4 3 / V E C T O R E S EN EL E S P A C I O

131

Vectores en el Espacio H e m o s visto q u ecualquier p u n t o e n u np l a n o se puede representar c o m o u n p a r o r d e n a d o d e números reales. Análogamente, c u a l q u i e r p u n t o e n e l e s p a c i o s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n a terna ordenada d e n ú m e r o s r e a l e s (a, b, c)

(1)

3

R está c o m p u e s t o d e v e c t o r e s d e l a f o r m a ( 1 ) . P a r a r e p r e s e n t a r u n p u n t o e n e l e s p a c i o e m p e z a m o s p o r e s c o g e r u n p u n t o e n I R . L l a m a m o s a e s t e p u n t o e l origen, d e n o t a d o 0 . L u e g o d i b u j a m o s t r e s e j e s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s q u e l l a m a m o s e l eje x, e l eje . y y e l eje z. E s t o s e j e s s e p u e d e n s e l e c c i o n a r d e v a r i a s m a n e r a s , p e r o l a selección m á s c o m ú n e s c o n l o s e j e s x e y d i b u j a d o s h o r i z o n t a l m e n t e c o n e l e j e z v e r t i c a l . E n c a d a e j e e s c o g e m o s u n a dirección p o s i t i v a y m e d i m o s l ad i s t a n c i a a l o l a r g o d e esee j e c o m o e lnúmero d e u n i d a d e s e n esta dirección p o s i t i v a m e d i d a s d e s d e e l o r i g e n . 3

Figura 4.28

X

L o s d o s s i s t e m a s básicos d e r e p r e s e n t a r e s t o s e j e s s e v e n e n l a F i g u r a 4 . 2 8 . S i l o s e j e s s o n u b i c a d o s c o m o e n l a F i g u r a 4.28», e n t o n c e s s e d i c e q u e e l s i s t e m a e s d e mano derecha; s i s e c o l o c a n c o m o e n l a F i g u r a 4.28¿?, s e d i c e q u e e s d e mano izquierda. E nlasfiguras l a sflechas indican l a sdirecciones positivas d e l o s e j e s . L a justificación d e e s t o s términos e s l a q u e s i g u e : E n u n s i s t e m a d e m a n o d e r e c h a , s i p o n e m o s l a m a n o d e r e c h a d e f o r m a q u e e l d e d o índice a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x, m i e n t r a s q u e e l d e d o m e d i o a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y, e n t o n c e s e l p u l g a r a p u n t a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e z. E s t e c o n c e p t o s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 2 9 . P a r a u n s i s t e m a d e m a n o i z q u i e r d a l a m i s m a r e g l a sea p l i c a p a r a l am a n o i z q u i e r d a . E nl oq u e resta d e este t e x t o s e g u i r e m o s l a práctica común y d i b u j a r e m o s l o s e j e s c o o r d e n a d o s u s a n do u nsistema de m a n o derecha. Figura 4 . 2 9

V S i a ú n así s e t i e n e n p r o b l e m a s p a r a v i s u a l i z a r l a l o c a l i z a c i ó n d e e s t o s e j e s , p r u e b e e l s i g u i e n t e e n f o q u e . M i r e m o s c u a l q u i e r rincón d e l p i s o d e l a h a b i t a -

132

4/VECTORES EN R

2

Y R

: i

ción e n d o n d e e s t a m o s . L l a m e m o s a l rincón e l o r i g e n . E n t o n c e s e l e j e x está e n d o n d e s e i n t e r s e c a n e l p i s o y l a p a r e d a l a i z q u i e r d a ; e l e j e y e n l a intersección d e l p i s o y l a p a r e d a l a d e r e c h a ; y e l e j e z e s l a intersección d e l a s d o s p a r e d e s . E s t o se ilustra e n l a F i g u r a 4.30. L o s t r e s e j e s e n n u e s t r o s i s t e m a d e t e r m i n a n t r e s planos coordenados que son l l a m a d o s e l p l a n o xy, e l yz y e l xz. E l p l a n o xy c o n t i e n e a l o s e j e s x e y y e s simplemente elplano con elcual hemos estado tratando e n l am a y o r parte de e s t e l i b r o . L o s p l a n o s xz e yz s e p u e d e n p e n s a r d e m a n e r a a n á l o g a . H a b i e n d o c o n s t r u i d o n u e s t r a e s t r u c t u r a d e ejes y p l a n o s c o o r d e n a d o s , p o d e m o s d e s c r i b i r c u a l q u i e r p u n t o P e n R e n f o r m a única: 3

