Vorkurs, Teil 1 Lehrbuch: Sydsaeter / Hammond, Mathematik f¨ ur Wirtschaftswissenschaftler, Pearson Studium, ISBN 978-3-8273-7223-9 Skript von Sevtap Kestel

Inhalt uhrung: Zahlen, Funktionen Potenzfunktion, Exponentialfunktion (Lehrbuch (1) Einf¨ Kap. 1–4) (2) stetige Funktionen, Grenzwerte, Ableitungen, Extremwerte, Exponentialfunktion, Logarithmus (Lehrbuch Kap. 6–8) (3) Matrizen, lineare Gleichungssysteme, Determinanten (Lehrbuch Kap. 15–16)

Nat¨ urliche Zahlen und vollst¨ andige Induktion • nat¨ urliche Zahlen N: 1, 2, 3, . . . • Beweis durch vollst¨andige Induktion: Zu jeder nat¨ urlichen Zahl n sei eine Aussage A(n) gegeben. Dann sind alle Aussagen A(n) richtig, wenn (i) and (ii) bewiesen werden k¨onnen: (i) A(1) ist richtig (Induktionsanfang). (ii) Wenn A(n) wahr ist, dann ist auch A(n + 1) wahr f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n (Induktionsschluss). ur n = 1 richtig; nach (ii) also, wenn dort n = 1 gesetzt • Nach (i) ist die Aussage f¨ wird, auch f¨ ur n + 1 = 2. Da nunmehr die Vorraussetzung f¨ ur (ii) auch f¨ ur n = 2 gegeben ist, ist die Aussage also auch f¨ ur n = 3 richtig usw.

1

• Beispiele: 1. F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n gilt:1 A(n) : 1 + 2 + 3 + · · · + n =

n ∑

i=

i=1

n(n + 1) 2

(2)

(i) Die Formel stimmt f¨ ur n = 1. (ii) Schluss von A(n) auf A(n + 1): Gilt die Formel f¨ ur A(n), so gilt sie auch f¨ ur A(n + 1), da aus A(n) folgt A(n)

1 + 2 + · · · + n + (n + 1) =

n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = . 2 2

(3)

2. (geometrische Summenformel) F¨ ur jede Zahl x ̸= 1 gilt 1 + x + x + x + ··· + x = 2

3

n

n ∑

xi =

i=1

1 − xn+1 . 1−x

(4)

F¨ ur n = 1 ist die Formel richtig. Der Schluss von n auf n + 1 folgt dann aus 1 + x + x2 + · · · + xn + xn+1 =

1 − xn+1 1 − xn+2 + xn+1 = . 1−x 1−x

(5)

(Gleichung (4) kann z.B. auch wie folgt abgeleitet werden: Definiere S := 1 + x2 + x3 + · · · xn .

(6)

Wenn wir beide Seiten mit (1 − x) multiplizieren, ergibt sich S(1 − x) = 1 − xn+1 ,

(7)

woraus (4) folgt.) ¨ • Weitere Beispiele, die durch Induktion bewiesen werden k¨onnen (Ubung): 1

Dabei ist

∑

das Summenzeichen: F¨ ur Zahlen a1 , a2 , . . . an und ganze Zahlen p ≤ q ≤ n ist ap + ap+1 + · · · + aq =

q ∑ i=p

F¨ ur p > q ist (1) gleich Null.

2

ai .

(1)

– Summe der Quadrat– und Kubikzahlen n(n + 1)(2n + 1) 6 [ ]2 n2 (n + 1)2 n(n + 1) = = = (1 + 2 + 3 + · · · + n)2 4 2

12 + 22 + 32 + · · · + n2 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3

– Summe der ersten n ungeraden Zahlen: 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 . – F¨ ur x ̸= 1 ist 1 − x2 (1 + x)(1 + x )(1 + x ) · · · (1 + x ) = . 1−x n+1

2

4

2n

(8)

Binomialkoeffizienten • F¨ ur n ∈ N definiert man n! (n–Fakult¨ at) durch n! := 1 · 2 · 3 · · · n.

