Vorwort Das Lehrbuch vermittelt anwendungsorientiert den Lehrinhalt der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktiven Statistik, wie er in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen vermittelt wird. Erfahrungen in der Lehre zeigen, dass viele Studierende die Inhalte erst verstehen, wenn sie wenig formal dargestellt sind. Insofern wurde auf manche mathematische Ableitung verzichtet und stattdessen mehr Wert auf Beispiele und die Interpretation gelegt. Um das Auf- und Nacharbeiten zusätzlich zu vereinfachen, sind verschiedene Darstellungsweisen gewählt worden: • Normal geschrieben ist der Text, der zum Verständnis der Inhalte unerlässlich ist. Er sollte auf jeden Fall gelesen und verarbeitet werden. • Besonders wichtige Aussagen sind in einem Kasten dargestellt. • Grau unterlegt sind weiterführende Erläuterungen, deren Kenntnis zwar wünschenswert, für das Verständnis aber nicht unbedingt erforderlich sind. Hierzu zählen etwa mathematische Ableitungen und Beweise. • Das Lehrbuch enthält zahlreiche Beispiele. Diese sind durchnummeriert und ihr Ende ist durch das Zeichen "♦" angezeigt. Die Beispiele eignen sich zum selbstständigen Durchrechnen und für die Klausurvorbereitung. Die Ergebnisse sind in der Regel auf drei Nachkommastellen gerundet. Fortgeschrittene Studierende und Praktiker, beispielsweise aus der Markt- und Meinungsforschung und dem Controlling, die sich über die Berechnung und Interpretation von Konfidenzintervallen oder statistischen Tests informieren wollen, können hierfür den umfangreichen Index verwenden. Mit Hilfe des Symbolverzeichnisses lassen sich bei Vorkenntnissen auch einzelne Abschnitte im Text ohne Kenntnis der vorangegangenen Kapitel problemlos erschließen. Insbesondere wurde darauf Wert gelegt, den Inhalt auf einem aktuellen Stand zu halten. So ist beispielsweise der p-Wert in das Kapital der parametrischen Tests aufgenommen worden, da diese Größe fast ausschließlich von Computerprogrammen verwendet wird. Bei den nichtparametrischen Tests haben wir deshalb u. a. den U-Test einbezogen, der weit verbreitet und in praktisch alle Statistikprogramme integriert ist. Das Buch ging aus den Manuskripten zu der Lehrveranstaltung "Statistik II" sowie dem Lehrbuch "Hans-Friedrich Eckey/Reinhold Kosfeld/Christian Dreger 2002: Statistik. Grundlagen – Methoden – Beispiele, 3. Aufl., Wiesbaden" hervor. Erfahrungen in der Lehre sowie neue Möglichkeiten der Computertechnik (bessere grafische Darstellungsmöglichkeiten etc.) haben eine vollständige Neubearbeitung des genannten Lehrbuchs erforderlich gemacht. Insbesondere wurden die Teile "Deskriptive Statistik" sowie "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktive Statistik" getrennt, was der Zweiteilung der Statistikausbildung an den

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Vorwort

meisten Universitäten entspricht. Die "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Induktive Statistik" setzt zwar das im gleichen Verlag erschienene Lehrbuch zur Deskriptiven Statistik fort, seine Inhalte sind aber auch problemlos ohne Kenntnis der Methoden zur Deskriptiven Statistik zu verstehen. Weiterführende Informationen zum Buch – Folien, Übungsaufgaben, Errata – sind unter http://www.wirtschaft.uni-kassel/Eckey/StatistikII.html hinterlegt. Angaben zu den im Buchhandel erschienenen Aufgabensammlungen sind ebenso wie Nachweise von alternativen Statistik-Lehrbüchern im Literaturverzeichnis zu finden. Ein besonderer Dank gilt Frau Iris Tolle, die einen großen Teil des Manuskripts in eine druckfertige Form umgesetzt hat. Mit ihren Anregungen haben die Herren Dr. Christian Dreger und Dr. Jürgen Senger zum erfolgreichen Gelingen der Neubearbeitung beigetragen. Schließlich danken wir noch Frau Susanne Kramer und Frau Annegret Eckert vom Gabler-Verlag für die gute Zusammenarbeit.