(2)

d o n d e l a p r i m e r a c o o r d e n a d a x e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o yz a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x y a l o l a r g o d e u n a l i n e a p a r a l e l a a l e j e x), l a s e g u n d a c o o r d e n a d a y e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xz a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y y a l o l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e y) y l a t e r c e r a c o o r d e n a d a z e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xy a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e z y a l o l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e z). A s í , p o r e j e m p l o , c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xy t i e n e c o o r d e n a d a z = 0; c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xz t i e n e c o o r d e n a d a y = 0 y c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o yz t i e n e c o o r d e n a d a x = 0 . A l g u n o s p u n tos representativos se dibujan e n l a F i g u r a 4 . 3 1 .

4 3 V E C T O R E S EN EL E S P A C I O

133

1

E n e s t e s i s t e m a l o s t r e s p l a n o s c o o r d e n a d o s d i v i d e n I R e n o c h o ociantes a l i g u a l q u e e n I R l o sd o s ejes c o o r d e n a d o s d i v i d e n e l p l a n o e n c u a t r o c u a d r a n t e s . E l p r i m e r o c t a n t e es s i e m p r e aquél e n e l q u e l a s t r e s c o o r d e n a d a s s o n p o s i tivas. 2

E l s i s t e m a c o o r d e n a d o así e s c o g i d o e s f r e c u e n t e m e n t e l l a m a d o e l sistema coordenado rectangular o e l sistema coordenado cartesiano. U n a vez q u e n o s f a m i l i a r i c e m o s c o n l a f o r m a d e describir u n p u n t o e n este sistema, p o d r e m o s generalizar varios conceptos d e l plano.

TEOREMA 1

S e a n P= (x¡, y¡, z>) y Q = (x , y , z ) d o s p u n t o s e n e l e s p a c i o . E n t o n c e s l a d i s t a n c i a PQ e n t r e P y Q e s t á d a d a p o r 2

=

PQ

Demostración

2

V(JC, -

2

2

2

x)

+ (y, - y ) + (z, - z )

2

2

2

(3)

2

L o s d o s p u n t o s están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 2 . D e l t e o r e m a d e Pitágoras, c o m o l o s s e g m e n t o s PR y RQ s o n p e r p e n d i c u l a r e s , e l t r i á n g u l o PQR e s u n triángulo rectángulo y 2

2

PR Figura 4 . 3 2

/>(.*„ y

u

2

t

= PS

+

(4)

2

SR

S ( . Y „ >•;._-,)

)

-A

P e r o , u s a n d o n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e Pitágoras, » 2

PQ

2

=

(5)

2

PR +RQ

Así, c o m b i n a n d o ( 4 ) y ( 5 ) o b t e n e m o s 2

2

PQ

= PS

2

+ SR

(6)

2

+

RQ

C o m o las coordenadas x y z de P y S son iguales. PS

2

Análogamente,

R S

y

R 0

= ( y - , ) 2

2

(7)

2

y

= (x -x,)

2

(8)

= (z -z,)

2

(9)

2

2

2

Así, u s a n d o ( 7 ) , ( 8 ) y ( 9 ) e n ( 6 ) t e n e m o s 2

PQ

= (x - x,) 2

l o q u e c o m p l e t a l a demostración.

2

2

+ (y - y,) + (z - z,) 2

2

2

134

4/VECTORES EN R

EJEMPLO

1

2

Y R

:l

Calcule l a distancia entre los puntos (3, - 1 ,

Solución

P Q = V [ 3- ( - 2 ) ]

2

6)y ( - 2 , 3, 5). 2

2

+ ( - 1 - 3 ) + (6 - 5 ) = V 4 2

E n l a s S e c c i o n e s 4 . 1 y 4 . 2 d i s c u t i m o s p r o p i e d a d e s geométricas d e l o s v e c t o res e n e lp l a n o . D e b i d o a q u e l o s sistemas c o o r d e n a d o s e n R y R s o n m u y sim i l a r e s , n o es s o r p r e n d e n t e q u el o s vectores e n I R y R , t e n g a n estructuras m u y similares. Discutiremos a h o r a e lconcepto de u nvector e n e lespacio. E l d e s a r r o l l o d e e s t e t e m a seguirá e s t r e c h a m e n t e e l d e s a r r o l l o d e l a s últimas d o s s e c c i o n e s y p o r t a n t o s e omitirán a l g u n o s d e t a l l e s . 2

