UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
DIVISIÓN DE CIENCIAS EN INGENIERÍAS CAMPUS LEÓN
CARACTERIZACIÓN DE UN LCD Y APLICACIONES ÓPTICAS
PRESENTA: REBECA BALTAZAR BARRÓN
PARA OBTENER EL GRADO DE LICENCIATURA EN INGGENIERIA FÍSICA
ASESORA: DRA AMALIA MARTÍNEZ GARCÍA CO-ASESORA: DRA. ISABEL DELGADILLO CANO
ABRIL 2013 LEÓN, GUANAJUATO, MÉXICO
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AGRADECIMIENTOS:
“Nunca olvides quien te ayudó, quien estuvo contigo, quien te enseñó”
Dedico esta tesis como forma de agradecimiento por su ayuda y paciencia a todos aquellos que han estado conmigo al tanto de mi progreso académico. De manera específica agradezco a la Dra. Amalia Martínez García, investigadora del Centro de Investigaciones en Óptica, por darme su apoyo y tiempo para el desarrollo de la presente tesis; a la Dra. Isabel Delgado Cano por su guía en la realización de trámites administrativos en la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato; a los profesores por su tiempo y dedicación, que mediante sus clases han inculcado los conceptos de física en mi cabeza y han brindado su amistad; a las instituciones gubernamentales que me han dado apoyo económico (PRONABES); a la Universidad de Guanajuato, por acogerme en sus instalaciones, así como al Centro de Investigaciones en Óptica por el uso del Laboratorio de Metrología II; a mis amigos que me han compartido sus ánimos; a mi mamá y hermanos por su apoyo y a Alberto que me ha tenido muchísima paciencia.
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ÍNDICE ÍNDICE DE FIGURAS........................................................................................................................................... II CAPÍTULO 1 1.1 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 1.4
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3 LA ECUACIÓN DE ONDA .................................................................................................................. 3 SOLUCIÓN DE ONDAS PLANAS ................................................................................................... 6 ONDAS ESFÉRICAS......................................................................................................................... 8 MÉTODO DE TRANSFORMADA DE FOURIER........................................................................... 8 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DEL OSCILADOR ARMÓNICO..... 10 UNA NOTA EN LA ECUACIÓN DE UN PLANO ......................................................................... 13 EXPERIMENTO DE INTERFERENCIA DE YOUNG..................................................................... 14 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE UNA ONDA EN UNA INTERFAZ ...................................... 19
CAPÍTULO 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
LA ECUACIÓN DE ONDA EN ÓPTICA CLÁSICA........................................................... 3
LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN ....................................................................................... 25
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 25 EL CAMPO ÓPTICO INSTANTÁNEO Y LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN ............................... 26 FORMAS ESPECIALES (DEGENERADAS) DE LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN ................... 29 PARÁMETROS ELÍPTICOS DE LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN.............................................. 31 APLICACIONES DE POLARIZACIÓN............................................................................................ 37 PANTALLA DE CRISTAL LÍQUIDO............................................................................................... 38
CAPÍTULO 3
EFECTO TALBOT.................................................................................................................. 41
CAPÍTULO 4
OBTENCIÓN DE LA FASE DE UN PATRÓN DE FRANJAS ........................................ 49
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 49 ALGORITMO DE FASE DE CUATRO PASOS ............................................................................... 52 ALGORITMOS DE RECONSTRUCCIÓN DE FASE ...................................................................... 53 RESUMEN DE LAS TÉCNICAS DE MODULACIÓN .................................................................... 55 ERRORES ASOCIADOS A LOS ADF .............................................................................................. 60 ERRORES ALEATORIOS ............................................................................................................... 62 ERRORES SISTEMÁTICOS ........................................................................................................... 63 PRINCIPALES VENTAJAS ............................................................................................................... 66
CAPÍTULO 5
PARTE EXPERIMENTAL .................................................................................................... 69
5.1 CARACTERIZACIÓN DE UN LCD.................................................................................................. 69 5.1.1 OBSERVACIÓN DE PIXELES ....................................................................................................... 75 5.1.2 OBTENCIÓN DE IMÁGENES DE TALBOT DE UNA REJILLA GENERADA MEDIANTE EL LCD 80 5.1.3 VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS .................................................................................................. 81 5.2 OBTENCIÓN DE TOPOGRAFÍA DE UN OBJETO......................................................................... 84 CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES.................................................................................................................... 89
APÉNDICE A ......................................................................................................................................................... 90 APÉNDICE B ......................................................................................................................................................... 92 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................................... 95
II I
ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Obtención de la ecuación de onda. Movimiento de una cuerda bajo tensión........................................ 4 Figura 1.2 Propagación de ondas planas. ................................................................................................................ 6 Figura 1.3 Ondas de dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente S 2 − S1 >> λ . .................................... 15 Figura 1.4 Reflexión y transmisión de una onda en la interfaz de dos medios. ..................................................... 20 Figura 2.1 Propagación del campo óptico transversal........................................................................................... 27 Figura 2.2 Una onda polarizada elípticamente y la elipse de polarización........................................................... 29 Figura 2.3 Elipse de polarización rotada................................................................................................................ 32 Figura 2.4 Esquema de las moléculas de la pantalla LCD. a) Haz de luz. b) Polarizador. c) Electrodo. d) Giro nemático. e) Electrodo. f) Analizador. g) Luz resultante. h) Suministro de corriente. Imagen superior, sin campo eléctrico. Imagen inferior, con campo eléctrico...................................................................................................... 40 Figura 3.1 Localización de los planos de la imagen Talbot después de la rejilla, para una longitud de onda de luz.............................................................................................................................................................................. 41 Figura 3.2 Red de difracción. .................................................................................................................................. 42 Figura 3.3 Rejilla de periodo d................................................................................................................................ 43 Figura 3.4 Difracción con dos orificios. ................................................................................................................. 43 Figura 3.5 Análisis de ángulos en la difracción con dos orificios.......................................................................... 44 Figura 3.6 Luz en fase.............................................................................................................................................. 44 Figura 3.7 Luz monocromática vista de lado.......................................................................................................... 45 Figura 3.8 Ondas planas a través de la rejilla con diferente inclinación. ............................................................. 