Versuch 36 (Optische Pinzette)

Gruppe 728 Fortgeschrittenen-Praktikum Physik

Autor: Kay Jahnke Mail: [email protected] Unterschrift:........................................... Autor: Matthias Hocker Mail: [email protected] Unterschrift:...........................................

Betreuer: Tobias Paust

Versuchsdatum: 09.07.2009 Abgabedatum: 31.08.09

1

Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen 1.1 1.2 1.3

1.4

Mie-Teilchen . . . . . . . . . Rayleigh-Teilchen . . . . . . . Teilchen in Flüssigkeiten . . . 1.3.1 Brownsche Bewegung . 1.3.2 Diusion . . . . . . . . 1.3.3 komplexes G-Modul . Mikroskop . . . . . . . . . . .

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3

. 3 . 6 . 8 . 8 . 8 . 9 . 10

2 Versuchsbeschreibung 2.1 2.2

12

Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Auswertung 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung des Diusionskoezienten . . . . . . . . Bestimmung der Fallenstärke . . . . . . . . . . . . . Bestimmung der Fallenstärke aus der Reibungskraft . Komplexer Schermodul . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 17 23 27

4 Fehlerdiskussion

29

5 Verzeichnisse

30

2

1 Theoretische Grundlagen In diesem Versuch wird mit Licht gearbeitet. Dieses hat einen Welle-Teilchen Doppelcharakter. In der linearen Strahlenoptik wird das Licht als Welle betrachtet und die auftretenden Eekte lassen sich mit dem Wellencharakter des Lichtes erklären. Zusätzlich kann man das Licht jedoch auch als Fluss von Teilchen, den Photonen, betrachten. In Abbildung 2 und 4 kann man dem Licht einen Impuls von p~ = h ¯~k zuordnen. Wendet man nun den Impulserhaltungssatz an, so sieht man, dass mit einer Transmission, Absorption oder Reexion ein Impulsübertrag und damit wegen F~ = d~ p/dt auch eine Kraftwirkung vonstatten geht. Diese optischen Kräfte nutzt man im folgenden aus um damit eine Falle für kleine Teilchen zu konstruieren. Bei der Betrachtung unterscheidet man nach der Gröÿe der zu fangenden Teilchen: ˆ Fallen für Mie-Teilchen (d >> λ) können mit der Strahlenoptik erklärt werden. ˆ Für Rayleigh-Teilchen (d = 2N l2

(13)

Bewegen sich die Teilchen mit der mittleren Geschwindigkeit < vth > so kann man folgern:

N l =< vth > t ⇒< r2 >= 2l < vth > t

(14)

Das mittlere Abstandsquadrat nimmt also linear mit der Zeit zu.

1.3.2 Diusion Die Diusion ist ein Transportprozess, der durch die Brownsche Bewegung verursacht wird. Man kann beobachten, dass Teilchen aus einem Raumgebiet mit hoher Konzentration in ein Raumgebiet mit niedrigerer Konzentration diundieren. Dadurch kommt es dann zu einem Konzentrationsausgleich und man erhält nach langer Zeit eine homogene Verteilung, wenn keine sonstigen Kräfte wirken. Diese eher phänomenologischen Erkenntnisse werden durch die Fickschen Gesetze beschrieben: ~j = −D∇n (15) Mit der Kontinuitätsgleichung folgt hieraus das 2. Ficksche Gesetz:

dn = D∇2 n = D∆n dt

(16)

n ist hier die Teilchenzahldichte, D der Diusionskoezient und ~j der Diusionsstrom. Wobei für den Diusionskoezienten gilt: 1 D = l < vth > 3

8

(17)

Für die Diusion in einer Richtung gilt damit also:

< x2 >=< y 2 >=< z 2 >=

1 2 < r2 >= l < vth > t = 2Dt 3 3

(18)

Betrachtet man nun eine zweidimensionale Bewegung, wie es in unserem Experiment der Fall ist, so gilt: Für die Diusion in einer Richtung gilt damit also:

< r2 >= 4Dt

(19)

1.3.3 komplexes G-Modul Das G-Modul kennen wir bereits von Festkörpern. Dort taucht das G-Modul jedoch nur als reelle Gröÿe auf als Maÿe für den Widerstand den ein Festkörper seiner reversiblen Verdrillung entgegen setzt. In einer Flüssigkeit drückt der reelle Teil des G-Moduls auch eben diesen elastischen Eekt bei einer Bewegung im Wasser aus. Der Imaginäre Anteil des G-Moduls ist der Teil der Energie die in Reibung in die Flüssigkeit verloren geht und damit nicht mehr für elastische Verformung zur Verfügung steht. Für den komplexen G-Modul gilt die Relation:

G∗ (s) =

kB T πas < r2 (s) >

(20)

