LEHRSTUHL FÜR INFORMATIONSÜBERTRAGUNG Laboratorium für Nachrichtentechnik  Prof. Dr.Ing. J. Huber FriedrichAlexanderUniversität ErlangenNürnberg

D

Schriftliche Prüfung im Fach

Signalübertragung und -verarbeitung

9. Oktober 2006

5 Aufgaben

90 Punkte

Hinweise: Beachten Sie die Hinweise zu den einzelnen Teilaufgaben. Sollten Sie Teilaufgaben nicht lösen können, so beachten Sie ggf. die angegebenen Werte zum Weiterrechnen. Diese Werte entsprechen nicht immer der Lösung! Fast alle Teilaufgaben sind damit unabhängig lösbar! Beachten Sie das Hilfsblatt im Anhang. Geben Sie es bei Verwendung zusammen mit Ihren Bearbeitungsblättern ab. Falls Sie zusätzliche Bearbeitungsblätter benötigen, wenden Sie sich bitte an die Klausuraufsicht.

Q

Seite 2

1. Aufgabe

12 Punkte

Analoge Modulationsverfahren Drei Quellensignale mit einer (einseitigen) NF-Bandbreite von jeweils

analoger

10 kHz sollen mittels

Modulationsverfahren übertragen werden. Zwei Quellensignale sollen mittels

Frequenzmodulation (FM) und ein Quellensignal mittels Einseitenbandmodulation (EM)

in Kehrlage übertragen werden. 500 kHz bis 700 kHz bendet sich ein extrem starker monofrequenter Störer mit der Frequenz 580 kHz. Neben dem monofrequenten Störer werden Im zulässigen Frequenzband von

die HF-Sendesignale durch additives weiÿes gauÿsches Rauschen gestört. Das folgende Bild zeigt das Leistungsdichtespektrum der Störungen:

a)

Treen Sie eine geeignete Wahl der Trägerfrequenzen aller drei Verfahren, sowie der Frequenzhübe bei FM, so dass das zur Verfügung stehende Frequenzband möglichst so genutzt wird, dass hohe Störabstände im demodulierten Sinkensignal erreicht werden. Der monofrequente Störer darf dabei keine Übertragung stören. Die Signale sollen dabei in hoher Qualität übertragen werden. Hinweis: Eine Skizze ist nicht gefordert, kann aber hilfreich sein.

In der folgenden Situation ist das additive weiÿe gauÿsche Rauschen auf Grund eines entfernten Senders im gleichen Frequenzband (Gleichkanalstörung) nicht mehr über das gesamte Frequenzband konstant:

Im unteren Bereich beträgt die zweiseitige Rauschleistungsdichte

0,5·10−19 W/Hz, im obe-

ren Bereich ist sie doppelt so hoch. Beide Rauschleistungsdichten sind direkt am Empfängereingang wirksam. Die empfangene Nutzleistung der Sendesignale beträgt für alle drei −11 Verfahren 10 W. Der Aussteuerpegel der Quellensignale beträgt jeweils −14,77 dB.

Seite 3

b)

Q Treen Sie die optimale Wahl der Trägerfrequenzen aller drei Verfahren, sowie der Frequenzhübe bei FM, so dass der niedrigste Störabstand im demodulierten Sinkensignal von allen drei Empfängern maximiert wird. Geben Sie für die optimale Wahl die Störabstände (in dB) im demodulierten Sinkensignal für alle drei Empfänger an.

Q

Seite 4

2. Aufgabe Quellencodierung für das FAX-Gerät

22 Punkte 1

Beim FAX-Gerät wird die Vorlage zeilenweise mit 1000 Bildpunkten (schwarz/weiÿ) gescannt. Eine DIN A4 Seite besteht aus 1000 Zeilen.

a)

Wieviele Binärsymbole wären je DIN A4 Seite zu übertragen, wenn jeder Bildpunkt (Pixel) durch ein Binärsymbol (schwarz oder weiÿ) repräsentiert werden würde? Wie lange (Min./Sek.) würde die Übertragung einer Seite bei einer Übertragungsgeschwindigkeit von

9.600 Bit/s

dauern?

Zur Datenkompression wird jede Zeile durch eine Folge von Symbolen

1, 2, . . . , 13

reprä-

sentiert, wobei diese Symbole den Abstand zweier Wechsel zwischen schwarz/weiÿ und weiÿ/schwarz darstellen. Gezählt werden die Wechsel stets ab dem Zeilenanfang, wobei das erste schwarze Symbol einen Wechsel darstellt, d.h. es wird inhärent davon ausgegangen, dass ein weiÿes Symbol dem Zeilenanfang vorausgeht. Das folgende Bild zeigt ein Beispiel:

Längere Abstände als 13 werden in oene Intervalle der Länge 13 und ein Abschlussintervall zerlegt. Oene Intervalle der Länge 13 ohne Helligkeitswechsel werden mit dem Symbol o (oenes Intervall) gekennzeichnet. Auÿerdem existiert ein Symbol e, das anzeigt, dass nun kein Helligkeitswechsel mehr bis zum Zeilenende auftritt. Leere Zeilen (ganze Zeile weiÿ) werden mit dem Symbol w gekennzeichnet. Somit liegt folgendes Symbolalphabet vor:

{w, e, o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}.

b)

Wieviele Binärsymbole werden zur Codierung dieses Symbolalphabets benötigt, wenn ein Binärcode mit xer Wortlänge verwendet wird?