46 Figura 4.1 Patrón de franjas con un corrimiento de fase de cuatro pasos: a) 0, b) π/2, c) π y d) 3π/2. .............. 53 Figura 4.2 a) Fase envuelta, b) Reconstrucción de fase (fase desenvuelta); ambas en unidades de radianes..... 55 Figura 4.3 Principales moduladores analógicos temporales. ................................................................................ 59 Figura 5.1 Montaje experimental para la medida del ángulo de giro de la celda de cristal líquido. a) Láser. b) Filtro espacial. c) Lente colimadora. d) Polarizador. e) LCD. f) Analizador. g) Fotodetector. θ1 ángulo del polarizador, θ2 ángulo del analizador, ξ ángulo de giro (nemático)...................................................................... 70 Figura 5.2 Intensidad de luz trasmitida vs ángulo.................................................................................................. 71 Figura 5.3 Intensidad vs ángulo en un rango de 60º a 90º..................................................................................... 71 Figura 5.4 Intensidad vs ángulo (0º≤θ2≤360º). ....................................................................................................... 72 Figura 5.5 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen negra. b) Proyección de la imagen en un plano de observación. .............................................................................................................................................. 72 Figura 5.6 Intensidad con una imagen negra en el LCD vs ángulo θ2................................................................... 73 Figura 5.7 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen blanca. b) Proyección de la imagen en un plano de observación. .............................................................................................................................................. 73 Figura 5.8 Intensidad con una imagen blanca en el LCD vs ángulo θ2. ................................................................ 74 Figura 5.9 Variación de intensidad con respecto al cambio de nivel de gris. ....................................................... 75 Figura 5.10 Imagen de prueba para ver píxeles. .................................................................................................... 76 Figura 5.11 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. Esquema del arreglo de observación de imagen en píxeles. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. ........................................................................................................................... 77 Figura 5.12 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. ............................................................................... 77 Figura 5.13 Desplazamiento lateral de la imagen, se deja de ver la línea vertical del centro. ............................ 77 Figura 5.14 Imagen inicial con resolución 800x600 píxeles. ................................................................................. 78 Figura 5.15 Desplazamiento vertical de la imagen, se conserva la proporción de píxel a píxel. ......................... 78 Figura 5.16 Desplazamiento horizontal de la imagen, se conserva la proporción de la imagen. ........................ 79 Figura 5.17. Montaje del arreglo para observar la influencia de la relación del número de píxeles entre la pantalla de la computadora y la pantalla de cristal líquido en la resolución de la imagen observada en h). a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. .......................................................................................................................................... 79 Figura 5.18 Programa para calcular las distancias Talbot. .................................................................................. 80 Figura 5.19 Esquema del arreglo de observación de la imagen Talbot. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) Polarizador. f) LCD. g) Analizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. ................................... 81 Figura 5.20 Autoimágenes Talbot captadas por una CCD generadas en una LCD correspondiente a: a) franjas verticales, b) franjas horizontales............................................................................................................................ 81
II
Figura 5.21 Patrón de franjas de visibilidad 1. ...................................................................................................... 82 Figura 5.22 Estructura de programa generador de franjas cosenoidales. ............................................................ 82 Figura 5.23 Pantalla en ejecución de programa generador de franjas. ................................................................ 83 Figura 5.24 Objeto para obtención de forma. a) Navaja 1020, b) parte superior de navaja................................ 85 Figura 5.25 Proyección de franjas sobre el objeto desfasadas a) 0 π, b) π/2, c) π, d) 3π/2. ................................. 85 Figura 5.26 a) Fase envuelta, b) fase desenvuelta.................................................................................................. 86 Figura 5.27 Obtención de la topografía del objeto. a) vista en ángulo. b) vista superior. c) vista frontal. d) vista lateral........................................................................................................................................................................ 86
III
IV
RESUMEN
El cristal líquido es un material con varias aplicaciones útiles en la vida cotidiana de las personas desde algunos años después de que se le descubrió; así como también, ha tenido aplicaciones en la mejora de técnicas de laboratorio. Esta tesis trata de la caracterización de una pantalla de cristal líquido nemático (LCD por sus siglas en ingles: Liquid Crystal Display). Se obtienen resultados referentes a la evaluación de la topografía de un objeto de prueba donde se utiliza la LCD para generar una rejilla cosenoidal y mediante el efecto de Talbot aplicar la técnica de proyección de franjas. La organización del trabajo de tesis corresponde a: Capítulo 1: Se presenta una revisión teórica del tratamiento de la luz como onda electromagnética así como el concepto de interferencia. Capítulo 2: Se describe la polarización de la luz así como la obtención de las ecuaciones correspondientes a polarización elíptica, circular y lineal. Se describe que es un cristal líquido. También se presentan algunas de sus aplicaciones. Dado que un LCD funciona en parte por el ajuste de dos polarizadores, se introduce en este capítulo una breve descripción de su funcionamiento. Capítulo 3: Se da una explicación del efecto de Talbot así como la obtención de las distancias de Talbot. Capítulo 4: Se explica la técnica de corrimiento de fase para obtener la fase en un patrón de franjas. Se presenta un análisis de los errores asociados. Se mencionan las principales ventajas del algoritmo correspondiente a la técnica de corrimiento de fase. Capítulo 5: Corresponde a la parte experimental que presenta la caracterización del LCD, efecto de Talbot así como resultados experimentales de la evaluación de la topografía para un objeto de prueba. Capítulo 6: Se presentan algunas conclusiones del trabajo. Apéndice A: Desarrollo algebraico de señales cosenoidales para la obtención de la ecuación de interferencia.
1
Apéndice B: Desarrollo algebraico de la técnica de desplazamiento de fase.
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CAPÍTULO 1 LA ECUACIÓN DE ONDA EN ÓPTICA CLÁSICA
1.1
INTRODUCCIÓN El concepto de interferencia de ondas, desarrollado en mecánica en el siglo XVIII, fue
introducido en la óptica por Thomas Young al comienzo del siglo XIX. En el siglo XVIII los físicos matemáticos Euler, d’Alembert, y Lagrange desarrollaron la ecuación de la mecánica newtoniana e investigaron la propagación de ondas y ondas estacionarias. No siempre fue apreciado que Young tomara las ideas desarrolladas en un campo, como la mecánica, y luego los aplicara en otro campo completamente diferente como el de la óptica. Además del concepto de interferencia de ondas, Young encontró que era también necesario usar otra idea de la mecánica. Él descubrió que la superposición de ondas era insuficiente para describir el fenómeno de interferencia óptica. Para describir el patrón de interferencia tomó también prestado el concepto de energía de la mecánica. Este concepto se había desarrollado en el siglo XVIII, y la relación entre la amplitud de onda y su energía fue entendida claramente. Es decir, el desarrollo de la mecánica del siglo XVIII fue crucial en el trabajo de Young y en el desarrollo de la óptica en la primera mitad del siglo XIX. Es difícil imaginar el rápido progreso que tuvo lugar en la óptica sin estos previos desarrollos. Para tener un mejor entendimiento de la ecuación de onda de cómo surgió de la mecánica y se aplicó en la óptica, se obtiene la ecuación de onda de las leyes de movimiento de Newton.
