VIBRACIONES Y ONDAS

1

Contenidos (1) 1.- Movimiento Vibratorio Armónico Simple. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4 .

Ecuaciones del M.V.A.S. Dinámica del M.V.A.S. El péndulo simple. Energía de un oscilador armónico.

2.- Movimiento Ondulatorio. 2.1. Tipos de Ondas. 2.2. Variables características de una onda. 2.3 Ecuación de Onda Armónica Unidimensional.

3.- Energía de las Ondas. 3.1. Intensidad. Atenuación. 3.2. Absorción de la Energía. Ley de Lambert

Contenidos (2) 4.- Propagación de las Ondas. 4.1. Principio de Huygens. 4.2. Reflexión. Leyes de Snell. 4.3. Refracción. Leyes de Snell. 4.4. Difracción. 4.5. Polarización.

5.- Composición de Ondas. 5.1. Interferencia de ondas coherentes.

5.2. Ondas estacionarias.

6.- Ondas Sonoras. Sonoridad. 7.- Efecto Doppler.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Un sistema constituye un oscilador armónico cuando oscila entre dos puntos A1 y A2 equidistantes, situados a ambos lados de la posición de equilibrio. Al acercarse al punto de equilibrio, el cuerpo aumenta su velocidad, pasando por él, a la velocidad máxima.

Al alejarse del punto de equilibrio, va disminuyendo su velocidad, de forma que en los extremos se detiene y cambia el sentido del movimiento.

A2 A Posición de equilibrio

A A1

4

Ecuación del Movimiento Vibratorio Armónico Simple. P P0 y1

A A

o

t1+ 0 P’

A

y= A sen ( t+ 0)

Se obtiene a partir de la proyección de un movimiento circular sobre el eje y, y resulta:

y = A sen( t+ 0) Elongación y: Distancia en un instante dado al punto de equilibrio Amplitud A: Elongación máxima. El valor de y varía entre A y +A

Fase ( t+ 0) Describe el movimiento angular del punto P Fase inicial 0: Determina la elongación inicial cuando t = 0 : x0 = A cos

0

5

VARIABLES CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Los movimientos que se repiten en intervalos de tiempos iguales se llaman periódicos y el movimiento armónico es un movimiento periódico. y = A sen t = A sen ( t + 2 )

T

2

El período es el tiempo que tarda en repetirse una posición en dicho movimiento. Se mide en segundos (s) La frecuencia es la inversa del período e indica el número de veces que se repite una posición en cada segundo. Se mide en (s-1) o Hertzios (Hz)

1 T

2

2

La frecuencia angular o pulsación ω se mide en (radianes/segundo)

6

Velocidad en el M.V.A.S. Derivando la ecuación general del m.v.a.s., y = A sen ( t +

v

dy dt sen2

v

A

A +

cos ( t

cos2

1

=1 2

sen

( t

0

) resulta:

)

0

cos ( t+ 0) =

)

0

sen

1 2

A

2

2

( t 2

A sen (

Como y = A sen ( t+ 0)

v

)

0

t

0

)

y2 = A2 sen 2 ( t+ 0) 2

A y

2

La velocidad es máxima cuando y = 0 El columpio se detiene en los extremos. En el centro alcanza su máxima velocidad

Vmáx = A

7

Aceleración en el M.V. A.S. Derivando la ecuación de la velocidad: v = A a

dv dt

d

2

dt

y 2

A

2

sen ( t

Como y = A sen ( t +

0

0

cos ( t +

0

) resulta:

)

2

a=

x

)

El valor máximo se alcanza en los extremos, en los que

x=

A

amáx =

2

A

La aceleración es proporcional a la elongación y, por tanto, máxima en los extremos y nula en el centro 8

Dinámica del Movimiento Vibratorio Armónico Simple. Según la ley de Hooke: F =

kx

Si x = 0

F = 0 (no aparecen fuerzas)