2

3

3

3

S e a n P y Q d o s p u n t o s d i s t i n t o s e n R . E n t o n c e s e l segmento de recta dirigido PQ e s e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e v a d e P a Q. D o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s s o n equivalentes s i t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d y d i r e c c i ó n . U n vector e n R es e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s e q u i v a l e n t e s a u n segm e n t o d e r e c t a d i r i g i d o d a d o y c u a l q u i e r s e g m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o PQ e n e s e c o n j u n t o e s l l a m a d o u n representante del vector. 3

H a s t a aquí, l a s d e f i n i c i o n e s s o n idénticas. P o r c o n v e n i e n c i a e l e g i m o s P c o m o elorigen d e f o r m a q u ee lvector v = O Q s e pueda describir p o rlas coord e n a d a s (x, y, z) d e l p u n t o Q. E n t o n c e s l a m a g n i t u d d e v = |v| = V * + y + z (Teorema 1). 2

EJEMPLO

2 Solución

2

2

S e a v = ( l , 3 , - 2 ) . E n c u e n t r e |v|. |V| = V 1

2

2

+ 3 + ( - 2 ) = N/14.

S e a n u = (x¡, y¡, z , ) y v = ( x , y , z ) d o s v e c t o r e s y s e a a u n n ú m e r o r e a l ( e s calar). Entonces definimos 2

2

2

u + v = (x, + x , y, + y , z , f Z ) 2

y

2

2

au = ( a x , , a y , , a z , )

E s t a e s l a m i s m a definición d e s u m a d e v e c t o r e s y multiplicación p o r u n e s c a l a r q u e teníamos a n t e s y se i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 3 3 . Figura 4.33

(a)

(c)

4.3/VECTORES EN EL ESPACIO

135

Figura 4.33 (continuación)

U n vector unitario u e s u n v e c t o r d e m a g n i t u d 1 . S i v e s c u a l q u i e r v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o , e n t o n c e s u = v/|v| e s u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v.

EJEMPLO 3 Solución

E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t e n g a l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (2, 4, - 3 ) . C o m o |v | = V 2 + 4 + ( - 3 ) = 7 2 9 , t e n e m o s que u = ( 2 / 7 2 9 , 4 / 7 2 9 , 2

2

2

-3/729).

3

A h o r a p o d e m o s d e f i n i r f o r m a l m e n t e l a dirección d e u n v e c t o r e n I R . N o p o d e m o s d e f i n i r l a c o m o e l ángulo 9 q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x p u e s , p o r e j e m p l o , s i O < 0 < 7 r / 2 , e n t o n c e s e x i s t e u n número infinito de v e c t o r e s q u e f o r m a n e l ángulo 9 c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x y t o d o s e l l o s f o r m a n u n c o n o ( F i g u r a 4.34). Figura 4.34

DEFINICIÓN 1

L a dirección d e u n v e c t o r v d i s t i n t o d e c e r o e n I R , s e d e f i n e c o m o l a d i r e c c i ó n * d e l v e c t o r u n i t a r i o u = v/|v|. 3

Observación. P o d r í a m o s h a b e r d e f i n i d o l a d i r e c c i ó n d e u n v e c t o r v d e U d e e s t a f o r m a . S i u = v/|v|, e n t o n c e s u = ( e o s 9, s e n 9) d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v. 2

D e f i n i r e m o s l a dirección d e u n v e c t o r e n términos d e c i e r t o s ángulos. S e a v e l v e c t o r OP d e s c r i t o e n l a F i g u r a 4.35. D e f i n i m o s a c o m o e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x, /8 e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e y y y e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e z- L o s á n g u l o s a, ¡3 y y s e c o n o c e n c o m o l o s ángulos directores d e l v e c t o r v. E n t o n c e s , d e l a F i g u r a 4.35,

* H a s t a aquí s o l a m e n t e t e n e m o s u n a i d e a i n t u i t i v a d e l a "dirección" d e u n v e c t o r u n i t a r i o , d e f o r m a q u e e s t a definición n o e s matemáticamente p r e c i s a . C o m o v e r e m o s b r e v e m e n t e , s i n e m b a r g o , l a dirección d e u n v e c t o r u n i t a r i o s e d e t e r m i n a p o r l o s ángulos q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s e j e s coordenados.