1.2
LA ECUACIÓN DE ONDA Se considera una cuerda homogénea l fija en ambos extremos y bajo tensión T0 ,
como se muestra en la Figura 1.1. Se hace la suposición de que los desplazamientos laterales son pequeños con respecto a l . El ángulo entre algún segmento pequeño de la cuerda y la línea recta (discontinua) unida a los puntos de soporte es suficientemente pequeño, entonces sin(θ ) es aproximadamente tan(θ ) . Similarmente, la tensión T0 en la cuerda se asume que
3
no es alterada por el desplazamiento lateral; entonces, el movimiento es restringido al plano xy .
y T0 θ2
B ds
•
F2
dy A F1
θ1
•
θ1
x dx
C
T0
Figura 1.1 Obtención de la ecuación de onda. Movimiento de una cuerda bajo tensión.
La ecuación diferencial del movimiento es obtenida al considerar un elemento pequeño ds de la cuerda y es mostrado en forma exagerada como el segmento AB en la Figura 1.1. La componente y de la fuerza actuando en ds consiste de F1 y F2 . Si θ1 y θ 2 son pequeños, entonces ∂y F1 = T0 sin(θ1 ) ≈ T0 tan(θ1 ) = T0 ∂x A
(1.1a)
∂y F2 = T0 sin(θ 2 ) ≈ T0 tan(θ 2 ) = T0 ∂x B
(1.1b)
donde las derivadas son parciales debido a que y es dependiente del tiempo t , así como de la distancia x . Los subíndices significan que las derivadas son evaluadas en los puntos A y B respectivamente. Entonces por el teorema de expansión de Taylor,
∂y ∂ 2 y dx ∂y − 2 = ∂x A ∂x ∂x 2 ∂y ∂ 2 y dx ∂y = + 2 ∂x B ∂x ∂x 2
(1.2a)
(1.2b)
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en la que las derivadas sin subíndices son evaluadas en el punto medio de ds . El resultado de la fuerza en la dirección y es
∂2 F2 − F1 = T0 2 ∂x
y dx
(1.3)
Si ρ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la reacción inercial (fuerza) del elemento ds es ρds (∂ 2 y ∂t 2 ) . Para desplazamientos pequeños, ds puede ser escrita como ds ≅ dx . La ecuación de movimiento es entonces obtenida al igualar la reacción inercial a la
fuerza aplicada (1.3), entonces se tiene
∂2 T0 ∂ 2 y= y ∂t 2 ρ ∂x 2
(1.4)
La ecuación (1.4) es la ecuación de onda en una dimensión. En óptica, y ( x, t ) es comparado con la “perturbación óptica” u ( x, t ) . Además, el radio de tensión de la densidad en la cuerda es encontrado al estar relacionado con la velocidad de propagación ν por la ecuación
ν2 =
T0
(1.5)
ρ
La ecuación (1.5) es fácil de encontrar por un análisis dimensional de la ecuación (1.4). La ecuación (1.4) puede entonces ser escrita como
∂2 1 ∂2 u ( x, t ) = 2 2 u ( x, t ) ∂x 2 v ∂t (1.6) que es la forma que aparece en óptica. La ecuación (1.6) describe la propagación de una perturbación óptica u ( x, t ) en una dirección x a un tiempo t . Para una onda propagándose en tres dimensiones es fácil de mostrar que la ecuación de onda es
∂2 ∂2 ∂2 1 ∂2 u ( r , t ) + u ( r , t ) + u ( r , t ) = u (r , t ) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t 2
(1.7)
donde r = x 2 + y 2 + z 2 . La ecuación (1.7) puede escribirse como
5
∇ 2u ( r , t ) =
1 ∂2 u (r , t ) v 2 ∂t 2
(1.8)
en la cual, ∇ 2 es el operador Laplaciano
∂2 ∂2 ∂2 ∇ ≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z 2
(1.9)
Debido a la importancia fundamental de la ecuación de onda, tanto en mecánica como en óptica, se ha investigando a fondo. La ecuación (1.7) se resolverá en varias maneras.
1.2.1 SOLUCIÓN DE ONDAS PLANAS Sea r ( x, y, z ) un vector de posición de un punto P en el espacio, y sˆ( sx , s y , sz ) un
vector unitario en una dirección fija. Una solución de la ecuación (1.7) tiene la forma
u = u ( sˆ ⋅ r , t )
(1.10)
Se dice que representa una solución de onda plana, ya que en cada instante de tiempo
u es constante en cada uno de los planos
sˆ ⋅ r = cte
(1.11)
que es la ecuación de un plano. La Figura 1.2 muestra un sistema de coordenadas cartesianas Ox , Oy , Oz . Ahora se escogen un nuevo sistema de ejes coordenados Oξ , Oζ , Oη , con Oζ en la dirección sˆ ⋅ r = ζ . z ζ
y •
sˆ
•
r
η
ξ O
x
Figura 1.2 Propagación de ondas planas.
6
Entonces, ∂ ∂x = ( ∂ζ ∂x )( ∂ ∂ζ ) , etcétera, así sx x + s y y + sz z = ζ
(1.12a)
y se puede escribir ∂ ∂ = sx ∂x ∂ζ 2
2
∂ ∂ = sy ∂y ∂ζ
∂ ∂ = sz ∂z ∂ζ
(1.12b)
2
Donde s x + s y + s z = 1 , se encuentra fácilmente que ∂2 ∇ u= u ∂ζ 2 2
(1.13)
así que la ecuación (1.8) e convierte en ∂2 1 ∂2 u − u=0 ∂ζ 2 v 2 ∂t 2
(1.14)
Entonces, la transformación (1.12) reduce la ecuación de onda de tres dimensiones a una ecuación de onda de una dimensión. Estableciendo
ζ − vt = p
ζ + vt = q
(1.15)
y sustituyendo en (1.14) se encuentra que ∂2 u=0 ∂p ∂q
(1.16)
la solución de (1.16) es u = u1 ( p ) + u 2 ( q )
(1.17)
Entonces la solución general de (1.14) es
u = u1 ( sˆ ⋅ r − vt ) + u2 ( sˆ ⋅ r + vt )
(1.18)
donde u1 y u 2 son funciones arbitrarias. El argumento de u no cambia cuando (ζ , t ) es reemplazado por (ζ + ντ , t + τ ) , donde τ es un tiempo arbitrario. Entonces, u1 (ζ + ντ ) representa una perturbación que se propaga con una velocidad ν en dirección negativa ζ .
