Larson-15-01.qxd 3/12/09 PagePage 10571057 1053714_cop15.qxd 10/27/08 19:45 1:43 PM

15 15 15

Vector Analysis Analysis Vector Análisis vectorial Vector Analysis

thischapter, chapter,you youwill willstudy studyvector vector InInthis En esteline capítulo se estudiarán los campos fields, line integrals, andsurface surface integrals. fields, integrals, and integrals. In this chapter, you de willlínea studyintegrales vector vectoriales, integrales Youwill willlearn learn touse usethese thesetotoedetermine determine You to fields, line integrals, and surface integrals. de superficie. Se aprenderá usarlosarea, para real-life quantities suchasasasurface surface area, real-life quantities such You will learn to use these to determine determinar cantidades en la vida real, como mass,flux, flux,work, work,and andenergy. energy. mass, suchmasa, as surface area, elreal-life área de quantities una superficie, flujo, trabamass, flux, work, and energy. In this chapter, you should learn the Injo this chapter, you should learn the y energía. following. following. En este aprenderá: In this capítulo, chapter, se you should learn the ■following. Cómo campo vectorial, deterHow sketchun vectorfield, field,determine determine ■n How totodibujar sketch aavector

minar siaes conservativo, encontrar una whether avector vector fieldisisconservative, conservative, whether How to sketch afield vector field, determine función de potencial, el rotacional y and laand find apotential potential function, findcurl, curl, find a function, find whether a vector field is conservative, divergencia. (15.1 find divergence. ()15.1) ) find divergence. ( 15.1 find a potential function, find curl, and Cómo una parametrización ■ How How toencontrar findaapiecewise piecewise smooth ■n find findtodivergence. (15.1 ) smooth continua por secciones, escribir y evaluar parametrization, write and evaluate parametrization, write and evaluate aa ■ How to find a piecewise smooth una integral de línea y utilizar el teorema lineintegral, integral,and anduse useGreen’s Green’sTheorem. Theorem. line parametrization, write and evaluate a Green. (de 15.2, 15.4)(15.2 ) , 15.4) (15.2, 15.4 line integral, and use Green’s Theorem. n Cómo usar el teorema fundamental de How usethe theFundamental FundamentalTheorem Theorem ■■ How totouse ( 15.2, 15.4 ) las integrales de línea, la independencia ■ of Line Integrals, independence path,■ ofHow LinetoIntegrals, independenceTheorem ofofpath, ■ de use the yFundamental la trayectoria la conservación de and conservation of energy. ( 15.3 ) and ofindependence energy. (15.3)of path, ■ of conservation Line (Integrals, energía. 15.3) ■ How How to sketch a parametric surface, ■n to sketch a parametric and conservation of energy.surface, (15.3) Cómo dibujar una superficie paramétrica, find a set of parametric equations find a set of parametric equations toto un conjunto de ecuaciones ■ encontrar How to sketch a parametric surface, represent a surface, find a normal vector, represent a surface, find a normal vector, paramétricas representar una superfind a set of para parametric equations to find a tangent plane, and find the area find a tangent plane, and find the area ficie, determinar un vector represent a surface, find anormal, normalunvector, parametric surface. (15.5 ofof aaparametric (de 15.5 plano el áreaand una) )superficie find atangente tangent ysurface. plane, find the area paramétrica. ( 15.5 ) How toevaluate evaluateasurface. asurface surface(integral, integral, ■■ How of atoparametric 15.5 ) n determine Cómo evaluar una integralofof deaasuperficie, determine theorientation orientation surface, the surface, ■ How to evaluate a surface integral, determinar la orientación de use una superfievaluate aflux flux integral,and and usethe the evaluate a integral, determine the orientation a surface, cie, evaluarTheorem. una integral de of flujo y) )usar Divergence Theorem. (15.6, 15.7 Divergence ( 15.6, 15.7 flux and(15.6 use the elevaluate teoremaa de la integral, divergencia. , 15.7) How useStokes’s Stokes’s Theorem toevaluate evaluate ■■ How totouse Theorem Divergence Theorem. ( 15.6, to 15.7 ) n Cómo utilizar el teorema de Stokes para a line integral or a surface integral and a line integral or a surface integral and ■ evaluar How touna useintegral Stokes’s to evaluate deTheorem líneathe o superficie howtotouse usecurl curltotoanalyze analyze motion how the motion line integral or a surface integral andel ya cómo usar el rotacional para analizar rotatingliquid. liquid.(15.8 (15.8) ) ofof aarotating how to use curl analyze thegira. motion movimiento de untolíquido que (15.8) of a rotating liquid. (15.8) ■

NASA NASA

Whileon onthe theground groundawaiting awaitingliftoff, liftoff,space spaceshuttle shuttleastronauts astronautshave haveaccess accesstotoaaNASA While basket and slide wire system that is designed to move them as far away fromthe the basket and slide wire system that is designed to move them as far away from Mientras el despegue tierra,space los astronautas del transbordador espacial While onesperan the ground awaitingenliftoff, shuttle astronauts have access to a shuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by ■■shuttle tienen a unwire sistema alámbrico canastatoy move tobogán diseñado para transportarbasketacceso and slide system that is de designed them as far away from the thegravitational gravitational forcefield field varyfor fordifferent different slide wirepaths paths betweentwo two¿La fixed the force vary slide wire between fixed los lo más lejos posible del transbordador en una situación de emergencia. cantidad ■ shuttle as possible in an emergency situation. Does the amount of work done by points? (See Section 15.3, Exercise 39.) points? (See Section 15.3, Exercise 39.) de trabajo realizado por el campo de fuerza gravitacional varía para diferentes trayectothe gravitational force field vary for different slide wire paths between two fixed rias entre(See dos Section puntos fijos delExercise tobogán 39.) alámbrico? (Ver la sección 15.3, ejercicio 39.) points? 15.3,

En el capítulo 15 combinará el conocimiento vectores elknowledge del cálculo La sección 15.115.1 introduce InChapter Chapter 15,you youse will combineyour your knowledgeofofde vectors withcon your knowledge integralcalculus. calculus. Section 15.1 In 15, will combine knowledge vectors with your ofofintegral. integral Section campos vectoriales, como losasas que se shown muestran arriba. Ejemplos de campos vectoriales incluyen campos de velociintroduces vectorfields, fields, such those shownabove. above. Examples vector fieldsinclude includevelocity velocity fields, electromagnetic introduces vector such those Examples ofofvector fields fields, electromagnetic In Chapter 15, you will combine your knowledge of vectors with your knowledge of integral calculus. Section 15.1 dad, campos electromagnéticos fields, andgravitational gravitational fields. y campos gravitacionales. fields, and fields. introduces vector fields, such as those shown above. Examples of vector fields include velocity fields, electromagnetic fields, and gravitational fields.

1057 1057 1057 1057 1057

Larson-15-01.qxd

3/12/09

19:45

Page 1058

1053714_1501.qxp 1053714_1501.qxp 10/27/08 10/27/08 1:43 1:43PM PM Page Page1058 1058 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1058

1058 1058 1058 1058

CAPÍTULO 15

Análisis vectorial

Chapter Chapter15 15 Vector VectorAnalysis Analysis Chapter 15 Vector Analysis

15.1 Campos vectoriales 15.1 VectorFields Fields 15.1 Vector Vector Fields 15.1 Comprender el concepto de un campo vectorial. n

n■Determinar si un campoofof vectorial esfield. conservativo. ■ concept Understandthe the concept ofaaavector vector field. ■ Understand Understand the concept vector field. n■Calcular el rotacional de un campo vectorial. ■ whether a vector field is conservative. Determine whether a vector field is conservative. ■ Determine Determine whether a vector field is conservative. n■Calcular la divergencia un campo vectorial. ■ ofof field. Findthe thecurl curl ofaaavector vectorde field. ■ Find Find the curl vector field. ■■■Find the divergence of a vector Find the divergence of a vector field. Find the divergence of a vectorfield. field.

Campos vectoriales

Vector VectorFields Fields Vector Fields En el capítulo 12 se estudiaron funciones vectoriales que asignan un vector a un número In 12, functions—functions that aaavector InChapter Chapter 12,you youstudied studied vector-valued functions—functions thatassign assign vector to real. Se comprobó que las vector-valued funciones vectoriales de números reales son útiles paratorepreIn Chapter 12, you studied vector-valued functions—functions that assign vector to asentar real number. There you saw that vector-valued functions of real numbers are realcurvas number. Thereyou yousaw saw that vector-valued functions ofcapítulo realnumbers numbers areuseful useful y There movimientos a that lo largo de una curva. En este se estudiarán otros aareal number. vector-valued functions of real are useful in curves aaacurve. InIn this you two inrepresenting representing curvesand andmotion motionalong along curve. In thischapter, chapter, youwill will study two dos tipos de funciones vectoriales que asignan un vector a un punto en elstudy plano o a un in representing curves and motion along curve. this chapter, you will study two other functions—functions that aaavector othertypes types ofvector-valued vector-valued functions—functions thatassign assign vectortoto toaaapoint pointinde inthe the punto en elofof espacio. Tales funciones se llaman campos vectoriales (campos vectoother types vector-valued functions—functions that assign vector point in the plane or a point in space. Such functions are called vector fields, and they are useful plane oraapoint pointin inspace. space. Suchfunctions functions arecalled called vector fields, and theyare arede useful res), y or son útiles para representar varios tipos de campos defields, fuerza y campos velociplane Such are vector and they useful in inrepresenting representingvarious varioustypes typesofof offorce forcefields fieldsand andvelocity velocityfields. fields. dades. in representing various types force fields and velocity fields. DEFINICIÓN DE UNVECTOR CAMPO VECTORIAL DEFINITION OF FIELD DEFINITION OF VECTOR FIELD DEFINITION OF VECTOR FIELD AAAvector region RRRisis FFFthat assigns aaavector vectorfield fieldover overasobre plane region isaaafunction function that assigns vector Un campo vectorial una región plana R es una función F que asigna un vector field over aaplane plane region function that assigns vector F 共 x, y 兲 to each point in R. each pointpunto inR. R.en R. vector y) a cada FF共共x,x,yyF(x, 兲兲totoeach point in AAAvector region QQQinin space aaafunction FFFthat assigns aaa F que vectorfield fieldover overasobre solid region in space function that assigns Un campo vectorial una región sólida Qisisis en el espacio es una función vector field over aasolid solid region space function that assigns vector FFF 共x, point inin vectorun 共x,x,y,y,y,zz兲z兲兲to toeach each point inQ. Q. en Q. asigna F(x, y, z) a cada punto 共vector vector to each point Q. NOTA NOTE aaavector consists ofof infinitely vectors, Aunque un campo vectorial está constituido por infinitos vectores, seaapuede obtener NOTE Although Although vectorfield field consists of infinitelymany many vectors,you youcan canget get agood goodidea ideaofof of una NOTE Although vector field consists infinitely many vectors, you can get good idea what the looks like sketching several representative vectors idea aproximada de su estructura dibujando varios vectores representativos cuyos puntos what thevector vectorfield field looks likeby by sketching several representative vectorsFF(x, whoseinitial initial ini兲whose what the vector field looks like by sketching several representative vectors initial 共共x,x,yy), y兲y兲whose F共Fx, points 共(x, x, ■■■ n ciales son pointsare are points are 共共x,x,yy). y兲y.兲兲. .

The gradient isisisone example aaavector ififif si El gradiente un ejemplo deofof un campo vectorial. Por ejemplo, The gradientes one example of vectorfield. field.For Forexample, example, The gradient one example vector field. For example, 333 f f共fx, ⫽xx2x2y2yy⫹⫹ ⫹3xy 3xy 共共x,x,yy兲y兲兲⫽⫽ 3xy

then ofof entonces el gradiente thenthe thegradient gradient off ffde f then the gradient ⵜf ⵜf共x, ⫽fxf共fxxx, i⫹ ⫹fyf共fyyx, 共共x,x,yy兲y兲兲⫽⫽ 共共x,x,yy兲y兲i兲i⫹ 共共x,x,yy兲y兲j兲jj ⵜf 3 22 3 3 ⫽⫽ 兲2兲j兲jj ⫽共2xy 2xy⫹⫹ ⫹3y 3y兲兲i兲i⫹ i⫹ ⫹共x共共x2x22⫹⫹ ⫹9xy 9xy 共共2xy 3y 9xy

Vector field the Campo vectorial elplane plano. Vector fieldinininen the plane Vector field the plane

ises field inin 13, graphical interpretation ofof field campo vectorial en el From plano. Del capítulo 13, la interpretación gráfica de camavector vector field inthe theplane. plane. FromChapter Chapter 13,the the graphical interpretation ofthis thiseste field isisaaun vector field the plane. From Chapter 13, the graphical interpretation this field ispo a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase es una familia de vectores cada uno de los cuales apunta en la dirección de máximo is a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase is a family of vectors, each of which points in the direction of maximum increase along given by crecimiento a lo largo de lazzsuperficie por z 5 f sx, yd. alongthe thesurface surface given by z⫽⫽ ⫽f f共fx, . 共共x,x,yy兲y.兲兲.dada along the surface given by Similarly, if De manera similar, si Similarly, if Similarly, if f f共fsx, 1 1 ⫽xx2x222⫹ ⫹yy2y222⫹ ⫹zz2z222 共共x,x,y,y,y,zz兲zd兲兲⫽5 ⫽ ⫹ ⫹ then ofof entonces el gradiente thenthe thegradient gradient off ffde f then the gradient ⵜf =f 5 1 ⵜf共sx, 共x,x,y,y, ⫽ffxfx共fxsxx, 共x,x,y,y, i1 ⫹ffyfy共fysyx, 共x,x,y,y, ⫹ffzfz共fzszx, 共x,x,y,y, ⵜf 共x, y,y,zzz兲dz兲兲⫽ ⫽ 共x, y,y,zzz兲dzi兲i兲i⫹ ⫹ 共x, y,y,zzz兲dzj兲j兲jj⫹ ⫹ 共x, y,y,zzz兲dzk 兲k兲kk ⫽ 2x i ⫹ 2yj ⫹ 2zk 5 2xi 1 2yj 1 2zk ⫽ 2x 2xi ⫹ 2yj 2yj ⫹ ⫹ 2zk 2zk ⫽ i⫹

Vector field inininspace Campo vectorial en elspace espacio. Vector field space Vector field

ises field inin Note that functions for campo vectorial en el espacio. Notar que las funciones componentes para vector este campo vector field inspace. space. Note thatthe thecomponent component functions forthis thisparticular particular vector isisaun aavector vector field space. Note that the component functions for this particular vector field 2z. vectorial particular son fieldare are2x, 2x,2y, 2y,and and 2z.2x, 2y y 2z. field are 2x, 2y, and 2z. A field Un campo vectorial vector field AAvector vector field FFF 共x, 共x, 共x, 共x, ⫽MM M i⫹ ⫹NNN ⫹PPP 共共x,x,y,y,y,zz兲z兲兲⫽⫽ 共共x,x,y,y,y,zz兲zi兲兲i⫹ 共共x,x,y,y,y,zz兲zj兲兲jj⫹⫹ 共共x,x,y,y,y,zz兲zk 兲兲kk ises aaapoint only ofof functions M, continuo enatatat un punto yand sólo siififcada una de sus funciones componentes M, NPPis yisisP es continuous pointififsi ifand only ifeach each ofits itscomponent component functions M,N, N,and andP isiscontinuous continuous point and only each its component functions M, N, and continuous point. continua enatat ese punto. continuous atthat that point. continuous that point.

Larson-15-01.qxd

3/12/09

19:45

Page 1059

SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

1059

Algunos ejemplos físicos comunes de campos vectoriales son los campos de velocidades, los gravitatorios y los de fuerzas eléctricas. 1. Un campo de velocidades describe el movimiento de un sistema de partículas en el plano o en el espacio. Por ejemplo, la figura 15.1 muestra el campo vectorial determinado por una rueda que gira en un eje. Los vectores velocidad los determina la localización de sus puntos iniciales: cuanto más lejano está un punto del eje, mayor es su velocidad. Otros campos de velocidad están determinados por el flujo de líquidos a través de un recipiente o por el flujo de corrientes aéreas alrededor de un objeto móvil, como se muestra en la figura 15.2. 2. Los campos gravitatorios los define la ley de la gravitación de Newton, que establece que la fuerza de atracción ejercida en una partícula de masa m1 localizada en (x, y, z) por una partícula de masa m2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

Campo de velocidades

Fsx, y, zd 5

Rueda rotante Figura 15.1

2Gm 1m 2 u x2 1 y 2 1 z2

donde G es la constante gravitatoria y u es el vector unitario en la dirección del origen a (x, y, z). En la figura 15.3 se puede ver que el campo gravitatorio F tiene las propiedades de que todo vector F(x, y, z) apunta hacia el origen, y que la magnitud de F(x, y, z) es la misma en todos los puntos equidistantes del origen. Un campo vectorial con estas dos propiedades se llama un campo de fuerzas central. Utilizando el vector posición r 5 xi 1 yj 1 zk para el punto (x, y, z), se puede expresar el campo gravitatorio F como 2Gm 1m 2 r iri2 iri 2Gm 1m 2 5 u. iri2

1 2

Fsx, y, zd 5

Campo vectorial de flujo del aire Figura 15.2 z

3. Los campos de fuerzas eléctricas se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerza ejercida en una partícula con carga eléctrica q1 localizada en (x, y, z) por una partícula con carga eléctrica q2 localizada en (0, 0, 0) está dada por

(x, y, z)

y

Fsx, y, zd 5

cq1q2 u iri2

donde r 5 xi 1 yj 1 zk, u 5 ryi ri, y c es una constante que depende de la elección de unidades para iri, q1, y q2.

x

m1 se localiza en (x, y, z). m2 se localiza en (0, 0, 0).

Campo de fuerzas gravitatorio Figura 15.3

Nótese que un campo de fuerzas eléctricas tiene la misma forma que un campo gravitatorio. Es decir, Fsx, y, zd 5

k u. iri2

Tal campo de fuerzas se llama un campo cuadrático inverso.

DEFINICIÓN DE CAMPO CUADRÁTICO INVERSO Sea rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk un vector posición. El campo vectorial F es un campo cuadrático inverso si Fsx, y, zd 5

k u iri2

donde k es un número real y u 5 ryi ri es un vector unitario en la dirección de r.

Larson-15-01.qxd

1060

3/12/09

19:45

CAPÍTULO 15

Page 1060

Análisis vectorial

Como los campos vectoriales constan de una cantidad infinita de vectores, no es posible hacer un dibujo de todo el campo completo. En lugar de esto, cuando se esboza un campo vectorial, el objetivo es dibujar vectores representativos que ayuden a visualizar el campo. EJEMPLO 1

Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores del campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2yi 1 xj. Solución Se podrían trazar los vectores en varios puntos del plano, al azar. Sin embargo, es más ilustrativo trazar vectores de magnitud igual. Esto corresponde a encontrar curvas de nivel en los campos escalares. En este caso, vectores de igual magnitud se encuentran en círculos. iFi 5 c

y

!x 2 1 y 2 5 c

3

x2 1 y 2 5 c2

2

x 1

3

Campo vectorial: F(x, y) = −yi + xj

Punto

Vector

s1, 0d

Fs1, 0d 5 j

s0, 1d

Fs0, 1d 5 2i

s21, 0d

Fs21, 0d 5 2j

s0, 21d

Fs0, 21d 5 i

En la figura 15.4 se muestran éstos y algunos otros vectores del campo vectorial. Nótese en la figura que este campo vectorial es parecido al dado por la rueda giratoria mostrada en la figura 15.1.

Figura 15.4

EJEMPLO 2 y

3

Fsx, yd 5 2xi 1 yj. c=2

Solución Para este campo vectorial, los vectores de igual longitud están sobre las elipses dadas por

c=1

x

−2

Dibujo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo vectorial dado por

4

−3

Ecuación del círculo.

Para empezar a hacer el dibujo, se elige un valor de c y se dibujan varios vectores en la circunferencia resultante. Por ejemplo, los vectores siguientes se encuentran en la circunferencia unitaria.

1

−4

Vectores de longitud c.

2

3

iFi 5 !s2xd2 1 s yd2 5 c lo cual implica que 4x 2 1 y 2 5 c 2.

−3 −4

Campo vectorial: F(x, y) = 2xi + yj

Figura 15.5

Para c 5 1, dibujar varios vectores 2xi 1 yj de magnitud 1 en puntos de la elipse dada por 4x 2 1 y 2 5 1. Para c 5 2, dibujar varios vectores 2xi 1 yj de magnitud 2 en puntos de la elipse dada por 4x 2 1 y 2 5 4. Estos vectores se muestran en la figura 15.5.

Larson-15-01.qxd

3/12/09

19:45

Page 1061

SECCIÓN 15.1

EJEMPLO 3 z

Campos vectoriales

1061

Esbozo de un campo vectorial

Dibujar algunos vectores en el campo de velocidad dado por vsx, y, zd 5 s16 2 x 2 2 y 2dk

16

donde x 2 1 y 2 ≤ 16. Solución Es válido imaginar que v describe la velocidad de un fluido a través de un tubo de radio 4. Los vectores próximos al eje z son más largos que aquellos cercanos al borde del tubo. Por ejemplo, en el punto (0, 0, 0), el vector velocidad es v(0, 0, 0) = 16k, considerando que en el punto (0, 3, 0), el vector velocidad es v(0, 3, 0) = 7k. La figura 15.6 muestra éstos y varios otros vectores para el campo de velocidades. De la figura, se observa que la velocidad del fluido es mayor en la zona central que en los bordes del tubo.

Campos vectoriales conservativos En la figura 15.5 todos los vectores parecen ser normales a la curva de nivel de la que emergen. Porque ésta es una propiedad de los gradientes, es natural preguntar si el campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es el gradiente de alguna función diferenciable ƒ. La respuesta es que algunos campos vectoriales, denominados campos vectoriales conservativos, pueden representarse como los gradientes de funciones diferenciables, mientras que algunos otros no pueden. 4

4

y

x

DEFINICIÓN DE CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Campo de velocidades: v(x, y, z) = (16 − x2 − y2)k

Figura 15.6

Un campo vectorial F se llama conservativo si existe una función diferenciable ƒ tal que F 5 =f. La función ƒ se llama función potencial para F.

EJEMPLO 4

Campos vectoriales conservativos

a) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es conservativo. Para comprobarlo, 1 considerar la función potencial f sx, yd 5 x 2 1 2 y 2. Como =f 5 2x i 1 yj 5 F se sigue que F es conservativo. b) Todo campo cuadrático inverso es conservativo. Para comprobarlo, sea Fsx, y, zd 5

k u y iri2

f sx, y, zd 5

!x 2

2k 1 y 2 1 z2

donde u 5 ryi ri. Como kx ky kz i1 2 j1 2 k sx2 1 y2 1 z2d3y2 sx 1 y2 1 z2d3y2 sx 1 y2 1 z2d3y2 k xi 1 yj 1 zk 5 2 x 1 y 2 1 z 2 !x 2 1 y 2 1 z 2 k r 5 iri2 iri k 5 u iri2

=f 5

1

se deduce que F es conservativo.

2

Larson-15-01.qxd

1062

3/12/09

19:45

CAPÍTULO 15

Page 1062

Análisis vectorial

Como puede verse en el ejemplo 4b, muchos campos vectoriales importantes, incluyendo campos gravitatorios y de fuerzas eléctricas, son conservativos. Gran parte de la terminología introducida en este capítulo viene de la física. Por ejemplo, el término “conservativo” se deriva de la ley física clásica de la conservación de la energía. Esta ley establece que la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula que se mueve en un campo de fuerzas conservativo es constante. (La energía cinética de una partícula es la energía debida a su movimiento, y la energía potencial es la energía debida a su posición en el campo de fuerzas.) El importante teorema siguiente da una condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial en el plano sea conservativo. TEOREMA 15.1 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL PLANO Sea M y N dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R. El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es conservativo si y sólo si ­N ­M 5 . ­x ­y

DEMOSTRACIÓN Para mostrar que la condición dada es necesaria para que F sea conservativo, suponer que existe una función potencial ƒ tal que

Fsx, yd 5 =f sx, yd 5 Mi 1 Nj. Entonces se tiene fxsx, yd 5 M fy sx, yd 5 N

­M ­y ­N fyx sx, yd 5 ­x fxysx, yd 5

y, por la equivalencia de derivadas parciales mixtas fxy y fyx, se puede concluir que ­Ny­x 5 ­My­y para todo sx, yd en R. Lo suficiente de la condición se muestra en la sección 15.4. NOTA El teorema 15.1 es válido en dominios simplemente conexos. Una región plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra sólo puntos que están en R. Ver la figura 15.26 en la sección 15.4. n

EJEMPLO 5

Prueba de campos vectoriales conservativos en el plano

Decidir si el campo vectorial dado por F es conservativo. a) Fsx, yd 5 x 2yi 1 xyj

b) Fsx, yd 5 2xi 1 yj

Solución a) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 x 2yi 1 xyj no es conservativo porque ­M ­ 5 fx 2yg 5 x 2 y ­y ­y

­N ­ 5 fxyg 5 y. ­x ­x

b) El campo vectorial dado por Fsx, yd 5 2xi 1 yj es conservativo porque ­M ­ 5 f2xg 5 0 y ­y ­y

­N ­ 5 f yg 5 0. ­x ­x

Larson-15-01.qxd

3/12/09

19:45

Page 1063

SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

1063

El teorema 15.1 permite decidir si un campo vectorial es o no conservativo. Pero no dice cómo encontrar una función potencial de F. El problema es comparable al de la integración indefinida. A veces se puede encontrar una función potencial por simple inspección. Así, en el ejemplo 4 se observa que f sx, yd 5 x 2 1

1 2 y 2

tiene la propiedad de que =f sx, yd 5 2xi 1 yj. EJEMPLO 6

Calcular una función potencial para Fxx, yc

Hallar una función potencial para Fsx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj. Solución

Del teorema 15.1 sigue que F es conservativo porque

­ f2xyg 5 2x ­y

y

­ 2 fx 2 yg 5 2x. ­x

Si ƒ es una función cuyo gradiente es igual a F(x, y), entonces =f sx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj lo cual implica que fxsx, yd 5 2xy y fysx, yd 5 x 2 2 y. Para reconstruir la función ƒ de estas dos derivadas parciales, se integra fxsx, yd con respecto a x y fysx, yd con respecto a y, como sigue. f sx, yd 5 f sx, yd 5

E E

fxsx, yd dx 5 fysx, yd dy 5

E E

2xy dx 5 x 2y 1 gs yd

sx 2 2 yd dy 5 x 2 y 2

y2 1 hsxd 2

Nótese que g(y) es constante con respecto a x y h(x) es constante con respecto a y. Para hallar una sola expresión que represente ƒ(x, y), sea gs yd 5 2

y2 2

y

hsxd 5 K.

Entonces, se puede escribir f sx, yd 5 x 2 y 1 gs yd 1 K 5 x2 y 2

y2 1 K. 2

Este resultado se puede verificar formando el gradiente de ƒ. Usted podrá que es igual a la función original F. NOTA La solución en el ejemplo 6 es comparable a la dada por una integral indefinida. Es decir, la solución representa a una familia de funciones potenciales, dos de las cuales difieren por una constante. Para hallar una solución única, se tendría que fijar una condición inicial que deba satisfacer la función potencial. n

Larson-15-01.qxd

1064

3/12/09

19:45

CAPÍTULO 15

Page 1064

Análisis vectorial

Rotacional de un campo vectorial El teorema 15.1 tiene un análogo para campos vectoriales en el espacio. Antes de establecer ese resultado, se da la definición del rotacional de un campo vectorial en el espacio. DEFINICIÓN DEL ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL El rotacional de Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es curl rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd ­P ­N ­P ­M ­N ­M 5 2 i2 2 j1 2 k. ­y ­z ­x ­z ­x ­y

1

NOTA

2 1

2 1

2

Si rot F = 0, entonces se dice que F es un campo irrotacional.

n

La notación de producto vectorial usada para el rotacional proviene de ver el gradiente =f como el resultado del operador diferencial = que actúa sobre la función f. En este contexto, se utiliza la siguiente forma de determinante como ayuda mnemotécnica para recordar la fórmula para el rotacional.

| |

rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd curl i

k

5 ­ ­ ­x ­y

­ ­z

M

P

5

EJEMPLO 7

j

N

­N ­P ­M ­N ­M 2 i21 2 j11 2 k 1­P ­y ­z 2 ­x ­z 2 ­x ­y 2

Cálculo del rotacional de un campo vectorial

Hallar rot F para el campo vectorial dado por Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk. ¿Es F irrotacional? Solución

El rotacional de F está dado por

|

curl rot Fsx, y, zd 5 = 3 Fsx, y, zd i

j

k

|

­ ­ ­ ­x ­y ­z 2xy x 2 1 z 2 2yz ­ ­ ­ ­y ­z i 2 ­x 5 x2 1 z2 2yz 2xy 5

|

|| ||

­ ­ ­z j 1 ­x 2yz 2xy

5 s2z 2 2zdi 2 s0 2 0dj 1 s2x 2 2xdk 5 0.

Como rot F = 0, F es irrotacional.

|

­ ­y x2

1

k

z2

Larson-15-01.qxd

3/12/09

19:45

Page 1065

SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales

1065

Más adelante, en este capítulo, se asignará una interpretación física al rotacional de un campo vectorial. Pero por ahora, el uso primario del rotacional se muestra en la siguiente prueba para campos vectoriales conservativos en el espacio. El criterio establece que para un campo vectorial cuyo dominio sea todo el espacio tridimensional (o una esfera abierta), el rotacional es 0 en cada punto en el dominio si y sólo si F es conservativo. La demostración es similar a la dada para el teorema 15.1. TEOREMA 15.2 CRITERIO PARA CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS EN EL ESPACIO Suponer que M, N y P tienen primeras derivadas parciales continuas en una esfera abierta Q en el espacio. El campo vectorial dado por Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es conservativo si y sólo si rot F(x, y, z) 5 0. Es decir, F es conservativo si y sólo si ­P ­N 5 , ­y ­z

NOTA El teorema 15.2 es válido para dominios simplemente conectados en el espacio. Un dominio simplemente conexo en el espacio es un dominio D para el cual cada curva simple cerrada en D (ver la sección 15.4) se puede reducir a un punto en D sin salirse de D. n

­P ­M 5 , ­x ­z

y

­N ­M 5 . ­x ­y

Del teorema 15.2 se puede ver que el campo vectorial del ejemplo 7 es conservativo, ya que rot F(x, y, z) = 0. Comprobar que el campo vectorial Fsx, y, zd 5 x 3y 2zi 1 x 2zj 1 x 2yk no es conservativo; se puede demostrar que su rotacional es rot Fsx, y, zd 5 sx3y 2 2 2xydj 1 s2xz 2 2x 3yzdk Þ 0. curl Para los campos vectoriales en el espacio que satisfagan el criterio y sean, por tanto, conservativos se puede encontrar una función potencial siguiendo el mismo modelo utilizado en el plano (como se demostró en el ejemplo 6). EJEMPLO 8

NOTA Los ejemplos 6 y 8 son las ilustraciones de un tipo de problemas llamados reconstrucción de una función a partir de su gradiente. Si se decide tomar un curso en ecuaciones diferenciales, se estudiarán otros métodos para resolver este tipo de problemas. Un método popular da una interacción entre las “integraciones parciales” sucesivas y derivaciones parciales. n

Calcular una función potencial para Fxx, y, zc

Hallar una función potencial para Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk. Solución Del ejemplo 7 se sabe que el campo vectorial dado por F es conservativo. Si ƒ es una función tal que Fsx, y, zd 5 =f sx, y, zd, entonces fxsx, y, zd 5 2xy,

fysx, y, zd 5 x 2 1 z 2,

y

fzsx, y, zd 5 2yz

e integrando separadamente con respecto a x, y y z se obtiene f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5

E E E

M dx 5 N dy 5 P dz 5

E E E

2xy dx 5 x 2 y 1 gs y, zd

sx 2 1 z 2d dy 5 x 2 y 1 yz 2 1 hsx, zd

2yz dz 5 yz 2 1 ksx, yd.

Comparando estas tres versiones de f sx, y, zd, concluir que gs y, zd 5 yz 2 1 K, hsx, zd 5 K, Por tanto, f sx, y, zd resulta ser f sx, y, zd 5 x 2 y 1 yz 2 1 K.

y ksx, yd 5 x 2 y 1 K.

Larson-15-01.qxd

1053714_1501.qxp

1066 1066

3/12/09

10/27/08

19:45

1:43 PM

CAPÍTULO 15 Chapter 15

Page 1066

Page 1066

1053714_1501

Análisis vectorial

Vector Analysis

Divergencia de un campo vectorial NOTA La divergencia puede verse como un tipo de derivadas de F ya que, NOTE Divergence can be viewed as a para campos de velocidades de partícutypelas, of mide derivative of Fdeinflujo that,de forpartículas vector el ritmo fields velocities porrepresenting unidad de volumen enofunmoving punto. particles, the divergence En hidrodinámica (el measures estudio delthe ratemovimiento of particle flow per unitun volume de fluidos), campo de at avelocidades point. In hydrodynamics de divergencia(the nulastudy se of fluid a velocity that is de llamamotion), incompresible. Enfield el estudio divergence free yismagnetismo, called incompressible. electricidad un campo In the study of andnula magnetism, vectorial deelectricity divergencia se llama a vector field that is divergence free is n el solenoidal. called solenoidal.

Se ha visto que elof rotacional de unField campo vectorial F es a su vez un campo vectorial. Otra Divergence a Vector función importante definida en un campo vectorial es la divergencia, que es una función You have seen that the curl of a vector field F is itself a vector field. Another important escalar. function defined on a vector field is divergence, which is a scalar function. DEFINICIÓN DE DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL DEFINITION OF DIVERGENCE OF A VECTOR FIELD La divergencia de Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es The divergence of Fsx, yd 5 Mi 1 Nj is ­M ­N div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5 ­M1 ­N. Plano. div Fsx, yd 5 = ? Fsx, yd 5 ­x 1 ­y . Plane ­x ­y La divergencia de Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es The divergence of Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk is ­M ­N ­P div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5 ­M1 ­N1 ­P. Espacio. Space div Fsx, y, zd 5 = ? Fsx, y, zd 5 ­x 1 ­y 1 ­z . ­x ­y ­z Si div F 5 0, entonces se dice que F es de divergencia nula. If div F 5 0, then F is said to be divergence free. La notación de producto escalar usada para la divergencia proviene de considerar = product notation used divergence comes from considering = as a comoThe un dot operador diferencial, comoforsigue. differential operator, as follows. ­ ­ ­ = ? Fsx, y, zd 5 ­ i 1 ­y ­ j 1 ­z ­ k ? sMi 1 Nj 1 Pkd ­x = ? Fsx, y, zd 5 i1 j1 k ? sMi 1 Nj 1 Pkd ­z ­M­x ­N ­y­P 5 ­M 1 ­N 1 ­P 5 ­x 1 ­y 1 ­z ­x ­y ­z

31 2 1 2 1 2 4 31 2 1 2 1 2 4

Divergencia de un campo vectorial EXAMPLE 9 Finding the Divergence of a Vector Field Hallar la divergencia en s2, 1, 21d para el campo vectorial Find the divergence at s2, 1, 21d for the vector field Fsx, y, zd 5 x33y 22zi 1 x 22zj 1 x 22yk. Fsx, y, zd 5 x y zi 1 x zj 1 x yk. EJEMPLO 9

Solución La divergencia de FF is es Solution The divergence of div Fsx, y, zd 5

­ ­ ­ 3 2 fx y zg 1 fx 2zg 1 fx 2yg 5 3x 2y 2z. ­x ­y ­z

En el punto At the point ss2, 2, 1, 1, 21 21dd,, la thedivergencia divergenceesis div Fs2, 1, 21d 5 3s22ds12ds21d 5 212.

■

Hay muchas propiedades la divergence divergenciaand y elcurl rotacional de un campo There are many importantimportantes properties ofdethe of a vector field vectorial F (ver ejercicios 83 athat 89).is Se establece de usoinmuy frecuente el teorema F (see Exercises 83– 89). One used often isuna described Theorem 15.3.enYou are 15.3. el ejercicio 90 se pide demostrar askedEn to prove this theorem in Exercise 90.este teorema. THEOREM 15.3 DIVERGENCE AND CURL TEOREMA 15.3 RELACIÓN ENTRE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL If Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk is a vector field and M, N, and P have continuous second derivatives, Fsx, y,partial zd 5 Mi 1 Nj 1 then Pk es un campo vectorial y M, N y P tienen segundas Si derivadas parciales continuas, entonces divscurl Fd 5 0. div (rot F) 5 0.

CAS

1053714_1501.qxp 10/27/08 PM Page Larson-15-01.qxd 3/12/091:43 19:45 Page 1067 1067 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1067 1053714_1501.qxp 1053714_1501.qxp

10/27/08 10/27/08

1:43 PM 1:43 PM

Page 1067 Page 1067

SECCIÓN 15.1

Campos vectoriales 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields 15.1 Vector Fields

1067

1067 1067 1067

1067

Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 15.1 Exercises 15.1 Vector Fields 1067 for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 15.1 Vector Fields 1067 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.1 Exercises Exercises See field www.CalcChat.com forsuworked-out to odd-numbered exercises. In15.1 Exercises 1– 6, the vector with its graph. [ThesolutionsIn Exercises 21–30, the conservative vector field for the En los ejercicios 1 amatch 6, asociar el campo vectorial con gráfica. En los ejercicios 21 afind 30, hallar el campo vectorial conservativo graphs are labeled (a), (b), (c),vector (d), (e), and (f).] its graph. [The potential function byfind finding its gradient. [Las gráficas se marcan a), b), c), d), e) y ƒ).] para la función potencial, encontrando su gradiente. In Exercises 1– 6, match the field with In Exercises 21–30, the conservative vector field for the See field www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered In15.1 ExercisesExercises 1– 6, match the vector with its graph. [Thesolutions In Exercises exercises. 21–30, find the conservative vector field for the graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).] potential function by finding its gradient. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out to odd-numbered exercises. y 6, match In15.1 Exercises field [Thesolutions potential In Exercises theits conservative field for the (a) (b) graphs are labeled (a), (b),the (c),vector (d), (e), andwith (f).] by find finding gradient. y1– y yits graph. a) b) f x, y function x21–30, 2y f x, y vector x y 21. 22. 2

graphs are labeled (a), (b), (c), (d), and (f).] y y (a) (b) (e), 4 4 1– y 6, match the vector In Exercises 6 6 yits graph. [The (a) (b) field with In field y 6, match 4 1– graphs are labeled (a), (b),the (c),vector (d), andwith (f).] 6 yits graph. [The (a) Exercises (b)(e), 4 6 graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f).] 4 6 y y (a) (b) x xx y y (a) (b) 4 − 6 4 −6 66 4 4

(c) c) (c) (c) (c) (c) (c)

y y y 5 y

4 4

−6 −6

4

−6

4 4

(d) d) (d) (d) (d)

5 5 y 5 5 y y 5 5

5

x

5 5 5 5

(e) e) (e) (e) (e)

y yy y

(e) (e)

y y

5 5

y

−5 −5 −5 y −5

5 x 5 5 5 5

(d) (d)

−6 −6

6 6

−6−6

x

6

−6 −6 y y −6 5 yy 5 −6 5 y 5 −6 5 y y 5 5

−5 −5 −5 −5 y (f) y ƒ) −5y (f) 3 y (f) 3 −5 32 y (f) 3 2−5 21 123 y (f) 1 (f) − 3 −2 12 y − 13 − 3 − 2 −1 1 − 3 −2 − 132 − 3 −2 − 1 2 − 3 −2 −−311 −31 −3 2. −F3 x,−2y −− 31 x j − 3x j 2. F−s3x,−2yd 5 2. F x, y − 1 x j

x x

6 6

x x

6 6

5

5

x

5 5 5 5 5

2 3 2 3 2 3 2 3 2

x

3

5 2 3 yi 1. F x, 5 2 3 1. Fsx, yd 5 −5y i yyii xj 1. xxji 3yj 2. x, yy x, yy 3. FF x, 4. FF x, yyii 2 xj xxij1 3yj 3.1. FFsx,x,yyd 5 4.2. FFsx,x,yyd 5 1 2 −5 FF x, yy yyix,i sen xj y FF x, yy − 3 xx1i12jxy,13yj 3. 4. x, x, x 5. 6. 1. 2. y i sen − 3 x ixy, 43yj 2 −5 kx, sinxj yl 5.3. FFsx,x,yyd 5 6.4. FFsx,x,yyd 5 k 1 1 2 xy, 4 x 2l F x, y F x, y x, sen y x 5. 6. 1i 13yj F x, y y i xj F x, y x 3. 4. 2 2 4 F x, y y i F x, y x j 1. 2. x, sen y 6.sketch several F and In5.Exercises 7–16, compute representative 2 xy, 4x 1j 1 2 F x, y y i F x, y x 1. 2. x, sen y xy, x 5. 6. vectors in field. 4 F x, y the yvector i 7compute yseveral x 2ivarios 3yj 3.Exercises i4.Fsketch iFyx,dibujar vectores En los ejercicios axj16, calcular F and In 7–16, representative F and In3.Exercises 7–16, compute sketch representative 13yj F x, yx, idel xjfield. F x, yyseveral x 1i xy, 4. 2 representativos campo vectorial. vectors inyy the vector F x, F x, sen y x 5. 6. In7.Exercises 7–16, F x,in y the ivector jcompute F x, y several 2i12 representative 8. sketch vectors field. F and 14 2 y the vector x, sen yfield. 5. F x,in 6. F x, y 2 xy, 4 x vectors F x, FF x, y iy i jcompute y 2i 7. 8. sketch y2ii representative 2x j 9. 10. F and In F x, x, yy 7–16, i j xj F x, x, yyseveral 7.Exercises 8. F In Exercises 7–16, sketch FF x, FF x, yy, yivector i 3yjcompute xj field. F and yyseveral yx2iii representative 2x j 9. 10. vectors in the x, z x, 11. 12. y j 7. 8. y i xj y i 2x j 9. F x, y 10. F x, y vectors in the vector field. F F x, y, z 3yj x, y x 11. 12. F x, y 4x i yj F x, y y 2j i j 13. 14. y i xj yxiii2 2x 9. 10. y z i 3yjj 7. F x, y, 8. F x, y x2i 11. 12. 2 F x, x, yy iy i i3yj j yj 7. 8. FF x, 4x yy z 2i y 2yj i j 13. 14. jyj k 15. 16. 11. 12. yxxxii2x i 2x 9. FF 10. x, yy, z 4x i xj F x, x, y, y y 2j i zk j 13. 14. 2 2 F x, y y i xj F x, y y i 2x j 9. 10. F x, y, z i j k x, y, z x i yj zk F 15. 16. 4x i yj x y i j 13. 14. y z xsystem i x i yj 11. Exercises 12. Falgebra F x, y, z 17–20, i3yj j useka computer x, y, zk 15. 16. CAS In to graph F x, y, z 3yj F x, y x i 11. 12. 2 2 i j k y, z x i yj zk 15. 16. several vectors in vector field. F ejercicios x,representative y 4x17 i a 20, yj Falgebra x, yalgebraico x y toicompuj 13.los 14. CAS En In Exercises 17–20, use a computer system graph unthe sistema por CAS In Exercises 17–20, useutilizar a computer algebra system 2 2to graph F x, y 4x i yj F x, y x y i j 13. 14. several representative vectors in the vector field. 1 F x, x,yrepresentative z 17–20, i j use Falgebra x, y,vectores z system x i representayj zk gráficamente 15. 16. varios CAS tadora In Exercises to graph F yy,representar 2xyi y 2kja computer 17. several vectors in the vector field. x, campo y, z 18 vectorial. i j 2k x i yj zk 15. Fdel 16. F x, y, z tivos several representative vectors in the vector field. FF x, y 2xyi 3x yi 2j a computer 12y 18. 817–20, CAS 17. In Exercises use F x, x, yy y2 j 2y 3x j algebra system to graph 17. 18 2xyi 1s2y F s x, y d 5 2xyi 1 y CAS 17. In Exercises 17–20, use algebra system to graph 8 F x, y 3x i 2y 3x jvector 18. several representative vectors in the field. x i 3x yj zk x, yy 2xyi yi 2jjda computer 17. F x, 2y 2y 3x j 18. Fsx,x,representative y, z s82y 19. FF several in the vector field. 23xdivectors 2 2 y d 5 2 1 s 2y 1 3x d j 18. z x ix 3xyjyiy2j zk F x, x,y, 2y 3x j 18. FF x, yy z 18 2y 2xyi 17. x i yj zk 19. 2 zk 2 F x, x, y, y, z 1 2xyi 19. 21 xixxi i21 yjyj zk F z x yj 20. y z y y j 17. 2 2 2 19. Fsx,x, y zd 582y x2 3x iy2 zk 2yz2 3x j 18. x,y, 19. F zz 2 3x j FF x, y,y,zz ! x i x 21 yj y 21 zk2y 20. 18. F x, x, yy, z 2yx xi xi 3xyjyjiy zkzk 20. F F s x, y, z d 5 x i 2 yj 1 zk 20. F x, y, z 19. x xi xi 2 yjyjy 2 zkzkz 2 20. F x, y, z 19. F x, y, z 2 2 2 x i x yj y zk z 20. F x, y, z x i yj zk 20. F x, y, z

2

2

1 2 4

potential function by2 finding2 its gradient. 1 2 2 2 2y 2 fg x,x,yy x5x f x,x,yy vector xsen ycos 21. 22. y conservative 23. 24. In Exercises for the 2 2find the 2 4y 41field f x, y x21–30, 2y3xy y x2 3x 21. 22. fg x, 4y In Exercises 21–30, find the conservative vector field for 1 2 2 potential function by finding its gradient. 2 2 2 2 2 2 yy z 5x yy z sen 4y2 the 3xy y 2 24. 23. x, x5x6xyz x, xsen 3x ycos4y 21. ggf x, 22. gfg x, x4 cos 25. 2 2y x, y, y function x, y, y 3x 4y z y its 26. 23. 24. potential by3xy finding gradient. 21 2 2 z22 25. 26xyz 2 2 2 y x3x 2 4y4y x,y, y zz x5x x,y, y zz xsen cos 3xy y 2 26. 23. ffgx, 24. ffgx, xz 2 z 2 yy, yy, 21. 22. z 25. 26. x, y, z 2 6xyz z 2yye2 x g x, x, y, z 2 x14 y 2 4y g x, 27. 28. x 4yxzy2 z2 x, yy, x, yy, 21. 22. yz 3x 2 2y3xy 2 x, x, z xsen x42yzcos 25. gfgf x, 26. gfgf x, x 22 x, y, y zz x5xz6xyz x, y 4y y 23. 24. y z xz ye y, z 27. 28. x 2 lnye 27. ggh x, 28. ghg x, zxy arcsen xcos 4y y2 x 2 y y 2 24. y, yz 29. 30. x, y, yy, zz 5xzxy x, y, y zz sen 3xy 23. z 3x y z2 fg x, y, zz 6xyz x, y, x2 xz 4yxz 25. 26. x x, y, z ye x,y, y,zzz 27. 28. hfg x, 2 2y 2 h x, y, z xy ln x y x arcsen yz 29. 30. z x f x, y, z 6xyz f x, y, z x 4y 25. 26. h x, y, z 31–34, xy lnverify x 2 y that the h x, y,field z isxy conservative. arcsen 29. 30.vector z yz xz z In Exercises x g x, y, z z ye g x, y, z 27. 28. En los verificar el y, campo h x,ejercicios y, z xy31lnax34, y h x, z arcsen 29. 30.que yxvectorial xz xz yz yes conx2 In Exercises that the g x, y, z 31–34, z verify ye g x, y,field z 1isiszconservative. 27. 28.vector In Exercises 31–34, verify that the vector field conservative. servativo. 2 2 z x y F x, y, y z x yxyi ln x yjy xj yz F x, y, y z 2x yi 31. 32. h x, h x, arcsen 29. 30.vector In Exercises 31–34, verify that the fieldx is conservative. 2 ln x2 x, yy, z x yxy x, yy, z 11 xyiarcsen yz 29. Fh x, 30. Fh x, i2 x 2yj y xj 31. 32. F x, y 31–34, x y i verify x yj that the yi xj F x, y fieldx12is 31. 32.vector In Exercises x12 conservative. F x, y F x, y sen x cos yj yi xj 2yi 2 33. 34. F x, y 31–34, x y i verify x yj that the yi xj F x, yfieldxy 31.Exercises 32.vector In 2 conservative. 1xis sen2y i x2 cos yj 34. F x, y yi xj 33. F x, y 1 sen 33. xy2 yi xj x y iy i x xyjcos yj 34. 31. F x, y 32. F x, y 1 xy In 35–38, xyjcos yj 32. xjfield is 33. Exercises 34.whether F x, y xsen y 2 iy i x 2determine yi xj F x, y thex 2 vector 31. xy x conservative. answer.whether the1 vector field is In Exercises Justify 35–38, your determine In Exercises 35–38, determine the vector is Fsi x, F x,ejercicios y sen y i a 38, x cos yj 34.whether yi xjfield 33. En los 35 determinar el ycampo es con1 vectorial conservative. Justify answer. whether xy 2 yi your In Exercises 35–38, determine the vector field is 5y 3xj 35. conservative. Justify your answer. F x, y F x, y sen y i x cos yj yi xj 33. 34. servativo. xy 2 yi your conservative. Justify F x, y 5y 3xj answer.whether the vector field is 35. 235–38, 2 2x In F x, x, yy 5y yiy yidetermine 3xj xj 35. Exercises F e 36. 2 2 In Exercises 35–38, determine 2y5y conservative. Justify your answer. whether the vector field is F x,x,yy 35. F 22 e 2x2xyiyy yi 3xjxj 36. conservative. Justify yi answer. xj 36. F x, y y22 2e 1 your y 2xyi y 3xj 5y 35. 37. F x, x, yy e21 yyi2 i xjj 36. F 22 x y yi x, yy 5y 35. FF x, i j 37. 2 22x1 y 2 3xj 37. e 211 yyi2 i xjj 36. F x, y 2xx 2 y y F x, y yi 38. 2x y 37. F x, y e yi i xjjxj 36. y 2 1x1211 xyy 2yi xj 38. F x, y 38. i jxj 37. F x, y 1 xy 2 yi In 391x–2148,xy y determine yi 38. Exercises F x, y i jxj whether the vector field is 37. 2 2 xy ydetermine conservative. a potential functionthe for vector the vector field. In Exercises If39itx1–is, 48,find whether field is In 39 –148, determine F x, y yi xj whether the vector field is 38. Exercises 1 conservative. If it is, find a potential function for the vector field. 2 2 3 1 xy In Exercises determine vector is F x, y the 3x the yi39 xjfind y i vector 2xfield yj 39. conservative. If it–is,48, function for field. F x, y yia potential xj 40.whether 38. xy 2 2 vector 2xvectorial conservative. If it139 is, a potential function for the field. 2j determinar y i 2yi2x 3es En los ejercicios afind 48, six, elyycampo conF 3x F x, y yi xj y yj 39. 40. F x, xe F x, y 2xyi x xj 41. 42. 2 2 3 In Exercises F x, y the 3x 2vector F x, y yi39 – 48, xj determine40.whether y i 2xfield yj is 39. servativo. Si lo39es,– 48, calcular una función potencial x2vector ypara él. 3xjfield. In Exercises whether field 2y 2 2yi F x,x,yy the xe FF x,x,yy 2xyi x 22determine j a2 potential 41. 42. conservative. Ifyiit 3is,xjfind function for the vector 1 F 3x i 2x yj is 39. 40. x y F xe yi 2yi2xj xj F 2xyi x5xy j j 41. 42. F x, x, yy for F x, x, yy 15y i find 43. 44. function 2 the conservative. If it is, a potential vector field. 2 2j 1yxe2xyy2 i2yi 2x 3xj F x, x,yyy F x, x,yyy 2xyi 41. FF 42. FF 3 i xj x 2j x, yi x, 3x 39. 40. 12 yi 2xj yj 15y 5xy 43. 44. 3 2 2 F x, x, yy F x, x, yy 15y j yi 2xj 43. F 44. F 3 y3x xi 2y ixj x 5xy yi yj 39. 40. 2j 12 2x y2 y2 iyj yxe 2xyi 2yi 2x xj 41. 42. i 3 i x225xy 2j 45. 46. 2 2yi y 2 2xj F x, x, yy F x, x, yy 15y 43. F 44. F x x y 2 x y yj 2 xi 2y x yxi yj x, yy xe x, yy 2xyi 2yi xj 41. FF x, 42. FF x, 2y i xx2 jj 45. 46. 12 2j F x, y i3 i yi j sen 45. 46. xxi xx cos yx225xy yyj22 2xj yi 43. F 44. F x, x, yy e15y yj 47. 2 2 2y 1 x 3 y yx yi y 2xj j 2 j yj 44. 45. FF x, 46. F x, y x, yy e15y 5xy 43. x i i yi2yj 47. 2xi x22 y 2 xx cos y22 sen y F x, y e cos yi sen yj 47. 2y x xi yj 48. F x, y 2 2 2 F x, yy i y2yj 45. xx cos 22 j sen yj 46. F x, y 2xi 2 F x, e yi 47. xi 2y x x y x yyj2 2xi 2yj F x, y 48. 45. 46. F x, y 2 i y 2 22 j F x, x, yy 48. F 2 2 x2xi 2 2 x x y y x2 2yj x y F e cos yi 47. In find sen curlyjF for the vector field at the given F x, x, yy 49–52, 48.Exercises 2 2 2 xx y F x, y 49–52, e2xi cos yi sen yj 47. point. In Exercises find curl F for the vector field at the given 2yj In find curl F for the vector field at the given F x, y 49–52, 48.Exercises 2 2 2 2xi 2yj point. x y In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the given Campo Punto point. F x, y vectorial 48. x2 y 2 2 point. Campo Punto F x, y, zvectorial xyzi find xyzcurl j Fxyzk 2, 1,field 3 at the given 49. In Exercises 49–52, for the vector Campo vectorial Punto 249 a EnExercises los ejercicios 52, calcular rotacional campo vectoIn 49–52, find curl F forelthe vector at the given F x, y, zzvectorial xyzi xyz j xyzk 2, 1,field 3del 49. point. F x, y, x 2, 1, zi 2xzj yzk 50. Campo Punto z xyzi xyz j xyzk 2, 1, 3 3 49. rial F enx,ely,punto dado. point. 2x x x, xexyzi 2, zisen yi2xzj yzk 50. F x, y, y, zzzvectorial 0, 13 33 yj 51. xyz je cos xyzk 2, 0, 1,1, 49. FF Campo Punto x, y, x 2zi 2, 1, 2xzj yzk 50. x2 xyz x Punto Campo vectorial F x, y, z e 0, 0, 1 sen yi e cos yj 51. i j k 52. F x, y, z e 3, 2, x 2, 1, zi 2xzj yzk 50. x xyzk 2, 0, 1, 103 3 49. F x, y, z exyzi 0, sen yixyz je x cos yj 51. xyz x x x, y, y, zz xyzjj kyzk xyzk 2, 1, 3 49. 52. x, exyzi 3, 0,2, 0,01, sen iyi 51. FF xyz 2, 50. i 2xzjje cos k yj 52. F x, y, z exe2zi 3, 2, 01 3 2 xyz F x, y, z x zi 2xzj yzk 2, 1, 50. x x i j k 52. e 3, 2, e sen yi e cos yj 0, 0, 10 3 51. F x, y, z 51. 52. F F x, x, y, y, zz 52. F x, y, z

eex sen xyz yi i e xyz i

x je cos k yj j k

0, 3, 0, 2, 10 3, 2, 0

1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 representative Larson-15-01.qxd 3/12/09 Page 1068 F and In Exercises 7–16, compute19:45 sketch several 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 1053714_1501.qxp 10/27/08 1:43 PM Page 1068 vectors in the10/27/08 vector field.1:431:43 1053714_1501.qxp PM PM PagePage 10681068 1053714_1501.qxp 10/27/08

7. F x, y

i

9. F x, y

yi

11. F x, y, z

j xj 3yj

8. F x, y

2i

10. F x, y

yi

12. F x, y

xi

2x j

43. F x, y

15y i

5xy j

45. F x, y

2y i x

47. F x, y

e x cos yi

48. F x, y

2xi x2

x2 j y2

44. F x, y 46. F x, y

y2 xi x2

yi

2xj yj y2

sen yj

2yj y2 2

F1068 x, y Chapter 4x iChapter yj 15 FAnalysis x,vectorial y x2 y 2 i j 13. 14. 1068 CAPÍTULO 15Vector Análisis 1068 15 Analysis Vector 1068 Chapter 15 Vector Analysis 1068 Chapter 1068 Chapter 15 15 Vector Vector Analysis Analysis In Exercises 49–52, find curl F for the vector field at the given F1068 x, y, z Chapter i Chapter j15 15 k 15 F Analysis x, y, z x i yj zk 15. 16. 1068 Vector Analysis Chapter Vector Analysis 1068 Vector 1068 15 Vector Analysis 10681068 Chapter Chapter 15 15 Vector Analysis Chapter Vector Analysis point. CAS In Exercises 17–20, aaausar computer system to find graph In Exercises 53– 56, use algebra system to the CAS 2 2xz En los ejercicios 53 ause 56, un sistema algebraico por compuy, zzd 5 xx2222zi 78. 78. F78. Fsx, x, F y, x, zi x2 2xzjjj2xz 1 yzk yzk yzk CAS In Exercises 53– 56, use computer algebra system to find the CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the zi2xz jyzk CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the zi x, y, 78. CAS In 53– 56, aa computer algebra system Punto CASseveral FFF x, zzz y, zxxx222zi 78. In Exercises Exercises 53– 56, use use computer algebra system to to find find the the x,y, y,vectorial zi 2 22xz 2xzjj yzk yzk 78.Campo representative vectors in the vector field. rot F for the vector field. tadora y representar el rotacional del campo vectorial. CAS CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the rot F for the vector field. CAS In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the F x, y, z x zi 2xz j yzk 78. In Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the F x, y, z x zi 2xz j 78. F x, y, z x zi 2xz j yzk yzk 78. rot F for the vector field. 2 CAS rot F for the vector field. Exercises 53– 56, use a computer algebra system to find the 2 F x, y, z x zi 2xz j yzk 78. rot F for the vector field. 2 CAS In In Exercises 56, use computer algebra system to find the the 49. Flos x,x,Exercises y,y, xyz jhallar xyzk CAS In Exercises 53– 56, ause a computer algebra system to find FIn zi and 2xz j 2xz yzk 78. div G FF G . G. In Exercises 80, find Fz zx, 79 y,xyzi zxand zi j Fdivyzk 78. 153– EnExercises ejercicios yx80, 80, F G2, 1, 3F F 79 80, find rot F for the vector field. div G G In 79 and find forfor the vector rot F the vector field. In Frot yFFthe 2xyi y x2j field. 17. div FFF G G F G G ... In Exercises Exercises79 79and and80, 80,find finddiv rot F for field. 8 vector rot Fx,x, for the vector field. 279 and x ln x 222 y2 222 j 2 k rot for the vector field. x div F G F G . In Exercises 79 and 80, find div F G F G G. . In Exercises 80, find F x, y, z x 2, 1, 3 zi 2xzj yzk 50. div F G F In Exercises 79 and 80, find F y, z arctan i 53. x x F zx, y, z arctan i 3xxln x 53.x,yy, y j k div F G In Exercises 80, ln 53. F79. x, y, zz 79 iand 3xj 2yk F80. x, y, zz y,F zk 79. 80. div Fdiv G FzxxxiiiG G In Exercises 79 find 53. F x, y, zand i80, 3xj 2yk F x, i G .zk 3xarctan ixyy iiix2y FF Gy, F x..zk In Exercises andfind 80, find 18. x, y, y, zz 2y arctan arctan ln xx222j 2yyy222jjj 2 2kkk 53.FFFFx,x, FF x, F x, y, ii 793xj 3xj 2yk x, y, zk 79. 80. yx ln F x, y, z i 2yk z 79. 80. x x F x, y, z 3xj 2yk x, y, z x i zk 2 79. 80. x y y F x, y, z arctan i ln x 53. y j k x, zx,z x, 0,Fx,z0,x, yii 3xj e2yk cos yj 51. F Fx,z x, y, y, z z arctan 53.53. arctan x 22ln x x22 y yj j k k x ilni ln 22k F x,x,y, y, 3xj F x,x,Fy, y, zk 79. F79. 80. 80. x, 53. 2 2 Fy, zeizixzxsen 2yk y,1y,y, z zxxxz2i22i2ii xxizk F 3xj 2yk xyj 79. 80. G y, G y, zzy,y,y, ii i3xj yj zk yj zzk y ii yzk y lni xzxxln xz xy F53. x, y, y, arctan 53. F G x, G x, xyj i 3xj yj zk ii zk yj x iyz yj F zx, y, zarctan arctan xyy2 jjxyy 2kkj k F x, zzx, 2yk F x, zzzx, 79. 80. G G x, y, yj zk x, y, z 2ii xzk yz y yz xz xy G x, y, x G x, y, z x i zk yj zzz222kkk z k F x, y, i 3xj 2yk F x, y, i 79. 80. xyz F y, z i 2yk F y, z iyj zk 79. 80. G x, y, z x G x, y, z x i yj zk F x, y, z i j k 54. yz xz xy y F x, y, z 19. y yz xz xy i j k 52. F x, y, z e 3, 2, 0 2 F x, y, z i j k 54. 2 2k2 2 x, y, j k 54. 2 x xz 2 G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj z k G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj z yyxyz2 zyzyz z x y G x, y, z x G x, y, z x i yj zk i yj iiiyyz j k 54. 2 2 x,y, y,zzz j k 54. FFF x, xy z x z zxzxzxzz xx xy yxyxyxyy G x, y, ii 82, zk z 2k z2 k 2i G x, x,Fy, y, zzx, y, xzx 2iiFF x..yj G y, zzx,81 x81 yji find zkfind yj div rot FG In Exercises G G y, and zxand xyj yj zk F 54. x,Fy, y,Fx,zz x, kxy k k 54. 54. y, y, z yzyyz yz zziiyz ixxixz xz zjjxz j xjxy yk div (rot rot F . zyjk z k In x,Exercises and 82, div rot F In Exercises 81 82, find F x, 54. = 5 = 3 En los ejercicios 81 y 82, hallar div F) · (= F). div rot F F . In Exercises 81 and 82, find y z x z x y div rot F F . In Exercises 81 and 82, find y z x z x y yi yxzk zi y sen zj zy j xk z sen yk zsen xz k x k 55. 54. FF55. x,x, y,y, z zx, i xzyj 20. F x, y, y,xzzsen 54. F sen i xj yysen jysen x, y, 55. div rot FrotF F F .. F F. . In Exercises Exercises 81 and and 82, find div InIn Exercises 8181 and 82,82, find 55. ysen zxsen divrot Exercises and find x,y, y,zzz ysen sen2xxzxy yy2yzxxiii zsen sen yzyxx zzzyyjxjj sen sen zzz xxx kkk 55. FFF x, div rot F In find F81. x, y, zz 81 xyzi yj zk 81. 2 div rot F F. F. In Exercises 81 and 82, find F x, y,5zxyzi xyzi yj zk 2sen 22xi yz2iy 22 i i sen div F rot F In Exercises 81 82, and 82, find F x, y, z sen x y sen y z j sen z senzxx zk kx k 55. 2 2 F x, y, z x y z j 55. F x, y, z sen sen y z j sen xk 55. F x, y, xyzi yj zk 81. y j k 56. x 2 s d 1 1 F x, y, z F x, y, z yj zk 81. y z i j k 56. F x, y, z x 2 2 2 F x, y, z sen x i sen y z j sen z 55. F x, y, z xyzi yj zk 81. y z i j k 56. F x, y, z x 2 2 2 jj zy k 56. jk z sen 55. Fy,zx, i ii 2ysen j zsen xz k x k 56. F55. F x,x,y, z y, zsenxx2xsen2yyx2 i 2yzz2sen 2 22zixyzi F x, y, z xyzi yj zk 81. 2zi F x, y, z yj zk 81. F x, y, z xyzi yj zk 81. x 2xz j yzk 82. 2 2 x, y, z F x, y, z x F 2xz j yzk 82. 2 y z i j k 56. F x, y, z x 2 y z i j k 56. F x, y, z x F x, y, z xyzi yj zk 81. 56. F x, y, z x 22 yx222 zy222 i z2 j i k j k x, y, zzd y, xx 2zi zi 2xz yzk 82. 5zxxyzi 2 2xz 1 82. yj zkyzk 81. F zk 81. 56. F x, y, zi xyzi 2xzjjjyj yzk x,y, y,zx, Fsx, 82. FF En los a determine 62, si el campo vectorial F is esF is 82. kj the 56. FIn x,ejercicios y, x57– In Exercises 62, field FF yz iwhether z jiwhether kvector 56. F zzx, y,57– z 57 xy determinar Exercises 62, determine the vector field x,Fy, y,Fx,zz x, F 82. zix 2xzi22xz 2xz yzk In Exercises 57– 62, determine whether the vector field is y, y, z xxz222zi jyzk 82. zi jj2xz 2xz j yzk yzk In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is x, F 82. 2 conservativo. Si lo57– es, calcular función potencial para él. x,Exercises y, x 83 FIn zi –90, 2xz jthe yzk 82. In Exercises prove the vector fields F and G y, –90, z–90, x zi F zx,83 2xzproperty j property yzk for 82. conservative. If itit is, find aadetermine potential function for the vector field. prove the for vector fields FG and G In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F isF conservative. If itfind is,62, find a una potential function for the vector field. In Exercises 62, whether the vector field is is In In Exercises 57– determine whether the vector field F In Exercises 83 prove property for vector fields and G conservative. If is, find potential function for the field. Exercises 83 –90, prove the property vector fields and conservative. If it is, a potential function for the vector field. In Exercises 57– 62, determine whether the vector field F is In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields and G En los ejercicios 83 a 90, demostrarthat lafor propiedad paraFFFlos camconservative. If it62, is, find adetermine potential function for thevector vector field. In Exercises 57– determine whether thefor vector field F is In Exercises 57– 62, whether the field F is In f.f.prove and scalar function (Assume the required partial Exercises 83 –90, prove the property for vector fields F and G f. and scalar function (Assume that the required partial In Exercises 83 –90, the property for vector fields F and G conservative. If it is, find a potential function the vector field. In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields F and conservative. If it is, find a potential function for the vector field. conservative. If it is, find a potential function for the vector field. and scalar function (Assume that the required partial 2 2 and scalar function (Assume that the partial Exercises 83 –90, the property for vector fields F and 2z 2 2 22j2 2x 2 conservative. If is, find field. and scalar function (Assume that the required partial 2 2a 2 2 for pos vectoriales F83yprove G f.yf.prove la función escalar ƒ.required (Suponer queFG las GG 57. x, y, z y, xy xxi 222potential yz y 222zk F57. 2i is, 2potential 2function In Exercises 83 –90, prove the property for vector fields Fpartial and G In Exercises –90, the property for vector fields and conservative. If zit it is, find the vector field.field. In yz xjx22function xzk y zkfor the F x, conservative. If it find a2jjjpotential function forvector the vector 222z2xy 2x derivatives are continuous.) 57. yz x, y, xy 2ii z a 2yz 2yy22zk f. and scalar function (Assume that the required derivatives are continuous.) f. and scalar function (Assume that the required partial 57. z x f. and scalar function (Assume that the required partial 57. FF z i x yz x y zk F x, x,y, y,zzz xy xy derivatives are continuous.) derivatives are continuous.) f.f. (Assume and scalar function the partial derivatives are continuous.) 2 x22 y2 derivadas parciales requeridas son that continuas.) 2 ix22 yz 3 2 and scalar function (Assume that the required required partial 3xj22jx 22k f. (Assume and scalar function that the required partial 57. zk F x, y, xy 22 z32xyz 22zk 57. yz23yz j2x 22jy22222z23xy xzzk Fy, y,y,y, zzxy 57. z2x 22iyz2xyz xy2222yzzk Fx,zzx, 58. yyz22222z222z333zz33xy i2i22yiixy 3xy F58. x, y, zzx, F z i derivatives are continuous.) derivatives are continuous.) 33322jj 2 j3xy 222k derivatives are continuous.) 57. F x, F x, y, 58. 2xyz 22xyz 2 k 2 F x, y, z y 58. z i j 3xy z k 57. z i x yz j x y zk xy derivatives are continuous.) z2xyz i jx 3yz33xy j z2x k2y 2zk F x, Fy, x, z y, z y2 z3 ixy 58. 57. rot Frot are F rot G 83. derivatives continuous.) FG Grot rot G 83. derivatives continuous.) 2 32 2xyz 3 2xyz rot G rot rot G 83. F x, 58. 3xy k zykzk2 k FFFrot Frot 83. Fy, y,y,y, zzysen yizi 58. Fx,zx, z22zz33izi yz iz3zi 58. i 33xj 2xyzj33xy j 2223xy 59. sen sen yk 223xy rot FFF G G arerot rot rot G G 83. rot F59. x, y, zzx, F sen sen 3xj 58. jjsen zzzyk k F x, y, sen sen yk 59. F x, y, sen xj sen yk 59. ysen 58. z zi izi 2xyz j xj 3xy k 2z 2 k rot F G rot F rot G 83. F y 2z2xyz 58. i 2xyz j 3xy rot F G rot F rot 83. Fx, x,y, y,zzx, z y, zysen sen sen xj sen 59. F rot F G rot F rotG G 83. f f 0 84. rot fF 84. 83. rot fF 84. xx xj yy sen F x, y, sen zi sen 59. rot fff G 000 G 84. Frot Gf Grot rot fF rot G0rot G 83. zze xsen yyk Fy, y,y,y, zzsen sen zi sen xj sen ykyk 59. Fx,zzx, z zzzzziizi sen zi xjxeyk sen 59. rot F 83. ye j xj xe kk 60. rot F f rot rot 84. rot F60. x, y, zzx, F ye i j k xxxj ze yyysen F x, sen 59. F x, y, ye ze xe 60. F x, y, z ye i ze j xe k 60. sen zi sen xj sen yk 59. rot f f 0 84. zi j sen fGf Gdiv 84. F x, Fy, x, z y, z yez i sen ze xexjk sen yk 60. 59. fdiv0G 0 84.rot div Fdiv G Fdivf Fdiv 85. div 85. ffrotFG z ze 84. z x jze x jxe x y kxe y ky div div G 85. F 60. x,Fy, y,Fx,zz x, ye 60. 60. div div 85. rot 84. y, y, z ye ize ixxjxz xze jyyxk xey k 0 G 84. zzz zziiyezye xz div FFFrot Gf divffFFF f00div divG G 85. rot F x, 60. xz xxk zze xxe j i 61. z xz x F x, y, z ye i j xe k 60. div F G div F div G 85. F x, y, z ye i ze j xe k 60. div F G div F div G Grot 85. z xz div F G div F div 85. G rot F G F G 86. F x, y, z i j k 61. 2 div FFdiv G x, y, 61. F G div rot div F rot G 86. 85. div rot G rot G 86. 2x yzy2222jjjxz yy kkk xyx 61. x,y, y,zzz zzyyiii zyxz 61. FFF x, xz div F rot FFF G FFF GF rot 86. G F div GG 85. F div F div 85. y xz divF Fdiv G G Gdiv rotF GG rot G G 86. div x yzzyi ziyxz y y y F x, y, z j k 61. F x, y, z j k 61. F x, y, i j k 61. x div F G rot F G F rot G 86. xz x div F G rot F G F rot 86. div F G rot F G F rotG G 86. f F F 87. 2 2 2 F x, y, z i j k 61. f F F 87. div F G rot F G F rot G 86. F 87. x, y, 61. F61. F zx, y, zyy i xxy yyi22xj y y2yyj k yyy yk y FFF Frot G 87. F Frot 86. F G rot F G F Grot G 86. FdivfffG 87. div x, y, zz y, zy 2 xxyy 2 ii y yi 2 yyy 2 jj kjk k F62. 62. F x, f F F 87. f F F 87. f F F 87. F x, y, 62. f F F f F 88. 2 2 2 2 f Ff FF F ff fFF F x 22 x xy2 2x2 iixy 2 x 22 y xy2 2y2 jjyy 2 kk 62. 88. 62. FF x,x,y,y,zz 87. 88. 88. fFF f F 87. f fff F FF f F F 88. 87. ffffF kj k k F 62. x,Fy, y,Fx,zz x, 62. 62. y, y, z xxzx22 xx 2yyy22xii 2 ix2xx2i2 yy 2yyy22yjj 2 jk fF F ffFFf fdiv fF fF F F fF FFff Ff F Ff F F 88. F x, 62. fFdiv 88. fF 88. div f F 89. xx 22 x yyx22 i y yxxi22 x yyx22 jy y 2kj k F x, y, z 62. div 89. F x, y, z 62. f 88. div f F f div f F 89. 2 2 2 2 div f F f div F f F 89. f F f F f F 88. En los ejercicios 63 a 66, calcular la divergencia del campo vecf F f F f F 88. div f F f div F f F 89. y find y x66, In Exercises 63– find the the field F. y xdivergence y of x66, In Exercises 63–find the xdivergence ofvector the vector field F. In Exercises 63– 66, the divergence of the vector field F. div fdiv F div F Ff15.3) 89. Ff ffFFdiv div F(Theorem 89. div f0div Fff F f F15.3) F 89.div rot FFfrot 00 f F In 63– 90. (Theorem InExercises Exercises 63–66, 66, find findthe thedivergence divergenceof ofthe thevector vectorfield fieldF. F. div 90. div f F torial F. 89. div rot 90. (Theorem 15.3) 00 fF 90. (Theorem frot FFF) f div 89. 5 90. div div(rot (Teorema div div F f F15.3) f F 89. div rot Ff F (Theorem 15.3) In Exercises Exercises 63– 66, find the divergence of the the vector fieldfield F.field InIn Exercises 66,66, find the divergence ofof the vector F. F. Exercises 63– find the divergence the vector 2 63– 2 2j the In find of field F. 2 divergence F63. x, y 63– 2y 63. div rotdiv Frotrot 90. 90. (Theorem 15.3) div F 00F (Theorem 0 0 (Theorem 15.3) 90.rot (Theorem 15.3) In Exercises 66, find the of theofvector vector field field F. F. yxxx2222iii66, x 22y i 66, jdivergence In find the divergence the vector 222j2y x, 2y 63. div F 90. 15.3) yFyy x, 63– j 63. F x, x,Exercises x2 xi 63– 2y j 63. FF div rot F 0 90. (Theorem 15.3) F x, y, zz y, zxi 1 1 div rot F 0 In Exercises 91– 93, let and let 90. (Theorem 15.3) 2 2y F x, xiyj 1 yjzk, 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let 2x 2jyy2y 2jy2 FF x, x, y, xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y x 63. F x, y i 63. F x, y x i j 63. xe ye 64. 22 ixxxixxe 22yyj 2y F y, z In Exercises 91– 93, let x, y, z Fxx,xi xi 1 yj 1 1 zk,yjand In Exercises 91– 93, let and lety F x, y y,1 zc yj 5 xi zk, 1 1 zk,let En los ejercicios 91 a 93, sea F x, y i ye j 64. jjyjj2y 63. x, yy x, yxxe ye 64. 2 FF x, 64. xxe 2y 63. f x, y, z F x, y, z . iye j 63. Fx, x,yyF xeiixxiiix 2x2y ye j 64. F F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let F x, y, z xi 1 yj 1 zk, In Exercises 91– 93, let and let f x, y, z F x, y, z . f x, y, z F x, y, z . y y x y 2 xi yj 1 zk, In 91– 93, let fIn y,y, zzzc..let ff x, x, F x, 64. xx, x,Exercises y,zzzcExercises 5 FFFx, xx,y,y,y, . F FyF yy,xe ye 64. Fx,x, y senx yejyyj j z 22k 2 64. y, zzx, iiyeiyyjjcos 65. xx iixexe F x, x, y, y, zz xi 1 1 xi yj 1 1 yj zk,1 and Exercises 91– 93, let and let let zk, and F65. x, i ye cos 64. F x, y, senx cos yj 65. ff x, x, fy, y,In F x, x,Fy, y,Fx,zz91– x, y, y, z zF y,..y, z93, . .let F x, y, z fzz x, x, z x, ixiye yj F 65. yF xezsenx i xesenx ye 64. i jcos j yjzzz222kkk z2 k2 64. Fx, x,yy, y,zx, z yxe senx i cos yj 65. F 1 F .F F 2 2 f x, Show y,f zx, y,that z F x,lny, Ff zx, y,. zF 22i senx 2i i cos k zlnk F x, cos yj zyj 65. 2cos Fy, y,y,y, zzsenx 65. Fx,zx, z xxsenx z yyk222ln 65. ln xyj z2222 k 2 66. 2 xyj 2 F66. x, y, zzx, 91. 92. Show that 1111 1 FFF3F.. F . F ln xyy2iycos ycos iyjyj 222 i yj 65. F x, y, ln xyj ln 66. f fFF222F... . 2. 92. 91. Show 92. Show that ln 91. Show that 92. Show that F x, y, ln xyj yy22 yzzz222 kkkz k 66. senx 65. 3 F i ii yj z 2k 65. Fx, x,y, y,zzx, z y, zsenx ln xx222iisenx ycos xyjzz 2kk ln ln 66. F f f 91. that Show that 91. Show =ln slnlnffffln d5 = 5 2 Probar quethat 92. Probar que . Show that Show that 1 F F 1 F 1 F f f 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 fff2. . . 92. 92. ff3f33..3. .Ff 3.F . F 66. x,Fy, y,Fx,zz x, ln xyj ln yyln kz zk k 66. 66. 11ffff 1 fF y, y, z ln y zzy222 k z xx2ln lnx yyx222 ii y y2ixyj i xyjxyj 22 ln lnn ff ln ln 91. 91. Show that that Show that that f nfF Show Show f 91. Show that 92. Show that F F F F 2 F x, ln 66. 2 2 3 2 2 2 ln . 91. Show that 92. Show that FIn x,Exercises y, x find i ydivergence xyj ln yof z vector k z vector 66. In Exercises the F at F zx, 67–70, y, zln67 ln xyfind i divergence lnthe yof kfield 66. n fnnf 2 2.2F. fn f 2 flnnn f f ln nf 93. Show that that thatff f f ff 33.. f 3f33. 67–70, the the field F at 91. 91. Show Show that 92. Show In Exercises 67–70, find the divergence of the vector field at 93. nfnn22 22F. 2 .F. 92. Show 2nf En los ejercicios afind 70, calcular laxyj divergencia del campo vecnf 93. Show that In 67–70, the of field at In Exercises Exercises 67–70, find the divergence divergence of the the vector vector field FFF at fffnnnn 5 nf F. f 93. that f f =f nf F. 93. Show Probar quethat f f f nf F. Show that the given point. n n2 2 In Exercises 67–70, findfind the divergence of the the vector fieldfield Ffield atF Fatat 93. 93. the given point. In 67–70, ofofthe In Exercises 67–70, findthe thedivergence divergence thevector vector the given point. f nn f nnf nf F. Show that that F.F. fnnnnn nf222F. nf 93.Show Show torial FExercises en el 67–70, punto dado. the given point. In find of field F theExercises given point. fthat that In Exercises 67–70, find the the divergence divergence of theofvector vector field field F at at F at 93. In Exercises 67–70, find the divergence the vector fN E fnf 93. Show that nfF.n 2F. 93. CCAAShow PPCSSATShow OOSNNTEEOthat the given point. the given point. the given point. P T the point. CCAAPPSSTTOONNEE Campo vectorial Punto the given given point. Campo vectorial Punto the given point. Campo vectorial Punto Campo vectorial Punto C94. AP PC(a) SACTTPASketch O NTSEOT N Campo vectorial Punto SPN EN E several Oseveral representative vectors in the field Para discusión 94. (a) representative vectors invector the vector field C A S 94. (a) several representative vectors in the vector field Campo vectorial Punto Campo vectorial Punto several representative Campo vectorial Punto C94. A P(a) SATSketch OSketch F x, y, z xyzi xyj zk 2, 1, 1 67. C POSketch SNTEESketch ObyN E 94. (a) several representativevectors vectorsin inthe thevector vectorfield field FCampo x,vectorial y, z xyzi xyzixyj xyjzk zk 2, 67. Punto FF x, x, y, xyj zk 2, 1, 67. given F 2, 1, 111 1, 1 67. Campo Punto vectorial Punto 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field x,y, y,zzvectorial z xyzi xyzi xyj zk 2, 1, 67. Campo given by 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field 94. (a) Sketch several representative vectors in the vector field given by given by 94. Sketch several representative vectors in the field given by 94. (a) a) Dibujar varios vectores representativos campo vec-field F x, y, xyzi zkyzkzkyzk 2, 1,2,2, 12, 67. 2zxyj Fy, y,y,y, zzxyzi xyj 1,331, 11,13 67. 94. (a) Sketch several representative vectors inen theel vector field Fx,zzx, xyzi xyj zk 67. xxz22222zziixyzi 1, 2xzj 68. 94. (a) given Sketch several representative vectors invector the vector F68. x, y, zzx, 2, F x i 2xzj F x, xyj zk 2, 1, 1 67. F x, y, 2, 1, 2xzj yzk 68. given by by given by xi yj F x, y, z x 2, 1, 3 z i 2xzj yzk 68. xyzi xyj zk 1, 1 67. F x, Fy, x, z y, z x2x z i xyzi 2, 2, 1, 1, 31 2xzj xyj yzkzk 2 68. 67. xiyj . yj given by xi torial dado F x, yygiven xi given by 2i2xzj by xi yj yj2 .. . FF x, x, yF x, y por F x, 2, 1, yzk 68. Fy, y,y,y, zzxez2xxzsen x 2xxzyi 2,1, 33 2xzj yzk 68. Fx,zx, z i yi yzk 68. e xxx2xzj yj kk z2 k 2, 3, 0, 002,330,1,01, 69. x cos F69. x, y, zzx, sen e xyj cos yjzzz2222k F 3, F iisen 2xzj yzk 68. F x, x, yy . yj sen yi cos yj F x, y, 3, 0, 69. xixx22222 xiyj yj xcos y2 xxiyy2y2222..yj ee2xzj F x, y, 3, 0, 0 69. 2, 1, 3 i exx 2yi 2xzj yzk 68. F 2, 1, 3 zyi i yzk 68. e cos yj z k Fx, x,y, y,zzx, z y, zxexeexx2zxzsen 3, 0, 0 69. F xi x F x, y F x, y x 2 y22. yj2. 2. x F x, y x 2 xi yj x x 2 xi sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. 2 F x, y sen yi e cos yj z k F x, y, z e 3, 0, 0 69. 2 ln xyz i j k 2, 1 70. x x 2 F x, y, z 3, (b) Sketch several representative in the field F x, ln k yj 3, F . y y. vectors x yyx222representative x sen F x, y several eejjijx cos zz2kk z2 k 3, 69. F x, y, zz y, xyz 3, 2, 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field (b)x, ySketch vectors invector the vector field F70. x, y, xyz iii yi kjk 3, 2, 1011 2, 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field sen yixyz cos yjcos eln 0, 69. xxx22 representative sen ekxyj F y, zzeln e xyi 0, 10 69. Fx, x,y, y,zzx, ln xyz 3,0, 2,03, 70. F (b) several vectors (b) Sketch Sketch several representative vectorsin inthe thevector vectorfield field y2 xy F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 given by 70. F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. (b) Sketch several representative vectors in the vector field given by (b) Sketch several representative vectors in the vector field (b) Sketch several representative vectors in the vector field given by F x, y, z ln xyz i j k 3, 2, 1 70. given by (b) Sketch several representative vectors in the field F70. y, ln iC O 3, 2, 3, 1 2, 1 70. given by FNIzx, iCCCOEk jP T S k W R IIx,TTIR G y,AAzG B Oxyz UBlnTTOxyz NN b) Dibujar varios vectores representativos campo vec-field (b) Sketch several representative vectors inen theel vector field (b) given Sketch several representative vectors invector the vector TOOjN W given by by given by W AABBBOOOAUU CCCO xi yj WRRRIW ITTIIINN NTGGGI N UTT U NCCEEENPPPCTTTESSSP T S xi yj given by xi yj torial por G x, ydado xi given byx, y by given Desarrollo conceptos xi yj yj . W RW IDefine N G BGaO OAde U Ofield N C EN Pplane TECSPE TP RII N IRTG G BATO U Cthe OCin C ST Sin IITaNIAvector N Bfield OCTUO TN Oplane Nthe 71. field in and space. Give some G . G x, 71. vector and in space. Give some W R TTTW B C 71. Define vector in the and in space. Give some G G x, x,yyy . yj xixx22222 xiyj yj xiy2y22222..yj 71. vector plane W R IIDefine IRNDefine Aexamples B UBTTfield C NCthe Cthe Pfields. W I GT aIaaAN G OAU OC UO Tin OEENP CTTESSplane Pand T S in 71. Define vector field in plane and in space. space. Give Give some some x y2. xi physical of vector x y G x, y . G x, y x y G x, y . xi yj xi yj physical examples of vector fields. 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some physical examples of vector fields. 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some 71. Define a vector field in the plane and in space. Give some physical examples of vector fields. 2 G x, yG 2y22.. 2 2or differences in the vector Definir campo vectorial en el plano y space. en el espacio. Dar physical of vector fields. 71. aaunexamples vector field in the plane and Give some (c) Explain similarities physical examples offield vector fields. G y x,any y xxany 22 x similarities 71. Define Define vector field in the plane and in in space. Give Give some (c)x, Explain or differences in vector the vector 71. Define aexamples vector invector the plane and indospace. some (c) Explain any similarities or differences in the yyx222 yyy2.or (c) Explain any similarities differences physical examples of vector fields. physical of vector fields. (c) Explain any similarities or differences in in the the vector vector physical examples of fields. x 72. What is a conservative vector field, and how you test for x algunos ejemplos físicos de campos vectoriales. 72. What is aexamples conservative vector field, and how do test you test for of fields. 72. What is conservative vector field, and how do you test for fields FF x, yy any ysimilarities G x, yy ..x, yor. differences (c) Explain any in the vector 72. What is aaexamples conservative vector field, and how do you for physical examples of vector vector fields. fields F x, y y G (c) Explain similarities or differences in the (c) Explain any similarities or differences in thevector vector physical of vector fields. 72. physical What is a conservative vector field, and how do you test for fields x, y G x, fields F x, y y G x, y . (c) Explain any similarities or differences in the vector fields F x, y y G x, y . itit72. in the plane and in space? (c) Explain any similarities or differences in the vector 72. What is a conservative vector field, and how do you test for it in the plane and in space? c) Explicar cualquier similitud o diferencia en los campos 72. What is a conservative vector field, and how do you test for (c) Explain any similarities or differences in the vector What is a conservative vector field, and how do you test for in the plane and in space? ¿Qué es un campo vectorial conservativo y cuál es su critefields F x, x,Fyy Fx,yyx, Gyyx, x,G . x, it and 72. is aaplane conservative vector field, and how do you test for fields yG y .y . fields yyyGx, itin inthe the plane andin inspace? space? 72. What What is conservative vector field, and how do you test for 72. What is a conservative vector field, and how do you test for fields F . fieldsfields F x, yF x, yG y .x, y . it inen plane and space? vectoriales itthe in the plane in space? yG y x, it in the plane and space? 73. Define the rot of ain vector field. rio elthe plano yof enand el espacio? Define the rot of ainin vector field. in plane and space? 73. Define the rot of aaand vector field. 73. rot vector field. it73. in the the plane and in space? it in the space? 73. itDefine Define the rotplane ofain vector field. 73. Define the rot of aof vector field. 73. the rot aof vector 73.Define Define the rot of a avector field. 74. divergence vector field in the and in Define the 73. Definir el rotacional de un campo vectorial. 74. Define the divergence of afield. vector field inplane the plane and in True or False? In Exercises 95–98, determine whether the the 74. Define the divergence of vector field in the plane and in True or False? In Exercises 95–98, determine whether the 74. Define divergence aaafield. vector field 73. the rot of vector field. True or False? In Exercises 95–98, determine whether the 73. Define theof rotaa vector of of aofvector field. 74. Define Define therot divergence vector field in in the the plane plane and and in in True In Exercises 95–98, determine whether the True or or False? False? In false. Exercises 95–98, determine whether the space. space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or If it is false, explain why or give an 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in space. True or False? In Exercises 95–98, determine whether the Definir la divergencia de un campo vectorial en el plano y en statement is true or false. If it is false, explain why or give an True or False? In Exercises 95–98, determine whether the True or False? In Exercises 95–98, determine whether the space. 74. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or false. If it is false, explain why or give an ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 95 a 98, determinar si la space. statement isis true or false. IfIf itit95–98, isis false, explain why or give an True or In determine whether 74. space. Define the divergence of a vector field in the plane and in statement true oritExercises false. false, explain why orwhether givethe an the 74. space. Define True or False? False? In Exercises 95–98, determine whether the True or False? In Exercises 95–98, determine example that shows is false. space. the divergence of a vector field in the plane and in statement is true or false. If it is false, explain why or give an el espacio. example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an statement is true or false. If it is false, explain why or give an space. example that shows it is false. declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an space.space. example that shows is false. statement is that true oritit false. If2false. it If is false, explain why why or give an an statement is4xi true or false. it yis false, explain give 2 22it example that shows false. shows is example that shows it isj, false. j,false. FFejemplo x, yy x,shows yis Fsu x, → 00 → x, yy → 0, 00or.0, 95. If then as darexample un que demuestre falsedad. F y 4xi y F x, y 0 x, y → 0 . 95. If then as 2 example that it is j, x, 4xi y F x, y → x, → 0, . 95. If then as 2 4xi FF x,x,yy → 95. example that shows it yisy2 j,false. is 2false. j,itthen x,yy that 4xishows →00as → 0,0,00 .. 95. Ifexample IfFF x, then as x,x,yy → F F G . G. In Exercises 75 and find rot F G F In Exercises 75 76, and 76, find rot G 2j, G G In Exercises 75 and 76, find rot j, F x, 4xi yy2y22222j, F x,x, yiF → x, yas → 0, 95. If then as FFF G In 2 j, FyyF yy4xi 4xi ythen Fis x, yx, → 0 x, x,→ y-axis, 0, 0Æ 95. Ifx, then as Fx,x,x, y4xi 4xi yentonces F x, y00yon → 00positive y→y→ 0, 0. . 95. If then 96. 4xi and x, yyx, on the positive yx, then 2j j, G G ... InExercises Exercises75 75and and76, 76,find findrot rot FFF G If FFF(x, x, yyy) j 96. If 4xi y and y is the F y F y → y 0, 00(x, ...then 95. s d i → Si 5 4xi 2 cuando y) 95. If as j 96. If x, y and x, is on the positive -axis, then 2 2 j 96. If and x, y is on the positive j, F x, y 4xi y F x, y → 0 x, y → 0,→ 0-axis, 95. then as F G F G . In Exercises 75 and 76, find rot y 4xi in 4xithe y2 j,2 then F on x, ythe→positive 0 as x,yyy-axis, y-axis, 0, 0 then . 95. Ifx, Fy x,points InIn Exercises 7575 and 76, find rot 96. the If Fvector y2 j and x, y y-direction. is then . Exercises and 76, find rotFGFFx,Gy,Gz Fx i FGFzk En los ejercicios y3xj 76,find calcular F ..i GGG.zk In Exercises 75 and 76, rot negative F x, y, z i 2yk 75. 76. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F G F G In Exercises 75 and 76, find rot the vector points in the negative y -direction. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z x 75. 76. j 96. If F x, y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then F G F . In Exercises 75 and 76, find rot (0, 0). 2 the vector points in the negative yy-direction. -direction. x, y, 3xj 2yk x, y, zk 75. 76. the vector in negative 2the jj and 96. If F x, yyF x,points 4xi yy yis on the positive yy-axis, then 75. 2 x, the vector points inyythe negative -direction. x,y, y,zzz iii 3xj 3xj 2yk 2yk 76. x,y, y,zzz xxx2iii zk zk 2 75. FFF x, 76. FFF x, 96. If F x, 4xi and x, is on the positive -axis, then j 96. If y 4xi y and x, y is on the positive y -axis, then the vector points in the negative y -direction. 2i2i x izk 22k F F x, y, z i 3xj 2yk x, y, z 75. 76. the vector points in the negative y -direction. 2 2 F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z zk 75. 76. the vector points in the negative y -direction. F x, y, z i 3xj 2yk F x, y, z x i zk 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. 75. 76. 2 G x, y, z x G x, y, z x i yj zk yj z 97. If is a scalar then is yael meaningful expression. G x, y, zzxxx2ii2ii xxzk G y, zizixxii 3xj i 3xj yj zk76. i yj sthe x, yscalar d points 5 4xi 2field, ythen jinnegative srot x, ynegative 96. Si ynegative está en eje y positivo, entonces vector in the 75. 97. If is field, ffis is aaf meaningful meaningful expression. G x, y, zz y, yj zk G x, y, zz y, yj If is aaaf scalar field, then rot fdrot expression. the vector points in the -direction. G x, y, G x, y, zx, zk yj zzz222kkk z k 97. F x, y, 2yk F x, y, 75. F 76. F vector points the -direction. F ixyj F iyj zk 75. 76. 97. the IffffF is scalar field, then rot isyya-direction. meaningful expression. Gx, x,y, y,zzx, x i 3xj yj 2yk zk 2yk Gx, x,y, y,zzx, x2 i 2zk 2k2 2 i yj 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G G x, y, z x i yj zk x, y, z x i yj z k 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G x, y, z x i yj zk i z G x, y, z x 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. G x, y, z x G x, y, z x i yj zk yj z k 98. F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but el vector apunta en la dirección y negativa. 2 2 If 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but 97. If f is a scalar field, then rot f is a meaningful expression. 2 2 G G x, y, ii 78, zk zzyjkk z 2k 98. 98. If is vector field and rot 0, is irrotational but 2i is field and rot FFF 0, FFF is irrotational but 97. field, then rot is a fmeaningful G x, x,Fy, y, zzx, y, xxz iiFF x..yj G y, zzx,77 x77 yji find zkfind yj Frot In Exercises rot 97. If a scalar field, is athen meaningful expression. G G y, and zxand xyj yj zkrot 98. If IffFFFis isaafascalar aisvector vector field andthen rot frot 0, then then isexpression. irrotational but In x,Exercises and 78, rot rot In Exercises 77 78, find rot not conservative. FF .. F . In 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but rot FFF InExercises Exercises77 77and and78, 78,find findrot rot rot not conservative. 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but 98. If F is a vector field and rot F 0, then F is irrotational but f f 97. Si es un campo escalar, entonces el rotacional tiene sentido. not conservative. not conservative. 98. F is aaFvector field and but not conservative. rot F rotF F F .. F F. . In Exercises Exercises 77 and and 78, find rot En los ejercicios 7777 y78, 78,find hallar InIn Exercises and 78, find rot 98. If If98. Fconservative. is vector field field and rot rot Frot 0, 0, then then F is is irrotational irrotational but but Exercises and 78, find rotrot Ifnot is a vector and F F 0, F then F is irrotational rot F F In 77 rot not F x, y, z xyzi yj zk 77. not conservative. conservative. rot F F . In Exercises 77 and 78, find rot F x, y, z xyzi yj zk 77. rot F F . In Exercises 77 and 78, find rot x, y, xyzi yj zk 77. Fnot 98. not Si conservative. esconservative. un campo vectorial y rot F = 0, entonces F es irrota77. not conservative. x,y, y,zzz xyzi xyzi yj yj zk zk 77. FFF x, 77. 77. Fs77. x,Fy,Fx,zdx, 1xyzi yj 1yjzk y,5y, z xyzi z xyzi yj zkzk cional pero no conservativo. F x, y, z xyzi yj zk 77. x, y, yj yj zk zk 77. F77. F zx, y, zxyzi xyzi

||

||

12

Larson-15-02.qxd

3/12/09

19:50

Page 1069

SECCIÓN 15.2

Integrales de línea

1069

15.2 Integrales de línea n n n n

Comprender y utilizar el concepto de curva suave a trozos. Expresar y evaluar una integral de línea. Expresar y evaluar una integral de línea de un campo vectorial. Expresar y calcular una integral de línea en forma diferencial.

Curvas suaves a trozos (o por partes) Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a ciertas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes). Recuérdese que una curva plana C dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, a ≤ t ≤ b The Granger Collection

es suave si dx dt

y

dy dt

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Similarmente, una curva C en el espacio dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, a ≤ t ≤ b

JOSIAH WILLARD GIBBS (1839-1903) Muchos físicos y matemáticos han contribuido a la teoría y a las aplicaciones descritas en este capítulo, Newton, Gauss, Laplace, Hamilton y Maxwell, entre otros. Sin embargo, el uso del análisis vectorial para describir estos resultados se atribuye principalmente al físico matemático estadounidense Josiah Willard Gibbs.

es suave si dx , dt

dy , y dt

son continuas en [a, b] y no simultáneamente 0 en (a, b). Una curva C es suave a trozos (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave. EJEMPLO 1

z

C = C1 + C2 + C3

(0, 0, 0) x

C1 (1, 2, 0)

Figura 15.7

Hallar una parametrización suave a trozos

Hallar una parametrización suave a trozos de la gráfica C que se muestra en la figura 15.7.

1

1

dz dt

(1, 2, 1) C3 C2

Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1, C2 y C3, se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el último valor de t en Ci coincida con el primer valor de t en Ci11, como se muestra a continuación.

(0, 2, 0) y

C1: xstd 5 0, C2: xstd 5 t 2 1, C3: xstd 5 1,

ystd 5 2t, ystd 5 2, ystd 5 2,

zstd 5 0, zstd 5 0, zstd 5 t 2 2,

0 ≤ t ≤ 1 1 ≤ t ≤ 2 2 ≤ t ≤ 3

Por tanto, C está dada por

5

2tj, rstd 5 st 2 1di 1 2j, i 1 2j 1 st 2 2dk,

0 ≤ t ≤ 1 1 ≤ t ≤ 2. 2 ≤ t ≤ 3

Como C1, C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos. Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva. Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde (0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización que induzca la orientación opuesta.

Larson-15-02.qxd

1070

3/12/09

19:50

CAPÍTULO 15

Page 1070

Análisis vectorial

Integrales de línea Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple

E

b

f sxd dx

Se integra sobre el intervalo [a, b].

a

se integró sobre el intervalo [a, b]. De manera similar, en las integrales dobles

EE

f sx, yd dA

Se integra sobre la región R.

R

se integró sobre la región R del plano. En esta sección se estudia un nuevo tipo de integral llamada integral de línea

E

f sx, yd ds

Se integra sobre una curva C.

C

en la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un poco desafortunada; este tipo de integral quedaría mejor descrita como “integral de curva”.) Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad (masa por unidad de longitud) del cable en el punto (x, y, z) está dada por ƒ(x, y, z). Divídase la curva C mediante los puntos z

P0, P1, . . . , Pn

(xi , yi , zi) P0

P1 P2

Pi − 1 C ∆si

x

Pi P n−1 Pn

produciendo n subarcos, como se muestra en la figura 15.8. La longitud del i-ésimo subarco está dada por Dsi. A continuación, se elige un punto sxi, yi, zi d en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma

y

Masa de cable
0 , 1 t 3 25. r t t2 i 2tj tk, x, y, z kz k > 0 , 1 t 3 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z 26. r t 2 cos ti 2 sen tj 3tk, x, y, z k z k > 0, 0 t 2 k > 0, 0 t 2

1053714_1502.qxp 10/27/08 10/27/08 1:44 1:44 PM PM Page Page 1080 1080 1053714_1502.qxp Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1080 1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080 1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1080 1053714_1502.qxp

10/27/08

1:44 PM

Page 1080

1080 1080 1080

CAPÍTULO Análisis vectorial Chapter15 15 15Vector Vector Analysis Chapter Analysis Chapter 15 Vector Analysis 10801080 Chapter 15 Vector Analysis

En los ejercicios 27 aevaluate 32, evaluar InExercises Exercises 27–32, evaluate In 27–32, 1080 Chapter 15 Vector Analysis In Exercises 27–32, evaluate In Exercises 27–32, evaluate F dr FF? dr dr

E

C CC

C F dr27–32, evaluate In FExercises dr CC donde CCestá representaby por where represented by where isisrepresented rrtrt.xt.c. C where by r t . C isxi represented 27.FFF x, y represented dryis where 27. x,C xi yjyj by r t . C C: tj, 0yj 0 t t 11 27. rFt x, ytiti xi tj, 27. C: F x,r yt xi yj where by r 0t . t 1 C C: 28. FFx,x, yis represented xyi rxyi t tiyjyj tj, 28. y C: r t ti tj, 0 t 1 C: cosxyi 4 sen tj, 0 t 28.x,ryFt x, y4xi4cos 27. F yjti yj 22 28. C: F x,ryt xyi tiyj 4 sen tj, 0 t 29. FC: Fx,x,ryC: yt r3x 3x 4yj ttii i 4tj, cos0ti t 4 sen 2 1 tj, 0 t 29. 4yj C: r t 4 cos ti 4 sen tj, 0 t 2 C: cos ti 29.x,ryFt x, ycos 3xyji sen 4yjtj, 0 t 28. F xyi 22 29. C: F x,ryt 3x i ti 4yjsen tj, 0 t 30. FC: Fx,x,ryC: yt r3x 3x i cos t4 icos sentj,tj, 00 t t ti4yjti 4 sen 22 30. 4yj C: r t cos ti sen tj, 0 t 2 2 2 C: ti i 3x4yj 30.x,ryFt x, yti 29. F 3x 4i4 4yj t2t j,j, 22 t t 22 30. C: F x,ryt 3x i 4yj 31. FC: Fx,x,ry,C: y,t zz r tcos xyititi xzxz j 42tj,yzk yzk t20j, t 2 t2 2 sen 31. xyi j C: r t ti 4 t j, 2 t 2 C: t x, y,ti tizi t 22t 2j4yj t 1 j 2t2tk, k, j 00 yzk 31.x,rryF 30. C: xyi xz F 3x t 31. F x, y, z xyi xz j yzk t 1 32. FC: Fx,x,ry,C: y,t zz r ttixx222i i ti2 y4y222jtj2jt2zj,z222k2t k k, 2 0 t t 2 1 32. C: r t ti t j 2t k, 0 t 1 2 tj 2 11 2 C: t zx, y,22zsen sen tix2xz 32.x,rry, F i j2 ycos jyzk z k 2t 2k, 0 t 31. C: F xyi t 32. F x, y, z x2i ti y2j 2 cos z2ktj 22t k, 0 t 1 2 C: r C: t r tti 2t sen 0 1tjt2 21t 2k, 0 t j ti 2t k, 2 cos C: r t 233sen ti 34, 2 cos t CAS In In los Exercises and usetjaun a computer computer algebra system 2 t k, 0 CAS Exercises 33 use algebra system toto En ejercicios 332and y 34,34, utilizar sistema algebraico por compu2 2 32. F x, y, z x i y j z k evaluate the integral evaluate the integral CAS Iny Exercises 33 and 34, use a computer algebra system to tadora calcular la integral CAS In Exercises 33 and 34, use a computer system to C: r t the 2 sen ti 2 cos tj 12 t 2k, 0 algebra t evaluate integral evaluate the integral dr FF? dr dr F CAS In CC Exercises 33 and 34, use a computer algebra system to C F dr evaluate F Cdr the integral where isrepresented represented by where C rrtrt.xt.c. C CCis está representaby por donde where by rkt . 2 2 33.FF x, y,zzrepresented zdC5is xxrepresented x22zi 6yj dry, where by 1 r tyz . 22k 33. FFsx, x,C y,is zizi1 6yj 6yj yzyz k 33. C 2j2 2 C: r t ti t ln tk, 33. F x, y, z x zi 6yj yz2ttkt≤ 333 2 C: ti x1 ln tk, tk,yz21k 11 ≤ 2 tt jj 1 ln 33. C: F x,rrsy,ttd z5 ti zi 6yj where C C: is represented by r t . 2 zkln tk, 1 t 3 r t xixi1 ti yjyjt1j zk zk C: t zz ti xi t2j yj ln tk, 1 t 3 34. F Fsx, 34. F x,x,ry, y,y, 34. zd 5 2 x222 y222 z222 2 x y z yz zk xi yj 33. F x, y, z x zi 6yj k ! x 1 y 1 z xi yj zk 34. F x, y, z t 2 2 t 34. C: FC: x,rrry,tttz titi 2 k, C: ti tj e 0 t y002 ≤1ztt2t≤ t 222 3 k, tk, tj2t j1 xyee2ln C: rstd 5 ti 1xtj k, z C: r t xi ti yjtjt zket k, 0 t 2 k, C: r t ti tj e 0 the t work 2 done Work In Exercises 35– 40, find the work doneby bythe theforce forcefield field Work 35– 40, find 34. F x,Iny,Exercises z 2 35 2a 40, hallar el trabajo realizado Trabajo En losmoving ejercicios x2 along yalong zthe onWork particle the given path. FFon aaparticle moving given path. In ExercisesF35– 40, una find partícula the work done the force por elC:campo de sobre que sebymueve a lofield Work In 40, find by the force field r taExercises ti fuerzas tj35– et k, 0 thethe t work 2 done F on particle moving along given path. 35. F x, y x i 2yj largo F onFade along the given path. 35. x,particle yla trayectoria x imoving 2yj dada. Work 35– 40, the from C: xF Exercises 35.xIn x,t,t,yyy t33xt3ifrom 2yj C: 0,0,find 00 toto 2,2,work 88 done by the force field 35. F x, y x i 2yj F on a particle moving along the given path. 3 y C: x t, y t from 0, 0 to y2, 8 y C: x t, y 3 t3 from 0, 0 to 2, 8 y C: x = t, y = t desde hasta s 0, 0 d s 2, 8 d y y y 35. F x, x i 2yj (2, 8) y y

37. FFx,x,yy xixi yjyj 37. C: counterclockwise aroundson the(0, triangle with vertices F x, y cuyos xi yjaround 37. triángulo 0,0,00, , the triangle 0), (1,with 0) y vertices (0, 1), recorrido FC:x,counterclockwise y xi yj vértices 37. C: 1, 0 0, 1 , and (Hint: See Exercise 17a.) 1, 0 0, 1 , and (Hint: See Exercise 17a.) en contrario a las manecillas del reloj. C:sentido counterclockwise around the triangle with(Sugerencia: vertices 0, 0 , C: counterclockwise around the triangle with vertices 0, 0 , ejercicio 17a.) 1,xi0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) yy y yj 37. Fyyx,Ver 1, 0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) y y C: y counterclockwise around the triangle 33 y with vertices 0, 0 , (0,1, (0, 1)1)0 , and 0, 1 (Hint: See Exercise 17a.) 1 1

1

686 464 8 242 6 2 4

C:y 8

y 8

(2, 8)

x

y

3

t, y

(2, 8) (2, 8) (2, 8)

y

C 6 C (2, 8) 4 4 C 2 2 22

C

C C 44

1

2π

C:2πr t CC z 2 cos ti

−3

−3 33 π −3

66

88

cos3 t, y

sen3 t from 1, 0 to 0, 1

33

z

2 sen tj

tk, 0

yy

CC

55 −3

−3

−3

x

5

5 5

1

CC xx

C

x

C

xx

x

C C C

x

x 1 x

t

y

41.

C

C x

π

C

11

xx

x

x

x 2

2 33 z z 22 31 31 z 2 2C 13 1 2 1

z 3 2 1 33 yy 3 3 y y 3 y

3

3 y −3 3 for 5 for Figure for 393 −3 y3 y Figure for40 40 Figure 39 Figure 3 zfor 39 Figure Figure for 40 yxzj x x,x, yzi3 xzj xyk Figure 40. FF y,y,z39 yzi xyk 40. Figure for for 40 3 3 y C: 0 totoxzj 5,3,3,2xyk 2 line from F x, y, z 0,0,0,0, yzi 40.line C: 0 5, from yzi xzj xyk 40. F x, y, z Figura para 39 0, 0, 0 to 5, Figura para Figure for Figure 4040 C:39 3, 2 for line from C: line from 0, determine 0,determine 0 to 5, whether 3,whether 2 InExercises Exercises 41–44, 44, thework workdone donealong alongthe the In 41– the z d 5 yzinegative, xzj 1or xyk 40. sx,isExercises 1 pathFIn isy,positive, positive, negative, or zero. Explain. CC path zero. Explain. 41– 44, determine whether the work done along the In Exercises 41– 44, determine whether the work done along the C: 2 zero. line recta s0,0,0,0, 0d0 a to s5, 5, 3, 3, 2dor C from path isdepositive, Explain. yy negative, 41. path C is positive, negative, or zero. Explain. 41. In 41– 44, whether work done along the 41.ejercicios EnExercises los 41 determine ay 44, ydeterminar si the el trabajo efectuado a lo 41. C path is positive, negative, or zero. Explain. largo de la trayectoria C es positivo, negativo o cero. Explicar.

CC

x 2 4 6 8 x Figure for 435 Figurefor for36 36 1 Figure Figure 2 2for 35 6 8 2 4 6 8 Figure Figure for 361 36. FF i xyj xyj x x,x, yy 35for xx222i35 36. Figure for Figure for 36 2 4 333635 28 Figura para Figura para 36 3 3 3 t tfrom C: sen from 1,1,00 toto y 2 t,t,yxy i sen 36. xF x,cos xyj 0,0,11 F x,xy cos x i xyj 36. C: Figure for C:35xx23i 2 cos3 t, y sen3 t Figure 0 36 from 1,for to 0, 1 36. F C:sx,xyd 5cos t, y xyjsen3 t from 1, 0 to 0, 1 2 F x,x y5 cosx3 t, 36. C: i y5 xyjsen sin3 t desde s1, 0d hasta s0, 1d

C: x

−3 −3

2π 2π z C C π π 2π C π −3 2ππ C −3

1

C C

x

x

xx

Figurefor for37 37 Figure Figure for 38 x x −2 −1 1 2 Figure for 37 Figure for 38 1 F x, y yi xj 38. Figurafor para FFigura x,for y 37para yi37 xj 38. Figure Figure − 1 38 38 C: counterclockwise along thesemicircle semicircleyy from F x, y yi along xj the 38.counterclockwise C: 44 xx222from FFsx,x,yyd 5 2yi yi 2 xj 38. 38. xj 0counterclockwise Figure for Figure for 38 y 2,2, toto 2,2,00 C:037 4 x2 from along the semicircle C: 4 s2,x02 dfrom counterclockwise along theysemicircle contorno del semicírculo hasta C: 5 !4 2 xy2 desde F x, y, z x i yj 5zk 39. 2, 0 2, 0 to F x, y, z x i yj 5zk 39. y 0 to yi 2, 0xj en sentido contrario a las manecillas del 38. F x,s2,22, 0d recorrido C: rreloj t x, y,22zcos cos tix i 2sen tk, 00 t ty 22 4 x2 from F yjsentjtjthe 5zktk, 39.rcounterclockwise C: t C: semicircle x i ti yj 2along 5zk 39. F x, y, z z 0 r to C: t 2 cos ti 2 sen tj 2, 2, 0 z 39. C: Fsx,r y, xi 1 5zktj tk, 0tk, t0 2t 2 t zd 5 2 cos ti yj 2 2 sen i tiyj1 2 sen 5zk 39. F C:x,rzy, stdz5z 2 xcos sin tj 1 tk, 0 ≤ t ≤ 2pz

1

1 1

1

C

C 1

1 −2 −1 −1 −2 11 22 C − 1 − 1 −2 −1 1 −2 −1 1 1 2 −1 − 1 Figure for 38

xx

C 1

t from 0, 0 to 2, 18

6

C

C 11

E

88

(0, 1)

CC

y

11 3

CC

1

3

3

y(0, 1) (0, 1) 1

yy

42. 42. 42.

42.

y y

42.

x y xx x

CC C C

C

x

x

1053714_1502.qxp 10/27/08 1:44 PM Page 1081 Larson-15-02.qxd 3/12/09 19:50 Page 1081

SECCIÓN 15.215.2 Integrales de línea Line Integrals

EnExercises los ejercicios 55 evaluate a 62, evaluar la integral In 55–62, the integral

y

43.

E

C C

C

x

y

44.

1081 1081

2x ⴚ 2 yyc dx dx 1 1 xxx 1 1 3y 3yc dy dy x2x

a lo largo de la trayectoria C. along the path C. 55. C: eje x desde x 5 0 hasta x 5 5 55. C: x-axis from x  0 to x  5 56. C: eje y desde y 5 0 hasta y 5 2 56. C: y-axis from y  0 to y  2 57. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (3, 0) y de (3, 0) a (3, 3) 57. C: line segments from 0, 0 to 3, 0 and 3, 0 to 3, 3 58. C: los segmentos de recta de (0, 0) a (0, 23) y de (0, 23) a 58. C: line segments from 0, 0 to 0, 3 and 0, 3 to 2, 3 (2, 23) y  1y 5  1x 22from 0, 1 sto 0 s1, 0d 59. 59. C: arcoonsobre C: arc x 2 desde 0, 11, d hasta

y  xy32 0, 0 sto 8 s4, 8d arc arcoonsobre 5 from x3y2 desde 0, 04, d hasta 2 x  t, y x 5 2t t,, from 0,20,  desde parabolic to 2, 8s0, 0d hasta trayectoriapath parabólica y 5 2t 62. C: elliptic s2, 8d path x  4 sin t, y  3 cos t, from 0, 3 to 4, 0

60. 60. 61. 61.

C

x

En los ejercicios 45 y46, 46, evaluate para cada hallar eC F ? dr. C Fcurva In Exercises 45 and each curve.

dr for Analizar la orientación dethe la curva y su its efecto sobre el value valor of de Discuss the orientation of curve and effect on the la theintegral. integral.

C: C: C: C:

62. C: trayectoria elíptica x 5 4 sen sin t, y 5 3 cos t, desde s0, 3d hasta Lateral Surface Area In Exercises 63–70, find the area of the s4, 0d lateral surface (see figure) over the curve C in the xy-plane and under the surface z ⴝ f x, y, where Área de una superficie lateral En los ejercicios 63 a 70, hallar el área de la superficie lateral (ver la figura) sobre la curva C en el ⴝ f x, y ds. Lateral plano xysurface y bajo area la superficie z5 f xx, yc, donde



C

z lateral 5 Área de la superficie

2 45. x, yyd 5  xx 2ii 1  xyj xyj 45. FFsx, a) r s t d 5 2ti (a) r1 1t  2ti1stt211dj,j, 11≤t t≤33 b) (b)r2rstdt522s332tdtii1s222tdtj,j, 00≤t t≤2 2

E

f xx, yc ds.

C Surface: z = f(x, y)

z

Superficie: z = f(x, y)

2

2 3y2 46. x, yyd 5  xx 2yi yi 1  xy xy32jj 46. FFsx, 2 a) 2j, 00≤ t t≤ 2 2 (a) rr1s1tdt5stt111d i i1t tj,   2 b) r s t d 5 s 1 1 2 cos t d i y22 cos2tdtj,j, 00≤t t≤p (b) 2r2t  1  2 cos ti1s44cos

Lateral surface

P

In Exercises 47– 47 50,ademonstrate thelaproperty that En los ejercicios 50, demostrar propiedad

E

C C

dr 5 ⴝ 00 FF ? dr

x

regardless of the initial and terminal of C, if they tangent independientemente de cuáles sean lospoints puntos inicial final de ⴕ t is tangente vector orthogonal theortogonal force fieldalF.campo de fuerzas F. si el rvector C, r9xto tc es x, yyd 5  yi yi 2  xj xj 47. FFsx, 47. C: r  t   t i  2tj C: rstd 5 t i 2 2tj

x, yyd 5  23yi 3yi 1  xj xj 48. FFsx, 48. 33j C: r  t   t i  t C: rstd 5 t i 2 t j

1

2

53. 53.

x  3y2 dy sx 1 3y2d dy

52. 52.

xy dx  y dy C xy dx 1 y dy

54. 54.

C

y

C: Curve∆sin xy-plane i

63. f x, y  h, C: line from 0, 0 to 3, 4 C: curva en el plano xy

64. f x, y  y, C: line from 0, 0 to 4, 4) sx,yyd5xy, h, C: 0d hasta 63. f fx, C: recta x2 desde y2  s10,from 1, 0s3,to4d0, 1 65. 2 2 64. recta desde hasta f s x, y d 5 y, C: s 0, 0 d s4,04)to 0, 1 66. f x, y  x  y, C: x  y  1 from 1,

2  2  4 s1, 0d hasta s0, 1d sx,yyd5xy2 1 x2ydesde C: 1x2 f fx,  1, y2 C:4, y 5 2 f sx, yd 5 xy, C: y 5 1 2 x desde s1, 0d hasta s0, 1d Engine Design A tractor engine has a steel component with f sx, yd 5 x2 2 y2 1 4, C: x2 1 y2 5 4 a circular base modeled by the vector-valued function t  2 de cosmotores t i  2 sin Un tj. Its . height is given by una z  pieza 1  y2de 71. rDiseño motor de tractor tiene (All measurements of the component are in centimeters.) acero con una base circular representada por la función vecto-

In Exercises 51–54, evaluate the line integral along the path C En los by ejercicios x ⴝ 2t, 51 y ⴝa 54, 10t,evaluar t  1. de línea a lo largo de given where 0laintegral la trayectoria C dada por x 5 2t, y 5 10t, donde 0 ≤ t ≤ 1. C C

Q

y

68. 70. 69. 71. 70.

x, yyd 5  xi xi 1  yj yj 50. FFsx, 50.  t   3 sin  33 cos cos tjtj C: r C: rstd 5 3 sen sin titi 1

E E

Q

∆s (xi, yi) i

Superficie lateral

2 1 desde 65. f fx, hasta sx,yyd5h,xy, C:C:y  x2 1 y2x5 1  to0d0, 1 s0, 1d 67. from 1, 0s1, 2 2 52 1 desde s1, 0d hasta s0, 1d 66. f s x, y d 5 x 1 y, C: x 1 y 68. f x, y  y  1, C: y  1  x from 1, 0 to 0, 1 2 67. f fx, hasta sx,yyd5xy, h, C: 1,00d to C: yy 5  11 2  xx2 desde 0, 1s0, 1d 69. from s1,

y x, yyd 5  sxx33 2  2x 2x22dii 1  xx 2  y jj 49. FFsx, 49. 22 C: rrsttd 5  ttii 1  tt22jj C:

51. 51.

P

(xi, yi)

E E C C

x  3y2 dx sx 1 3y2d dx

3y  x dx  y22 dy C s3y 2 xd dx 1 y dy

C

(a) lateral of theestá component. rial Find r(t) =the 2 cos ti + surface 2 sen tj.area Su altura dada por z 5 1 1 y2. (Todas medidas en (b) Thelas component is centímetros.) in the form of a shell of thickness 0.2 centimeter. thesuperficie result of lateral part (a) approximate the a) Hallar el áreaUse de la de to la pieza. amount steelforma used de in its manufacture. b) La piezaof tiene capa de 0.2 centímetros de espesor. resultado inciso a) para aproximar la cantidad (c) Utilizar Draw a el sketch of thedel component. de acero empleada para su fabricación. c) Hacer un dibujo de la pieza.

Larson-15-02.qxd 1053714_1502.qxp 1053714_1502.qxp

1082

3/12/09 10/27/08 10/27/08

19:50

Page 1082

1:44 PM 1:44 PM

CAPÍTULO 15

Page 1082 Page 1080

Análisis vectorial

1082 Chapter 15 Vector Analysis 1080 Chapter 15 Vector Analysis 72. Diseño de edificios La altura del techo de un edificio está dada por z 5 20 1 14x, y una de las paredes sigue una trayectoria 72. representada Building Design The ceiling of a building height above por y 5 el área dehas la asuperficie de la x 3y2 . Calcular 1 In Exercises 27–32,by evaluate the floor and one of the walls follows x, z 20 las pared si 0given (Todas medidas se dan en pies.) ≤ x ≤ 40. 4 a path modeled by y  x 32. Find the surface area of the wall if F0  drx  Momentos de 40. inercia Considerar un de densidad rxx, yc (All measurements are cable in feet.) C dado por la curva en el espacio Moments Inertia Consider where by r t . a wire of density ␳ x, y given by C isofrepresented C: xtc 5 curve xxtci 1 yxtcj, a ≤ t ≤ b. the rspace 27. F x, y xide inercia yj Los momentos con respecto a los ejes x y y están dados C: rC: t ⴝ x  t  i 1 y  tj, 00 t t 1b. rt ti tj, por

E  E 

The Fmoments of inertia 28. x, y xyi yj about the x- and y-axes are given by Ix 5C: ry2t rxx,4yccos ds ti 4 sen tj, 0 t 2 C Ix ⴝF x,yy2␳ x,3x yids 4yj 29. C

Iy 5C: rx2t rxx,cos yc ds. ti sen tj, 0 t 2 C 2 yi ds. 4yj Iy ⴝF x,xy ␳ x,3x 30. En losCejercicios 73 y 74, hallar los momentos de inercia del cable 2 r tdensidad ti 2 t 2 dadoC:con r.4 t j, In Exercises 73 and 74, find the moments of inertia for the wire 31. F x, y, z xyi xz j yzk of density ␳.se encuentra a lo largo de rstd 5 a cos ti 1 a sen 73. El cable sin tj, 2 C: r t ti t 0 t 1 j 2t k, 0 ≤ t ≤ 2p y a > 0, su densidad es rsx, yd 5 1. 73. A wire lies along rt  a cos ti  a sin tj, 0  t  2 and 32. El F x,cable y, z se encuentra x2i y2j a loz2largo k 74. rstd 5 a cos ti 1 a sen sin tj, density x, y  1.de a > 0, with 2k, C:≤rtt ≤ 2p 2 sen ti> 0, 2sucos tj 12 t es 0 yd 5 t y. y densidad 0 a r s x, 74. A wire lies along rt  a cos ti  a sin tj, 0  t  2 and CAS CAS

a > 0, with x,use yexterior a y.computer In Exercises 33density and 34, algebra to 75. Investigación El borde de un sólido consystem lados verevaluate ticalesthey integral que descansa en el plano xy, se representa por r(t) 75. Investigation The top outer edge of a 2solid with vertical sides 5 3 cos ti 1 3 sen tj 1 (1 1 sen 2t)k, donde todas las and resting on the xy- plane is modeled by medidas se dan en centímetros. La intersección del plano Frtdr 3 cos t i  3 sin tj  1  sin2 2tk, where all measureC y 5 b s23 < b < 3d con la parte superior del sólido es una ments are in centimeters. The intersection of the plane recta horizontal. where represented r t .the top of the solid is a horizontal y C bis3 < b < 3bywith a) Utilizar un2sistema algebraico por computadora y representar line. 33. F x,gráficamente y, z x zi el sólido. 6yj yz2k (a) Use a computer algebra system to graph the solid. C: Utilizar rt tiun sistema t2j lnalgebraico tk, 1 por t computadora 3 b) y aproximar (b) elUse computer algebra system to approximate the lateral áreaa de la superficie xi yj zklateral del sólido. 34. F x,surface y, z area2of the2 solid. c) Hallar (si esxposible) y elz2volumen del sólido. (c) Find (if possible) tthe volume of the solid. C: r t ti partícula tj e k, se0mueve t a2 lo largo de la trayectoria 76. Trabajo Una 76. yWork A particle moves theelpath from the point y (1,x21). el punto (0, along 0) hasta punto El campo de 5 x2 desde the point The force field measured fivey 0, 0In  to  1, 1  . F isde Workfuerzas Exercises 35– 40, find the work done by forceatfield F se mide en cinco puntos a lo largo lathe trayectoria points alongmoving the and the shown in thedetable. Use F onlos a particle along theresults path. resultados sepath, muestran en lagiven tabla.are Usar la regla Simpson Simpson’s Rule or a graphing utility to approximate the work una herramienta de graficación para aproximar el trabajo efec35. oF x, yby x i 2yjfield. done tuado porthe el force campo de fuerza. 3 C: x t, y t from 0, 0 to 2, 8 y 8 6

x, y

0, 0

14, 161 

12, 14y

34, 169 

1, 1

F(2, x, y8)

5, 0

3.5, 1

2, 2

1.5, 3

1, 5

1

77. Trabajo Work Find the workeldone by ahecho person weighing 175 pounds 77. Determinar trabajo por C una persona que pesa 4 walking exactly revolution up a circular helical staircase of C libras 175 y que one camina exactamente una revolución hacia arriradius 3 feet if the person rises 10 feet. ba en una escalera de forma helicoidal circular de 3 pies de radio 2 x 78. si Investigation Determine la persona sube 10 pies. the value of c such 1that the work x done by4 the 6force field 78. Investigación Determinar el valor c tal que el trabajo realiza2 8 2yi  xyj do dexfuerzas Fx,por y el  campo 15 4  Figure for 35 Figure for 36 2 Fon sx,an yd object 5 15 fs 4 2 x y d i 2 xyj g x2 i moving 36. F x, y xyj along the parabolic path y  c1  x2 between the3 t, points a la minimum. Compare se 1,  and 1,largo sobre objeto mueve a lo parabó3 t 0from C: x uncos yque sen 1, 00toisde0, 1 trayectoria the result work los required move object the lica puntostos21, y s1, mínimo. y 5 cswith 1 2 the x2d entre 0dthe 0d seaalong straight-line connecting points.requerido para mover el Comparar el path resultado con elthe trabajo objeto a lo largo de la trayectoria recta que une esos dos puntos.

Desarrollo de conceptos Definir la W79. R A Bintegral Oyj U T de C Olínea N C Ede P Tuna S función f a lo largo de una F Ix,T IyN G xi 37. curva suave C en el plano y en el espacio. ¿Cómo se evalúa 79.C:Define a line integralaround of a function a smooth f along 0, 0 , the triangle with verticescurve lacounterclockwise integral de línea como integral definida? plane0,and in space. do you evaluate the line C in 1, 0the, and 1 (Hint: SeeHow Exercise 17a.) 80. integral Definir as una integral de línea de un campo vectorial contia definite integral? y nuo F sobre una curva suave C. ¿Cómo yse evalúa la integral 80. Define a line integral of a continuous vector field F on a de línea como integral definida? smooth curve C. How do you evaluate 3the line integral as a (0, 1) integral? 81. definite Ordenar las superficies en forma ascendente del área de la 1 superficie lateral bajo la superficie y sobre la curva y 5 !x C surface 81. Order the surfaces in ascending order of the lateral desde s0, 0d hasta s4, 2d en el plano xy. Explicar el orden area under the surface and over the 1curve y  x from elegido Csin hacer cálculo alguno. 0, 0 to 4, 2 in the xy-plane. Explain your ordering x 2 1 xany calculations. 51x 1 a) z1 5doing b)−2z2 5 x without −1 2 1 5 22  x c) zz3  d)(b)z4z510 −5 11 (a)  xx 1 2y 1

2

(c) z  2 Figure for 337

(d) z4  10  x  2y Figure for 38

Para discusión

yi xj 38. F x, y incisos tray 4 six2elfrom thesiguientes, semicircledeterminar C82. AC: P En Scounterclockwise T cada O N E uno de losalong bajo realizado para mover un objeto del primero hasta el 2, 0 2, 0 to 82. For each of the following, determine whether the work done segundo punto a través del campo de fuerzas mostrado en la x, y, z x ian object yj 5zk 39. F in moving from the first to the second point figura es positivo, negativo o cero. Explicar la respuesta. through the force field C: r t 2 cos ti 2 sen shown tj tk,in 0the figure t 2 is positive, a) Desdeor(23, hastayour (3, 3)answer. y negative, zero.23) Explain z b) From Desde3, (23,3 0) hasta (a) to 3,(0, 33) y z

3,0)0hasta (b) From (5, to 0,(0,33) π Desde 2c) C

(c) From 5, 0 to 0, 3

3 x

2

π −3

−3

5

C

1

3 3

3

y

y

Figure for 39

Figure for 40

yzi xzj xyk 40. F x, y, z ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar si la TrueC:orline False? In0,Exercises whether the 0, 0 too 5, 3,83–86, 2 Si es determine from declaración es verdadera falsa. falsa, explicar por qué o statement is true or false. If it is false, explain why or give an dar un ejemplo que demuestre que es falsa. example that41– shows it is false. whether the work done along the In Exercises 44, determine 83. Si C positive, está dada negative, por xstd 5ort, zero. ystd 5Explain. t, 0 ≤ t ≤ 1, entonces C is path 83. If C is given by xt  t, yt  t, 0  t  1, then 1 y 41. xy ds 5 1 t 2 dt. 2 0 t dt. Cxy ds 

E C

E 0

 E

 E

84. Si C2 5 2C1, entonces f sx, yd ds 1 f sx, yd ds 5 0. 84. If C2  C1, then f x,Cy1  ds  f x,Cy2  ds  0. 2 C1 C vectoriales 2 t j, 0 ≤ t ≤ 1, y r 5 85. Las funciones r1 5 t i C1 2 2 2 85. The and r2  definen t j,x 0   1, curva. la tmisma s1 2 vector tdi 1 s1functions 2 td j, 0 r≤1  t ≤t i 1, 1  ti  1  t2j, 0  t  1, define the same curve. 86. Si F ? T ds 5 0, entonces F y T son ortogonales. 86. If CF T ds  0, then F and T are orthogonal. C y 87. Trabajo Considerar una partícula que se mueve a través del 42. campo de fuerzas punto sx, yd 5that s y moves 2 xdi 1through xyj delthe s0,field 0d al 87. Work Consider a Fparticle force de lafrom curvathe 0, 1yd aloxlargo x 5point kts1 2 t. Hallar pointel Fpunto x, y s i  xyj 0, t0d, yto5 the de k, tal el trabajo port. Find el campo de fuerzas x  kt1realizado theque curve the value of k valor 0, 1 along  t, yx  sea 1.that the work done by the force field is 1. such

E

C

Larson-15-03.qxd

3/12/09

19:52

Page 1083

SECCIÓN 15.3

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria

1083

15.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria n n n

Comprender y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea. Comprender el concepto de independencia de la trayectoria. Comprender el concepto de conservación de energía.

Teorema fundamental de las integrales de línea El estudio realizado en la sección anterior indica que en un campo gravitatorio el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria seguida por el objeto. En esta sección se estudia una generalización importante de este resultado, a la que se le conoce como teorema fundamental de las integrales de línea. Para empezar, se presenta un ejemplo en el que se evalúa la integral de línea de un campo vectorial conservativo por tres trayectorias diferentes.

y

(1, 1)

1

C1

Integral de línea de un campo vectorial conservativo

EJEMPLO 1 x

(0, 0)

1

Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas 1 1 Fsx, yd 5 xyi 1 x 2j 2 4

C1: y = x a)

sobre una partícula que se mueve de (0, 0) a (1, 1) a lo largo de cada una de las trayectorias, como se muestra en la figura 15.19.

y

a) C1: y 5 x

a) Sea rstd 5 ti 1 tj para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que

C2

1 1 Fsx, yd 5 t 2 i 1 t 2j. 2 4 Entonces, el trabajo realizado es dr 5 si 1 jd dt

x

(0, 0)

c) C3: y 5 x 3

Solución

(1, 1)

1

b) C2: x 5 y 2

1

C2: x = y2

W5

E

C1

b)

y

F ? dr 5

E

1

0

1

4

3 2 1 t dt 5 t 3 4 4

1 5 . 4

0

b) Sea rstd 5 ti 1 !t j para 0 ≤ t ≤ 1, por lo que y

1

dr 5 i 1 1

W5

c) Sea rstd 5 x 1

dr 5

y

1 1 Fsx, yd 5 t 3y2 i 1 t 2j. 2 4

F ? dr 5

1 2 ti

1

1 3 8t j

E

1

0

1

4

5 3y2 1 t dt 5 t 5y2 8 4

0

1 5 . 4

para 0 ≤ t ≤ 2, por lo que

112 i 1 83 t j2 dt 2

y

Fsx, yd 5

1 4 1 t i 1 t 2j. 32 16

Entonces, el trabajo realizado es

c)

Figura 15.19

E

C2

C3

C3: y = x 3

j dt

Entonces, el trabajo realizado es

(1, 1)

(0, 0)

2!t 2 1

W5

E

C3

F ? dr 5

E

2

0

2

4

5 4 1 5 t dt 5 t 128 128

0

1 5 . 4

Por tanto, el trabajo realizado por un campo vectorial conservativo es el mismo para todas las trayectorias.

Larson-15-03.qxd

1084

3/12/09

19:52

CAPÍTULO 15

Page 1084

Análisis vectorial

En el ejemplo 1, obsérvese que el campo vectorial Fsx, yd 5 12xyi 1 14x 2j es conservativo porque Fsx, yd 5 =f sx, yd, donde f sx, yd 5 14x 2y. En tales casos, el teorema siguiente establece que el valor de eC F ? dr está dado por

E

C

F ? dr 5 f sxs1d, ys1dd 2 f sxs0d, ys0dd 5

1 20 4

5

1. 4

TEOREMA 15.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA NOTA

El teorema fundamental de las integrales de línea es similar al teorema fundamental de cálculo (sección 4.4) que establece que

E

Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj, a ≤ t ≤ b. Si Fsx, yd 5 Mi 1 Nj es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces,

E

b

f sxd dx 5 Fsbd 2 Fsad

C

a

donde F9sxd 5 f sxd.

n

E

F ? dr 5

C

=f ? dr 5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, ysadd

donde f es una función potencial de F. Es decir, Fsx, yd 5 =f sx, yd.

DEMOSTRACIÓN Esta demostración es sólo para una curva suave. Para curvas suaves a trozos (o por partes), el procedimiento se lleva a cabo por separado para cada trozo suave. Como Fsx, yd 5 =f sx, yd 5 fxsx, ydi 1 fysx, ydj, se sigue que

E

C

F ? dr 5 5

E ? E3 b

F

a b

dr dt dt

fxsx, yd

a

4

dx dy 1 fysx, yd dt dt dt

y, por la regla de la cadena (teorema 13.6), se tiene

E

C

F ? dr 5

E

b

a

d f f sxstd, ystddg dt dt

5 f sxsbd, ysbdd 2 f sxsad, y sadd. El último paso es una aplicación del teorema fundamental del cálculo. En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma siguiente. Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk, a ≤ t ≤ b. Si Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk es conservativo y M, N y P son continuas, entonces

E

C

F ? dr 5

E

C

=f ? dr

5 f sxsbd, ysbd, zsbdd 2 f sxsad, ysad, zsadd donde Fsx, y, zd 5 =f sx, y, zd. El teorema fundamental de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial ƒ en estos puntos.

Larson-15-03.qxd

3/12/09

19:52

Page 1085

SECCIÓN 15.3

EJEMPLO 2

F(x, y) = 2xyi + (x 2 − y)j

Evaluar

y

(−1, 4)

E

C

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria

1085

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea

F ? dr, donde C es una curva suave a trozos desde s21, 4d hasta s1, 2d y

Fsx, yd 5 2xyi 1 sx 2 2 ydj

4

como se muestra en la figura 15.20. 3

Solución Por el ejemplo 6 de la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde (1, 2)

2

C

f sx, yd 5 x 2y 2

y2 1 K. 2

1

x

−2

−1

1

2

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea, eC F ? dr.

Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de línea, se sigue que

E

C

F ? dr 5 f s1, 2d 2 f s21, 4d

3

Figura 15.20

5 12s2d 2

4 3

22 42 2 s21d2s4d 2 2 2

4

5 4. Nótese que no es necesario incluir una constante K como parte de ƒ, ya que se cancela por sustracción. EJEMPLO 3 F(x, y, z) = 2xyi + (x 2 + z 2)j + 2yzk

Evaluar

z

E

C

(0, 2, 3) 2

C

1

(1, 1, 0)

como se muestra en la figura 15.21. Solución Por el ejemplo 8 en la sección 15.1, se sabe que F es el gradiente de ƒ, donde f sx, y, zd 5 x 2y 1 yz 2 1 K. Por consiguiente, F es conservativo, y por el teorema fundamental de las integrales de línea, se sigue que

2 x

F ? dr, donde C es una curva suave a trozos desde (1, 1, 0) hasta (0, 2, 3) y

Fsx, y, zd 5 2xyi 1 sx 2 1 z 2dj 1 2yzk

3

1

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea

2

y

E

C

F ? dr 5 f s0, 2, 3d 2 f s1, 1, 0d 5 fs0d2s2d 1 s2ds3d2g 2 fs1d2s1d 1 s1ds0d 2g 5 17.

Aplicación del teorema fundamental de las integrales de línea, eC F ? dr. Figura 15.21

En los ejemplos 2 y 3, es importante notar que el valor de la integral de línea es el mismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados. Así, en el ejemplo 3, trátese de evaluar la integral de línea de la curva dada por rstd 5 s1 2 td i 1 s1 1 td j 1 3tk. Se obtendrá

E

C

F ? dr 5

E

1

0

5 17.

s30t 2 1 16t 2 1d dt

Larson-15-03.qxd

3/12/09

1086

19:52

CAPÍTULO 15

Page 1086

Análisis vectorial

Independencia de la trayectoria A C R1

R2 B

R1 es conexa

R2 no es conexa

Figura 15.22

Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que si F es continuo y conservativo en una región abierta R, el valor de eC F ? dr es el mismo para toda curva suave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. Esto se describe diciendo que la integral de línea eC F ? dr es independiente de la trayectoria en la región R. Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la región pueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre completamente dentro de la región, como se muestra en la figura 15.22. En regiones abiertas y conexas, la independencia de la trayectoria de eC F ? dr es equivalente a la condición de que F sea conservativo. TEOREMA 15.6 INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Y CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS Si F es continuo en una región abierta y conexa, entonces la integral de línea

E

C

F ? dr

es independiente de la trayectoria si y sólo si F es conservativo.

DEMOSTRACIÓN

(x1, y)

(x, y)

C2 C4

C1 C3 (x0, y0 )

Figura 15.23

Si F es conservativo, entonces, por el teorema fundamental de las integrales de línea, la integral de línea es independiente de la trayectoria. Ahora se demuestra el recíproco para una región plana conexa R. Sea Fsx, yd 5 Mi 1 Nj, y sea sx0, y0d un punto fijo en R. Si sx, yd es cualquier punto en R, elíjase una curva suave a trozos C que vaya de sx0, y0d a sx, yd, y defínase ƒ como f sx, yd 5

(x, y1)

E

C

F ? dr 5

E

M dx 1 N dy.

C

La existencia de C en R está garantizada por el hecho de que R es conexa. Se puede mostrar que ƒ es una función potencial de F considerando dos trayectorias diferentes entre sx0, y0d y sx, yd. Para la primera trayectoria, elíjase sx1, yd en R tal que x Þ x1. Esto es posible ya que R es abierta. Después elíjanse C1 y C2, como se muestra en la figura 15.23. Utilizando la independencia de la trayectoria, se sigue que f sx, yd 5

E E

M dx 1 N dy

C

5

M dx 1 N dy 1

C1

E

M dx 1 N dy.

C2

Como la primera integral no depende de x, y como dy 5 0 en la segunda integral, se tiene f sx, yd 5 gs yd 1

E

M dx

C2

y entonces, la derivada parcial de ƒ con respecto a x es fxsx, yd 5 M. Para la segunda trayectoria, se elige un punto sx, y1 d. Utilizando un razonamiento similar al empleado para la primera trayectoria, se concluye que fysx, yd 5 N. Por tanto, =f sx, yd 5 fxsx, yd i 1 fysx, yd j 5 M i 1 Nj 5 Fsx, yd y se sigue que F es conservativo.

Larson-15-03.qxd

3/12/09

19:52

Page 1087

SECCIÓN 15.3

EJEMPLO 4

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria

1087

Trabajo en un campo de fuerzas conservativo

Para el campo de fuerzas dado por Fsx, y, zd 5 e x cos yi 2 e x sen sin yj 1 2k mostrar que eC F ? dr es independiente de la trayectoria, y calcular el trabajo realizado por F sobre un objeto que se mueve a lo largo de una curva C desde s0, py2, 1d hasta s1, p, 3d. Solución Al expresar el campo de fuerzas en la forma Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk, se y y P 5 2, y se sigue que tiene M 5 e x cos y, N 5 2e x sen sin y, ­P ­N 505 ­y ­z ­M ­P 505 ­x ­z ­N ­M 5 2e x sen sin y 5 . ­x ­y Por tanto, F es conservativo. Si ƒ es una función potencial de F, entonces fxsx, y, zd 5 e x cos y fysx, y, zd 5 2e x sen sin y fzsx, y, zd 5 2. Integrando con respecto a x, y y z por separado, se obtiene f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5 f sx, y, zd 5

E E E

fxsx, y, zd dx 5 fysx, y, zd dy 5 fzsx, y, zd dz 5

E E E

e x cos y dx 5 e x cos y 1 gs y, zd 2e x sen sin y dy 5 e x cos y 1 hsx, zd 2 dz 5 2z 1 ksx, yd.

Comparando estas tres versiones de f sx, y, zd, se concluye que f sx, y, zd 5 e x cos y 1 2z 1 K. Así, el trabajo realizado por F a lo largo de cualquier curva C desde s0, py2, 1d hasta s1, p, 3d es W5

E

C

F ? dr

3

s1, p, 3d

4

5 e x cos y 1 2z

s0, py2, 1d

5 s2e 1 6d 2 s0 1 2d 5 4 2 e. ¿Cuánto trabajo se realizaría si el objeto del ejemplo 4 se moviera del punto s0, py2, 1d al punto s1, p, 3d y después volviera al punto de partida s0, py2, 1d? El teorema fundamental de las integrales de línea establece que el trabajo realizado sería cero. Recuérdese que, por definición, el trabajo puede ser negativo. Así, en el momento en el que el objeto vuelve a su punto de partida, la cantidad de trabajo que se registra positivamente se cancela por la cantidad de trabajo que se registra negativamente.

Larson-15-03.qxd

1088

3/12/09

19:52

CAPÍTULO 15

Page 1088

Análisis vectorial

Una curva C dada por r(t) para a ≤ t ≤ b es cerrada si r sad 5 r sbd. Por el teorema fundamental de las integrales de línea, se puede concluir que si F es continuo y conservativo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0.

TEOREMA 15.7 CONDICIONES EQUIVALENTES NOTA El teorema 15.7 proporciona varias opciones para calcular una integral de línea de un campo vectorial conservativo. Se puede usar una función potencial, o puede ser más conveniente elegir una trayectoria particularmente simple, como un segmento de recta. n

Sea Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk con primeras derivadas parciales continuas en una región abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condiciones siguientes son equivalentes. 1. F es conservativo. Es decir, F 5 =f para alguna función f. 2.

E E

C

3.

C

F ? dr es independiente de la trayectoria. F ? dr 5 0 para toda curva cerrada C en R.

Evaluación de una integral de línea

EJEMPLO 5 Evaluar

E

C1

C1: r(t) = (1 − cos t)i + sen tj

F ? dr, donde

Fsx, yd 5 s y 3 1 1di 1 s3xy 2 1 1dj

y

y C1 es la trayectoria semicircular de (0, 0) a (2, 0), que se muestra en la figura 15.24. 1

Solución Se tienen las tres opciones siguientes.

C1 C2 (0, 0)

(2, 0) 1

C2: r(t) = ti

Figura 15.24

2

x

a) Se puede utilizar el método presentado en la sección anterior para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva dada. Para esto, se puede usar la parametrización rstd 5 s1 2 cos td i 1 sen sin t j, donde 0 ≤ t ≤ p. Con esta parametrización, se sigue que dr 5 r9std dt 5 ssen sin t i 1 cos tjd dt, y

E

C1

F ? dr 5

E

p

ssen sin t 1 sen sin4 t 1 cos t 1 3 sen sin2 t cos t 2 3 sen sin2 t cos2 td dt.

0

Esta integral desanimará a cualquiera que haya elegido esta opción. b) Se puede intentar hallar una función potencial y evaluar la integral de línea mediante el teorema fundamental de las integrales de línea. Empleando la técnica demostrada en el ejemplo 4, se encuentra que la función potencial es f sx, yd 5 xy 3 1 x 1 y 1 K, y, por el teorema fundamental, W5

E

C1

F ? dr 5 f s2, 0d 2 f s0, 0d 5 2.

c) Sabiendo que F es conservativo, se tiene una tercera opción. Como el valor de la integral de línea es independiente de la trayectoria, se puede reemplazar la trayectoria semicircular con una trayectoria más simple. Supóngase que se elige la trayectoria rectilínea C2 desde s0, 0d hasta s2, 0d. Entonces, rstd 5 ti, donde 0 ≤ t ≤ 2. Así, dr 5 i dt y Fsx, yd 5 s y 3 1 1d i 1 s3xy 2 1 1d j 5 i 1 j, de manera que

E

C1

F ? dr 5

E

C2

F ? dr 5

E

2

0

4

1 dt 5 t

2 0

5 2.

Obviamente, de las tres opciones, la tercera es la más sencilla.

Larson-15-03.qxd

26/2/10

14:28

Página 1089

SECCIÓN 15.3

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria

1089

Conservación de la energía

The Granger Collection

En 1840, el físico inglés Michael Faraday escribió: “En ninguna parte hay una creación o producción pura de energía sin un consumo correspondiente de algo que la proporcione.” Esta declaración representa la primera formulación de una de las leyes más importantes de la física: la ley de conservación de la energía. En la terminología moderna, la ley dice lo siguiente: En un campo de fuerzas conservativo, la suma de energías potencial y cinética de un objeto se mantiene constante de punto a punto. Se puede usar el teorema fundamental de las integrales de línea para deducir esta ley. De la física se sabe que la energía cinética de una partícula de masa m y velocidad v es k ⫽ 12 mv 2. La energía potencial p de una partícula en el punto 共x, y, z兲 en un campo vectorial conservativo F se define como p共x, y, z兲 ⫽ ⫺f 共x, y, z兲, donde f es la función potencial de F. Consecuentemente, el trabajo realizado por F a lo largo de una curva suave C desde A hasta B es W⫽

MICHAEL FARADAY (1791-1867)

冕

C

Varios filósofos de la ciencia han considerado que la ley de Faraday de la conservación de la energía es la mayor generalización concebida por el pensamiento humano. Muchos físicos han contribuido a nuestro conocimiento de esta ley; dos de los primeros y más importantes fueron James Prescott Joule (1818-1889) y Hermann Ludwig Helmholtz (1821-1894).

冥

F ⭈ dr ⫽ f 共x, y, z兲

A

冥

B

⫽ ⫺p共x, y, z兲

como se muestra en la figura 15.25. En otras palabras, el trabajo W es igual a la diferencia entre las energías potenciales en A y B. Ahora, supóngase que r共t兲 es el vector posición de una partícula que se mueve a lo largo de C desde A ⫽ r共a兲 hasta B ⫽ r共b兲. En cualquier instante t, la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula son v(t) = r¢(t), a(t) = r⬙(t) y v共t兲 ⫽ 储 v共t兲 储, respectivamente. Así, por la segunda ley del movimiento de Newton, F ⫽ ma共t兲 ⫽ m共v⬘共t兲兲, y el trabajo realizado por F es

冕

C

F ⭈ dr ⫽ ⫽

冕 冕 冕

b

a b a b

⫽

a

⫽ ⫽

m 2 m 2

F ⭈ r⬘共t兲 dt F ⭈ v共t兲 dt ⫽

F

⫽ C

冕

b

a

关mv⬘共t兲兴 ⭈ v共t兲 dt

m关 v⬘共t兲 ⭈ v共t兲兴 dt

冕 冕

b

a b a

d 关v共t兲 ⭈ v共t兲兴 dt dt d 关储v共t兲 储2兴 dt dt

冤

冥

冤

冥

b

m ⫽ 储v共t兲 储2 2

A

A

⫽ p共A兲 ⫺ p共B兲

W⫽

y

B

m 关v共t兲兴 2 2

a

b a

1 1 ⫽ m 关v共b兲兴 2 ⫺ m 关v共a兲兴 2 2 2 ⫽ k共B兲 ⫺ k共A兲.

B x

El trabajo realizado por F a lo largo de C es W⫽

冕

C

F

⭈ dr ⫽ p共A兲 ⫺ p共B 兲.

Figura 15.25

Igualando estos dos resultados obtenidos para W se tiene p共A兲 ⫺ p共B兲 ⫽ k共B兲 ⫺ k共A兲 p共A兲 ⫹ k共A兲 ⫽ p共B兲 ⫹ k共B兲 lo cual implica que la suma de energías potencial y cinética permanece constante de punto a punto.

1053714_1503_pg 1090.qxp 8:25 1090 AM Page 1090 Larson-15-03.qxd 3/12/0910/30/08 19:52 Page

1090

CAPÍTULO 15 Análisis vectorial Chapter 15 Vector Analysis

1090

Ejercicios See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.3 Exercises 15.3 EnExercises los ejercicios 1 a 4,that mostrar queofel兰valor de ethe F same ? d r es In 1– 4, show the value forel C F ⭈ d r is C mismo para cadarepresentation representaciónofparamétrica de C. each parametric C. 1. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 xx22ii ⫹ 1 xy xyjj 1. a) r s t d 5 t i 1 t (a) r11共t兲 ⫽ t i ⫹ t22j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11

p␲ b) rr22s共u␪d兲 5 sin sin ⫽ sen sin u␪ii 1 ⫹sen sin22 u␪j,j, 00 ≤ⱕ u␪ ≤ⱕ (b) 22 2 1 y22d i 2 x j 2 2. F s x, y d 5 s x 2. F共x, y兲 ⫽ 共x ⫹ y 兲 i ⫺ x j a) rr11s共ttd兲 5 冪ttj,j, 00 ≤ⱕ t t ≤ⱕ 44 ⫽ ttii 1 ⫹! (a)

14. FF共x, sx,y兲yd⫽5xyxy2 i2 i⫹12x2x2y2yj j 14. 11 a) rr11共stt兲d ⫽ 5 ttii ⫹ 1 j,j, 11 ⱕ≤ tt ⱕ ≤3 (a) tt b) rr22共stt兲d ⫽ 5 共stt ⫹ 1 11兲dii ⫺ 2 1313共stt ⫺ 2 33兲dj,j, 00 ⱕ ≤ t ⱕ ≤ 2 (b) 15. 15.

冕E

2xydydy yy2 2dxdx⫹12xy

CC

yy

a) (a) 44

b) rr22s共wwd兲 5 ⫽ ww22ii 1 ⫹ wwj,j, 00 ≤ⱕ ww ≤ⱕ 22 (b) 3. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 yyii ⫺ 2 xxjj 3.

11

c) (c)

11 −− xx22

y= C C44 (− 1, 0) (−1,

(1, (1, 0) 0)

−1 −1

x

11

2 −−1 1

(1, −1)

(−1, −1)

16. 16.

冕E

s2x⫺23y3y⫹111兲 ddxdx⫺2共3x s3x⫹1yy⫺255兲 ddydy 共2x

CC

yy

a) (a)

yy

b) (b) 11

(2, 3) 3) (2, CC11

11

−1 −1

(0, (0,0)0) −−1 1

x

22

33

(0, (0, 1) 1)

22

(0, (0,1) 1)

17. 17.

22

xx

11−−yy22 CC4 4 x

−1 −1

CC3 3 11

xx ==

11

yy==eexx

44

2

xy xy 12. 12. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 ye ye xyii ⫹ 1 xe xe xyjj ⫽ ttii 2 ⫺ s共tt 2 ⫺ 33d兲j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 33 (a) a) rr11s共ttd兲 5 兲 to (b) Thetrayectoria closed path consisting line segments from 共0, b) La cerrada que of consiste en segmentos de3recta 共0, 0兲,(0, 0, 0兲 (0, 3, 0después 兲, and then 兲 to 共0, from to 共0), from desde 3) 共hasta desde (0,共3, 0)0hasta (3,3兲0) y

yy

(d) d) 2 (2, (2,ee 2))

88

(0, −−1) (0, 1)

44

yy

66

CC 22 xx

(4, 1) 1) (4,

11

(c) c)

11−−yy22

xx ==

(0, 1) 1) (0,

33

2 11. 11. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 2xy 2xyii ⫹ 1 xx 2jj 2 ⫽ ttii 1 ⫹ tt2 j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 (a) a) rr11s共ttd兲 5 r 共 t 兲 ⫽ t i ⫹ tt33j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 (b) b) r 2std 5 t i 1

c) r3std 5 t i 1 t 3 j, 0 ≤ t ≤ 1

yy

(2, 2)

1

(Hint: If F is Si conservative, the integration may bepuede easierser on más an F es conservativo, la integración (Sugerencia: alternative path.) sencilla a través de una trayectoria alternativa.)

⫽ ttii 1 ⫹ tt23j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 11 b) rr23s共ttd兲 5 (c)

d) (d) C3

x

FF ⭈? dr. dr.

⫽ ttii 1 ⫹ ttj,2 j, 0 0≤ ⱕt t≤ ⱕ1 1 a) rr12s共ttd兲 5 (b)

44

1

22

13. (a) Fsx,ry1共dt兲5⫽y ti i2⫹xtjj, 0 ⱕ t ⱕ 1

33

22

y

(−1, 2)

In 11–24, value the de linelaintegral EnExercises los ejercicios 11 find a 24,the hallar el of valor integral de línea

y兲 ⫽ (3, yi ⫺ j 0) xhasta (0, 3) 13. F共x,desde

xx

−−1 1

x

sen x, y, y, zz兲d ⫽ 5 sin sin yz yzii ⫹ 1 xz xz cos cos yz yzjj ⫹ 1 xy xy sin sin yz yzkk 10. FF共sx, sen 10.

C C

(1,0) 0) (1, 11

(0,0) 0) (0, 11

44

冕E

(−1, 0) (− 1, 0) −1 −1

In 5–10, determine whether the vector En Exercises los ejercicios 5 a 10, determinar si el campo vectorialfield es o is no conservative. conservativo.

xy x, y, y, zz兲d ⫽ 5 yy ln ln zzii ⫺ 2 xx ln ln zzjj ⫹ 1 xy kk 8. FF共sx, 8. zz 2z i 1 2xyz j 1 xy22 k 2 F s x, y, z d 5 y 9. 9. F共x, y, z兲 ⫽ y z i ⫹ 2xyz j ⫹ xy k

CC22

CC11

22

b) rr22s共wwd兲 5 ⫽ s共22 1 ⫹ ln ln wwd兲ii 1 ⫹ s共33 2 ⫺ ln ln wwd兲j,j, 11 ≤ⱕ ww ≤ⱕ ee33 (b)

x 5. 5. FF共sx, x, yy兲d ⫽ 5 ee x共ssin sin yyii ⫹ 1 cos cos yj yj兲d sen 2y 2 i ⫹ 10x 3yj F 共 x, y 兲 ⫽ 15x 6. 6. Fsx, yd 5 15x 2y 2 i 1 10x 3yj 11 7. x, yy兲d ⫽ 5 y 22 共syyii ⫹ 1 xj xj兲d 7. FF共sx, y

yy== 11−−xx22

(4,4) 4) (4,

33

p␲ a) rr11s共u␪d兲 5 ⫽ sec sec u␪ii 1 ⫹ tan tan u␪j,j, 00 ≤ⱕ u␪ ≤ⱕ (a) 33 b) rr22s共ttd兲 5 冪tt1 冪t tj,j, 00 ≤ⱕt t≤ⱕ33 ⫽! ⫹11i i1⫹! (b) 2j 2 4. F s x, y d 5 y i 1 x 4. F共x, y兲 ⫽ y i ⫹ x j a) rr11s共ttd兲 5 ⫽ s共22 1 ⫹ ttd兲ii 1 ⫹ s共33 2 ⫺ ttd兲j,j, 00 ≤ⱕ tt ≤ⱕ 33 (a)

yy

b) (b) (3,4) 4) (3,

−1 −1 (0, − 1) (0, −1)

冕E

2 2 2xy 2xydxdx⫹1共xsx 2⫹1yy兲2ddydy

CC

2 2 xx2 ⫹ yy 2 ⫽ 1 from 共5, 0兲 to 共0, 4兲 (a) a) C: C: ellipse elipse 25 1 5 1 desde s5, 0d hasta s0, 4d 16 25 16 2 共0, 4s兲0, 4d (b) b) C: C: parabola parábola yy ⫽ 5 44 ⫺ 2 xx 2 from desde共2, s2,00兲 dtohasta

1053714_1503.qxp 10/27/08 10/27/08 1:45 1:45PM PM Page1091 1091 1053714_1503.qxp Larson-15-03.qxd 3/12/09 19:52 Page Page 1091

SECCIÓN 15.3

Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.3 Conservative Conservative VectorFields Fields andIndependence Independence Path 15.3 Vector and ofofPath

E

18. 18. 18.

2 21 y 2d2 dx 1 2xy dy y 2y dx  dx2xy 2xydydy sxx2x 

a)(a)rr1rst1tdt5 tt33tii31 i tt22tj,j,2 j, 00 0≤tt ≤t22 2  (a) 1

p

b)(b)rr2rst2tdt5 ttiit1 sin ttj,j,t j, 00 0≤tt ≤t

22 cos 2cos cos i 22 sen 2sin sin  (b) 22 2 2

19. x, y,y,zzdz 5yz yzyzii  xzxzjj j 1xy xyxykkk x,y, i1xz 19.FFF sx, 19. a)(a)rr1rst1tdt5 ttiit1 i 22j2j 1 jttk, t k, 00 0≤tt ≤t44 4  k, (a) 1

2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 tt22tii21 i tjtjtj1  tt 2tk, k,k, 00 0≤tt ≤t22 2 (b) 2 20. x, y,y,zzdz 5ii  1yyk x,y, i1zzjzj j ykk 20.FFF sx, 20.

2 a)(a)rr1rst1tdt5 sin sen cos costtiit1 i sinttjjt 1 jtt22tk, cos  sin k,k, 00 0≤tt ≤tp

(a) 1 2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 2ttk, s1112 i p

t k, 00 0≤tt ≤t11 1 2t 2t2t  k, (b) 2

21. x, y,y,zzdz 5s2y 2y 1xxxdii  2zzdzjj j 1s2y 2y 24z 4z4z x,y, 2y i1sxx2x2 2 2y 21.FFF sx, dkkk 21. 2 2 a)(a)rr1rst1tdt5 ttiit1 i tt 2tjj 1 jk,  k,k, 00 0≤tt ≤t11 1 (a) 1

2 2 b)(b)rr2rst2tdt5 ttiit1 i tjtjtj1  2t2 k,k, 00 0≤tt ≤t11 1  s2t 2t 11d12k, (b) 2 22 22. x, y,y,zzdz 5y 2y 13xz 3xz kk 2k x,y, yii  i1xxjxj j 3xz 22.FFF sx, 22.

a)(a)rr1rst1tdt5 sin sen cos costtiit1 i sinttjjt 1 jttk, t k, 00 0≤tt ≤tp

cos  sin k, (a) 1 b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 s1112 i p t

t k, 00 0≤tt ≤t11 1 2t 2t2t  tk, k, (b) 2

23. x, y,y,zzdz 5eezezszyyiyi  1xy xyxykkkd  x,y, i1xxjxj j 23.FFF sx, 23. a)(a)rr1rst1tdt5 44 4cos costtiit1 i 44sen 4sin sinttjjt 1 j3k, 3k, 00 0≤tt ≤tp

cos  sin 3k, (a) 1

b)(b)rr2rst2tdt5 dii1 s4442 i 3k, 3k, 00 0≤tt ≤t11 1 8t 8t8t  3k, (b) 2 24. x, y,y,zzdz 5yyysin sin sin 1xy xyxycos cos xk sen sen x,y, sinzzizi  i1xxxsin sinzzjzj j cosxk xk 24.FFF sx, 24. a)(a)rr1rst1tdt5 tt22tii21 i tt22tj,j,2 j, 00 0≤tt ≤t22 2  (a) 1 b)(b)rr2rst2tdt5 ii 1 4t i 4tj, 4tj, 00 0≤tt ≤t11 1 4t4t  4tj, (b) 2

In Exercises Exercises –34, evaluate the line integral integral using the the In 2525 –34, the line using En los ejercicios 25 a 34,evaluate evaluar la integral de línea utilizando el Fundamental Theorem of Line Integrals. Use a computer Fundamental Theoremde of Integrals. UseUtilizar a computer teorema fundamental las Line integrales de línea. un sisalgebra systemtoto verify yourresults. results. algebra system verify your tema algebraico por computadora y verificar los resultados.

 E

25. 25. 25.

i 3x3xjj drdr 33y iy  i1222sxxx dr

f22 2sxxx 1yyydii 1yyydjjgj?dr dr

CCC

E

cosxxxsin sinyyydx dx sinxxxcos cosyyydy dy cos cos sin dx 1sin sin cos dy sen sen

CCC

3 p p C:line 0, , , linesegment segment froms0, to 3 ,3

C:

d to C: curva suave desde 0, 2 p

hasta from 22 2 2 2 ydx dx dy 2xxxdy dy 28. yy dx 28. 28. 2 2 2y 2y C xx2x 1 y2

E E

 1  2

CC

C:line 1,111d to 2s 3,23, linesegment segment froms1, to2 C: C: curva suave desde 1, hasta 23,! from 22d

29. 29. 29.

x sin y dx  xe x cos y dy eexex sin sin yy dx dx  1 ee x cos cos yy dy dy sen

CCC

C:cycloid sin cos  to02d

2hasta

cycloidx x C: 1 1 cos

from 0,0,00s0, , 0, 0 C: x 5 u 2sin sin , uy,, y y5 12 cos ufrom cicloide desde to sen s2p2x , 2x 0d 2y dx  2y 2 2dydy 30. 30. 2x22x y2y22 2dx  x2x 22y y 2y 2 C  x dy 30. C 2 2 dx 12 2 sxcircle 1 yx2dx x y1 y52d522 29 9clockwise 442 s y clockwisefrom from7,7,55toto C circle C:C: 2 2  1, 5  1, 5 sx 2 4d 1 s y 2 5d 5 9 en sentido de las maneciC: círculo llas del reloj desde s7, 5d hasta s1, 5d

E

C:line 1,11 s1, 1, 1d (a)C: linesegment segment fromdesde to1, a) C: segmento de from recta 01, d1,hasta 0,0,0,0,0s00,to0, (a) C:  0, 0, 0   1,1,1,1,111d (b) line segments from to b) C: segmento de recta de s 0, 0, 0 d a s 0, (b) C: line segments from 0, 0, 0 to 0, 0,0,11dtoatos1,1,

C:line 1,1,1,1,000dto (c)C: linesegments segments from c) C: segmento de recta de s0, 0,0,00,00to dtoa1,s1,0,0,00dtoto a s1,1, ytoa 0,0, (c) from 1,1, 1, 1,1,111d  s1, 32. Repetir el ejercicio 31 utilizando la integral 32.Repeat RepeatExercise Exercise using theintegral integral 32. 3131using the

E E

dz. zydxdx dx1 xzxz xzdydy dy1 xyxy xydz. dz. zyzy

C CC

33. 33. 33.

2sin senx xxdxdx sin dx1 z zzdydy dy1 y yydzdz dz sin

C CC

p, 3, 4 C: 0, 0,0,000d to curva suave desde hasta C:smooth 0,0, , 3,4 4 smooth curve froms0, to , 3, C: curve from 22 2

 1  2

E

34. 34. 34.

s4y 20z 6xdxdx dx2 4z4z 4zdydy dy2 4y 4y2 20z 20z  dz dz 6x6x  ddz

C CC

C: curva 0, 0,0,00d hasta suave desde (3, 4, 0) 0,0, smooth curve froms0, C:C:smooth 0 toto3,3,4,4,00 curve from

Trabajo En los ejercicios 35 yfind 36, the hallar el done trabajo the realizado Work InInExercises Exercises and36, 36,find work force Work 3535and the work done bybythe force por el campo de fuerzas F al mover un objeto desde P hasta Q. fieldFFininmoving movingananobject objectfrom fromPPtotoQ.Q. field 3y 2 1d j; Ps0, 0d, Qs5, 9d sx, yd 5 9x2 22y2y22ii 1 s6x 35. 3y3y11j; F 6x  j;PP ,Q 35.FF x,x,yy9x9x y i 6x 0,0,00,Q 5,5,99 35. 2 2x x 2 2x j; P(–1, 1), Q(3, 2) sx, yd 52x2x ii 2 36. F xy 2j; 1,11,Q ,Q 36.FF x,x,yy yyi  1, 3,3,22 36. 2 j;PP y 2y y

37. Trabajo Una piedra de 1 libra atada al extremo de una cuerda de 37.Work Workpies weighing poundisisattached attached theend endofof 37. AAstone weighing 1 1pound aa dos sestone hace girar horizontalmente con to untothe extremo fijo. two-foot string and is whirled horizontally with one end held two-foot string and is whirled horizontally with one end held Realiza una revolución por segundo. Hallar el trabajo realizado fixed. Itmakes makes 1revolution revolution per second. Find the workdone done fixed. per second. the work byby por laItfuerza F1que mantiene a la piedraFind en una trayectoria circuF the force that keeps the stone moving in a circular path. F that Usar the keepsfuerza the stone moving in a circular path. lar.force [Sugerencia: = (masa)(aceleración centrípeta).] [Hint:Use UseForce Force  (mass)(centripetalacceleration).] acceleration).] zd 5 a1i 1 a 2 j 1 a3 k es un campo vecto38.[Hint: Trabajo Si Fsx,y,(mass)(centripetal y,zza ai1 i a aj2 jaque a3 kel 38.Work Work IfFF constant force rial deIffuerza realizado al x,x,y,constante, 38. isistrabajo a aconstant force 1 mostrar 2 3k vector field, show that the work done in moving a particle along moverfield, una partícula lo work largo done de la in trayectoria P hasta vector show thatathe moving adesde particle along Q PQ anyW path 5 from Ffrom . toQQisisWWFF PQ es PPto .. any path ? PQ 39. Work To allow a means of escape forworkers workers hazardous 39. Work TrabajoTo allow Para tener un medio de escape para losinin trabajadores en 39. a means of escape for a ahazardous job 50 meters above ground level, a slide wire is installed. una50 arriesgada tarea a ground 50 metros sobrea elslide nivelwire del suelo, se instajob meters above level, is installed. Itruns runs fromtheir their position apoint point theground ground 50meters metersa un tobogán de cable. Corre suonon posición hasta50un punto Itla from position totoadesde the from thebase base theinstallation installation where theyare arelocalizan located.Show Show 50 metros de of laofbase de la instalación donde se los trafrom the the where they located. thatthe thework work done the gravitational force forade a bajadores. Mostrar que trabajo realizadoforce por field elfield campo that done bybyel the gravitational for 175-pound worker moving the length of the slide wire is the fuerzas gravitatorio para quetheunlength hombre libras 175-pound worker moving of de the175 slide wirerecorra is the la samefor foreach each path. longitud del cable es el mismo en cada una de las trayectorias. same path. i1s50 50 (a)rrrsttdt 5ttiti  50 2ttdtjj j a) (a) 11 1 i15050 50 (b)rrsrttdt 5ttiit  50 2ttdt22jj2j b) s50 (b) \

C:smooth 1, 1toto3,(3, 3,222) smooth curve from C: 1, C: curva suave desde (–1, 1)1hasta curve from

27. 27. 27.

 dx2x 2xzzdy  dy x xyydz  dz zz2y2y  dx

CC

\

CC

C:smooth toto3,3, smooth curve from C: 0,0, curve from C: curva suave desde s0, 00d0hasta s83,88 d

26. 26. 26.



31. 31. 31.

C CC

1091 1091 1091

\

50

40.Work Work Can Can you findaencontrar apath pathfor foruna thetrayectoria slidewire wirein inExercise Exercise 39 40. Trabajo ¿Se puede para el cable39del 40. you find the slide such that the work done by the gravitational force field would tobogán del ejercicio 39 tal que el trabajo realizado por el campo such that the work done by the gravitational force field would differ fromthe theamounts amountssea workdone done forthe thetwo twopaths paths given? de fuerzas gravitatorio distinto defor las cantidades degiven? trabajo differ from ofofwork Explainwhy why why not. realizadas para las dos trayectorias dadas? Explicar por qué sí o Explain ororwhy not. por qué no.

WWRRI TI TI NI NGGAABBOOUUT TCCOONNCCE EPPT TSS 41.State Statethe theFundamental Fundamental TheoremofofLine LineIntegrals. Integrals. Desarrollo de conceptos 41. Theorem 42. What does it mean that a line integral isindependent independent 42. doeselitteorema mean that a line integral ofof 41. What Enunciar fundamental de las is integrales de línea. path?State Statethe themethod methodfor fordetermining determiningififa aline lineintegral integralisis path? 42. ¿Qué significa que una integral de línea sea independiente de independentofofpath. path. independent la trayectoria? Enunciar el método para determinar si una integral de línea es independiente de la trayectoria.

1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092 1053714_1503.qxp 1:45 PMPage Page 1092 Larson-15-03.qxd 10/27/08 3/12/09 19:52 1092 1053714_1503.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1092

1092 Chapter CAPÍTULO 15 Analysis Análisis vectorial 1092 15 Vector 1092 Chapter 15 Vector Analysis 1092 Chapter 15 Vector Analysis y x yi x j. Find 43. 43. Think About It Sea Let F x, y the el Para pensar Encontrar 43. Think About It Let F x, y x2 2 y2 2 i x2 2 y2 2 j. Find the x y y x y x value of the line It integral valor la deFlínea x, y 43. Think About Let i j. Find the value de of theintegral line integral x2 y2 x 2 y2 Fvalue dr.of the line integral F dr. C C y a) F dr. y y b) y a) b) C y y a) b) C2

C1

C1 C1 x

x

In Exercises 45 and45 46, 46, consider the force field de shown in mostrathe EnExercises los ejercicios considerar campo In 45 andy46, consider theel force fieldfuerzas shown in the figure. Is the force field conservative? Explain why or why not. doExercises en la ¿Es el de fuerzas conservativo? Explicar figure. Is figura. the 45 force field conservative? why or why In and 46,campo consider the Explain force field shown in not. the por qué por qué no.conservative? y why or why not. Is sí theoy force field Explain 45.figure. 46. y y 45. 46. 45. 46. yy yy 45. 46.

x

C2 C2 x

x

x xx

x

x xx

x x

c)

y

c) c)

d)

y y

C3

C3 C3 x

y

d) d)

y y

C4

C4 C4

x x

x

x x

CAPSTONE CAPSTONE 44.C Consider force field shown in the figure. A PConsider S T O Nthe E the 44. force field shown in the figure. y

44. Consider the force yfield shown in the figure. Para discusión y

44. Considerar el campo de fuerzas mostrado en la figura. y

x −5

−5

E1

x x

−5 x

−5

−5

−5 −5

(a) Give a verbal argument that the force field is not (a) Give a verbal argument that the force field is not conservative because you can identify two paths that conservative you that can identify paths (a) Give a verbalbecause argument the forcetwo field is that not −5 amounts of work to move an object require different require different amounts of work to move an object conservative because you can identify two paths that from 4, 0 to 3, 4 . Identify two paths and state from different paths an andobject state 4, 0 to amounts 3, 4 . Identify require of worktwo to move which requires the greater amount work.deTofuerzas print anno es a) Argumentar verbalmente que el of campo which requires amounttwo of work. print an from pathsTo and state 4, 0 tothe3,greater 4 . Identify enlarged copy porque of these pueden graph, encontrar go to the conservativo dos website trayectorias enlarged copytheofgreater the graph, to the website which requires amount go of work. To print an www.mathgraphs.com. que requieren cantidades diferentes de trabajo para www.mathgraphs.com. enlarged copy of the graph, go to the website mover un objeto desde that Identificar s24,the 0d hasta 4d. is (b) Give a verbal argument force s3, field not www.mathgraphs.com. (b) dos Give a verbal that the force is not trayectorias yargument decir mayorfield cantidad conservative because you cuál can requiere find a closed curve C de conservative you that can the find force a closed C (b) trabajo. Give a verbalbecause argument fieldcurve is not such that such that conservative because you can find a closed curve C b) Argumentar verbalmente que el campo de fuerzas no es such that 0. F dr conservativo se puede encontrar una curva ceF dr porque 0. C rrada C tal que C F dr 0.

E C

C

F ? dr Þ 0.

True or False? In Exercises 47–50, determine whether the True or False? In Exercises 47–50, determine whether the statement is true or false. If it is false, explain why or give an statement is otrue or Exercises false. If itejercicios is false,determine explain or givethe anla True or False? In 47–50, whether ¿Verdadero falso? En los 47 a 50, why determinar si example that shows it is false. example that shows it is false. statement is true or false. If it is false, explain why or give an declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o itdemuestre isthe false. 47.example If C1un same initial terminal points and , C2that , andshows C have dar queinitial esand falsa. 47. If C1ejemplo the same and terminal points and , C2, and3que C3 have then F dr F dr , F dr dr3. C C2 C1 1 C3 F then F, C1dr F 2dr dr1 terminal F points dry3.final 47. have the, same initial and y , and CC 1, yyCC C1 F and C 47.1 IfSi puntos inicial 1 1C1, 2C2 3 332 tienen 2 los mismos 48. If F Fy i dr x j and CF is given by r t F 4drsin t i F 3 cos then dr , dr .t? j,drt 3j,. F C? is dr2given dr 5 e F 48. IfCeC1F1 F ?ydr by i1 1 5 x jCeand sin t i 3 C1 r teC F14 C 3cos ? 2 2 3 C 2, entonces 1 C 1 3 0 t , then C F dr 0. Festá 48. is dr given by x jx and t itd i 13scos t j,td j, j yCCC 48. If0SiFFt5y iy i ,1then dada0. porr rt std 54ssin 4 sen sin 3 cos 49. If F0 is conservative in F a region R0.bounded by a simple closed entonces ≤ p, ,then F dr R 5 bounded 0. 49. If0 F≤ tist conservative adr region by a simple closed C ineC ? path and C lies within R, then C F dr is independent of path. C lies within R, path thenregión is independent path. 49. inen a una region by oa acotada simpleofclosed CRFbounded 49. If SiFFisand esconservative conservativo limitada por una Rdr i N j and M R,xthen N F y, then Findependent 50. If Fpath M is conservative. is path. cerrada R, ofentonces F andMCi lies Nwithin j andsimple M xy C N dr y,contenida F is en 50. Iftrayectoria then conservative. C está dri es independiente N j and M xde la2fNtrayectoria. y, 2then 50. IfeCFF ? M f 2 F is conservative. 2f f 0. Prove f 51. 50. A function is called harmonic if if 2 5 if ­Ny­y, esthat conservaF 5 M if 1 N j y ­My­x 0.FProve 51. ASifunction is called harmonic that if x 2 2 2 yentonces xf y2f2 f is harmonic, then tivo. f is then 0. Prove that if 51. A called harmonic if 2 f isfunction harmonic, 2 2xf 2yf ­ ­ f then isf harmonic, 51. f Una si 2 1 2 5 0. Demostrar que f dxfunción dyff es armónica 0 ­x ­y dy 0 dx x y C si es armónica, fx entonces C f fy dx dy 0 x closed curve in the plane. where is a smooth C Cy ­f ­f C is a smooth where closed curve in the plane. dx 2 dyEnergy 5 0 The kinetic energy of an object 52. Kinetic and Potential ­y ­x C where is a smooth closed curve in kinetic the plane. C 52. Kinetic and Potential Energy The energy of an object moving through a conservative force field is decreasing at a rate moving through a conservative force field is decreasing a rate 52. Kinetic and Potential Energy The kinetic energy of anatobject es una curvaAt suave el plano. donde of 15 unitsCper minute. whatcerrada rate isenthe potential energy of 15 units per aminute. At what is isthe potentialatenergy moving through conservative forcerate field decreasing a rate changing? 52. Energía potencial y cinética La energía cinética de un objeto changing? of 15 units per minute. At what rate is the potential energy que se mueveya través de un x campo de fuerzas conservativo dischanging? y2 i x j. 15 unidades por minuto. ¿A x, y a una 53. Let F 2o ritmo minuye F x, y x 2 velocidad i j. 53. Let x y y 2 de x 2 y suy 2energía x 2 potencial? x y2 qué ritmo cambia F x, y i j. 53. Let (a) Show that x 2 y 2 x2 y2 (a) Show that y x 53. (a) Sea F s x, y d 5 i 2 j. NShowMthat x 2 1 y 2 x2 1 y2 N M x y a) Mostrar Nx Myque x y where ­N ­M where 5 ­x y ­y x where y and N x. M M x 2 2 y 2 2 and N x 2 2 y 2 2. dondex y y x xy and N M . 2 2 y2 (b) If r t xcos t j forx2x 0 yt 2 , find C F dr. yt i t i sin sin (b) If r t cos t j for 0 t , find C F dr. M 5 N 5 . y 2 2 2 2 (c) (b) If rIft r t cos t i yt i sin sin t j for 01 0y t t , find x 1 x C F Fdr.dr. for cos t j , (c) If r t find cos t i sin t j for 0 t , find dr. C CF (d) (c) If rIf tr t coscos find t i t i sinsin t j tfor 0 t 2 , dr. CFF dr. for find j 0 t , (d) If for find r t cos t i sin t j 0 t 2 , F dr. C b) Si s d 5 1 sen para ≤ ≤ p, hallar eCCF ? dr. Why doesn’t this contradict Theorem 15.7? Why doesn’t this contradict Theorem 15.7? (d) If for find r t cos t i sin t j 0 t 2 , F dr. c) Si rstd 5 cos t i 2 sen sin t j para 0 ≤ t ≤ p, hallar eCC F ? dr. Why doesn’t this xcontradict Theorem 15.7? x tF. (e) Show that arctan d) Si rstdthat 5 cos arctan ti 1 sin j para (e) Show F. 0 ≤ t ≤ 2p, hallar eC F ? dr. y sen xy ¿Por qué no contradice (e) Show thatestoarctan F. el teorema 15.7? y x e) Mostrar que = arctan 5 F. y

2

1

2

Larson-15-04.qxd

3/12/09

20:00

1053714_1504.qxp

10/27/08

Page 1093

1:45 PM

Page 1093

SECCIÓN 15.4

Teorema de Green

1093

15.4 Teorema de Green n n

Utilizar el teorema Green para evaluarauna Use Green’sdeTheorem to evaluate lineintegral integral.de línea. Utilizar formas alternativas del teorema de Green. ■ Use alternative forms of Green’s Theorem.

Teorema de Green Green’s Theorem r(a) = r(a) r(b) = r(b)

R1

R1

Simplyconexa connected Simplemente R3

R3 R2

TEOREMA 15.8 TEOREMA GREEN THEOREM THEOREM 15.8 DE GREEN’S

R2

R be simplemente C, a simply connected with a piecewise smooth boundary Sea R unaLet región conexa region cuya frontera es una curva C suave a trozos, counterclockwise (that is, C isdeltraversed the region orientadaoriented en sentido contrario a las manecillas reloj (esonce decir,soCthat se recorre unaR N have alwaysque lieslatoregión the left). If M and derivatives in vez de manera R siempre quede a lacontinuous izquierda).first Si Mpartial y N tienen open region containing then abierta que contiene a R, entonces derivadasan parciales continuas en unaR,región

Not simpl conexas connected No simplemente

E EE E E E E E E E E E C

R

M dx 5 M dxM5dx 1 M dxM1dx C

C1 b

5

C1: y =Cf1:(x) 1 y = f1(x)

a b

5

a

a C =a C1C+=CC2 +bC 1 2

x

b

x

C1 b

a

a b

5

a

R C′2: x C′ = g2:2(y) x = g2(y) Por

R is horizontallysimple simple. R es horizontalmente Figure Figura 15.2715.27

x

x

f sxd

b f2sxd 2 ­M ­M ­M dA 5 dy dx­M dy dx dA 5 ­y R ­y a f1sxd ­y a f1sxd ­y

5

C′ = CC′ ′1 += C′ C′21 + C′2

b

fM5sx, f1sfxM dds2 sx, f2sxM ddgsx,dxf2sxddg dx x, fM 1sxdd 2

b

C′1: 1 x = g1(y) x = g1(y) d

c

a

b

a b

EE EE E E E E E E4 E E R

c

M dx

C2 a

M5 sx, f1sxM ddsdx Msx, f sxdd dx x, f1 1sxdd dx 1 2 Msx, f2sxdd dx

b

C′ y:

R

C2

Por otro On lado, the other hand,

R es verticalmente R is verticallysimple simple.

d

2

DEMOSTRACIÓN unaisdemostración para una región es vertical horizonPROOF Se A da proof given only forsólo a region that is both que vertically simpley and horizontalmentetally simple, como se muestra en la figura 15.27. simple, as shown in Figure 15.27.

C2: C : 2 y = f2(x) y = f2(x)

y

EE 1 EE 1 2

­N ­M­N ­M dx51 N dy 5 2 2 dA. M dx 1 NMdy dA. ­y ­x R ­y­x C C R

y

R

E

E

Figura 15.26 15.26 Figure

y

En esta sección se estudiará el study teorema de Green, quenamed recibeafter este the nombre enmathematician honor del In this section, you will Green’s Theorem, English matemático inglés George Green (1793-1841). Este states teorema establece queofelavalor de integral una George Green (1793–1841). This theorem that the value double integral over dobleasobre unaconnected región simplemente conexa está determinado porvalue el valor simply plane region R isR determined by the of ade line una integral de línea a lothe largo de la frontera integral around boundary of R. de R. Una curva C dada si noifseit corta rstby d 5rsxtdst5 di 1 dj, ydonde a ≤ ta ≤# b,t es A curve C por given xstydist1 stdj, where b, is simple does not # simple a sí misma, es itself—that decir, rscd Þ c yalld cenand el intervalo sa, bd. Una cross is,rrsdscddpara Þ rstodo dd for d in the abierto open interval sa, bdregión . A plane plana R region es simplemente conexa si cada curva simple cerradaclosed simplecurve en Rinencierra sólo only puntos R is simply connected if every R encloses points que estánthat en are R (ver figura 15.26). in Rla (see Figure 15.26).

b f2sxd

4

M5 sx, yd Msx,dx yd f sxd a b

1

f2sxd f1 sxd

dx

fM5sx, f2sfxM dds2 sx, f1sxM ddgsx,dx.f1sxddg dx. x, fM 2sxdd 2 a

consiguiente, Consequently,

E E EE EE

­M M dx 5 M 2 dx 5 2 dA. ­M dA. ­y R ­y C R C

s ydyand Similarly, you can usar use g1(y) to show that g2(y)gpara que eC N dy 5 eRe ­Ny­x dA. By De manera similar, se pueden 2s yd demostrar eC M dy, you the integrals and obtain the establecida conclusion en stated in the Sumandoadding las integrales y dx a la conclusión el teoeC M dx eC N dy,eCseNllega ■ rema. theorem.

Larson-15-04.qxd

1094

3/12/09

20:00

CAPÍTULO 15

Page 1094

Análisis vectorial

EJEMPLO 1 y

Aplicación del teorema de Green

Utilizar el teorema de Green para evaluar la integral de línea

E

C = C1 + C2 (1, 1)

y=x

1

donde C es la trayectoria desde (0, 0) hasta (1, 1) a lo largo de la gráfica de y 5 x3 y desde (1, 1) hasta (0, 0) a lo largo de la gráfica de y 5 x, como se muestra en la figura 15.28.

C1 C2

y = x3 x

(0, 0)

y 3 dx 1 sx3 1 3xy 2d dy

C

1

C es simple y cerrada, y la región R siempre se encuentra a la izquierda de C Figura 15.28

Solución

Como M 5 y 3 y N 5 x 3 1 3xy 2, se sigue que

­N 5 3x 2 1 3y 2 ­x

y

­M 5 3y 2. ­y

Aplicando el teorema de Green, se tiene entonces

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

C

EE 1 EE EE E 4 E R 1

5

2

­N ­M 2 dA ­x ­y

x

fs3x2 1 3y 2d 2 3y 2g dy dx

0 x3 1 x

5

3x 2 dy dx

0 x3 1

5

0 1

5

x

3x 2y

dx x3

s3x 3 2 3x5d dx

0

5

3 3x4

4

2

x6 2

1

4

0

1 5 . 4

GEORGE GREEN (1793-1841) Green, autodidacta, hijo de un molinero, publicó por primera vez el teorema que lleva su nombre en 1828 en un ensayo sobre electricidad y magnetismo. En ese tiempo no había casi ninguna teoría matemática para explicar fenómenos eléctricos. “Considerando cuán deseable sería que una energía de naturaleza universal, como la electricidad, fuera susceptible, hasta donde fuera posible, de someterse al cálculo. . . me vi impulsado a intentar descubrir cualquier posible relación general entre esta función y las cantidades de electricidad en los cuerpos que la producen.”

El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. Entre las restricciones establecidas en el teorema 15.8, la curva C debe ser simple y cerrada. Sin embargo, cuando el teorema de Green es aplicable, puede ahorrar tiempo. Para ver esto, tratar de aplicar las técnicas descritas en la sección 15.2 para evaluar la integral de línea del ejemplo l. Para esto, se necesitará escribir la integral de línea como

E

C

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 1

C1

E

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy

C2

donde C1 es la trayectoria cúbica dada por rstd 5 t i 1 t 3j desde t 5 0 hasta t 5 1, y C2 es el segmento de recta dado por rstd 5 s1 2 tdi 1 s1 2 tdj desde t 5 0 hasta t 5 1.

Larson-15-04.qxd

3/12/09

20:00

Page 1095

SECCIÓN 15.4

EJEMPLO 2

Aplicación del teorema de Green para calcular trabajo

Fsx, yd 5 y 3i 1 sx3 1 3xy 2dj

y

una partícula recorre una vez el círculo de radio 3 mostrado en la figura 15.29. Aplicar el teorema de Green para hallar el trabajo realizado por F.

C 2 1

Solución

E

x −1

1095

Estando sometida a la fuerza

F(x, y) = y 3 i + (x 3 + 3xy 2)j

−2

Teorema de Green

1

2

−1

Por el ejemplo 1, se sabe, de acuerdo con el teorema de Green, que

y 3 dx 1 sx 3 1 3xy 2d dy 5

C

−2

EE

3x 2 dA.

R

En coordenadas polares, usando x 5 r cos u y dA 5 r dr du, el trabajo realizado es r=3

W5

Figura 15.29

EE

3x 2 dA 5

R

EE EE E E E 2p

3

0

0

53 53

3sr cos ud2 r dr du

2p

3

0 0 2p 4 r

4

0

2p

53

0

cos2 u

4

3

du

0

81 cos2 u du 4

2p

243 5 8

r 3 cos2 u dr du

s1 1 cos 2ud du

0

5

243 sin 2u sen u1 8 2

5

243p . 4

3

2p

4

0

Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vectoriales conservativos (campos en los que ­Ny­x 5 ­My­y), el valor de la integral de línea es 0. Éste es fácil de ver a partir de lo establecido en el teorema de Green:

E

M dx 1 N dy 5

C

R

EJEMPLO 3 y

EE 1

2

­N ­M dA 5 0. 2 ­x ­y

Teorema de Green y campos vectoriales conservativos

Evaluar la integral de línea

E

C

y 3 dx 1 3xy 2 dy

C

donde C es la trayectoria mostrada en la figura 15.30. x

C es cerrada Figura 15.30

Solución A partir de esta integral de línea, M 5 y 3 y N 5 3xy 2. Así que, ­Ny­x 5 3y 2 y ­My­y 5 3y 2. Esto implica que el campo vectorial F 5 Mi 1 Nj es conservativo, y como C es cerrada, se concluye que

E

C

y 3 dx 1 3xy 2 dy 5 0.

Larson-15-04.qxd

1096

3/12/09

20:00

CAPÍTULO 15

Page 1096

Análisis vectorial

EJEMPLO 4 y

(0, 3)

Aplicación del teorema de Green para una curva suave a trozos (o por partes)

Evaluar

E

C R

sarctan x 1 y 2d dx 1 se y 2 x2d dy

C

x

(−3, 0)

(−1, 0)

C es suave a trozos Figura 15.31

(1, 0)

(3, 0)

donde C es la trayectoria que encierra la región anular mostrada en la figura 15.31. Solución

En coordenadas polares, R está dada por 1 ≤ r ≤ 3 para 0 ≤ u ≤ p. Y,

­N ­M 2 5 22x 2 2y 5 22sr cos u 1 r sen sin ud. ­x ­y Así, por el teorema de Green,

E

sarctan x 1 y 2d dx 1 sey 2 x 2d dy 5

C

5 5 5

EE EE E E1

22sx 1 yd dA

R p

3

22r scos u 1 sen sin udr dr du

0 1 p

22scos u 1 sen sin ud

0 p

2

0

r3 3

4

3 1

du

2

52 scos u 1 sen sin ud du 3

3

52

52 sin u 2 cos u sen 3

52

104 . 3

p

4

0

En los ejemplos 1, 2 y 4, el teorema de Green se utilizó para evaluar integrales de línea como integrales dobles. También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales dobles como integrales de línea. Una aplicación útil se da cuando ­Ny­x 2 ­My­y 5 1.

E

M dx 1 N dy 5

C

EE 1 EE R

5

2

­N ­M 2 dA ­x ­y

1 dA

R

­N ­M 2 51 ­x ­y

5 area R R área of de region la región Entre las muchas opciones para M y N que satisfacen la condición establecida, la opción de M 5 2yy2 y N 5 xy2 da la siguiente integral de línea para el área de la región R.

TEOREMA 15.9 INTEGRAL DE LÍNEA PARA EL ÁREA Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el área de R está dada por A5

1 2

E

C

x dy 2 y dx.

Larson-15-04.qxd

3/12/09

20:00

Page 1097

SECCIÓN 15.4

EJEMPLO 5

Teorema de Green

1097

Hallar el área mediante una integral de línea

Usar una integral de línea para hallar el área de la elipse x2 y2 1 5 1. a2 b 2 y

x2 a2

+

y2 b2

Solución Utilizando la figura 15.32, a la trayectoria elíptica se le puede inducir una orientación en sentido contrario a las manecillas del reloj haciendo

=1

x 5 a cos t b

y

y 5 b sen sin t, 0 ≤ t ≤ 2p.

Por tanto, el área es

a x

A5

R

1 2

E

x dy 2 y dx 5

C

5 Figura 15.32

5

1 2

E E

2p

fsa cos tdsb cos td dt 2 sb sen sin tds2a sen sin td dtg

0

2p

ab 2

scos 2 t 1 sen sin2 td dt

0 2p

34

ab t 2

0

5 p ab. El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son simplemente conexas. Esto se demuestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 6

y 2

C1 −3

E

C3 C2

−2

C3: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3 C4: y = 0, 1 ≤ x ≤ 3

Figura 15.33

Sea R la región interior a la elipse sx 2y9d 1 s y 2y4d 5 1 y exterior al círculo x 2 1 y 2 5 1. Evaluar la integral de línea

C1: Elipse C2: Círculo

R

2xy dx 1 sx 2 1 2xd dy

C

3

C4

El teorema de Green extendido a una región con un orificio

x

donde C 5 C1 1 C2 es la frontera de R, como se muestra en la figura 15.33. Solución Para empezar, se pueden introducir los segmentos de recta C3 y C4, como se muestra en la figura 15.33. Nótese que como las curvas C3 y C4 tienen orientaciones opuestas, las integrales de línea sobre ellas se cancelan entre sí. Además, se puede aplicar el teorema de Green a la región R utilizando la frontera C1 1 C4 1 C2 1 C3 para obtener

E

2xy dx 1 sx 2 1 2xd dy 5

C

EE 1 EE EE R

5

2

­N ­M 2 dA ­x ­y

s2x 1 2 2 2xd dA

R

52

dA

R

5 22(área sarea of de RR)d 5 2spab 2 p r 2d 5 2fp s3ds2d 2 p s12dg 5 10p.

Larson-15-04.qxd

1098

3/12/09 20:00 Page 1098 1053714_1504.qxp 10/27/08

CAPÍTULO 15

1:45 PM

Page 1098

1053714_1504

Análisis vectorial

1098

Chapter 15

Vector Analysis

En la sección 15.1 se estableció una condición necesaria y suficiente para campos vectoriales conservativos. Ahí sólo se una dirección de laand demostración. Ahora sefor puede Inpresentó Section 15.1, a necessary sufficient condition conservative vector fiel dar la otra dirección, usando el teorema de Green. Sea F s x, y d 5 Mi 1 Nj definido en un In Section 15.1, a necessary and sufficient condition for conservative vector fields was listed. There, only one direction of the proof was shown. You can now outline t disco R. Se the quiere demostrar que siusing M y NGreen’s tienen primeras listed. There, only one direction of the proof was shown. You canabierto now outline other direction, Theorem.derivadas Let Fsx, yparciales d 5 Mi 1conNj be defined on an op y on an open r direction, using Green’s Theorem. Let Fsx, yd 5 Mi 1 Nj tinuas be defined disk R. You want to show that if M and N have continuous first partial derivatives a

R. You want to show that if M and N have continuous first partial and ­Mderivatives ­N ­M ­N 5 5 ­y ­x ­M ­N ­y ­x 5 ­y ­x F is conservative. C is a que thatcerrada closed path the boundary of entonces F es conservativo.then Supóngase que C es unaSuppose trayectoria forma la forming fronF is conservative. Suppose that C is a closed path forming a connected lying in R.usando Then, using the fact that ­My­y 5 ­Ny­x, you can app terathe de boundary una regiónofconexa contenida region en R. Entonces, el hecho de que ected region lying in R. Then, using the fact that ­My­y 5 ­Ny­x, you can apply conclude thatque se puede aplicar elGreen’s teoremaTheorem de Greentopara concluir n’s Theorem to conclude that F ? dr 5 M dx 1 N dy F ? dr 5 M dx 1 N dy C C C C F ? dr 5 M dx 1 N dy C C ­N ­M ­N ­M 2 dA 5 2 dA 5 ­N ­M ­x ­y R ­x ­y 5 2 dA R ­x ­y R 5 0. 5 0. 5 0. This, in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem 15.7). Esto es, a su15.7). vez, equivalente a mostrar que F es conservativo (ver teorema 15.7). , in turn, is equivalent to showing that F is conservative (see Theorem

E

E

E EE 1

2

E EE 1

E

E EE 1

2

2

Alternative Forms of Green’s Theorem

ernative Forms of Green’s Theorem

Formas alternativasThis delsection teorema de Green concludes with the derivation of two vector forms of Green’s Theore

section concludes with the derivation of two vector formsEsta of Green’s regions in the plane. The extension of these vector forms todethree dimensions is t sección Theorem concluye confor la deducción de dos formulaciones vectoriales del teorema egions in the plane. The extension of these vector forms to three dimensions is the basis for the discussion in the remaining sections of this chapter. If F is a vector fie Green para regiones en el plano. La extensión de estas formas vectoriales a tres dimens for the discussion in the remaining sections of this chapter.siones If F isesalavector field in the plane, you can write base del estudio en el resto de las secciones de este capítulo. Si F es un campo e plane, you can write vectorial en el plano, se puede escribir Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 0k

| |

i j k ­ ­ ­ curl F 5 = 3 F 5 ­x ­y ­z M N 0 ­N ­M ­N ­M i1 j1 2 52 k. ­z ­z ­x ­y

1

2

sequently,

1

2 4?k

­N ­M ­N ­M 2 i1 j1 k ­x ­y ­z ­z ­N ­M . 5 2 ­y ­x

3

scurl Fd ? k 5 2

| | | |

Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 so 0k that the curl of F, as described in Section 15.1, is given by

at the curl of F, as described in Section 15.1, is given by

j k por lo que el rotacional de F, como se describió en lai sección 15.1, está dada por ­ ­ ­ i j curl kF 5 = 3 F 5 ­x ­y ­z ­ ­ ­ curl rot F 5 = 3 F 5 M N 0 ­x ­y ­z ­N ­M ­N ­M 52 i1 j1 2 k. M N 0 ­z ­z ­x ­y ­N ­M ­N ­M 5 2 Consequently, i1 j1 2 k. ­z ­z ­x ­y ­N ­M ­N ­M Por consiguiente, scurl Fd ? k 5 2 i 1 j1 2 k ?k ­z ­z ­x ­y ­N ­M ­N ­N ­M ­M (rot FF)d ? k 5 2 scurl i1 j1 2 k ?k ­z ­z ­x 5 ­x ­y 2 ­y .

1

2

1

3

1

3

1

2

24

24

­N ­M With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theorem 5 2 . ­y With appropriate conditions on F, C, and R, you can write Green’s Theorem­x in the vector form vector form Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se­N puede­M escribir el teorema de Green en F ? dr 5 2 dA ­N ­M forma vectorial ­x ­y C R F ? dr 5 2 dA ­x ­y C R ­N ­M scurl Fd ? k dA. First alternative form F ? dr 5 2 dA 5 CAS R ­x ­y scurl Fd ? k dA. First alternative form 5 C R R The extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produc Primera forma alternativa. 5 scurlF) F·d k? dA. k dA. (rot extension of this vector form of Green’s Theorem to surfaces in space produces Stokes’s Theorem, discussed in Section 15.8. R es’s Theorem, discussed in Section 15.8. La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio da lugar al teorema de Stokes, que se estudia en la sección 15.8.

E

EE 1 EE

2

E

EE 1 EE

E

2

EE 1 EE

2

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PMPage Page 1099 Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1099 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM 1099 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1099

SECCIÓN 15.4 Teorema de Green 1099 15.4 Green’s Green’s Theorem 1099 1099 15.4 Theorem 15.4 Green’s Theorem 1099

Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supónganse las mismas condivector form Green’s Theorem, assume same conditions for ForFor thethe second form of of Green’s Theorem, assume thethe same ciones sobre F,second C yvector R. Utilizando el parámetro longitud de arco s conditions para C, sefortiene For the second vector form of Green’s Theorem, assume the same conditions and Using the arc length parameter for you have So, F, C, R. s C, r s x s i y s j. Using arctanto, lengthunparameter you haveTr as la curva So, por for s for C,tangente x s i C está y s j.dado rF, ssdC,5and xssdR. i1 yssdj.thePor vector unitario and Using the arc length parameter for you have F, C, R. s C, r s x s i y s j. So, a unit tangent vector to curve is given by From T C r s T x s i y s j. curve C is given r s verTque xel svector i yunitario s j. From ra9sunit sd 5 tangent T 5 x9svector sdi 1 yT 9ssdtoj. En la figura 15.34 by se puede normal a unit tangent vector to curve is given by T C r s T x s i y s Figure 15.34 you can see that the outward unit normal vector can then N Figure 15.34 you can see that thecomo outward unit normal vector N can then bej.beFrom exterior N puede entonces escribirse n Figure 15.34 you can see that the outward unit normal vector N can then be written as T written as n n T N 5written y9ssdi as 2 x9ssdj. C nTθ C C T N N y ys is i x xs j.s j. θ θ Por consiguiente, C N ya F(x, s i y)x5s Mi j. 1 Nj se le puede aplicar el teorema de Green para obθ Consequently, for apply Green’s Theorem obtain F yx, y MiMi Nj,Nj, tener Consequently, for youyou cancan apply Green’s Theorem to to obtain F x, N = −n Consequently, for you can apply Green’s Theorem to obtain F x, y Mi Nj, = −n bb b N =N−n T 5 cos u i 1 sen sin u j N = −n b N5 ds j ds FF ?FN sMi 1 Nj N ds ds MiMi NjdNj ds ? s yy9ssysdiis2i xx9ssxsdjjdsds sinj j T T coscosi i sin p p CC C F Naadsa Mi Nj y s i x s j ds n5T cos u cos 1 i i1 sinj u 1 j sinsen bb b C n n coscos i2 i sin sin j2 j dy dya dy dx dx dx 2 cos u j i sin 2 2 N ds 5 M M M b2 NNdy ds ds 52 sin cos u2i 1 n sen j ds ds ds ds M ds ds N dx ds 2 i cos aa a N 5 sin sinsin uii 2 coscos ujj2 j sen ds ds a sincosj i j cos j N sin sini15.34 i cos N Figura M dy N dx 5 M dy 2 N dx M dy N dx N sin i cos j Figure 15.34 Figure 15.34 CC C M dy N dx Figure 15.34

1

2

1

E

2

5

E E1 E E EE 1 EE

2

C

N dx M 2NN dx 1M dx M dy dy dy CC C N dx M dy ­M MCM ­NN N Green’s Teorema de Theorem Green. 5 1 M dA Green’s Theorem dAdA x ­yy y N dA RR R ­xx Green’s Theorem x y R F dA. 5 div FF dA. divdiv dA. RR R div F dA. R Por consiguiente, Therefore, Therefore, Therefore, Segunda forma alternativa. FF ?FN div FF dA. N5 ds F dA. Second alternative form N ds ds divdiv dA. Second alternative form C C F NRRdsR div F dA. Second alternative form C C R La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia, The extension form three dimensions is called Divergence Theorem, The extension of of thisthis form to to three dimensions is called thethe Divergence Theorem, discutidoThe en la sección 15.7. En las secciones 15.7 y 15.8 se analizarán las interpretaciones of15.7. this form to three dimensions called the and Divergence Theorem, discussed in Section The physical interpretations divergence and curl will discussed in extension Section 15.7. The physical interpretations ofisof divergence curl will be be físicas de divergencia y del rotacional. discussed in Section 15.7. The physical interpretations of divergence and curl will be discussed Sections 15.7 and 15.8. discussed in in Sections 15.7 and 15.8. discussed in Sections 15.7 and 15.8.

E

2

EE

Exercises SeeSeewww.CalcChat.com www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 Exercises for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 15.4 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.4 Ejercicios 2 2 2 In Exercises 1– 4, Green’s Theorem both circle given y 4x 241 y 2 5 4 In En Exercises 1– 4, verify Theorem by by evaluating both los ejercicios 1 averify 4, Green’s comprobar el teorema deevaluating Green evaluan5. C: C: circunferencia x 2 xdada 5. 5. circle given by by C: y por 2 In Exercises 1– 4, verify Green’s Theorem by evaluating both 6. C:5.boundary x by C: circleofgiven y 2 between 4 integrals integrals do ambas integrales region lying the graphs of 6. C: frontera la región comprendida lasofgráficas y y x xde 6. C: boundary of de thethe region lying between theentre graphs integrals 3 in the 3 3 C: 6. boundary of the region lying between the graphs of y x and first quadrant y x y en el primer cuadrante y 5 x y 5 x and in the first quadrant y x N M N­N M­M and y x3 in the first quadrant y2 dx 11 x 2 xdy22 dy 5 y22 dx 2 N dAdA M C C C dA y2 dx 1 x 2R dyRR x­xx y ­yy In Exercises 7–10, Green’s Theorem to evaluate integral In Exercises 7–10, use7use Green’s Theorem to evaluate thethe integral En los ejercicios a 10, utilizar el teorema de Green para evax y C R In Exercises 7–10, use Green’s Theorem to evaluate the integral for path. dada. forsobre thethe given path. lagiven trayectoria luar la integral for the given path. x dx y dy y y x dx 11 2x 2x y dy of region lying between graphs of 1. 1. boundary thelathe region lying between graphs ofde C: y yy=x x xy 1.C: C:boundary fronteraofde región que yace entrethe lasthe gráficas C C y x dx 1 2x y dy x y C2 xc dx 1 x2x 2 yc dy 2x2 x2 1.and of the region lying between the graphs of y x and yyC: = yxboundary C the for given path. for the given path. 2 and y x of region lying between graphs of 2.C: C:boundary fronteraofde región que yace entrethe lasthe gráficas given path. 2. 2. boundary thelathe region lying between graphs ofde C: y yy=x x xy sobrefor la the trayectoria dada. boundary region lying between graphs 2.and boundary of of thethe region lying between thethe graphs of of C: C: y yx x yC:y boundary and x x of the region lying between the graphs of y x7. 7. 2 2 xde 7.and ofregión the region lying between C:y boundary y x 7. C: frontera la2x comprendida entre the las graphs gráficasof de and y x 2x y x and 01,,0), 01,, 0), 10,, 1), 1 1) with vertices 3.C: C:square cuadrado con vértices C: 0, 00,,(0, 01,,(1, 11,,(1, 10, (0, 3. 3. square with vertices 2 and y x 2x y y 5 x 2 cos, y , y sensen 8. 8. C: C: x x 2 cos C: square 0,0), , 01,0), 0 , 41,4), ,(0,0,0, 1 3.rectangle with vertices , 003,(3, , 1and with vertices 4.C: C: rectángulo con vértices C: 0, 00,(0, , 03, , 3,, 43,(3, , and 0, 44) 4 4. 4. rectangle with vertices 8. C: x2 cos2ofucos , sen ysin usen 8. C: x 5 yregion 5region boundary lying inside rectangle bounded 9. 9. C: C: boundary of the,the lying inside thethe rectangle bounded 4. C: rectangle with vertices 0, 0 , 3, 0 , 3, 4 , and 0, 4 9. C: boundary of region lying inside the rectangle by and and outside the x 5, x 5, y 3, 3, C: frontera de la región al acotado por x5 9. CAS In Exercises 5 and verify Green’s Theorem using by x 5, x 5, ythey interior 3, 3, and yrectángulo and outside thebounded CAS In En los ejercicios 5 y6,6,6, verificar el teorema de Green utilizando Exercises 5 and verify Green’s Theorem by by using a a x 5, x 5, y 3, y 3, by and and outside the CAS square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 In Exercises 5 and 6, verify Green’s Theorem by using a 25, x 5 5, y 5 23 y y 5 3, y exterior al cuadrado acotado computer algebra system to evaluate both integrals square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 un sistema algebraico computadora y evaluar ambas intecomputer algebra system por to evaluate both integrals square bounded by x 1, x 1, y 1, and y 1 por x 5 21, x 5 1, y 5 21 y y 5 1. gralescomputer algebra system to evaluate both integrals boundaryof ofthetheregion regionlying lyinginside insidethethesemicircle semicircle 10.10. C: C: boundary N N M M dA 2 2 la 2semicircle 10.yfrontera C:25boundary of the region lying y inside e x dy and outside the y y 95the 9!x25 x2 25de x 2región 10. C: interior alsemicircle semicírculo x2 dA xe yxedxy dx 1 e1x dy and outside the semicircle y x N M ­N x y­M y C C xe y dx xe1y dx y 9 x2 y x 2 and outside ex 1 dy e5xR dyR x 2 dA dA y exterior al25 semicírculo y 5 !9the 2 semicircle x2 x­y y ­x C R C R given path. forfor thethe given path. the given path. sobrefor la trayectoria dada.

E

EE _

+

E

E

EE _

+

1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM 1100 Page 1100 1100 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100 Larson-15-04.qxd 3/12/09 20:00 Page 1100 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:45 PM Page 1100

1100 1100 Chapter 1100 Chapter15 15 Vector VectorAnalysis Analysis 1100 Chapter 15 15 Vector Analysis CAPÍTULO Análisis vectorial 1100 15 Vector Analysis 1100 1100 Chapter Chapter 15 Vector Analysis 1100 Chapter 15 Vector Analysis

Chapter 15

Vector Analysis

1100 Chapter 15 Vector Analysis Area In Exercises 25 –28, use a line in In Exercises 11–20, use Green’s Theorem –28, to evaluate the line to find Area In Area In InExercises Exercises25 25 –28,use useaaline lineintegral integral to findthe thearea areaofof In Exercises Exercises 11–20, 11–20, use use Green’s Green’sTheorem Theorem toto evaluate evaluate the the line line Area InExercises Exercises 25–28, –28, use aline line integral to find the area of InExercises Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate theline line Area In 25 use a28, integral to find the area of In 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the the region Area In Exercises 25 –28, use a line integral to find the area of integral. In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line R. línea Area In Exercises 25 –28, use a line integral to find the area of In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line En los ejercicios 11 a 20, utilizar el teorema de Green para evaÁrea En los ejercicios 25 a utilizar una integral de the integral. theregion regionR. integral. R. 1053714_1504.qxp 10/27/08 theR. region integral. R. the region integral. R. the region integral.luar the region integral. R. la integral de línea. 1:45 PM Page 1100 para hallar el área de la región R. Area In Exercises 25 –28, use a line22integral to22find area of In Exercises 11–20, use Green’s Theorem to evaluate the line region bounded by the graph of x 2 R: the region ofofxx2 2222 yy222 2222 a25. R: regionbounded boundedby bythe thegraph graph R:region a 2222 11. 2xy dx x 25. y25.the dy 2 integral. R. 25. region bounded by the graph of x R: y a 11. 2xy dx x y dy 25. region by graph of aa R: triangle bounded by the graphs of 11. 2xy dx x y dy 25. R: region by the graph x ydexx a1yy 5 25. region bounded by the the graph of R: 25. R: regiónbounded acotada por laofgráfica R:bounded C 26. 11.Cdx 2xy dx1 dy 11. xxx1 yyyd dy 11. 2xy x dx y sdy 11. 2xy dx dy 26. C 2xy 26. R: trianglebounded boundedby bythe thegraphs graphsofofxx 0,0,3x and R:triangle 3x 2y 2y 0,0,and 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y 0, 2 2 2 2y CCC 26. triangle bounded by the graphs of R: x 0, 3x C 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y x 2y0, 2y 26. triangle bounded by the graphs of and R: x 0, 3x 2y 0, 26. triángulo acotado por las gráficas de R: x 5 0, 3x 2 5and 0, 8y boundary of the region lying between the graphs of C: y 0 25. R: by the graph of x y a0, xx region 2y 88 2y bounded ofofthe lying C: boundary theregion region lyingbetween betweenthe thegraphs graphsofofyy 00 C:boundary 11. 2xy dx x y dy 2 x 2y 8 boundary of2la the region lying between the graphs of C:frontera y 0 x 2y 8 x 2y 8 x 2y 8 de región comprendida entre las gráficas de C: boundary of the region lying between the graphs of y 0 x 1 2y 5 8 of the region lying between the graphs of C: boundary y 0 and 1 x boundary of the region lying between the graphs of C: y 0 bounded by the grap R: region and 11 xx 2 22 2 C yy triangle boundedby by the of xof and 3x5x 0, and 27. region bounded the graphs R: yy27. 27.26. region bounded by thegraphs graphs of 0, and R:R: 5x 2y33 and yand 5 yy0yxy2 y1115 41xxx22 x and y and 1and 27. R: region bounded by the graphs graphs of yyy 3 5x and1 R:region 5x 27. bounded by the of 333x 2and 27. bounded by the graphs of and R: region 5x y y 27. region bounded by the graphs of and R: 5x 27. región acotada por las gráficas de y R: 2 2 x 2y 8 graphs C: boundary of the region lying between the 0 2 of y 12. y dx xy dy y x y2y yyy 1xx xxx222 11111 12. xy 2 12.2 yy22dx xydy inside R:5xregion 1dydy 2dx región interior al lazo de la hoja ooffolio C 22dx 12. yand dxy1 xy xy dyx 27. region bounded by the graphs ofde28. and the loop of the folium R: yDescartes 3acotada y 12. y12. dx xy dy 12. y dx xy dy 28. region inside the of folium of Descartes bounded by R: 28.28. region inside theloop loop ofthe the folium Descartes bounded by R:R: C C 1100CCC Chapter 15 Vector Analysis 28. R: region inside the loop ofthe the folium ofDescartes Descartes bounded by R: 2 28. region inside the loop of folium of bounded by the graph of 28. inside the loop of the folium of Descartes bounded by R: region 28. region inside the loop of the folium of Descartes bounded by R: por la gráfica de C C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of y x 1 the thegraph graphofof C: ofof the region 2 C:boundary boundary the regionlying lyingbetween betweenthe thegraphs graphsofofyy 0,0, 12. y dx xy dy the graph of the graph of the graph of the graph of C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of frontera de la región comprendida entre las gráficas de C: yy x,0, boundary of the region lying between the graphs of C: boundary y 0, of the region lying between the graphs of y x 9 and C: 0, boundary of the region lying between the graphs of 2 28. R: region inside the loop2of the folium of Descartes bounded3tby yyC x,x,and 3t 2 andxx 99 3t3t 3t , 2y 53t3t23t x y 9x995 9 !xxx, x , y 5 0,x x, yx,x,5 and x 5 y x,yyyand 9and and 2 2 2 3 3 3 3 3t 3t x , y graph 3t x the3Exercises y2 –28, 3t1,of 3tdx t of1 t 1 C: boundary y yline of the lyingTheorem between to theevaluate graphsxof t 3t 1 3t 2 the 2 0, line dy integral to find the area In Exercises 11–20, useregion Green’s dx 2xy dy 3txxIn x t ,t 314. 11 yyy t t3y32t use 1 1a 2xy 22 x Area y 11 ,, ,x 25 xx222y222 yy22 2dx dy xx222 222 yy13. dx 13. 14. 3 dxand2xy 2xy dy dxC 2xy 2xydy dy 13.integral. 14.2 tregion 1 tR. x, x2xy 9dy t3t33 1C11t 3 1 tt3t33 2111 222 2 2d2 dx the x y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. 14. 13. 14. s x 2 y 1 s x 2 y d dx 1 2xy dy x13. y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. 14. x y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 14. 3t 3t CC CC C x CC2 CCC C C C: r,TT yCC 1OONtN3C cos C: x 2 y 2 16 W 3BBO 2 2yy22 216 R I T I N G A U W R I T I N G A O U CNEgraph ECP1PETTPSSTofSx 2 y 2 Wa 2R I T I N G A B O U T C O N C E P T S t 1 x C: r 1 cos C: 21 2 x C: r cos C: 16 25. region bounded by the R: 2 2 x1 2xy dy C: r 14. 1C: x5 1111 y cos dxu 2xy dyW R I T IW 2 22 2y Desarrollo de conceptos W R I T I N G A B O U T C O 2 xx 2 5 dx R I T I N G A B O U T C O N C EEPPTTSS N G A B O U T C N C E P T S W R I T I N G A B O U T C O N C C: r cos C: y 16 16 C: a r y cos C: x 213. y 16 x C: r cos C: y 16 29. State Green’s Theorem. 11. C 2xy dx x y dy C 29. State Green’s Theorem. x cos 2y dx x sen 29. State Green’s Theorem. e 2e 2y dy 15. C 26. triangle bounded by the graphs of x 0, 3x 2y 0, and R: x x x x 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. 29. State Green’s Theorem. e cos 2y dx 2e sen 2y dy 15. 2 2 e cos 2y dx 2e sen 2y dy 15. 29. Enunciar el teorema de Green. W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 30. Give by the line integral for the area o x x C: r 1 cos C: xx cosy2yxdx16 2e xx sen 2y dy x15. C cos 2e sin dy sen sen line for e15. cos 2yeexeboundary dx 2edx 2y 15. cos 2y 2y dxsen 2edy sen2y 2ylying dy between 15. 30. Give Give the2y lineintegral integral forthe thearea areaofofaaregion regionRRbounded bounded by x the 8 integral CCC: of2the region the graphs of y 2 0 2 30. 30. Give the line for the area of a region R bounded by smooth simple curve C 2 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by a piecewise 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by 30. Give the line integral for the area of a region R bounded by CCC C 30. Dar la integral de línea para el área de una región R acotada 29.piecewise State Green’s Theorem. C: x y a smooth simple curve C. piecewise smooth simple curvegraphs C. C: yy2y2 22 a1dx x cos C:xx222eand a22 x 2 x 27. aaR: region bounded by the apiecewise piecewise smooth simple curve C. C. of y 5x 3 and aapor smooth simple curve C. a piecewise smooth simple curve C. piecewise smooth simple curve C. una curva simple suave a trozos 5 aaa222 2e sen 2y dy C: x 215. C: yC:xxx2221 a 2yyy22y C: 30. Give the y 2 line C 1 integral for the area of a region R bounded by yy 2 arctan dx ln x 2 yy2 dyx 16. yx22 dx y 2dx yxy 2ady2lnlnxx222 222 yy22 2dy 16. yydx 2arctan dy 16.12. 2C: a piecewise smooth simple curve C. yarctan x 2 C arctan dy 16. xxln dx 216. arctan dx xdx1 ln ylnsxxxdy1 yyy2d dy 16. 22arctan arctan dx ln dy 16. 28. R: region inside the loop of the folium of Descartes bounded In Exercises 31by and 32, use Green’s Th CC C2 xxx In Exercises 31 and 32, In Exercises 31 and 32,use useGreen’s Green’sTheorem Theoremtotoverify verifythe theline line CCC x C C: x 4 2 cos , y 4 sen y In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line the graph of In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line integral formulas. In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line In Exercises 31 and 32, use Green’s Theorem to verify the line C: y 0, boundary of the region lying between the graphs of C: 44 22cos , ,yyln x424 sen 2 dy C:xx 2 arctan cos sen En los ejercicios 31 y 32, utilizar el teorema de Green para veridx y 16. integral formulas. integral formulas. C:xxx25cos 2cos cos 4 sen senu 4441x,, x2y2and C: x 4C: 4xu,, ,yyysen C: cos sen integralformulas. formulas. integralintegral formulas. integral formulas. 95 44 1 sin C y 2 ficar las fórmulas de32, las use integrales deTheorem línea. 31. 3t and 3tGreen’s In Exercises 31 to verify the line of the region having cos y dx xy x sen y dy 17. The centroid yy4dy 17. cosxyydx dx4 xy xycos xx,sen sen dy sen 17. cos x 31. The centroid having 31. The centroid of,the they region region having area area AA bounded bounded by by the the C: 2 y C 3 of 3 cos ydx dx2 x sen xyy xdy xsen senyyy dy dy 17.yCCdxcos 17. xy integral formulas. cos xy 17. cos dx xy x sen dy 17. t 1 t 1 31. The centroid of the region having area bounded by the thepath C is A 2 yy 2 2 The centroid of the region area bounded by closed 31. The31. centroid of thepath region having area bounded bysimple thetrayectoria 31. The centroid ofuna the region having area AA por bounded by the 31. El centroide de región dehaving área A acotada una y dx 2xy dy x y dx 2xy dy 13. CCC x 14. simple closed isis CC simple closed path C C: y x boundary of the region lying between the graphs of simple closed path is C C C simple closed path is C simple closed path is C simple closed path is C C: the lying C:boundary boundary theregion region lying betweenthe thegraphs graphsofofyy xx simple cerrada C es region having area A bounded by the cos y dxofof x comprendida sen ylying dybetween 17. 31. The 1 1 C:frontera boundary ofxy thelying region lying between thegráficas graphs ofyyyy 5xxxx x C: la región las de boundary of the region lying between graphs C: boundary ycosand xof region between theentre graphs C: boundary of the region between the graphs of 2of the2de WR I1T1Icentroid N G 22A B OofU the T C O1N 1 CEPTS C: r the 1of C: and x x 2 dy, y y2 d C x yy y xx 16 and 1 yy1C is 2111 yy22dx. x xx dy, simple path 11 closed dy, dx. 1x and 2A 2A y x5 yyy !x xxx and y yand and 2 2 2 2 2 C C 2 2 1CCGreen’s 1CC yyy 2dx. y 2A x2 2A x2dy, dy,Theorem. dx. 2 y y x x 2A 2A y x x dy, y dx. y x x dy, dx. 29. State C: boundary x of the region lying between the graphs of x 2 y 2 e y dx 2A e xC 52A 18. x dy, 2Ay 5C 22A 2A CCC y dx. 2Ax CCdy x2 2cos 22 2y dx 2A 2A y2 2222y 2e dy ee ex2x yy dx eex ysen x dy 18. 2 2 dy 18.15. 22y2 22y2 2A 2A 1 theCC line y2222 2221x xx x 2 2 seand y 21 2 see C C 2 of a region 32.RThe area of a plane region bounded by 2 integral for 1 dx dy 18. 30. Give the area bounded by 18. yyydexdx e18. y xxxdx xyyydy 18. dx e2y xd dy dy y x x dy, ybydx. CC C ee 32. The area of a plane region bounded by the path 32. The area of a plane region bounded thesimple simpleclosed closed pathC C 2A 2A 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path CCC 2 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path C C 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path C 32. The area of a plane region bounded by the simple closed path CCcoordinates is A 1 C: boundary of the region lying between the graphs of the C C 2 2 a piecewise smooth simple curve C. 2 11 given in polar xe x 2 2y ofofythe athe 22 por C: boundary region the 2 C:C: boundary region lying between the graphs graphs ofof the the 2 C 32. El área de coordinates una región plana given inin polar isis1xAA acotada given polar coordinates . la trayectoria simple dx e ylying xbetween dy 18. 111rr ,d2d 22cos 2. d C:frontera boundary ofla the region lying between the graphs ofxthe the6 cos C: de región comprendida entre las gráficas del boundary of the region lying between the graphs of 2 2 , y 6 sen 3 C: boundary circle and the ellipse of the region lying between the graphs of the C: boundary of the region lying between the graphs of the given in polar coordinates is r . A C C given in polar coordinates is r d . A given32. in given polar coordinates iscoordenadas A 2isbounded in C polar coordinates r d . Ar dpolares xx 6y6cos circle 222. Cby C cos , ,yy 66sen sen and cos , , circle andthe theellipse ellipsexx 33cos The area ofdada a plane region the simple closed path C cerrada en es C CC 2 cos cos circle the ellipse círculo ythe laxellipse elipse 6cos cos 5 6sen sin uand cos xxxx ,5 66y6cos 666ysen xxxxy5, 3333cos circle sen 2cos senu,,,, cos 6ln,sen 3 cos circle the ellipse ,u,yxy,y2 y and sen and the ellipse 2boundary arctan dy and 16. C: 1 yxy circle 262sen sen x dx 2 d . Centroid 1 in polar In Exercises 33–36, use a co 2 du.coordinates is A given rCAS Cyyy5 2 senu of the region lying between the graphs of the 2 A 5 r sin CAS y 2 sen In Exercises 33–36, use a computer algebra system 22sen sen CAS Centroid Centroid In 33–36, use a computer algebra system 2 Exercises C In Exercises 31 and 32, useaGreen’s Theorem to verify the line CAS Centroid C x 3 cos , Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra system circle x 6 cos , y 6 sen and the ellipse CAS In Exercises 33–36, use a computer algebra system CAS CAS and the results of Exercise 31 to find th Centroid In Exercises 33–36, use computer algebra system Centroid In Exercises 33–36, use a computer algebra system x 3y dx and x the y dy 19. results ofofExercise and the results Exercise31 31totofind findthe thecentroid centroidofofthe theregion. region. xx yx 3y xx , yyy dy 19. 3y24 dx dx 2 cos dy4 sen 19. C: integral formulas. sen and the results of Exercise 31 to find the centroid of the region. C the results of 31 to the of and theand results Exercise 31 to find centroid of the region. and theof results of Exercise Exercise 31the to find find the centroid centroid of the the region. region. x 3y 3yx dx dxy dy dy 19.CC3y xxdx 19. xxx yyy dy x19. 19. 3y dx dy CAS Centroide Centroid In 33–36,33use a computer algebra system EnExercises los ejercicios a 36, utilizar33. un sistema algebounded by the graphs of y R: C 17. C CC cos y dx C: boundary of 33. the region lying between the graphs region bounded by the graphs ofofyy of area 424 region xx22by R: 00and 33.31. region bounded by theregion graphs andAyybounded R:The xy x sen ylying dy between centroid of the having the 222para C: ofdx of C:boundary boundary of the thexregion region lying between the the graphs graphs of and the results of Exercise 31 to find the centroid of the region. braico por computadora y los resultados del ejercicio 31 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 33. region bounded by the graphs of and y 4 x R: y 0 x 3y y dy 19. 2 2 of 2 2 C C: boundary of the region lying between the graphs of 34. region bounded by the graphs of y R: C: frontera de la región comprendida entre las gráficas de boundary of the region lying between the graphs x x y 1 y 9 C: boundary and of the region lying between the graphs of C: boundary of the region lying between the graphs of 2 2 2 2and 22 22 22 22 simple closed path is C 34. region bounded by the graphs of y a y 0 R: x 34. region bounded by the graphs of and y a y 0 R: x x x y 1 y 9 and C x 222 y 222 12 and x2 222 y2 222 9 hallar elregion centroide la 2 34. R: bounded byregión. theof graphs of a2235. R: 34. region by the graphs of 000 x y9 yy5 x1 ylying and bounded by thedegraphs and y ayy2yy 3 x02aaand 34. region bounded by the graphs of and R: xx222and x R: region the yand 1 9 999between the graphs of y 34. yyy 5x of 111and x 2 yC:2xxboundary 1 and yx xxregion 33. regionbounded bounded by the graphs of yyxR: 40andyyyx 2bounded R: region by the graphs of y 3and C: boundary of the region lying between the 3x graphs 2e y dx of ey dy 35. region bounded by the graphs of R: y x y x, 0 x 1 35. region bounded by the graphs of and R: y x y x, 0 x 1 3 20. 1 1 3 2 3 of y 2 eey ydy xdy 35. R: regionbounded bounded by the graphs R: x,triangle 2the graphs 2de 2yyy5 24 35. region by the graphs yyydx. x, 002 1011 vertices 33. región acotada por las gráficas y036. R: y x5 0and 35. R: region bounded by of and y xof x, xR: 10 xyxxx with 35. region bounded by the graphs of and R: xx3 and x, e2e22y2y2dx 20. 2 2 3x2xand dx 20.2 y 3x y x x dy, y 34. region bounded by the graphs of and y a R: x y y a, 0 , x y 1 y 9 and y y C y y 3xeee dx dx1 eee dy dy 20. 20. 3x eCCdx3x dy 20. 3x dx dy 20. 36. a,a,00C, , a,a,00, , and b,b,cc,2, where 2A with 36. R: triangle with vertices vertices 2A and where R:triangle Cacotada 34. región por las0squares gráficas de R: y 00x5 a,y2 where 2b, xccc0y,a, , ywhere 5b 01 a 36. triangle with vertices vertices and where a,000of 0with ,yand a, 03,b, ,! b, 36. triangle with and R: a, , a, 36. triangle with vertices R: a, , a, , c 36. triangle with vertices and where R: a, , a, , b, y2 2 C 18. CCC e x 2 2 C: boundary of the region lying between the 35. region bounded by the graphs and R: x, x dx e lying dy aa bb aa C: region the 2 y dxof y dy C:boundary boundary ofythe region lyingxbetween between the squares squares with with 3 y y 5 x, 0 ≤ x ≤ 1 3x ethe 20. aarea bbacotada aaa por a1, 1R: aa1,a of Cfrontera C: boundary of thelying region lying between between the squares with las debyy the 5 xsimple 32. The region closed path C C: deof la región comprendida entresquares losthe cuadrados cuyos boundary the region lying squares with C: boundary 1, 1 , 35. ,b región 1b awith , plane 1, 1 gráficas ,bounded ofe the between the with vertices and anda, 2, C: boundary of the region lying between the squares with 36. triangle vertices and b,In R: 0 ,2 , a,CAS 0 , Area c , where 37– 40, use a comp 1,1,1region vertices C 1, , 1,1,11, , 1,1, 11, ,and vertices and 1,1, 11, ,and and 2,2,22, , 1 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 2, 2 , vertices and and 2algebra C:vértices boundary of the region the graphs son 1d1, ,1, s121, d1, ,and s21, d,, y1, s1,1121 d,, y2,of s2, 2,2,2the 2CAS d,,,CAS 1, 11s,1, ,, 1 1,lying 11between ,,21 ,, 2and vertices and 2 2, 2 , 2, 2 1, 1 , 1, 1 2, and vertices and 1, , 1 1, 1, 2, vertices and and Area In Exercises 37– 40, use a computer system 36. triángulo cuyos vértices son y donde R: s 2a, 0 d , s a, 0 d , sb, cExercises dand , and Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system given in polar coordinates is r d . A a b a 2 2,2,22, , 2,2,of 2the 2,2, lying 22 between the squares 2, ,and and C: boundary region with CAS Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system and CAS Area In Exercises 37– 40, use a computer algebra system CAS CAS the results ofand Exercise 32 to find the are In Exercises 37– 40, use a40, computer algebra system and Area InofExercises 37–to usethe a computer algebra system and C 2d,,y,and yand 62, , the circle 22222, s22, 22 d 222 and the ellipse x 3 cos Area 2, 2, 2 ,s22, 2,222dx,, ,2s22, , 62, and 2, 2,2,cos 2,2,sen and results Exercise find area ofofthe region bounded 2a ≤Exercise b ≤ a 32 the results of 32 to find the area the region bounded 1, 1 , 1, 1 , and 1, 1 , 2, 2 , vertices 1, 1 , and the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded by the graph of the polar equation. the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculate y 2 sen by the graph of the polar equation. the graph of the polar equation. CASbyArea In Exercises 37– 40, use ause computer system and Work 21–24, Work In In Exercises Exercises use Green’s Green’s Theorem toto calculate calculateby the 2, 2los , ejercicios 2,21–24, 2 Green’s , use 2 Theorem and CASforce Área En ejercicios 37 a 40, utilizar unalgebra sistema algebraico bythe the graph of the polar equation. Centroid In Exercises 33–36, a computer algebra system by graph of the polar equation. graph the polar equation. by the graph of the polar equation. Work InEn Exercises 21–24, use2,Green’s Green’s Theorem tocalculate calculate Work In Exercises 21–24, use Theorem to the work done by the Fof on a los particle that is moving counWork the In Exercises 21–24, use Theorem toisteorema calculate Work In Exercises 21–24, use Green’s Theorem to calculate Trabajo utilizar el Green the results of Exercise 32 to find the area of the region bounded work by on particle that counthe workdone done bythe theforce forceFF21 onaaa24, particle that ismoving movingde coun37. r a 1 cos por computadora y los resultados del ejercicio 32 para hallar results 37. rr the aa1path the work done by the onaaaparticle particle that moving coun37.and 1 cos cosof Exercise 31 to find the centroid of the region.el xdone 3yforce dxtrabajo xforce yFFFon dy 19. the work by the that is counterclockwise around closed the work done by the F force on arealizado particle that counthe work done by the force on particle that isismoving moving counpara calcular el porislamoving fuerza F sobre una the by the graph of the polar por equation. 37. a11región 1 C. cos terclockwise around the closed path C. 37. rrrdecos aala cos terclockwise around the21–24, closed path C. 37. r a 1 37. cos Work In Exercises use Green’s Theorem to calculate C área acotada la gráfica de la ecuación polar. 38. r a cos 3 terclockwise around thepath closed path C. terclockwise the closed C. terclockwise around the closed C. path terclockwise around the closed path C. partícula quearound se mueve, en sentido contrario a las manecillas del 38. rr R:aaregion cos 38.33. cos33 bounded by the graphs of y 0 and y 4 x 2 the work done by of the force F on a particle that21. isthe moving cos333 F x,graphs y counxyi ycos rjrrr 35aaaacos of r x 38. 38. a38. 38. r 3u1 2 cos (inner loop) FFx,C: yyboundary xx the yycerrada jjregion C.lying between 21. reloj, laxyi trayectoria x,por xyi 21. 37. 38. r 539. scos 2 u(inner d a cos 39. rr R:11region 212cos 39.34. loop) coscos(inner 2xyiy j xxthe 2yjjj 2 path C. terclockwise around x,xyy2y xyxyi x xyclosed 21. x, y FFFxyi 21. F x,21. byloop) the graphs of y a 2 x 2 and y 0 x, xyi y 21. 2 2 1 y 9 and 39. (inner loop) r 1 cos loop) x C: y 1 39. (inner loop) r 1 2(inner cos 39. r 39. 1 rr2 cos (inner loop) 1a cos 22bounded cos 22 22 38. 3 3 3 x C: y 1 x C: y 1 FC: s2x,xxx2y22d15yyy2xyi 2 22 1 sx 1 ydj 31 3 2bounded 39. interior) rR: 16x cos u (lazo 540.y r x, 0 x 1 C: x21. yC: 35. by the graphs of y 40.x3rand x y 5region F x, y2 y x xxyi 111y x yy yj 21. C: 3 F x, y e 3y i e j 22. r 40. 3 r 40. 3 3 2 2 cos u 2 cos 39. 2 cos (inner loop) e iydy FFC: x,x,yxy3x 22. 2 ee 2 5x 3y i ee 6x 6xjj 22.20. 40. rrrr 22 1 cos cos 40. r 40. 40. yedx xx 4 13y FCx, 3yiii 6x eejeyyy 6x 6xjjj 22. y F ex,xxyy2y1 3y e3y 22. F x,22. 36. a, 0 , a, 0 , and b, c , where FC: x, 6x 22. coswith vertices 222 cos 2 R: costriangle cos y e2eie 13y C: r 2 cos C: rsrx, y2d25 cos C: cos FC: scos e x x2of3ythe di 1 sey y1 lying 6xdj between the squares with 41. (a) Evaluate y3 dx 27x x3 a 3b ya33dx 40. r y 222cos C: rx, C: r22. cos rboundary cos 3 2 Evaluar elthe círculo 41. (a) where isis 27x xx33 3dy, 41.41. (a)ra)Evaluate Evaluate whereCC1C1es the unit unituni-C1 y 3dx 27x dy,donde F e22 3y i region e 6x j 22. 2C: 23. 3y i 6x 5 y j F x, y x 3 3 1 2 cos 3 3 3 3 3 3 41. (a) (a) Evaluate Evaluate whereC theunit unit dx x27x 27x dy,Cwhere CC1 1 yyy27x the dx xxx dy, 3y 23. x,x,yryvertices xx 3331, Evaluate y dx dy, where 3yi i 1, 6x 6x, 551, yy 1jj, and 1, 1 , and 2, 241. 23. FFC: 41. (a) Evaluate where CC11unit isiscircle the unit dx 27x dy, 1is , (a) 41. 1 is the given by r t cos t i s 23. 3yiii 51 6x 6x Fx, CCC C1given xxx ui2221 ,3y 3y 6x y j 555 yyy jjj 23. F x,23. y FFC: xx,r3y5 3y 6x 23. x, yy2 22cos 11 1rrt t circle by t tiai0computer t tj,j, 00algebra t t 22system .. cos circle given by cos sen tario dado por boundary ofCAS the Area triangle with vertices and C: 0,40, 0cos , cos 5, , sen Incircle Exercises 37– use and 2, 2 , 2, 2 , 2, 2 and 3 3 boundary of the triangle with vertices and C: 0, 0 , 5, 0 , given by r t t i sen t j, 0 t 2 . 3y2 boundary of the triangle with vertices and C: 0, 0 , 5, 0 , circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . circle given by r t cos i sen j, 0 t 2 . circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . ! C 41. (a) Evaluate where is the unit y dx 27x x dy, 23. F s x, y d 5 s x 2 3y d i 1 6x 1 5 y j s d 1 boundary of the triangle with vertices and C:boundary 5,0050,, , and 3of 2 the with 5, 0, with vertices C: boundary the results of Exercise bounded boundary of the triangle with vertices and C: 0,0,0000, ,, ,and 5, C1 32 to find the area of the region 3ytriangle i 6x 5 vertices y0, j0 , 5,0, 23. C: F x, (b) Find the maximum value of 0,0, 55yof thex triangle (b) Find the maximum value oftofi3 sen yy33dx xx33. 3dy, dx 27x dy, (b) Find theof maximum value 0,555Exercises 2 2graph 3 0 27x del triángulo cuyos vértices son (0, 0), (5, 0) y 0, 0, 5 C: contorno by the the polar equation. 0, circle given by r t cos t j, t 2 3 3 3 Work In 21–24, use Green’s Theorem to calculate 24. y i 4xy j F x, y 3x (b) Find the maximum value of y dx 27x dy, C b) Encontrar el valor máximo de the dx xxx33 dy, 22 of the triangle 22 (b) Find(b) maximum value ofvalue dy,where (b)theFind Find the maximum maximum value yof ofdxC C yy27x dx x27x 27x dy, with vertices and 0, 0 , 5, 0 , 24. y i 4xy j 3x 24. FFx,C: y i 4xy j x,y(0, yboundary 3x C is any closed curve CC C 222 222 j 2i 24. yforce 4xy Fx, x,yy2y5) 3x where C is any closed curve in the xyplane, oriented where C is any closed curve in the xyplane, oriented y i 4xy j 3x the work done by the F on a particle that is moving coun24. F x,24. y i 4xy j y FF 3x 24. y i 4xy j x, 3x boundary of the region lying between the graphs of C:y ycurve x, 0, 5 ofof2the 3elxy3 where C is any anycurve closed curve inplane, the xyplane, oriented 37. r(b)donde ais1 any cos where C is closed in the plane, oriented counterclockwise. where C closed in the xyoriented where C is any closed curve in the xyplane, oriented boundary region lying between the graphs of C: x, C es cualquier curva cerrada en plano xy, orientada boundary the region lying between the graphs of C: y x, y dx 27x x dy, Find the maximum value of 2 counterclockwise. 24. FC: sx,boundary yof d 5 saround 3x 1 ylying dregion iregion 1closed 4xy jpath counterclockwise. terclockwise the C. boundary the lying between the graphs of C: ofof the lying between the graphs of x, C region between the graphs of yx,yyy 0, and C: boundary y boundary the region lying between the graphs of x,x, x 9counterclockwise. counterclockwise. counterclockwise. 24. C: F y0,0,the counterclockwise. and yy x, xof al de las manecillas and3x x2 99y i 4xy 2 j 38. r en asentido cos 3C contrario where is any closed curve in the del xy-reloj. plane, oriented C:and frontera dexxxla 9región comprendida entre las gráficas de yyy x0, y 0, 9and and 0,0,and 99 y xyiof thex region y j lying between the graphs of y 21. F C:x,boundary x, counterclockwise. 39. (inner loop) r 1 2 cos y 5 !x, y 5 0 y x 5 9 C: yx 2 0,y 2and 1x 9 3 40. r e x 3y i ey 6x j 22. F x, y 2 cos C: r 2 cos 41. (a) Evaluate y3 dx 27x x3 dy, where C1 is the unit C1 6x 5 y j 23. F x, y x 3 2 3y i circle given by r t cos t i sen t j, 0 t 2 . C: boundary of the triangle with vertices 0, 0 , 5, 0 , and 0, 5 3 3

E E E

E

E E

E

E

E

E

E

Larson-15-04.qxd 3/12/09 Page1101 1101 1053714_1504.qxp 10/27/08 1:4520:00 PM Page

SECCIÓN 15.4 15.4

CPara A P S T discusión ONE 42. Para cada given trayectoria teoremaby deshowing Green al 42. For each path, dada, verify verificar Green’s el Theorem demostrar que that



y2 dx  x2 dy 

C

 

R



N M  dA. x y

For each which integral easier to evaluate? Para cadapath, trayectoria, ¿cuál deislas integrales es más Explain. fácil evaluar? (a) C:Explicar. triangle with vertices 0, 0, 4, 0, 4, 4 a) C: con vértices (b) circle given by x2 (0, C:triángulo y2 0),  1(4, 0), (4, 4) b) C: círculo dado por x2 + y2 = 1

43. Think About It Let 43. Para pensar Sea y dx  x dy y dx 2 x dy I I 5 C x 22  y 22 x 1y C where circle oriented counterclockwise. Show contrario that I  0al circunferencia orientada en sentido donde CCisesauna I if0 C ifdeClas does not contain the origin. What does manecillas del reloj. Mostrar que isI 5 si C no contain contiene the origin?¿Cuál es el valor de I si C contiene al origen? el origen. 44. Let C el besegmento the line segment Show 44. (a) a) Sea de rectajoining que unexs1x,1y, 1y1and d y sxx2,2,yy2d2..Mostrar that C y dx  x dy  x1 y2  x2 y1. que

E E

(b) Let x1, y1, x2, y2, . . . , xn, yn  be the vertices of a 2y dxProve 1 x dy 5 the x1 yarea x2 y1. 2 2 enclosed polygon. that is C

1 x2 y1  x2 y3  x3 y2  . . .  2 x1ys2x b) Sean 1, y1d, sx2, y2d, . . . , sxn, yn d los vértices de un políxn yeln1  encerrada xn y1  xes1 yn. xn1 yn que gono. Demostrar área 1 2 fsx1y2

2 x y d 1 sx2 y3 2 x3 y2d 1 . . . 1 Area In Exercises2 451 and 46, use the result of Exercise 44(b) to sxn21 yn by 2 xthe d 1 sxwith x1 given yndg. vertices. n yn21 n y1 2 find the area enclosed polygon the ÁreaPentagon: En los ejercicios el resultado del ejercicio 45. 0, 0, 2, 045 , y3,46, 2, utilizar 1, 4, 1, 1 44b Hexagon: para hallar vértices 0, el 0,área 2, 0encerrada , 3, 2, 2,por 4, el0,polígono 3, 1, 1cuyos  46. se dan.

Teorema de Green Green’s Theorem

1101 1101

45. Pentágono: s0, 0d, s2, 0d, s3, 2d, s1, 4d, s21, 1d In Exercises 47 and 48, prove the identity where R is a simply 0d, s2, 0d, s3, 2d,C. s2,Assume 4d, s0, 3dthat , s21, 46. Hexágono: connected regions0,with boundary the1d required partial of ythe functions continuous. f and g are En losderivatives ejercicios 47 48,scalar demostrar la identidad, donde R es una The expressions and Dcon the derivatives DN fconexa región simplemente frontera C. Suponer inquethelas N g are direction of parciales the outward normal vector of C, and are defined derivadas requeridas de las N funciones escalares ƒyg by and DNcontinuas. f ⴝ f N, DN g  gD NN. f y DN g son las derivadas en son Las expresiones dirección del vector normal exterior N de C, y se definen por 47. y DN g 5 =g ? N. DNGreen’s f 5 =f first ? N,identity:

 EE

47. Primera de Green:  f  2identidad g  f g dA  R

 E

f DNg ds

C

s f = 2g 1 =f ? =gd dA 5 f DNg ds [Hint: Use the second alternative Cform of Green’s Theorem and R the property div  f G  f div G  f G. [Sugerencia: Utilizar la segunda forma alternativa del teorema 48. Green’s second identity: div s f Gd 5 f div G 1 =f ? G.g de Green y la propiedad

 EE

 E

48. Segunda2 identidad de Green:  f  g  g2f  dA   f DNg  g DN f  ds R

C

s 2 d dA 5 s f DNg 2 g DN f d ds (Hint: Use Green’s first identity, given in Exercise 47, twice.) R C f = 2g

g=2f

Utilizar to la prove primera (Sugerencia: 49. Use Green’s Theorem thatidentidad de Green, dada en el ejercicio 47, dos veces.)

 E

49. Utilizar para demostrar que f x dxelteorema g y dyde Green 0 C

f sxd dx 1 gs yd dy 5 0 if Cf and g are differentiable functions and C is a piecewise smooth closed path. son funciones derivables y C es una trayectoria cerrada si ƒ y gsimple

50. Let where M and N have continuous first partial F  suave Mi  aNj, simple trozos. in 1 a simply connected that if C paris R. Prove derivadas Nj, donde M y N region 50. derivatives Sea F 5 Mi tienen primeras N simple, smooth, and closed, and then  M , x y conexa R. Demostrar ciales continuas en una región simplemente



E ?

que si C es cerrada, simple y suave, y Nx 5 My , entonces F dr  0.

C

F

dr 5 0.

C

SECTION PROJECT

PROYECTO DE TRABAJO

Hyperbolic and Trigonometric Functions Funciones y trigonométricas (a) Sketch the hiperbólicas plane curve represented by the vector-valued function rt  cosh t i  sinh tj on the interval 0  t  5. a) Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r(t) Show that the rectangular equation corresponding to rt is the 5 cosh t i 21 senh t j en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Mostrar que hyperbola x  y 2  1. Verify your sketch by using a graphing la ecuación rectangular que corresponde a r(t) es la hipérbola utility to graph the hyperbola. x 2 2 y 2 5 1. Verificar el dibujo utilizando una herramienta de (b) graficación Let P  cosh the point on the hyperbola , sinh  be para  representar la hipérbola. corresponding to r for  > 0. Use the formula for area b) Sea P 5 (cosh f, senh f) el punto de la hipérbola correspondiente1a r(f) para f > 0. Utilizar la fórmula para el área A x dy  y dx 2 C 1 A5 x dy 2 y dx 2 Cthat the area of the region shown in the figure is 12. to verify

 E

(d) Consider the unit circle given by x 2  y 2  1. Let be the angle formed by the x-axis and the radius to x, y2. The2 area of d) Considerar la circunferencia unitaria dada por x 1 y 5 1. Sea the corresponding sector is 12 . That is, the trigonometric q el ángulo formado por el eje x y el radio a (x, y). El área del secfunctions f    cos 1 and g   sin could have been tor correspondiente es 2u. Es decir, las funciones trigonométricas defined as the coordinates of that point cos , sin  on the unit f sud 5 cos u y gsud 5 sen sin u podrían haber sido definidas como circle that determines a sector of area 12 . Write a short paralas coordenadas del punto scos u, sen sin ud en el círculo unitario que graph explaining how you could define the hyperbolic functions determina un sector de área 12u. Escribir un párrafo breve expliin a similar manner, using the “unit hyperbola” x 2  y 2  1. cando cómo definir las funciones hiperbólicas de una manera y similar, utilizando la “hipérbola unitaria” x 2 2 y 2 5 1. y

(cosh φ, sinh φ) (cosh φ, senh φ )

1 (c) Show that the que areaelofárea thede indicated is also para verificar la regiónregion mostrada en lagiven figurabyesthe 2 f. integral c) Mostrar que el área de la región indicada está también dada por sinh  la integral A 1  y 2  coth y dy.

 E

senh f 0 sinh

A5 f!1 1 y 2 2 scoth fdyg dy. Confirm 0 your answer in part (b) by numerically approximating this integral for   1, 2, 4, and 10. Confirmar la respuesta del inciso b) aproximando esta integral numéricamente para f 5 1, 2, 4 y 10.

(0, 0) (0, 0)

(1, 0) (1, 0)

x x

Larson-15-05.qxd

1102

15.5

3/12/09

20:02

CAPÍTULO 15

Page 1102

Análisis vectorial

Superficies paramétricas n n n n

Comprender la definición y esbozar la gráfica de una superficie paramétrica. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una superficie. Hallar un vector normal y un plano tangente a una superficie paramétrica. Hallar el área de una superficie paramétrica.

Superficies paramétricas Ya se sabe representar una curva en el plano o en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial. rstd 5 xstdi 1 ystdj rstd 5 xstdi 1 ystdj 1 zstdk

Curva en el plano. Curva en el espacio.

En esta sección se aprenderá a representar una superficie en el espacio mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas o mediante una función vectorial. Obsérvese que en el caso de las curvas, la función vectorial r es función de un solo parámetro t. En el caso de las superficies, la función vectorial es función de dos parámetros u y v.

DEFINICIÓN DE SUPERFICIE PARAMÉTRICA Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto de puntos (x, y, z) dado por rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

Superficie paramétrica.

se le llama una superficie paramétrica. Las ecuaciones x 5 xsu, vd,

y 5 ysu, vd, y z 5 zsu, vd

Ecuaciones paramétricas.

son las ecuaciones paramétricas para la superficie. Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es trazada por el vector posición r(u, v) a medida que el punto (u, v) se mueve por el dominio D, como se indica en la figura 15.35. v

z

D

S (u, v)

r(u, v)

y u

x

Figura 15.35

Algunos sistemas algebraicos por computadora dibujan superficies paramétricas. Si se tiene acceso a este tipo de software, utilícese para representar gráficamente algunas de las superficies de los ejemplos y ejercicios de esta sección.

TECNOLOGÍA

Larson-15-05.qxd

3/12/09

20:02

Page 1103

SECCIÓN 15.5

EJEMPLO 1

Superficies paramétricas

1103

Trazado de una superficie paramétrica

z

3

Identificar y dibujar la superficie paramétrica S dada por rsu, vd 5 3 cos ui 1 3 sen sin uj 1 vk donde 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ v ≤ 4. 4

sin u, se sabe que en cada punto sx, y, zd de la Solución Como x 5 3 cos u y y 5 3 sen superficie, x y y están relacionados mediante la ecuación x2 1 y2 5 32. En otras palabras, cada sección transversal de S, paralela al plano xy, es una circunferencia de radio 3, centrado en el eje z. Como z 5 v, donde 0 ≤ v ≤ 4, se ve que la superficie es un cilindro circular recto de altura 4. El radio del cilindro es 3, y el eje z forma el eje del cilindro, como se muestra en la figura 15.36.

y x

Figura 15.36

Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones paramétricas de superficies no son únicas. Es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas que podrían usarse para representar la superficie mostrada en la figura 15.36. EJEMPLO 2

Trazado de una superficie paramétrica

z

Identificar y dibujar una superficie paramétrica S dada por c3

c2

rsu, vd 5 sen sin u cos vi 1 sen sin u sen sin vj 1 cos uk

d1

donde 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. c4

c1

d2

d3

x

Solución Para identificar la superficie, se puede tratar de emplear identidades trigonométricas para eliminar los parámetros. Después de experimentar un poco, se descubre que y

x2 1 y2 1 z2 5 ssin sin u sin sen vd2 1 scos ud2 sen u cos vd2 1 ssen 5 sen sin2 u cos2 v 1 sen sin2 u sen sin2 v 1 cos2 u

d4

5 sen sin2 uscos2 v 1 sen sin2 vd 1 cos2 u 5 sen sin2 u 1 cos2 u

Figura 15.37

5 1. Así pues, cada punto en S se encuentra en la esfera unitaria o esfera unidad, centrada en el origen, como se muestra en la figura 15.37. Para u 5 di , rsu, vd traza circunferencias de latitud x2 1 y2 5 sen sin22 ddii,, 0 ≤ di ≤ p paralelos al plano xy, y para v 5 ci , rsu, vd traza semicírculos de longitud (o meridianos). NOTA Para convencerse de que la función vectorial del ejemplo 2 traza toda la esfera unitaria o esfera unidad, recuérdese que las ecuaciones paramétricas

x 5 r sin sen f cos u,

sen u, y y 5 r sin senf sin

z 5 r cos f

donde 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ f ≤ p, describen la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares, como se vio en la sección 11.7. n

Larson-15-05.qxd

1104

3/12/09

20:02

CAPÍTULO 15

Page 1104

Análisis vectorial

Ecuaciones paramétricas para superficies En los ejemplos 1 y 2 se pidió identificar la superficie descrita por un conjunto dado de ecuaciones paramétricas. El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuaciones paramétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo de superficie para la que este problema es sencillo, es una superficie dada por z 5 f sx, yd. Tal superficie se puede parametrizar como rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk.

z

Representar una superficie paramétricamente

EJEMPLO 3

3

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para el cono dado por

2

z 5 !x2 1 y2 como el que se muestra en la figura 15.38. −2 1 2

Solución Como esta superficie está dada en la forma z 5 f sx, yd, se pueden tomar x y y como parámetros. Entonces el cono se representa por la función vectorial

1 2

x

y

rsx, yd 5 xi 1 yj 1 !x2 1 y2 k

Figura 15.38

donde (x, y) varía sobre todo el plano xy. Otro tipo de superficie fácil de representar paramétricamente es una superficie de revolución. Por ejemplo, para representar la superficie generada por revolución de la gráfica de y 5 f sxd, a ≤ x ≤ b, en torno al eje x, se utiliza y 5 f sud cos v, y

x 5 u,

z 5 f sud sen sin v

donde a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2p.

Representación de una superficie de revolución paramétricamente

EJEMPLO 4

Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la superficie de revolución obtenida al hacer girar z

1 f sxd 5 , x

1 1

y

en torno al eje x. Solución x 5 u,

10 x

Figura 15.39

1 ≤ x ≤ 10

Utilizar los parámetros u y v como se describió arriba para obtener y 5 f sud cos v 5

1 1 cos v, y z 5 f sud sen sin v 5 sen sin v u u

donde 1 ≤ u ≤ 10 y 0 ≤ v ≤ 2p. La superficie resultante es una porción de la trompeta de Gabriel, como se muestra en la figura 15.39. La superficie de revolución del ejemplo 4 se forma haciendo girar la gráfica de y 5 f sxd en torno al eje x. Para otros tipos de superficies de revolución, puede usarse una parametrización similar. Por ejemplo, para parametrizar la superficie formada por revolución de la gráfica de x 5 f szd en torno al eje z, se puede usar z 5 u,

x 5 f sud cos v, y

y 5 f sud sin sen v.

Larson-15-05.qxd

3/12/09

20:02

Page 1105

SECCIÓN 15.5

Superficies paramétricas

1105

Vectores normales y planos tangentes Sea S una superficie paramétrica dada por rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como ru 5

­x ­y ­z su, vdi 1 su, vdj 1 su, vdk ­u ­u ­u

rv 5

­x ­y ­z su, vdi 1 su, vdj 1 su, vdk. ­v ­v ­v

y

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. Por ejemplo, si v 5 v0 se mantiene constante, entonces rsu, v0 d es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C1 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C1 en el punto sxsu0, v0 d, ysu0, v0 d, zsu0, v0 dd está dado por rusu0, v0 d 5 N

z

como se muestra en la figura 15.40. De manera similar, si u 5 u0 se mantiene constante, entonces r(u0, v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C2 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C2 en el punto (x(u0, v0), y(u0, v0), z(u0, v0)) está dado por

(x0, y0, z0) rv C2

ru

rvsu0, v0 d 5

C1 S

x y

Figura 15.40

­x ­y ­z su0, v0 di 1 su0, v0 dj 1 su0, v0 dk ­u ­u ­u

­x ­y ­z su , v di 1 su0, v0 dj 1 su0, v0 dk. ­v 0 0 ­v ­v

Si el vector normal ru 3 rv no es 0 para todo su, vd en D, se dice que la superficie S es suave y tendrá un plano tangente. De manera informal, una superficie suave es una superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que el cono del ejemplo 3 no es suave.

VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA SUAVE Sea S una superficie paramétrica suave rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea su0, v0 d un punto en D. Un vector normal en el punto

sx0, y0, z0 d 5 sxsu0, v0 d, ysu0, v0 d, zsu0, v0 dd está dado por

| | i

­x N 5 rusu0, v0 d 3 rvsu0, v0 d 5 ­u ­x ­v

j

­y ­u ­y ­v

k

­z ­u . ­z ­v

NOTA La figura 15.40 muestra el vector normal ru 3 rv . El vector rv 3 ru también es normal a S y apunta en la dirección opuesta. n

Larson-15-05.qxd

1106

3/12/09

20:02

CAPÍTULO 15

Page 1106

Análisis vectorial

EJEMPLO 5

Hallar un plano tangente a una superficie paramétrica

Hallar una ecuación para el plano tangente al paraboloide dado por rsu, vd 5 ui 1 vj 1 su2 1 v2dk en el punto (1, 2, 5). z

Solución El punto en el plano uv que es llevado al punto sx, y, zd 5 s1, 2, 5d es (u, v) = (1, 2). Las derivadas parciales de r son

7 6

ru 5 i 1 2uk y (1, 2, 5)

rv 5 j 1 2vk.

| |

El vector normal está dado por ru

3 rv

i 5 1 0

j 0 1

k 2u 5 22ui 2 2vj 1 k 2v

lo cual implica que el vector normal en (1, 2, 5) es ru una ecuación del plano tangente en (1, 2, 5) es −3

−2

−1

1

2

2

y

3

3 rv

5 22i 2 4j 1 k. Por tanto,

22sx 2 1d 2 4s y 2 2d 1 sz 2 5d 5 0

3

22x 2 4y 1 z 5 25.

x

El plano tangente se muestra en la figura 15.41.

Figura 15.41

Área de una superficie paramétrica

v

Para definir el área de una superficie paramétrica, se puede usar un desarrollo similar al dado en la sección 14.5. Para empezar se construye una partición interna de D que consiste en n rectángulos, donde el área del rectángulo i-ésimo Di es DAi 5 Dui Dvi , como se muestra en la figura 15.42. En cada Di sea sui, vi d el punto más cercano al origen. En el punto sxi, yi, zi d 5 sxsui, vi d, ysui, vi d, zsui, vi dd de la superficie S, se construye un plano tangente Ti . El área de la porción de S que corresponde a Di, DTi , puede ser aproximada por un paralelogramo en el plano tangente. Es decir, DTi < DSi . Por tanto, la superficie de S está dada por o DSi < o DTi . El área del paralelogramo en el plano tangente es

Di ∆vi

iDui ru

∆ui

3

Dvi rv i 5 iru

3 rv i

Dui Dvi

lo cual conduce a la definición siguiente.

(ui, vi)

u

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMÉTRICA

z

Sea S una superficie paramétrica suave

∆vi rv

rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

S

definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superficie S está dada por ∆ui ru

Área de la superficie 5

EE E E dS 5

S

y x

Figura 15.42

donde ru 5

iru

3 rvi

dA

D

­x ­y ­z ­x ­y ­z i1 j1 k y rv 5 i1 j1 k. ­u ­u ­u ­v ­v ­v

Larson-15-05.qxd

3/12/09

20:02

Page 1107

SECCIÓN 15.5

Superficies paramétricas

1107

Para una superficie S dada por z 5 f sx, yd, esta fórmula para el área de la superficie corresponde a la dada en la sección 14.5. Para ver esto, se puede parametrizar la superficie utilizando la función vectorial rsx, yd 5 xi 1 yj 1 f sx, ydk definida sobre la región R en el plano xy. Utilizando rx 5 i 1 fxsx, ydk

|

se tiene

i rx 3 ry 5 1 0

y ry 5 j 1 fysx, ydk

|

j 0 1

k fxsx, yd 5 2fxsx, ydi 2 fysx, ydj 1 k fysx, yd

y irx 3 ry i 5 !f fxsx, ydg2 1 f fysx, ydg2 1 1. Esto implica que el área de la superficie de S es Área de la superficie Surface area 5

EE EE

irx 3 ry i dA

R

5

!1 1 f fxsx, ydg 2 1 f fysx, ydg 2 dA.

R

EJEMPLO 6 NOTA La superficie del ejemplo 6 no satisface totalmente la hipótesis de que cada punto de la superficie corresponde exactamente a un punto de D. En esta superficie, rsu, 0d 5 rsu, 2pd para todo valor fijo de u. Sin embargo, como el traslape consiste sólo en un semicírculo (que no tiene área), se puede aplicar la fórmula para el área de una superficie paramétrica. n

Hallar el área de una superficie

Hallar el área de la superficie de la esfera unitaria (o esfera unidad) dada por rsu, vd 5 sen sin u cos vi 1 sen sin u sen sin vj 1 cos uk donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. Solución

Para empezar se calcula ru y rv.

ru 5 cos u cos vi 1 cos u sen sin vj 2 sen sin uk rv 5 2sin sin vi 1 sen sin u cos vj sen u sen

|

El producto vectorial de estos dos vectores es ru

3 rv

i j k 5 cos u cos v cos u sen sin v 2sin sen u 2sin sin v sen sin u cos v 0 sen u sen

|

5 sen u cos vi 1 sen u sen sin vj 1 sen sin u cos uk sin2

sin2

lo cual implica que iru

3 rv i

sen vd2 1 ssin 5 !ssin sen u cos ud2 sen22 u cos vd2 1 ssin sen22 u sin sen44 u 1 sen 5 !sin sin22 u cos2 u 5 !sen sin22 u 5 sen sin u.

sen u > 0 para 0 £ u £ p .

Por último, el área de la superficie de la esfera es A5

EE

iru

3 rv i

dA 5

D

EE E 2p

0

5

p

sin u du dv sen

0

2p

2 dv

0

5 4p.

Larson-15-05.qxd

1108

3/12/09

20:02

CAPÍTULO 15

Page 1108

Análisis vectorial

Hallar el área de una superficie

EJEMPLO 7

EXPLORACIÓN

Hallar el área de la superficie del toro dado por

Para el toro del ejemplo 7, describir la función rsu, vd para u fijo. Después describir la función rsu, vd para v fijo.

rsu, vd 5 s2 1 cos ud cos vi 1 s2 1 cos ud sen sin vj 1 sen sin uk donde el dominio D está dado por 0 ≤ u ≤ 2p y 0 ≤ v ≤ 2p. (Ver la figura 15.43.) Solución

z

Para empezar se calculan ru y rv .

ru 5 2sin sin u sen sin vj 1 cos uk sen u cos vi 2 sen rv 5 2 s2 1 cos ud sen sin vi 1 s2 1 cos ud cos vj

|

El producto vectorial de estos dos vectores es ru

3 rv

y

|

i j k 2sin 2sin sin v cos u sen u sen sen u cos v 2 s2 1 cos ud sen sin v s2 1 cos ud cos v 0 5 2 s2 1 cos ud scos v cos ui 1 sen sin v cos uj 1 sen sin ukd 5

x

lo cual implica que Figura 15.43

iru

3 rv i

sen v cos ud2 1 sen 5 s2 1 cos ud!scos v cos ud2 1 ssin sin22 u 2 2 2 2 2 2 5 s2 1 cos ud!cos uscos v 1 sen sin vd 1 sen sin u 2 2 2 5 s2 1 cos ud!cos u 1 sen sin u 5 2 1 cos u.

Por último, el área de la superficie del toro es A5

EE

iru

3 rv i

dA 5

D

5

EE E 2p

2p

s2 1 cos ud du dv

0 0 2p

4p dv

0

5 8p 2. Si la superficie S es una superficie de revolución, se puede mostrar que la fórmula para el área de la superficie, dada en la sección 7.4, es equivalente a la fórmula dada en esta sección. Por ejemplo, supóngase que f sea una función no negativa tal que f9 sea continua sobre el intervalo fa, bg. Sea S la superficie de revolución formada por revolución de la gráfica de f, donde a ≤ x ≤ b, en torno al eje x. De acuerdo con la sección 7.4, se sabe que el área de la superficie está dada por

E

b

area 5 2p Área de Surface la superficie

f sxd!1 1 f f9sxdg2 dx.

a

Para representar S paramétricamente, sea x 5 u, y 5 f sud cos v, y z 5 f sud sen sin v, donde a ≤ u ≤ b y 0 ≤ v ≤ 2p. Entonces, rsu, vd 5 ui 1 f sud cos vj 1 f sud sen sin vk. Tratar de mostrar que la fórmula Surface area 5 Área de la superficie

EE

iru

3 rv i

dA

D

es equivalente a la fórmula dada arriba (ver ejercicio 58).

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 10/27/08 1:46 1:46PM PM Page Page1109 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:02 Page1109 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page Page 1109 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page 1109

15.5 Parametric Surfaces SECCIÓN 15.5 paramétricas 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Superficies Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric Surfaces 15.5 15.5 Parametric Surfaces 15.5 Parametric ParametricSurfaces Surfaces 15.5 Parametric Surfaces

1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109 1109

Exercises See www.CalcChat.com forfor worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. 15.5 www.CalcChat.com forfor worked-out solutions toto exercises. 15.5 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions toodd-numbered odd-numbered exercises. 15.5 Exercises Ejercicios See 15.5 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions exercises. 15.5 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions tototo odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 15.5 See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 15.5 In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its InIn 1– 6,6, the function with En los ejercicios 16,match amatch 6, relacionar la función vectorial con su its gráInExercises Exercises 1– match thevector-valued vector-valued function with its Exercises 1– the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6,6,6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] In Exercises 1– 6, match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] fica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] In Exercises 1– match the vector-valued function with its graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph.[The [Thegraphs graphsare arelabeled labeled(a), (a),(b), (b),(c), (c),(d), (d),(e), (e),and and(f(f).] ).] graph. graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f(f).] ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and (f ).] graph. [The graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), and ).] z zzz z z zz z (a) (b) (a) (b) a) b) (a) (b) (a) (b) z z (a) (b) zzz zzz zzz zzz (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) 222 2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2

2 22 2 2222 2 1 11221 1111111 −− 2−−22 2−1−1 −1 −1 1 1 1 2 2 2 y yy y −1 −−−−2−222− −1−1 −222−1 −1 −1 2 22 2 111111 222 −1 yyyyyyy x xx x 2222 22 11 22222 2 xxxxxxx

2 222 2 12111221 1 111111

yyyy y 2222 2yyyyyyy 22 2222 2 22xx2x22x x 2222222 xxxx x xx

z zz z zzzz zzz

(c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) (c) c) (c) (c) (c)

z zz z zzzz zzz 2 22 2 2222222

(d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) (d) d) (d) (d) (d)

2 22 2 2222222 4 44 4 4444444

4 x xx x 444 4 44 xxxxxxx 4444

(e) (e) (e) (e) (e) e) (e) (e) (e) (e) (e) (e)

y yy y yyyyyyy x

z zz z zzzz zzz

(f)(f)) ) (f(f (f ))) ) f))(f (f(f (f (f (f ))

4 44 4 4444444 −− 4−−44 4 −−−−4−444− −444 4 44 4 4 x xx44x4444 x xxxxxx

4 44 4 4444444

y yy y yyyyyyy

2 22 2 222 2 x 222

2 22 2 2222222

2 22 2 2222222

u,u, 13. vvvv 13. ru, 13.rrru, 13. r u, 13. u,u,u, 13. 13. vvvvvvv 13. 13. r0u, u, 13.0rrr0rru, 13. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 14. v vv 14. ru,u, 14.rrr0u, 14. r u, 14. u,u,u, 14. 14. vvvvvvv 14. 14. r0u, u, 14.0rrr0rru, 14. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 15. v vv 15. ru,u, 15.rrr0u, 15. r u, 15. u,u,u, 15. 15. vvvvvvv 15. 15. r0u, u, 15.0rrr0rru, 15. 0 uuuuu 0 000 00u, uuvuuuu 16. v vv 16. ru,u, 16.rrr0u, 16. r u, 16. u,u,u, 16. 16. vvvvvvv 16. 16. ru, u, 16.rrrrru, 16. 0000 uuuu 0000000 uuuuuuu

senh cos vivi senh senh sen vjvj cosh cosh uk 222senh uuucos vivi uuusen vjvj uk 2senh senh ucos cos senh usen sen cosh uk senh cosh uk uuu cos vi senh uuu sen vj cosh uk senh cos vivi senh sen vjvj cosh uk 22senh senh uucos cos vi senh uusen sen vj cosh uk 22222, senh u vi senh u vj cosh uk senh cos vi senh sen vj cosh uk senh cos vi senh sen vj cosh uk 2 senh u cos senh u sen cosh uk 2,2,2, 0000 vvvv 2222 2, 2,2,2, 2, 0000000 vivvvvvvv 2u 2222222sen vj vk 2, 2, 2u cos 2u cos vivivi 2u sen vjvjvj vk 2u cos 2u sen vk 2u cos 2u sen vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vivi 2u sen vjvj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos vi 2u sen vj vk 2u cos 2u sen vk 1,1, 0000 vvvv 3333 1,1, 1, 1,1,1, 1, 000000senvvvvuvvv cos 3333333vi 1, cos sen vjvj uk uk uuu1,u 0sen uucos vivivi 1111 cos uuusen vjvj sen ucos cos cos usen sen uk sen cos uk sen uuu ucos cos vi 111 1 cos cos uuu usen sen vj uk sen cos vivi cos sen vjvj uk sen cos vi cos sen vj uk uuuuuu,u sen u vi 1 u vj uk sen cos vi cos sen vj uk sen u cos vi 1 cos u sen vj uk sen u cos 1 cos u sen uk , , , 0000 vvvv 2222 vv 2222222 3 3 3 ,,,, ,3,,300003u000cosvvvvvvi cos sen sen vjvj uk uk cos vivi vjvj 3uucos cos ucos cos vi sen sen usen sen uk 3 33u cos sen uusen uk 3 cos vi sen vj uk 33 33 33333 cos cos vivi sen sen vjvj uk cos uucos cos vi sen uusen sen vj uk cos uuuu33ucos vi uuu3u3usen vj cos cos vi sen sen vj uk cos cos vi sen sen sen vj uk uk cos cos sen sen uk , , , 000 v vv 222 222,,,,2, , 000000 vvvvvv 222222 2 222222,, 00 vv 22 Think About ItItEn In Exercises 17–20, determine how the graph Think About ItIt InIn Exercises 17–20, how the graph Think About In Exercises 17–20, determine how the graph Think About Exercises 17–20, determine how the graph Para pensar los ejercicios 17 a determine 20, determinar cómo la gráThink About It In Exercises 17–20, determine how the graph Think About ItItIt In Exercises 17–20, determine how the graph Think About Exercises 17–20, determine how the graph Think About It Exercises 17–20, determine how the Think About It In Exercises 17–20, determine how the graph of the surface sIn u, vvsdiffers differs from the graph ofof ru, u, Think About It sIn In Exercises 17–20, determine how the graph u, vExercises rthe vu, of surface from the graph ofof Think About 17–20, determine how graph sIn u, rrgraph u, ofthe the surface differs from the graph s u, v r u, vvvvc 5 of the surface differs from the graph fica de la superficie difiere de la gráfica de x u, v c x s u, v r u, v of the surface differs from the graph of 2 s u, v r u, v of the surface differs from the graph of 2 of the surface ssu,1 u, differs from the graph of u, vvand 2 svj u, vuvvuvvu the surface from the graph of the surface svj differs from the graph of u, (see figure), where and k uof cos vivi 1 usen sen uurrrru, u, ru of the surface differs from the graph of k22differs (see where uof cos vivi 1 uu vjvj 0000 of u 2u, the surface s1 u, differs from the graph vand (seefigure), figure), where ucos cos vi 1 usen sen 1 2vvand k (see figure), where 1 1 u222u u 22u, 0of 2 y (ver la figura) donde cos 1 sin vj 1 kk sen 2k 2 (see figure), where and uuu cos vi 1 sen vj 1 (see figure), where and cos vi 1 u.uu sen vjvj 1 unecessary uuu 2k (see figure), where and cos vi 1 u sen vj 1 u 2necessary k2kk (see figure), where cos vi 1 uu sen vj 1 uu 0000000 uu 2222222and (see figure), where and vi 1 u sen vj 1 u u (It is not necessary to graph s.) v 2 . k (see figure), where u cos vi 1 u sen vj 1 u u (It is not to graph s.) 0uuu00uu v 2 (see figure), where and k cos vi 1 sen 1 u (It is not to graph s.) 0cos v 2 . (It isnot not necessaryto tograph graphs.) s.) s gráficamente.)and v v 22 2. .(It (No es necesario representar 0 . is necessary 0 v (It isisis not necessary toto graph s.) (It not necessary to graph s.) ..(It is not necessary to graph s.) 000000 vvvvvv 222222... .(It (It is not necessary to graph s.) (It is not necessary to graph s.) not necessary graph s.) zz z zz zzzz zzz 4 44 4 4 4444444

y yy y yyyyyyy

r(u, v)v) r(u, v)v) r(u, r(u, r(u, v) r(u, v) r(u, v)v)v) r(u, r(u, v) r(u, v) r(u, v) r(u,

z zz z zzzz zzz 2 22 2 2222222

−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 2 22 2 22222y22yy y yyyyyyy

u,u, uiui vjvj vjvj uvk uvk 1.1.rrru, vvvv uiui 1.1. ru, uvk uvk u, ui vj uvk 1. u,u,u, uiui vjvj uvk 1.1.1. ui vj uvk rrrrrrru, vvvvvvvv ui vj uvk 1. u, ui vj uvk 1. r u, ui vj uvk 1. uvk u, u cos vi u sen vjvj uk uk 2. vvv uucos vivivi uusen vjvj 2.2.2.rru, ru,u, ucos cos usen sen uk uk rrr ru, u, vvv v uuuu cos vi uuu sen sen vj uk 2. u,u,u, cos vi sen vjvj uk 2.2.2. uucos cos vi u sen vj uk 1vi r v u vj uk 2. 1vi u, cos vi sen vj uk 2. 1 r u, v cos vi u sen vj uk 2. r v u cos u sen uk u,u, uiui 21112u2uuu vvvjvjj j vk vk 3.3.rrru, vvvv uiui 3.3. ru, vk vk u, ui vk 3. u,u,u, uiui vkvk 3.3.3. ui 112212221111uu12312u1uu3uu3 vvvvvvvjjjjjjj vk rrrr ru, vvv v ui 3. ui vk 3. rru, vk u,u, uiui vk 4.3. vvvvvvv ui 4. u, ui 4111v4221v4v33j3vjj j vk vk vk 4.rrrru, u, ui vk 4. rrr ru, u, vvv v ui ui v1v1v133vjj3jj333 j vk vk 4. u,u,u, uiui vk 4.4.4. 4144v ui vk r v 4. u, ui vk 4. r u, v ui v j vk 4. 4 r v v j vk 4 4vcos u,u, cos uiui 222cos cos sen ujuj 222sen sen vk 5.5.rrru, vvvv 222cos v4vv44cos uiui vvvsen ujuj vk 5.5. ru, 2cos cos cos 2cos cos vsen sen 2sen sen vk cos vk u, cos ui sen uj vk 5. u,u,u, cos cos uiui cos sen ujuj sen vk 5.5.5. 22cos cos vvcos cos ui 22cos cos vvsen sen uj 22sen sen vk rrrrrrru, vvvvvvvv 222242cos vvvvui cos ui 2222uj cos vvvvvk sen uj 22222sen vk 5. u, cos ui cos uj sen vk 5. r u, cos cos ui cos sen uj sen vk 5. cos v cos 2 cos v sen sen vk u, cos 4 sen 6. vvv 44cos uiuiui 44sen ujujuj vk 6.6.6.rru, ru,u, 4cos cos 4sen sen vk vk r u, ui 4 4sen uj vk 6. u,u,u, cos uiui sen ujuj vk 6.6.6. 44cos cos ui sen uj vk vvvvvvv 44444cos ui uj 6. cos ui uj vk 6. ru, u, cos ui 4444sen 4sen sen uj vk vk 6.rrrrru, cos sen vk In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface InIn Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface En los ejercicios 7 a 10, hallar la ecuación rectangular de la by eliminating the parameters from the vector-valued function. In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface by eliminating the parameters from the vector-valued function. In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. by eliminating the parameters from the vector-valued function. superficie por eliminación de los parámetros de la función vecIdentify the surface and sketch its graph. by eliminating the parameters from the vector-valued function. Identify the surface and sketch its graph. by eliminating the parameters from the vector-valued function. Identify the surface and sketch its graph. Identifythe thesurface surfaceand andsketch sketchits itsgraph. graph. Identify Identify the surface and sketch graph. Identify the surface and sketch its graph. Identify the surface sketch its graph. Identify the surface and sketch its graph. torial. Identificar laand superficie yits dibujar Identify the surface and sketch its graph.su gráfica. Identify the surface and sketch its graph. v vv u,u, uiui vjvj vjvj vvvvkvk k 7.7.rrru, vvvv uiui 7.7. ru, v2vkv2k k r u, v ui vj 7. 2 u,u,u, uiui vjvj 7.7.7. ui vj vvvvvv ui 7. ui vj 7. ru, u, ui vj vj 2222k2k k 7.rrrrru, kk 1 22 22u 222u u,u, 2u cos vi sen vjvj 121112u12u2u2k 8.8.rrru, vvvv 2u cos vi sen vjvj 8.8. u2 kk ru, 2u cos vi 2u sen 2ucos cosvivi 2u 2u sen 1 2 2k 11211u r u, v 2u sen vj 8. r u, v 2u cos vi 2u sen vj 8.8.8. 2 2 r u, v 2u cos vi 2u sen vj 22 k r u, v 2u cos vi 2u sen vj 8. uu2122u2uukk kk r u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 8. r u, v 2u cos vi 2u sen vj r u, v 2u cos vi 2u sen vj 22 2u r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9.8. 2 r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9.9. cosuiui vjvj 22sen senuk uk kk 9. rru,u,vv 22cos r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. ru, 22cos cos ui vj 22sen sen uk v v 2 cos uivui vj uk 9. vjui uk 9.9.9. rru,u, u, cos ui vj 222sen sen 9.rrrrru, u,u, cos vj sen cos cos cos vuk sen ujuj 555sen sen vk 10. vvvvvvv 32332cos vui cos ui vuk sen ujuj vk 10. 3cos cos vcos cos 3cos cos vsen sen 5sen sen vk 10. u,u, uiui 3333cos vk 10. rrrrru, u, vvv v 3333 cos cos vvvvcos cos ui cos vvvvsen sen uj 5 5sen vk 10. u, cos cos ui 3 cos sen ujuj sen vk 10. u, 3 cos v cos ui 3 cos sen uj sen vk 10. r v v ui 3 cos v uj vk 10. u, cos cos ui 3 cos uj vk 10. cosvvcos cosui ui 33cos cosvvvsen sen uj 5555sen 5sen sen vk 10. rr u,u,vv 33cos sen sen vk 10. CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system toto graph the CAS Exercises 11–16, aaautilizar computer system toto graph the En los ejercicios 11use ause 16, un algebra sistema algebraico por compuCASIn In Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system graph the CAS In Exercises 11–16, algebra system graph the CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system to graph the CAS In Exercises 11–16, use computer algebra system toto graph the CAS In Exercises 11–16, use athe computer algebra system to graph the CAS In Exercises 11–16, use aaaathe algebra system to graph CAS In Exercises 11–16, use algebra system to graph the surface represented by vector-valued function. CASsurface In Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system to graph the represented by the vector-valued function. CAS tadora yrepresented representar gráficamente la superficie dada por lathe funIn Exercises 11–16, use acomputer computer algebra system graph the surface represented by vector-valued function. surface by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. surface represented by the vector-valued function. ción vectorial. surface represented by the vector-valued function. 4 4k 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u 11. r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 4 r u, 2u cos vi 2u sen vj u4 k4k444k 11. u,u,u, 2u cos vivi 2u sen vjvj 11. 2u cos vi 2u sen vj 11. vvvvvvv 2u cos vi sen vj 11. 2u cos vi 2u sen vj 11. ru, u, 2u cos vi 2u 2u sen vj uuuu4uukk 11.0rrr0rru, 2u 2u sen kk 11. 1, 1, 0cos 00 uuuuu 1, 1, 000 vvvvv 22222 0 1, 0 0000 uuuuuu 1, 1,1,1, 0000 vvvvvv 222222 0 0 0 1, 0 1, u,u, cos cos uiui 444cos cos sen ujuj sen sen vk 12. vvvv 222cos vvvcos uiui vvvsen ujuj vk 12. ru, 2cos cos vcos cos 4cos cos vsen sen sen vk 12.rrru, sen vk 12. r u, vvv cos cos ui 444 cos vvv sen sen uj sen vk 12. u,u,u, cos cos uiui cos sen ujuj sen vk 12. 22cos cos vvcos cos ui 44cos cos vvsen sen uj sen vk 12. vvvvvuvv 222222cos v ui 4 v uj sen vk 12. cos ui cos uj sen vk 12. r0u, u, cos cos ui cos sen uj sen vk 12.0rrr0rru, cos v cos 4 cos v sen sen vk 12. 0 uuu 222, ,, , 0000 vvvv 2222 0000000 uuuuuuu 2222222,,,, ,,, 0000000 vvvvvvv 2222222

2 x xx x 22222 x 22 xxxxxxx 2222

−2 −2 −2 −2 −2 −2 −2−2 −2 −2 −2 −2 2 22 2 y yyyy 2 y 2222222 yyyyyy

u,u, cos vivi uuusen sen vjvj uu2u2ku22k 17. k2k vvvv uuucos vivi vjvj 17. su, ucos cos usen sen 17.s ssu, 17. 2 sss u, u, vvv v uuuu cos cos vi uuu sen sen vj uuu222ukk 17. u, cos vi sen vj 17. k 2k 2 17. s u, u cos vi u sen vj 2 s v vi u vj u 17. u, cos vi sen vj 17. k cos sen 17.00ss0u,u,uvuvu 2,2, uu2,cos 17. 22 vjvj uu kk 0000vivivvvvuu2sen 0 u 2, 2 0 u 2, 0 v 2 0 u 2, 0 v 2 2, 00000 vvvvv2 2222222 00 00u, uuvuuu 2, 18. u2, cos vivi uuu2ju2jj j uuusen sen vk 18. vvv u2, cos vivi vk 18.s ss0u, usen sen vk su,u, u2, cos 18. cos vk 18. vk sss u, u, vvv v uuuuucos cos vi 18. u, cos vivi sen vk 18. u, u cos vi uusen sen vk s 18. vk s v vi uuuu2u22uujjj2j222jjj2 uuuuusen 18. u, vi sen vk 18.00ss0u,u,uvuvu 2,2, sen vk cos vi 18. uucos cos sen vk 0 v 0 v 2 0 u 2,2,2, 000 vvv 222 2,2,2, 0000s000u, uuuvuuuu 2, 000000vi vvvvvvu sen 222222vj 2u2k2 cos 19. s vvv u2, vivivi uusen vjvjvj uu2ku2kk 19. su,u, u2, cos usen sen 19. uucos cos 19. ssu, u, v u cos vi u sen vj 19. u,u,u, cos vivi sen vjvj uuuu222ukk 19. k222k 2 19. ssu, uucos cos vi uusen sen vvvvuvv uuu3, cos vi uuuusen vj 19. vi vj 19. k u, cos vi sen 19.0sss0su, u cos sen 19. 0 v 2 u 3, 0 v 2 0 uu 3,3, 00 vv 22 vjvj uu kk 0 3, 3,3,3, 0000 00u, uuuvuuuu 3, 0000000 vivvvvvvv 4u 2222222sen vj 2u2k2 3, 3,cos 20. 4u cos 20. vvv 4u vivivi 4u sen vjvjvj uu2ku2kk 20.s ss0u, su,u, 4u cos 4u sen 20. 4u cos 4u sen 20. s u, v 4u cos vi 4u sen vj 20. u,u,u, 4u cos vivi 4u sen vjvj uuuu222ukk k222k 2 20. ssu, 4u cos vi 4u sen 20. vvvvuvv 4u cos vi 4u sen vj 20. 4u cos vi 4u sen vj k 20.0sss0su, u, 4u cos vi 4u sen 20. 4u cos 4u sen 2, 0 v 2 u 2, 0 v 2 0 uu 2,2, 00 vv 22 vjvj uu kk 0 2, 0 v 2 2,2,2, 0000000 uuuuuuu 2, 2, 2, 000000 vvvvvv 222222 In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph InIn Exercises 21–30, find aaavector-valued function whose graph InExercises Exercises21–30, 21–30, find avector-valued vector-valued function whose graph find function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find aaaaaaavector-valued function whose graph In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. En los ejercicios 21 a 30, hallar una función vectorial cuya gráIn Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. In Exercises 21–30, find vector-valued function whose graph is the indicated surface. is the indicated surface. is the indicated surface. isisis the indicated surface. the indicated surface. is the indicated surface. is the indicated surface. fica sea la superficie indicada. is the indicated surface. the indicated surface. 21. ElEl plano z zzz yyyy 21. plano 21.ElEl plano 21. plano 21. El plano 21. El plano 21. El plano zzz z yyy y 21. El plano 21. El plano 21. El plano 21. El plano 22. ElEl plano 22. plano xzxxzzx yyyyyyy z zzz 6666 22.ElEl plano 22. plano 22. El plano 22. El plano 22. El plano 22. El plano xxxx x yyyy yy 2zzzz2z2zz 666662662 2 22. El plano 22.El El plano 22. El plano 23. El cono 4x 9z9z 23. cono yyyxyx y4x 23. El El cono 4x 22 9z 22 23. cono 4x 9z 23. El cono y 4x 9z 222222 222222 23. El cono 4x 9z 2 9z 2 23. El cono 4x 9z 23. El cono yyyyyy 4x 23. El cono 4x 23. El cono 4x 9z 23. El cono 4x 9z 2 2 9z 22 2 2 24. El cono x 16y z 24. cono xxx 16y 24.ElElEl cono 16y 222 2 zzz222z2 24. cono 16y x 16y 24. El cono 2 2 2 2 24. El cono x 16y z 2 22 24. El cono 16y zz222 24. El cono xxxxx 2 2 216y 24. El cono 16y 24.El El cono 24. El cono z25 2y2 2 zz 25. El cilindro 25 xxx22x 16y 25. cilindro y16y 2 25. El El cilindro y 25 2 25. cilindro y 25 2 2 25 25. El cilindro 22x222 25. El cilindro 25 2 y 25. El cilindro 25 xxxx4x 25. El cilindro 25. El cilindro yy2y2yy2y22222 2 25 25 25. El cilindro 25 2 22 y xx4x 25. El cilindro 25 16 26. El cilindro 26. cilindro y 16 16 26.ElEl El cilindro4x4x 222 2 yyy222 16 26. cilindro 2 4x 16 26. El cilindro 2 2 2 2 4x y 16 26. El cilindro 2 2y 2 16 2 2 4x y 16 26. El cilindro 2 2 4x 26. El cilindro 4x y 16 26. El cilindro 4x y 16 26. El cilindro 2 4x 16 26. El cilindro 2y z x 27. El cilindro z x 27. El cilindro 2 z x 27. El cilindro 27. El El cilindro cilindro zz xx2222 2 27. 27. El cilindro 27. El cilindro 27. 27. El cilindro 27.El Elcilindro cilindrozzzxzzz2x2x2 2xxxxxxy2222y2y2 2 z2z22z2 27. El cilindro 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. El elipsoidexxxxx2222xx2222 yyyyy2222yy2222 zzzzz2222zz2222 1111 28. El El elipsoide elipsoide 28. 9x9 4y4 1z1 1 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. El elipsoide 28. 28.ElEl Elelipsoide elipsoide999999 444444 111111 111111 28. elipsoide 99the 4plane 9theplane 4 1z1z1z 444that 4plane 29. The part ofofthe that lies inside the cylinder 29. 29.The Thepart partofof thatlies liesinside insidethe thecylinder cylinder z 44 that 29. The part the plane that lies inside the cylinder 29. The part of the plane lies inside the cylinder 2 1 2 5 2 2 29. The part of the plane that lies inside the cylinder 2 2 zz 444444that 29. The part of the plane that lies inside the cylinder 2 2 zzzzzinterior 29. The part of the plane lies inside the cylinder z 5 4 x y 9 La parte del plano al cilindro 29. of the plane that lies inside the cylinder xx2The yypart 9 29.xThe The part of the plane that lies inside the cylinder ypart 9 2 2 29. of the plane that lies inside the cylinder x y 9 yyy2222y2222 999999 222x222 2 y xxxxThe x y 9 2xx222 1 2yy222 that x y 9 z 5 30. La parte del paraboloide interior al cilindro z 30. part of the paraboloid lies inside the y z x 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2 2 30. The The part part ofof the the paraboloid paraboloid z z x22x y22y that that lies lies inside inside the 30. the 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2 1 2 2of 2 2paraboloid 30. The part of the paraboloid that lies inside the 2y 30. The part the paraboloid that lies inside the zzzzzzz xxxx2x2xx2222 yyyy2y2yy2222that 30. The part lies inside the xcylinder yx2 2x2of 5 9the 30. The part of the paraboloid that lies inside the 9 cylinder 30.cylinder The part of the paraboloid that lies inside the y 9 2 2 30. The part of the paraboloid that lies inside the y 9 x 2 y 9 cylinder x 2 2 cylinder cylinder cylinder cylinder xxxx2x2xx2222 yyyy2y2yy2222 9999999 cylinder cylinder cylinder

Larson-15-05.qxd 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp 1053714_1505.qxp

(

3/12/09 20:03 1110 10/27/08 1:46 PMPage Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110 10/27/08 1:46 PM Page 1110

(

1110 Chapter 15 Vector Analysis 1110 Chapter Vector Analysis 1110 1515 Vector 1110 Chapter CAPÍTULO 15 Analysis Análisis vectorial 1110 Chapter 15 Vector Analysis 1110 Chapter 15 Vector Analysis Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of Area In Exercises 39– 46, find 1110 Chapter 15 Vector Analysis Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the region. Use a computer( parametric equations for the surface of revolution obtained by Surface of Revolution In Exercises 31– 34, write a set of given Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over 1110 Chapter 15 Vector Analysis Superficie de revolución En los ejercicios 31 a 34, dar un conÁrea En los ejercicios 39 a 46, hallar el área de la the superficie

parametric equations the revolution obtained by of given region. Use adada. computer algebra system to verify your revolving thegiven graph ofla the function about the given axis. parametric equations forfor the surface of of revolution results. region. Use a computer system verify your Surface of Revolution Insurface Exercises 31– 34,obtained write abyset Area In Exercises 39– 46,algebra find the area ofto the surface over the junto de ecuaciones paramétricas para la superficie de sobre sistema por compuSurface of Revolution In Exercises 31– 34,axis. write a revoluset of results. Area Inregión Exercises 39–Utilizar 46, findun the area ofalgebraico the surface over the revolving the graph the function about the given axis. results. revolving the graph of of the function about the given parametric equations for the surface of revolution obtained by given region. Use a computer algebra system to verify your ción obtenida por revolución de la gráfica de la función en torno tadora y verificar los resultados. Surface of equations Revolutionfor In 34, write a set of Area region. In Exercises 46, find algebra the area system of the surface over the part of the plane parametric theExercises surface of 31– revolution obtained by given Use a39– computer to verify your Función Eje de revolución 39. The Surface oftheRevolution Exercises 31–the 34,given write a set of Area In Exercises 39– 46, find the area of the surface over the revolving graph of theIn function about axis. results.region. al eje dado. parametric surface ofrevolución revolution byx 39.39. given Use a plane computer to Función de v= 4ui vk,verify Thepart where revolving theequations graph of for thethe function the given obtained axis. 39. Lapart parte deltheplano r(u, 4ui4ui–system vj vj+ vk, vk, donde results. Función EjeEje deabout revolución 0youru 2 y 0 v 1 r u,r v) vu, algebra vj The of ofthe plane where parametric equations for the surface of revolution obtained given region. Use aeje computer algebra system to verify your 31. y by , 00 results. revolving graph of the function about given axis. 0x uThe u6 2 ypart 2 0y 0 of v vthe 1 1xplane r u, v Eje de the revolución Función 4ui vj vk, 39. where x the xFunción 40. where The part of the paraboloid 2 revolving the graph of the function about the given axis. results. Eje de revolución 4ui vj vk, 39. The part of the plane r u, v y y , ,0 0 x x 6 6 x x 31.31. ejeeje 0 u 2 0 v 1 y r u, v 2u cos v i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid 40. La parte del paraboloide r(u, v) = 2u cos vi + 2u sen vj +2 k, u2k, u r u, v 2u cos v i 2u sen vj where 0 u 2 y 0 40. The part of the paraboloid 2 x 2Función Eje revolución 32. y r u, v 4ui vj vk, where 0xThe 4upart2 yof0 the v xplane 1 x, 0239. eje x, 0 x 6 31. yFunción eje xde 2 Eje de revolución r u, v 4ui vj vk, 39. The part of the plane where 0 u k, 0 u 2 v 2 where y donde u 0 u 2 0 v 2 k, where y r u, v 2u cos v i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid y , 0 x 6 x 31. eje 2 0 part u of 2 ythe 0 v 1 r u, v y y x, x,2x0 0 x x 4 4 x x 32.32. ejeeje 2u cos v i 2u41. senThe vj part of the cylinder r 0 The 33. x sen z, 40. eje z 1 0uz2 k, uwhere 2 0y 0 paraboloid 31. y eje x x, 0 x 6 u v rr2su, 0vd vr5u, vaa cos yr vu, a 22cos ui av sen uj vk, 41. The of the cylinder 0 u 2 and 0 ui a sen uj vk, where 41. The part of the cylinder 41. La parte del cilindro donde sen 2part u, cos ui 1 a sin uj 1 vk, v 2u cos i 2u sen vj 40. The part of the paraboloid 32. x, 0 x 4 2 u 0 u 2 0 v k, where y y , x 6 x 31. eje x sen z, 0 z z 33. eje 33. x 32. sen eje z eje x y0 v v br u, 0 The y0 part 2uof2 the 34. z y2 1, eje y z, 2 0x, 0z x 4 v 2u cos v i 2u sen vj 40. paraboloid 2 b where and 2 0 u 0 where and r u, v a cos ui a sen uj vk, 41. The part of the cylinder y 0 ≤ v2≤y b0 v 2 ≤ where u ≤ 2p u 2k, a sen u 33. a cos ui a sen42. uj The vk,sphere r u, v 41. The of00 the uucylinder z y2yxy2 1,sen y xz 1, x,z, 32. eje z 33. y eje 0z, 0 0y yx z2 24 34.34. ejeeje uwhere 2aysen 0ruu,vcos vv vbi21 k, part where 0u,r vu, uvrthe 0cos and 42. La esfera su,a 2sen vcylinder d sen 5 sin aof sin uvjsen sin vj 1a cos uk,0 u sen x, 00 xz 4 32. xy sen eje zx a u v i a sen u sen a cos uk, The sphere 0 vI r u cos v i a sen u sen vj a cos uk, where and 42.42. The sphere Tangent Plane In Exercises 35–38, find an equation the r u, v a cos ui a sen uj vk, 41. The part of 2 where 0 u 2 and 0 v b y2 z, 1, 0 0 z y 2 34. xz sen eje zy 33. eje u, vk, 41. The part the donde y0and ≤and 0av sen ≤by ≤cos 0sphere vvu2rthe 22vp where zx Plane ysen yz an 0 z y 35–38, 235–38, 34. eje 0 surface u00u≤of 0cylinder ruand u, v2p v ib aacos senui u senavjsen43. aujcos uk,part of the cone r u,b 42. The Tangent In find equation z,1, 0Exercises 33. Plane ejean Tangent In Exercises find equation of of thethe planewhere tangent to the represented vector-valued u 0 v where The ru u, v2 and a sen u cos ib a sen u sen vj a cos uk, 42. The sphere 2 0 del v vcos where z plane yto yby 1,the 0surface y represented 2 34.plane eje where sen 43. La parte cono donde rsu, v0d v5 au viavi 1sen auuau sin vj 1 uk, tangent represented vector-valued 2 to r 0sen au sen uk, 43. Thepart part the cone given point. tangent the by thethe vector-valued rand v0u, au cos vi au sen vj where 43.the The of00ofthe Plano En los 35 afind hallar unafunction ecuación Tangent Plane In Exercises 35–38, an equation of theat z tangente yPlane y38, 1, surface 0 Exercises y ejercicios 2 35–38, 34. eje ruucone u, v and au, u vvcos v22icos sen vjvj auk, cos uk, 0 u b and 0 vI 42. The sphere where Tangent In find an equation of the ryand v≤0 vcone a sen u sen vjsenavjcos uk, 42. The 0 ≤0sphere upart 0the 2vp function the given point. bu, 0 ≤av 0sen 2v v2i au cos where and function atelat the given point. u0≤u bbof 2uu,vcos where para plano tangente a la superficie dada by porthe la función vectotangent plane to the surface represented vector-valued r vi au uk, 43. The u where and a b co 44. The Tangent plane Plane to In 35–38, findbyanthe equation thev tangent theExercises surface represented vector-valued 35.ofr u, u43. vThe i part u0 of vuj the vk, r u,v1,v 1 2 au cos vi au sen vj uk,torus r u, v cone 01, where and Tangent In Exercises 35–38, find an equation of the 44.44. rial, en elPlane punto indicado. function at the given point. 0 u b 0 v 2 where and 44. El toro r s u, v d 5 s a 1 b cos v d cos ui 1 s a 1 b cos v d sin uj 1 sen r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj The torus a b sen vk, > b, 0 u r u, v a b cos v cos ui a b cos v sen uj where The torus tangent surface 43.z where The part conez0 r u,v v 2 au cos vi au sen vj uk, v itheu point. u v jv j represented 35.35. r function u,r vu, v plane uat uthe v to igiven vk,vk, 1, 1, 1,by 11, 1the vector-valued 0 ofu theb and tangent plane to the surface represented by the vector-valued rb≤u, v2, v≤and au cos vi au senv vj uk, The part of>u, the cone donde y b sin vk, a > b, 0 u 2 p , 0 ≤ v ≤ 2 p sen a 0 u , 0 v 2 b sen vk, > b, where and a 0 u 2 0 v 2 b 43. sen vk, b, where r v a cos cos ui a b cos sen uj 44. The torus function at the given point. 0 r uu, v b and v v 2cos ui where 35. 1 vvdii 1 suu 2 vvdjj 1 zvk, 35. rrsu, u, vvd 5 zsuuzgiven vk, s1, 1, 21, 1, 11d a 00 b cos a b cos v45. senThe uj surface of revolution r torus (1, − 1, 1) 44. The function 0 where u deabrevolución v v22d 5, and where and 35. r u, vat the u v i point. u v j vk,z 1, 1, 1 ! ! 0cos 2vj bLa sen vk, > b,u,r0 bvu,cos 45. superficie vi 1 usen sin 1 cos u sen vjsen 45. The surface of revolution vurusu, u,uiand cos viuvi uvb sen uk, 0 u 4 and 0 I 45. The surface of revolution r u 2 r u, v a v cos a cos v ujvjwhere 44. The torus (1, 1) 2 a 0 2 0 v 2 b sen vk, > b, where (1,35. −1,−1, 1) r u, v u zv i u v j vk, zz 1, 1, 1 r0uu, vurevolution a y00bv ≤rcos vv≤cos ui u cos a vi b cos vu sen uj 44. The torus b donde uk, ≤ ≤ 4 v 2 p uk, where 0 4 and v 2 uk, where 0 u 4 and 0 2 2 2u z v i 35. r(1,u,−1, v 1) u v j vk, 1, 1, 1 sen vj 45. The surface of u, a > b, 0 r uu, v 2 , and 0 viv 2u46. b sensurface vk, The surface of revolutio 2 2 − 2 where vj 45. The of revolution u cos arevolución 0 0 rusu,vv2d 5 ,2and 0 cosvvi 12 ujsen buk, sen vk, > 4b,and where z z 1 I − 1 (1, −1, 1) where 0 u 46. La superficie de sen u sin u 1 sen 2 z Theuk, surface revolution r vvv1) u, v 2sen u vi cos 46.46. The surface of u, ucos cos vi vi uj z 2 1, u uj sensen vj u sen vk, where 0 u 45. The surface ofrevolution usen where 0 of urevolution 4 and 0rr u, 1 (1, (1, −1, 1) −12 −1− 2 − 2 2 cos viu cos vi u senuj vj 45. The surface of sen sin usen sin vk, donde yr and 0urevolution pand 0u,0≤vv0rv vu, ≤2vv2up 2 where sen uThe sen vk, 0of≤uu4revolution u≤and 2sen where sen u vk, 0 2 46. surface (1, −1, 1) (1, 1, 1) y (1, 1, 1) uk, where 0 0 2 I −2 1 1 2 46. The surface of revolution r u,2v sen u cos vi W RujI T I N G A B O U T C OCAS −1 − 2 x uk, where 0 u 4 and 0 v 2 2 2 N Cs 2 y where and sen u sen vk, 0 u 0 v 2 y 2 −1 (1, 1, 1) The ofC 0Orevolution r u,0 v v sen2u cos vi uj 1 sen uETPST Sand 2I NuGsen x x −2 W46. RTDesarrollo I TN BUOTwhere U TCde WR I46. G Asurface BAOvk, O Nconceptos CNECP 2 1 (1, 1,21) 2 The surface of revolution r u, v sen u cos vi 47.ujDefine a parametric surface −1 y − 2 sen u sen 2 and 0 v 2 u y vk, where 0 2 2 −1 − 2 (1, 1, 1) y x 1 (1, 1, 1) 1 where and sen u sen vk, 0 u 0 v 2 W R I T I N G A B O U T C O N C E P T S 1 47. Define a parametric surface. 47. Define a parametric surface. 2 x 2 −2 −2 48. Give the double integral t 1 y 2y W R IDefinir T I N G una A B Osuperficie U T C O Nparamétrica. CEPTS 47. y 2 2 1 1 2 2 y x 47. Define a parametric surface. Give surface area of W R the IDar T the IN Gdouble Aparametric Bintegral O integral U Tdoble Cthat O that Ncon C Eyields P Tque S the surface over an 48.48. Give double yields the surface area a adeparametric −2 y 2 x 47. 48. obtiene elofárea la W RDefine I T I NlaGaintegral A B O Uover T Csurface. ON C Elas Pregion T S x se −2 1 2 12 2 y 2 parametric surface an open parametric surface over ansuperficie open region D. D.the surface 1 48. Give the double integral that yields area of a 2 1 47. Define a parametric surface. x x superficie de una paramétrica sobre una región −2 y Give the double integral that yields the surface area of a Figure for 3548. Figure for 36 2 47. Define a parametric surface. −2 parametric surface over an open region D. y 1 2 abierta D. CAS x 48. parametric Give the double theD.surface area a that the cone in ExampI Figure Figure surfaceintegral over anthat openyields region Figure forfor 35 35 Figure forfor 36 1 36 49. of Show x36. r u, v Give uv thek,double yields the surface area of a 2 ui 48. vj parametric 1, 1,integral 1over anthat surface open region D. Show that cone in Example 3 can represented parametrically by r u, v u cos vi s 49.49. Show that thethe cone in Example 3ancan be be represented parametriFigure for 35 Figure for2 36 x parametric surface over open region D. v ui uifor vj uv k, 1, 1 r u,r vu,Figura vj uv k, 1, 1, 1 36.36. 2 Figure 35 Figure for 36 para 35 Figura para 36 x37. r u, v 2u cos vi 3u sen vj u k, 0, 6, 4 49. Mostrar que se puede representar el cono del ejemplo 3 de macally by u cos u sen uk, where u and cally by r u,rthat vu, vtheu cone cos viinviExample u sen vj3vjcan uk,be where 0 0 u parametriand 0 v 2 . 49. Show represented 1 forcos 35vi vj3u 3u 49. that conemediante in Example 3 v) can=be parametrirFigure u,2u v 2u uivi uvvj k, u2 k, 1,2 k, 1,Figure 1 6, 36. vu, u1, 0, 46,for 4 36 r 36. u,r vu,rFigure cos sensen vj 0, 37.37. nera r(u, u represented cos viwhere + u sen vju +and uk, v z 2 paramétrica 2. .rthe 0 vShow 0 for 35 Figure for 36 v ui vj uv k, 1, 1 cally by u, v u cos vi u sen vj uk, 0 ! 36. rsu, vd 5 ui 1 vj 1 uv k, s1, 1, 21d 49. Show that the cone in Example 3 can be represented parametrically by r u, v u cos vi u sen vj uk, where 0 u and 0# u ycone 0 #inv Example # 2p. 3 can be represented parametriu, vv 2u zcosvj 3u vj 1, 1,u21k, 0, 6, 4 37. rr u, CAPSTONE ui uvsen k, vj 36. z vi 49. Show the v that 0donde 2u u 1k, 0, 6, 4 37. r22u,..v u cos vi u sen vj uk, where 0 u and u, vv ui cosvjvi 3uuvsen k, 1, 1, 36. rr u, vby 0cally 6T O N C A P S E C A P S T O N E 2 cally by r u, v u cos vi u sen vj uk, where 0 and four figures below1 50.u The z 3u sen vj 37. r u, v 2u6 cos u k, 0, 6, 4 2 . 0 v discusión 6 vi 2u cos viz 3u sen vj u2 k, 0, 6, 4 37. r u, v CPara A05Pfour Sfour Tv Ofigures N2Efigures . below The below are graphs of the surface 50.50. The are graphs of the surface r u, v ui sen u cos vj CAPSTONE 5 5 6 zz rAvu, v ui sen u cos vj sen u sen vk, 6 z r C50. u, ui sen u cos vj sen u sen vk, 50. Las cuatro figuras son gráficas de la superficie The four figures below are graphs of the surface P S T Ofour N E6, 4)figures below are graphs of the surface (0, 50. 5 C A PThe TO E ui 0 u 2, 0 v sen u, dN5 ui 1 sen sin uu cos cos vj vj 1 sen sin u sen sin vk, vk, rrSsu, vvfour 5666(0, (0, 6, 4) 6, 4) 50. The below r u, v ui2,figures sen u cos vj2. .are sen ugraphs sen vk, of the surface 0 u 0 v 0 u 2, 0 v 2 50. The fourp figures below are graphs of the surface 555 Match each of the four gra (0, 6, 4) r0u,≤vu ≤ ui , sen u sen vk, 0 ≤u0vcos ≤ vj 2p. 2sen 2, . u sen (0, 6, 4) r0each u,each vuuof of ui sen cosvvwith vj with sen vk, 2the −6 Match four point in space from which the surface is viewe Match the four graphs point in space from 0 2, 0ugraphs 2the . the (0, 6, 6, 4) 2which (0, Relacionar una cuatro gráficas con el0, punto −6 −6 which is viewed. points are ,en el 10, 10, 0 , 0, 10, 0 , an 0Match u surface 0 deThe vlasThe 2 four . points thethe surface is viewed. four 10, 00,,0 from 4 (0, 6, 4) 4) eachcada of2, the four graphs with the are point in10, space 2 ueach 0 2, 0 segraphs vcontempla 2 with . the Match of the four point in space from x 2 2 espacio desde el cual la superficie. Los cuatro −6 0 0, , surface 0, 10, 10, 10,10, 10,10, 0 ,4the 10, 0 ,0and 10,10, 10,The 10 10 . . points are 10, 0, 0(a) 4 4 z which is, and viewed. four , −6 6 of the is 2 2 Match each graphsThe with the10, point in space from which the surface viewed. four points are 10, 0, x x yfour puntos son 0,10, 0), (210,10, 0),10, (0, (10, 10,0, 10). 2 4 4 z 0)z yin zof Match each the four graphs with the point space from z 0(10, and 10, 10, , 0, 0 , 10, 10 . 4 (a) (b) (a) (b) −6 2 6 which the 0surface is 0viewed. four10points are 10, 0, 0 , −6 10, 10, , 0, 10, , and The 10, 10, . 2 6 4 x y y −6 z z 10, 0, 0 , which the surface four points are 4 2 zz is viewed. The x a) 10, 10, b) (a) (b)10, 0 , 0, 10, 10 . 1 02 , and 10, 6 222 4 z z 444 (b)0,10, y 2u cosh (a) vi 10,2u10, senh vj0, 10, u0k,, and 10, 4, 2 10 . 38. r u, v 2 6 0 , 2 x 22 4 xx z 1 21 y2 z (a) (b) r u, v 2u cosh vi 2u senh vj u k, 4, 0, 2 38. 4 2u cosh vi 2u senh 4vj 6 2 u 2k,y 4, 0, 2 38. r u, v z y z z (a) (b) 6 yy1 2 2u cosh vi z z2u senh vj 12 u2 k, 4, 0, 2 38. r u, v y y 2u cosh vi 2u senh vj 2 u k, 4, 0, 2 38. r u, v 1 yy z y y x x 2u cosh vi 2u zsenh vj 21u22k, 4, 0, 2 38. r u, v y4 38. 2u cosh vi 2u senh vj 2 u k, 4, 0, 2 38. r u, v 4 4

x x

4 4

6 6 x x x xx

6 6 6 66

y y

z zz

4 4 (−4, (−4, 0, 2) 0, 2) 2 2 4 (−4, 0, 2) 442 (−4, 0, 2) 2 (−4, 0, 2) (−4, 0,− 2) 2 − 2 − 2(−4, 42) −6 −6 − 40, 2 2 2 4 42 −4 −2 2 4 y y −4 −2 2 4 4 4 −4 y −2 2 4 −4 y −2 −2 4 −4 22 44 4 y 4 y y

x −6 −6 −6 −6 −6

6

4

(−4, 0, 2)

2

(c)(c) c) (c) (c) 2 (c) (c)

z z

zz z − 2z z

4 y x

(d)(d) −4

d) (d) (d) −6 (d) (d)

yy y y (c) y

xx x x xz z

zz z z z y y yy y y y

z

y

1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM Page z z (c) (d) 1111 Larson-15-05.qxd 3/12/09 20:03 Page 1111 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46 PM 1053714_1505.qxp 10/27/08 1:46Page PM 1111 Page 1111 2 2

z

(e) x

4

4

z

(f ) 4

2

y 2

2

−4

z z 4 (e) About (f )determine how Think It In Exercises 17–20, the graph Exercises the vector-valued function 2 of r with v differs u, v its ofIn the surface1–s6,u,match from the graph 4 r(u, graphs are (a), (b),where (c), (d),0(e), uand (f (see figure), and ugraph. cos vi [The 1 u sen vj 1 u2v)klabeled 2 ).] is not necessary to graph s.) 0 v 2 . (It z z (a) (b) 2 −2

−2

−4 z

x

2 4x −2

4

2

y

2

2

4

y

2

y

1 SECCIÓN 15.5 Superficies paramétricas y Parametric Surfaces 2 15.5

4

y

− 2 −1

y

E EE

CAS

CAS CAS CAS

y

1111 1111

2 −2

0

u

2,

v

2u

2 x r u, 14.

2

21

r u, v

17. 15.

s0 u, vu 0r u, vu

2

u1,c 2,u

18. s0 u, vu u c, y 1 u sen vj15.5 u2k Parametric 17. s u, v−2 u cos2 vi 2 1111 1111 Parametric Surfaces r(u,x v)15.5 Surfaces co 16. 0r u, vu 2, 2 ui vj uvk 1. r u, v z z (e) (f ) x u 2, gráficamente 0 v 2 y hallar el área xde una vuelta comple51. asteroidal ecuaciónof dean una esfera asteroidal 57. 0Graph Representar x, y,x, 51. Esfera Astroidal Sphere Una An equation astroidal sphere in en 57. and find the area of one turn of the spiral ramp u cos vi u2 sen vj uk 2. r u, v 19. s0 u, vu u c −2 2 en espiral yand y zzes 18. s tau,de v la rampa u cos vi u j u sen vk −2 is 4 1 2 x, y, 51. Astroidal Sphere An equation of an astroidal sphere in 57. Graph and find the area of one turn of the spiral ramp r u, v ui u v j vk 3. r u, v u cos vi u sen vj 2vk 0 u 3, Astroidal An equation of an astroidal sphere in x, y, 57. Graph and 2 find the area of one turn of the spiral ramp vj2 Sphere 1. rx2u,51. 3v 2 ui 3 3 uvk 2 3 0 u 2, 0 v 2 y z a . su, vd 5 2uzcosy1vi31 u sen sin vj 1 2vk z and z isand z is (c) 2rru, (d) u, v uicos vi v j u sen vk vj 2vk 20. s u,About v 4u Think It x 4. rdonde vu vi4 3u cos vi vj 2vk v u sen 2u2kvj . y u0sen v 2of u3 cos vi u sen uk 2. rA2u,3graph s u, vv 0r u, uu cos 19. 22 33 una 3 vj 2de 2 below. sphere is shown Show that this 2 presenta 3 an zastroidal 22gráfica 3 3 una se esfera asteroidal. Mostrar y a . xAbajo 2 of the surface y1 z a . x y 0ui ≤ v2 ≤cos u ≤v3,cos 2pv. sen uj 2 sen −4 u, v 0 ≤2 cos vk 5. rdonde 0 u 2, 2 f is continuous 58. s0donde Let au3,2nonnegative function such over u, vesta ui be 2represented u 4 puede v j y representarse vk 3. rque 2. y surface parametrically by 0donde u 00vi3 yuv u0 sen 23 vvj superficie paramétricamente por u, vfube cos vkquethat 2 f9. es y 0 2utal 4 can u cos vi 1 u sen A graph an astroidal sphere is shown that this Aofgraph is 3below. shown Show below. Show that this17. 58. Sea función no4negativa continuaformed en el interf una r u, v 4 cos ui sen uj vk 6. 13of3 an 3astroidal sphere a, b . S the interval Let be the surface of revolution by 3 3 medio ui vk 4. rsurface r u, u,xvv de a be senrepresented vi parametrically a sen parametrically u sen vj cos uk (It 0 Exercises v 2 . 21 f is continuous 58. s0Let ab4u such overre- overIn 20. u,58. vfube u2kthat 4 vu jcos can by a by 2,nonnegative 0 aviSnonnegative v 4ufunction 2sen vjfunction f. cos f isthe Let be continuous surface can be represented valo Sea formada fa, gthe f, where de a revolución xsuchb,that x-por revolving graphlaofsuperficie about axis. a, b . S the interval Let be the surface of revolution formed by is the indicated y 3 3 3 3 3 u, 2a cos 2v cos uj 3vj2 sena3vk 5. rrdonde 2b .rectangular Szbe interval Let surface ofen revolution formed y ui u vucos 03vi 2v sen . uasen In Exercises 10, for the 2, 2v, 4cos volución de la0vi gráfica torno al f, x ≤v, b, z u, vv 0r u, a3 vi sen cos uk 18. s0Let u,x vxu 4the uthe jde u donde sen vkthe vsen acos sen u cos sen u sen vj a cos3 uk u,u7– ycos ffind uva, fa u≤equation sen a surface u eje bx. by and where f, v, awhere xsen xrevolving thethe graph of where axis. z f,5 a v,2b,donde xaboutb,athe x-axis. revolving the graph of about the by eliminating parameters from the vector-valued function. Sea y y x 5 u, y 5 f s u d cos z f s u d sin ≤ u ≤ b 4 cos ui 4 sen uj vk 6. rdonde 2 0 v 2 . S and Then, is represented parametrically by u, v 0donde ui vj uvk 1. u 0 uy 0 vy 0 2 v. 2 . 0Let xu u,21–30, 2,y 0 f find 2v, and z f u sen z 4 uyv cos u y meb u b21. El plano In Exercises asketch function graph f vector-valued uS cos v, fv,Show uwhere senwhose v,awhere and Identify sefits representa v Let ≤ surface 2xp. Entonces, r0u,u,≤vvthe ui fu,uand cos vj u2graph. sen zvk. paramétricamente that athe zcos vi z u sen vj r u, v u uk 2. s u cos vi u sen vj u 19. k 22. El plano x 0 v 2 . S and Then, is represented parametrically by is thediante indicated and parametrically In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface que las by rsu,formulas v0surface. d 5 vui are 12f equivalent. s.udThen, cos vj S1isf surepresented d sen sin vk. Mostrar following 1 v r u, v ui f u cos vj f u sen vk. Show that the r u, v ui u v j vk 3. fk2uequivalentes. cos vj f u sen vk. Show that the23. El cono y by eliminating the 2parameters from the vector-valued function. uv r u, 3, siguientes u, uiv y0 vjuiv son 7. 0rfórmulas z formulas 21. plano 2b equivalent. z z following are 3 (e) sEl (f ) k 2 bequivalent. following formulas are Identify ui 14 vand j sketch vk its graph. 4. r u, vthe surface 20. u, v 4u cos vi 4u sen x dx Surface area y 2 z 6f x vj1 u12f! 24. El cono x 22.8. El plano 5 2sen pbvj f sx2d u21k 1 f f9s2xdg2 dx rÁrea u, v de xla2usuperficie cos vi ab 2u 2 cos v cos vui 2 cos v sen uj 2 sen vk 5. r u, v −2 El cilindro−2 0Surface u area 2,4 0 22 v f 22x 1a 2 25. 2 f xukf 1x dx f x dx area 23.9. El cono y 2 cos4x 9z2 2 sen ui vj k y 7. r u, v r u, v Surface ui a vj 4 cos ui 24 sen uj vk 6. r xu, v Surface area ru arv dA 26. El 2 a5 2 la3 superficie iruv 3sen rvuj ifunction dA 5 senwhose 2 cilindro 2 In graph y 24. El cono rÁrea u, v dex21–30, cos16y vfind cos uizvector-valued 3 cos vk D 10.Exercises 1 x 8. r xu, v x 2u cos vi 2u sen vj y 2 u2 k Dr dA 2 Surface area r 27. El cilindro the−indicated surface. u v ru Surface area rv dA 2 In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface CAS is 4cilindro x2 Project 25. El yD2 25 59. Open-Ended The equations Dy parametric y the r u, v 2 cos ui vj 2 sen uk 9. CAS In Exercises 11–16, use a computer algebra system to graph 4 s u, v uc 17. 59. Proyecto abierto Las ecuaciones paramétricas 4 by eliminating the parameters from the vector-valued function. 2 z 4xyProject 21. El plano y2 theThe 16 cilindro 28. El elipsoide surface represented by vector-valued function. CAS 26. 59. Open-Ended parametric equations x x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v 3 cos v and cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk 10. r u, vthe surface Identify sketch its graph. CAS 59. Open-Ended Project The parametric equations 0 u 2, 3 1xsen sin 52. Use a computer algebra system to graph three views of the 22. plano z cos 6s3u 2 2vd 24 2 coss3u 1 vdg z yu f7x22 27. Elx 5 cilindro x 3 sen u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v 29. The cos u 7 cos 3u 2v 2 cos 3u v y 3 18. s u, vpart uofc r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. graph ofun thesistema vector-valued function 3 f7sen u 7 2s23ucos 3u 2v 2 cos 3u v v computer In Exercises 11–16, aalgebraico algebra system graph the 22 Utilizar ythree representar 52. algebra systempor to computadora graph three views of the of the23. Ely 5 3 x1 y2 cos cono y cosx2u4x 9zz 2 2vd 2 2 coss3u 1 vdg 2 2 Use system to graphto views k algebra rUse u,52. va computer ui a computer vjuse 7.CAS x vu 3u ui u 02v vj uvk 28.1. El elipsoide 0 uy 2,9 1, 2 cos 2u sen surface by the vector-valued 3u yz0r u, 3sen 3u12v3uv 22vcos 3u gráficamente tres perspectivas devk, la gráfica graph the vector-valued function u27sen 2 cosv 3u v y cos 3 9 7cos24vcos r u,represented v ofgraph u cos vi vj 0 function. u de la ,función 0 v vecto1 of the vector-valued function 2 16y 24.2. Elz 5 cono zsen sinsx3u 2 2v d 1 2 sen sinsvj 3u 1 vd sen 1 30. s u, vpart uofc 19. The v 3u2u cos2vvvicos 2uuisen 43ucosuk vv sen uj sen vk u, v 2u cos vi 2u sen vj 2 4u2 k 8. rrial 12. zr u, sen z 29. The part of plane that inside thethecylinder u, v the 2u cosvivi u ,k0and 11. rfrom z sen 3u 2v 24sen where and surface u v3u lies,v represent u vcos u2u sen vk, 2 the 2 cylinder x2 1 r u, u10, cos vi sen vj vk,u10, 0 10,,u100 . ,v 0 v points 0, 0 sen , vj0,uvj0, 10 x y 25 25.3. El cilindro u, vyu2 below. j 2pyour vk 2 p2ui u20≤utopvcreate ≤ v own ≤ p,parametric yv 2 representan la superficie 0 u 3, 0r2donde 2 sen uk 0 ≤ u ≤ p, 0 ≤ v ≤ p 9. rrsu, xshown 9 ≤,2Try u, vvud 5 21, u cos cos0 ui vi 1v vj u sen sin surface using 2 vj 1 vk, 2 and where theparamétrisurface v , vrepresent 53. 0Investigation a 0computer system to .10, graph 4xlau 1figura. 16 and 26.4. El cilindro 3y u where the surface20. s u, v , represent points 10, , 30, 0, 10,vk 10 mostrada en Tratar de crear una superficie from thevUse points 0,cos 0 10 ,v algebra 0,, and 0,uj1010, ,5and 10, 10 .the r u, v ui v j vk 2 2 a computer algebra system. 4u u, v the 3 cos cos 0, ui 10, sen sen 10. rfrom 4 paraboloid z y that lies x parametric 30. The part of the insideusing the shown below. Try own surface torus u, v los 2puntos cos v cos cos0,v 10) sen uj sen 12. rdesde 2 to create (10,aui 0,computer 0),4(0, y (10, 10,vk 10). shown below. Trysistema to your create your ownpor parametric surface using cacilindro propia utilizando un algebraico computadora. z x 53.CAS Investigation Use algebra system to graph 2 2 53. Investigation Use a computer algebra system to the graph the27.5. El u, v x 2 algebra cos ui 2 cos v sen uj 2 sen vk y v cos 9system. cylinder 0 u 2, ar computer a computer algebra system. 0torus 2a , b0Utilizar 2 ui In 11–16, use algebra system graph the 53.Exercises Investigación un sistema algebraico portocomputadora r u, vu torus cos avv computer cos x2 ui y2 4 sen z2 uj vk r u, v 4 cos 6. 28. El elipsoide 1 surface represented by the vector-valued function. y representar gráficamente el toro In Exercises 21 9 4 1 cos sen sen vk r u, v r u,aav bb cos ui a vvbcos cosuj v cosb ui is the indicated 4 In Exercises 7– 10, find the rectangular equation for the surface saa 1 cos cos uivj1 b sen 29. The part of the plane z 4 that lies inside the cylinder cos vi vvd2u sen u k 11. r su, v d 5 2u bb cos a bsen cos b sen vk for each set of values ofujva sen andujb, vk where 0 u 2 and 2 2 by eliminating the parameters from the vector-valued function. x y 9 sen s2a 1. 0Use b costhe sin sin vk the effects of a and b sen 21. El plano z 00 uv 1, v vd results 2 uj 1 to bdescribe Identify the surface and sketch its graph. for each of values of a and where 2 2 forseteach set torus. of values of b, a and b, 0whereu 0 2 u and2 and30. y z x The part of the paraboloid that lies inside the on the shape of the 22. El plano x u, vvcada22conjunto cos v cosde uiresults 4 cosde v sen sen vk0 ≤ofu a≤and 12. r0para valores yujb, donde a to pbya and b cylinder x2 y2 9 describe the effects the to results describe the effects2of 0 v. Use2 the . Use v (b) auv shape bUtilizar 1 a 4, b 2 0on 0 v 2 los resultados para describir los efectos de 0(a)≤the ≤on4, 2the p.,of 23. El cono y the torus. r u, v ui vj k 7. shape of the torus. 2 a y b en la forma del toro. (c) (d) a 8, b 1 a 8, b 3 (a) a (a)4, a b 4,1 b 1(b) a (b)4, a b 4,2 b 2 24. El cono x 1 2u cos vi 2u sen vj 2 u2 k 8. r u, v a) b) aa 5 4,8, bb 5Consider 11 afunction 5 4,8, bin 5Exercise 23 54. (c) Investigation the 14. (d) a b 25. El cilindro (c) a 8, b 1 (d) a 8, b 3 2 cos ui vj 2 sen uk 9. r u, v aSketch 5 8, ab graph 5Consider 1 of thethe d)function afunction 5 8, where bin5 u3 isinheld (a)54. 54. c) Investigation Exercise 14.constant 26. El cilindro Investigation Consider the function Exercise 14. at 3 cos v cos ui 3 cos v sen uj 5 sen vk 10. r u, v u 1. Identify the graph. 54. (a) Investigación Considerar la función del ejercicio 14. u Sketch a graph of the function where is held constant at 27. El cilindro (a) Sketch a graph of the function where u is held constant CAS at60. Möbius Strip The surface shown in the figure is called a (b) Dibujar a graph of the constant at CAS In a) una gráfica de lafunction función dondevuisseheld mantenga consuSketch 1. uIdentify the graph. 11–16, to graph the 60.Exercises Banda de Möbius superficiealgebra mostrada en la figura se llama 1. Identify the graph.where Möbius strip anduse canaLa becomputer represented by the system parametric equations CAS 60. Möbius Strip Strip The surface shown shown in the in figure called v en 2 u 3.5Identify the graph. CAS 60. Möbius The surface the is figure is acalled a28. El elipsoide la gráfica. 1. Identificar represented byythe vector-valued function. banda de Möbius puede representarse mediante las ecuacio(b) tante Sketch a graph the function where vwhere is held constant at v is (b) Sketch aof graph of the function held constant atsurface MöbiusMöbius strip and canand be represented by the vparametric equations v v strip can be represented by the parametric (c) Dibujar that represented themantenga vector-valued b) gráfica de función dondeby v se consxnes paramétricas a u cos cos v, y a 4u cos sen v, z u senequations vAssume 2 vuna 3. Identify thelais graph. 2 a surface 3. Identify the graph. 29. The part o r u, v 2u cos vi 2u sen vj u k 11. 2 2 2 r 2pry3. u, vIdentificar . What generalization function can you make v v v en vthat la gráfica. 5 v y (c) tante Assume a surface is represented by the vector-valued x0 ua x u1,cos v, a y u cos v,v zsen v, u sen x2 y2 9 vu cos vusen vu senv (c) the Assume that a surface is ifrepresented by the vector-valued a cos cos v, a cos z 0 v 2 about graph of the function one of the parameters is x 5 a 11 u cos cos02v, yv5 2a 1 u cosa2 sen sin sin2 sen where Tryz 5 to ugraph u 2 1, , and 3. 2v, 2 c) Suponer que está representada poryou lacan función r una r u,rsuperficie v . rWhat functionfunction generalization can make u, v . What generalization you make 2 2 2 30. The part of held constant? r u, vMöbius 2 cosstrips v cosfor ui different 4 cos vvalues sen uj of asen vk a computer 12. other using vectorial generalización separameters hacer rgraph 5 the rsu,of vdthe . ¿Qué about the function if one of is about graph of the function if the one ofpuede the parameters is where to Try graph 1 ≤ uu 1≤ 1, 0 ≤ 1, v ≤0 22p,v,yand a3. 3. aTry where and to graph u 2 , 3. cylinder x2 donde Trate de representar 21 1, 0 v a 5 algebra system. 55. Surface Area The surface of the dome new museum is acerca de la gráfica de la función si unoon dealos parámetros se held constant? 0 uMöbius 2 Möbius , strips 0 for v different 2for different held constant? other values of using a computer a other strips values of using a computer a gráficamente otra banda dez Möbius para diferentes valores de a given by mantiene algebra system. 55. Surface Areaconstante? The surface of the dome a new is algebra system.algebraico por computadora. 55. Surface Area The surface of theon dome on museum a new museum is utilizando un sistema 55. given Área de la superficie La superficie de la cúpula de un museo by z r u, v given 20 sen by u cos vi 20 sen u sen vj 20 cos uk z 2 está dada por rwhere u, v 0r u,20vusen u20cos vjruissen 20vj cos uk senvi sen 20Find cos uk and in meters. the 3, 0 u cos v20visen 2 u20 , sen 2 2 −3 rsurface su, vd 5area 20 sen sin u cos vi 1 20 sen sin u sen sin vj 1 20 cos uk of the dome. where 0where in meters. Find the u 0 u3, 0 3, v 0 2 v, and2r is , and r is in meters. Find the −3 −3 56. surface Find a 0surface vector-valued donde , function y rhyperboloid está en metros. Hallar el ≤ uof≤area py3 0the ≤ dome. v ≤for 2pthe −4 area the dome. of −1 área de la superficie de la cúpula. 1 2 2 2 56. Find a vector-valued function for the hyperboloid 2 x 1 x 56.y Findz a vector-valued −4 function for the hyperboloid −4 4 −1 56. Hallar una función vectorial para el hiperboloide −1 1 2 2 2 1 2 x 2 2 2 y x z y the 1 ztangent xand determine 2 3 1 plane at 1, 0, 0 . 4x 4 x2 1 y2 2 z2 5 1 −2 3 1, 0,at0 .1, 0, 0 . and determine the tangent plane atplane and determine the tangent y3 y determinar el plano tangente en s1, 0, 0d. −2 −2 4

CAS CAS

13. −2

1

2

1

2

y

y

Larson-15-06.qxd

1112

3/12/09

20:08

CAPÍTULO 15

15.6

Page 1112

Análisis vectorial

Integrales de superficie n n n n

Evaluar una integral de superficie como una integral doble. Evaluar integrales de superficie sobre superficies paramétricas. Determinar la orientación de una superficie. Comprender el concepto de integral de flujo.

Integrales de superficie El resto de este capítulo se ocupa principalmente de integrales de superficie. Primero se considerarán superficies dadas por z 5 gsx, yd. Más adelante, en esta sección, se considerarán superficies más generales dadas en forma paramétrica. Sea S una superficie dada por z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy, como se muestra en la figura 15.44. Supóngase que g, gx y gy son continuas en todos los puntos de R y que ƒ está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar el área de una superficie en la sección 14.5, se evalúa ƒ en (xi, yi, zi) y se forma la suma

z

S: z = g(x, y)

n

(xi , yi, zi)

o f sx , y , z d DS i

i

i

i

i51

x

(xi, yi)

R

La función escalar f asigna un número a cada punto de S Figura 15.44

y

donde DSi < !1 1 f gxsxi , yi dg 2 1 f gysxi , yi dg 2 DAi. Siempre que el límite de la suma anterior cuando iDi tiende a 0 exista, la integral de superficie de ƒ sobre S se define como

EE

f sx, y, zd dS 5 lím lim

n

o f sx , y , z d DS .

i Di→0 i51

S

i

i

i

i

Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble.

TEOREMA 15.10 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE SUPERFICIE Sea S una superficie cuya ecuación es z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy. Si g, gx y gy son continuas en R y ƒ es continua en S, entonces la integral de superficie de ƒ sobre S es

EE

f sx, y, zd dS 5

S

EE

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA.

R

Para superficies descritas por funciones de x y z (o de y y z), al teorema 15.10 se le pueden hacer los ajustes siguientes. Si S es la gráfica de y 5 gsx, zd y R es su proyección sobre el plano xz, entonces,

EE

f sx, y, zd dS 5

S

EE

f sx, gsx, zd, zd!1 1 f gxsx, zdg 2 1 f gzsx, zdg 2 dA.

R

Si S es la gráfica de x 5 gs y, zd y R es su proyección sobre el plano yz, entonces

EE S

f sx, y, zd dS 5

EE

f sgs y, zd, y, zd!1 1 f gys y, zdg 2 1 f gzs y, zdg 2 dA.

R

Si f sx, y, zd 5 1, la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. Por ejemplo, supóngase que la superficie S es el plano dado por z 5 x, donde 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1. El área de la superficie de S es !2 unidades cuadradas. Trátese de verificar que eSe f sx, y, zd dS 5 !2.

Larson-15-06.qxd

3/12/09

20:08

Page 1113

SECCIÓN 15.6

EJEMPLO 1

Integrales de superficie

1113

Evaluación de una integral de superficie

Evaluar la integral de superficie

EE

s y 2 1 2yzd dS

S

donde S es la porción del plano 2x 1 y 1 2z 5 6.que se encuentra en el primer octante. Solución

Para empezar se escribe S como 1 z 5 s6 2 2x 2 yd 2

1 gsx, yd 5 s6 2 2x 2 yd. 2 Usando las derivadas parciales gxsx, yd 5 21 y gysx, yd 5 2 2, se puede escribir 1

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 5

!1 1 1 1 41 5 23 .

Utilizando la figura 15.45 y el teorema 15.10, se obtiene

EE

s y 2 1 2yzd dS 5

S

y 2 1 2y

R

z = 12 (6 − 2x − y)

(0, 0, 3)

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

R

5

z

EE EE 3 EE E

2s32xd

3

53

1122s6 2 2x 2 yd41322 dA

ys3 2 xd dy dx

0 0 3 0

(0, 6, 0) x

s3 2 xd3 dx

56

S

4

3 5 2 s3 2 xd4 2

y

(3, 0, 0) y = 2(3 − x)

5

Figura 15.45

3 0

243 . 2

Una solución alternativa para el ejemplo 1 sería proyectar S sobre el plano yz, como se muestra en la figura 15.46. Entonces, x 5 12s6 2 y 2 2zd, y !1 1 f gysy, zdg 2 1 f gzsy, zdg 2 5

!1 1 41 1 1 5 23 .

Por tanto, la integral de superficie es

EE

z

(0, 0, 3) z=

s y 2 1 2yzd dS 5

S

6−y 2

EE EE E R 6

5

0

S (0, 6, 0) x

y

(3, 0, 0) x=

Figura 15.46

5

1 2

(6 − y − 2z)

5

3 8

f s gs y, zd, y, zd!1 1 f gys y, zdg 2 1 f gzs y, zdg 2 dA

s62ydy2

s y 2 1 2yzd

0 6

1322 dz dy

s36y 2 y 3d dy

0

243 . 2

Trátese de resolver el ejemplo 1 proyectando S sobre el plano xz.

Larson-15-06.qxd

1114

3/12/09

20:08

CAPÍTULO 15

Page 1114

Análisis vectorial

En el ejemplo 1 se podría haber proyectado la superficie S en cualquiera de los tres planos de coordenadas. En el ejemplo 2, S es una porción de un cilindro centrado en el eje x, y puede ser proyectado en el plano xz o en el plano xy. EJEMPLO 2

Evaluación de una integral de superficie

z 3

Evaluar la integral de superficie

R: 0 ≤ x ≤ 4 0≤y≤3

EE

sx 1 zd dS

S

donde S es la porción del cilindro y 2 1 z 2 5 9 que se encuentra en el primer octante, entre x 5 0 y x 5 4, como se muestra en la figura 15.47. 3

2

1 3

4 x

S: y 2 + z 2 = 9

y

Se proyecta S sobre el plano xy, de manera que z 5 gsx, yd 5 !9 2 y 2, y se

Solución obtiene

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 5

Figura 15.47

5

!1 1 1 3

2y !9 2 y 2

2

2

.

!9 2 y 2

El teorema 15.10 no se puede aplicar directamente porque gy no es continua en y 5 3. Sin embargo, se puede aplicar el teorema para 0 ≤ b < 3 y después tomar el límite cuando b se aproxima a 3, como sigue.

EE

EE s EE 1 E E1 b

sx 1 zd dS 5 lím lim2 b→3

S

4

0

0

b

5 lím lim2 3 b→3

0

b→3

4

0

b

5 lím lim2 3

x 1 !9 2 y 2 d

0

x !9 2 y 2

b→3

8

0

y 3

1

b 3

5 36 1 24

dy

0

2

3

5 lím lim2 3 4b 1 8 arcsen arcsin b→3

4

1 4 dy

5 lím lim2 3 4y 1 8 arcsen arcsin b→3

2

4

!9 2 y 2

dx dy

1 1 dx dy

x2 1x 2!9 2 y 2

b

5 lím lim2 3

3 !9 2 y 2

b

4

0

2

1p2 2

5 36 1 12p

Algunos sistemas algebraicos por computadora evalúan integrales impropias. Si se tiene acceso a uno de estos programas, utilícese para evaluar la integral impropia

TECNOLOGÍA

EE s 3

0

4

0

x 1 !9 2 y 2 d

3 !9 2 y 2

dx dy.

¿Se obtiene el mismo resultado que en el ejemplo 2?

Larson-15-06.qxd

3/12/09

20:08

Page 1115

SECCIÓN 15.6

Integrales de superficie

1115

Se ha visto que si la función ƒ definida sobre la superficie S es simplemente f sx, y, zd 5 1, la integral de superficie da el área de la superficie S. Area of surface 5 Área de la superficie

EE

1 dS

S

Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y rsx, y, zd es la densidad en el punto sx, y, zd, entonces la masa de la lámina está dada por

EE

Masa de of la lamina lámina 5 Mass

rsx, y, zd dS.

S

Hallar la masa de una lámina bidimensional

EJEMPLO 3 z

Una lámina bidimensional S en forma de cono está dada por

Cono: z=4−2

x2 + y2

4

z 5 4 2 2!x 2 1 y 2,

0 ≤ z ≤ 4

como se muestra en la figura 15.48. En todo punto de S, la densidad es proporcional a la distancia entre el punto y el eje z. Hallar la masa m de la lámina. 3

Al proyectar S sobre el plano xy se obtiene

Solución

S: z 5 4 2 2!x2 1 y2 5 gsx, yd,

2

0 ≤ z ≤ 4

R: x 2 1 y 2 ≤ 4 1

con densidad rsx, y, zd 5 k!x 2 1 y 2. Usando una integral de superficie, se halla que es

EE EE EE EE E Es E E

rsx, y, zd dS

m5

1

1

2

S

2

x

R: x2 + y2 = 4

Figura 15.48

y

k!x 2 1 y 2!1 1 fgxsx, ydg 2 1 fgysx, ydg 2 dA

5

R

5k

!1 1 x 4x1 y

!x 2 1 y 2

R

5k 5k

2

d

!5r r dr du

0 2p

!5k

3

4

0

2p

2

Coordenadas polares.

du

du

0

2p

34

8!5k u 3

5

4y 2 dA x 1 y2

1

2

r3

0

8!5k 3

5

2

!5!x 2 1 y 2 dA

R 2p 0

5

2

2

0

5

16!5kp . 3

TECNOLOGÍA Utilizar un sistema algebraico por computadora y confirmar el resultado del ejemplo 3. El sistema algebraico por computadora Maple calculó la integral así:

EE 2

!42y 2

k

22 2!42y 2

E Es

!5!x 2 1 y 2 dx dy 5 k

2p

0

2

0

d

!5r r dr du 5

16!5kp 3

Larson-15-06.qxd

1116

3/12/09

20:08

CAPÍTULO 15

Page 1116

Análisis vectorial

Superficies paramétricas e integrales de superficie Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial rsu, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

Superficie paramétrica.

definida sobre una región D en el plano uv, la integral de superficie de f sx, y, zd sobre S está dada por

EE

EE

f sx, y, zd dS 5

S

f sxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd irusu, vd 3 rvsu, vd i dA.

D

Obsérvese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio.

E

f sxstd, ystd, zstdd ir9 std i dt

Integral de línea.

a

C

Véase que ds y dS pueden escribirse como ds 5 i r9 std i dt y dS 5 i rusu, vd 3 rvsu, vd i dA. n

NOTA

EJEMPLO 4 z

E

b

f sx, y, zd ds 5

Evaluación de una integral de superficie

En el ejemplo 2 se mostró una evaluación de la integral de superficie

EE

3

sx 1 zd dS

S

donde S es la porción, en el primer octante, del cilindro y 2 1 z 2 5 9 entre x 5 0 y x 5 4 (ver la figura 15.49). Evaluar esta misma integral, ahora en forma paramétrica. 1 2 3

3

y

4 x Generada con Mathematica

Solución

En forma paramétrica, la superficie está dada por

rsx, ud 5 xi 1 3 cos u j 1 3 sen sin u k donde 0 ≤ x ≤ 4 y 0 ≤ u ≤ py2. Para evaluar la integral de superficie en forma paramétrica, se empieza por calcular lo siguiente.

Figura 15.49

rx 5 i

|

ru 5 23 sen sin u j 1 3 cos u k i j k rx 3 ru 5 1 0 0 0 23 sen sin u 3 cos u irx 3 ru i 5 !9

cos 2

|

5 23 cos u j 2 3 sen sin u k

u 1 9 sen u 5 3 sin 2

Por tanto, la integral de superficie puede ser evaluada como sigue.

EE

EE E3 E1 4

sx 1 3 sen sin ud3 dA 5

D

py2

s3x 1 9 sen sin ud du dx

0 0 4

5

0 4

5

0

5

3

3xu 2 9 cos u 3p x 1 9 dx 2

2

3p 2 x 1 9x 4

5 12p 1 36

4

4 0

py2

4

dx 0

Larson-15-06.qxd

3/12/09

20:08

Page 1117

SECCIÓN 15.6

Integrales de superficie

1117

Orientación de una superficie Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitarios normales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N de manera tal que los vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superficie orientada. Una superficie orientable S tiene dos caras. Así, cuando se orienta una superficie, se elige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada, como por ejemplo una esfera, se acostumbra escoger como vector unitario normal N, el que apunta hacia fuera de la esfera. Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orientables. (Ver en el ejercicio 43 un ejemplo de una superficie que no es orientable.) En una superficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar un vector unitario normal. Es decir, en una superficie orientable S dada por z 5 gsx, yd

Superficie orientable.

se hace Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd. Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal N5 5

S: z = g(x, y) N = ∇G ∇G

z

5

S

y

Unitario normal hacia arriba.

2=Gsx, y, zd i=Gsx, y, zd i gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 k !1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2

r su, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vd j 1 zsu, vd k

S está orientada hacia arriba

Unitario normal hacia abajo.

como se muestra en la figura 15.50. Si la superficie suave orientable S está dada en forma paramétrica por

Dirección hacia arriba

Superficie paramétrica.

los vectores unitarios normales están dados por

S: z = g(x, y) z

!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2

o por el vector unitario normal N5

x

=Gsx, y, zd i=Gsx, y, zd i 2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 k

N5

ru 3 rv iru 3 rv i

N5

rv 3 ru . irv 3 ru i

y

N = − ∇G ∇G

S

NOTA Supóngase que la superficie orientable está dada por y 5 gsx, zd o x 5 gs y, zd. Entonces se puede usar el vector gradiente

=Gsx, y, zd 5 2gxsx, zdi 1 j 2 gzsx, zdk

Gsx, y, zd 5 y 2 gsx, zd.

=Gsx, y, zd 5 i 2 gys y, zdj 2 gzs y, zdk

Gsx, y, zd 5 x 2 gs y, zd.

y

o x

Dirección hacia abajo

S está orientada hacia abajo Figura 15.50

para orientar la superficie.

n

Larson-15-06.qxd

3/12/09

1118

20:08

CAPÍTULO 15

Page 1118

Análisis vectorial

Integrales de flujo Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. Supóngase que una superficie orientada S se sumerge en un fluido que tiene un campo de velocidad continua F. Sea DS el área de una pequeña porción de la superficie S sobre la cual F es casi constante. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo se aproxima mediante el volumen de la columna de altura F ? N, que se muestra en la figura 15.51. Es decir,

z

N

F

F·N ∆S

y x

El campo de velocidad F indica la dirección de flujo del fluido

DV 5 (altura)(área de la base) 5 (F · N)DS. Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la definición siguiente.

Figura 15.51

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DE FLUJO Sea Fsx, y, zd 5 M i 1 Nj 1 Pk, donde M, N, y P tienen primeras derivadas parciales continuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal N. La integral de flujo de F a través de S está dada por

EE

F

S

? N dS.

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si rsx, y, zd es la densidad del fluido en sx, y, zd, la integral de flujo

EE S

r F ? N dS

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de tiempo. Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por z 5 gsx, yd, se hace Gsx, y, zd 5 z 2 gsx, yd. Entonces, N dS puede escribirse como sigue. N dS 5 5

=Gsx, y, zd dS i=Gsx, y, zd i =Gsx, y, zd !s gxd 2 1 s gyd2 1 1

!s gx d 2 1 s gyd2 1 1 dA

5 =Gsx, y, zd dA

TEOREMA 15.11 EVALUACIÓN DE UNA INTEGRAL DE FLUJO Sea S una superficie orientada dada por z 5 gsx, yd y sea R su proyección sobre el plano xy.

EE EE

F

S

S

F

? N dS 5 ? N dS 5

EE EE

F

? f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA

Orientada hacia arriba.

F

? f gxsx, ydi 1 gysx, ydj 2 kg dA

Orientada hacia abajo.

R

R

En la primera integral, la superficie está orientada hacia arriba, y en la segunda integral, la superficie está orientada hacia abajo.

Larson-15-06.qxd

3/12/09

20:08

Page 1119

SECCIÓN 15.6

EJEMPLO 5

Integrales de superficie

1119

Usar una integral de flujo para hallar la tasa o ritmo del flujo de masa

z

Sea S la porción del paraboloide 8

z 5 gsx, yd 5 4 2 x 2 2 y 2 que se encuentra sobre el plano xy, orientado por medio de un vector unitario normal dirigido hacia arriba, como se muestra en la figura 15.52. Un fluido de densidad constante r fluye a través de la superficie S de acuerdo con el campo vectorial

6

Fsx, y, zd 5 xi 1 yj 1 zk. Hallar la tasa o ritmo de flujo de masa a través de S. Se empieza por calcular las derivadas parciales de g.

Solución

−4

4 x

Figura 15.52

4

gxsx, yd 5 22x

y

y gysx, yd 5 22y La tasa o el ritmo de flujo de masa a través de la superficie S es

EE S

r F ? N dS 5 r 5r

EE ? EE EE EE EE E F

fxi 1 yj 1 s4 2 x 2 2 y 2d kg ? s2xi 1 2yj 1 kd dA

R

5r

f2gxsx, ydi 2 gysx, ydj 1 kg dA

R

f2x 2 1 2y 2 1 s4 2 x 2 2 y 2dg dA

R

5r 5r 5r

s4 1 x 2 1 y 2d dA

R 2p

2

s4 1 r 2dr dr du

Coordenadas polares.

0 0 2p

12 du

0

5 24pr. Para una superficie orientada S dada por la función vectorial rsu, vd 5 xsu, vdi 1 ysu, vdj 1 zsu, vdk

Superficie paramétrica.

definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través de S como

EE S

F

? N dS 5 5

EE EE

F

D

D

? 1 iru 3 rv i 2 iru 3 rv i dA r 3r u

F

v

? sru 3 rvd dA.

Nótese la semejanza de esta integral con la integral de línea

E

C

F

? dr 5

E

C

F

? T ds.

En la página 1121 se presenta un resumen de las fórmulas para integrales de línea y de superficie.

Larson-15-06.qxd

1120

3/12/09

20:08

CAPÍTULO 15

Page 1120

Análisis vectorial

Hallar el flujo de un campo cuadrático inverso

EJEMPLO 6

Hallar el flujo sobre la esfera S dada por

S: x 2 + y 2 + z 2 = a2

x2 1 y 2 1 z2 5 a2

z

N

Esfera S.

donde F es un campo cuadrático inverso dado por a

Fsx, y, zd 5

N

N

Campo cuadrático inverso F.

y r 5 xi 1 yj 1 zk. Supóngase que S está orientada hacia afuera, como se muestra en la figura 15.53.

a x

kq r kqr 5 2 ir i ir i ir i 3

a

N

y

Solución

La esfera está dada por

r su, vd 5 xsu, vd i 1 ysu, vd j 1 zsu, vd k R: x 2 + y 2 ≤ a 2

Figura 15.53

5 a sen sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos uk donde 0 ≤ u ≤ p y 0 ≤ v ≤ 2p. Las derivadas parciales de r son rusu, vd 5 a cos u cos v i 1 a cos u sen sin vj 2 a sen sin uk y rvsu, vd 5 2a sen sin u sen sin vi 1 a sen sin u cos vj

|

lo cual implica que el vector normal ru 3 rv es i ru 3 rv 5 a cos u cos v 2a sen sin u sen sin v 5

s

a2

sen sin 22 u

j a cos u sen sin v a sen sin u cos v

cos vi 1 sen

sin 22 u

k 2a sen sin u 0

|

sin vj 1 sen sin u cos ukd. sen

Ahora, usando Fsx, y, zd 5

kqr ir i3

5 kq 5

xi 1 yj 1 zk ixi 1 yj 1 zki3

kq sa sen sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos ukd a3

se sigue que F

kq

sin u cos vi 1 a sen sin u sen sin vj 1 a cos ukd ? ? sru 3 rvd 5 a 3 fsa sen a2ssen sin22 u cos vi 1 sen sin2 u sen sin vj 1 sen sin u cos ukdg 5 kqssen sin33 u cos2 v 1 sen sin33 u sen sin22 v 1 sen sin u cos2 ud 5 kq sen sin u.

Por último, el flujo sobre la esfera S está dado por

EE S

F

? N dS 5 5

EE EE

skq sen sin ud dA

D 2p 0

p

0

5 4p kq.

kq sen sin u du dv

Larson-15-06.qxd

3/12/09

20:08

Page 1121

SECCIÓN 15.6

Integrales de superficie

1121

El resultado del ejemplo 6 muestra que el flujo a través de una esfera S en un campo cuadrático inverso es independiente del radio de S. En particular, si E es un campo eléctrico, el resultado obtenido en el ejemplo 6, junto con la ley de Coulomb, proporciona una de las leyes básicas de electrostática, conocida como la ley de Gauss:

EE S

E

? N dS 5 4p kq

Ley de Gauss.

donde q es un carga puntual localizada en el centro de la esfera y k es la constante de Coulomb. La ley de Gauss es válida para superficies cerradas más generales que contengan el origen, y relaciona el flujo que sale de la superficie con la carga total q dentro de la superficie. Esta sección concluye con un resumen de fórmulas de integrales de línea y de integrales de superficie.

Resumen de integrales de línea y de superficie Line Integrals Integrales de línea

ds 5 ir9 std i dt 5 !fx9 stdg 2 1 f y9stdg 2 1 fz9stdg 2 dt

E E

E

b

f sx, y, zd ds 5

C

F

C

? dr 5 5

E E

C b

a

f sxstd, ystd, zstdd ds

Forma escalar.

a

F

? T ds

Fsxstd, ystd, zstdd ? r9std dt

Forma vectorial.

Integrales de superficie Surface Integrals fz 5 g[zsx,5yg(x, dg y)]

dS 5 !1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

EE EE

EE EE ?

f sx, y, zd dS 5

S

f sx, y, gsx, ydd!1 1 f gxsx, ydg 2 1 f gysx, ydg 2 dA

Forma escalar.

R

F

S

? N dS 5

F

f2gxsx, yd i 2 gysx, yd j 1 kg dA

R

Forma form vectorial (normal Vector (upward normal) hacia arriba).

Integrales de superficie (forma form paramétrica) Surface Integrals s parametric d

dS 5 irusu, vd 3 rvsu, vd i dA

EE EE S

EE EE ?

f sx, y, zd dS 5

S

f sxsu, vd, ysu, vd, zsu, vdd dS

Forma escalar.

D

F

? N dS 5

F

D

sru 3 rvd dA

Forma vectorial.

1053714_1506.qxp 1053714_1506.qxp 10/27/08 10/27/08 1:47 1:47 PM PM Page Page 1122 1122 Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1122 1053714_1506.qxp

10/27/08

1:47 PM

Page 1122

1122 1122

Chapter Chapter 15 15

Vector Vector Analysis Analysis

1122

Chapter 15

Vector Analysis

1122 Chapter 15 Vector Analysis 1122 CAPÍTULO Análisis vectorial 1122 Chapter 15 Vector Analysis 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122 1122 Chapter 15 15 Vector Analysis

15.6 15.6 15.6 15.6 15.6 15.6

Exercises Exercises Exercises Exercises Exercises Ejercicios Exercises

See www.CalcChat.com for worked-out solutions totoodd-numbered exercises. Seewww.CalcChat.com www.CalcChat.comfor forworked-out worked-outsolutions solutionsto odd-numberedexercises. exercises. See odd-numbered See See www.CalcChat.com www.CalcChat.com for for worked-out worked-out solutions solutions toto odd-numbered odd-numbered exercises. exercises.

EE

See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

EE

In Exercises 1– 4, evaluate 2y 1 z dS. dS. In Exercises 17–22, evaluate x, y,y,zzz dS. dS. InExercises Exercises 1–4, 4,1evaluate evaluate 2y dS. In Exercises 17–22, x,y, dS. In 1– xxxx xx2y In Exercises 17–22, ffff x, En los ejercicios 17evaluate aevaluate 22, evaluar 211112yzzzz1 zc dS. fy,xx, y, zc dS. En los ejercicios a 4, evaluar In Exercises 1– 4, evaluate 2y dS. In Exercises 17–22, evaluate x, y, zz dS. SS SS x 2y dS. f x, dS. In Exercises 1– 4, evaluate In Exercises 17–22, evaluate S S 1122 Chapter 15 Vector S SS SS SAnalysis S: x,x,evaluate 4, x,x,y, y,y,zzz 17–22, xx2222 yyy22222 zzz22222 1. 17. S: zzz 4441– 4,x, 4, x 000 2yyyy1 z333dS. 1.Exercises 17. In1. In fffffx, 17. S: 0000 xxxx 4, 17.Exercises sx, x, y, S: zz 44 x, 4, 00 yy 33 y, zzzd 5xxxx22 1evaluate 1. yy 2 1 2zzz 2 S f x, y, z dS. S: x, 0 x 4, f x, y, 1. 17. 22y S 2 S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 x S: z x y, 2. 2 S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 x S: z x y, 2. z 15 2x 3y, 00 xx 2,2, 00 yy 44 S: zz xx y,y, xx 22 yyyy222 1111 2.2. S: S: S: S:zzzz 42,15 15 xx,222x 2x0 y 223y, 3y, 0 0x y2, 30 y 4 S: z z x xxy y2 1 2y, yx2 2.S: x 4, f x, y, 1. 17. z S: 1 3. See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. S: zz 2,2, xx22 yy22 11 xy S: xy 3.3. xy 18. f x, y, z 2 2 x S: z 2, y 1 xy 18. f x, y, z 3. 222, x y 1 1, x 0 2,y 0 x y 4 xy 2 y 2 1 18. f fx, z 3.S:S:zz z 15 18. S: sx, y, zy,y, 2. 4. S: zz 2332x2xx33332222,,,2x 000 3y,xxx 0 1, 4. S: 1, 00 yy xx x, y, zzzxd 5 y, zzzzz x 18. ff x, S: 4. 3 x 3 2, S: 4. z 0 x 1, 0 y x z2 2 2 2 3 S: x , z 0 x 1, 0 y x 2 S: 16 S: zz 5xxxx222 1 16 xyyy222,,,, 4444 ≤ xxxx2222 1yyyy2222 ≤ 16 3.4.S: z 2,3 x 2 y 2 1 S: zzy, S: 16 2 yy 2 2 2 2 16 18. f x, z S: z x y , 4 x y 16 22evaluate 22 22 2 1– In Exercises 4, evaluate x 2y 1 z dS. In Exercises 17–22, f x, y, z dS. 3 2 z 19. y z f x, y, z x xy dS. 5 and 6, evaluate 19. x,x,y,y,y,zzzd 5 !xxx222 1yyy222 1zz2z22 xydS. dS. x In Exercises and evaluate S: ejercicios , 5 y6,6, 4.Exercises z 3 x55and 06,evaluate x 1, 0 xy ydS. 19. ffffx, In 19. s xy En los evaluar S2 S 2 2 y z x, y, z x In Exercises 5 and 6, evaluate S f x, y, z 2 22 2x 22 y 22 2 z 22 2 19.S: In Exercises 5 and 6, evaluate SSS xy dS. S: S: zzzzz 5x!xxxx2222y1,yyyy222,,4,,2 xxxx222x21yyyy222y ≤ 4444 16 SS x octant 4,octante 0 y 3 fS: x, y, 1. 17. S: S: z zzz xx2 xx222 yy2,yy222xz2 zz222y 2 4 5. first S: xx, y,y, 5.Exercises first octant S: zzz 33435 and x 6,0y, primer 19. f xy dS. In5. evaluate 20. f x,x,y, y, 5. first octant S: x 20. ffx, y,y,zzzd 5 ! 5. first octant S: zz 33 xx y, 20. fS: x, y, xx222 yyyy2222y 1 zz222 20. s x, S: y, 5. first octant 2 f x, y, z S S: z 15 2x 3y, 0 x 2, 0 y 4 z x 2. 2 f x, y, z xx222y, xxxyy2x222,21 yxx2 2 zzzy122122 4y 22 1 h, 2, 6. 20.S: S: zzz5 h, h, 0000 ≤ xxxx ≤ 2, 2, 0000 ≤ yyyy≤ !44442 xxxx222 6. S: 6. z S: z , S: h, 2, 6. 2 2 S: z x y , x 2 z h, 0 x 2, 00 yy 44 xx 2 6. S: S: zz 5 !xxxy yy 22,2, sxx 2111d2222 1yyy2222 ≤ 111 2 S: S:S:zz z 32,h, x02 y,yx2first2,1octant 3.6.S: 5. S: z zz xx2221 y 1 2 y 2,2 2 x 22 2 1 20. f x, y, x 21. 18. f x, y, 21. x,x,y,y,y,zzzd 5xxx222 1yyyy22y2 1zzz2z2z2 CAS In Exercises 773and and 8, use aacomputer computer algebra system to evaluate los ejercicios utilizar un sistema algebraico por compuCAS En InExercises Exercises and 8,8,use use computer algebra system toevaluate evaluate 27 21. ffffx, 2,7 y8, 21. s CAS In a algebra system to z 2 2 2 2 x, y, z x y z S: x 4. z 0 x 1, 0 y x CAS In S: zy evaluar h, 0and 8, x use 0 y algebra 4 xsystem 6. f x, z x222 x 9,y 2,y0 x xz 1 23, y02 y1 3, 0 z 9 21.S: 3 77 and CAS tadora In Exercises Exercises 8, use2,aa computer computer algebra system to toevaluate evaluate zxx222y, S: S: x 3, 3,2 000 ≤ yyy ≤ 3, 3, 000 ≤ zz ≤ 99 29, 00 S: xzx 222 1xyy2yy2222 5y9, S: S: ,9, 2400 ≤ xx2xx2 ≤ 3, y3, 016 yy 3, 3, S: x y xx222 9, 3, 00 zz 99 22 22 xy dS. xy dS. 21. f x, y, z y z 22. f x, y, z y z CAS In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate 22. x,x,y,y,y,zzzd 5xxx222 21yyy222 21zz2z22 2 xy dS. 22. fffffx, xy dS. 22. s SS Exercises 19. y x, y, z xy dS. In 5 and 6, evaluate 2x 2 2z x, y, z x y z xy dS. xy dS. f x, z y 222 x 9, y00 xxz 3, S 22.S: xxx2222y, S: 9, xx 0 z 9 S S: 9, 0 x 3, 3, 00000 ≤ yzzzz ≤ x3, SSS S: xzx 222 1yyyy2x2222 59, 22, S: 9, 3, S: y 2,2000x≤2 x2xx ≤y 23, z 9 x 0 x 2, 0 y x S: 7. 2 z 9 x 0 x 2, 0 y x S: , 7. S: y 9, x 3, 4 0 zz xxx 2 xy dS. z 9 x 0 x 2, 0 y x S: , 7. 2 22. f x, y, z x y z 2 2 S: 7. 5. 2 x≤ 2,02, 2, 000≤ y yy≤ x xx S:zzz5 93199xy, 2 xxx, ,, y,000first ≤ xxoctant 7.S: S7. In Exercises 23 –28, find the flux of FF through S, 20. f x, y, z 23 x 2 find y 2the InExercises Exercises 23 –28, find thezflux flux ofF throughS, S, S: 8. S: zzz 112121xy, xy, 00 xx 4, 4, 00 yyy 444 8. S: In of 2 2 –28, 8. 2 In Exercises 23 –28, find the flux offlujo through S, S: y 9, x 0 x 3, 0F2Fthrough zde Fxa través 2h,1xy,0 00 x xx 2, 4, S: z 4, 0 y 4 8. En los ejercicios 23 a 28, hallar de S, S, S: z 0 y 4 x 6. In Exercises 23 –28, find the flux through 2 2 2 el of 2xy, S: xy, z 0 x 4, 0 y 4 5 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4 8. 2 8. 2 2 S: z x y , x 1 y 1 7. S: z 9 x , 0 x 2, 0 y x In Exercises 9 and 10, use a computer algebra system to evaluate CAS InExercises Exercises1 99and and10, 10,use useaacomputer computeralgebra algebrasystem systemto toevaluate evaluate CAS In FFx, y, N dS NzdS dS23 –28, CAS In Exercises 21. fF x 2 find y 2 the z 2 flux of F through S, In Exercises and 10, algebra system to evaluate S: z 2 xy, xuse 0 sistema y algebra 4 algebraico 8. CAS CAS In 799and use a a4, computer system to los ejercicios 9 0y8, 10, utilizar un compuFF ?NN N dS CAS En S InExercises Exercises and 10, use acomputer computer algebra systempor toevaluate evaluate F N dS dS SS SS S: x 2 tadora S y 2 9, 0 x 3, 0 y 3, 0 z 9 22y evaluar 2xy dS. 2xy dS.10, use a computer algebra system to evaluate where N isisdS the upward unit normal vector to S. 9 and where NNis theupward upward unit2normal normalvector vectorto toS. S. CAS In Exercises xxxx22dS. 2xy dS. F where N the 2 2xy dS. 2 2 unit SS xy where unit to x 2xy dS. 22. f x,N y,is z the xupward yunitario z normal donde es el normalvector a S dirigido S. hacia arriba. S N is thevector upward unit normal vector to S. Swhere N SSS xx 2 2 2xyc dS. 23. F x,x,xy, zz y 2 3z 3z ii 4j 4j yk 22 22 23. F y, 3z 4j yk 2y, z 10 x 0 x 2, 0 y 2 S: y , 9. 23. F x, z i yk 2 S: 9, 0 x 3, 0 z x 2 2 10 dS. S: 9. S: S x zzz 2xy 23. FFsN x, y, 3z 4j yk xx 2 yy 2,, 00 xx 2,2, y 000 x yyy 222 9. where unit normal vector to S. F x, y, zzzd 5upward 3z 4j 1octant yk 23. x,is y,the 3ziii 2 4j yk 23. S: S: 9. S: z 10 910 7. 10 x 2x,x 2 0 yy 2,,x 00 2, xx 0 2, 2, 01 y 2 first y,y,first S 9. S: z firstoctant octant S: zzz 111 xxx y, S: 2 2 1 first octant S: zz 1123 –28, xx find y, zzz5 10 x 002 y xx, 0 ≤,, x00≤ 2,yy 0 1≤1xxy ≤ 2 9. S: 1 2 S: cos x, 10. primer octante S: y, In Exercises the flux of F through S, first octant S: cos x, 10. xy,x, 02 0 x 2x 4,2 , 0 0 y y 4 21x 8. S: z cos 23. i yj 4j yk 10. 24. FFx, x,x,y, y,y,zzzz 3z 2cos 24. F yj 10. 9. 24. F x, y, xxxxiiii yj S:zzz 10 cos x, x,x 00 y ,xx 0p222 ,, x 00 2,yy 01222xxy 2 10.S:S: 24. F x, y, z yj FFsx, xxii 1y,2y, yj 24. x, y, y, zzd 5 3x yj 24.S: 10. S: z 5 cos x, 0 ≤ x ≤ ,2 0 ≤ y ≤ 1x2 firstfirst octant octant S: first octant S: zzzz 1666 x3x 3x 2y, 2y, first octant S: In Exercises 9 and 10,11 useand a computer algebra system to evaluate CAS Mass 212, 2mass FS: N dS66 3x octant z 2y, In Exercises find the of the surface Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface S: z cos x, 0 x , 0 y x 10. primer octante z S: 3x 2y, first first octant Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 24. F x, y, z x i yj 25. F x, y, z x i yj zk S Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 2 2 25. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj zk zk 25. Mass S Exercises 12, findlathe mass oflámina the surface lamina of density SSIn ..1111and lamina oflos density 25. F x, y, z x i yj zk lamina of density . Masa En ejercicios y 12, hallar masa de la bidiFFsx, y, xx2i2i 1 2y, yj 25. y, 6z1zd 5 3x yj zkoctant 25.S: 22 1 lamina density zzx, x 2 SS of 2xy dS. .. S: ,, first zzzk lamina of density S: N where normal vector to S. S: zzz is the 111 upward xxxx222 yyyy22,unit 000 mensional r. first S de densidad 22 2, zz Mass In Exercises 11 12, and 12,octant, find thex,x,mass ofxx22the surface 2 S: S S: 11. 2x 3y 6z y y, z 2 S: y , z 1 x z 00 11. first octant, S: 2x 3y 6z 12, y y, z 11. first octant, S: 2x 3y 6z 12, y x, y, z x 2 2 25. F x, y, z x i yj zk 26. F x, y, z x i yj zk 26. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj zk zk 11. first 3y 6z 12, x, y, zz xx 2 2 yy 2 2 lamina of 26. S: zS2x 2x x, 11.S:S: firstx,octant, octant, 2.25 12, 22primer 23. FF y,y, 3z 4j yk 2 6z 2 12, 2 6z 26. FFsx,x, x, x2iiii 1 yj zk 1density 3y3y21 rsy, x,yy, zd25 x 1y octante, 11. 12. y, kz 26. y,z1zzzdy5 yj zk x y, S: 9. S: 12. x, y,zzz2, 0kz kz S: 2x 2 1 zk 26.S: 22y, 22 xxx 22 yyj 12. zzz 10aaaa222 x xxxx222 y yy,yy22,,2,,0 x, ,36, zxx, zfirst octant S: z 2 2 2 first0octant octant x S: y z 36, 12. x, y, z kz S: first x S: y z 36, z a x, y, z kz S: x y , 2 2 2 2 2 2 2 2 12. first octant S: z 1 x y, 2 2 2 2 2 2 ! first xxx 1 yyy 1 zzz 5 36, S: z 5 3ya 26zx 212, y ,first r soctant, x, y, zd 5x,kz1y, z 12. S: 2x 11. y x S: 36, primer octante S:x, 36, first octant octant 26. F y, z x i yj zk 27. F x, y, z 4 i 3j 5k 27. FF x,x,y,y,zz 44ii 3j 3j 5k 5k , 0 y x 10. S: z cos 2x, 02 x 2 27. 24. F x, y, z x i yj In Exercises 13–16, evaluate f x, y dS. 27. F x, y, z 4 i 3j 5k 2 2 In Exercises 13–16, evaluate f x, y dS. 12. z a x, y, z kz S: x y , FFsx, 5k 27. x,2 y, y, zzd 25 44ii 22 3j 3j2 1 first 5k In Exercises 13–16, evaluate y dS. 27.S: 22 octant In Exercises 13–16, evaluate SS fffx,x, S: 44 S: xzzz xxxy2222 yyyz2222,,, xxx2236, x, yy dS. dS. Inlos Exercises 13–16, S: yyyy222octant S S: zzzz 5 6xxx22 13xyyy22,,, 2y, 2 ≤ 44 En ejercicios 13 a evaluate 16, evaluar f xx, yc dS. xxx222 first S: 44 SS S: 1 y S: y f x, y y 5 13. 27. F x, y, z 4 i 3j 5k Mass In Exercises 11 and 12, find the mass of the surface 28. F x, y, z x yj 2zk f x, y y 5 13. S 28. FF x,x,y,y,zz xxii yj yj 2zk 2zk f f x,x,yy 13–16, yy 55 evaluate 13. 28. In Exercises f x, y dS. 25. F x, y, z x i yj zk 13. 28. F x, y, z x i yj 2zk f x, y y 5 28. FFsx, x, y, y, zzd2 5 xxi2i 1 yj yj 2zk 13.S: S: u, vj 2vk, 1, lamina of 2 2 2zk 2 28.S: S: rrSr u, u,vvvdensity vj 2vk, 2vk, 1, 000 vvv 222 4 S S: uuuiii . vj 000 uuu 1, S: zzzz x aaa2222y2 ,xxx2222x2 yyy2222y S: rr u, S: S: u, vvxy uuii vj vj 2vk, 2vk, 00 uu 1, 1, 00 vv 22 S: zzzz 5 1!aaa2x2 2 xxx2y2 2, yyy2z2 0 S: S: S: f x, y 14. 2 2 f x,x,2x xy 56z 12, first octant, x, y, z 14. fS: 13. yy 3y yxy 28. F x, y, z x i yj 2zk 14. 11. y x ff x, 14. In Exercises and 30, find flux of FFover over the closed surface. x, yyu, vv xy xy cos vj 26. F x, y, z 29 xand i 30, yjfind zkthe 14.S: InExercises Exercises 292and 30, find theflux fluxof ofF overthe theclosed closedsurface. surface. 2vk, In S: sen jj uvvkk 1, 0 v 2 S: rrzrru, u,vv a 2 u222icos cos senx,uuu0y, In 29 and find the flux of the closed surface. S:N zbe2 the29 aoutward x2 230, y 2 the 12. S: x 2 uuuuiiiiy 2,2222sen InExercises Exercises and 30,30, find theoctant flux ofFFover over the closed surface. (Let unit normal vector of the surface.) 2outward S: rru,u, vv 22 cos sen uujjj z vvvkkkkz (Let Nbe be they29 unit normal vector ofFthe the surface.) En los ejercicios 29 y hallar el flujo de sobre la superficie S: u, cos u i 2 sen first x S: z 36, (Let N the outward unit normal vector of surface.) 14. f x, y xy (Let N be the outward unit normal vector of the surface.) (Let N be the outward unit normal vector of the surface.) 00 uu cerrada. normal a la superficie dirigido In 30,3jfindunitario the 27. ,,,, 00u00i vvvv2 sen 111 F x,x, y,y,(Sea z 29Nand 4xel i vector 5k yj zk 29. yj flux zk of F over the closed surface. 29.Exercises uu 2222cos S: r000u, vu13–16, FF x, y,y,zzz xxx yyyy iiii yj zk 29. 0 v 11ufj x, yv kdS. In Exercises hacia afuera.) F x, yj zk 29. 22 ,evaluate (Let N be the outward unit normal F x, y, z x y i yj zk 2 29. S: z 16 x16 yxx2222, xyy2222,, yzz2 004 vector of the surface.) S 15. x,x,yyy xxx yyy S: zz 16 15. fff x, x 22 yy 2,2, zz 00 S: 15. z 16 S: 15. ffx,x, ,y 0 v 1 zy,y,zzzd16 0 x,r0yyyu, vuyxx 225ycos 29. FFFS:x, sx,x,y, 5 x4xy sixxx1 ydi iy21 1zk zk 15. fS: 13. 2, 2zk 28. x yyj yjyjz yzk 29. 30. u i 2 sen u j v k 30. yzk F x, y, z 4xy S: rr u,u,vv 22cos cosuuii 22sen senuujj vvkk 30. FFx,x,y,y,zz 4xy ii2ii zzzz222jj2jj yzk S: 30. yzk 4xy S: r u, v 2 cos u i 2 sen u j v k S: r u, v u i vj 2vk, 0 u 1, 0 v 2 j yzk F x, y, z 4xy i z 2xx 2 y 2y,y 2, z z 0 0 30.S: S:unit z 16 16 S: zunit a 2 xbounded cube by 0, 1, 0, 1, 0, 15. f S: x, yr u, vx y2 cos u i 2 sen u j v k cube bounded by xxx 0, S: zunit 0, xxx 1, 1, yyy 0, 0, yyy 1, 1, zzz 0, 0, cube bounded by S: unit cube bounded S: xxyzk 0, xx 1, yy 0, yy 1, zz 0, 2 by 14. f x, 00y0 uuuxy 2,,, 000 vvv 111 cube bounded by S: 0, 1, 0, 1, 0, 2 unit 30. F s x, y, z d 5 4xy i 1 z j 1 z 1 30. F x,zzy, z11 4xy i z j yzk ,, u00i v2v sen11u j v k S: r 00u, v uu 222cos zz 1129 and 30, find the flux of F over the closed surface. In Exercises 22cos u i 2 sen u j v k S: r u, v 2 50,0,y x 51,1,z y 50,0, cubocube unitario limitado 16. x,x,yyy xxx yyy bounded bynormal S:S: xo acotado 0, x por 1, y xthe 16. fff x, (Let N unit be the outward unit 16. 31. Electrical Charge Let be an EE vector yz xz xy 31. Electrical Electrical Charge Let E be an an yziii ofxz xzjjj surface.) xykkk be 16. ff x, y,y 0 v 1 y 5 1, z 5 0, z 5 1 31. Charge Let yz xy x,r0yyu, vu xx 4u 16. S: z 1 31. Electrical Charge Let an E yz i xz j xy kk be 24u, cos v i 4u sen v j 3u k E yz i xz j xy 31. Electrical Charge Let be an S: r u, v cos v i 4u sen v j 3u k electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge 0 u 0 v 1 electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge S: rru,u,vv 4u cos v i 4u sen v j 3u k electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge S: 4u cos v i 4u sen v j 3u k FCarga x, y, z eléctrica xfield.y Sea i E yj zki 1 29. 24u cos v i 4u sen v j 3u k 5 yz xz j 1 xy k 31. un campo elecelectrostatic Use Gauss’s Law to find the total charge S: r u, v electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere 16. f00x, y uu x4, y 0 v enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere 4, 00 vv enclosed the closed surface consisting the 2 la 2,de 31. Electrical Charge Let bequean yzhallar i xzlajof xy khemisphere trostático. Usar ley Gauss carga total hay enclosed by surface consisting of the hemisphere 2yand z 1116by xthe zits 0E para S: 15. 0f00x, yuuu x4,4, y0 v enclosed by closed surface consisting of theplane. hemisphere xx2222the its circular base in the xyyyclosed 22and and circular base inthe the xyplane. S: r u, v 4,4u0cos vvi 4u sen v j 3u k zzzen 1 x its circular base in xyplane. y 2 electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge el interior de la superficie cerrada formada por el hemisferio 2 2 z 1 x and its circular base in the xyplane. y 2 z 1 x and its circular base in the xyplane. y 30. F x, y, z 4xy i 2 z j yzk S: r u, v 2 cos u i 2 sen u j v k 2 enclosed consisting the xy. hemisphere 0 u 4, 0 v base circular en elofplano z 5 !1 by 2 xthe 2closed y y susurface 2 2 andby unit cube bounded S: xcircular 0, x base 1, iny the0,xy-yplane. 1, z 0, z 1 x its y 0 u , 0 v 1 z 1 2

1053714_1

15.6 Exercises

EE

EE

EE

EE

EE

16. f x, y

x

S: r u, v 0

u

y 4u cos v i

4,

0

v

4u sen v j

3u k

31. Electrical Charge Let E yz i xz j xy k be an electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere z 1 x 2 y 2 and its circular base in the xy-plane.

CAS

CAS

EE EE EE

2. S: z I 5 3.x S: zS

Larson-15-06.qxd 3/12/09 20:08 Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM PM Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 Page 1123 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1123

4. S: z Iy 5

15 2x 3y, 0 x 2, 0 y x y 2 12 z 2cr x2x, y, zc dS 2, x y 1 2 3 2 x , 0 x 1, 0 y x x3x 2 1 z 2cr xx, y, zc dS

S:(b) z Expla x (c) Use a 18. f x, y, repres z

4

S

xy dS.

In Exercises 52 and 26, evaluate xx 1 y cr xx, y, zc dSS Iz 5 S

Integrales de superficie 1123 5. S: z SECCIÓN first octant 3 x y,15.6 33. Verify that the moment of inertia of a conical shell of uniform 2 z h, about 0 its x axis2,is 10ma 2,ywhere4m isxthe 6. S:density mass and1123 a is the 2 15.6 Surface Integrals 15.6 Integrals 1123 15.6 Surface Integrals 1123 15.6 Surface Integrals 1123 15.6Surface Surface Integrals 1123 radius and height. In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate 32. Carga eléctrica Sea E 5 x i 1 y j 1 2z k un campo elec- CAS 43. Investigación 34. Verify that the moment of inertia of a spherical shell of uniform trostático. Usar la ley de Gauss para hallar la carga total que hay a) density Utilizarabout un sistema algebraico computadora representar 2, where its diameter is 23mapor and a is m is theymass 32. en Electrical Charge Let cerrada E 5 x formada i 1 y j 1por 2z kel hemisferio be an CAS 43. Investigation elElectrical interior de laCharge superficie CAS 43. Investigation 32. Electrical Charge Let EE 5 xx5 ii 1 yy1 jj 1 2z kk2z be an xy dS. CASCAS 43. 43. Investigation 32. 32. Electrical Charge LetLet 5E 1 1 2z be be an an gráficamente la función vectorial Investigation x i y j 1 k CAS 43. Investigation 32. Electrical Charge Let E 5 x i 1 y j 1 2z k be an the radius. electrostatic field. Use Gauss’s Law to find the total charge 2 2 1053714_1506.qxp 10/27/08 1:47 PM Page 1122 S (a) Use a computer algebra system to graph the vector-valued yUse suUse base circular en plano zelectrostatic 5! 1 2 x field. 2 yfield. Use Gauss’s Law to the total charge electrostatic field. Gauss’s LawLaw toelfind find thexy. totaltotal charge (a) Use a computer algebra system to graph the vector-valued electrostatic Gauss’s to charge (a) (a) Use computer algebra theuthe vector-valued electrostatic field. Use Gauss’s Law tooffind find the total charge aas2computer to enclosed by the closed surface consisting the the hemisphere Use algebra system to graph vector-valued sen r(a) su,Use vad 5 4computer 2 v sen sin ualgebra d cossystem s2usystem di 1tos4graph 2 vgraph sin dthe sinvector-valued s2udj 1 sen enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere zfunction 9 Inertia x , 0In Exercises x 2, 035 and y 36, x find I for the given S: function 7. the closed surface consisting of the hemisphere 2 by 2 and function enclosed by the closed surface consisting of the hemisphere Moment of ! function its circular base in the plane. z 5 enclosed xy1 2 x 2 y z function 2 2 2 2 ! v cos uk, 0 ≤v sin u ≤udpcos , 21 ≤ v ≤ 1. its base in zz 5 2 and its circular circular base in the the plane. 5zz! xy-plane. 211xx2 2 y2 Momento de ejercicios 33 y base 34, utilizar lasplane. fórmu! its in the 5 xyxx22yEn ylos ! and its circular circular base in xythe plane. 511inercia xy22 2and y22 and with ofdiy1 1. sUse computer v1dxy, 5 uniform s402 44 2 vasin ud sins2udalgebra j1 S: rzrssu,u, xsindensity 4,d cos0ss2u 8.lamina 2u 1 sin ddsin 2u 1 rsu,r2rvvssdu, du,5 5 452 2 sinvvusin usin d cos scos 2udsdsi2u i2u 1ddisis41 412 2 sin usin sin 2udsdsj2u j2u 1ddjj 1 las siguientes para los de and inercia a los vvddss45 ss44vv2 uudd cos ss44vv2 vvusin uuddsssin 2 2 sin 1 system to verify your results. Moment of Inertia In momentos Exercises 33 34, con use respecto the following A esta superficie se le llama banda de Möbius. v cos uk, 0 u p , v 1. 21 # # # # Moment of In 33 34, use the following Moment of Inertia Inertia In Exercises Exercises 33 and and 34, 34, use thethe following ejes coordenados de una lámina bidimensional de densidad r . v cos uk, 0 u p , v 1. 21 Moment of Inertia In Exercises 33 and use following # # # # v cos uk, 0 u p , v 1. 21 Moment of Inertia In Exercises 33 and 34, use the following #algebra #vv ##system 9cos and 10,#use a#uucomputer to evaluate v uk, 0 p , 1. 21 formulas for the moments of inertia about the coordinate axes CAS In Exercises # # # v cos uk, 0 p , 1. 21 # # # 2 1 y 2 5por formulas for the moments of about the coordinate axes formulas for for thethe moments of inertia inertia about thethe coordinate axes qué no es orientable. 35.b)xExplicar 0 esta a 2,is h # z superficie about coordinate axes formulas for the moments of inertia about the coordinate axes This surface called a#Möbius strip. of a formulas surface lamina ofmoments density rof . inertia This surface isis called aa Möbius strip. This surface called Möbius strip. of aaof surface lamina of density r . of surface lamina of density r . 2 This surface is called a Möbius strip. 2This 2sistema surface is called a Möbius strip. rr.. surface lamina ofzcdensity density 2 c) Utilizar un algebraico por computadora y representar Ix 5 of aa surface x y 2 1 zlamina cr xx, y,of dS 36. z 5 x 1 y , 0 z h # is not orientable. 2xy why dS. this#surface (b)x Explain 1122 S Chapter 15 Vector Analysis (b) Explain why this surface is not orientable. (b) Explain why this surface is not orientable. gráficamente la curva en el espacio dada por r su, 0d. IdenS (b) Explain why this surface is not orientable. 2 2 (b) Explain why this surface is not orientable. Ix 5 x y 221 z 2c2r xx, y, zc dS (c) tificar Use a lacomputer algebra graph the space curve IIxx 5 xxy2y xx1 ccrrzzxx22x, y, zzcy, 22zz1 5 1 x, y, cy,dS dS CAS Flow Rate In Exercises 37 system and 38,to use a computer algebra curva. I 5 y c r x x, z c dS (c) Use a computer algebra system to graph the space curve S 2 I 5 y 1 c r x x, z c dS (c) Use a computer algebra system to graph the space curve 2 2 x algebra curve Iy 5 x SS xx 1 z cr xx, y, zc dS z(c) 10 x system 2, 0 to ygraph2 the 9. S: represented (c) Use Use aaxcomputer computer system to graph the space space curve by rrate Identify the curve. syu,, 0dof .0algebra SS system to find the mass flow of a fluid of density r represented by r Identify the curve. s u, 0 d . S represented by r Identify the curve. s u, 0 d . d) Construir una banda de Möbius cortando una tira de papel, represented by r Identify the curve. s u, 0 d . represented by r Identify the curve. s u, 0 d . 1 Iy 5 xx 2221 z 22c2r xx, y, zc dS through the surface oriented upward if the velocity field is (d) Construct a Möbius strip by cutting a strip of paper, S IIyy 5 x x 1 z c r x x, y, z c dS 5 5 xx2 xx1 cy,dS S: zConstruct cos x, solo x y strip , 0 by x aa strip un giro, pegando extremos. (d) aa0 Möbius cutting of (d)dándole Construct Möbius strip byylos cutting strip of paper, paper, xx222z1 ccrrxy, zzcc dS odd-numbered exercises. 1crzzx22x, xx, x,zy, dSSee www.CalcChat.com for worked-out solutions to10. (d) Möbius strip by aa strip of (d) Construct Möbius strip by strip of paper, paper, Iz 5IIyyS5 2and 2cutting SS xx 1 y cr xx, y, zc dS givenmaking by FConstruct twist, pasting thecutting ends together. xx, ay,single zc 5aa0.5zk. SS making a single twist, and pasting the ends together. making a single twist, and pasting the ends together. S e) Cortar la banda de Möbius a lo largo de la curva en el espamaking a single twist, and pasting the ends together. making a single twist, and pasting the ends together. 2 2 xx 221 y 2c2r xx, y, zc dS Iz 5 (e)S:cio Cut the16 Möbius the space curve graphed in part 2 2 2, along xxxx que IIzz 5 5 ryyxx22x, x, cy,dS dS inciso c), ystrip describir 37. z $ z del 5 2 Möbius xMöbius yand 0el Mass Exercises 11strip 12, find thespace mass of the surface (e) Cut the Möbius strip along the space curve graphed in (e) In Cut the Möbius along theresultado. space curve graphed in part part x1 xx22yyel 1 ccrry, xy, zzcc inercia dS IIzzS5 5 x1 1ccr xx, x,zzcy, dS 33. Verificar momento de de una capa cónica de den(e) Cut the strip along the curve graphed in (e) Cut the strip along the space curve graphed in part part (c), and describe the result. SS SS 1 lamina of density S . 2 2 (c), and describe the result. 2 (c), and describe the result. !and In Exercises 1– 4, evaluate x 2y 1 z dS. In Exercises 17–22, evaluate f x, y, z dS. 38. S: 16 2 x 2 y z 5 sidad uniforme, con respecto a su eje, es donde m es la ma , (c), describe the result. (c), and describe the result. 2 33. Verify that the moment ofS inertia of a conical shell of uniform S 33. Verify the moment of conical shell of 33.masa Verify that theradio moment of inertia inertia of aaof conical shell of uniform uniform 1of y athat esthat el yisaltura. 33. Verify moment aa conical shell of 2of discusión 33. Verify that the moment of inertia inertia of conical shell of uniform uniform 11. CCPara AAS: PPSS2x TTO NN3y EE 6z 12, first octant, x, y, z x2 y 2 density about itsthe axis 1 112,2 where m is the mass and a is the 21ma O C A P S T O N E density about its axis is where is the mass and is the ma , m a 22, where density about its axis is where is the mass and is the m a ma , 2 2 2 W R I T I N G A B O U T C O 2 C A P S T O N E 2 C A P S T O N E density about its axis is is the mass and is the m a ma about is inercia is the mass and z density 4 que x, 0 its xaxisde 4, 0 , where y una 3mcapa x2 a is the 17. f x, y, z 1. S: y2 z2 N C E P T S 22 ma 34. Verificar el momento de esférica de denradius and height. 44. field 12. z athe x, y, z kz S:Consider x yfield , 44. Considerar elvector campo vectorial radius and height. radius andand height. 2 44. Consider vector 44. Consider vector 2 donde m height. radius and height. 2 field 39. athesurface integral 44. Consider the 44. Consider the vector field sidad uniforme, con3y, respecto ax suofdiámetro, z radius 15 the 2x 2,a spherical 0 yesshell x 2 vector S: z Define x the y, yfield 1 of the scalar function f over a 2. S: 34maof, uniform 34. Verify that moment of0inertia F s x, y, z d 5 zi 1 xj 1 yk 34. Verify that the moment of of a of spherical shell of 34.es Verify thatythat thees moment of inertia inertia spherical shell of uniform uniform 2 inertia how to evaluate the surface zzzdd5 szi x,xj yd1 .xj FFsssurface x, 5 zi yk x,FFy, y, zdy, dy, 5 zi 1 xj 1 yk la masa el radio. 34. the aa spherical shell of 2 of aof 34. Verify that the moment of inertia spherical shell of uniform uniform ssx, 5 1 1 x,z13–16, 5g1 zi 1 xjExplain 1 yk ykf x, density about diameter xa2its z Verify 2, y 2moment 1 isisof xy 3. S: 2 222,2 where m is the mass and a is 32ma In Exercises evaluate yinladS. density about its diameter where is the mass and is ma , m a 22, where S and the orientable surface given parametric form by density about its diameter is where is the mass and is ma , m a 18. f x, y, z y la superficie orientable S dada por forma paramétrica integral. 3 3 density about its diameter is is the mass and is ma m a density 2 3 2about its diameter is 33 ma , where m is the mass and a is and the orientable surface in form by andand the the orientable surface given in parametric parametric form by by thezradius. SSS given z orientable S surface given in parametric form S and the orientable surface given x , 4. S: 0 x 1, 0 y x the radius. 2 2 k, in parametric form by the radius. 3radius. the r s u, v d 5 s u 1 v d i 1 s u 2 v d j 1 u the radius. 40. Describe an orientable Momento de inercia En los ejercicios 35 y 36, calcular Iz para la 22d i 1 2su surface. 22k, 2 2 2 r s u, v d 5 s u 1 v 2 v d j 1 u 2 2 d5 u5,1 u2 d j vv1 2x yvvddsy5 13. S:f x,rzsyu,rrsvxsu, 16 ssuuv41 ddiis1 ssyuuv2 ddjju1 u, 5 1d ivv1 1 2 1k,uu2k, k, Momentespecificada of Inertia con In Exercises and 36,igual find Iaz 1. forUtilizar the given lámina densidad35 uniforme un 0# u v# 2, #vj2v # 2vk, 1. 41. a2, flux explain Moment of In 35 and 36, find the given S: rDefine u, u21 i integral 0 u how1,it is0 evaluated. v 2 IIzz for Moment of Inertia Inertia In Exercises Exercises 35 and 36, 36, findfind for thethe given 221 2and 0 # u # 21 # v # 1. 0 # u # 2, # v # 1. Moment of Inertia In Exercises 35 and for given I Moment of Inertia In Exercises 35 and 36, find for the given I 19. y z f x, y, z x xy dS. In Exercises 5 and 6, evaluate 00 # zz algebra # uu # # 2, 2, 21 21 # # vv # # 1. 1. lamina algebraico with uniform density of 1. yUse a computer sistema por computadora verificar los resultados. lamina with uniform density of 1. Use a computer algebra r 3 r . (a) Find and interpret lamina with uniform density of 1. Use a computer algebra S 42. Is Find the xy surface uin 2the v figure f x, lamina with uniform density of lamina withyour uniform density of 1. 1. Use Use aa computer computer algebra algebra 14. S: 2and 2 shown ..4rr .. orientable? Explain. (a) interpret 3 (a) Find andeand interpret system to verify results. z yEncontrar xFind yand , interpret x 2 rruuy3 v3 rruurrv3 (a) (a) Find interpret a) interpretar vv 2 1to system system toy 2verify verify your results. 35. xsystem 5verify ax2,your 0y,your ≤results. z results. ≤octant h to F ?22scos v. ru 3u2ri vd as22asen (b)r Find function system to verify your results. S: u, v u j vof kofuuuand 5. S: first z 3 FF x??FF v. ssrru?u 3 rrv3 dd as (b) Find aaas function and v. (b) Find function and 2 1 y 2 5 a 2, 20. f x,b) y,Encontrar z(b) ys3 zras v3 uu and r d Find a function of s r r d (b) Find as a function of and como unaof función de v. uv.y v. 35. 0 x z h u v # # 2 2 u v 22 1 22 5 22, 0 0 36. z 5 x 1 y , ≤ z ≤ h P u v s 3, 1, 4 d . (c) Find and at the point 2 35. x y a z h 2 2 2 # # 35. 0 x 1 y 5 a , z h h, yy 2205 4 x 6. S: 35. 2 2 2 2 35.z xx22 1 1 5 aax2,, #002,# ##0zz ## hyh P u v s 3, 1, 4 d . (c) Find and at the point PP(3, u and vv0aten s 3,PPs1, 44). d . 44dd.. (c) Find the point S: z x y , x 1 y 1 v 3, 1, (c) Find and at the point u v s 3, 1, (c) Find and at the point 0 u , v 1 c) Encontrar u y el punto 1, 36. z 5 x 221 y 2,2 0 # z # h (d) Explain2 how find the normal component of F to the 2how2to 36. zz 5 ##zzhh## hh 36. 36. 5zzxx5 1 xx22yy1 2 36. 51 1,, yy2020,, ##00zz# FFof (d) Explain to the normal component of (d) Explain how to find thelathe normal component of de to 21. f x,d) y,Explicar z(d) x at zfind Explain to find normal component to (d) Explain how to find the normal component ofto to the CAS In Exercises 8, useEna#computer algebra to evaluate cómo encontrar componente normal FFFthe athe lathe Ritmo o tasa 7deand flujo los ejercicios 37 y system 38, utilizar un sisP.y how surface Then find this value. 15. f x, y x y CAS Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra P. surface at Then find this value. P. surface at Then find this value. 2 2 P. surface at Then find this value. P. surface at Then find this value. superficie en P. Encontrar después su valor. CAS tema algebraico por computadora y hallar el ritmo o tasa de fluFlow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra CASCAS S: x y 9, 0 x 3, 0 y 3, 0 z 9 Flow Rate In Exercises 37 and 38, use a computer algebra Flow In 37 aa computer CAS Flow Rate In Exercises Exercises 37 and and 38, computer algebra system to Rate find the rate of mass flow 38, of use ause fluid of densityalgebra rS r Evaluate u, v 2 2the cos2flux u i integral 2 sen u j Fv?kN dS. (e) josystem desystem masa un fluido de densidad través de laof superficie r aflow to find the rate of mass flow of density rr rr 22. f S: 2 flujo system to de find the rate of mass flow of aaof fluid of density xy dS. e) de to find the rate of aavelocity fluid of density x, y,Evaluar z(e) x la integral y the system to find the rate of mass mass flow offluid fluid offield density FF ??FF N (e) Evaluate the flux integral N?dS. dS. (e) Evaluate the fluxzflux integral S through the surface oriented upward if the is S N Evaluate integral N dS. dS. (e) Evaluate the flux integral Sthrough the SS orientada hacia arriba, si el campo de velocidad está dado por through surface oriented upward if the velocity field is S the surface oriented upward if the velocity field is S SS oriented 20 through the surface oriented upward upward ifif the the velocity velocity field field is is u2 9,, 00 xv 3, 1 0 SSz x giventhrough by Fxx, the y, zcsurface 5 0.5zk. S: y x Fgiven x7.x,S: y, z c 5 0.5zk. by F x x, y, z c 5 0.5zk. 2 2 given by F x x, y, z c 5 0.5zk. z by 9 FFxxx, x y, x 2, 0 y x ,y, zzcc05 given given by x, 5 0.5zk. 0.5zk. 37. S: zz 5 116 2 x022222 xy 222,2 4,z $00 y 4 16.Exercises f x, y 23x –28,y find the flux In of twist F through S, Double S: xy, 8. 37. 5 xxx2 , ,, yyz2z2z,,≥$$z0z00$ 37. S: 5 2 2 37. 37. S: zS: zS: 5216 16 2 2 zz16 5 16 xxy22yy2 37. 52 16 22 2 $ 00 PROYECTO DE SS S: EE CCr Tu,T IvI OO NN PPTRABAJO RRv O J E C T !16 2 x22222 y 2222 38. S: z 5 ! 4u cos i 4u sen S ES CE TC ITOI NO NP RPOORJJOEEJCCETTCv j T 3u k 5 16 2 xxx22 38. 38. S: 16 2 2 5 ! 38.S: S:zzS: 16 2 2 zS: 5zz! ! 38. 16 xxy22yay2 yy22 ! 38. 16 2 5 95 and 10,2 use computer algebra system to evaluate CAS In Exercises F0 NudS 4, 0 v

EE EEEEEEE E 15.6 EEEEEEE EExercises EEEEE E

EEEEE E

W R IITTIINNGG AABBOOUUTT CCOONNCCEEPPTTSS W WRRW I TRIIINTTGIIN AGGBAA OBB UOOTU NOOCN ECP UCTTOCC N CETEPS PTTSS 2 R xW 2xyNdS.

39. Define a surface integral of the scalar function f over a Desarrollo de conceptos 39. Define aa surface integral of scalar function aa aa ff over 39. 39. Define surface integral of the the scalar function over Define aa surface integral of scalar function ff over 39. Define surface integral of the the scalar function over

surface z 5 gsx, yd. Explain how to evaluate the surface surface how evaluate the surface zz 5 ssx,x, yyss2dx, .. yExplain surface howhow tofunción evaluate the the 5zz2gg5 dx, surface d0d.. Explain surface Explain toyevaluate evaluate the surface yExplain lato escalar fsurface sobre z surface 10la integral x 5 gygde x de 2, how 0 to 2 , superficie 9.39.S:Definir integral. integral. integral. integral. integral. una superficie z 5 gsx, yd. Explicar cómo se calculan las in1 40. Describe an orientable surface. Describe orientable surface. 40. Describe an orientable surface. S:tegrales z Describe cosdex,an 0an x , surface. 0 y x 10.40. superficie. 40. 40. Describe an orientable orientable surface. 2 explain 41. Define a flux integral and how2it is evaluated. 41. Define aa una flux integral and explain how itit isisititevaluated. 41.Describir Define flux integral and explain howhow evaluated. 40. superficie orientable. 41. Define aa flux integral and explain is 41. Define flux integral and explain how is evaluated. evaluated. 42. IsIn theExercises surface shown in the figure orientable? Explain. Mass 11 and 12, find the mass of the surface 42. Is the surface shown in the figure orientable? Explain. 42.Definir Is the surface shown in the figure orientable? Explain. 41. una integral de flujo y explicar cómo se evalúa. 42. 42. Is Is the the surface surface shown shown in in the the figure figure orientable? orientable? Explain. Explain. lamina S of density . 42. ¿Es orientable la superficie de la figura adjunta? Explicar. 11. S: 2x 3y 6z 12, first octant, x, y, z x2 y 2 S

a2

12. S: z

x2

y 2,

x, y, z

In Exercises 13–16, evaluate

kz

f x, y dS. S

y 13. f x, y S: r u, v 14. f x, y

2vk,

0

x

S: r u, v u

2

,

0

u

Double twist Double twist Double twisttwist Double Double twist

2 cos u i Doble 2 sengiro uj

u

15. f x, y

0

vj

xy

S: r u, v 0

5 ui

v

vk

1

0

v

2

where N is upward surface unit normal S. Consider thethe parametric given vector by the to function Consider the parametric surface given by function Consider the parametric surface given by the the function Considerar lathe superficie paramétrica dada por la función Consider parametric surface given by function Consider the parametric surface given by the the function 23. i v4j rsu, F vd x, 5y,a zcosh 3z u cos i 1 ayk cosh u sin vj 1 b sinh uk. rrrsssu, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk. u, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin vj 1 b sinh uk.uk. u,S: vcos i 1vvioctant cosh u sen sinuu vj sinh uk. senh rrvssdu, aa cosh uuy,cos aa cosh sin bb sinh u,z5vvdda5 5 cosh ia1 1 cosh sin1vj vjb1 1 sinh uk. first 1cosh xu cos (a) Use a graphing utility to graph r for various values of the rr for (a) Use aazgraphing graph various values of (a) Usar Use graphing utility to graph for various values of the the 24. F x,Use y,una x i b.utility yj a) de to graficación representar r para va-the rroffor (a) aaherramienta utility to various values of (a) Use graphing utility to graph for various values of the a graphing constants and Describe thegraph effectpara the constants on the aa de b. constants and Describe the effect of constants on the b. constantes constants and Describe the effect of the the constants on the rios valores las a y b. Describir el efecto de lasthe a b. constants and Describe the effect of the constants on a b. constants and Describe the effect of the constants on the S: z of6the surface. 3x 2y, first octant shape shape of surface. shape of the the surface. constantes sobre la forma de la superficie. shape of the surface. shape of the surface. 25. F x, y,that z thex isurface yj iszk (b) Show a hyperboloid of one sheet given by (b) Show that the surface isis es aais hyperboloid of sheet given by (b)Mostrar Show that the surface hyperboloid of one one sheet given bypor b) quethat la2superficie un hiperboloide deone una hoja dado (b) Show the surface aa hyperboloid of sheet given by (b) Show that the surface is hyperboloid of one sheet given by 2 S: y , x z 0 2 z y 21 2 z x 222 2 2 2 2 xxx2 1xx22yyy222yy22zzz22 5zz21. 2 26. F y,az1 i22 5 1 2 1. 1 2bx2 5yj 1. a 22x, 5 1. 22 2 5 1 2 5 1. 1.zk aaa 2 1 22a aa2 a2a22bbb2 2bb22 a a 2 S: x y z 36, first octant (c) For fixed values u 5 u0, describe the curves given by uuu3j5 ,,, describe (c) For fixed values the curves given by 5uuuuu5 (c)Para For fixed values describe the curves given by 0005k c) valores las the curvas dadas porby 5 udescribir (c) curves given 27. F x, For y, z fixed 4fijos ivalues 5 u00,, describe (c) For fixed values describe the curves given by rsu0, vd 52 a cosh u 0 2cos vi2 1 a cosh u 0 sin vj 1 b sinh u0 k. 2 rrrsssuuuz00rr,,,ssvvuvudddx,5 cosh uuxu00 cos vi cosh uuu00sen sin sinh uuu00k. 5vddaaa5 cos vi 1 1 cosh sin vj 1 sinh k.u k. S: ycosh 5 cosh vi 1 cosh vj 1 sinh senh aa, cosh uu00ycos vi aa cosh uu00 vj sin vj bb sinh 5 cosh cos vi4aaa1 1 cosh sin1 vjbbb1 1 sinh 0 0 cos 0 sin 0 k.u 00, v 00 k. v yj 5 v0,2zk (d) For fixed values describe the curves given by 28. F x, y, z x i v 5 v , (d) For fixed values describe the curves given by v 5 v , (d) For fixed values describe the curves given by 05 d) Para valores fijos las the curvas dadas porby v 5vvv5 vv00,, describe (d) fixed values curves given (d) For For fixed values describe the curves given by 00, describir 2 2 2 rS:su,zv0d 5 aa coshx u cosy v0 i 1 a cosh u sin v0 j 1 b sinh uk. rrrsssu, v d 5 a cosh u cos v i 1 a cosh u sin v j 1 b sinh uk. u,rrvsvs00u, cosh cos v000ii v1 cosh sin vsin j1 sinh uk.uk. 0 u, cosh uu cos vcos aa1 cosh uusen sin bb1 sinh uk. senh 0dd 5 v5 aa cosh uu cos aa cosh uu vsin bb sinh u, v00ddaa5 5 cosh v1 cosh v1 sinh uk. 00j v 00ii 1 00jj 1 u, vd the 5 sclosed 0, 0d. surface. (e)Exercises Find a normal vector to the surface atF sover In 29 and 30, find the flux of vvdu, d0, (e) Find aaun normal vector to surface at u, d5 5 ss0, 0, 0s0s0, d.. 00dd.. (e)Hallar Find normal vector to the the surface at ssu, e) normal la superficie 5 (e) Find normal vector to surface at 5 (e) Find aoutward normal vector to the the surface at (Let N be theavector unitanormal vectoren ofssu, thevvddsurface.) 29. F x, y, z S: z

y 2 cos u i 2

1,

S Hyperboloid of One Sheet Hyperboloid of One Sheet Hiperboloide una hoja Hyperboloid ofde One Sheet Hyperboloid of One Sheet

,

0

2 sen u j v

1

vk

16

30. F x, y, z

x x2 4xy i

y i y 2, z2j

yj

zk

z

0 yzk

S: unit cube bounded by x z 1

0, x

1, y

0, y

1, z

0,

S:(d) z Const x2 makin 19. f x, y, z (e) Cut th S: z x (c), an 20. f x, y, z

CS:A Pz S T O N x

21. 44. f x, Conside y, z S: xF2sx, y, y 2z

22. f x, and y, z the S: xr2su, vyd 25

0# u # In Exercises 23 (a) Find S

Find F (b) N dS (c) Find

where N(d) is the Exp surf 23. F x, y, z S: z(e) 1Eva 24. F x, y, z S: z

6

25. F x, y, z

SECTI

S: z

1

26.Hyperbolo F x, y, z

S: x 2 y 2 Consider the p 27. F x, y, z rsu, vd 5 a 2co S: z x (a) 28. FUse x, y, az gra constants S: z a shape of th

In(b) Exercises 29 Show that (Let N 2be the2 o y x 1 2 29. F ax,2 y, za 2

z fixed 16 v (c)S:For 30. F x, y, z rsu0, vd 5 S: unit cub (d) For z fixed 1

rsu, v0d 5 31. Electrical (e)electrostatic Find a nor enclosed by z 1

Larson-15-07.qxd

1124

15.7

3/12/09

20:15

CAPÍTULO 15

Page 1124

Análisis vectorial

Teorema de la divergencia n n

Comprender y utilizar el teorema de la divergencia. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular flujo.

Teorema de la divergencia Recordar que en la sección 15.4 se vio que una forma alternativa del teorema de Green es

E

Mary Evans Picture Collection

C

F ? N ds 5 5

EE 1 EE R

2

­M ­N 1 dA ­x ­y

div F dA.

R

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777-1855) Al teorema de la divergencia también se le llama teorema de Gauss, en honor al famoso matemático alemán Carl Friedrich Gauss. Gauss es reconocido, junto con Newton y Arquímedes, como uno de los tres más grandes matemáticos de la historia. Una de sus muchas contribuciones a las matemáticas la hizo a los 22 años, cuando, como parte de su tesis doctoral, demostró el teorema fundamental del álgebra.

De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triple sobre una región sólida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. En el enunciado del teorema, la superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la frontera completa del sólido Q. Ejemplos de superficies cerradas surgen de las regiones limitadas o acotadas por esferas, elipsoides, cubos, tetraedros, o combinaciones de estas superficies. Se supone que Q es una región sólida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que la superficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior, como se muestra en la figura 15.54. Con estas restricciones sobre S y Q, el teorema de la divergencia es como sigue. z

S1: Orientada por un vector unitario normal dirigido hacia arriba N S2: Orientada por un vector unitario normal dirigido hacia abajo

S1

S2 y

N x

Figura 15.54

TEOREMA 15.12 TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Sea Q una región sólida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada por un vector unitario normal dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces

EE S

F ? N dS 5

EEE

div F dV.

Q

NOTA Como se indica arriba, al teorema de la divergencia a veces se le llama teorema de Gauss. También se le llama teorema de Ostrogradsky, en honor al matemático ruso Michel Ostrogradsky (1801-1861). n

Larson-15-07.qxd

3/12/09

20:15

Page 1125

SECCIÓN 15.7

NOTA Esta prueba se restringe a una región sólida simple. Es mejor dejar la prueba general para un curso de cálculo avanzado. n

DEMOSTRACIÓN

EE S

Teorema de la divergencia

1125

Si se hace Fsx, y, zd 5 Mi 1 Nj 1 Pk, el teorema toma la forma

F ? N dS 5 5

EE ? EEE 1

sMi N 1 Nj ? N 1 Pk ? Nd dS

S

2

­M ­N ­P 1 1 dV. ­x ­y ­z

Q

Esto se puede demostrar verificando que las tres ecuaciones siguientes son válidas.

EE EE EE S

S

S

Mi ? N dS 5

EEE EEE EEE

­M dV ­x

Q

Nj ? N dS 5

­N dV ­y

Q

Pk ? N dS 5

­P dV ­z

Q

Como las verificaciones de las tres ecuaciones son similares, sólo se verá la tercera. La demostración se restringe a una región sólida simple, con superficie superior

S2: z = g2(x, y)

z 5 g2sx, yd

z

Superficie superior.

y superficie inferior N (hacia arriba)

N (horizontal)

z 5 g1sx, yd

S2 S3

cuyas proyecciones sobre el plano xy coinciden y forman la región R. Si Q tiene una superficie lateral como S3 en la figura 15.55, entonces un vector normal es horizontal, lo cual implica que Pk ? N 5 0. Por consiguiente, se tiene

S1 N (hacia abajo) x

R

Figura 15.55

y

EE S

S1: z = g1(x, y)

Superficie inferior.

Pk ? N dS 5

EE

Pk ? N dS 1

S1

EE

Pk

S2

? N dS 1 0.

Sobre la superficie superior S2, el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia arriba, mientras que en la superficie inferior S1, el vector normal dirigido hacia el exterior apunta hacia abajo. Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene lo siguiente.

EE S1

EE S2

Pk ? N dS 5

EE EE EE EE

Psx, y, g1sx, yddk ?

R

52

­g1

­g1

1 ­x i 1 ­y j 2 k2 dA

Psx, y, g1sx, ydd dA

R

Pk ? N dS 5 5

R

1

Psx, y, g2sx, yddk ? 2

­g2 ­g i 2 2 j 1 k dA ­x ­y

Psx, y, g2sx, ydd dA

R

Sumando estos resultados, se obtiene

EE S

Pk ? N dS 5 5

EE E E 3E EEE

fPsx, y, g2sx, ydd 2 Psx, y, g1sx, yddg dA

R

g2sx, yd

R

5

g1sx, yd

­P dV. ­z

Q

4

­P dz dA ­z

2

Larson-15-07.qxd

1126

3/12/09

20:15

CAPÍTULO 15

Page 1126

Análisis vectorial

Aplicación del teorema de la divergencia

EJEMPLO 1

Sea Q la región sólida limitada o acotada por los planos coordenados y el plano 2x 1 2y 1 z 5 6, y sea F 5 xi 1 y 2j 1 zk. Hallar

EE

F ? N dS

S

donde S es la superficie de Q. z

Solución En la figura 15.56 se ve que Q está limitada o acotada por cuatro superficies. Por tanto, se necesitarán cuatro integrales de superficie para evaluarla

EE

6

S2: plano yz S1: plano xz

F ? N dS.

S

Sin embargo, por el teorema de la divergencia, sólo se necesita una integral triple. Como div F 5 S4

4

5 1 1 2y 1 1 5 2 1 2y

3

x

S4: 2x + 2y + z = 6

­M ­N ­P 1 1 ­x ­y ­z

3

se tiene 4

S3: plano xy

y

EE

F ? N dS 5

S

EEE EE E EE EE E3 E

div F dV

Q

Figura 15.56

3

5

32y

622x22y

s2 1 2yd dz dx dy

0 0 0 3 32y

5

4

s2z 1 2yzd

0 0 3 32y

5

622x22y

dx dy 0

s12 2 4x 1 8y 2 4xy 2 4y 2d dx dy

0 0 3

5

4

12x 2 2x 2 1 8xy 2 2x 2y 2 4xy 2

dy

0

0 3

5

32y

s18 1 6y 2 10y 2 1 2y 3d dy

0

3

5 18y 1 3y 2 2

10y 3 y 4 1 3 2

4

3 0

63 5 . 2

TECNOLOGÍA Si se tiene acceso a un sistema algebraico por computadora que pueda evaluar integrales iteradas triples, utilícese para verificar el resultado del ejemplo 1. Al usar este sistema algebraico por computadora obsérvese que el primer paso es convertir la integral triple en una integral iterada; este paso debe hacerse a mano. Para adquirir práctica para realizar este paso importante, hallar los límites de integración de las integrales iteradas siguientes. Después usar una computadora para verificar que el valor es el mismo que el obtenido en el ejemplo 1.

EEE ?

?

?

?

?

?

EEE ?

s2 1 2yd dy dz dx,

?

?

?

?

?

s2 1 2yd dx dy dz

Larson-15-07.qxd

3/12/09

20:15

Page 1127

SECCIÓN 15.7

Sea Q la región sólida entre el paraboloide

z

S2: z = 4 −

−

y2

1127

Verificación del teorema de la divergencia

EJEMPLO 2

x2

Teorema de la divergencia

z 5 4 2 x2 2 y 2

4

y el plano xy. Verificar el teorema de la divergencia para N2

S1: z = 0

2

2

x

Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y 2k.

N1 = −k R: x 2 + y2 ≤ 4

y

Solución En la figura 15.57 se ve que el vector normal a la superficie S1 que apunta hacia afuera es N1 5 2k, mientras que el vector normal a la superficie S2 que apunta hacia afuera es N2 5

Figura 15.57

2xi 1 2yj 1 k !4x 2 1 4y 2 1 1

.

Por tanto, por el teorema 15.11, se tiene

EE S

F ? N dS 5

EE ? EE ? EE EE EE EE EE E3 E F

5

F

s2kd dS 1

2y 2 dA 1

5

22 2!42y 2

2

!42y 2

22

2!42y 2

2

5

!42y 2

22 2!42y 2 2

5

!42y 2

22 2!42y 2

22

dS

s4xz 1 2xy 1 y 2d dA

y 2 dx dy 1

2

!42y 2

22

2!42y 2

s4xz 1 2xy 1 y 2d dx dy

s4xz 1 2xyd dx dy

f4xs4 2 x 2 2 y 2d 1 2xyg dx dy s16x 2 4x 3 2 4xy 2 1 2xyd dx dy

2

5

!4x2 1 4y2 1 1

R

!42y 2

2

s2xi 1 2yj 1 kd

F

S2

R

52

N2 dS

F

S2

S1

5

EE ? EE ? EE EE

N1 dS 1

S1

4

8x2 2 x 4 2 2x 2y 2 1 x 2y

!42y 2

2!42y 2

dy

2

5

0 dy

22

5 0. Por otro lado, como div F 5

­ ­ ­ f2zg 1 fxg 1 f y 2g 5 0 1 0 1 0 5 0 ­x ­y ­z

se puede aplicar el teorema de la divergencia para obtener el resultado equivalente

EE S

F ? N dS 5

EEE EEE

div F dV

Q

5

Q

0 dV 5 0.

Larson-15-07.qxd

1128

3/12/09

20:15

CAPÍTULO 15

Page 1128

Análisis vectorial

EJEMPLO 3

Sea Q el sólido limitado o acotado por el cilindro x 2 1 y 2 5 4, el plano x 1 z 5 6, y el plano xy, como se muestra en la figura 15.58. Hallar

z 9

Plano: x+z=6

Aplicación del teorema de la divergencia

EE

8

S

7

F ? N dS

donde S es la superficie de Q y

6

Fsx, y, zd 5 sx 2 1 sen sin zdi 1 sxy 1 cos zdj 1 eyk. Solución La evaluación directa de esta integral de superficie sería difícil. Sin embargo, por el teorema de la divergencia, se puede evaluar la integral como sigue.

2

2

EE S

y

F ? N dS 5

EEE EEE EEE E EE EE E

div F dV

Q

x

5

Cilindro: x2 + y2 = 4

s2x 1 x 1 0d dV

Q

Figura 15.58

5

3x dV

Q

5

2p

0

0

5

2p

62r cosu

s3r cos udr dz dr du

0

2

s18r 2 cos u 2 3r 3 cos 2 ud dr du

0

0

5

2

2p

s48 cos u 2 12 cos 2 uddu

0

1

3

5 48 sen sin u 2 6 u 1

1 sen sin 2u 2

2p

24

0

5 212p

Nótese que para evaluar la integral triple se emplearon coordenadas cilíndricas con x = r cos q y dV 5 r dz dr du. z

S2

Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región sólida simple Q limitada o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones que son uniones finitas de regiones sólidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o acotado por las superficies cerradas S1 y S2, como se muestra en la figura 15.59. Para aplicar el teorema de la divergencia a este sólido, sea S 5 S1 < S2. El vector normal N a S está dado por 2N1 en S1 y por N2 en S2. Por tanto, se puede escribir

N2

−N1 S1

x

EEE

div F dV 5

EE ? EE ? EE ? F

N dS

F

s2N1d dS 1

S

Q

y

5

S1

52 Figura 15.59

F

S1

EE ? EE ? F

N2 dS

S2

N1 dS 1

F

S2

N2 dS.

Larson-15-07.qxd

3/12/09

20:15

Page 1129

SECCIÓN 15.7

Teorema de la divergencia

1129

Flujo y el teorema de la divergencia Con el fin de comprender mejor el teorema de la divergencia, considérense los dos miembros de la ecuación

z

Sα

Región sólida Q

(x0, y0, z0)

x

Figura 15.60

y

EE S

F

? N dS 5

EEE

div F dV.

Q

De acuerdo con la sección 15.6 se sabe que la integral de flujo de la izquierda determina el flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puede aproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie. La integral triple de la derecha mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desde una perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro (o fuera) de cubos pequeños de volumen DVi. El flujo en el cubo i-ésimo es aproximadamente El flujo en el i-ésimo cubo < div Fsxi, yi, zid DVi para algún punto sxi, yi, zid en el i-ésimo cubo. Nótese que en un cubo en el interior de Q, la ganancia (o pérdida) de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensada por una pérdida (o ganancia) correspondiente a través de una de las caras de un cubo adyacente. Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se cancela uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así, la suma n

o div Fsx , y , z d DV i

i

i

i

i51

aproxima el flujo total dentro (o fuera) de Q, y por consiguiente a través de la superficie S. Para ver qué se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considérese DVa como el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro sx0, y0, z0d, contenida en la región Q, como se muestra en la figura 15.60. Aplicando el teorema de la divergencia a Sa resulta

a) Fuente: div F > 0

F across Flujo Flux de F of a través de Saa 5

EE E

div F dV

Qa

< div Fsx0, y0, z0,d DVa donde Qa es el interior de Sa. Por consiguiente, se tiene div Fsx0, y0, z0d
0

Ver figura 15.61a.

2. Sumidero, si div F < 0

Ver figura 15.61b.

3. Incompresible, si div F 5 0

Ver figura 15.61c.

NOTA En hidrodinámica, una fuente es un punto por el que se considera que se introduce fluido adicional a la región ocupada por el fluido. Un sumidero es un punto en el que se considera que escapa fluido. n

Larson-15-07.qxd

1130

3/12/09

20:15

CAPÍTULO 15

Page 1130

Análisis vectorial

Calcular el flujo mediante el teorema de la divergencia

EJEMPLO 4

Sea Q la región limitada o acotada por la esfera x 2 1 y 2 1 z 2 5 4. Hallar el flujo dirigido hacia afuera del campo vectorial Fsx, y, zd 5 2x3 i 1 2y 3j 1 2z3 k a través de la esfera. Solución

Por el teorema de la divergencia, se tiene

Flujo Flux a través de S 5 across

EE ? EEE EE E EE E

N dS 5

F

S

5

EEE

div F dV

Q

6sx 2 1 y 2 1 z 2d dV

Q 2

p

56

0

0

p

2

56

0

2p

r4 sin sen f du df dr

Coordenadas esféricas.

0

2pr4 sen sin f df dr

0 2

5 12p

2r4 dr

0

5 24p 5

13252

768p . 5

15.7 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, verificar el teorema de la divergencia evaluando

EE S

F

? N dS

3. Fsx, y, zd 5 s2x 2 ydi 2 s2y 2 zdj 1 zk S: superficie limitada o acotada por los planos 2x 1 4y 1 2z = 12 y los planos coordenados 4. Fsx, y, zd 5 xyi 1 zj 1 sx 1 ydk S: superficie limitada o acotada por el plano y 5 4 y z 5 4 2 x y los planos coordenados

como una integral de superficie y como una integral triple. 1. Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1 z 2k

z

S: cubo limitado o acotado por los planos x 5 0, x 5 a, y 5 0, y 5 a, z 5 0, z 5 a 2. Fsx, y, zd 5 2x i 2 2yj 1

z

6

4

z 2k

S: cilindro x 2 1 y 2 5 4, 0 ≤ z ≤ h z

z 4

a h

4

x

3 y

6 x

Figura para 3 5. F x, y, z a

a

y

xzi

2z2 k

zyj

S: superficie acotada por z

x x

Figura para 1

Figura para 4

2

Figura para 2

2

y

6. F x, y, z

2

xy i

2

yx j

S: superficie acotada por z

x2

1

y2 y z

0

ek x2

y2 y z

4

y

1053714_1507.qxp 10/27/08 1:48 PM Page Page1131 1131 1053714_1507.qxp 10/27/08 PM Larson-15-07.qxd 3/12/091:48 20:15 Page 1131 1053714_1507.qxp

10/27/08

1:48 PM

Page 1131

SECCIÓN 15.7

En los ejercicios 7 a 18, utilizar el teorema de la divergencia Exercises 7–18, usethe theDivergence Divergence Theorem evaluatepara InInExercises 7–18, use Theorem totoevaluate evaluar

EE

F NNdS dS In Exercises 7–18, use the Divergence Theorem to evaluate FF ? N dS SS S

andF find theoutward outwardflux fluxofofFFthrough through thesurface surfaceofofthe thesolid solid Nthe dS find yand hallar el flujo de F dirigido hacia el the exterior a través de la Sbounded by the graphs of the equations. Use a computer bounded by graphs of the equations. Usegráficas a computer superficie del the sólido limitado o acotado por las de las algebra system toverify verify your results. and find the outward flux of F through the surface of the solidy algebra system to your results. ecuaciones. Utilizar un sistema algebraico por computadora bounded los by the 2 2graphs of the equations. Use a computer verificar i y y2j2j z 2zk2k y,y,z zresultados. x xiverify 7.7.FFx,x,system algebra to your results. S:S:x x 0,0,x x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,z z aa 7.8.FFx,x,y,y,z z x 22xi22z2 i y 2j 2yjz 2k3xyzk 8. F x, y, z x z i 2yj 3xyzk S:S:x x 0,0,x x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,z z a a S: x 0, x a, y 0, y a, z 0, z a 8.9.FFx,x,y,y,z z x 22xz22ii 2xyj 2yj 3xyzk xyz2 k2 k 9. F x, y, z x i 2xyj xyz S:S:x z 0, x a2 2 a, y2x 2 0,y2y2, z a, z0 0, z a S: z x y ,z 0 a 2 9. x, y, z x 2 i 2xyj xyz 10.F yzk k 10. FFx,x,y,y,z z xyxyi i yzyzj j yzk 2 2 2 S:S: zz a 2 x 2 y 2, z 0 S: z aa2 x 2x y y2, z, z 00 10. x, y, z xy i yz j yzk 11.F 11. FFx,x,y,y,z z x xi i yjyj zkzk S:S:z 2x 2 ay2 22 x2z22 y92, z 0 S: x y z 9 11. x, y, z x ixyz jyj zk 12.F 12. FFx,x,y,y,z z xyz j S:S:x 22x 2 y 2y2 2 z 24, z 9 0, z 5 S: x y 4, z 0, z 5 12. x, y, z xyz j 2 13.F 13. FFx,x,y,y,z z x xi i y y2j j zkzk S:S:x 22x2 y2y2 2 4,25, z z 0, 0, z 5 S: x y 25, z 0, z z 77 2 13. x, y, z x i xy2 2y j coszk 2 z 14.F senz zj j e ez k k 14. FFx,x,y,y,z z xy cos z zi i x 2xy y sen S:S:x2z 1y12 2x 225, zy2 2, z0, z 8 7 S: z 2 2 x y ,z 8 2 14. x, y, z xy32 cos sen z j e z k 2 z i 2 x y y 15.F 15. FFx,x,y,y,z1z x 3xi i x 2xyjyj x 2xeyekk 2 2 S:S:z z 2 4 x y, zy , z0, x 8 0, x 6, y 0 S: z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0 15. x, y, z x 3i z x 2yj z x 2ey k z 16.F 16. FFx,x,y,y,z z xexez i i yeyez j j e ze kk S:S:z z 4 4 y,y,z z 0,0,x x 0,0,x x 6,6,y y 0 0 S: z 4 y, z 0, x 0, x 6, y 0 zi z 16. x, y, z xexyi ye ez k 17.F 4yjj xzk xzk 17. FFx,x,y,y,z z xyi 4yj S:S:z 2x 2 4 y2 2y, z 2z 2 0, 16 x 0, x 6, y 0 S: x y z 16 17. x, y, z xyi 4yj xzk 18.F 18. FFx,x,y,y,z z 22x xi i yjyj zkzk S:S:x 2z y 2 4 z 22x 2 16y2 2, z 0 S: z y ,z 0 4 x 18. F x, y, z 2 x i yj zk Exercises and 20,yevaluate 2evaluate InInExercises 19 S: 419and x 220, ,z 0 z curlFF 19 dS 20, evaluate In Exercises and curl NNdS En los ejercicios 19 y 20, evaluar SS

EE

where closedsurface surfaceofofthe thesolid solidbounded boundedby bythe thegraphs graphs curl F·isN N dS where the SFSis curl F N dS rot dSclosed ?the S andz z 99 y 2y,2,and andthe thecoordinate coordinateplanes. planes. Sofx x 4 4and of where SS es is thesuperficie closed surface of the solid bounded by the graphs donde del 2z 2 i 19.FFx,x,y,y,la 4xy cerrada 2x2 2sólido 6yzjlimitado j 2xzk 2xzko acotado por 19. i the 2x 6yz z z z 4xy 2z, and of and coordinate planes. 9 y x 4 2 las20.gráficas de x 5 4,cos y zz i5 9yz2sen planos coordenados. y , y los xyzk 20. FFx,x,y,y,z z xyxycos z i yz sen xjxj xyzk 2 2 19. i 2x 6yz 2xzk F x, y, z 4xy z 2 2 19. Fsx, y, zd 5 s4xy 1 z di 1 s2x 1 6yzdjj 1 2xzk

I zNGG AAxy OUUTzTiCCOOyz CEEPxj P TSS xyzk WWFF RsRIx, IN BBOcos NNCsen 20. x,TI Ty, y, cos sen 20. zd 5 xy z i 1 yz sin xjT1 xyzk 21.State Statethe theDivergence DivergenceTheorem. Theorem. 21.

W22. R I THow I N GdoAyou BOU T CONC E Ppoint T S x , y , z in a vector field determine 22. How do you determine ififa apoint x0,0y0,0z0 0 in a vector field 21. State the Divergence Theorem. source, sink,oror incompressible? isisa asource, a asink, incompressible?

Desarrollo de conceptos 22. How do you determine if a point x , y , z 0

0

0

in a vector field

is a source, sink, ordeincompressible? 21. Enunciar el ateorema la divergencia. 22. ¿Cómo se determina si un punto sx0, y0, z0d de un campo vectorial es una fuente, un sumidero o incompresible?

Teorema de la divergencia 15.7 Divergence DivergenceTheorem Theorem 15.7

1131

1131 1131

15.7 Divergence Theorem 1131 23. a)(a)Utilizar teorema deTheorem la divergencia para que of el 23.(a) Usethe theelDivergence Divergence toverify verify thatverificar thevolume volume 23. Use Theorem to that the volumen delbounded sólido limitado o acotado por una superficie Sofes the solid by a surface is S the solid bounded by a surface S is 23. (a) Use the Divergence Theorem to verify that the volume of x dy dzdz 5 y dz dxdx 5 z dx dy.dy. z dx the a dz surface x xdydybounded dz y ydz dx S solid S by SS is z dx dy.

EE

SS

EE

EE

SS

SS

b)(b)Verificar el resultado del (a) inciso a) para el cubo limitado o Verify the resultofofypart part forthe the cube bounded x dy dzresult dz dx zcube dx dy. (b) Verify the (a) for bounded bybyx x 0,0, acotado por y x 5 0, x 5 a, y 5 0, y 5 a, z 5 0, z 5 a. Sx S S andz z a.a. x a,a,y y 0,0,y y a,a,z z 0,0,and (b) Verify the result of part (a) for the cube bounded by x 0, Para discusión CCAAPPSxSTTOONa,NEyE 0, y a, z 0, and z a. 24.Sea LetFFx,x,y,y,z z xixi yjyj zkzkand and bethe thecube cube bounded 24. y sea cubo acotado por 24. Let letletSSSbeel bounded C A Plos SbyTplanos Othe N Eplanes planes and 0, xy x= 0, x = 0,x x =0,1, by the 1,1,y y=y 1,0,z0,=y y0 y1,z1,=z z1. Verificar 0,0, and Verify Divergence Theorem evaluating el lathe divergencia 24. Let and let S be cube bounded x,Verify y, zde the xi yj zkevaluando F1.1. Divergence Theorem bybythe evaluating z zteorema by the planes x 0, x 1, y 0, y 1, z 0, and NNdSdSthe Divergence Theorem by evaluating z F 1.FVerify SS

asurface surface integral andasasa atriple triple integral. asasaF integral. como una deand superficie y como una integral triple. N integral dSintegral S

as a surface integral and as a triple integral. 25. Verificar que 25. Verify that 25. Verify that

EE

rot F FF· ?NN dS curl dS5500 curl F NNdSdS 00 25. Verify that S curl SS

para todaFclosed superficie cerrada forany any surface curl N surface dS 0 S.S. S. for closed S 26. Para el campo vectorial constante dado 26.For For the the constant constant vector vector field FFx, k, x,y,y,z por z aFai1x,i y,azaj2 j aa1aik, 26. field 1 2 33 for anythat surface S. that averify aclosed verify 2j 3k, verificar que

EE

26. For the constant vector field F x, y, z N dS 00 verifyFFFthat dS 5 0 ? NN dS

a1i

a2 j

a3k,

SS S

where is the0volume volume ofthe thesolid solidbounded bounded bythe the closed V dS F VN where VS.ises the donde el volumen of del sólido limitado o by acotadoclosed por la Ssurface surface S. superficie cerrada S. the volume the by the that closed Vtheisvector 27.where Giventhe vector fieldFFx,of verify that x,y,y, zk, 27. Given field verify z z solid x xi i bounded yjyj zk, 27. surface Dado el S.campo vectorial Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk, verificar que 3V F x, y, z dSdS field 3V 27. GivenFFtheNN vector x i yj zk, verify that S S F ? N dS 5 3V

EE S

where isthe the3V volumeofofthe thesolid solidbounded boundedbybythe theclosed closed VisdS F VN where volume VS.es el volumen del sólido limitado o acotado por la donde Ssurface surface S. superficie cerrada S. the volume the by the that closed Vtheisvector 28.where Giventhe vector fieldFFx,of verify that x,y,y, zk, 28. Given field verify z z solid x xi i bounded yjyj zk, 28. surface Dado elS.campo vectorial Fsx, y, zd 5 x i 1 yj 1 zk, verificar que 11 the F 28. Given field F333x, y, z dV. x i yj zk, verify that dV. Fvector NNdSdS 1 FF S S F ? N dS 5 FF dV. i1Fi S i3Fi QQ Q dV. F N dS F S F In Exercises 29 and 30, prove theidentity, identity, assuming thatQ,Q,que In 29 and assuming that S,S, EnExercises los ejercicios 29 y30, 30,prove demostrar la identidad, suponiendo Qthe and theconditions conditions theDivergence Divergence Theorem andthat that and the ofofthe Theorem and Q, SNyNmeet Nmeet satisfacen las condiciones del teorema de la divergencia required partial derivatives thescalar scalar functions and In Exercises 29 and 30, prove the identity, assuming that Q, S, the required partial derivatives ofof the f fand gg ythe que las derivadas parciales necesarias defunctions las funciones esare continuous. The expressions and are the derivaD f g D and N meet ofLas the expresiones Divergence that are continuous. The expressions DNNf and DNTheorem calares f y gthe sonconditions continuas. DNgN are f y the DNand gderivason las tives the direction the vector NN and are defined byf and g the required partial derivatives ofNthe functions tives ininthe direction ofofthe vector and are defined by derivadas en la dirección del vector yscalar se definen por are continuous. The expressions DN f and DN g are the derivaf5 =f N, DDDNggg 5 =g g ? N. N. D f fdirection DD N, N. ? N, NNNff in NN of thegvector tives the N and are defined by

EE

DN f 29. 29. 29.

EEE f

EEE

N, 2 DN g g N. dV5 ggddV sff f=22ggg1 =ff f? =g dV

Q QQ

EE SSS

dS N ff fD DD ggdS dS N Ng

2g 29. [Hint: fUse gf dV gG. [Hint:Use ] =f ? G.] div f G div fdiv f NG. ]dS div fG GG fD [Sugerencia: Utilizar sdiv fG d5 f fdiv G 1 S

EEE Q

EE

2 G fdV div5G 2g 30.[Hint: Use g 22ff2fd dV 30. 30. sff f=2div gg2 fgg= dV Q QQ

SSS

G. dS N ff fd dS sffffD DD gg]2 gggD DD dS N N Ng NN

2 30. (Hint: fUse gExercise g 2f2929 dV f Ddos g DN f dS (Hint:Use twice.) 29 Ng veces.) Exercise twice.) (Sugerencia: Utilizar el ejercicio S Q

(Hint: Use Exercise 29 twice.)

Larson-15-08.qxd

1132

15.8

3/12/09

20:21

CAPÍTULO 15

Page 1132

Análisis vectorial

Teorema de Stokes n n

Comprender y utilizar el teorema de Stokes. Utilizar el rotacional para analizar el movimiento de un líquido en rotación.

Teorema de Stokes

Bettmann/Corbis

Un segundo teorema, análogo al teorema de Green, pero con más dimensiones, es el teorema de Stokes, llamado así en honor al físico matemático inglés George Gabriel Stokes. Stokes formó parte de un grupo de físicos matemáticos ingleses conocido como la Escuela de Cambridge, entre los que se encontraban William Thomson (Lord Kelvin) y James Clerk Maxwell. Además de hacer contribuciones a la física, Stokes trabajó con series infinitas y con ecuaciones diferenciales, así como con los resultados de integración que se presentan en esta sección. El teorema de Stokes establece la relación entre una integral de superficie sobre una superficie orientada S y una integral de línea a lo largo de una curva cerrada C en el espacio que forma la frontera o el borde de S, como se muestra en la figura 15.62. La dirección positiva a lo largo de C es la dirección en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al vector normal N. Es decir, si se imagina que se toma el vector normal N con la mano derecha, con el dedo pulgar apuntando en la dirección de N, los demás dedos apuntarán en la dirección positiva de C, como se muestra en la figura 15.63. GEORGE GABRIEL STOKES (1819-1903)

Stokes se convirtió en profesor Lucasiano de matemáticas en Cambridge en 1849. Cinco años después, publicó el teorema que lleva su nombre como examen para optar a un premio de investigación.

z

N N

Superficie S

C S

y

R x

C

Figura 15.62

La dirección a lo largo de C es en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto a N Figura 15.63

TEOREMA 15.13 TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada con vector unitario normal N, acotada por una curva cerrada simple, suave a trozos C, con orientación positiva. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a S y a C, entonces

E

C

F ? dr 5

EE S

scurl srot Fd ? N dS.

NOTA La integral de línea puede escribirse en forma diferencial eC M dx 1 N dy 1 P dz o en forma vectorial eC F ? T ds. n

Larson-15-08.qxd

3/12/09

20:21

Page 1133

SECCIÓN 15.8

EJEMPLO 1

Teorema de Stokes

1133

Aplicación del teorema de Stokes

Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x 1 2y 1 z 5 6, como se muestra en la figura 15.64. Evaluar

z

E

6

S: 2x + 2y + z = 6

C

F ? dr

donde Fsx, y, zd 5 2y 2 i 1 zj 1 xk. C2

C3

R 3 x

C1 x+y=3

Figura 15.64

3

| |

Solución Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de F.

N (hacia arriba)

y

i ­ curl rot F 5 ­x 2y 2

j ­ ­y z

k ­ 5 2i 2 j 1 2yk ­z x

Considerando z 5 6 2 2x 2 2y 5 gsx, yd, se puede usar el teorema 15.11 para un vector normal dirigido hacia arriba para obtener

E

C

F ? dr 5 5

EE EE EE EE E

srot Fd scurl Fd ? N dS

S

R

5

R 3

5

s2i 2 j 1 2ykd ? f2gxsx, yd i 2 gysx, yd j 1 kg dA s2i 2 j 1 2ykd ? s2i 1 2j 1 kd dA

32y

s2y 2 4d dx dy

0 0 3

5

s22y 2 1 10y 2 12d dy

0

3

5 2

4

2y 3 1 5y 2 2 12y 3

3 0

5 29. Trátese de evaluar la integral de línea del ejemplo 1 directamente, sin usar el teorema de Stokes. Una manera de hacerlo es considerar a C como la unión de C1, C2 y C3, como sigue. C1: r1std 5 s3 2 td i 1 tj, 0 ≤ t ≤ 3 C2: r2std 5 s6 2 td j 1 s2t 2 6d k, 3 ≤ t ≤ 6 C3: r3std 5 st 2 6d i 1 s18 2 2td k, 6 ≤ t ≤ 9 El valor de la integral de la línea es

E

C

F ? dr 5

E E

C1

F ? r19 std dt 1

3

5

E

E

C2

F ? r29 std dt 1

6

t 2 dt 1

0

592929 5 29.

3

E

E

C3

F ? r39 std dt

9

s22t 1 6d dt 1

6

s22t 1 12d dt

1053714_1508.qxp 10/27/08 PM Page Larson-15-08.qxd 3/12/091:48 20:21 Page 1134 1134 1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134 1053714_1508.qxp PM PMPage 1134 1053714_1508.qxp10/27/08 10/27/081:48 1:48 Page 1134 1053714_1508.qxp 10/27/08 1:48 PM Page 1134

1134

1134 1134 1134 1134 1134

CAPÍTULO 15 Análisis vectorial Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 Vector Analysis Chapter 15 15 Vector Analysis Chapter Vector Analysis EJEMPLO 2 Chapter 15 Vector Analysis

S: z = 4 − x2 − y2 z S: z = 4 − x 2 − y 2 z S: z = 4 − x 2 − y 2 z 4 4 S: zS:= z4 =− 4x 2−−x 2y 2− y 2z z 4 S: z = 4 − x 2 − y 2 z S S

Verificación del teorema de Stokes EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem EXAMPLE 2 delVerifying Stokes’s Theorem Sea SS be la parte paraboloide z = 4 –Theorem x2 z– y24que xpermanece sobre el plano orientado 2 Let the portion of the paraboloid y2 lying above the xyxy, -plane, EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s EXAMPLE 2 Verifying Stokes’s Theorem hacia arriba (ver la figura 15.65). Sea C su curva en el plano xy orientada 2 frontera 2 Let S be the portion ofFigure the paraboloid y lying curve aboveinthe -plane, zTheorem x boundary oriented upward 15.65). Let thexyxy -plane,en el C4 be its EXAMPLE 2 (see Verifying Stokes’s

sentido contrario al of de lasthe manecillas del Verificar el2 teorema Stokes Let S be the portion the paraboloid y2 ylying above z Czreloj. 4 4its x2boundary xy oriented upward (see Figure 15.65). Let be curve indethe the -plane, xy-plane, oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem Let S be the portion of paraboloid lying above the -plane, x22for xypara 2 Let S be the portion of the paraboloid y lying above the -plane, z 4 x xy-plane, oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the -plane, C xy oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for oriented upward (see Figure 15.65). Let be its boundary curve in the C xy 2 4 y,upward z 2zi xj y k15.65). F x, 4 oriented (see Figure Let be its boundary curve in the -plane, C xy oriented counterclockwise. Verify Stokes’s Theorem for oriented Stokes’s Theorem for 2 4S k F x, y, counterclockwise. z 2zi xj yVerify N (hacia arriba) oriented counterclockwise. Stokes’s Theorem forequivalente. S S 2Verifyand by the surface integral equivalent line integral. N (upward) evaluando la integral de superficie y lathe integral de línea k Fevaluating x, y, z 2zi xj y 2 k F x, y, z 2zi xj y bySolution evaluating integral S N (upward) 2 and the equivalent line integral. 2 k F x, y,As zthea surface 2zi xj y surfaceintegral integral, you have z gline x, yintegral. 4 x y 2, g 2x, bySolución evaluating thethe surface andand thethe equivalent N (upward) 2 2– y2, xg = –2x, g = 2 by evaluating surface integral equivalent line integral. N (upward) Como integral de superficie, se tiene z = g(x, y) = 4 – x −3 Asand a surface integral, you have z g x, y 4 x y , gx x 2x, y g 2y, y Solution R y by evaluating surface integralyou andhave the equivalent integral. N (upward) −3 2 2 R Solution a the surface integral, z z g x,g yx,line y2y,As C 3 3 y and gy –2y, Solution As a surface integral, you have 3 y 4 4 x x 2 y ,yg2,x gx 2x,2x, C −3 2 i j k y 3 As a surface integral, you have z g x, y 4 x y 2, gx 2x, and gy gSolution 2y,2y, x R 3 and −3 C y y x i k j R −3 3 y R C and g 2y, 3 2 2 y rot F R: x + y ≤34 −3 2y i 2j k. i i j j k k y 3x R x 2 +Cy 2 ≤ 4 3 R: 3 x y z C rot F 2y i 2j k. x i j k 3x Figura 15.65 R: x 2 + y 2 ≤ 4 x2z yx zy 2 2y i 2j k. Figure 15.65 x rot F 2 2 rot F x 2y i 2j k. R: xR:+x 2y +≤y 24 ≤ 4 y yz2 z Figure 15.65 2z x xyyou 2y i 2j k. rot F 15.11, By Theorem obtain R: x 2 + y 2 ≤ 4 2 x y z Figure 15.65 2z 2z x x y y 2 Figure 15.65 By Theorem 15.11, you obtain Figure 15.65 y 215.11, se obtiene xobtain acuerdo15.11, con2zelyou teorema ByDe Theorem rot 15.11, F Nyou dS obtain 2yi 2j k 2x i 2yj k dA By Theorem By Theorem you obtain S rot F15.11, R 2yi N dS 2j k 2x i 2yj k dA 2 4 x2 S rotrot F F N dS dAdA N dS R 2yi2yi2 2j 2j k k 2xi2xi 2yj2yj k k S R 2 4xy 4y 2xi 1 dy 2yj dx x rot F N dS 2j k k dA S R 4 2yi 2 R2 4 x42 x 224xy S 4y 1 dy dx 2 4 x 2 4 4x 2 x 4xy 2 22 4y 4y 14 dy dx dx x12 dy 4xy 2 4 x22 2 2y 22 2xy y4y4 x 2 1 dy dxdx 4 x 4xy 2 2 2 2 2 222xy 2 4 x2y y 4 x424 xx2dx 2 2 2 222xy 2 2 2y2 2 y 2xy 2 22y2 y 44 x2x 2dx dx 4 x 22 2 4 x dx 2xy 2y y 4 x 2 dx 2 22 4 2 2 4 x2 x 2 dx 2 2 22 4 x 2 dx Área de radio 2 4 . 2del4círculo x 2 dx 2 2 2 4 2 Área del círculox dedxradio 2 4 . As a line integral, you canÁrea parametrize C asde radio 2 4 . 2 deldel círculo Área círculo As a line integral, you can parametrize as de radio 22 44 .. C del círculo r t integral, 2 cos you ti can 2 sen tjÁrea0k, 0as t de radio 2 . AsComo a line parametrize C integral setjpuede Asr at line you can parametrize as 2integral, cos de ti línea, 2 sen 0k,parametrizar 0 C tas 2C como . 2 As a line integral, you can parametrize C Forr Ft x, y,2 zcos ti2zi 2 sen xj tj y k, 0k,you 0obtain t t 2 2. . r t 2 cos ti 2 sen tj 0k, 0 2 For F x,r y, 2ziti xj2 seny tjk, you t z 2 cos 0k,obtain 0 t 2 . ForFor you obtain F x, y, zy, dr 2zi2ziMxjdx y 2Nk, 2dy 2 F dz obtain F x, z xj y k, Para Fsx, y, zd 5 2z i 1 xj 1 y2 k, you sePobtiene For FCFx, y, 2zi y k, you C drz M dx x j N dy P dzobtain CF C M dx Fdr dr M dx N dy N dy P dz P 2 dz C dr C C2z Mdx dx xNdydy yPdz dz CF 2 C C C dx 2z x dy y dz 2 2 dx C 2z 2z dx x dy x dy y dz y 2 dz C2 0 2 cos t 0 dt x dyt 2 cos y 2 dz C 2z dx 2 0C 0 2 cos t 2 cos t 0 dt 2 0 220 t 2t cos t t 0 dt 0 2 cos 2 cos 2 cos 0 dt 02 4 0cos 2 2t dt cos t 2 cos t 0 dt 0 2 0 2 0 4 cos t dt 2 2 0 4 2 2cos t 2dt 4 cos t dt 2 cos 02 2 1 4 cos t dt 2t dt 0 2 20 0 2 1 cos 2t dt 2 20 21 1 1 coscos 2t2 2t dt dt 220 t 0 1sen 2tcos 2 2t dt 12 2 t 0 1 sen 2t 2 02 1 2t 0 2 2 4t2 .t 2 sen 2 21 sen 2t 0 0 sen 2t 4 2. t 0 4 4. . 2 4 .

Larson-15-08.qxd

3/12/09

20:21

Page 1135

SECCIÓN 15.8

Teorema de Stokes

1135

Interpretación física del rotacional T F

α (x, y, z)

Cα

F T F N

El teorema de Stokes proporciona una interesante interpretación física del rotacional. En un campo vectorial F, sea Sa un pequeño disco circular de radio a, centrado en sx, y, zd y con frontera Ca , como se muestra en la figura 15.66. En cada punto en la circunferencia Ca , F tiene un componente normal F ? N y un componente tangencial F ? T. Cuanto más alineados están F y T mayor es el valor de F ? T. Así, un fluido tiende a moverse a lo largo del círculo en lugar de a través de él. Por consiguiente, se dice que la integral de línea alrededor de Ca mide la circulación alrededor de Ca . Es decir,

E

N

Disco Sα

Figura 15.66

Ca

rot F N S (x, y, z) Sα

F ? T ds 5 circulación circulation of Ca . de Ca deFFaround alrededor

Ahora considérese un pequeño disco Sa centrado en algún punto sx, y, zd de la superficie S, como se muestra en la figura 15.67. En un disco tan pequeño, rot F es casi constante, porque varía poco con respecto a su valor en sx, y, zd. Es más rot F ? N es casi constante en Sa, porque todos los vectores unitarios normales en Sa son prácticamente iguales. Por consiguiente, del teorema de Stokes se sigue que

E

Ca

F ? T ds 5

EE Sa

scurl srot Fd ? N dS

< scurl srot Fd ? N Figura 15.67

EE

dS

Sa

< scurl srot Fd ? N spa 2d. Por tanto,

scurl srot Fd ? N
>>0 00y yyy yy 0.0. (a) Use aun computer algebra system to verify Green’s Theoremel Use computer algebra system to verify Green’s Theorem a)Use Usar sistemaalgebra algebraico portocomputadora paraTheorem verificar (a)(a) a acomputer system verify Green’s n, for an odd integer from 1 through 7. n, for an odd integer from 1 through 7. teorema de Green entero7.impar de 1 a 7. n, an odd for integerpara fromn,1un through (b) Use auncomputer computer algebra system to verify Green’s Theoremel Use algebra system to verify Green’s Theorem b)Use Usar sistemaalgebra algebraico portocomputadora paraTheorem verificar (b)(b) a acomputer system verify Green’s n, for an even integer from 2entero through 8.de 2 a 8. for even integer from through teorema de Green para n, un par n,n, for anan even integer from 2 2through 8.8. nunan (c) For an odd integer, make a conjecture conjecture about the value of For odd integer, make about the value of c)For Para entero imparmake n, conjeturar acerca del valor de laofinten nan (c)(c) odd integer, a aconjecture about the value the integral. the integral. gral. the integral. 7. Use a line line integral tofind find thearea areabounded bounded by one archofof ofthe the Use integral find the area bounded one arch 7. Utilizar una integral de línea para calcular el área limitada o the aco7.7. Use a aline integral toto the byby one arch sin cos , 0,, 00 cycloid cos cycloid tada por lasin cicloide x xx un arco a aa de sin , y,, yy a aa1 11 cos 2 22, ,, cycloid as shown in in the the figure. figure. shown asas shown xsud 5in asthe u 2figure. sin ud, ysud 5 as1 2 cos ud, 0 ≤ u ≤ 2p sen y yy

y yy

como se muestra en la figura. 2a y 2a2a

1

x xx 1 11

−1 −1−1

2π2a2ππaa

x

Figure for Figure for Figure for 7 77

− 1−−11

1

−1

Figure for Figure for Figure for 8 88

2π a

y

6 66 5 55 4 44 3 33 2 22 1 11

6 5 4 3 2 1

x xx x 1 11 2 22 3 33 4 44 5 55 6 66 1 2 3 4 5 6

EE

E

s2vN?N NdS ddSdS 5 v vvsvr3rr rdr. d ?dr. dr. 2v NdS dr. 2v2v C

S S SS

x −1

x xx

y

11. Let be smoothoriented oriented surfacewith withnormal normal vector N, 11. Let smooth oriented surface with normal vector 11. Sea Sbe una superficie suave orientada, con vector normal N, aco11. Let a aasmooth surface vector S SSbe N,N, bounded by a smooth simple closed curve Let be C. v bounded by a smooth simple closed curve Let be C. v tada por curva suave bounded by una a smooth simplesimple closedcerrada curve C. Let vv un be vector a aa C. Sea constant vector, and prove that constant vector, and prove that constante. Demostrar que constant vector, and prove that

1 11y

2a

2 2x 23 33 y j is 3shown in the 22 2yd222y5 10. The forcefield field x, 3x x,3x y2x dyi y1 2x yd j se 10. Elforce campo deFfuerzas muestra 10. The force field shown the FFx,x, 10. The shown inin the y yi isi3x 2x j jissis y yy Fs3x figure below. Three particles move from the point1,s1, to the 1, en la figura. Tresparticles partículas se mueven del punto al punto d to figure below. Three particlesmove move fromthe the point the figure below. Three from point the 1 11to point along different paths. Explain why the work done is el 2, 4 a lo largo de trayectorias diferentes. Explicar por qué s 2, 4 d point along different paths. Explain why the work done 2, 4 point 2, 4 along different paths. Explain why the work done isis the same for each particle, and find the value of the work.y hallar trabajo realizado es el and mismo con las tresofof partículas, the same each particle, and find the value the work. the same forfor each particle, find the value the work. el valor del trabajo. yy

8.Use Use a line line integral to find the area bounded by the two loops of Use integral find the area bounded the loops Figura para 7 toto Figura para 8two 8.8. a aline integral find the area bounded byby the two loops ofof the eight curve the eight curve the eight curve 8. Utilizar una integral de línea para hallar el área limitada o acota1 11los dos la sin 2t,lazos sin sin 2t, sin t,t, 0 00ocho x xtxdatt por2sin 2t, y yty tt desin t,curva t tt 2 22 22 1 xshown sshown tshown d 5 inin ystd 5 sen sin t, 0 ≤ t ≤ 2p sin 2t, sen as the figure. the figure. asas the figure. 2 in

C CC

y2 x2 12. Comparar el área de la elipsex 2xx222 1y 2yy222 5 1 con la magnitud del 12. How does the area of the ellipse compare with the 1 compare 12. How does the area of the ellipse with the a b 12. How does the area of the ellipse 2aa22 2bb22 1 1compare with the a de fuerzas b trabajo realizado por el campo magnitude of the work done by the force field magnitude the work done the force field magnitude ofof the work done byby the force field 1 1 Fsx, yd 512 11 yi 1111 xj 2yi x, yi xj2xj xj F FFx,x, y yy 2 2yi 2 22 que da una vuelta alrededor de la elipse (ver sobre una2 partícula on afigura). particle that moves once around the ellipse (see figure)? particle that moves once around the ellipse (see figure)? onon alaaparticle that moves once around the ellipse (see figure)? y yy y 1 11 1

2xx22

9.The The force field acts on an object x, jj acts The force field object 1 11j acts 9.9. force field onon anan object F FFx,x, y yy x xx y yiy ii x que se muestra la figura. moving fromthe theen point tothe thepoint point0,0, asshown showninin in 0, 0, moving from the point the point shown ,, as moving from point 0,0, 0 00toto 1 11, as 9. Elfigure. campo the figure. de fuerzas Fsx, yd 5 sx 1 ydi 1 sx 2 1 1dj actúa sobre the figure. the yy objeto que se mueve del punto s0, 0d al punto s0, 1d, como se yun muestra en la figura.

x 1 11 1

−1−1 −1−1

1 11 y −1−1 −1−1 1

13. Una sección transversal del campo magnético de la Tierra as puede 13. A cross section of Earth’s magnetic field can be represented as 13. cross section of Earth’s magnetic field can represented as 13. AA cross section of Earth’s magnetic field can bebe represented representarse como un campo vectorial en el cual el centro de a vector field in which the center of Earth is located at the a vector field in which the center of Earth is located at the a vector field in which the center of Earth is located at the la Tierra sethe localiza en ely-origen ypoints el ejeinyin positivo apuntaofof en direcorigin and thepositive positive axispoints points inthe thedirection direction ofthe the y-axis origin and the positive the direction the yorigin and axis ción del polopole. norte magnético. La ecuación para magnetic north pole. The equation for this field is este campo es magnetic north pole. The equation this field magnetic north The equation forfor this field isis 1 11

x xx x

(a)Find Find the work done the object moves along the path 0, Find the work done the moves along the path (a)(a) the work done if ifif the object moves along the path x xx 0,0, 1 object 1. 0 00 y yy 1.1. a) Find Hallar el work trabajo realizado siobject el objeto sigue la trayectoria (b) Findthe the workdone done theobject object moves along thepath path the done the moves along the path (b)(b) Find work if ififthe moves along the xx 5 y0, 0 2y≤ 22,y0≤ 1.y y y 1. x 0 y 1. , x y y , 0 y 1. b) Suppose Hallar trabajo realizado si el objeto sigue la trayectoria 22 (c) Supposeel the object movesalong along thepath path the object moves along the path (c)(c) Suppose the object moves the x xx c ccy yy y 2yy, ,, 2 x 5 y 2 y , 0 ≤ y ≤ 1. > Find the value of the constant that c c 0 y 1, 0. Findthe thevalue valueofofthe theconstant constantc cthat that 0 0 y y 1,1,c c> >0.0.Find c)minimizes Supóngase que el objeto sigue la trayectoria x 5 cs y 2 y 2d, minimizes the work. minimizes the work. the work. 0 ≤ y ≤ 1, c > 0. Hallar el valor de la constante c que minimiza el trabajo.

5M x, Mx,Mx, x, Nx,Nx, x, F FFx,Fx, ysx,yy yd M ysx,yiy yiidi N1N ysx,yjy yjjdj m m m 2 2 5 m f3xyi 1 s22y 22 2 22x djg 3xyi 2y 3xyi 2 2y2y x 2xxj jj 2 s y 5225d5y2 22x 1 2 223xyi 2 2 5 x y x y x y donde m es el momento magnético de Earth. la Tierra. Demostrar que wheremm misis isthe themagnetic magneticmoment momentofof of Earth. Show thatthis this where the magnetic moment Show that this where Earth. Show that este campo vectorial es conservativo. vector field is conservative. vectorfield fieldisisconservative. conservative. vector