136

4/VECTORES EN U- Y

R'

Figura 4.35

S i v es u n i t a r i o e n t o n c e s

|v| = 1 y

eos a = x

0

e o s |3 = y

0

eosy = z

(11)

0

P o r d e f i n i c i ó n , c a d a u n o d e e s t o s t r e s á n g u l o s e s t á e n e l i n t e r v a l o [ 0 , ir]. L o s c o s e n o s d e e s t o s t r e s á n g u l o s s o n l l a m a d o s l o s cosenos directores d e l v e c t o r v. Notemos, de lasEcuaciones (10), q u e

2 eos

2n , 2 * 0 + y + Z o x l + y l + Z J a + e o s fi + e o s y = r-75 = —5 5 ; = i |v| X f . + Vo + Z , 0

2

(12)

2

S i a , /3 y y s o n t r e s n ú m e r o s c u a l e s q u i e r a e n t r e 0 y ir q u e s a t i s f a c e n l a c o n d i ción ( 1 2 ) , e n t o n c e s d e t e r m i n a n u n v e c t o r único d a d o p o r u = ( c o s a , e o s /3, eos 7). Observación. S i v = (a, b, c) y |v| f 1 , e n t o n c e s l o s n ú m e r o s a, b y c s e c o n o c e n c o m o l o s números directores d e l v e c t o r v.

EJEMPLO 4 Solución

EJEMPLO 5

Encuentre los cosenos

directores delvector v = (4, - 1, 6 ) .

L a d i r e c c i ó n d e v e s v/|v| = v / V 5 3 = ( 4 / V 5 3 , -1/V53, 6/V53). Entonces cosa =4/753^0.5494, e o s0 = - 1 / 7 5 3 = - 0 . 1 3 7 4 , y eos 7 = 6 / 7 5 3 = 0 . 8 2 4 2 . D e aquí, u s a n d o u n a t a b l a d e c o s e n o s o u n a c a l c u l a d o r a d e b o l s i l l o o b t e n e m o s a = 56.7° = 0 . 9 8 9 r a d , 0 = 9 7 . 9 ° = 1 . 7 1 r a d , y 7 = 34.5° = 0 . 6 0 2 r a d . E l v e c t o r , j u n t o c o n s u s á n g u l o s a, /3 y 7 , a p a r e c e e n l a F i g u r a 4 . 3 6 .

Encuentre u n vector v de m a g n i t u d 7 y cuyos cosenos 1/73, y 1 / 7 2 .

directores sean

l/Tó,

4 ) V E C T O R E S EN EL ESPACIO

Solución

137

S e a u = ( l / V ó , 1 / V 3 , 1 / V 2 ) . E n t o n c e s u e s u n v e c t o r u n i t a r i o p u e s |u| = 1 . A s í , l a d i r e c c i ó n d e v e s t á d a d o p o r u y v = |v| u = 7 u = (7/Vó, 7 / V 3 , 7 / V 2 ) . Nota. P o d e m o s r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a p o r q u e ( 1 / n / 6 ) + ( 1 / 2

/ v

3) + (I/

/

2

v

2) = 1. 2

E s i n t e r e s a n t e n o t a r q u e s i v, u n v e c t o r e n I R , s e e s c r i b e v = ( e o s 0)\ + (sen d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v, e n t o n c e s e o s 6 y s e n 6 s o n l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e v. A q u í a = 6 y d e f i n i m o s 0 c o m o e l á n g u l o q u e v f o r m a c o n e l e j e y. ( F i g u r a 4 . 3 7 } . E n t o n c e s (3 = (ir/2)-a y así e o s (5 = e o s ( 7 r / 2 - a ) = s e n a y v se p u e d e e s c r i b i r e n f o r m a d e c o s e n o s d i r e c t o r e s : 2

v = c o s a i + cos£¡ j Figura 4.37

y

0

r

1

*

E n l a Sección 4 . 1 v i m o s q u e c u a l q u i e r v e c t o r e n e l p l a n o s e p u e d e e s c r i b i r e n términos d e l o s v e c t o r e s básicos i y j . P a r a e x t e n d e r e s t a i d e a a definimos

i =(1,0,0)

j = (0,1,0)

k = (0,0,1)

(13)

A q u í , i, j y k s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s . E l v e c t o r i e s t á s o b r e e l e j e x, j e n e l e j e y y k e n e l e j e z ( e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 8 ) . S i v = ( x , y, z) e s u n v e c t o r cualquiera e n R - \ entonces v = (x, y,z )= ( x , 0 , 0 ) + (0, y , 0 ) + ( 0 , 0 , z )= x i + y j + z k E s t o e s : Cualquier vector v en U* se puede de los vectores i, j y k. S e a n P=(a b c , ) y Q = (a , v e c t o r v = PQ s e p u e d e e s c r i b i r u

u

2

b , c ). 2

2

escribir

de forma

única en

(14) términos

E n t o n c e s , c o m o e n l a Sección 4 . 1 , e l

138

4/VECTORES EN R- Y

\ = (a -a )i 2

i

+ (b -b )j 2

+

l

(15)

(c -c )k 2

x

Figura 4.38 (0.0,

l)

j

(0. í . o ) (1,0,0)

L o s v e c t o r e s v y PQ e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.39. Figura 4.39

,Q(u .h ,c ) 2

2

2

v = ( o j - ,JJ + ( c " 2

EJEMPLO 6

Solución

2

E n c u e n t r e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o q u ese p u e d a r e p r e s e n t a r r e c t a d i r i g i d o d e (2, — 1 , 4) a (5, 1, —3).

p o re l s e g m e n t o d e

v = (5 - 2)i + [1 - ( - l ) ] j + ( - 3 - 4)k = 3i + 2j - 7k

3

L a definición d e p r o d u c t o e s c a l a r e n U e s , d e s d e l u e g o , l a definición q u e d i m o s e n l a S e c c i ó n 2.2. N o t e m o s q u e i - i = l , j - j = l , k * k = l , i - j = 0, j»k = 0 , e i « k = 0 .

TEOREMA 2

S i ip d e n o t a e l m e n o r á n g u l o p o s i t i v o e n t r e d o s v e c t o r e s u y v d i s t i n t o s d e c e r o , tenemos q u e

Demostración

EJEMPLO 7

L a d e m o s t r a c i ó n e s c a s i i d é n t i c a a l a d e m o s t r a c i ó n d e l T e o r e m a 4.2.1 y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 62).

C a l c u l e e l c o s e n o d e l á n g u l o e n t r e u = 3i — j + 2k y v = 4i + 3j — k.

4.3/VECTORES EN EL E S P A C I O

Solución

u • v = 7, |u| = V l 4 , y

139

|v| = V 2 6 , d e m o d o q u e e o s ) - (a u 2 2

k

ant), + a v

l l

u

í

2

2l

l

21

21

22

+ a u ){a^v

22

22

2

x

+

a v )\ 12

2

C o n álgebra e l e m e n t a l p o d e m o s v e r i f i c a r q u e l a última expresión e s i g u a l a

| ( a a n

2

2

- a

1

2

a

2

1

) ( u , u - U ÜI)| = ± d e t A 2

2

(área g e n e r a d a p o r u y v ) .

A s í ( e n e s t e c o n t e x t o ) : El determinante tiene el efecto de multiplicar el área. E n el P r o b l e m a 4 1 se p i d e m o s t r a r q u e , e n c i e r t o s e n t i d o , u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3 tiene el efecto d emultiplicar el volumen.

P R O B L E M A S 4.4

E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 20 e n c u e n t r e el p r o d u c t o c r u z u x v . u =i-2j; v = 3k 2. u = 3 i - 7 j ; v = i + k u =i - j ; v =j + k 4. u -7k; v = j + 2k u = - 2 i + 3j; v = 7i + 4 k 6 . u = a i + b j ; v = c\ + d\ u = a i + b k ; v = ci + dk 8. u = a j + b k ; v = c i + d k u = 2 i - 3 j + k ; v = i + 2j +k 10. u = 3 i - 4 j + 2 k ; v = 6 i - 3 j + 5 k u = - 3 i - 2 j + k ; v = 6i + 4 j - 2 k 12. u = i + 7 j - 3 k ; v = - i - 7 j + 3 k u =i - 7 j - 3 k ; v= - i + 7 j - 3 k 14. u = 2 i - 3 j + 5 k ; v = 3 i j - k u = 10i + 7 j - 3 k ; v = - 3 i + 4 j - 3 k 16. u = 2i + 4 j - 6 k ; v = - i - j + 3 k u = 2i—j + k ; v = 4i + 2j + 2 k 18. u = 3 i - j + 8 k ; v = i + j - 4 k u = a i + a j + a k ; \ = bi + b\ + bk 2 0 . 11 = a i + b j + c k ; v = a i + b j — c k E n c u e n t r e d o s vectores u n i t a r i o s o r t o g o n a l e s a u = 2 i - 3 j y a v = 4j + 3 k . Encuentre d o svectores unitarios ortogonales a u= i+j + k y a v = i — j — k . U t i l i c e e l p r o d u c t o c r u z p a r a e n c o n t r a r e l s e n o d e l ángulo

C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r u, v y w. C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r A u , Av y Aw. Calcule el determinante de A . M u e s t r e q u e [ v o l u m e n e n l a p a r t e (b)] = ( ± d e b 4 ) x [ v o l u m e n e n l a p a r t e (a)].

Rectas y Planos en el Espacio 2

E n elplano U

p o d e m o s e n c o n t r a r l a ecuación d e u n a r e c t a d a d o s d o s p u n t o s 3

d e l a r e c t a o u n p u n t o y l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a . E n U , n u e s t r a intuición n o s d i c e q u e l a s i d e a s básicas s o n l a s m i s m a s . C o m o d o s p u n t o s d e t e r m i n a n u n a r e c t a deberíamos d e s e r c a p a c e s d e c a l c u l a r l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a cio s ic o n o c e m o s dos p u n t o s e n ella. D eo t r a f o r m a s ic o n o c e m o s u np u n t o y l a dirección d e l a r e c t a d e b e m o s también s e r c a p a c e s d e e n c o n t r a r s u ecuación. E m p e z a m o s c o n d o s p u n t o s P=(x¡,

y

z ) y Q=(x ,

u

x

y,

2

2

U n v e c t o r p a r a l e l o a L es u n v e c t o r c o n representante

Z) e n u n a recta L . 2

Pc5. A s í , d e l a F ó r m u -

la 4.3.15 v = ( x - x ) i + (y -y )j + (z -z )k 2

1

2

1

2

(1)

1

e s u n v e c t o r p a r a l e l o a L . A h o r a , s e a R = (x, y, z) o t r o p u n t o e n l a r e c t a . E n t o n c e s PR e s p a r a l e l o a PQ,

q u e a s u v e z e s p a r a l e l o a v y así, p o r e l T e o r e m a

4.3.3 (2)

PR=tv

p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. D e l a F i g u r a 4 . 5 0 t e n e m o s ( e n c a d a u n o d e l o s t r e s casos posibles)

Figura 4.50

X

(a)

X

X

(b)

(c)

152

4 / V E C T O R E S EN R Y 2

Y , c o m b i n a n d o (2) y (3) obtenemos PR=OR-OP=ty o

OR =

OP+1\

L a E c u a c i ó n ( 4 ) e s l l a m a d a l a ecuación

(4)

vectorial

d e l a r e c t a L . S i R está e n L

e n t o n c e s ( 4 ) e s s a t i s f e c h a p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. I n v e r s a m e n t e , s i ( 4 ) e s s a t i s f e c h a e n t o n c e s r e g r e s a n d o s o b r e n u e s t r o s p a s o s v e m o s q u eP R es p a r a l e l a a v l o q u e s i g n i f i c a q u e R está e n L . S i d e s a r r o l l a m o s e n c o m p o n e n t e s l a Ecuación ( 4 ) o b t e n e m o s x i + y i + z k= x i+ X2J + x k + í ( x - X | ) i + r ( y - y ) + 1

3

2

x = x + t(x

—

y = yi +

f ( y - y i ) 2

z = z +

t{z -z )

x

ó

2

2

x

1

l

2

(5)

x

paramétricas

F i n a l m e n t e , r e s o l v i e n d o p a r a t e n ( 5 ) y d e f i n i e n d o x -x 2

de u n a recta.

=a,

x

y —y 2

x

= b, y

= c, e n c o n t r a m o s q u e

z —Z| 2

x - x

t

y - y i

Z - Z l

b

c

a

L a s E c u a c i o n e s ( 6 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones a,byc

EJEMPLO 1

2

x)

L a s E c u a c i o n e s ( 5 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones

son

f(z -Zi)k

(6)

simétricas

d e l a r e c t a . Aquí

s o n l o s números d i r e c t o r e s del v e c t o r v . D e s d e l u e g o , las E c u a c i o n e s ( 6 )

válidas sólo s i o , b y c s o n d i s t i n t a s d e c e r o .

E n c u e n t r e u n a ecuación v e c t o r i a l , l a s e c u a c i o n e s paramétricas y las

ecuaciones

simétricas d e l a r e c t a L q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = ( 2 , - l , 6 ) y c 9 = ( 3 , 1 , — 2 ) . Solución

Primero calculamos

v = ( 3 - 2 ) i + [ l - ( - l ) ] j + ( - 2 - 6 ) k = i+ 2 j - 8 k .

c e s , d e ( 4 ) s i R = (x,

y,

z) e s t á e n l a l í n e a , o b t e n e m o s

O P + t v = 2 i - j+ 6k+t(i + 2 j - 8 k ) x = 2+ í

Enton-

OR = x i + y j + z k =

ó

y = -

l + 2í

z = 6 - 8 f

Finalmente, c o m o a = l , 6 = 2 y c = - 8 encontramos lasecuaciones

simétricas

4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O

x ^

=

y ^ l

1

2

153

z - 6

=

-

1

8

P a r a verificar esto v e a m o s q u e (2, - 1 ,6 ) y (3, 1 , - 2 )

'

están r e a l m e n t e e n l a

r e c t a . T e n e m o s [después d e s u s t i t u i r e s t o s p u n t o s e n ( 7 ) ] 2 - 2 -

- 1 + 1 6 - 6

r

—

=

3 - 2 1

—

=

°

1 + 1 - 2 - 6 ~

2

"

_

- 8

1

Se pueden encontrar otros puntos d e l a recta. Si t = 3, por ejemplo, 3

_ x - 2 _ y + l 1

obtenemos

z - 6

2

que n o sd a el p u n t o (5, 5, - 1 8 ) .

EJEMPLO 2

Solución

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , - 2 , 4 ) y e s p a r a l e l a a l v e c t o r v = i + j —k. U s a m o s l a f ó r m u l a ( 6 ) c o n P=(x ,y , * , )= ( 1 , - 2 , 4 ) y v c o m o a r r i b a d e form a q u e a= 1 , b= 1 y c= - 1 . E s t o n o s d a l

l

x - l _ y + 2 _ 2 - 4

i

"

i

¿ Q u é s u c e d e s i u n o d e l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s a , fió c e s c e r o ?

EJEMPLO 3

Encuentre P=(3,

Solución

las ecuaciones

4, - 1 ) y Q = ( - 2 ,

simétricas d e l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s 4, 6).

A q u í v = — 5 i + 7 k y cr = — 5 , ¿> = 0 y c = 7 . E n t o n c e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n

para-

m é t r i c a d e l a l í n e a e s x = 3 - 5 r , y = 4, y z = — 1 + 7 / . R e s o l v i e n d o p a r a t, e n contramos que

x - 3 z + l —— = - 5 7

y '

y = 4 y

L a e c u a c i ó n y = 4 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xz y así

hemos

o b t e n i d o u n a ecuación d e u n a r e c t a e n e s e p l a n o .

EJEMPLO 4

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s i m é t r i c a s d e l a r e c t a ( e n e l p l a n o xy) q u e p a s a p o r l o s p u n t o s ( x , , y¡,0)y

( x , y , 0 ) d o n d e x , =ÉX . :

2

2

154

4 / V E C T O R E S EN R

Solución

2

Y R

3

Aquí, v = ( x - x ) i + ( y - y ) j 1

2

2

y

1

obtenemos

y P o d e m o s escribir esto

Aquí

0 : - > ' ) / ( x ' - X i ) = m, 1

2

l

y = mx+

1

- y

como

y - y i

yf — [0'i—y)V(X2—x )]x

2

=

l a pendiente

de l a recta.

Cuando

x =0 y =

= b, l a i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a c o n e l e j e y. E s t o e s ,

b, q u e e s l a f o r m a s i m p l i f i c a d a d e u n a r e c t a e n e l p l a n o xy. A s í v e m o s

q u e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o r e a l m e n t e s o n u n a g e neralización d e l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l p l a n o .

¿Qué s u c e d e s i d o s d e l o s números d i r e c t o r e s s o n c e r o ?

EJEMPLO 5

Solución

E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s ( 2 , 3, - 2 ) y Q = (2, - 1 , - 2 ) .

P=

A q u í v = — 4 j , d e m a n e r a q u e a = 0, b= —4 y c = 0. U n a r e p r e s e n t a c i ó n

para-

m é t r i c a d e l a r e c t a e s , p o r l a E c u a c i ó n (5), x-2;

4t; z= — 2 . S a b e m o s

y-2—

q u e x = 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o yz m i e n t r a s q u e z = — 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xy. S u i n t e r s e c c i ó n e s l a l í n e a

x=2,

z = — 2, q u e e s p a r a l e l a a l e j e y. D e h e c h o , l a e c u a c i ó n y = 3 — 4t d i c e , e s e n c i a l m e n t e , q u e y p u e d e t o m a r c u a l q u i e r v a l o r ( m i e n t r a s xy

Advertencia. L a s e c u a c i o n e s

z permanecen

fijas).

p a r a m é t r i c a s o s i m é t r i c a s d e u n a r e c t a no s o n

únicas. P a r a v e r e s t o b a s t a e m p e z a r c o n o t r o s d o s p u n t o s d e l a r e c t a .

EJEMPLO 6

E n el Ejemplo

1 l a r e c t a contenía a l p u n t o

(5, 5,

—18). E s c o j a m o s

P—

(5, 5 , - 1 8 ) y (3 = ( 3 , 1, - 2 ) . E n c o n t r a m o s q u e v = - 2 i - 4 j + 16k, así q u e x=5

— 2t, y - 5 — 4t, y z=

— 1 8 + 1 6 ? . ( N o t e m o s q u e s i t = §, o b t e n e m o s

z ) = (2, — 1 , 6).) L a s e c u a c i o n e s

(x,y,

simétricas a h o r a s o n

x - 5 _ y - 5 _ z + 1 8 -2

~ -4

~

16

L a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o s e o b t i e n e e s p e c i f i c a n d o u n p u n t o e n l a r e c t a y u n v e c t o r paralelo

a e s t a r e c t a . P o d e m o s d e d u c i r l a ecuación d e u n

plano e n elespacio especificando u np u n t o e nelplano y u nvector ortogonal a c a d a v e c t o r d e l p l a n o . E s t e v e c t o r o r t o g o n a l s e c o n o c e c o m o e l vector normal s e d e n o t a p o r n ( F i g u r a 4.51).

y

4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O

155

Figura 4.51

DEFINICION 1

Sea P u n p u n t o e ne lespacio y sean u nvector d a d o distinto d e cero. E n t o n c e s e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p u n t o s Q p a r a l o s c u a l e s PQ • n = 0 f o r m a n u n plano en

Notación

U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n p l a n o p o r TT. S e a P=(x , _ y , z ) u n p u n t o f i j o e n u n p l a n o c o n v e c t o r n o r m a l n = a\ + bj + ck. S i Q = (x, y, z ) e s c u a l q u i e r o t r o p u n t o e n e l p l a n o e n t o n c e s PQ = (x-x )\ + (y-y )j + (z-z )k. C o m o PQ±n, t e n e m o s PQ>n =0. P e r o esto implica q u e 0

0

n

0

n

0

a(x-x„)

+ b(y - y „ ) + c ( z - z ) = 0 o

(8)

U n a f o r m a m á s c o m ú n d e e s c r i b i r l a ecuación d e u n p l a n o s e d e r i v a fácilmente de (8):

ax + by + cz = d

donde

EJEMPLO 7

d = ax + by + cz 0

0

0

(9)

= OP • n

E n c u e n t r e e lp l a n o x q u epasa p o re lp u n t o (2, 5 , I )y tiene p o rvector n o r m a l al

n=i - 2 j+ 3k.

Figura 4.52

Solución

D e (8)obtenemos inmediatamente ( x - 2 ) - 2 ( y - 5 ) + 3 ( z - 1)= 0 ó x - 2 y + 3 z = - 5

(10)

156

4 ' V E C T O R E S EN R

2

Y R< :

E s t e p l a n o está d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4 . 5 2 . Observación. E l p l a n o s e d i b u j a f á c i l m e n t e h a c i e n d o x =y = 0 e n l a E c u a c i ó n ( 1 0 ) p a r a o b t e n e r ( 0 , 0 , - § ) , x = z = 0 p a r a o b t e n e r ( 0 , f, 0 ) ey=z=0 para o b t e n e r ( — 5 , 0 , 0 ) . E s t o s t r e s p u n t o s están e n e l p l a n o .

L o s tres planos coordenados

se representan c o m o

sigue:

i. E l plano xy p a s a p o r e l o r i g e n ( 0 , 0 , 0 ) y c u a l q u i e r v e c t o r e n e l e j e z e s n o r m a l a é l . D e t a l e s v e c t o r e s e l m á s s i m p l e e s k. A s í , d e ( 8 ) , o b t e n e m o s 0 ( x - 0) + ()(y - 0 ) + 1(z - 0 ) = 0 , l oq u e n o s lleva a z = 0 c o m o l a e c u a c i ó n d e l p l a n o xy. sorprendente). ii. E l plano xz t i e n e l a e c u a c i ó n

iii.

E l plano

(11) ( E s t e r e s u l t a d o n o debería s e r m u y

y =0

(12)

x=0

(13)

yz t i e n e l a e c u a c i ó n

Tres puntos n o colineales d e t e r m i n a n u n plano pues ellos d e t e r m i n a n d o s vectores n o paralelos q u e se intersecan e n u n p u n t o ( F i g u r a 4.53). Figura 4 . 5 3

EJEMPLO 8

Solución

z

E n c u e n t r e l a ecuación d e l p l a n o Q =< - 2 , 3, - 1 ) y/?(!,