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Similarmente, u 2 (ζ −ντ ) represente una perturbación que se propaga con velocidad ν en dirección positiva ζ .
1.2.2 ONDAS ESFÉRICAS Ahora se considera soluciones que representan ondas esféricas, es decir, u = (r , t )
(1.19)
Donde r = r = x 2 + y 2 + z 2 . Usando las relaciones
∂ ∂ ∂ x ∂ = r ⋅ = ⋅ x, etc. ∂x ∂x ∂r r ∂r
(1.20)
Después de calcular, se encuentra que ∇ 2u =
1 ∂2 ( ru ) r ∂r 2
(1.21)
La ecuación de onda (2.8) es entonces ∂2 1 ∂2 ru − ( ru ) = 0 ∂r 2 ν 2 ∂t 2
(1.22)
Siguiendo como (1.14), la solución de (1.22) es u (r , t ) =
u1 ( r − ν t ) r
+
u2 (r + ν t ) r
(1.23)
Donde u1 y u2 son funciones arbitrarias. El primer término en (1.23) representa una onda esférica que diverge del origen mientras que el segundo término es una onda esférica que converge hacia el origen; ν es la velocidad de propagación en ambos casos.
1.2.3 MÉTODO DE TRANSFORMADA DE FOURIER El método para resolver la ecuación de onda requiere una considerable cantidad de visión y experiencia. Sería deseable tener un método formal para resolver la ecuación
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diferencial parcial de este tipo. Esto puede hacerse mediante el uso de transformadas de Fourier. Entonces considerando la ecuación de onda de una dimensión
∂2 1 ∂2 u (ζ , t ) = 2 2 u (ζ , t ) ν ∂t ∂ζ 2
(1.24)
El par de ecuaciones correspondiente a la transformada de Fourier de u (ζ , t ) es definida en el dominio del tiempo t , como: ∞
u (ζ , t ) =
1 U (ζ , ω )e iωt dω ∫ 2π −∞
(1.25a)
y ∞
U (ζ , ω ) =
∫ u (ζ , t )e
−iωt
dt (1.25b)
−∞
Se puede escribir entonces
∂2 1 u (ζ , t ) = 2 ∂ζ 2π ∂2
1 u (ζ , t ) = 2 2π ∂t
∞
∂2 iωt ∫−∞ ∂ζ 2 U (ζ , ω )e dω ∞
∫ U (ζ , ω)(−ω
2
)e iωt dω
−∞
(1.26)
entonces, la ecuación (1.24) es transformada a ∂2 ∂ζ
U (ζ , ω ) = 2
− ω 2U (ζ , ω ) v2
(1.27)
La ecuación (1.27) es reconocida inmediatamente como la ecuación de un oscilador armónico cuya solución es U (ζ , ω ) = A(ω )e ikζ + B(ω )e −ikζ
(1.28)
Donde k = ω ν . Se nota que las constantes de integración A(ω ) y B (ω ) , pueden ser escritas como funciones de ω debido a que la diferenciación parcial en (1.24) con respecto a
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ζ . Se puede demostrar que (1.28) es la solución correcta al hacer la diferencial de acuerdo a (1.27). La solución de (1.24) puede entonces ser encontrada al sustituir U (ζ , ω ) en (1.28) dentro de la transformada de Fourier u (ζ , t ) en (1.25a)
1 u (ζ , t ) = 2π
∞
∫ [A(ω )e
ikζ
]
+ B(ω )e −ikζ e iωt dω (1.29)
−∞
o
1 u (ζ , t ) = 2π
∞
∫ A(ω )e
−∞
iω (t +ζ v )
1 dω + 2π
∞
∫ B(ω )e
iω (t −ζ v )
−∞
dω (1.30)
De la definición de transformada de Fourier, de la ecuación (1.25), se puede ver que
ζ ζ u (ζ , t ) = u1 t + + u 2 t − v v
(1.31)
que es equivalente a la solución (1.18). La transformada de Fourier es usada a lo largo de la física y proporciona una poderosa herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. Finalmente, las ecuaciones de la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa muestran una solución senoidal más simple de la ecuación de onda.
u (ζ , t ) = A sin(ω t + k ζ ) + B sin(ω t − k ζ )
(1.32)
Donde A y B son constantes. Se puede revisar que (1.32) es la solución de onda (1.24).
1.2.4 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DEL OSCILADOR ARMÓNICO Antes de terminar la discusión de la ecuación de onda, también es útil analizar la ecuación del oscilador armónico. De la mecánica, la ecuación diferencial del oscilador armónico en movimiento es
10
m
d2 x = −kx dt 2
(1.33a)
o d2 dt
2
x=−
k x = −ω 0 2 x m
(1.33b)
Donde m es la masa del oscilador, k es la constante de fuerza del resorte, y ω0 = 2π f es la frecuencia angular donde f es la frecuencia en ciclos por segundo. La ecuación (1.33b) puede ser resuelta multiplicando ambos lados de la ecuación por
dx dt = ν , donde ν es velocidad
v
d d v = −ω 0 2 x x dt dt
(1.34a)
o
ν dν = −ω0 2 xdx
(1.34b)
Integrando ambos lados de (1.34b), se tiene 2
ω v2 = − 0 x 2 + A2 2 2
(1.35a)
donde A2 es la constante de integración. Resolviendo para ν , se tiene v=
d x= dt
A2 − ω0 2 x 2
(1.35b)
que se puede reescribir como
dx A2 − ω 0 2 x 2
= dt (1.36)
La solución de (1.36) es muy conocida del cálculo integral y es x = a sin(ω0 t + δ )
(1.37)
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donde a y δ son constantes de integración. La ecuación (1.37) puede ser reescrita de otra forma al usar la expansión trigonométrica: sin(ω0t + δ ) = sin(ω0t ) cos(δ ) + cos(ω0t ) sin(δ )
(1.38)
x(t ) = A sin(ω0t ) + B cos(ω0t )
(1.39)
entonces,
donde A = a cos(δ ),
B = a sin(δ )
(1.40)
Otra forma de (1.39) es la expresión cos(ω0t ) y sin(ω0t ) en términos de exponenciales, esto es, cos(ω0t ) =
sin(ω0t ) =
eiω0t + e − iω0t 2
(1.41a)
e iω0t − e − iω0t 2i
(1.41b)
sustituyendo (1.41a) y (1.41b) en (1.39) y agrupando términos, conduce a
x(t ) = Ceiω0t + De − iω0t
(1.42a)
A − iB , 2
(1.42b)
donde
C=
D=
A + iB 2
Donde C y D son constante complejas. Entonces, se ve que la solución del oscilador armónico se puede escribir en términos de cantidades reales o cantidades complejas. La forma de la ecuación (1.35a) es de particular interés. La ecuación diferencial (1.33a) describe claramente el movimiento de la amplitud del oscilador armónico. Manteniendo la forma de la ecuación (1.33a) y multiplicándola por dx dt = ν , se puede escribir
12
mv
d d v = −kx x dt dt
(1.43)
ahora integrando ambos lados, nos lleva a
mv 2 − kx 2 = +C 2 2
(1.44)
Donde C es una constante de integración. Por tanto, con solo hacer una integración, nos lleva a una nueva forma de describir el movimiento del oscilador armónico. Al comienzo del siglo XVIII el significado de la ecuación (1.44) no era claro, pero poco a poco los físicos se fueron dando cuenta de que (1.44) describe el movimiento del oscilador armónico de una manera totalmente nueva, es decir, la descripción del movimiento en términos de energía. Los términos mν 2 2 y − kx 2 2 corresponden respectivamente a la energía cinética y la energía potencial del oscilador armónico. Por lo tanto, desde el principio en el desarrollo de la física se hizo una conexión entre la amplitud y la energía del movimiento oscilatorio. La energía de una onda puede ser obtenida simplemente por el cuadrado de la amplitud. Este punto es introducido debido a su relación con el experimento de interferencia de Young. En óptica, sin embargo, la energía se conoce como la intensidad.