Hierbei ist a der Radius des Teilchens, was als kugelförmig angenommen wird und < r2 (s) > ist die mittlere Quadratische Abweichung bei einer Frequqnz von s, die auch Laplace-Frequenz genannt wird. Nach einer aufwendigen Rechnung kann man zeigen, dass unter der Annahme ¶¶ µ µ t 2 2 (21) < r (t) >= r0 1 − exp − tD wobei tD = r02 /6D die Diusionszeit-Konstante ist, gilt:

G∗ (ω) =

kB T (1 + itD ω) πar02

(22)

ω ist die Frequenz der Schwingung des Teilchens. Für den Realteil, auch Speichermodul, kann man schreiben: G0 (ω) = |G∗ (ω)| cos(πα(ω)/2)

(23)

Wogegen für den Imaginärteil, auch Verlustmodul, gilt:

G00 (ω) = |G∗ (ω)| sin(πα(ω)/2)

(24)

|G∗ (ω)| kann genähert werden durch: |G∗ (ω)| ≈

kB T 1 2 πa < r (1/ω) > Γ(1 + α(ω))

Mit der Gamma-Funktion Γ und folgender Abkürzung: ¯ d ln < r2 (t) > ¯¯ α(ω) = ¯ d ln t t=1/ω

(25)

(26)

Für das mittlere Abstandsquadrat liegen endlich viele, diskrete Werte vor. Da die Berechnung des komplexen Schermoduls jedoch auf einer Fourier-Transformation beruht, bei der über unendlich viele Zeitschritte integriert wird, ist diese Näherung notwendig.

9

1.4 Mikroskop Zum betrachten der Teilchen nutzt man ein Mikroskop. Dieses ist nach dem folgenden Schema aufgebaut:

Abbildung 6: Aufbau der optischen Pizette [1] Das Mikroskop erfüllte zwei Aufgaben: Als erstes wird das Bild der sehr kleinen Teilchen so vergröÿert, dass man sie betrachten kann. Zweitens übernimmt das Mikroskop auch die Führung und Bündelung des Laserstrahles. Um letzteres genauer zu betrachten folgt eine Skizze des linearisierten Aufbaus der Falle.

Abbildung 7: Schema des Aufbaus der Falle [3]

Als erstes wird der parallele Laserstrahl mit einer Sammellinse aufgeweitet und dann mit einer weiteren Sammellinse auf einem gröÿeren Strahldurchmesser wieder parallel gebrochen.

10

Eine dritte Linse fokussiert den Laserstrahl durch eine Blende wieder auf das Objektiv, das den Strahl dann sehr stark kurz vor dem Objektiv bündelt. Damit erreicht man einen groÿen Intensitätsgradienten und groÿe Winkel, was die Falle sehr eektiv macht.

Abbildung 8: Schema des Aufbaus des Mikroskopes [2]

Ein Lichtmikroskop besteht im Allgemeinen aus einem Linsensystem aus 2 Linsen: Zum einen aus dem sog. Objektiv, welches ein reelles Zwischenbild erzeugt, zum anderen aus dem Okular, das dieses Bild nach dem Lupenprinzip vergröÿert. Die Vergröÿerung des Mikroskops ergibt sich aus dem Produkt der Objektivvergröÿerung und der Okularvergröÿerung. Als Tubus bezeichnet man bei diesem System den Hauptebenenabstand zwischen Objektiv und Okular. Unterschiedliche Tubuslängen erzeugen unterschiedliche Vergröÿerungen. Formeln:

VObj =

−dt B = G fObj

VOk =

s0 fOk

⇒ VGes = VObj · VOk =

−dt s0 fObj fOk

s0 ist die lichte Weite des Auges und man verwendet hier meist s0 = 25 cm

11

(27)

2 Versuchsbeschreibung 2.1 Versuchsaufbau Eine schematische Darstellung des Versuchsaufbaus wurde bereits in Abbildung 6 dargestellt. Die zwei Spiegel, die einen z-förmigen Strahlengang verursachen, kann der Laserstrahl justiert werden. Fällt der Laserstrahl schief in die Optik ein, kann dies zu einem Aufweiten des Fokus führen, was die Präzesion der Messung negativ beeinussen würde. Der restliche Strahlengang wurde bereits im vorigen Abschnitt diskutiert. Bei der Probe handelt es sich um Polystyrolkügelchen mit einem Durchmesser von 1 µm, die in Wasser schwammen. Die Kügelchen besitzen eine minimal gröÿere Dichte als Wasser, so dass während des Versuchs immer mehr Kügelchen auf den Grund der Probenkammer absanken. Diese xen Kügelchen wurden später zur Geschwindigkeitsbestimmung verwendet. Der Objektträger selbst bendet sich auf einem in alle drei Raumrichtungen beweglichen Tisch, der manuell oder elektrisch / softwaregesteuert bewegt werden kann. Dies ermöglicht sehr präzise Bewegungen, was später unter anderem zur Kalibrierung der optischen Pinzette genutzt wurde. Bei den statischen Messungen wurde die Probenkammer manuell bewegt. Bei späteren Messungen wurde sie durch den Elektroantrieb mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