(9)

Es gilt die Festsetzung 0! = 1. • Die Anzahl aller Anordnungen n verschiedener Elemente ist n!. So k¨onnen z.B. die Elemente 1,2,3 wie folgt angeordnet werden: 1, 2, 3 1, 3, 2 2, 1, 3 2, 3, 1 3, 1, 2 3, 2, 1,

(10)

es gibt also 3! = 3 · 2 · 1 = 6 Anordnungen. • Binomialkoeffizienten: F¨ ur n ∈ N und k = 0, 1, 2, . . . ist ( ) n(n − 1) · · · (n − k + 1) n := . k k!

(11)

( ) 7·6·5·4 840 7 7·6·5·4 = = = 35. (12) = 4 4! 4·3·2 24 ( ) ( ) ( n ) F¨ ur k > n ist also nk = 0, und z.B. n1 = n−1 = n. Man definiert außerdem ( ) n = 1. (13) 0 Z.B. ist

3

Es gilt ( ) n n(n − 1) · · · (n − k + 1) = k k! ( ) n(n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k)! n! n = · = = , k! (n − k)! k!(n − k)! n−k im Beispiel (12) also

( ) ( ) 7! 5040 7 7 = = = = 35. 4!3! 24 · 6 4 3

• Binomialkoeffizienten spielen eine wichtige Rolle in der Kombinatorik und der ( ) Wahrscheinlichkeitsrechnung. So ist z.B. durch nk mit k ≤ n die Anzahl der k–elementigen Teilmengen einer nicht leeren Menge mit n Elementen gegeben. • Eine oft verwendete Identit¨at ist ( ) ( ) ( ) n n n+1 + = . k k+1 k+1

(14)

Diese Identit¨at bildet die Grundlage des Pascalschen Dreiecks zur Berechnung der Binomialkoeffizienten (siehe Lehrbuch S. 86) und folgt aus ( ) n n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − (k + 1) + 1) = (k + 1)! k+1 n(n − 1) · · · (n − k + 1)(n − k) = (k + 1)! ( ) n n−k n(n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k) = = . k! (k + 1) k k+1 Somit ist also ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) n n n n−k n n+1 n+1 + = 1+ = = . k k+1 k k+1 k k+1 k+1

(15)

• Binomiallehrsatz: F¨ ur beliebige Zahlen a und b ist (a + b)1 = a + b 2

(a + b)

=

(a + b)3 = (a + b)4 = =

( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 a + 2ab + b = a + ab + b 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 3 2 a + 3a b + 3ab + b = a + a b+ ab + b 0 1 2 3 a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 4 2 2 4 4 4 3 a + a b+ ab + ab + b. 0 1 2 3 4 2

2

4

Allgemein gilt f¨ ur n ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) n n−1 n n−2 2 n n n n 2 n−2 (a + b) = a + a b+ a b + ··· + ab + abn−1 + bn 1 2 n−2 n−1 n ( ) ∑ n n−i n = a b . (16) i i=1 Setzt man a = b = 1 in (16), so ergibt sich die identit¨at n

n

2 = (1 + 1)

( ) ( ) ( ) ∑ n ( ) n n n n = + + ··· + = , 0 1 n i i=0

(17)

und mit a = 1 und b = −1 ergibt sich ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ n ( ) n n n n n n 0 = (1 − 1) = − + − · · · + (−1) = (−1)i . 0 1 2 n i i=0 n

(18)

Der Binomiallehrsatz (16) kann durch vollst¨andige Induktion unter Verwendung der Relation (14) bewiesen werden, wie folgt: F¨ ur n = 1 gilt der Satz offensichtlich. Nehmen wir also an, (16) gilt f¨ ur n − 1. Dann ist n

(a + b)

n−1

= (a + b)(a + b) =

) n−1 ( ∑ n−1 i

i=0

= (a + b)

) n−1 ( ∑ n−1 i=0

a

n−i i

b +

i

) n−1 ( ∑ n−1 i

i=0

an−1−i bi

an−1−i bi+1 .