1.2.5 UNA NOTA EN LA ECUACIÓN DE UN PLANO Retomando que la ecuación de un plano es
sˆ ⋅ r = cte
(1.11)
que describe el plano de la Figura 1.2. Inspeccionando la figura, se ve que r es un vector con su origen en el origen de las coordenadas, entonces
r = xiˆ + yjˆ + zkˆ
(1.45)
donde iˆ , ˆj y kˆ son vectores unitarios. Similarmente, de la Figura 1.2 se ve que sˆ = sx iˆ + s y ˆj + sz kˆ
(1.46)
Supóngase ahora un vector r0 a lo largo de sˆ y el plano es perpendicular a sˆ .
13
Entonces OP es el vector r − r0 y es perpendicular a sˆ . Por lo tanto, la ecuación del plano es sˆ ⋅ ( r − r0 ) = 0
(1.47)
sˆ ⋅ r = ζ
(1.48)
o
donde ζ = sˆ ⋅ r0 es una constante. Así, la solución de onda plana surge del hecho de que el frente de onda es caracterizada por un plano de extensión infinita.[1]
1.3
EXPERIMENTO DE INTERFERENCIA DE YOUNG Alrededor del año 1800, Thomas Young realizó un simple, pero importante
experimento óptico conocido como el experimento de interferencia de dos pequeñas perforaciones. Él demostró que este experimento podría entenderse en términos de ondas; el experimento dio el primer apoyo claro para la teoría ondulatoria de luz. Con el fin de entender el patrón que observó, él adoptó las ideas desarrolladas en mecánica y las aplicó en óptica, un enfoque muy novedoso y radical. Hasta la aparición del trabajo de Young, muy pocos progresos se habían hecho en la óptica desde las investigaciones de Newton (con la teoría corpuscular de la luz) y Huygens (la teoría de onda de la luz). El simple hecho es que para el año 1800, además de la ley de Snell de refracción y las pocas cosas aprendidas de la polarización, no existía una base teórica para continuar. El trabajo de Young dio el primer paso en el desarrollo y la aceptación de la teoría ondulatoria de la luz. El experimento llevado a cabo por Young es mostrado en la Figura 1.3. Una fuente de luz, σ , es colocada detrás de dos agujeros S1 y S2 , equidistantes de la fuente separadas una distancia a mayor que la longitud de onda λ , donde las ondas son monocromáticas de la misma frecuencia y polarizadas linealmente que se desplazan en un medio homogéneo. Los agujeros actúan como fuentes secundarias de luz que se encuentran en fase, y los haces de ellos se superponen en la pantalla Σ en un punto arbitrario P que se encuentra lo suficientemente lejos de las fuentes como para percibir los frentes de ondas como planos. Notablemente, cuando la pantalla es entonces observada, no se ve una distribución uniforme de la luz. En cambio, se observa un patrón distinto que consiste en bandas brillantes alternado
14
con bandas oscuras. Para explicar este comportamiento, Young asume que cada uno de los agujeros S1 y S 2 emiten ondas. Siendo sus campos eléctricos
E1 ( r , t ) = E01 cos( k1 ⋅ r − ωt + ε 1 )
(1.49a)
E 2 (r , t ) = E02 cos( k 2 ⋅ r − ωt + ε 2 )
(1.49b)
Σ S1 P
a
S2
Figura 1.3 Ondas de dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente S 2 − S1 >> λ .
De manera general, el campo eléctrico E en el espacio, es la suma de los campos E1 ,
E2 ,... provenientes de diversas fuentes, es decir
E = E1 + E 2 + ...