2.2 Versuchsdurchführung Im ersten Teil sollte der Diusionskoezient bestimmt werden. Dazu wurde in frei bewegliches Kügelchen gesucht. Dieses wurde dann bei ausgeschalteter Falle beobachtet. Alle Messungen wurden mit einer CCD-Kamera mit einer Frequenz von 33 31 Bildern pro Sekunde durchgeführt. In der ersten Messung vollführte das Kügelchen einen random walk. Der Wert des mittleren Abstandsquadrats dieser Bewegung kann später zur Berechnung des Diusionskoezenten herangezogen werden. Im zweiten Versuchsteil soll das Potential der Falle bestimmt werden. Dazu wird die Teilchenbewegung bei eingeschalteter Falle wiederum mit der CCD-Kamera erfasst. Der Laser wurde dabei mit einer Leistung von 20 mW und 10 mW betrieben. Letztere Einstellung ist bereits sehr gering, so dass bei einer Messung das Kügelchen die Falle verlassen konnte. Die Fallenstärke kann auch mit einer dynamischen Methode bestimmt werden. Dazu wird ein gefangenes Kügelchen mit konstanter Geschwindigkeit durch die umgebende Flüssigkeit, in unserem Fall Wasser, bewegt. Bei bekannter Viskosität des umgebenden Mediums kann auch hier die Fallenstärke bestimmt werden. Für die niedrigere Laserleistung musste hier die Messung sehr oft wiederholt werden, weil das Teilchen immer wieder aus der Falle hinausgelangen konnte. Gespeichert wurden nur 3 dieser Aufnahmen bei geringer Leistung. Die erste Messung bei niedriger Leistung ist nicht brauchbar, wiel hier das Kügelchen auch beriets nach ungefähr einem Drittel der Messzeit entkommen konnte. Diese Messung wurde in der Auswertung nicht berücksichtigt und durch die 3. Messung ersetzt. Die Geschwindigkeit des Objektträgers konnte durch die Bewegung von Kügelchen bestimmt werden, die auf dem Boden der Probenkammer hafteten.

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3 Auswertung Bis auf die Kalibrierung dauerten alle Messungen innerhalb von 6 s durchgeführt. Pro Messungen wurden mit der CCD-Kamera 200 Bilder aufgenommen, also 33 31 Bilder pro Sekunde. Diese Bilder wurden mit der Software ImageJ ausgewertet. Diese Software ermöglicht es, die Koordinaten eines im Bild markierten Punktes in Pixeln zu bestimmen. Die Markierungen wurden jeweils so gesetzt, dass sie die Mitte des zu vermessenden Kügelchens markieren. Es gibt Plugins zum automatischen Tracking bewegter Aufnahmen zu dem Programm ImageJ. Die Ergebnisse dieser automatischen Markierung der Kügelchenbewegung brachte jedoch keine befriedigenden Ergebnisse, so dass die Kügelchen von Hand markiert wurden. Die Mitte eines Kügelchens lässt sich so nur per Augenmaÿ bestimmen und trägt somit mit einigen Pixeln Abweichung zum Gröÿtfehler bei. Eine professionellere Methode wäre die Approximierung der Graustufen über eine Gauÿkurve, worauf im Rahmen des Praktiukumsversuches aber verzichtet wurde.

3.1 Kalibrierung Wir bereits erwähnt, ist es mit der Software ImageJ, die zur Auswertung herangezogen wurde, nur möglich, die Position in Pixeln zu bestimmen. Mit der Kalibrierung soll der Faktor bestimmt werden, mit dem die Pixelwerte in reale Gröÿen, in unserem Fall µm umgerechnet werden können. Dazu wurde der Objektträger softwaregesteuert hin- und herbewegt. Die Amplitude dieser periodischen Bewegung wurde auf 3 µm festgelegt. In dieser Messung wurden Kügelchen betrachtet, die auf dem Boden der Probenkammer festsaÿen und somit die Bewegung des Objektträgers synchron mitvollziehen. Aus dem Abstand der Maxima dieser Bewegung kann der Umrechnungsfaktor bestimmt werden. Die Kalibrierung wurde in x- und y-Richtung durchgeführt. Tabelle 1 zeigt die resultierenden Umrechnungsfaktoren. Der Achse

mittlere Amplitude / px

res. Umrechnungsfaktor /

µm px

x-Achse 30,33 10,11 y-Achse 28,20 9,40 Mittelwert 9,76 Tabelle 1: Bestimmung der Umrechnungsfaktoren Fehler des Umrechnungsfaktors beträgt:

∆u =

∆px · u = 0, 67 px

(28)

wobei px die Anzahl der Pixel ist. Die Amplitude der periodischen Bewegung kann in der Software auf Nanometer genau eingestellt werden. Der tatsächliche Fehler lässt sich mit unseren Mitteln nicht abschätzen. Es ist somit gerechtfertigt, diesen Wert als exakt anzunehmen. Für die bereits erwähnte Abweichung der Mittenmarkierung der Kugel gehen wir von einem Einzelfehler von 2 Pixeln aus. Der ermittelte Gröÿtfehler für die beiden Umrechnungsfaktoren ist gleich.

