Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 3 Kwantowanie przewodności elektrycznej 16.10.2008
Wprowadzenie i sformułowanie zagadnienia Rozwój nauki i stosowanie coraz doskonalszych metod eksperymentalnych doprowadził do badania wielu zjawisk mających naturę kwantową i niepodlegających klasycznym wyobrażeniom. Wydawać by się mogło, że zjawiska takie wymagają stosowania bardzo zaawansowanej aparatury badawczej i metod pomiarowych. Okazuje się jednak, że tak nie jest i badanie czysto kwantowych mechanizmów można przeprowadzić wykorzystując bardzo prymitywne i powszechnie dostępne urządzenia. Tym razem chcielibyśmy przybliżyć jedno z takich zjawisk – kwantowanie przewodności elektrycznej. Z eksperymentalną realizacją możecie spotkać się podczas zajęć na IIPF i aż dziw bierze, że efekty o których będziemy mówić (oczywiście teoretycznie) po raz pierwszy zaobserwowano eksperymentalnie dopiero w 1988 roku. Tyle zatem tytułem wstępu – przejdźmy do konkretów. W klasycznej teorii przewodnictwa Drudego elektrony traktowane są jak idealny, niezdegenerowany gaz. Teoria ta zakłada, że: 1) pomiędzy zderzeniami elektrony poruszają się jak klasyczne cząstki, na które oddziałuje tylko zewnętrzne pole elektryczne, 2) nie ma oddziaływań elektron–elektron, 3) czas trwania zderzeń z rdzeniami atomowymi jest pomijalnie krótki, a zderzenia te są niezależne i występują z prawdopodobieństwem odwrotnie proporcjonalnym do czasu relaksacji τ. Przy tych założeniach wyrażenie na przewodność elektryczną właściwą przyjmuje postać:
gdzie ne oznacza koncentrację elektronów, e – ładunek elementarny, a m – masę elektronu. Model ten zawiera oczywiście wiele uproszczeń, z których wynikają jego ograniczenia. Jednakże zasadniczym aspektem, na który należy zwrócić uwagę, jest fakt, że w myśl tego modelu nie ma żadnych ograniczeń na wielkość przewodności i może ona przyjmować całe 1
kontinuum wartości. Okazuje się jednak, że w nanoskali założenia powyższego modelu nie mogą być już spełnione – pojawia się balistyczny transport elektronów odpowiedzialny za zupełnie odmienne własności przewodnika. Model Drudego sprawdza się bowiem wówczas, gdy długość L oraz szerokość W przewodnika spełniają zależności
gdzie l jest średnią drogą swobodną elektronów w danym materiale, a λF – długością fali Fermiego. Balistyczny transport elektronów występuje wówczas, gdy rozmiary przewodnika spełniają warunki
Nie zachodzą wtedy procesy rozpraszania elektronów i przewodnik staje się swego rodzaju falowodem dla funkcji falowej elektronów przewodnictwa (rys. 1). Zagadnienie idealnego złącza łączącego dwa obszary wypełnione elektronami po raz pierwszy opisał w roku 1957 Landauer [1]; jego opis dotyczył jednowymiarowego drutu. Najczęściej obecnie cytowana analiza tego problemu pochodzi z pracy [2].
Zadanie 1 Przypadek najprostszy – złącze jednowymiarowe Rozważmy zagadnienie jednowymiarowego idealnego drutu spełniającego wszystkie wspomniane założenia i łączącego dwa rezerwuary elektronów o potencjałach chemicznych odpowiednio: µ1 i µ2 (rysunek).
2
-
Odpowiedz na pytanie, jakie elektrony będą brały udział w procesie tworzenia prądu płynącego przez złącze
-
Wyznacz poziomy energetyczne jednowymiarowego przewodu
-
Obliczyć gęstość stanów elektronowych w obszarze przewodu, jak zależą one od energii?
-
Wyprowadź wyrażenie opisujące prąd płynący przez złącze i wyraź wynik przy użyciu stałych fizycznych i napięcia pomiędzy zbiornikami elektronów
-
Jaka jest wartość kwantu przewodności elektrycznej?
Zadanie 2
i funkcje falowe elektronów w obszarze
Złącze dwuwymiarowe – przypadek „prawie” rzeczywisty
Wyobraźmy sobie, że nanodrut który rozważamy jest idealnie płaski. Takie posunięcie pozwala przybliżyć się do sytuacji rzeczywistej. Zyskujemy bowiem jeden wymiar „poprzeczny” i prawdę mówiąc – wprowadzenie drugiego nie wniosłoby już żadnych nowych efektów poza komplikacją obliczeń. Przyjmijmy, że elektrony nie mogą wydostawać się poza obszar złącza, tzn. są zamknięte w nieskończonej studni potencjału o szerokości naszego nanodrutu. Rozdzielmy ruch elektronów na poprzeczny i podłużny. -
Jakie są dodatkowe mody ruchu elektronów, nieobecne w modelu jednowymiarowym?
-
Jakie są wartości energii modów poprzecznych?
-
Jakie są funkcje falowe ruchu poprzecznego?
-
Jakie elektrony biorą udział w tworzeniu prądu (o jakich energiach)?
-
Jaki warunek spełniać musi całkowita energia elektronów, aby mogły one „przepłynąć” przez nanodrut? (patrz rysunek)
3
-
Jaki parametr nanodrutu jest w tym względzie kluczowy?
-
Jak można zdefiniować kanały przewodności? Jakie wartości przewodność może przyjmować przy założeniu niezależności kanałów?
-
Jak wytłumaczyć teoretycznie pojawianie się w pomiarach eksperymentalnych wartości „połówkowych” kwantów przewodności?
Zadanie 3 Rozwiązanie analityczne
Załóżmy, że funkcje falowe elektronów, które płyną przez nasze złącze zmieniają się powoli wzdłuż złącza. Schematycznie złącze przedstawia rysunek.
Wykonajmy separację zmiennych w równaniu Schroedingera i podstawmy:
x , y , z y ,n x , z n y n
gdzie funkcje
y , n x , z są formalnie rozwiązaniami dwuwymiarowego równania
Schroedingera (dla każdej wartości y0): 4
2 2 2 2m x 2 z 2
V x , y 0 , z y0 , n x , z E n y 0 y0 ,n x , z
Co dostaniemy po podstawieniu powyższego rozwinięcia do równania Schroedingera?
Zadanie 4 -
Rozwiązanie równania Schroedingera (10 punktów)
(4pkt) Korzystając z wyników zadania 3 udowodnić, że równanie dla funkcji n y ma postać: 2 2 E n y n y Fnm m y E Fermi n y 2 m 2m y
a operator sprzęgający wyraża się następująco: Fnm
2 2 n y 2 m y 2 n y m y 2m y y y
Jaki warunek musi być spełniony by można było zaniedbać sprzężenia pomiędzy funkcjami φ -
Zakładając zgodnie z pierwszym punktem, że funkcje φ nie są sprzężone wyznacz wartości własne energii ruchu poprzecznego elektronów (3pkt)
-
Wyznacz funkcje falowe ruchu poprzecznego elektronów (3pkt)
Literatura: [1] R. Landauer, IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957) [2] M. Buettiker et al., Phys. Rev. B 31, 6207 (1985) [3] M. Brandbyge et al., Phys. Rev. B 52, 8499 (1995) [4] S. Godlewski, A. Tekiel, Postępy Fizyki 5, 210 (2005) [5] S. Godlewski, A. Tekiel, Foton 90, 35 (2005)
5