(1.50)
La perturbación óptica, o la luz del campo E , varía en el tiempo a un ritmo extremadamente rápido, aproximadamente de 4.3 × 1014 Hz a 7.5 × 1014 Hz , haciendo que el campo actual sea una cantidad impráctica para detectar. La irradiancia I puede ser medida directamente con sensores, entonces el estudio de interferencia es estudiada a través de la irradiancia. La irradiancia relativa dentro de un mismo medio es dada por
15
I = E2
T
(1.51)
que es el promedio temporal de la magnitud de la intensidad de campo eléctrico al cuadrado, en consecuencia (1.52)
E2 = E ⋅ E ahora se tiene E 2 = ( E1 + E 2 ) ⋅ ( E1 + E 2 )
(1.53)
E 2 = E12 + E2 2 + 2 E1 ⋅ E2 2
(1.54)
y por tanto
Tomando el tiempo promedio de ambos lados, se tiene que la irradiancia está dada por
I = I1 + I 2 + I12
(1.55)
I = E 2 = E12 + E2 2 + 2 E1 ⋅ E2
(1.56)
que proviene de
El último término es conocido como el término de interferencia. Al evaluar en instantes específicos da la forma
(
) (
E1 ⋅ E2 = E01 ⋅ E02 cos k1 ⋅ r − ωt + ε1 cos k2 ⋅ r − ωt + ε 2
)
(1.57)
usando la identidad trigonométrica
cos ( A ± B ) = cos ( A ) cos ( B ) ∓ sin ( A ) sin ( B )
(1.58)
se tiene:
(
)
(
)
E1 ⋅ E2 = E01 ⋅ E02 cos k1 ⋅ r + ε1 cos (ωt ) + sin k1 ⋅ r + ε1 sin (ωt ) (1.59) × cos k2 ⋅ r + ε 2 cos (ωt ) + sin k2 ⋅ r + ε 2 sin (ωt ) Recordando que el tiempo promedio de una función v(t ) en un intervalo T es
(
)
v(T ) =
(
1T v(t )dt T ∫0
)
(1.60)
El periodo τ de una función armónica es 2π ω y para la interferencia se tiene que
16
T >> τ . En este caso el coeficiente 1 T frente a la integral tiene un efecto dominante. Después de multiplicar y promediar la ecuación (1.59) se tiene E1 ⋅ E 2 =
1 E01 ⋅ E 02 cos( k1 ⋅ r + ε 1 − k 2 ⋅ r − ε 2 ) 2
(1.61)
usando cos 2 (ωt ) = 1
sin 2 (ωt ) = 1
(1.62) 2
(1.63)
2
cos(ωt ) sin(ωt ) = 0
(1.64)
ver apéndice A, el término de interferencia es por tanto I12 = 2 E1 ⋅ E2 = E01 ⋅ E02 cos(φ )
(1.65)
Donde
φ = cos(k1 ⋅ r + ε 1 − k 2 ⋅ r − ε 2 )
(1.66)
es la diferencia de fase resultante de la combinación de una diferencia de longitud de camino y una diferencia de ángulo de fase inicial. Si E01 y E02 son perpendiculares I12 = 0 e I = I1 + I 2 . Estos estados ortogonales se combinan pero la distribución del flujo quedara inalterada Una situación común es cuando E01 es paralela a E02 , donde la irradiancia se reduce al valor calculado como una superposición de ondas, teniendo de condición
I12 = E01 E02 cos(φ )
(1.67)
esto puede escribirse más oportunamente dando cuenta de que
I1 = E12 =
I 2 = E2 2 =
E012 2
E02 2 2
(1.68a)
(1.68b)
por lo que el término de interferencia queda
17
I12 = 2 I1 I 2 cos(φ )
(1.69)
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos(φ )
(1.70)
donde la irradiancia total es
En varios puntos del espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor o igual a I1 + I 2 dependiendo del valor de I12 , es decir, dependiendo de δ . El máximo de la irradiancia se obtiene cuando cos(φ ) = 1 de modo que
I max = I1 + I 2 + 2 I1 I 2
φ = 0,±2π ,±4π ,...
(1.71)
En este caso de interferencia constructiva total, el desfase entre las dos ondas es un múltiplo entero de 2π mientras que las perturbaciones están en fase. Cuando 0 < cos(φ ) < 1 las ondas están fuera de fase, I1 + I 2 < I < I max y el resultado se denomina interferencia constructiva. Con φ = π 2 , cos(φ ) = 0 , las perturbaciones ópticas están desfasadas 90 e I = I1 + I 2 . Para 0 > cos(φ ) > −1 disponemos de las condiciones de interferencia destructiva I1 + I 2 > I > I min . Una irradiancia mínima se produce al estar las ondas desfasadas 180 , los valles se superponen a las crestas, cos(φ ) = −1 y I min = I1 + I 2 − 2 I1 I 2
φ = ±π ,±3π ,±5π ,...
(1.72)
que es la interferencia destructiva total. Otro caso se da cuando las amplitudes de las dos ondas que llegan al punto P son iguales ( E 01 = E 02 ). Puesto que las contribuciones de la irradiancia de ambas fuentes son iguales, I1 + I 2 = I 0 . La ecuación (1.70) puede escribirse
I = 2 I 0 [1 + cos(φ )]
(1.73)
Usando la formula del ángulo medio
1 + cos( A) A cos = ± 2 2
(1.74)
se puede reescribir
18
φ I = 4 I 0 cos 2 2 (1.75) de la que se deduce que I min = 0 cuando φ = (2m + 1)π , e I max = 4 I 0 cuando φ = 2mπ con m = ±1, ±2, ±3,... .[2]
1.4
REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE UNA ONDA EN UNA INTERFAZ La teoría de onda y la ecuación de onda nos permiten tratar un problema importante,
que es la reflexión y transmisión de ondas en la interfaz entre dos diferentes medios. La luz se encuentra al ser parcialmente reflejada y parcialmente trasmitida en la frontera de dos medios caracterizados por diferentes índices de refracción. El tratamiento de este problema se realizó por primera vez en mecánica, sin embargo, mostró como la ciencia de la mecánica facilitó el camino para la introducción de la ecuación de onda en la óptica. Dos medios pueden ser caracterizados por su habilidad de soportar dos diferentes velocidades ν 1 y ν 2 . En la Figura 1.4 se muestra una onda incidente yendo de la izquierda a la derecha que es parcialmente transmitida y reflejada en la interfaz (en el límite). La solución de la ecuación de onda en forma compleja es u ( x) = Ae − ikx + Be + ikx
(1.76)
Donde k = ω ν . El factor de tiempo eiωt se ha suprimido. El término Ae −ikx describe la propagación a la derecha, y el término Be + ikx describe la propagación a la izquierda. El campo de la izquierda a la derecha en el límite puede ser descrito por una superposición de ondas propagándose hacia la derecha y la izquierda, esto es u1 ( x ) = Ae − ik1 x + Be + ik1 x
x0
(1.77b)
Donde k1 = ω ν 1 y k2 = ω ν 2
19
k1 v1
k2 v2 x
0 x0 x=0
Figura 1.4 Reflexión y transmisión de una onda en la interfaz de dos medios.