3.2 Bestimmung des Diusionskoezienten Abbildung 9 zeigt den Plot des mittleren Abstandsquadrats der von dem Kügelchen vollführten Diusionsbewegung über der Zeit. Erwartet wurde in linearer Verlauf dieser Gröÿe. Aus der Steigung der zugehörigen Regressionsgeraden kann dann der Diusionskoezient

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bestimmt werden.

Abbildung 9: Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 1

Abbildung 10: Lineare Regression des Abstandsquadrats der ersten Diusionsbewegung Unsere Messung zeigt jedoch nur im vorderen Bereich einen annähernd linearen Verlauf. Für die Bestimmung der Regressionsgeraden (siehe Abbildung 10 wurde nur dieser lineare

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Bereich herangezogen. Dieses Verhalten wird weiter unten noch diskutiert. Die Messung wurde noch zweimal wiederholt. Der Verlauf der zweiten Messung, der in Abbildung 11 dargestellt ist, ist ähnlich zur ersten Messung, allerdings ist der lineare Bereich etwas gröÿer. Der zugehörige Plot der Regressionsgeraden ndet sich in Abbildung 12. Die aus

Abbildung 11: Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 2

Abbildung 12: Lineare Regression des Abstandsquadrats der zweiten Diusionsbewegung dieser Messung berechnete Geradensteigung ist um fast eine Gröÿenordnung kleiner als die der ersten und dritten Messung, so dass hier vermutlich ein nicht näher zu identizierender Messfehler vorliegt. Wie in Abbildung 13 ersichtlich, ist der annähernd als linear zu

15

Abbildung 13: Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 3 bezeichnende Bereich deutlich breiter als in den beiden vorangegangenen Messungen. Die Regressionsgerade (vgl. Abbildung 14) besitzt eine ähnliche Steigung wie die der ersten Messung. Vermutlich ist diese Messung die zuverlässigste, da hier der lineare Bereich am weitesten ausgedehnt ist. Der Diusionskoezient lässt sich dann nach (19) berechnen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 aufgelistet. Tabelle 2: Liste der berechneten Diusionskoezienten Messung 1 2 3 Mittelwert

Steigung 2,99 (0,32) 2,64

Diusionskoezient / 0, 746 ± 0, 011 (0, 081 ± 0, 009) 0, 661 ± 0, 057 0,704

(µm)2 s

Der Diusionskoezient kann auch nach der Stokes-Einsteingleichung bestimmt werden:

D=

(µm)2 kB T = 0, 431 6πηR s

(29)

Um aus dem Random Walk einen sinnvollen Wert für das mittlere Abstandsquadrat extrahieren zu können, müsste man eigentlich viele verschiedene Random Walk-Prozesse untersuchen. Hier wurden die Daten aus einem einzigen Random Walk extrahiert, aber die Position aus verschiedenen Zeitabständen bestimmt. Je gröÿer dieser Zeitabstand jedoch gewählt wird, desto weniger Punkte gehen in die Berechnung des mittleren Abstandsquadrats ein. Infolge dessen wird der Fehler mit zunehmendem Zeitintervall immer gröÿer, was auch in den Diagrammen zu erkennen ist, in denen die Werte immer weiter vom erwarteten linearen Verlauf abweichen.

16

Abbildung 14: Lineare Regression des Abstandsquadrats der dritten Diusionsbewegung

3.3 Bestimmung der Fallenstärke Aus der Verteilung 11 folgt, dass energetische höherwertige Zustände geringer besetzt werden als niederwertigere. Der Verlauf der Besetzungskurve fällt exponentiell ab. Die optische Falle besitzt einen Ort (x0 ,y0 ) an dem das Potential minimal ist. Wir betrachten das Fallenpotential getrennt in x- und y-Richtung. Das eindimensionale Potential lässt sich nach Taylor nähern. Die erhaltene Parabel ist von der Form:

