p ie r w s z e g o r z ę d u , w o b e c h ip o te z y H 1 :  1  0 . w y k o r z y s tu je s ta ty s ty k ę d ’ = 4 - d . D la u je m n e j k o r e la c ji s ta ty s ty k a d p r z y jm u je w a r to ś c i z p r z e d z ia łu (2 ,4 ). W te d y n a le ż y d o k o n a ć p r z e k s z ta łc e n ia :

d’ = 4 - d

.

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Ocena dopasowania modelu do danych empirycznych  błąd standardowy reszt Se oraz współczynnik zmienności resztowej Ve  współczynnik determinacji R2 : nieskorygowany i skorygowany oraz współczynnik zbieżności φ2  błędy standardowe parametrów Sai

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Odchylenie standardowe składnika losowego Błąd standardowy reszt: e

Se 

2

n  ( k  1)

Współczynnik zmienności resztowej: Ve 

Se y

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Współczynnik R2 W s p ó łc z y n n ik d e te r m in a c ji R k w a d r a t (U n a d ju ste d R -s q u a r e d ) R

2



SSR SST



1

SSE SST



 ( yˆ  y )

2

 ( y  y)

2



1

e

2

 ( y  y)

2

g d z ie : S S T (to ta l s u m o f sq u a r e s ) – c a łk o w ita (o g ó ln a ) w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i e m p ir y c z n y c h o d ś r e d n ie j (z m ie n n o ść c a łk o w ita ) S S R (r e g r e ss io n s u m o f s q u a r e s ) – o b ja ś n io n a w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i te o r e ty c z n y c h o d ś r e d n ie j (z m ie n n o ść o b ja ś n io n a ) S S E (e r ro r su m o f sq u a r e s ) – n ie o b ja śn io n a w a r ia n c ja z m ie n n e j o b ja ś n ia n e j y , s u m a k w a d r a tó w r e s z t, c z y li su m a k w a d r a tó w o d c h y le ń w a r to ś c i te o r e ty c z n y c h o d e m p ir y c z n y c h (z m ie n n o ść n ie o b ja ś n io n a )

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Współczynnik zbieżności

2

Współczynnik zbieżności  : 

2

1 R

2



2



e

2

 ( y  y)

2

Skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared) umożliwia porównywalność różnych modeli ekonometrycznych ~2 R 1

n1 n k 1

2

(1  R )

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Jak zapisujemy ostateczny wynik estymacji ŷ = 54,353 - 2,871 x1 + 1,784 x2 + 0,873 x3 (29,410) (0,446) (0,539) (0,310)

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Prognoza na podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego Jeżeli dla klasycznego modelu regresji liniowej o postaci: y i  a 0  a 1 x i 1  ...  a k x i k   i , i  1 , ... , n

spełnione są wszystkie założenia schematu Gaussa-Markowa, wtedy MNK-estymator jest BLUE, a prognoza na okres n+s wynosi: yˆ n  s  a 0  a 1 x n  s , 1  ...  a k x n  s , k ,

s  1 , ... , T

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Błędy prognozy Błąd prognozy ex ante w okresie n+s - Vn+s : 2

Vn s 

2

Se [ 1  xn s ( X

T

X)

1

T

xn s ]

Vn s 

2

Vn s

Błąd prognozy ex post w okresie n+s - δn+s :  n  s  y n  s  yˆ n  s

Względne błędy prognozy :

*

Vn s 

Vn s yˆ n  s

100 %

*

 n s 

 n s yˆ n  s

100 %

Irena Woroniecka

EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2

Wydział Informatycznych Technik Zarządzania Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT __________________________________________________________________

Źródła błędów prognoz a.

błędy estymacji (wartości estymatorów różnią się od rzeczywistych wartości parametrów)

b.

błędy struktury stochastycznej (jeśli założenia dotyczące składnika losowego nie są spełnione, estymatory tracą pożądane własności)

c.

błędy losowe (wynikające z niedeterministycznego charakteru zjawisk społecznogospodarczych)

d.

błędy pomiaru wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego

e.

błędy specyfikacji:

- błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej - błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej, niedokładnie odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną f.

błędy warunków endogenicznych (zmienia się siła oddziaływania między zmiennymi)

g.

błędy warunków egzogenicznych (błędnie przyjęte wartości zmiennych egzogenicznych w okresie prognozy)