Ahora, evaluando A , B , C y D , se asume que en la interfaz en el campo es continuo, esto es u1 ( x) x =0 = u2 ( x) x =0
(1.78)
y las pendientes de u1 ( x) y u2 ( x) son continuas en la interfaz, es decir:
∂ ∂ u1 ( x) = u2 ( x) ∂x ∂x x =0 x =0
(1.79)
Se asume que no existe una fuente de ondas en el medio de la derecha, D = 0 . Esto significa que la onda con propagación de izquierda del lado izquierdo de la interfaz sólo se debe al reflejo de la onda incidente. Con D = 0 , y aplicando las condiciones de frontera en (1.78) y (1.79) a (1.77a) y (1.77b) se encuentra que A+ B = C
(1.80a)
k1 A − k1C = k 2C
(1.80b)
Resolviendo para B y C en términos de la amplitud de la onda incidente, A , se encuentra
k −k B = A 1 2 k1 + k 2 2k1 C = A k1 + k 2
(1.81a)
(1.81b)
20
El término B es asociado con la onda reflejada en (1.77a). Si k1 = k2 , los dos medios son los mismos, entonces (1.81a) y (1.81b) muestran que B = 0 y C = A , por lo que no hay onda reflejada, y se tiene una onda completamente transmitida como se esperaba. Se puede escribir (1.77a) como la suma de una onda incidente u1 ( x) y una onda reflejada u2 ( x) : u1 ( x) = ui ( x) + ur ( x)
(1.82a)
y se puede escribir (1.77b) como una onda trasmitida u 2 ( x ) = ut ( x )
(1.82b)
Las energías correspondientes a ui (x ) , ur ( x) y ut ( x) , son entonces los cuadrados de estas cantidades. Podemos usar cantidades complejas para evitar la formalidad del procedimiento del tiempo promedio y definir la energía de estas ondas
ε i = u i ( x )u i ( x )
(1.83a)
ε r = u r ( x)u r * ( x)
(1.83b)
ε t = u t ( x )u t ( x )
(1.83c)
*
*
El principio de conservación de energía requiere que
εi = εr + εt
(1.84)
Los campos ui (x) , ur (x) y ut (x) de (1.77a) y (1.77b) son u i ( x ) = Ae − ik1 x
(1.85a)
u r ( x) = Be + ik1x
(1.85b)
u t ( x ) = Ce − ik2 x
(1.85c)
Las energías correspondientes de las ecuaciones (1.85) son sustituidas en (1.84), encontrando A2 = B 2 + C 2 o
2
(1.86a)
2
B C + =1 A A
(1.86b)
21
Las cantidades
( B A)
2
y ( C A ) son los coeficientes de reflexión y transmisión 2
normalizados, que se escriben como R y T respectivamente. De (1.86b) se tiene
R +T =1
(1.87a)
donde
k −k R = 1 2 k1 + k 2 2k1 T = k1 + k2
2
(1.87b)
2
(1.87c)
de (1.81a) y (1.81b). La ecuación (1.87b) y (1.87c) pueden ser encontradas al satisfacer la condición de conservación (1.87a). Los coeficientes B y C un comportamiento interesante, de (1.81a) y (1.81b) se escriben 1 − k2 B k1 = k A 1+ 2 k1
C 2 = k A 1+ 2
k1
(1.88a)
(1.88b)
donde
ω
k2 v2 v1 = = k1 ω v2 v1
(1.88c)
Ahora, si v2 = 0 , esto es, que no hay propagación en el segundo medio, (1.88c) se convierte en k2 v1 = =∞ v2 → 0 k v2 1 lim
(1.89)
Con este límite evaluado, se ve que (1.88a) y (1.88b) es
22
B = −1 = eiπ A
(1.90a)
C =0 A
(1.90b)
La ecuación (1.90a) demuestra que es una inversión de fase de 180 ( π rad) de la reflexión total. Entonces, la onda reflejada está completamente fuera de fase con la onda incidente, y se tiene cancelación total. Este comportamiento es descrito por el término ondas estacionarias. Ahora derivamos la ecuación, la cual muestra que la onda resultante no se propaga. El campo de la izquierda de la interfaz es dado por (1.77a) y es u1 ( x, t ) = eiωt ( Ae − ik1 x + Beik1x )
x 0 , o por (2.39), 0 < χ ≤ π 4 . Para la polarización de la mano izquierda es el caso contrario, para un observador que mira en la dirección desde la cual se propaga la luz el vector eléctrico que parece describir la elipse es en sentido contrario, en este caso sin(δ ) < 0 , y entonces − π 4 ≤ χ < 0 .[1]
36
2.5
APLICACIONES DE POLARIZACIÓN La luz polarizada y sus aplicaciones aparecen en muchas ramas de la ciencia e
ingeniería. Estos incluyen astrofísica (radiación de sincrotrón, física solar, dispersión atmosférica), química (sacarimetría, actividad óptica, polarización de fluorescencia), microscopía (el microscopio de polarización), y por supuesto, óptica [polarización por reflexión de vidrios (dieléctricos) y metales, cristales líquidos, películas delgadas, electroóptica, etcétera] La polarización de la luz fue descubierta por primera vez por Erasmus Bartholinus (1625-1698) mientras investigaba la transmisión de la luz no polarizada a través de un cristal de espato de Islandia (calcita). Es un hecho notable que a pesar de toda la investigación sobre materiales en los últimos 300 años, de los materiales sintéticos o naturales, muy pocos se han encontrado que se pueden utilizar para crear y analizar luz polarizada. Los cristales tienen la más amplia aplicación en la región del visible del espectro electromagnético, como son la calcita, cuarzo, mica y el turmaline. La calcita y el cuarzo son cristales uniaxiales y relativamente fáciles de entender en términos de su comportamiento de polarización La polarización de la luz cambia cuando la luz es reflejada por un material dieléctrico, el cambio de polarización además ocurre cuando la luz es reflejada (transmitida) por metales y semiconductores. Por muchos años, un material sintético se buscó que pudiera crear luz polarizada, este fue finalmente realizado con la invención de Polaroid por Edwin Land. Polaroid es un polarizador dicroico que crea la luz polarizada por la absorción diferencial de un haz de luz incidente. Para muchas aplicaciones Polaroid es un sustituto útil para polarizadores de calcita, que son muy caros. El principio de funcionamiento de muchos moduladores espaciales de luz de cristal de estado sólido y líquido, se basa en la modulación de la polarización. La modulación se logra mediante la alteración del índice de refracción del material modulador, por lo general con un campo magnético o eléctrico. Los materiales cristalinos son una clase especialmente importante de modulador de materiales debido a su uso en electro-óptica, en sistemas robustos y también debido a la posibilidad de poner los sistemas ópticos en chips de circuito integrado.[3]
37
En seguida se describe de manera muy general el funcionamiento de un LCD.