Por la segunda ley de Newton: F = m a = - m

2

x

k=-m

Si el móvil se encuentra fuera de la posición de equilibrio, la fuerza que actúa sobre él está dirigida desde el punto en que se encuentra a la posición de equilibrio

2

O x

F x

La fuerza tiene el sentido contrario al desplazamiento

F T

2

k m

T 2

m k

1 T

1 2

k m

9

EL PÉNDULO SIMPLE COMO OSCILADOR ARMÓNICO Consiste en un hilo inextensible de masa despreciable suspendida de un extremo; del otro pende un cuerpo de masa m considerado puntual Puede considerarse como un m.a.s. si la separación de A del punto de equilibrio es tan pequeña como para despreciar la curvatura de la trayectoria

y

Eje Y: T – Py = m an

L

– mg sen

Eje X: Px = m ax

Simplificando resulta: – g sen Para ángulos pequeños, sen

= m ax

x = ax

T ax = – g

=

Sustituyendo el ángulo por el arco: L=x a

g x L

ax 2

x

T

2

2

L g

g L

Px = – mg sen

m Py= mg cos

P= mg

10

Energía cinética de un oscilador armónico. Aplicando la definición de energía cinética:

E

2 1 mv 2

c

1 m 2

2

2

2

A cos t 1m 2 2 ω A 2

Por las relaciones trigonométricas:

E

c

1 m 2

2

A x

Si x = 0

E

2

c máx

2

E

c

1 K 2

2

A x

2

energía cinética máxima

1 m 2

2

2 A 11

Energía potencial de un oscilador armónico. dW =

F dy =

ky dy

Integrando entre dos posiciones A y B:

W

E E PA E B P P

Para cada posición, la Ep es de la forma:

E

P

1 2 Ky 2

yB k y dy yA

1 k 2

y

2 B

1 k 2

y

2 A

1m 2 2 ω A 2

Es máxima cuando y es máxima y se cumple que sen ( t + 0) = 1

EP, máx

1 m 2

2

A2 12

Energía total de un oscilador armónico. La energía total en cada instante es la suma de la energía cinética y potencial 1 m 2

E = Ep + Ec

2

A 2 cos2 ( t

) 0

1 m 2

2

A 2 sen 2 ( t

0

)

Sacando factor común: Ec 2 1 mω 2

A

1 2 m ω (A2 x 2 ) 2

E

1 m 2

2

A 2 cos2 ( t

0

)

sen 2 ( t

0

2

Simplificando: E

Ep

1 2 m ω x2 2

Ep

Ec

1 m 2

2

A2

En el oscilador armónico, la energía mecánica permanece constante en cualquier instante. 13

)

MOVIMIENTO ONDULATORIO Al desplazar un trozo del muelle en sentido longitudinal y soltarlo, se produce una oscilación que se propaga a todas las partes del muelle comenzando a oscilar.

Si en una cuerda tensa horizontal, se hace vibrar uno de sus extremos, la altura de ese punto varía periódicamente

Un movimiento ondulatorio es la propagación de una perturbación a través del espacio. Se suele denominar onda a la propia perturbación. El movimiento ondulatorio no transporta materia, lo que se propaga es la perturbación, luego hay transporte de energía. Las partículas del medio alcanzadas por ésta, vibran alrededor de su posición de equilibrio. 14

CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

Según el tipo de energía que se propaga se clasifican en:

-Ondas mecánicas o elásticas: transportan energía mecánica y necesitan un medio material para propagarse, no se pueden propagar en el vacío. Por ejemplo las ondas en una cuerda, las ondas en la superficie del agua, las ondas sonoras, las ondas sísmicas -Ondas electromagnéticas : no necesitan medio material para propagarse, se pueden propagar en el vacío, transportan energía electromagnética y son la interferencia entre campos eléctricos y magnéticos variables, la variación de estos campos produce una emisión de energía que es la radiación electromagnética. Por ejemplo la luz

Según sea la propagación se clasifican en:

-Unidimensionales: en línea por ejemplo una cuerda o un muelle vibrando. -Bidimensionales en un plano, por ejemplo agua oscilando en la superficie de un estanque. -Tridimensionales en todo el espacio:el sonido o la luz.