(19) (20)

F¨ ur die erste der Summen in der letzten Zeile von Gleichung (20) Gleichung kann man schreiben ) n−1 ( ∑ n−1 i

i=0

n−i i

a

n

b =a +

) n−1 ( ∑ n−1 i=1

i

an−i bi

und f¨ ur die zweite Summe in (20) gilt ) n−1 ( ∑ n−1 i=0

i

a

n−1−i i+1

b

= =

) n ( ∑ n−1 i=1 n−1 ∑( i=1

i−1

n−1−(i−1) (i−1)+1

a

b

) n − 1 n−i i a b + bn . i−1

5

=

) n ( ∑ n−1 i=1

i−1

an−i bi

Also ist n

(a + b)

n

= a +

) n−1 ( ∑ n−1 i=1 n−1 ∑ [(

i

a

n−i i

b +

) n−1 ( ∑ n−1 i=1

i−1

an−i bi + bn

) ( )] n−1 n−1 = a + + an−i bi + bn i i − 1 i=1 n−1 n ( ) ∑ (n ) ∑ n n−i i n n−i i n = a + a b +b = a b, i i i=1 i=0 n

wobei in der letzten Zeile die Identit¨at (14) verwendet wurde. • Zahlen • nat¨ urliche Zahlen N: 1, 2, 3, . . . • ganze Zahlen Z: 0, ±1, ±2, ±3, . . . • die Menge Q der rationalen Zahlen

m , n

wobei m ∈ Z und n ∈ N

• Die Menge der rationalen Zahlen ist noch nicht “vollst¨andig” in dem Sinne, dass √ zum Beispiel 2 und π nicht in der angegebenen Form m mit m ∈ Z und n ∈ N n geschrieben werden k¨onnen. Solche Zahlen nennt man die “irrationalen Zahlen”. • Die irrationalen Zahlen unterscheiden sich von den rationalen Zahlen durch ihre Dezimaldarstellung: Rationale Zahlen haben endlich viele oder peridosch wiederkehrende Dezimalstellen, w¨ahrend die Dezimaldarstellung irrationaler Zahlen nicht abbricht und nicht durch ein periodisch wiederkehrendes Muster gekennzeichnet ist. • die reellen Zahlen R: diese enthalten auch die irrationalen Zahlen, die nicht in der √ obigen Form als Bruch ganzer Zahlen geschrieben werden k¨onnen, etwa 2 und π. • Die irrationale Zahlen “schließen die L¨ ucken” zwischen den rationalen Zahlen. • Absolutbetrag und Dreiecksungleichung: F¨ ur x ∈ R setzt man  x falls x ≥ 0 |x| := −x falls x < 0

6

(21)

• Es gilt |xy| = |x||y| und die Dreieckungsungleichung: |x + y| ≤ |x| + |y|.

(22)

(22) folgt aus x + y ≤ |x| + |y| und −(x + y) ≤ |x| + |y|.

Funktionen • Definition: Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Definitionsbereich D ist eine Vorschrift f , die jeder Zahl x ∈ D eindeutig eine reelle Zahl f (x) zuordnet. • Man schreibt daf¨ ur f : D → R, x 7→ f (x) oder einfach f (x). • Oft wird der Funktionswert von f an der Stelle x mit y bezeichnet, d.h., y = f (x),

(23)

x ist die unabh¨angige Variable und y ist die abh¨ angige Variable. • Die Menge der Werte f (D) := {f (x)|x ∈ D},

(24)

die man erh¨alt, wenn x den Definitionsbereich D durchl¨auft, nennt man den Wertebereich (Symbol oft: R f¨ ur range). • Die Vorschrift f unterliegt dabei keiner (weiteren) Einschr¨ankung, z.B. muss sie nicht durch eine “geschlossene Formel” darstellbar sein. • Eine Funktion f : D → R heißt monoton wachsend bzw. fallend, wenn f¨ ur Paare x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt f (x1 ) ≤ f (x2 ) bzw. f (x1 ) ≥ f (x2 ). Sie heißt streng monoton wachsend bzw. fallend, wenn sogar f (x1 ) < f (x2 ) bzw. f (x1 ) > f (x2 ) gilt. • Potenzfunktionen: Die allgemeine Potenzfunktion ist durch die Formel x ≥ 0,

f (x) = Axr , beschrieben. 7

A, r ∈ R

(25)

• Betrachten wir zun¨achst ganzzahlige Exponenten r in (25). F¨ ur diese kann x in (25) beliebige Werte annehmen (also auch x < 0). ur n ∈ N ist die n–te Potenz von x • F¨ xn = x | · x{z· · · x} , n Faktoren

(26)

x0 = 1 f¨ ur x ̸= 0.