Hans-Friedrich Eckey Reinhold Kosfeld Matthias Türck

Inhaltsverzeichnis Vorwort ............................................................................................... V Abbildungsverzeichnis......................................................................XI Tabellenverzeichnis......................................................................... XV Symbolverzeichnis........................................................................ XVII 1. Einleitung ...................................................................................... 1 2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie ........................ 3 2.1 2.2 2.3

Zufallsexperiment und Ereignisse....................................................... 3 Operationen mit Ereignissen ............................................................... 9 Wahrscheinlichkeiten ........................................................................ 12

3. Kombinatorik.............................................................................. 17 3.1 3.2

Anordnungsprobleme (Permutationen)............................................. 17 Auswahlprobleme.............................................................................. 19

4. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten .......................................... 28 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung ....................................... 28 Einige Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten................................ 29 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ........................................................ 35 Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes................................ 37 Stochastische Unabhängigkeit .......................................................... 43

5. Zufallsvariable und ihre Verteilung ......................................... 49 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Zufallsvariable................................................................................... 49 Wahrscheinlichkeitsfunktion............................................................. 53 Dichtefunktion................................................................................... 57 Verteilungsfunktion........................................................................... 63 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen ........................ 73 Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz.............................. 77 Momente und Schiefe........................................................................ 85

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Inhaltsverzeichnis

6. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ............... 89 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6

Diskrete Gleichverteilung ................................................................. 89 Bernoulli-Verteilung ......................................................................... 91 Binomialverteilung............................................................................ 95 Hypergeometrische Verteilung ....................................................... 101 Geometrische Verteilung ................................................................ 105 Poisson-Verteilung.......................................................................... 109

7. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ................ 112 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Stetige Gleichverteilung.................................................................. 112 Exponentialverteilung ..................................................................... 114 Normalverteilung ............................................................................ 117 Chi-Quadrat-Verteilung .................................................................. 131 t-Verteilung ..................................................................................... 135 F-Verteilung .................................................................................... 139

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen ....................................... 142 8.1 8.2 8.3

Wahrscheinlichkeitsfunktion von zwei Zufallsvariablen ............... 142 Dichtefunktion von zwei Zufallsvariablen ..................................... 147 Parameter mehrdimensionaler Verteilungen................................... 151

9. Grenzwertsätze und Approximation von Verteilungen ........ 156 9.1 9.2 9.3 9.4

Tschebyscheffsche Ungleichung .................................................... 156 Gesetz der großen Zahlen ............................................................... 160 Grenzwertsätze................................................................................ 164 Approximation von Verteilungen ................................................... 175

10. Stichproben................................................................................ 180 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

Grundgesamtheit und Stichprobe.................................................... 180 Zufallsauswahl ................................................................................ 181 Stichprobenvariablen und -funktionen............................................ 186 Eigenschaften von Punktschätzern ................................................. 188 Schätzmethoden für Punktschätzer ................................................. 196

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11. Intervallschätzung (Konfidenzintervalle) .............................. 201 11.1 Prinzip des Konfidenzintervalls ...................................................... 201 11.2 Konkrete Konfidenzintervalle......................................................... 208 11.2.1 11.2.2 11.2.3

Erwartungswert (Heterograder Fall)......................................................208 Anteilswert (Homograder Fall)..............................................................212 Varianz...................................................................................................214

11.3 Notwendiger Stichprobenumfang ................................................... 217

12. Parametrische Tests ................................................................. 221 12.1 Einführung....................................................................................... 221 12.2 Parametrische Einstichprobentests.................................................. 237 12.2.1 12.2.2 12.2.3 12.2.4

Erwartungswert bei bekannter Varianz oder bei unbekannter Varianz und großen Stichproben (Gauß-Test).......................................238 Erwartungswert bei unbekannter Varianz und kleinen Stichproben (t-Test) .......................................................................................239 Anteilswert (Anteilswerttest).................................................................241 Varianz (Chi-Quadrat-Test für Varianzen)............................................244

12.3 Parametrische Zweistichprobentests ............................................... 247 12.3.1 12.3.2 12.3.3

Erwartungswerte ....................................................................................248 Anteilswerte (Anteilswertdifferenzentest).............................................256 Varianz (F-Test).....................................................................................258

12.4 Zusammenfassung........................................................................... 259

13. Nichtparametrische Tests ........................................................ 261 13.1 13.2 13.3 13.4

Chi-Quadrat-Anpassungstest........................................................... 262 Kolmogorov-Smirnoff-Anpassungstest (KSA-Test) ...................... 267 Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest................................................... 269 U-Test.............................................................................................. 273

Anhang A: Rechenregeln für Erwartungswert, Varianz und Kovarianz............................................................. 279 A.1 A.2 A.3

Erwartungswert ............................................................................... 279 Varianz ............................................................................................ 282 Kovarianz ........................................................................................ 284

Anhang B: Tabellen ........................................................................ 285 Literaturverzeichnis........................................................................ 301 Index ................................................................................................. 303