Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Departamento de matemática
Curso:
Matemática Básica 2
Código del curso:
103
Semestre:
Segundo semestre 2013
Tipo de examen:
Segundo Examen Parcial
Nombre de la persona que resolvió el examen:
Juan Francisco Chajón Villatoro
Catedrático del curso:
Inga. Helen Ramírez
Universidad de San Carlos de Guatemala Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Matemática Básica 2 Escuela de Ciencias Segundo Examen Parcial Temario L TEMA 1 (30 puntos) En los incisos (a) y (b) determine
a)
2
𝑦 = (3𝑥 +
1 5)𝑥 3
𝑑𝑦 𝑑𝑥
; en el inciso (c), valúe el límite.
b) 𝑒
2𝑥𝑦
2
=𝑥 −
3 𝑥𝑦 2
1 tan 𝑥 c) lim+ ( ) 𝑥→0 𝑥
TEMA 2 (20 puntos) Sea: 𝑓(𝑥) =
𝑥2
1 +𝑎
Determine el valor de a para que la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) tenga un punto de inflexión en 𝑥 = 1.Luego, trace la gráfica de 𝑓(𝑥) indicando dominio, intersecciones con los ejes, asíntotas verticales y horizontales (si hubiere), intervalos de crecimiento y decrecimiento y concavidad, máximos y mínimos locales y puntos de inflexión. TEMA 3 (20 puntos) Suponga que un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de longitud 6 cm y uno de sus catetos está en posición horizontal. Se hace girar al triángulo tomando como eje de rotación el cateto vertical; la figura sólida que se forma es un cono circular recto (ver figura). Determine las dimensiones de los catetos que generan el cono de mayor volumen. TEMA 4 (20 puntos) La sección transversal de un tanque de 5 metros de largo es un trapecio isósceles con base menor de 2 metros, base mayor de 3 metros y altura de 2 metros. El tanque está colocado de manera que su sección transversal es perpendicular al suelo horizontal, con la base menor del trapecio sobre el mismo. Se está vertiendo agua al tanque a razón de 1.5 metros cúbicos por minuto, pero hay una fuga en el fondo y se pierde agua al mismo tiempo que se llena. Si la altura del agua h en el tanque sube a razón de 5 cm/min cuando ℎ = 1.5 m, ¿Cuál es la tasa de agua (en m3/min) de agua que se está fugando? TEMA 5 (10 puntos) Use la aproximación lineal de 𝑓(𝑥) = log 2 (32 + 𝑥) para estimar log 2 33.
6 cm
TEMA 1: Ambos enunciados (a y b) se resuelven aplicando la derivación por regla de la cadena, derivación implícita y derivación de logaritmos. 𝟏
a) 𝒚 = (𝟑𝒙𝟐 + 𝟓)𝒙𝟑 1
ln 𝑦 = ln(3𝑥2 + 5)𝑥3
Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el exponente: ln 𝑦 =
1 ln(3𝑥2 + 5) 𝑥3
Derivar utilizando la regla de la cadena: dy dy 1 ln 𝑦 = ln(3𝑥2 + 5) dx dx 𝑥 3
Utilizando la regla del producto: 1 6𝑥 1 −3 y´ = ∗ 3 + 4 ∗ ln(3𝑥2 + 5) 2 (3𝑥 + 5) 𝑥 𝑦 𝑥 dy
Utilizando el logaritmo natural (ln) para bajar el exponente: 1 ln(𝑦) = lim tan 𝑥 ∗ ln( ) 𝑥→∞+ 𝑥 Arreglar la función de tal manera que se pueda expresar como indeterminada al valuar el límite: 1 ln (𝑥) ∞ ln(𝑦) = lim = 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 1 𝑥→∞+ ∞ tan 𝑥 Aplicando L´Hospital: 1 ( 1 ) (−1)(𝑥 −2 ) 𝑥 ln(𝑦) = lim = lim 𝑥→∞+ (−1)(tan 𝑥)−2 (sec 𝑥)2 𝑥→∞+
𝑥 𝑥2 (sec 𝑥)2 − (tan 𝑥)2 −
Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: 1 1 𝑥 𝑥 ln(𝑦) = lim = lim 1 1 𝑥→∞+ 𝑥→∞+ (cos 𝑥)2 1 ∗ 2 ∗ (cos 𝑥)2 2 (sin 𝑥) (cos 𝑥)2 sin 𝑥 (cos 𝑥) Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: 1 1 𝑥 𝑥 ln(𝑦) = lim = lim 1 1 𝑥→∞+ 𝑥→∞+ (cos 𝑥)2 1 ∗ 2 ∗ (cos 𝑥)2 2 (sin 𝑥) (cos 𝑥)2 sin 𝑥 (cos 𝑥) Reescribir la ecuación para buscar otra forma indeterminada: (sin 𝑥)2 0 ln(𝑦) = lim = 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥→∞+ 𝑥 0
Aplicando nuevamente L´Hospital: 2 sin 𝑥 cos 𝑥 0 = =0 𝑥→∞+ 1 1
ln(𝑦) = lim
Despejando para encontrar el valor del límite: ln(𝑦) = 0 eln(𝑦) = 𝑒 0 𝟏 𝐥𝐢𝐦 ( )𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝟏 𝒙→∞+ 𝒙
TEMA 2: Para que exista un punto de inflexión en x=1, la segunda derivada de la función 𝑓´´ (1) = 0,
Primero se buscan las tres funciones que definen la gráfica: la función original, la primera derivada y la segunda derivada. 1 𝑓 (x) = 2 𝑥 +𝑎 𝑓´ (x) =
𝑓´´ (x) =
−2𝑥 (𝑥 2 + 𝑎)2
−2(𝑎 − 3𝑥 2 ) (𝑥 2 + 𝑎)3
Encontrar el valor de “a” para que 𝑓´´ (1) = 0: 0=
−2(𝑎 − 3𝑥 2 ) (𝑥 2 + 𝑎)3
0 = −2(𝑎 − 3𝑥 2 ) = −2𝑎 + 6𝑥 2 2𝑎 = 6𝑥 2 𝑎 3
𝑥 = ±√
𝑎 (1)2 = (√ )2 3 𝑎 =1 3 𝒂=𝟑 Cuando 𝒂 = 𝟑 se tiene un punto de inflexión en 𝒙 = ±𝟏
Encontrar los valores críticos de la gráfica 𝑓´ (x) = 0:
0=
−2𝑥 (𝑥 2 + 𝑎)2
0 = −2𝑥 𝐱=𝟎 Cuando 𝑓´ (x) = 0 se tiene un mínimo o un máximo local. Valores Críticos {-3, -1, 0, 1, 3} Se evalúa el límite de la función para encontrar asíntotas horizontales: 1 1 2 0 𝑥 lim 2 = lim 2 = =0 𝑥→∞ 𝑥 + 𝑎 𝑥→∞ 𝑥 3 1+0 + 𝑥2 𝑥2 La función 𝑓 (x) tiene una asíntota horizontal en 𝑓 (x) = 0 A continuación se realiza una evaluación de valores en los intervalos adecuados para hallar el comportamiento de la gráfica: INTERVALO