V (x) = αx2

(30)

und analog für y. Die Proportionalitätskonstante α wird als die Fallenstärke bezeichnet. Sie beeinusst die rücktreibende Kraft der Falle auf ein ausgelenktes Kügelchen. Die Kraft beträgt: dV F =− = −2αx (31) dx Die Kügelchen können in diesem Experiment eine zweidimensionale Bewegung in der x-yEbene durchführen. In der z-Richtung sind sie in ihrer Bewegungsfreiheit durch die sehr geringe Höhe der Probenkammer eingeschränkt. Die Wahrscheinlichkeit, ein Kügelchen in einem bestimmten Abstandsintervall vom Mittelpunkt der Falle aus zu nden ist durch (11) gegeben. Die Energie dieser Formel entspricht hier der potentiellen Energie des Teilchens im Potential der optischen Pinzette. Die Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit kann auch experimentell bestimmt werden. Dazu wird eines der frei beweglichen Kügelchen mit der optischen Pinzette gefangen und seine Bewegung mit der CCD-Kamera über einen Zeitraum von 6 Sekunden aufgezeichnet. Aus der Bewegung der Teilchen im Potential der Falle kann auf die Aufenthaltswahrscheinlichkeit geschlossen werden. Während der Messung wurde der Laser der Falle mit einer Leistung von 20 mW und 10 mW betrieben. Für jede Leistungseinstellung wurden zwei Messungen durchgeführt. Abbildung 15 zeigt den Verlauf der Aufenthaltsorte des Kügelchens.

17

Abbildung 15: Positionen des Kügelchens in der Falle bei 20 mW Laserleistung Wie zuvor wurden auch hier die Koordinaten des Kügelchens mit der Software ImageJ bestimmt. Die Dichte der Messpunkte ist ein Maÿ für das Potential der Falle an dem entsprechenden Ort. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit sollte, aufgetragen über dem Abstand vom Mittelpunkt der Falle, einen gauÿförmigen Verlauf aufweisen. Um dies zu überprüfen, wurde ein Histogramm der Aufenthaltswahrscheinlichkeit erstellt. Um festzustellen, ob das Fallenpotential rotationssymmetrisch verläuft, habe, wir x- und y-Koordinate getrennt und nicht in Polarkoordinaten als r-Abhängigkeit untersucht. Abbildung 16 und 17 zeigen die beiden Histogramme. Der Verlauf des Histogramms ist nicht gerade als gauÿförmig zu bezeichnen, könnte sich aber bei einer zunehmenden Anzahl von Messungen in diese Richtung entwickeln. Auällig ist, dass x- und y-Richtung einen sehr ähnlichen Verlauf aufweisen, das Potential der Falle scheint also erwartungsgemäÿ rotationssymmetrisch zu sein. Eine weitere Auälligkeit ist ein zweites kleines Maximum in einem etwas gröÿeren Abstand, das für beide Richtungen zu nden ist. Der Grund für diese Potentialstufe ist uns nicht bekannt. Um im weiteren Verlauf den Faktor α zu bestimmen, tragen wir die Aufenthaltswahrscheinlichkeit logarithmisch über dem Abstandsquadrat vom Fallenmittelpunkt auf. Mit Gleichung 11 folgt: 2

P (x) = Ne

− kαxT

Das lässt sich umformen zu:

ln P = ln N −

B

(32)

αx2 kB T

(33)

Der Faktor α lässt sich somit aus dem oben erwähnten halblogarithmischen Plot der Aufenthaltswahrscheinlichkeit über die Steigung der Regressionsgeraden bestimmen. Er berechnet sich dann zu α = −bkB T (34)

18

Abbildung 16: Histogramm der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung wobei b die Steigung der Regressionsgeraden ist. T ist die Temperatur, die während des Versuchs 21,5°C bzw. 294,65 K betrug. Die Raumtemperatur kann dabei als annähernd konstant betrachtet werden, da der Raum klimatisiert war. Der Fehler des Faktors berechnet sich zu: ∆α = |−kB T | ∆b + |−bkB | ∆T (35) Abbildung 18 zeigt diese lineare Regression. Allerdings weichen die Punkte stark von der berechneten Regressionsgeraden ab. Wie man in Abbildung 19 erkennen kann, ist der Verlauf in y-Richtung eher als linear zu bezeichnen als es für die x-Richtung der Fall ist. Deshalb verwenden wir zu Berechnung des Fallenpotentials die y-Regression. Die Steigung der Regressionsgeraden beträgt −84, 97 ± 0, 33. Der Faktor α beträgt dann:

α = (3, 457 ± 0, 251) · 10−7 Die Messung wurde zweimal durchgeführt.