Según la forma del frente de ondas se clasifican en:

•Planas si el frente de ondas es plano como las ondas que se producen al sacudir un mantel, •Circulares si es como las ondas en la superficie de un estanque Esféricas si el frente es esférico como la luz o el sonido. 15

Frentes de onda y rayos. •Se denomina frente de onda al lugar geométrico de todos los puntos que son alcanzados por la perturbación en el mismo instante. Todos los puntos de un frente de onda están en el mismo estado de vibración (vibran en fase). •Los rayos son líneas perpendiculares a los frentes de onda e indican la dirección y sentido de propagación de la onda. •La velocidad de propagación de la onda depende exclusivamente de las propiedades del medio en el que se propaga. Si las propiedades del medio son iguales en todas las direcciones (medios isótropos), la perturbación se propagará con la misma velocidad en todas las direcciones.

Ondas bidimensionales rayos rayos

Ondas circulares

Ondas planas

Ondas tridimensionales

Ondas esféricas

Ondas planas

Según la dirección de propagación se clasifican en: LONGITUDINALES

La dirección de propagación coincide con la dirección de la vibración. El sonido, las ondas sísmicas P y las que se propagan en un muelle, son ondas longitudinales.

TRANSVERSALES

La dirección de propagación es perpendicular a la dirección en que tiene lugar la vibración. Las ondas en una cuerda, las ondas electromagnéticas y las ondas sísmicas S, son ondas transversales 18

VARIABLES CARACTERISTICAS DE LAS ONDAS La longitud de onda ( ) es el intervalo de longitud entre dos puntos sucesivos que se encuentran en idéntico estado de perturbación

Características de una onda : amplitud (A) período (T) longitud de onda ( ) número de onda (k) k = 2π/λ

v

T

frecuencia ( ) que es la inversa del período velocidad de propagación (v) 19

Ondas armónicas. Función de onda Una onda armónica es la propagación de una perturbación originada por un movimiento vibratorio armonico simple. Los puntos que en un instante tiene elongación máxima se denominan vientres

Aquellos que tienen elongación nula se denominan nodos La función de onda es la expresión matemática que permite obtener el estado de vibración de una partícula x del medio en cualquier instante t.

vientre

y A

nodo

P

o -A

xp x

La elongación del punto x en cualquier instante t es: y (t) = A sen

t

El tiempo que tarda la perturbación en llegar a un punto P del eje situado a una distancia x del foco O es t’ = x/ v Luego el estado de vibración del punto x en el instante t la función de onda es:

y ( x, t )

A sen

t

x v

20

Ondas armónicas. Función de onda

( x, t ) A sen 2

t T

x

(x, t) A sen t k x

Al término ( t – kx) se le denomina fase e la onda

Diferencias de fase:

•Están en fase los puntos con idéntico estado de perturbación. La distancia entre ellos es igual a un número entero de longitudes de onda o a un número par de semilongitudes de onda •Están en oposición de fase los puntos que distan un número impar de semilongitudes de onda. 21

ENERGIA DE UNA ONDA Una onda transporta energía desde el foco emisor al medio.

E

Ec

Ep

1 2 kA 2

E

1 m.4 2

2

. 2 . A2

cte

2

A2

La energía de vibración es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia de oscilación y al cuadrado de la amplitud de la onda.