(27)

und definitionsgem¨aß gilt

Negative Potenzen sind ebenfalls definiert, 1 . xn

x−n =

(28)

• Es gelten die Regeln xn · xm = xn+m ,

(xn )m = xn·m ,

xn y n = (xy)n .

(29)

Aus (29) lassen sich folgende Regeln ableiten: Wenn n und m beliebige ganze und x und y beliebige reelle Zahlen sind, so gilt xn = xn−m , xm

xn = yn

( )n x . y

• Betrachten wir als n¨achstes rationale Exponenten, d.h., der Exponent r in Gleichung (25) hat eine Darstellung r = p/q mit p ∈ Z und q ∈ N. • Wir definieren zun¨achst die q–te Wurzel einer positiven Zahl x f¨ ur q ∈ N. Die q–te Wurzel von x > 0, x1/q =

√ q

x,

q∈N

(30)

ist die eindeutig bestimmte positive Zahl, deren q–te Potenz x ergibt, also z.B. √ √ 3 41/2 = 4 = 2, 271/3 = 27 = 3. • Konsistent mit den Regeln (29) ist dann f¨ ur rationale Exponenten die Definition

Es ist z.B.

xp/q = (x1/q )p = (xp )1/q .

(31)

√ √ √ 45/2 = ( 4)5 = 25 = 45 = 1024 = 32,

(32)

und 16−1.25 =

1 1 1 1 = √ . 5 = 5 = 5/4 4 16 2 32 16 8

(33)

y = xr, r>1

y = xr, 0 1, r ∈ (0, 1) und r < 0 finden sich in Abbildung 1. • Exponentialfunktionen: Die allgemeine Exponentialfunktion mit Basis a > 0 ist f (x) = Aax ,

A eine Konstante. 9

(34)

f(x) = ax, a1 8

3

3

2

2

1

1

0 −2

−1

0

1

0 −2

2

−1

x

0

1

2

x

Figure 2: Exponentialfunktionen (34) f¨ ur a > 1 und a < 1. • Wenn x sich um eine Einheit ¨andert, so ¨andert sich f (x) um den Faktor a. • Solche Funktionen werden oft zur Modellierung von Wachstumsprozessen eingesetzt. Wenn sich zum Beispiel ein Anfangskapital K(0) j¨ahrlich zum Zinssatz p (in Prozent) verzinst, so wird das Kapital nach t Jahren auf ( p )t K(t) = K(0) 1 + 100

(35)

angewachsen sein. • Die Funktion ist monoton wachsend f¨ ur a > 1 und monoton fallend f¨ ur 0 < a < 1 (vgl. Abbildung 2).

• Polynome: Eine Funktion der Gestalt f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 10

(36)

mit reellen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an und an ̸= 0 heißt reelles Polynom n-ten Grades. an ist der Leitkoeffizient. Sind alle ak = 0, k = 0, . . . , n, so ist f das Nullpolynom. • Eine Zahl α ist eine Nullstelle von f , wenn f (α) = 0. • F¨ ur n = 2, also quadratische Funktione, kann man die Nullstellen mit Hilfe der pq–Formel in geschlossener Form angeben (sei der Einfachheit halber an = a2 = 1): x2 + px + q = 0 ( p )2 ( p )2 x2 + px + +q− = 0 2 2 ( ( p )2 p )2 = −q x+ 2 2 √( ) p p 2 x = − ± − q. 2 2

(37)

• Die Nullstellen des quadratischen Polynoms (37) sind aber nur reell, wenn p2 > 4q. • F¨ ur die quadratische Gleichung x2 + x + 4 = 0 z.B. ergibt die pq–Formel die L¨osungen x1/2

1 =− ± 2

√

√ √ 1 −1 ± 1 − 16 −1 ± −15 −4= = , 4 2 2

(38)

d.h., die Gleichung hat keine reellen L¨osungen. • Man f¨ uhrt daher die imagin¨are Einheit i mit i2 = −1 (i =

√

−1) ein.

• Es gilt i2 = −1,

i3 = i · i2 = −i,

i5 = i4 · i = i,

i4 = (i2 )2 = (−1)2 = 1

i6 = i2 = −1, . . .