19

N m

(36)

Abbildung 17: Histogramm der y-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung

Abbildung 20: Histogramm der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung Abbildung 20 zeigt das Histogramm der x-Verteilung bei der zweiten Messung. Auch in dieser Messung waren sich die Histogramme für x- und y-Verteilung sehr ähnlich. Im Vergleich zur ersten Messung ist das Maximum etwas breiter und das Nebenmaximum fehlt. Möglicherweise wurde das erste Histogramm mit einer zu kleinen Schrittweite der Abstandswerte erstellt. Auf die Darstellung der y-Verteilung und der linearen Regression der zweiten Messung wird hier verzichtet. Angemerkt sei lediglich, dass bei der zweiten Messung die Werte derSteigungen für beide Koordinatenachsen näher beieinander lagen als bei der ersten Messung und die Gerade die Punkte auch besser annähert. Die folgende Tabelle enthält die Steigungen und daraus resultierenden Werte für α:

20

Abbildung 18: Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung

Abbildung 19: Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung Achse x y

Steigung -165,43 -111,12

21

α/10−7 N m 6,73 4,52

Die Messung wurde völlig analog mit einer Laserleistung von 10 mW durchgeführt. Abbildung

Abbildung 21: Positionen des Kügelchens in der Falle bei 10 mW Laserleistung 21 zeigt die Postion des Kügelchens über einen Zeitraum von 6 Sekunden unter dem Einuss des Fallenpotentials bei 10 mW Laserleistung. Wie man bereits auf diesem Plot erkennen kann, ist die Falle nicht nur wesentlich schwächer, sondern auch die Qualität der Messung selbst schlechter als die beiden vorangegangenen. Die starken Abweichungen von der Mitte der Falle lassen den Schluss zu, dass das Kügelchen wahrscheinlich gelegentlich aus der Falle entkommen konnte. Die weitere Auswertung stützt diese These. Zur Bestimmung des Faktors α ist nur eine von 4 Messungen (2 Aufzeichnungen, jeweils Einzelbetrachtung der Achsen) zu gebrauchen. Ein gauÿförmiger Verlauf ist aus dem Histogramm nicht zu erkennen. Die in dieser Betrachtung verworfenen Messungen ergaben teilweise Regressionsgeraden mit positiver oder keiner Steigung. Die ermittelte Steigung beträgt -11,80. Damit ergibt sich folgender Wert für α:

α = (4, 80 ± 0, 18) · 10−8 N m Da Potential der Falle ist erwartungsgemäÿ schwächer als bei der höheren Laserleistung, allerdings erstaunt das Abfallen um eine ganze Gröÿenordnung.

22

Abbildung 22: Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 10 mW Laserleistung

3.4 Bestimmung der Fallenstärke aus der Reibungskraft Die im vorigen Abschnitt beschriebene Fallenstärke α kann auch noch auf eine andere Art und Weise bestimmt werden. Dazu wird eines der frei beweglichen Kügelchen mit der optischen Pinzette gefangen und danach mit konstanter Geschwindigkeit durch die umgebende Flüssigkeit bewegt. Das Kügelchen erfährt durch Reibung an demumgebenden Fluid eine Kraft. Wir setzen hier die Stokessche Reibungskraft an. Voraussetzung dafür sind ein sphärisch geformter Körper, der durch eine als unendlich idealisierte Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v bewegt. Eine weitere Voraussetzung ist eine laminare Strömung des Fluids um den Körper herum. Bewegt sich das Kügelchen durch die Flüssigkeit, überlagern sich mehrere Bewegungen und Kräfte. Die Reibungskraft zieht das Kügelchen quasi aus dem wandernden Potential der optischen Pinzette. Deren Kraft wiederum kompensiert die Reibungskraft. Überlagert wird dieser Gleichgewichtszustand noch von dem Random Walk, den das Kügelchen aufgrund der Molekularbewegung vollführt. Somit sind die einzelnen Abweichung der Aufenthaltsorte um eine mittlere Abweichung q verteilt. Daraus lässt sich im Kräftegleichgewicht die Fallenstärke bestimmen: FR = F (37) Setzt man die Stokessche Reibungskraft und die Kraft der Falle aus dem vorigen Abschnitt ein, erhält man für das Kräftegleichgewicht:

− 6πηvR = −2αq Daraus erhält man die Gröÿe α:

α=

3πηvR q

23

(38) (39)

Der Fehler beträgt

∆α =

3πηR · ∆v q

mit

(40)

1 · ∆l (41) t Um die Fallenstärke so zu bestimmen, muss die Geschwindigkeit bekannt sein, mit der sich das Kügelchen durch die Flüssigkeit bewegt. Sie kann bestimmt werden, indem man die Bewegung am Boden der Kammer haftender Kügelchen betrachtet. Der Bildausschnitt der CCD-Kamera hält die Fallenmitte immer in der Bildmitte, so dass die xen Kügelchen auszuwandern scheinen. Aus ihrer Bewegung im Bild kann auf die Geschwindigkeit der Kügelchen geschlossen werden. Die Aufnahmezeit wurde in der Aufnahmesoftware auf 6 Sekunden bestimmt. In diesem Zeitraum wurden, wie bei allen Messungen, 200 Bilder aufgezeichnet. Die Aufnahmen aus Messung 3 wurden nicht ausgewertet, weil das Kügelchen bereits nach ungefähr einem Drittel der Zeit aus der Falle entkommen konnte. Messung 1 und 2 wurden mit 20 mW Laserleistung durchgeführt, die restlichen mit einer Leistung von 10 mW. Tabelle 3 listet auch die ermittelten Geschwindigkeiten auf. Zur Bestimmung der Gröÿe q benötigen wir den Fallenmittelpunkt, der in der vorangegangenen Messung bestimmt wurde. Zusammen mit dem Aufenthaltsschwerpunkt der gegenwärtigen Messung konnte so q bestimmt werden. ∆v =