Im Mittel

werden 35% leere Zeilen und bei nicht leeren Zeilen 100 Helligkeitswechsel,

oene Intervalle oder kein Helligkeitswechsel mehr bis Zeilenende, beobachtet.

c)

Wieviele Binärsymbole sind bei dieser Codierung

im Mittel

je DIN A4 Seite zu

übertragen, wenn der Blockcode mit xer Wortlänge nach Teilaufgabe

b)

einge-

setzt wird? Wie lange dauert im Mittel die Übertragung einer Seite (wiederum mit

9.600 Bit/s)? 1 Die

Darstellung ist gegenüber der Realität stark vereinfacht und modiziert.

Q

Seite 5

Die Codierung wird nun dahingehend verbessert, dass eine leere Zeile durch das Symbol 0, eine nichtleere Zeile durch das Symbol 1 und durch eine nachfolgende binäre Codesymbolfolge (aus Symbolen 0 und 1) aus einer Humann-Codierung der Folge der Symbolabstandssymbole repräsentiert werden. Dabei wurden folgende Wahrscheinlichkeiten für die 15 Symbole in Testreihen mit Textseiten ermittelt:

d)

Symbol

e

o

1

2

3

4

5

6

Wahrscheinlichkeit

0,2

0,15

0,01

0,02

0,1

0,15

0,15

0,1

Symbol

7

8

9

10

11

12

13

Wahrscheinlichkeit

0,05

0,02

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

Konstruieren Sie den Baum einer Human-Codierung für die 15 Symbole aus obiger Tabelle. Hinweis: Die Codewörter müssen

e)

nicht

angegeben werden.

Bestimmen Sie die mittlere Wortlänge Ihres Humann-Codes. Wert zum Weiterrechnen: 3,25 Codesymbole/Quellensymbol

f)

Wieviele Binärsymbole sind nun im Mittel je DIN A4 Seite zu übertragen und wie lange dauert dies (wiederum mit

g)

9.600 Bit/s)?

Wieso dauert mit diesem Verfahren die FAX-Übertragung von Landkarten sehr viel länger als die von Textseiten?

Q

Seite 6

3. Aufgabe

20 Punkte

Pulscodemodulation (PCM) Ein Quellensignal

q(t) soll mittels Pulscodemodulation übertragen werden.

Dessen Wahr-

scheinlichkeitsdichtefunktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

a)

Welche mittlere Leistung besitzt das Quellensignal? Wert zum Weiterrechnen:

0,1

Das Quellensignal soll zunächst mittels gleichmäÿiger Quantisierung bei

tastwert in ein digitales Signal gewandelt werden. b)

4 Bit pro Ab-

Wie groÿ ist dabei die mittlere Quantisierungsgeräuschleistung? −3 Wert zum Weiterrechnen:

1 · 10

c)

Welcher Störabstand (in dB) resultiert für das quantisierte Signal?

d)

Was muss bei der Abtastung des analogen Signals beachtet werden, damit neben dem Quantisierungsrauschen keine weiteren Störungen im digitalen Signal enthalten sind?

Nun wird eine ungleichmäÿige Quantisierung mittels Kompandierung, ebenfalls mit 4 Bit pro Abtastwert, betrachtet. Durch einen Implementierungsfehler wurden Expander- und

Q

Seite 7

Kompressor-Kennlinie vertauscht. Die daraus resultierende Quantisierungskennlinie im 1. Quadranten zeigt folgendes Bild

Im 3. Quadranten verläuft die Kennlinie punktsymmetrisch zum Ursprung.

e)

Welchen Störabstandverlusts (in dB) gegenüber der gleichmäÿigen Quantisierung bewirkt der Implementierungsfehler?

f)

Zeichnen Sie die Kennlinie des Kompressors, der bei der nichtgleichmäÿigen Quantisierung nach obigem Bild fälschlicherweise als Expanderkennlinie verwendet wurde. Die gesuchte Kompressorkennlinie besteht aus zwei Teilgeraden (im 1. Quadranten). Gegeben Sie insbesondere die Steigung und die Achsenbezierung der Schnittpunkte der Teilgeraden an.

Q

Seite 8

4. Aufgabe

20 Punkte

Digitale Übertragung Für Wireless-LAN (WLAN) ist eine Nutzdatenrate von quenzbandes von

a)

5560 MHz

bis

5660 MHz

300 Mbit/s

innerhalb eines Fre-

zu übertragen.