INTENSIDAD DE UNA ONDA La intensidad de una onda en un punto es la energía que pasa en cada unidad de tiempo por la unidad de superficie situada perpendicularmente a la dirección de propagación La intensidad es una potencia por unidad de superficie La unidad de intensidad es W m-2

I

E S t

P S

22

AMORTIGUACION DE UNA ONDA Se llama amortiguación a la disminución de la amplitud de una onda. La pérdida de energía mecánica en el sistema va disminuyendo la amplitud de la oscilación hasta que se para. Una onda se amortigua a medida que avanza, por dos causas: 1) la absorción del medio 2) la atenuación con la distancia

Absorción La disminución de la intensidad de la onda se traduce en una disminución de la amplitud que decae con la distancia recorrida en el medio absorbente. Ley de Lambert siendo

I

I e

x

0

el coeficiente de absorción

El tipo de material con que se revisten las paredes de las salas de audición musical, condiciona la cantidad de sonido que se recibe, ya que absorben de diferente grado 23 las ondas sonoras

Atenuación Cuando el foco es puntual se producen ondas esféricas cuyo frente se propaga en todas direcciones del espacio Este fenómeno se produce debido a la conservación de energía ya que al avanzar la onda aumentan las partículas puestas en vibración por lo que la energía se reparte entre más partículas y les toca menos cantidad a cada una, lo que hace que la amplitud de la onda disminuya.

r1 F

r2

B2

B1

La intensidad de la onda esférica en el punto B1 que dista r1 del foco emisor F es:

I1

P 4 r12

En el punto B2 que dista r2 del foco emisor F

I2

P 4 r 22

Por tanto,

I1 I2

2

r2 2 r1 24

Propagación de las ondas (Principio de Huygens) Se denomina frente de onda a la superficie formada por todos los puntos que son alcanzados por una onda al mismo tiempo; en consecuencia, todos los puntos de un frente de onda tienen la misma fase

Las líneas perpendiculares al frente de onda en cada punto se llaman rayos

Frente de onda plano

Frente de onda plano

Frente plano

Frente de onda esférico

Frente esférico

Principio de Huygens. Cada punto de un

frente de ondas se comporta como un foco emisor de ondas secundarias cuya envolvente constituye el nuevo frente de ondas.

25

Propagación de las ondas (Reflexión) La reflexión de ondas es el cambio de la dirección de propagación al incidir la onda en el límite de separación de dos medios diferentes; después de la reflexión, la onda continua su propagación en el mismo medio

A

Como tA’B’ = tAB, siendo v la velocidad de propagación de las ondas, resulta: A ' B' v

AB v

A' B'

N

A’

ˆi

rˆ

B

A’

AB

B’

A

Los triángulos AA’B’ y AA’B son iguales, y también lo serán los ángulos

ˆi y rˆ

LEYES DE SNELL DE LA REFLEXIÓN 1ª El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión 2ª La dirección de incidencia de la onda, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano

26

Propagación de las ondas (Refracción) La refracción de ondas consiste en el cambio de dirección de propagación al pasar la onda de un medio a otro diferente.

t AB

t A 'B'

AB

AB' sen r

AB v2

A' B' v1

Refracción de un frente de ondas AA’

ˆi A' B'

A’

AB' sen i

LEYES DE LA REFRACCIÓN 1ªLa dirección de incidencia de las ondas, la dirección de salida y la normal a la superficie de separación de ambos medios están en un mismo plano.

2ª El ángulo de incidencia y el de refracción están relacionados por la expresion:

Medio 1

ˆi

A

rˆ

Medio 2

B’

B

rˆ

sen i v1

sen r v2

27

Propagación de las ondas (Difracción) Un observador percibe la luz de un foco sin verlo directamente, y oye el sonido de un altavoz que está detrás de un obstáculo. Este fenómeno se denomina difracción.

La difracción de ondas se produce cuando la onda se encuentra con un obstáculo cuyo tamaño es del mismo orden de magnitud que su longitud de onda. El obstáculo puede ser una rendija, un borde recto, un disco, una abertura, etc; un conjunto de rendijas con una anchura adecuada se llama red de difracción Puede observarse la difracción de ondas en la superficie del agua si se disponen dos estanques comunicados por una abertura; al producir una perturbación en uno de ellos, se observa que al llegar a la abertura de separación se propaga por el segundo medio, de acuerdo con el principio de Huygens La difracción de la luz no es apreciable a simple vista porque los obstáculos deben ser muy pequeños (del orden de la longitud de onda de la luz: 400-700 nm)

Difracción de ondas planas en la cubeta de ondas

Si un fenómeno físico sufre difracción se puede asegurar que se propaga de modo ondulatorio. 28

Propagación de las ondas (Difracción) • La magnitud del fenómeno de la difracción depende de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. • Si la longitud de onda es pequeña en relación con la abertura entonces la difracción es pequeña. • En cambio si la longitud de onda tiene las dimensiones de la abertura, los efectos de la difracción son grandes.

20.000 Hz En general, la velocidad del sonido es mayor en los sólidos que en los líquidos y en los líquidos mayor que en los gases y depende de la temperatura del medio. La velocidad del sonido en el aire (a 20 ºC) es 340 m/s En el aire (a 0 ºC) tiene una velocidad de 331 m/s En el agua es de 1.600 m/s En la madera es de 3.900 m/s En el acero es de 5.100 m/s

Timbre de las Ondas Sonoras

A

clarinete

O

t

violín

Permite al oído humano distinguir entre dos notas iguales emitidas por distintos instrumentos

Ningún foco emisor, ejecuta una vibración armónica pura, sino una vibración armónica de frecuencia determinada ( ) acompañada de un conjunto de vibraciones de frecuencias múltiplos de la fundamental, 2 , 3 , ... denominados armónicos 38

Tono de las Ondas Sonoras A

grave

O

t agudo

Permite distinguir entre sonidos graves y agudos, y está relacionado con la frecuencia. Los de mayor frecuencia se perciben como agudos , y los de menor, como graves.

27 Hz

100 Hz

200 Hz

440 Hz

1000 Hz

3000 Hz

Intensidad de las Ondas Sonoras A A2

fuerte

A1

débil

O

t

La intensidad sonora es la cantidad de sensación auditiva que produce un sonido, esta relacionada directamente con la amplitud de la onda. Según su sonoridad, los sonidos se perciben como fuertes o débiles 40

Sensación Sonora. Sonoridad. La intensidad sonora depende de la onda y de su frecuencia. El nivel de intensidad sonora

expresado en decibelios se define como:

Donde Io = 10-12 W/m2

I I0

10 log

(Umbral de audición) Intensidad sonora de algunos sonidos habituales Fuente sonora

Respiración normal Murmullo de hojas Susurros a 5 m Casa tranquila Oficina tranquila Voz humana a 1 m Calle con tráfico intenso Fábrica Ferrocarril Grandes altavoces a 2 m Despegue de un reactor

Intensidad sonora en W m 10 12 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 2 10 102

2

Umbral de audición Apenas audible

Umbral de dolor

en dB 0

10 20 30 40 50 60 70 80 100 120 140

41

El efecto Doppler. El tono de un sonido emitido por una fuente que se aproxima al observador es más agudo que si la fuente se aleja.

Esto ocurre cuando un móvil que produce un sonido va en el sentido de las ondas sonoras, comprimiéndolas. Al ser menor la longitud de onda, el sonido es más agudo. Por la parte posterior quedan más separadas, longitud de onda más grande igual a sonido más grave.

Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido en reposo.

Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido en movimiento.

f ’ = f (v

v0)/(v

Efecto Doppler. Ondas con fuente de sonido igualando a la velocidad del sonido.

v f)

Cuando v excede la velocidad del sonido, se forma una onda de choque, como se muestra.

• Quizá oíste alguna vez de un avión que va mas deprisa que el sonido y “rompe la barrera del sonido”. Míralo

Frente de choque cónico

vt S0

S1

S2

SN

2

1 0

vS t

44