Tabelle 3: Ermittelte Geschwindigkeiten zur Bestimmung der Fallenstärke Messung 1 2 3 4 5

v/ µm s 2,36 2,45 2,18 2,03

24

α / µN m 0, 129 ± 0, 035 0, 256 ± 0, 068 0, 120 ± 0, 032 0, 123 ± 0, 033

Abbildung 23: Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 20 mW Laserleistung

Abbildung 24: Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 20 mW Laserleistung

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Abbildung 25: Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 10 mW Laserleistung

Abbildung 26: Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 10 mW Laserleistung

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Abbildung 23 bis 26 zeigen den Aufenthalt des Kügelchens unter Bewegungseinuss. In den Diagrammen sind ferner der Mittelpunkt der Falle und der Aufenthaltsschwerpunkt des Kügelchens während der Bewegung des Objektträgers markiert. Der erste Wert für q erscheint verglichen mit den übrigen Messungen recht gering und ist vergleichbar mit dem Ergebnis der Messungen mit 10 mW Laserleistung. Das zweite Ergebnis erscheint jedoch plausibel im Vergleich mit den verleibenden Messungen. Ferner fällt auf, dass sich der Aufenthaltsschwerpunkt sowohl in x- als auch in y-Richtung verschoben hat, obwohl die Bewegung nur entlang der y-Achse erfolgte. Vergleicht man die so erhaltenen Werte mit dem Wert von α aus der vorangehenden Messungen, so stimmen die Ergebnisse recht gut überein. Interessanterweise unterscheiden sich auch in der ersten Messung die Werte für α bei 10 mW um einen Faktor von ungefähr zwei. In der ersten Messung was α bei 10 mW Laserleistung um eine Gröÿenordnung kleiner als bei 20 mW, das ist hier nicht mehr der Fall.

3.5 Komplexer Schermodul Hier soll der Betrag des komplexen G-Moduls nach Gleichung (25) bestimmt werden. Benötigte Gröÿen hierfür sind Temperatur, Zeit und mittleres Abstandsquadrat. Dazu betrachten wir nochmals die Diusionsbewegung. Hier hatten wir bereits zu Beginn das mittlere Abstandsquadrat in Abhängigkeit der Zeit bestimmt. Die Raumtemperatur lag, wie bereits erwähnt, bei 294,65 K. Damit stehen und die Gröÿen zur Verfügung, die wir zur Bestimmung des Betrags, des Real- und des Imaginärteils des komplexen G-Moduls benötigen. Als Datenquelle wählen wir die zweite Diusionsmessung. In Abbildung 11 ist der Verlauf des Abstandsquadrats über der Zeit aufgetragen.

Abbildung 27: Betrag des komplexen Schermoduls

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Abbildung 28: Real- und Imaginärteil des komplexen G-Moduls Der Verlauf von Real- und Imaginärteil entspricht allerdings nicht ganz den Erwartungen. Beispielsweise wäre für den Imaginärteil ein gerade Verlauf erwartet worden. Was man jedoch erkennt ist, dass bei schnelleren Bewegungen, also höheren Frequenzen, der Verlustanteil zunimmt, während der Speichermodul abnimmt.

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4 Fehlerdiskussion Eine Ungenauigkeit, die allen Messwerten anhaftet, wird durch das Verwenden der Software ImageJ verursacht. Bei unserer Messung wurden die Mittelpunkte der Kügelchen nach Augenmaÿ gesetzt. Beim Bestimmen dieser Koordinaten sind nur ganzzahlige Pixelwerte möglich, so dass man gelegentlich auch nicht die Mitte des Kügelchens trit, obwohl das Markierungskreuz an der richtigen Stelle sitzt. Insgesamt muss man immer mit einer Abweichung von ungefähr 2 Pixeln rechnen. Beim Bestimmen der Umrechnungsfaktoren fällt auf, dass sich für die x- und die y-Richtung zwei unterschiedliche Umrechnungsfaktoren ergeben, die in einem nicht zu vernachlässigenden Maÿ voneinander ab. Die Ursache dafür ist nicht klar. Die Bestimmung der Positionen mit ImageJ wurde nochmals wiederholt und mit mehr Messpunkten durchgeführt, was das Ergebnis aber nicht wesentlich veränderte. Oenbar arbeiten die Motoren, die den Objekttisch bewegen, nicht so exakt, wie die Steuerungssoftware suggeriert. Wie bereits erwähnt weichen die Messungen der Diusionsbewegungen zum Teil weit von dem erwarteten linearen Verlauf ab. Die Ursache dafür ist wahrscheinlich das Auswertungsverfahren des  Random Walks. Diese Fehlerquelle wurde bereits im Abschnitt Bestimmung des Diusionskoezientenäusführlich erläutert. Bei der Bestimmung der Fallenstärke fällt die Abweichung der Werte für die höhere Laserleistung, sowie die im Vergleich dazu sehr geringe Stärke der schwächeren Falle auf. Während die Messungen bei 20 mW Leistung vergleichbare Ergbnisse bei beiden Bestimmungsarten liefern, sind die Werte bei niedrigerer Leistung deutlich verschieden. In der Messung, bei der das Kügelchen durch das Fluid bewegt wurde, liegt die ermittelte Fallenstärke bei 10 mW in der gleichen Gröÿenordnung wie bei 20 mW Laserleistung, während bei der ersten Methode die Leistung um ungefähr einen Faktor 10 kleiner ist. Wahrscheinlich ist, dass bei der ersten Methode das Kügelchen mehrfach teilweise aus dem Fallenpotential entkommen konnte und zufällig wieder in die Falle gelangte. Bereits während der Messung stellten wir fest, das bei 10 mW die niedrigste Leistung erreicht ist, bei der noch sinnvoll gearbeitet werden kann. Bereits hier benötigte es viele Anläufe, bis das Kügelchen 6 Sekunden lang durch das Fluid gezogen werden konnte, ohne aus der Falle zu entweichen. Teilweise ergaben diese Messungen ja auch keine brauchbaren Ergebnisse, wie bereits oben erwähnt wurde. Wollten wir die Messung wiederholen um bessere Ergebnisse zu erzielen, so sollten wir dann mit einer höheren Laserleistung arbeiten und einige Vorgänge, z.B. die Diusion öfter messen. Dies bedingt dann aber aufgrund der kleineren Auslenkungen eine andere Methode zum Vermessen der aufgezeichneten Bildsequenzen.

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5 Verzeichnisse Abbildungsverzeichnis 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 18 19 21 22 23 24 25 26 27 28

Symmetrischer Strahlenverlauf in einem Mie-Teilchen mit Schwerpunkt über Ursprung [1] 3 Impulsübertrag bei Schwerpunkt über dem Ursprung [2] . . . . . . . . . . . 4 Symmetrischer Strahlenverlauf in einem Mie-Teilchen mit Schwerpunkt unter Ursprung [1] 5 Impulsübertrag bei Schwerpunkt unter dem Ursprung [2] . . . . . . . . . . . 5 Kraft auf Teilchen in Abhängigkeit der Auslenkung aus dem Fokus [1] . . . 7 Aufbau der optischen Pizette [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Schema des Aufbaus der Falle [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Schema des Aufbaus des Mikroskopes [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 1 . . . . . . . 14 Lineare Regression des Abstandsquadrats der ersten Diusionsbewegung . . 14 Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 2 . . . . . . . 15 Lineare Regression des Abstandsquadrats der zweiten Diusionsbewegung . 15 Plot des mittleren Abstandsquadrats der Diusionsbewegung 3 . . . . . . . 16 Lineare Regression des Abstandsquadrats der dritten Diusionsbewegung . 17 Positionen des Kügelchens in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . . . . . . 18 Histogramm der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . . . . 19 Histogramm der y-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . . . . 20 Histogramm der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . . . . 20 Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . 21 Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 20 mW Laserleistung . . 21 Positionen des Kügelchens in der Falle bei 10 mW Laserleistung . . . . . . . 22 Lineare Regression der x-Verteilung in der Falle bei 10 mW Laserleistung . . 23 Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 20 mW Laserleistung 25 Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 20 mW Laserleistung 25 Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 10 mW Laserleistung 26 Aufenthalt des Kügelchens bei Bewegung durch Fluid, 10 mW Laserleistung 26 Betrag des komplexen Schermoduls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Real- und Imaginärteil des komplexen G-Moduls . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tabellenverzeichnis 1 2 3

Bestimmung der Umrechnungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Liste der berechneten Diusionskoezienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ermittelte Geschwindigkeiten zur Bestimmung der Fallenstärke . . . . . . . 24

Literatur [1] Stephen P. Smith u.a.: Inexpensive optical tweezers for undergraduate laboratories, Am. J.Phys. 67, (1), January 1999. [2] E. Giese, P. Schustek: Protokoll zu Optische Pinzette; Februar 2008 [3] M. Hettrich: Optische Pinzette; Oktober 2007 [4] J.C. Crocker, B.D. Homan: Multiple Particle Tracking and Two-Point Microrheology in Cells, University of Pennsylvania 2007

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