Welche spektrale Ezienz ist für das digitale Übertragungsverfahren mindestens erforderlich?

Für die Signaldämpfung von Senderendstufe zu Empfängereingang (also für die Strecke Senderendstufe

→

Antenne

→

Wellenausbreitung

→

Antenne

→

Empfängereingangs-

70 dB

zugelassen. Störungen werden als weiÿes gauÿsches Rauschen, −20 wirksam am Empfängereingang, mit der zweiseitigen Rauschleistungsdichte 5·10 W/Hz stufe) wird maximal

modelliert.

b)

Welche äquivalente Energie je bit übertragener Information müÿte für eine fehlerfreie Übertragung am Empfängereingang mindestens zur Verfügung stehen, wenn ein informationstheoretisch optimales Übertragungsverfahren zur Verfügung stehen würde. Wert zum Weiterrechnen:

3,33 · 10−19 Ws

Für ein reales implementierbares Übertragungssystem wird ein Abstand zur informationstheoretischen Grenze von

c)

Welche

10 dB

als Reserve vorgesehen.

Sendeleistung ist für dieses WLAN-System damit notwendig?

Wert zum Weiterrechnen:

10 mW

Das Übertragungssystem soll als digitales QAM Übertragungssystem implementiert werden, wobei ein roll-o-Faktor

gröÿer als Null

für die

√

Nyquist-Impulsformung

vorzu-

sehen ist.

d)

Geben Sie die minimal mögliche Zahl

M

von Amplitudenkoezienten der Signaln konstellation an, wenn für diese eine Potenz von 2 gefordert wird (M = 2 , mit

n∈

N).

Wert zum Weiterrechnen: 32

e)

Skizzieren Sie die Signalkonstellation des von Ihnen gewählten Übertragungsverfahrens.

f)

Welcher maximale roll-o-Faktor der Impulsformung ist bei dieser Signalkonstellation zulässig? Weshalb wird üblicherweise versucht, den roll-o-Faktor im Rahmen der zur Verfügung stehenden Möglichkeiten möglichst groÿ zu wählen?

Q

Seite 9

g)

Zeigen Sie, dass bei Systementwurf nach Teilaufgabe des Abstands von

d) ohne Kanalcodierung, trotz

10 dB

zur informationstheoretischen Grenze gemäÿ Teilaufgabe −8 , eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von kleiner als 10 nicht erfüllt werden kann.

c)

Hinweis: Beachten Sie das Hilfsblatt im Anhang!

Um eine Bitfehlerwahrscheinlichkeit von kleiner als Modulator eine binäre Kanalcodierung mit der Rate

h)

Geben Sie ein Parameterpaar Stufenzahl

10−8 einzuhalten, wird 4/5 vorgeschalten.

M = 2n

dem QAM-

und roll-o-Faktor zur günstigen

Implementierung des codierten digitalen Übertragungsverfahrens an! Begründen Sie weshalb Sie Ihre Wahl als günstig einstufen!

Q

Seite 10

5. Aufgabe

16 Punkte

Diskrete FourierTransformation (DFT) Betrachtet wird das periodische, zeitkontinuierliche Signal

v(t) = cos(6πf0 t) + sin(10πf0 t), f > 0 Hz.

a)

Skizzieren Sie Real- und Imaginärteil der Fourier-Transformierten des Signals

v(t)

im Bereich

[−10 f0 ; 10 f0].

V (f ) =

U {v(t)}

Achten Sie auf eine korrekte Bezierung

von Ordinate und Abszisse.

Das Signal

v(t)

soll nun in eine Fourier-Reihe der Form

v(t) =

∞
µ=−∞

cµ ej2πµt/TP

entwickelt werden.

b)

Welche Periode

c)

Geben Sie die Fourier-Koezienten

TP

Das zeitdiskrete Signal

hat das Signals

vM [k] entsteht

v(t)? cµ

an.

aus dem Signal

v(t) durch

Entnahme von genau

M

äquidistanten Werten pro Periode:

def



vM [k] = v k ·



TP , k = 0, 1, . . . , M − 1 M

d)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Fourier-Koezienten cµ und der DFTdef Transformierten VM [µ] = DFTM {vM [k]}?

e)

vM [k] das zeitkontinuierliche Signal v(t) exakt rekonstruiert werden kann. Bestimmen Sie für diesen Wert M , die DFTTransformierte VM [µ] und skizzieren Sie Real- und Imaginärteil von VM [µ] für µ = 0, 1, . . . , M − 1. Geben Sie den kleinsten Wert

M

an, so dass aus

Q

Seite 11

Hilfsblatt zur Aufgabe 4: ..............................................

...........................

Name, Vorname

Matrikelnummer

Bitfehlerwahrscheinlichkeiten digitaler PAM-Übertragungsverfahren: