UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Departamento de Matem´aticas de la Facultad de Ciencias

TRABAJO DE GRADO

´ presentado Trabajo de Investigacion ´ FORERO DELGADO por EDNA ROCIO ante la Universidad Nacional de Colombia para optar al t´ıtulo de Matem´atica

A mis padres.

Introduccion ´ Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) fue un matem´atico alem´an cuyos m´etodos proporcionan perspectivas alternativas y sus resultados han aportado una parte impor´ ´ diof´antica (llamada tante de la matem´atica1 . En Teor´ıa de numeros, una aproximacion ´ a numeros ´ as´ı en honor al antiguo matem´atico griego Diofanto) es una aproximacion ´ ´ diof´antica de un numero ´ reales por medio de numeros racionales. Una aproximacion real θ es un racional p/q tal que la distancia de θ a p/q sea muy pequea.Un resultado de Dirichlet afirma que hay una infinidad de racionales p/q tal que |θ − p/q| < 1/q2 . En la pr´actica, estos racionales se pueden encontrar usando fracciones continuas 2 . El primer Teorema de convergencia de series de Fourier es debido al Teorema de Dirich´ de las series infinilet: Dirichlet creo´ una parte nueva en las matem´aticas, la aplicacion ´ de las propiedades tas de Fourier ha introducido en la teor´ıa del calor en la exploracion ´ ha descubierto una variedad de teoremas que... son los pi´ de los numeros primos. El lares de las nuevas teor´ıas C. J. Jacobi escrito el 21 de Diciembre de 1846 en una carta a Alexander Von Humbolt. El Teorema de la unidad de Dirichlet determina el rango del grupo de unidades de un ´ Dirichlet usa el principio anillo O de K-enteros de un campo K3 . Para su demostracion del casillero que establece que si tengo dos conjuntos dinitos A y B con A¿B entonces ´ inyectiva de A en B4 . no existe ninguna funcion ´ Frank Plumpton Ramsey (1903-1930) fue un matem´atico y filosofo ingl´es que desarrollo´ sus estudios y docencia en la Universidad de Cambridge. En su art´ıculo Sobre un ´ problema de Logica formal Ramsey prueba un Teorema que lleva su nombre suministrando la idea que dentro de un sistema suficientemente grande, a pesar del desorden, debe haber cierto orden: condiciones generales para la existencia de subestructuras con propiedades regulares 5 .El Teorema de Ramsey podr´a proporcionarnos una forma m´as sofisticada de particionar que el Principio del casillero. ´ El matemtico Timothy Gendron, investigador de la Universidad Autonoma de M´exico (UNAM) es autor del art´ıculo llamado Real algebraic number theory I. Diophantine approximation groups que introduce al tema de los grupos de aproximaciones diof´anticas ´ con las foliaciones de kronecker, y que sirven para caracterizar la dey su asociacion pendencia K-lineal y geom´etrica. Bas´andose en estos conceptos, este autor reformula los teoremas de Baker, Lindemann-Weirstrass, y la conjetura de Schamuel (general1 [10] 2 [11] 3 [12] 4 [8] 5 [9]

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izacin del teorema de Lindemann-Weirstrass). En el art´ıculo de Gendron podemos ´ del Teorema de K-Dirichlet. encontrar la reformulacion Sugen dos preguntas: ´ del Teorema de K-Dirichlet el Principio 1. ¿Se podr´a generalizar en la demostracion del Palomar por el Teorema de Ramsey?. 2. ¿Existe un espacio de Ramsey asociado a ”familias” de inecuaciones? ´ a un proyecto de investigacion ´ que pienso Esta monograf´ıa es una introduccion desarrollar en m´as detalle en mis estudios de Maestr´ıa. Seguimos los primeros dos cap´ıtulos del art´ıculo de Gendron los cuales se basan en las estructuras no est´andar y las aproximaciones diof´anticas. Para esto debemos hacer introducciones a la teor´ıa de ´ ´ Ultrafiltros, el Teorema de Lo´s para ultrapotencias y l´ımites categoricos. En un proximo trabajo se desarrollar´a lo que falta del art´ıculo de Gendron: Foliaciones de Kronecker ´ para finalmente desarrollar la teor´ıa de espacios de y los teoremas de aproximacion, Ramsey y funciones de Cohen con el fin de resolver las preguntas planteadas.

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Contenido 1

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Reales Re-equipados 1.1 Reales no standard . . . . . . . . . 1.1.1 Ultrapotencia de un grupo 1.1.2 Reales no est´andar . . . . . 1.1.3 Reales est´andard . . . . . . 1.2 Los reales re-equipados . . . . . . .

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Grupos de aproximaciones diof´anticas de numeros ´ reales 2.1 Aproximaciones diof´anticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Grupos de aproximaciones diof´anticas . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 ∗ Z(θ ) como subanillo ideal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Cardinalidad de ∗ Z(θ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Grupo de t´erminos de errores diofantinos . . . . . . . . 2.2.4 Grupos l´ımites de aproximaciones diof´anticas . . . . . ´ intr´ınseca de grupos de aproximaciones diof´anticas 2.3 Definicion

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6 6 9 9 10 10 11 12

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A Ultrapotencias A.1 Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Productos Reducidos . . . . . . . . . . . . . . A.2.1 Producto reducido de L -Estructuras A.3 Ultrapotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 13 16 17 19

B L´ımites y Col´ımites B.1 Categor´ıas . . . . . ´ B.1.1 Modulos . . B.1.2 Categor´ıas . B.1.3 Funtores . . B.2 L´ımites y col´ımites

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22 22 22 24 25 26

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Cap´ıtulo 1 Reales Re-equipados Introduccion ´ ´ En este cap´ıtulo se pretende construir un conjunto, asociado con los numeros reales, al ´ el art´ıculo de Gendron) y que cual daremos el nombre de Reales re-equipados (segun nos servir´a para desarrollar el concepto de aproximaciones diof´anticas que se profundizar´a en el siguiente cap´ıtulo. Para realizar esta tarea es necesario llevar un proceso de tres partes: en primer lugar se tomar´a un ultrafiltro no principal con el que construiremos la ultrapotencia de un conjunto cualquiera que heredar´a, gracias al teorema de Lo´s, las propiedades del conjunto.En segundo lugar, se har´a por un lado la ultrapotencia del conjunto de los ´ numeros reales y por otro la ultrapotencia del conjunto de enteros para de esta forma relacionarlas. De la ultrapotencia de los reales tendremos en cuenta a dos subconjuntos; uno asociado a las sucesiones acotadas de reales y el otro asociado a los infinitesimales: a los anteriores les daremos el nombre de ∗ R f in y ∗ Re respectivamente. Por ´ ultimo, se considerar´a al conjunto de los reales como subconjunto de su ultrapotencia, ´ est´andar para dar´a lugar al cociente R/∗ Re , que a su vez se apoyar´a de la funcion ´ de los reales re-equipados. conjunto con el cual concretaremos la construccion

1.1

Reales no standard

´ del concepto de ultrapotenEste apartado se dedicar´a al desarrollo y a la explicacion ´ cia(asociada al conjunto de los numeros naturales), para lo cual necesitaremos tener claras las nociones de filtros y ultrafiltros que se pueden encontrar en el ap´endice [A]. Una vez estudiado el concepto de ultrapotencia (ap´endice [A]), de la ultrapotencia de ´ los numeros reales tomaremos dos subconjuntos como se menciono´ anteriormente. Por un lado la clase de sucesiones acotadas y por otro la clase de sucesiones acotadas que 2

´ CAPITULO 1. REALES RE-EQUIPADOS

3

convergen a cero (los infinitesimales). Gracias al uso de estos dos conjuntos y al de ´ de parte est´andar que nos ayudar´a a comprender, los reales, lograremos la definicion ´ mediante sus propiedades morfologicas, la naturaleza del conjunto ∗ R f in /∗ Re .

1.1.1

Ultrapotencia de un grupo

´ Fijemos un ultrafiltro no principal U sobre N1 : M´aximo subconjunto de 2N que solo contiene subconjuntos infinitos y es cerrado por interrsecciones y por superconjuntos (Si X ∈ U y X ⊂ Y entonces Y ∈ U ). Sea G una estructura cerrada tal como un grupo, anillo o cuerpo. Entonces definimos ´ de equivalencia sobre el conjunto de sucesiones GN como una relacion

{ gi } ∼ U { f i } ⇔ { i | gi = f i } ∈ U ´ es, en efecto, de equivalencia: Veamos que esta relacion [Dem.] • Reflexividad:{ gi } ∼U { gi } ⇔ {i | gi = gi } ∈ U ⇔ N ∈ U • Simetr´ıa: { gi } ∼U { f i } ⇔ {i | gi = f i } ∈ U ⇔ {i | f i = gi } ∈ U ⇔ { f i } ∼U { gi } • Transitividad: { gi } ∼U { f i } y { f i } ∼U {hi } ⇔ {i | gi = f i } ∈ U La transitividad se da gracias a que U es filtro.

 La ultrapotencia es el cociente ∗ G =∗ GU := GN / ∼U = GN /U . Las operaciones de G se extienden a las correspondientes operaciones sobre ∗ G. Existe ´ un monomorfismo canonico G −→∗ G definido por las sucesiones constantes. Gracias al Teorema de Lo´s, si G es un grupo, anillo o cuerpo, lo mismo se cumple para ∗ G (Ver en Ap´endice A, [A.3.2]). Las ultrapotencias asociadas a distintos ultrafiltros no principales no necesariamente son isomorfas; generalmente, el problema es de cardinalidad, el cual puede ser resuelto ´ si se imponen los supuestos de la teor´ıa de conjuntos tal como la Hipotesis generalizada del continuo (GCH) (P´agina 384, Colorario 6.1.2 de [13]) Nos interesaremos principalmente en dos casos: G = Z o G = R. A menudo nos referiremos a ∗ Z y a ∗ R como enteros no estandar y reales no estandar respectivamente. 1 para

´ de ultrafiltros vea el ap´endice [A] una definicion

´ CAPITULO 1. REALES RE-EQUIPADOS

1.1.2 ∗Z

4

Reales no est´andar

no es un dominio de ideales principales y la cardinalidad de ∗ Z es la del continuo: 2 ℵ 0 ≤ ZN ≤ | Z | | N | ≤ ℵ 0 ℵ 0 ≤ 2 ℵ 0 2

El cuerpo ∗ R no es arquimediano y contiene un subanillo local ∗

R f in := {Clases de sucesiones acotadas}

cuyo ideal maximal consiste en los infinitesimales ∗

Re := {Clases de sucesiones que convergen a cero}

´ Escribiremos ∗ r '∗ s si ∗ r −∗ s ∈∗ Re y diremos que son reales no estandar asintoticos o infinitesimales.

1.1.3

Reales est´andard

´ ´ Para todo ∗ r ∈ ∗ R f in existe un unico punto l´ımite r el cual es el l´ımite de la subsucesion ∗ r con X ∈ U ; r es independiente de r ∈ r y es llamado la parte est´ a ndar de { i }i ∈ X { i} ∗ r, denotada como std (∗ r ): std : ∗ R f in −→ R est´a bien definida y es un epimorfismo de anillos con Kernel ∗ Re : ´ acotada • Por el Teorema de Bolzano-Weierstrass (que establece que toda sucesion ´ convergente) est´a bien definida: tiene una subsucesion ∗ Sea {ri } ∈ R f in y sean { ai } y {bi } dos subsucesiones de {ri } que convergen | L− M|

luego A = a L y a M respectivamente, con L 6= M. Tomemos a e = 3 {i ∈ N : | ai − L | < e } ∈ U y B = {i ∈ N : |bi − M| < e} ∈ U . Pero e´ sto implicar´ıa que A ∩ B que es finito o vac´ıo perteneciera a U (U es filtro) contradiciendo que U sea un ultrafiltro no principal. Por lo cual, necesariamente L = M • Ciertamente tenemos que ∗ Re ∈ Ker (std). Si {ri } ∈ ∗ r ∈ Kern(std), entonces, ´ existe X ∈ U tal por definicion,  0que {ri }i∈X → 0. Si completamos  0{ ri }i∈X a una ´ indexada con N, ri que converja a cero, entonces ri ∼U {ri } as´ı subsucesion ∗ r ∈ ∗ R . Se sigue que std induce un isomorfismo entre el campo de residuos e ∗ R /∗ R y R. e f in 2 Para

´ vea el Teorema 2.2 de la p´agina 98 de [2] m´as informacion

´ CAPITULO 1. REALES RE-EQUIPADOS

1.2

5

Los reales re-equipados

´ de los numeros ´ Para terminar este cap´ıtulo se definir´a la extension reales ∗ R/∗ Re y se ´ analizar´an los fenomenos que ocurren en los conjuntos ∗ Z y ∗ R (vistos como subcon´ ´ en juntos de esta extension), para luego rescribir, de forma adecuada, dicha extension ´ de t´erminos de estos dos subconjuntos. Este procedimiento finalizar´a con la definicion los reales re-equipados. ´ de los reales como el cociente del espacio 1.2.1 [Definicion] ´ Definimos la extension R − vectorial • R = ∗ R/∗ Re . ´ ' (producto indefinido entre sucesiones El producto en ∗ R no preserva la relacion no convergentes y sucesiones que converjan a cero), entonces • R solo hereda la estructura de espacio vectorial. Las inclusiones ∗ Z,R ,→ ∗ R sobreviven al conciente con ∗ Re y las inclusiones ´ es ,→• R son un subanillo y un subcuerpo respectivamente, cuya interseccion • ∗ ∼ Z. En particular, R = R + Z: considere el homomorfismo ∗ Z, R

ϕ : ∗ R −→ R + ∗ Z( xi ) 7−→ std( xi − b xi c) + (b xi c) ´ ´ de ϕ se sigue que ella en donde b xi c es la parte entera de un numero. De la definicion ∗ ∗ ∗ ∗ ∼ es un epimorfismo cuyo Kernel es Re . As´ı R/ Re = R + Z. b = (• R, R,∗ Z), los numeros ´ ´ Denotaremos R reales re-equipados” con numeros enteros desde afuera.

Cap´ıtulo 2 Grupos de aproximaciones diof´anticas de numeros ´ reales

Introduccion ´ Este cap´ıtulo se dedicar´a al an´alisis de los grupos de aproximaciones diof´anticas de ´ un numero real, este an´alisis es necesario para comprender la naturaleza de dichas aproximaciones en la ultrapotencia Z: procedimiento que se realizo´ en el capitulo anterior.Para llevar a cabo esta tarea, comenzaremos definiendo el concepto de aproxi´ se carmaciones diof´anticas en ∗ Z de un nmero real. Una vez hecha esta definicion, acterizar´a el conjunto de aproximaciones diof´anticas de cualquier nmero real θ, analizando su estructura algebr´aica y tomando subconjuntos del mismo para establecer el tipo de condiciones debe cumplir θ para poder a los subconjuntos tomados con las propiedades de Z y de esta forma establecer cu´ales son las propiedades que se conservan. Finalmente, se volver´an a definir los conceptos antes mencionados, de esta forma ´ alternativa de cada uno de estos, para lo cual necesitaremos se llegar´a a una definicion crear relaciones con el concepto de lmite inductivo y lmite proyectivo: como se indica en las definiciones del ap´endice [B].

2.1

Aproximaciones diof´anticas

´ a las aproximaciones diof´anticas para la ultrapotenHaremos una breve untroduccion ´ y propiedades y, con ayuda de la sucesion ´ de cia de los enteros mediante su definicion ´ Fibonacci y la definicion de sucesiones linealmente recursivas, ejemplificaremos el con´ [5] y su relacion ´ con las aproximaciones diof´anticas. El cepto de mejor aproximacion 6

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES7 ´ para la comprension ´ de la construccion ´ de los Grupos desarrollo anterior nos ser´a util ´ ´ de aproximaciones diof´anticas que analizaremos en la proxima seccion. ∗ ´ diof´antica de θ es un elemento n ∈ ∗ Z para el cual Sea θ ∈ R. Una aproximacion ∗ ⊥ ∗ ⊥ ∗ existe n = n θ ∈ Z tal que (1) θ ∗ n ' ∗ n⊥ Lema 2.1.1 El conjunto de elementos ∗ n ∈ ∗ Z para los cuales existe ∗ n⊥θ ∈ ∗ Z tales que θ ∗ n ' ∗ n⊥ es un subgrupo de ∗ Z.El grupo de aproximaciones diofantidas de θ es notado por ∗ Z( θ ). [Dem.] Sean ∗ n, ∗ m ∈ ∗ Z(θ ), luego existen ∗ n⊥ , ∗ m⊥ ∈ ∗ Z tales que θ ∗ n ' ∗ n⊥ y ∗ ∗ ⊥ ∗ ∗ ⊥ θ ∗ m ' ∗ m⊥ , es decir, existen δn y δm en R e tales que n − n = δn y m − m = δm . 1 ∗ ∗ ∗ Entonces (∗ n + ∗ m) − (∗ n⊥ + ∗ m⊥ ) = δn + δm ∈ R e . . Por lo cual n + m ∈ Z( θ ). Las ´ de suma (componente otras propiedades son heredadas directamente de la definicion a componente) y de las propiedades de Z.  ´ infinitesimal Si nos pasamos al espacio vectorial cociente • R entonces la ecuacion ∗ ∗ ⊥ ∗ ∗ • (1) se convierte en θ n = n ∈ Z y podemos identificar Z(θ ) en R como el grupo ∗ Z( θ ) = (θ ∗ Z) ∩ ∗ Z. Entonces en • R (2) θ = • − clase de

∗ n⊥ ∗n

En consecuencia, todo • r ∈• R puede ser representado como una • -clase de un co´ diferencial (1), no ciente de elementos de ∗ Z; sin embargo, a diferencia de la ecuacion ´ (2). podemos manipular aritm´eticamente la representacion ´ { xn }n∈N ∈ RN se dice recursiva lineal de orden 2.1.2 [Definicion] ´ Una sucesion ´ menor o igual a que k si existen numeros reales α0 , ..., αk−1 tales que xn+k = α0 xn + ... + αk−1 xn+k−1 para todo n ∈ N  ´ de la mejor aproximacion ´ (Ver p´agina 2 2.1.3 [Ejemplo]Si ( pi , q j ) es una sucesion ´ de denominadores qi define una clase qθ ∈ de [5]) de θ ∈ R − Q, entonces la sucesion ∗ Z( θ ). La sucesion ´ de Fibonacci se construye como sigue: ( a0 = a1 = 1 a n +2 = a n +1 + a n Si tomamos las ra´ıces z0 =

√ 1− 5 2 , z1

(

1 Vea

p´agina 30 de [3]

=

√ 1+ 5 2

del polinomio z2 − z − 1 y definimos:

a0 = a1 = 1 an = Az0 n + Bz1 n n ≥ 2

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES8 Con las condiciones iniciales tenemos que A =

√ 5− 5 10

y que B =

√ 5+ 5 10 ,

adem´as:

an+2 = Az0 n+2 + Bz1 n+2 = z0 n Az0 2 + z1 n Bz1 2 = n z0 A ( z0 + 1) + z1 n B ( z1 + 1) = Az0 n+1 + Bz1 n+1 + Az0 n + Bz1 n = a n +1 + a n ´ de Fibonacci (una sucesion ´ recursiva lineal de orden 2). Ahora, Es decir, la sucesion tomando el l´ımite: limn→∞

a n +1 an

= limn→∞

Luego en e´ ste caso pi = ai+1 y qi = ai y θ =

Az0 n+1 + Bz1 n+1 Az0 n + Bz1 n

√ 1+ 5 2

= z1

´ es decir, el numero de oro.

2.1.4 [Ejemplo]Basados en el ejemplo anterior, si tomamos ahora √ a z0 y a z1 como las √ 2 ra´ıces del polinomio z − 2z − 1, es decir, z0 = 1 − 2 y z1 = 1 + 2. Si definimos la ´ sucesion   a0 = 0  a1 = 1   an = Az0 n + Bz1 n n ≥ 2 con A =

√ − 2 4

√

yB=

2 4

observemos que an+2 = Az0 n+2 + Bz1 n+2 = z0 n Az0 2 + z1 n Bz1 2 = z0 n A(2z0 + 1) + z1 n B(2z1 + 1) = 2( Az0 n+1 + Bz1 n+1 ) + ( Az0 n + Bz1 n ) = 2an+1 + an

´ recursiva lineal de orden 2.De manera Lo que nos indica que tambi´en es una sucesion an´aloga, tomamos el l´ımite: limn→∞

a n +1 an

= limn→∞

Az0 n+1 + Bz1 n+1 Az0 n + Bz1 n

= z1

√ Luego en este caso pi = ai+1 y qi = ai y θ = 1 + 2. En general, si pensamos en un polinomio de grado 2 en el que las ra´ıces pertenezcan a R y el valor absoluto de una de ellas sea menor que 1 podremos construir sucesiones recursivas lineales cuya ´ θ est´e en R. aproximacion

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES9

2.2

Grupos de aproximaciones diof´anticas

Esta parte se dedicar´a a explicar en detalle el concepto de grupo de aproximaciones diof´anticas, que servir´a para comprender el tipo de propiedades que conservan de los ´ numeros enteros los conjuntos construidos. De esta forma, se podr´a observar el com´ portamiento de los subanillos ideales de ∗ Z, como influye su cardinalidad en ∗ Z(θ ) y las condiciones Noetherianas de estabilidad de cadenas de subconjuntos de ∗ Z(θ ). Se comenzar´a analizando las condiciones que debe cumplir θ para que ∗ Z(θ ) sea un anillo ideal. Luego, definiremos algunos subgrupos de ∗ Z(θ ) para entender su com´ portamiento y naturaleza. Por ultimo, se estudiar´an las nociones de estabilidad. Se har´a este procedimiento, con el fin de comparar las propiedades de Z con un subconjunto de su ultrapotencia.

2.2.1

∗

Z(θ ) como subanillo ideal

 Considere ∗ Z(θ )⊥ = ∗ n⊥ : ∗ n ∈ ∗ Z(θ ) = el grupo dual de aproximaciones diofaninas. Entoces si θ 6= 0, ∗ Z(θ )⊥ = ∗ Z(θ −1 ), el cual puede ser visto multiplicando am´ infinitesimal por un elemento de bos lados de (1) por θ −1 (Multiplicando la ecuacion ∗ ´ infinitesimal, desde que ∗ Re es un ideal de ∗ R f in ). R ⊂ R f in se obtiene otra ecuacion ´ el mapa dual ∗ n 7→ ∗ n⊥ define un isomorfismo ⊥=⊥θ : ∗ Z(θ ) → ∗ Z(θ )⊥ M´as aun, para θ 6= 0. Teorema 2.2.1 El subgrupo ∗ Z(θ ) es un ideal de ∗ Z s´ı y s´olo si θ ∈ Q, y, en este caso, si θ = ba con mcd( a, b) = 1 entonces ∗ Z( θ )

= ∗ (b) ∼ = ∗Z

[Dem.] Si θ ∈ R − Q entonces para cualquier entero N, la imagen en T = R/Z del ´ conjunto de multiplos NZθ es densa: Si no, sean z, v, w ∈ Z tales que [ Nzθ ] = { NZθ + m : m ∈ Z} y [ Nzθ ] = [ Nvθ ] con v 6= w entonces existen n, myr ∈ Z tales que Nwθ + n − ( Nvθ + m) = r de donde θ∈Q Ahora, ∗ n ∈ ∗ Z(θ ) ⇔ ∗ n es representado por {ni } para el cual la imagen de {ni θ } en T converge a cero. Luego para cada i escoja Ni tal que la imagen de Ni ni θ es de distancia mayor que 1/4 a cero. Entonces la clase ∗ N ∗ n de { Ni ni } no pertenece a ∗ Z(θ ). Por otra parte, si θ =

a b

∈ Q, escrito de manera reducida, entonces ∗n

ni =

∈ ∗ Z( θ ) ⇔

a∗ ∗ ⊥ ∗ b n = n ∈ Z⇔ ´ mi ∈ ∗ Z mi b para algun ∗ n ∈ ∗ ( b ).

⇔

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES10 ´ Siendo este ultimo un ideal en ∗ Z. De esta manera, los ideales integrales de Z son recuperados como ultrapotencias del ´ grupo dual de aproximaciones diof´anticas de numeros racionales. En particular, si θ = b ∈ Z entonces ∗ Z(b)⊥ = ∗ (b). 

2.2.2

Cardinalidad de ∗ Z(θ )

Proposicion ´ 2.2.2 Para todo θ, ∗ Z(θ ) tiene el cardinal del continuo. [Dem.] Desde que ∗ Z tiene el cardinal del continuo ser´a suficiente identificar a X = (0, 1) − Q con un subconjunto de ∗ Z(θ ) (∗ Z(θ ) ⊆ ∗ Z). Para x = 0.d1 d2 ... ∈ X defina Di = d1 10 + ... + di 10i . Podemos encontrar para cada i, ni ( x ) ∈ Z con 10Di < ni ( x ) < 10Di +1 {ni } defina un elemento ∗ n( x ) ∈ ∗ Z(θ ). La ´ x 7→ ∗ n( x ) es inyectiva: funcion Si y = 0.d10 d20 ... y i0 es el primer ´ındice con di0 6= di00 entonces ni ( x ) 6= ni (y) para todo i ≥ i0 : Supongamos que no. Sean i ≥ i0 , Di = d1 10 + ... + di0 10i0 + ... + di 10i y Di0 = d10 10 + ... + di00 10i0 + ... + di0 10i . Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que di0 < di00 , luego: 10Di < ni ( x ) < 10Di +1 0 0 i +1 10Di < ni (y) < 10D

 0 10Di 10Di − Di

 0 < 0 < 10Di +1 10Di − Di 

As´ı ni ( x ) = ni (y)∀i ≥ i0 . Desde que U no contiene conjuntos finitos, X = {i ≥ i0 } ∈ U , es decir, ∗ n( x ) 6= ∗ n(y). 

2.2.3

Grupo de t´erminos de errores diofantinos

Escribimos e(θ )(∗ n) := θ ∗ n − ∗ n⊥ . El grupo de t´erminos de errores diofantinos es ∗ R ( θ ) = { e ( θ )(∗ n ) : ∗ n ∈ ∗ Z( θ )} ⊂ ∗ R . e e Proposicion ´ 2.2.3 Cuando θ ∈ Q, ∗ Re (θ ) = 0, de otra manera el homomorfismo e(θ ) : ∗ Z( θ ) −→ ∗ R ( θ ), ∗ n 7 → e ( θ )(∗ n ) es un isomorfismo. e ´ [Dem.] Las unicas aproximaciones diof´anticas de θ ∈ Q son aquellas para las cuales ∗ n⊥ θ = ∗ n (en ∗ R), e´ sto es porque la imagen de Zθ en T es discreta:

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES11 θ∈Q⇒θ=

a b

con mcd( a, b) = 1

Luego ∗ Z(θ ) = ∗ (b). Si ∗ n ∈ ∗ Z(θ ) ⇒ ∗ n = {ni } con ni = mi b y mi ∈ Z para casi todo i ⇒ ∗ nθ = {mi a} ∗ ∗ ⊥ ⇒ θ = ∗ ((ba)) = ∗nn ∈ ∗ R. Por otra parte, si θ ∈ R − Q entonces e(θ )(∗ m) = e(θ )(∗ m) implica que (∗ m − ∗ n) ∈ ∗ Z( θ ) satisface que (∗ m − ∗ n ) θ ∈ ∗ Z lo cual es imposible por la irracionalidad de θ. ´ Las otras propiedades de isomorfismo se heredan directamente de la definicion. 

2.2.4

Grupos l´ımites de aproximaciones diof´anticas

´ ser´a dedicado al estudio de grupos l´ımites de aproximaciones El resto de esta seccion diof´anticas. Como nZ ⊂ Z es un ideal, escribimos ∗

(nZ)(θ ) = ∗ (nZ) ∩ ∗ Z(θ )

Para cualquier θ ∈ R y n ∈ Z tenemos que: 1. ∗ Z(nθ ) ⊃ ∗ Z(θ ) ∗ n ∈ ∗ Z( θ ) ⇒ ∗ nθ = ∗ n⊥ ⇒ ∗ n(nθ ) = ∗ n⊥ n ∈ ∗ Z ⇒ ∗ n ∈ ∗ Z(nθ ) 2. ∗ Z(nθ )⊥ ⊂ ∗ Z(θ )⊥ ∗ n ∈ ∗ Z( nθ )⊥ ⇒ ∃∗ n ∈ ∗ Z( nθ ) tal que ∗ n(nθ ) = ∗ n⊥ ⇒ n ∗ n ∈ ∗ Z( θ ) ⇒ ∗ n ⊥ ∈ ∗ Z( θ ) ⊥ . Nota: Si θ = ba ∈ Q entonces ∗ Z(bθ ) = ∗ Z; as´ı la familia {nθ }n∈Z produce cadenas ´ Noetheriana de ideales que son superiormente acotadas (un vestigio de la condicion en Z). ´ [Dem.] Sea θ = ba con mcd( a, b) = 1. La prueba se desarrollar´a por induccion: • Paso base: Vimos anteriormente que ∗ Z(θ ) ⊂ ∗ Z(nθ ) para cualquier n ∈ N, luego ∗ Z(θ ) ⊂ ∗ Z(2θ ) • ∗ Z(2θ ) ⊂ ∗ Z(3θ )

´ ´ ´ CAPITULO 2. GRUPOS DE APROXIMACIONES DIOFANTICAS DE NUMEROS REALES12

∈ ∗ Z(2θ ) ⇒ ∗ n2θ = ∗ n⊥ ∈ ∗ Z como mcd(2, b) = 1 y mcd( a, b) = 1 ⇒ ∗ n ∈ ∗ (b) ⇒ ∗ n3θ = 3∗ n⊥ ∈ ∗ Z ⇒ ∗ n ∈ ∗ Z(3θ ). ∗n

• Veamos que ∗ Z(iθ ) ⊂ ∗ Z((i + 1)θ ) para todo 3 ≤ i ≤ b − 1:

∈ ∗ Z(iθ ) ⇒ ∗ niθ = ∗ n⊥ ∈ ∗ Z como mcd(i, b) = 1 y mcd( a, b) = 1 ⇒ ∗ n ∈ ∗ (b) ⇒ ∗ n ( i + 1) θ = ( i + 1) ∗ n ⊥ ∈ ∗ Z ∗ ⇒ n ∈ ∗ Z((i + 1)θ ) para todo 3 ≤ i ≤ b − 1 As´ı ∗ Z(θ ) ⊂ ∗ Z(2θ ) ⊂ ... ⊂ ∗ Z((b − 1)θ ) ⊂ ∗ Z(bθ ) = ∗ Z ∗n

• Si m > b: m = qb + r con 0 ≤ r < b; q, r ∈ Z Luego si ∗ n ∈ ∗ Z(mθ ) ⇒ ∗ nmθ = ∗ n⊥ ∈ ∗ Z, ⇒ ∗ n(qb + r )θ = ∗ n⊥ ⇒ ∗ nqa + ∗ nrθ = ∗ n⊥ ⇒ ∗ nrθ = ∗ n⊥ − ∗ nqa ∈ ∗ Z ∗ ´ 0 ≤ r < b y como de donde n ∈ ∗ Z(rθ ) para algun ∗ Z(rθ ) ⊂ ∗ Z( mθ ) ⇒ ∗ Z(rθ ) = ∗ Z( mθ ).



2.3

Definicion ´ intr´ınseca de grupos de aproximaciones diof´anticas

Para finalizar este cap´ıtulo, se definir´an nuevamente algunos de los subgrupos de´ anterior. Nos enfocaremos en las definiciones de las cotas sarrollados en la seccion superiores e inferiores de ∗ Z(qθ ) con q ∈ Q y θ ∈ R − Q: as´ı se permitir´a la mejor ´ de las definiciones de dichas cotas, que aparecen en la subseccin [2.2.4]. comprension Adem´as, nos ayudaremos del ap´endice [B] para el desarrollo de ejemplos de l´ımite ´ proyectivo y l´ımite inductivo de modulos abelianos, que ir´an dentro de las definiciones ´ alternas de las cotas de ∗ Z(qθ ), mencionadas anteriormente. Por ultimo, se observar´an ∗ algunas distinciones entre los dos conjuntos que denominaremos como Z(θˆ) y Ze (eˆ ).

Ap´endice A Ultrapotencias Introduccion ´ ´ de varios conceptos y resultados En este ap´endice se pretende hacer una aclaracion ´ usados en el cap´ıtulo de Reales re-equipados [1]. Para llevar a cabo esta aclaracion, estudiaremos a grandes rasgos los conceptos de filtro, ultrafiltro, producto reducido de L -estructuras, estructura y ultrapotencia. Finalmente, se har´a una demostracin del teorema de Lo´s. Para lograr esto, es necesario aadir algunos conceptos de la teor´ıa de ´ Modelos, como lo son estructura, lenguaje, homomorfismo, t´erminos, formulas y sus interpretaciones en el producto reducido creado y que, presuntamente, complementar´an dicha teor´ıa.

A.1

Filtros

´ se har´a una definicion ´ de filtro y ultrafiltro, y se analizar´an algunas de En esta seccion ´ ´ de los sus propiedades. Estos conceptos ser´an utiles para comprender la construccion ´ ´ productos reducidos, que encontraremos en la proxima seccion. Adem´as, analizaremos el siguiente resultado: para cada filtro es posible encontrar un ultrafiltro (filtro maximal). A.1.1 [Definicion] ´ Sea I 6= ∅. Decimos que ∅ 6= S ⊆ P ( I ) es un filtro s´ı y solo si: 1. Si A, B ∈ S =⇒ A ∩ B ∈ S 2. Si A ∈ S y A ⊆ B entonces B ∈ S A.1.2 [Ejemplo] • I = ω, D = { X ⊆ ω : | X − ω | < ℵ0 } es un filtro sobre I. 13

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

14

• Sea A un subconjunto no vac´ıo de un conjunto I. D = { F ⊂ I : A ⊂ F } es un filtro sobre I. • D = { F ⊂ N : N − F es finito} es el filtro de Fr´echet. Lema A.1.3 La intersecci´on de filtros sobre I es un filtro sobre I ´ de filtros sobre I. Sea D = [Dem.] Sea {Di }i∈ J ⊂N una coleccion D es un filtro sobre I:

T

i∈ J

Di . Veamos que

´ ∅∈ • Por su definicion, / D. • D 6= ∅ pues I ∈ D i para todo i ∈ J • Sean A y B en D , como A, B ∈ D i para todo i ∈ J, entonces A ∩ B ∈ D i para todo ´ i ∈ J. De donde A ∩ B ∈ D. • Sea D en D y D ⊆ G ⊆ I, como D ∈ D i para todo i ∈ J entonces G ∈ D i para todo i ∈ J, as´ı G ∈ D .

 A.1.4 [Definicion] ´ Dados dos filtros D1 y D2 sobre el mismo conjunto I, se dice que D1 es m´as no que D2 (o que D2 es menos no que D2 ) si D2 ⊂ D1 . A.1.5 [Definicion] ´ Sea I 6= ∅ y ∅ 6= D ⊆ P ( I ). D tiene la Propiedad de intersecciones T finitas (PIF) s´ı y solo si dados A1 , ..., Ak ∈ D , ∅ 6= ik=1 Ai . b ⊆ D tal que D b es un filtro Lema A.1.6 Si I 6= ∅ y ∅ 6= D ⊆ P ( I ) que tiene PIF, existe D (propio). nT o k [Dem.] Sean D ∗ := A : k < ω, A ∈ D y i i =1 i e := { B ⊆ P ( I ) : B ⊇ A, A ∈ D ∗ }. Veamos que D e ⊇ D y que D e es filtro: D • Sea A ∈ D . Como A = e. que A ∈ D

T k =1 i =1

A entonces A ∈ D ∗ y como A ⊇ A ∈ P ( I ) tenemos

e es filtro: • D e. 1. Como D tiene la PIF entonces ∅ ∈ /D e pues D 6= ∅. 2. ∅ 6= D

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

15

e , entonces existen A B y AC en D ∗ tales que A B ⊆ B y AC ⊆ 3. Sean B, C ∈ D Tj T C con A B = i=1 A B,i y AC = ik=1 AC,i . Como D tiene la PIF entonces A B ∩ AC 6= ∅ y A B ∩ AC ∈ D ∗ , adem´as como A B ∩ AC ∈ B y A B ∩ AC ∈ C e. entonces A B ∩ AC ∈ B ∩ C. De donde B ∩ C ∈ D e y existe C tal que B ⊆ C ⊆ I tenemos que existe A ∈ D ∗ tal que 4. Si B ∈ D e. A ⊆ B, luego A ⊆ C y as´ı C ∈ D e es el m´ınimo filtro que contiene a D : Si existe D1 filtro tal que D ∈ D1 Adem´as,D entonces D ∗ ⊆ D1 pues D1 es cerrado para intersecciones finitas, adem´as como D1 e , que D e ⊆ D1 . ´ de D tambi´en es cerrado por superconjuntos se sigue, por la definicion  e se le demonima el filtro generado por D . AD ´ si A.1.7 [Definicion] ´ Sea D un filtro (propio). Decimos que D es ultrafiltro s´ı y solo ∀ A ∈ P ( I ), A ∈ D o A C ∈ D . Lema A.1.8 Sea D un filtro sobre I. Son equivalentes: 1. D es ultrafiltro. 0

0

0

2. D es filtro maximal ( Si D ⊆ P ( I ) tal que D % D , entonces D no es filtro propio). [Dem.] 1. ⇒ 2.: Sea D un filtro sobre I. Ya que dado A ⊆ I, A ∈ D o AC ∈ D , 0 ´ D ∈ P ( I ) puede ser estrictamente m´as fijo que D . Por lo tanto D es entonces ningun maximal. 2. ⇒ 1.: Dado D un filtro maximal, supongamos que existe A ⊆ I tal que A ∈ / D C C yA ∈ / D . Veamos que D A = D ∪ A o que D AC = D ∪ A tiene la propiedad PIF, en cuyo caso generar´ıamos un filtro estrictamente m´as fino que D : Razonemos por ´ suponiendo que existen S, T ∈ D tales que contradiccion A ∩ T = ∅ y AC ∩ S = ∅ En tal caso T ⊆ AC y S ⊆ A, lo que implica que T ∩ S = ∅ contradiciendo el hecho que D tiene la PIF. Luego D A o D AC tiene la PIF, lo que contradice la maximalidad de D . Por lo tanto para todo A ⊆ I, se tiene que A ∈ D o AC ∈ D , es decir, D es ultrafiltro.  Lema A.1.9 Dado D filtro (propio) sobre I, existe U ⊇ D ultrafiltro sobre I.

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

16

´ [Dem.] Considere la coleccion A = {G filtros sobre I : G ⊇ D} ordenada por contenencia. A no es vac´ıa ya que D est´a en A. Dada una candena C de S ´ finita de conjuntos { B1 , ..., Bn } ⊆ H. A sea H = C . Considere ahora una coleccion Como H es una cadena, podemos asumir, sin p´erdida de generalidad que { B1 , ..., Bn } ⊆ T ´ k. Como Ck es un filtro sobre I, tiene la PIF. Luego in=1 Bi 6= φ. As´ı H Ck , para algun tiene la PIF y por lo tanto genera un filtro que contiene a toda la cadena. En particular, contiene a D , de donde H ∈ A. Aplicando el Lema de Zorn podemos concluir que existe U filtro maximal (ultrafiltro) en A. 

A.2

Productos Reducidos

En este apartado se construir´a un producto reducido de L -estructuras, gracias a las ´ anterior. Se comenzar´a definiendo los concepdefiniciones aportadas en la seccion tos de estructura, lenguaje, homomorfismo de estructura y subestructura, para terminar construyendo un producto reducido. El objetivo de este apartado es el crear un modelo, para ello es necesario ahondar en los siguientes conceptos: t´erminos y for´ ´ en el producto reducido dunas atomicas. Estos sirven para darle una interpretacion ∏i∈ I Ai / ∼D y de esta forma poder crear un producto reducido de L estructura. Estas aclaraciones servir´an para comprender el Teorema de Lo´s, que trabajaremos en la ´ ´ proxima seccion. A.2.1 [Estructuras]1 Una estructura A es un objeto con las siguientes cuatro propiedades: 1. Un conjunto llamado dominio de A, notado por dom( A) o domA (tambi´en conocido como universo de A). Los elementos del dom( A) son llamados los elementos de la estructura A. El cardinal de A, en s´ımbolos | A|, es definido como el cardinal del conjunto |dom( A)|. 2. Un conjunto de elementos de A llamado elementos constantes. Si c es una constante, escribimos c A para el elemento constante llamado por c. 3. Para cada entero positivo n, un conjunto de relaciones n-arias sobre dom( A) (sub´ escribimos R A para la conjuntos de (dom( A))n ). Si R es un s´ımbolo de relacion, ´ llamada por R. relacion 4. Para cada entero positivo n, un conjunto de operaciones n-arias sobre dom( A) ´ escribimos (funciones de (dom( A))n a dom( A)). Si F es un s´ımbolo de funcion, A ´ llamada por F. F para la funcion 1 Las

´ son tomadas de [4] definiciones que aparecen a continuacion

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

17

´ A.2.2 [Ejemplo]Ordenes lineales: Sea X un conjunto totalmente ordenado por ≤. Entonces podemos ver a ( X, ≤) como una estructura A. El dominio de A es el conjunto ´ binaria R, y su interpretacion ´ R A es el orden ≤. X. Exuste un s´ımbolo de relacion A.2.3 [Lenguaje] El lenguaje de una estructura A es el conjunto de constantes de A, y para cada n > 0, el conjunto de s´ımbolos de relaciones n-arias y el conjunto de s´ımbolos de funciones n-arias de A. Dicho conjunto lo notaremos por L . Si A tiene un lenguaje L , decimos que es una L -estructura. A.2.4 [Homomorfismos] Sea L un lenguaje y sean A y B dos L -estructuras. Por ´ f del homomorfismo f de A a B, en s´ımbolos f : A → B, referenciamos una funcion dominio de A al dominio de B con las siguientes tres propiedades: 1. Para cada constante c de L , f (c A ) = c B . ´ n-ario R de L y n-tupla a¯ de A, si 2. Para cada n > 0 y cada s´ımbolo de relacion a¯ ∈ R A entonces f ( a¯ ) ∈ R B . ´ n-ario F de L y n-tupla a¯ de A, 3. Para cada n > 0, cada s´ımbolo de funcion A B f ( F ( a¯ )) = F ( f ( a¯ )). Por un embebimiento de A en B entenderemos un homomorfismo f : A → B ´ m´as fuerte que (2): el cual es inyectivo y satisface una version ´ n-ario R de L y cada n-tupla a¯ de A, 4. Para cada n > 0, cada s´ımbolo de relacion ¯a ∈ R A ⇔ f ( a¯ ) ∈ R B . Un isomorfismo es un embebimiento sobreyectivo. Homomorfismos f : A → A son llamados endomorfismos de A. Isomorfismos f : A → A son llamados automorfismos de A. ´ A.2.5 [Subestructuras] Si A y B son L -estructuras con dom( A) ⊆ dom( B) y la funcion ´ i : dom( A) → dom( B) es un embebimiento, entonces decimos que B es una inclusion ´ de A, o que A es una subestructura de B, en s´ımbolos A ⊆ B. extension

A.2.1

Producto reducido de L -Estructuras

Lema A.2.6 Sea I 6= φ y D un filtro sobre I. Sea Ai : i ∈ I una familia de L -estructuras. Sean f , g ∈ ∏i∈ I Ai .

{ gi } ∼ D { f i } ⇔ { i | gi = f i } ∈ D ∼D es de equivalencia.

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

18

[Dem.] • Reflexividad:{ gi } ∼D { gi } ⇔ {i | gi = gi } ∈ D ⇔ N ∈ D • Simetr´ıa: { gi } ∼D { f i } ⇔ {i | gi = f i } ∈ D ⇔ {i | f i = gi } ∈ D ⇔ { f i } ∼D { gi } • Transitividad: { gi } ∼D { f i } y { f i } ∼D {hi } ⇔ {i | gi = f i } ∈ D y {i | f i = hi } ∈ D ⇔ { i | gi = f i } ∩ { i | f i = h i } ∈ D ⇔ { i | gi = f i ∧ f i = h i } ∈ D ⇔ { i | gi = h i } ∈ D ⇔ { gi } ∼ D { h i } La transitividad se da gracias a que D es filtro.

 Producto reducido: ∏i∈ I Ai / ∼D . ´ [ f ] :=∼D clase de equivalencia de f . Notacion: ´ Las siguientes definiciones ser´an utiles para comprender el Teorema de o´s: A.2.7 [T´erminos] Los t´erminos de un lenguaje L son cadenas de s´ımbolos definidos como sigue (donde los s´ımbolos ’(’,’)’ y ’,’ se asumen mudos (no ocurren en L . De aqu´ı en adelante, s´ımbolos como los anteriores no ser´an mencionados): 1. Cada variable es un t´ermino de L . 2. Cada constante de L es un t´ermino de L . ´ n-aria de L y t1 , ..., tn son t´erminos de L 3. Sin > 0, F es un s´ımbolo de funcion ´ F (t1 , ..., tn) es un t´ermino de L . entonces la expresion 4. Nada m´as es un t´ermino de L . Un t´ermino se dice cerrado si no tiene variables libres. La complejidad de un t´ermino ´ es el numero de s´ımbolos que ocurren en e´ l, contando cada ocurrencia por separado. ´ Si introducimos un t´ermino t como t( x¯ ), siempre significar´a que x¯ es una sucesion ( x0 , x1 , ...), posiblemente infinita, de variables distintas, y cada variable que ocurre en ¯ t est´a entre las variables en x. ´ ´ A.2.8 [Formulas ´ Atomicas] ´ Las formulas atomicas de L son cadenas de s´ımbolos dados por: ´ ´ 1. Si s y t son t´erminos de L entonces la cadena s = t es una formula atomica de L. ´ n-aria de L y t1 , ...tn son t´erminos de L 2. Si n > 0, R es un s´ımbolo de relacion ´ R(t1 , ..., tn ) es una formula ´ ´ entonces la expresion atomica de L .

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

19

´ ´ Una sentencia atomica de L es una formula at´tomica en la cual no existen variables libres. Consideremos al producto reducido de L -estructuras definido por: • Universo: ∏i∈ I Ai / ∼D .

´ • Sea Rn ∈ L s´ımbolo de relacion:  ([ f 1 ], ..., [ f n ]) ∈ RA ⇔ i ∈ I : ( f 1 (i ), ..., f n (i )) ∈ RAi ∈ D ´ • Sea F k ∈ L un s´ımbolo de funcion. FA ([ f 1 ], ..., [ f n ]) := [( FAi ( f 1 (i ), ..., f n (i )))i∈ I ] • Sea c ∈ L s´ımbolo de constante. cA := [(cAi )i∈ I ] La estructura A definida de e´ sta manera se denomina el producto reducido de las L -estructuras {Ai : i ∈ I } relativo al filtro D .

A.3

Ultrapotencias

Terminaremos este ap´endice explicando el concepto de ultrapotencia (ligado a la con´ de un producto reducido de L -estructuras de la seccion ´ anterior) y demostraremos struccion ´ de la validez de una el teorema de Lo´s, que servir´a para indicar la forma de evaluacion ´ formula en una determinada ultrapotencia. A.3.1 [Definicion] ´ Un ultraproducto es un producto reducido de L -estructuras definido relativo a un ultrafiltro U sobre I. Teorema A.3.2 (Teorema de o´s) Sea I 6= φ, D un ultrafiltro sobre I, f 1 , ..., f k ∈ ∏i∈ I Ai y ϕ( x1 , ..., xk ) una L -f´ormula, 1. Si f 1 , ..., f k ∈ ∏i∈ I Ai y τ es un L -t´ermino, τ A ([ f 1 ], ..., [ f k ]) = [(τ Ai ( f 1 (i ), ..., f k (i )))i∈ I ]

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

20

2. Si D es ultrafiltro entonces: ∏i∈ I Ai /D |= ϕ([ f 1 ], ..., [ f k ]) ⇔ {i ∈ I : Ai |= ϕ( f 1 (i ), ..., f k (i ))} ∈ D ´ se har´a por induccion ´ sobre la complejidad de las formulas. ´ [Dem.] La demostracion Consideremos solamente los conectivos ¬ y ∧ y el cuantificador ∃, ya que los dem´as se pueden reducir a estos tres. Formulas ´ atomicas: ´ ´ atomica ´ ´ Para el caso de una relacion el resultado se sigue directamente de la definicion ´ de la interpretacion. ∏i∈ I Ai/D |= R([ f 1 ], ..., [ f k ]) ⇔ i ∈ I : R Ai ∈ D ⇔ {i ∈ I : Ai |= R( f 1 (i ), ..., f k (i ))} ∈ D . Negacion: ´ Suponga que el resultado es cierto para ψ. Entonces ∏i∈ I Ai /D |= ¬ψ ⇔ {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ / C ´ de ultrafiltros, tenemos entonces que {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D . D . Por la caracterizacion As´ı {i ∈ I : Ai |= ¬ψ} ∈ D . Todo este argumento resulta ser reversible. Conectivos: Asumamos ahora el resultado para ψ0 y para ψ1 . Entonces ∏i∈ I Ai /D |= ψ0 ∧ ψ1 ⇔ {i ∈ I : Ai |= ψ0 } ∈ D y {i ∈ I : Ai |= ψ1 } ∈ D . Como D es un filtro, entonces la ´ de estos dos conjuntos est´a en D . Es decir, interseccion

{i ∈ I : Ai |= ψ0 y Ai |= ψ1 } ∈ D lo que es equivalente a decir que {i ∈ I : Ai |= ψ0 ∧ ψ1 } ∈ D . Cuantificadores: Sea ahora ψ : ∃ xϕ( x ), con x variable libre en ϕ, y suponga que el resultado se tiene para ϕ( x ). Asumamos que ∏i∈ I Ai /D |= ψ. En tal caso existe una clase [ f ] tal que ∏i∈ I Ai /D |= ψ([ f ]). Es decir, existe f tal que {i ∈ I : Ai |= ψ( f )} ∈ D . Luego {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D . ´ Ahora, supongamos que {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D . Invocando el Axioma de Eleccion podemos elegir para cada i ∈ {i ∈ I : Ai |= ψ} ∈ D un testigo mi tal que ∏i∈ I Ai /D |= ´ g : I −→ ∏i∈ I Ai tal que g(i ) = mi si Ai |= ψ y g(i ) es un ψ(mi ). Considere la funcion

´ APENDICE A. ULTRAPOTENCIAS

21

elemento arbitrario de Mi en caso contrario. ´ Observe que {i ∈ I : Ai |= ψ} = {i ∈ I : Ai |= ψ( g(i ))}. Luego, por la hipotesis de in´ ∏i∈ I Ai /D |= ψ. duccion 

Ap´endice B L´ımites y Col´ımites Introduccion ´ En este ap´endice se dar´an los fundamentos conceptuales m´as pertinentes para comprender el cap´ıtulo de Grupos de aproximaciones diof´anticas [2], partiendo de las no´ ciones de l´ımite y col´ımite. Para lograr esto, se desarrollar´a, por medio de su definicion ´ y de ejemplos (modulos), el concepto de categor´ıa. Adem´as, se dar´a a conocer la herramienta (funtores) que permite ir de una categor´ıa a otra. Finalmente, se har´a ´ y ejemplos que utilizan modulos ´ una definicion abelianos, de los conceptos de l´ımite proyectivo y l´ımite inductivo.

B.1

Categor´ıas

´ se har´an las definiciones de categor´ıa y funtor, que servir´an para comEn esta seccion ´ ´ prender los conceptos de l´ımite proyectivo e inductivo presentes en la proxima seccion. ´ de modulo ´ Por un lado, definiremos la nocion desarrollando tambi´en algunos ejemp´ del concepto de categor´ıa. Adem´as, se definir´a el los,y por el otro, se har´a la definicion concepto subcategor´ıa, los tipos de morfismos de categor´ıa y las nociones asociadas al funtor (covariantes y funtores contravariantes).

B.1.1

Modulos ´

´ B.1.1 [Definicion] ´ Sea A un anillo; un conjunto M 6= ∅ es un modulo sobre A a ´ derecha (A-modulo derecho), denotado por M A , si: . 1. ( M, +) es un grupo abeliano. ´ 2. Se tiene una aplicacion

22

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

23

M × A −→ M (m, a) 7−→ ma que cumple las siguientes propiedades: • ( m1 + m2 ) a = m1 a + m2 a • m( a + b) = ma + mb • m( ab) = (ma)b • m1 = m AM

´ denota un A-modulo izquierdo.

B.1.2 [Ejemplo] ´ 1. Todo grupo abeliano M es un Z-modulo:

mk := m + ... + m (k- veces), k ≥ 1 m0 := 0 m(−k ) := −(mk ), k ≥ 1 ´ 2. Sean K cuerpo y V un K- espacio vectorial. V es un K-modulo a izquierda. 3. Sean M un grupo abeliano y A := End( M ) = { f : M → M : f homomorfismo de anillos}. ´ Entonces M es un A-modulo a izquierda: f m := f (m); f g(m) := f ( g(m)). ´ 4. Sean A un anillo e I un ideal derecho de A; ( A/I ) A es un A-modulo derecho:

[ a] x := [ ax ]. De manera similar se define A ( A/I ). ´ B.1.3 [Definicion] ´ Sean M grupo abeliano; A, B anillos. M es un A-B-bimodulo si: 1.

A M.

2. MB . 3. ( am)b = a(mb).

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

B.1.2

24

Categor´ıas

B.1.4 [Definicion] ´ Una categor´ıa C se define por: ´ de objetos, Ob(C). 1. En C existe una coleccion 2. Dados dos objetos A, B ∈ Ob(C) existe el conjunto MorC ( A, B), denominado los morfismos de A en B. Si MorC ( A, B) 6= ∅ un elemento f ∈ MorC ( A, B) se puede f

representar tambi´en en la forma A → B S ´ Mor (C) := A,B∈Ob(C) MorC ( A, B). La coleccion ´ 3. Si MorC ( A, B) y MorC ( B, C ) son no vac´ıos, entonces existe una funcion ◦

MorC ( A, B) × MorC ( B, C ) → MorC ( A, C ) ( f , g) 7−→ g ◦ f y satisface las siguientes propiedades: f

g

h

• Es asociativa: A → B, B → C, C → D ⇒ h ◦ ( g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f • Existe i A ∈ MorC ( A, A) y i B ∈ MorC ( B, B) tales que i B ◦ f = f , f ◦ i A = f para todo f ∈ MorC ( A, B) 6= ∅ B.1.5 [Ejemplo] ´ ´ 1. Conjuntos (Conj), Grupos (Gr), Anillos, Espacios topologicos (Top), Modulos (Mod A , A Mod, B Mod A ). 2. Naturales (Nat); Ob( Nat) := 0, Mor ( Nat) = { Mor Nat (0, 0)}, con Mor Nat (0, 0) = N n m nm 0 → 0 → 0 = 0 → 0; ´ es asociativa y i0 := 1. la composicion 3. Pre-orden (Pre): Ob( Pre) := P Conjunto pre-ordenado; ( P, ≤). ( si a ≤ b {( a, b)} • a, b ∈ P, Mor Pre ( a, b) := ∅ en caso contrario. • a ≤ b, b ≤ c ⇒ a ≤ c Transitiva. • i a := ( a, a), a ≤ a Reflexiva. B.1.6 [Definicion] ´ Sean C 0 y C dos categor´ıas. Decimos que C 0 ⊆ C si: 1. Ob(C 0 ) ⊆ Ob(C).