• Dann hat die obige quadratische Gleichung die komplexen L¨osungen √ √ √ √ 1 −15 1 −1 15 1 15 − ± =− ± =− ±i . 2 2 2 2 2 2

11

(39) (40)

(41)

• Eine komplexe Zahl ist allgemein von der Form z = x + iy mit x, y ∈ R. Die reellen Zahlen x und y heißen Real– und Imagin¨arteil von z, und werden mit Re z und Im z bezeichnet. • z heißt rein imagin¨ar, wenn z = iy, y ∈ R. • Den K¨orper der komplexen Zahlen bezeichnen wir mit C. • Algebraische Operationen sind unter Ber¨ ucksichtigung der Regel i2 = −1 dann wie gewohnt definiert. Sei z = x + iy und w = u + iv. – Addition: z + w = (x + u) + i(y + v),

(42)

d.h., x + u und y + v sind Real– und Imagin¨arteil der Zahl z + w. – Multiplikation: z · w = (x + iy)(u + iv) = xu + i2 yv + i(uy + xv) = xu − yv + i(uy + xv).

(43) (44)

– Division: z x + iy (x + iy)(u − iv) = = w u + iv (u + iv)(u − iv) xu + vy + i(uy − xv) = u2 + v 2 uy − xv xu + vy + i . = u2 + v 2 u2 + v 2

(45) (46) (47)

• Konjugation: F¨ ur z = x+iy ist z = x−iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Die L¨osungen obiger quadratischer Gleichung bilden also ein paar konjugiert komplexer Zahlen. • Es gilt: z+w = z+w

(48)

z·w = z·w

(49)

z = z genau dann, wenn z ∈ R z · z = x2 + y 2 12

(50) (51)

• Der Betrag der kompexen Zahl z ist |z| = |x + iy| =

√

z·z =

√ x2 + y 2 .

(52)

• Der Betrag ist also eine reelle Zahl. Wie f¨ ur reelle Zahlen gilt f¨ ur zwei komplexe Zahlen z und w, |zw| = |z||w|,

|z + w| ≤ |z| + |w|.

(53)

• Beispiele: Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + iy dar: (a)

1 1−i 1−i 1 1 = = = −i 1+i (1 + i)(1 − i) 2 2 2

(54)

3 + 4i (3 + 4i)(2 + i) 6 + 4i2 + i(3 + 8) 2 11 = = = +i 2−i (2 + i)(2 − i) 5 5 5

(55)

(b)

(c) 1+i (1 + i)2 2i + 1 + i2 = = = i. (56) 1−i (1 − i)(1 + i) 2 √ √ (d) i: Der Ansatz i = a + ib f¨ uhrt auf i = (a + ib)2 = a2 − b2 + 2iab, woraus a2 − b2 = 0 und 2ab = 1 folgt, also a = b = ± √12 . Also √

1 i = ± √ (1 + i). 2

(57)

• Wir kommen zur¨ uck zu den Nullstellen von Polynomen. • Ist z1 eine (reelle oder komplexe) Nullstelle von f , d.h., es gilt f (z1 ) = 0, so l¨asst sich der Faktor z − z1 abspalten, d.h., f (z) = (z − z1 )q(z),

(58)

wobei q ein Polynom vom Grade n − 1 = Grad f − 1 ist. • Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom n–ten Grades genau n (im allgemeinen komplexe) Nullstellen (Vielfachheiten eingerechnet). Wir k¨onnen also n–mal einen Linearfaktor abspalten, f (z) = an (z − z1 )k1 (z − z2 )k2 · · · (z − zs )ks , 13

(59)

wenn Polynom f die s verschiedenen Nullstellen z1 , z2 , . . . , zs jeweils mit den ∑ Vielfachheiten k1 , k2 , . . . , ks hat, mit k1 + k2 + · · · + ks = si=1 ki = n. (zi ist eine ki –fache Nullstelle von f .) • Beispiel: Das Polynom f (z) = 3z 3 − 3z 2 − 15z − 9 = 3(z − 3)(z + 1)2 hat die 2–fache Nullstelle −1 und die einfache Nullstelle 3.

14

(60)