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

25

2. ∀ A, B ∈ Ob(C 0 ) ;MorC 0 ( A, B) ⊆ MorC ( A, B). ´ en C 0 es la misma que la composicion ´ en C . 3. La composicion 4. ∀ A ∈ Ob(C 0 ), i A en C 0 es el morfismo i A en C . B.1.7 [Tipos de morfismos] f

• Epimorfismos: A → B si f es cancelable a derecha: g

h

Si existen B → C y B → C tales que g ◦ f = h ◦ f ⇒ g = h f

• Monomorfismos:A → B si f es cancelable a izquierda: g

h

Si existen X → A y X → A tales que f ◦ g = f ◦ h ⇒ g = h • Bimorfismo: Es un morfismo epi y mono simultaneamente. f

g

• Retracciones: A → B si f tiene inverso a derecha, es decir, existe B → A tal que f ◦ g = iB . f

g

• Corretracciones: A → B si f tiene inverso a izquierda, es decir, existe B → A tal que g ◦ f = i A . f

´ y retraccion. ´ • Isomorfismos: A → B si f es corretraccion

B.1.3

Funtores

B.1.8 [Definicion] ´ Sean A, C categor´ıas. Un funtor covariante F : A −→ C se define por: ´ denotada tambi´en por F : Ob(A) −→ Ob(C), que asigna a cada 1. Una funcion, objeto A de A un objeto F ( A) de C ; ´ tambi´en denotada por 2. Para cada par de objetos A, B de A se define una funcion F : MorA ( A, B) −→ MorC ( F ( A), F ( B)) f 7−→ F ( f ) que cumple las siguientes condiciones: 3. F ( f ◦ g) = F ( f ) ◦ F ( g) 4. F (i B ) = i F( B)

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

26

´ y para cada para cualesquiera morfismos f , g de A compatibles para la composicion objeto B de A. Un funtor contravariante de A en C se define como antes pero cambiando (2) y (3) de la siguiente manera: F : MorA ( A, B) −→ MorC ( F ( B), F ( A)) f 7−→ F ( f ) F ( f ◦ g) = F ( g) ◦ F ( f )

B.2

L´ımites y col´ımites

´ como su nombre lo indica, se definir´an los conceptos de l´ımite y En esta seccion, ´ de familia compatible. Adem´as, para hacer clarcol´ımite, partiendo de la definicion idad en los conceptos antes mencionados, se ejemplificar´an los conceptos de l´ımite y ´ ´ ´ col´ımite en los modulos abelianos: esto nos ayudar´a a comprender la ultima seccion del cap´ıtulo [2]. B.2.1 [Definicion] ´ Sea F : A −→ C un funtor, donde A es una categor´ıa pequea (cuyos objetos son conjuntos) y C una categor´ıa cualquiera. ´ Para X ∈ Ob(C) y cada i ∈ I := Ob(A) supongase dado un morfismo f i : X −→ Fi, con Fi := F (i ). La familia ( f i )i∈ I se dice compatible si para cada morfismo g : i −→ j en A se tiene que f j = F ( g) ◦ f i e´ sto es:

g

i→j⇒

X fj

fi

Fi

/ F ( g)



Fj

Un l´ımite (l´ımite proyectivo) de F es un objeto lim F de C junto con una familia com←− patible de morfismos pi : lim F −→ Fi , tal que para cualquier otra familia compatible ←− ´ f i : X −→ Fi existe un unico morfismo f : X −→ lim F para el cual pi ◦ f = f i : ←−

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

27

g

i→j⇒

X 

fi

f

pi

}

fj

lim F ←− pj

!  /

Fi

Fj

F ( g)

Un col´ımite (l´ımite inductivo) de F es un objeto lim F de C con una familia compatible −→ de morfismos qi : Fi −→ lim F, tal que para cualquier otra familia compatible f i : Fi −→ −→ ´ X existe un unico morfismo f : lim F −→ X para el cual f ◦ qi = f i : −→ g

i→j⇒

A XO ] f fi

qi

Fi

fj

lim F − =→ a qj

/ F ( g)

Fj

B.2.2 [Ejemplo] Col´ımites de modulos ´ abelianos B.2.3 [Definicion] ´ Decimos que ( P, ≤) es un conjunto dirigido si para todo i, j ∈ P existe k tal que k ≤ i, k ≤ j. ´ Sea ( P, ≤) un conjunto dirigido, definimos la siguiente funcion: ( F : ( P, ≤) −→ M i 7−→ µi ρ ji

i ≤ j 7−→ µ j → µi ´ ´ Siendo M el conjunto de Z-modulos abelianos y ρ ji una restriccion. Dados x ∈ µi , y ∈ µ j decimos: x ∼ y ⇔ ∃k ≤ i, j tal que ρik ( x ) = ρ jk (y)

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

28

´ es de equivalencia: Veamos que la anterior relacion • Reflexiva: i ≤ i y ρii = iµi , ρii ( x ) = x luego x ∼ x. • Sim´etrica: Si x ∼ y existe k ≤ i, j tal que ρik ( x ) = ρ jk (y) luego existe k ≤ i, j tal ´ que ρ jk (y) = ρik ( x ) de donde y ∼ x. • Transitiva: Sea z ∈ µn . Si x ∼ y y y ∼ z entonces existen k, l tales que k ≤ i, j, l ≤ j, n, ρik ( x ) = ρ jk (y) y ρ jl (y) = ρnl (z). Sea s ≤ k, l luego ρ js ( x ) = ρks (ρik ( x )) = ρks (ρ jk (y)) = ρ js (y) = ρls (ρ jl (y)) = ρls (ρnl (z)) = ρ js (z) de donde x ∼ z. Sea M =

S

i∈ P

µi / ∼, [ x ] = clase de x = ”germen de x bajo P”. Definimos

[ x ] + [y] = [ x + y] λ ∈ Z, λ[ x ] = [λx ] ´ Con e´ stas operaciones M es un Z-modulo. Veamos que est´an bien definidas: • Supongamos que x ∼ x 0 y y ∼ y0 con x, y ∈ µi y x 0 , y0 ∈ µ j entonces existen k, l ∈ P tales que k ≤ i, j, l ≤ i, j, ρil (y) = ρ jl (y0 ) y ρik ( x ) = ρ jk ( x 0 ). Tomamos n ≤ k, l. Luego ρkn (ρik ( x )) = ρkn (ρ jk ( x 0 )) ρin ( x ) = ρ jn ( x 0 ) ∈ µn ρln (ρil (y)) = ρln (ρ jl (y0 )) ρin (y) = ρ jn (y0 ) ∈ µn ⇒ ρin ( x ) + ρin (y) = ρ jn ( x 0 ) + ρ jn (y0 ) ⇒ ρin ( x + y) = ρ jn ( x 0 + y0 ) • Si x ∼ x 0 existe k ≤ i, j tal que ρik ( x ) = ρ jk ( x 0 ), entonces λρik ( x ) = λρ jk ( x 0 )y por las propiedades de las funciones ρ necesariamente ρik (λx ) = ρ jk (λx 0 ). ´ ´ • Las dem´as propiedades de modulo las hereda de cada modulo que lo compone. Ahora, veamos que M es col´ımite del funtor F: • Propiedad universal: Sean i, j ∈ P tal que i ≤ j. Si qi : µi −→ M tal que x 7−→ [ x ], por las definiciones y los resultados vistos anteriormente el siguiente diagrama conmuta:

´ ´ ´ APENDICE B. LIMITES Y COLIMITES

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qj

M > `

qi

ρij

/

µj

µi

Por lo tanto podemos decir que la familia {qi }i∈ P es una familia compatible. ´ • Supongamos que existe K Z-modulo y que { f i : µi −→ K}i∈ P es una familia compatible. Sea f : M −→ K tal que f ([ x ]) = f i ( x ) si x ∈ µi . Veamos que f est´a bien definida: six ∼ y x ∈ µi y y ∈ µ j existe k ∈ P tal que k ≤ i, j y ρik ( x ) = ρ jk (y). Luego f k (ρik ( x )) = f k (ρ jk (y)) de donde f i ( x ) = f j (y). De e´ sta manera, podemos afirmar que el siguiente diagrama conmuta:

pi

µi

?K` qi

f

/

M

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