2.6
PANTALLA DE CRISTAL LÍQUIDO Las Pantallas de Cristal Líquido (LCD del inglés, Liquid Crystal Display), están
altamente difundidas en la actualidad. Son muy útiles porque permiten mostrar información o datos de manera muy clara. La mayoría de los electrodomésticos y diversos equipos electrónicos traen uno o varios de ellos porque presentan la gran ventaja de bajo consumo de potencia. La importancia de los LCD se debe a los cristales líquidos. En sí, estas dos palabras suenan contradictorias, pero este material es la razón por la cual este dispositivo funciona. El cristal líquido fue descubierto por el botánico austriaco Fredreich Rheinizer en 1888. "Cristal líquido" no es ni sólido ni líquido (un ejemplo es el agua jabonosa). A mediados de 1960, los científicos demostraron que los cristales líquidos cuando son estimuladas por una carga eléctrica externa pueden cambiar las propiedades de la luz que pasa a través de los cristales. Los primeros prototipos (finales de 1960) eran demasiado inestables para la producción masiva. Pero todo eso cambió cuando un investigador británico propone un material estable, de cristal líquido (bifenilo). Los moduladores de luz son dispositivos que permiten variar, de manera controlada, la distribución espacial de fase y/o amplitud de un haz que ha sido reflejado o refractado por este dispositivo.[4][5] Existen diferentes tipos de cristales líquidos, que dependen del acomodo molecular a través de la misma estructura cristalina, estos son: smectic, ferroeléctrico, nemático y colestérico. El usado en este trabajo de tesis es del tipo nemático, sus moléculas tienen una orientación paralela en todo el volumen del cristal, a demás de tener su centro de gravedad localizado aleatoriamente, lo que le da estabilidad. Tanto la orientación de sus moléculas como sus propiedades ópticas pueden ser controladas por medio de un diferencial de potencial. El nombre nemático proviene de la palabra griega “hebra de hilo” ya que sus moléculas se asemejan a hebras apuntando a un sentido en común. El giro molecular es una propiedad de los LCDs nemáticos (Figura 2.4), que surge cuando se coloca el cristal en dos placas de vidrio con dos direcciones de pulido diferentes,
38
haciendo que la molécula gire en el traslado de un vidrio al otro. Por lo general, el LCD contiene dos polarizadores lineales colocados en sus dos caras y con sus ejes a cierto ángulo, dependiendo del giro molecular. Al aplicar un voltaje adecuado, las moléculas modifican su transmitancia debido a la alineación con la dirección del campo eléctrico aplicado.[3] La orientación de las moléculas de un cristal liquido esta determinada por la adaptación a las superficies. En un dispositivo Twsted Nematic TN, las direcciones de alineación de la superficie de los dos electrodos son perpendiculares entre sí, y así se organizan las moléculas en una estructura helicoidal. Cuando se aplica un voltaje a través de los electrodos, una fuerza de giro orienta las moléculas de cristal líquido paralelas al campo eléctrico, que distorsiona la estructura helicoidal, esto reduce la rotación de la polarización de la luz incidente, y el dispositivo aparece gris. Si la tensión aplicada es lo suficientemente grande, las moléculas de cristal líquido en el centro de la capa son casi completamente desenrolladas y la polarización de la luz incidente no es rotada ya que pasa a través de la capa de cristal líquido. Esta luz será principalmente polarizada perpendicular al segundo filtro, y por eso será bloqueada y el píxel aparecerá negro. Por el control de la tensión aplicada a través de la capa de cristal líquido en cada píxel, la luz se puede permitir pasar a través de distintas cantidades, constituyéndose los diferentes tonos de gris.
39
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
E
Figura 2.4 Esquema de las moléculas de la pantalla LCD. a) Haz de luz. b) Polarizador. c) Electrodo. d) Giro nemático. e) Electrodo. f) Analizador. g) Luz resultante. h) Suministro de corriente. Imagen superior, sin campo eléctrico. Imagen inferior, con campo eléctrico.
40
CAPÍTULO 3 EFECTO TALBOT
El efecto Talbot es un fenómeno de estructura fractal considerado como un ejemplo de la belleza de la física. Puede ser explicado a partir de relaciones trigonométricas y también algebraicamente con la ecuación de intensidad proveniente de la ecuación de onda. Este efecto se basa en la difracción. El efecto óptico de Talbot fue observado por primera vez en 1836 por Henry Fox Talbot que estudió el comportamiento de la luz en la región inmediatamente detrás de una rejilla justo después de que la luz ha sido difractada. El efecto Talbot se puede describir como la autoimagen de una rejilla de difracción, es decir, a distancias regulares de la rejilla, la luz difractada a través de ella forma una imagen perfecta de la rejilla (Figura 3.1). Subimágenes Talbot
Rejilla
Fase inversa de la imagen Talbot
Imagen Talbot
Fase inversa de la imagen Talbot
Imagen Talbot
zT Figura 3.1 Localización de los planos de la imagen Talbot después de la rejilla, para una longitud de onda de luz.
A distancias regulares zT , la luz que emana de la rejilla forma imágenes perfectas de la misma, que se refiere a las imágenes primarias Talbot (Figura 3.1). A mitad del camino entre estas imágenes, la luz forma otras auto-imágenes que están desplazadas por medio periodo de la rejilla original, que se conoce como imágenes secundarias Talbot. La distancia
41
de Talbot depende de la longitud de onda de la luz, lo que significa que las imágenes Talbot de diferentes colores (frecuencias) aparecen a diferentes distancias, lo que es el origen de las bandas de color observadas, de manera alternada, por Talbot. El primer cálculo de la distancia Talbot se llevó a cabo por Lord Rayleigh en un documento de 1881 titulado “On copying diffraction-gratings, and on some phenomena connected therewith”. Se da cuenta de haber redescubierto el trabajo olvidado de Talbot y señala que: “En el curso del verano pasado, sin embargo, encontré por casualidad que Fox Talbot había hecho, hace muchos años, algunas observaciones del mismo tipo; y la lectura de ellos me indujo a cambiar algo mi línea propuesta de ataque”. La “línea de ataque” de Rayleigh fue en el desarrollo de un método óptico para la creación de nuevas rejillas de difracción. Al colocar un material fotográfico en la posición de un plano de autoimagen Talbot, se pude grabar una imagen casi perfecta de la rejilla original, que a su vez puede ser utilizado como una rejilla nueva. Pasaron 80 años para completar la teoría del efecto Talbot por Cowley y Moodie en la década de 1950, y Winthrop y Worthington en la década de 1960. Ellos demostraron que hay una familia infinita de imágenes Talbot entre las imágenes primaria y secundaria, estas imágenes contraídas se mencionan como imágenes de Talbot fraccionadas. El efecto Talbot tiene una estructura auto-similar, en 1996, Berry y Klein demostraron que este efecto posee una estructura fractal. A continuación se describe este fenómeno de una manera cualitativa y luego teórica. Una red de difracción (Figura 3.2) es un dispositivo que utiliza las propiedades ondulatorias de la luz separando las diferentes longitudes de onda en diferentes direcciones
Rejilla
Rojo Verde
Luz blanca Verde Rojo Figura 3.2 Red de difracción.
42
La luz blanca se divide en sus colores constituyentes en la transmisión a través de la rejilla; estos colores primarios viajan en direcciones diferentes. Este fenómeno es muy útil en las aplicaciones de la óptica, y se puede utilizar para hacer un monocromador de luz o un espectrómetro de luz. Un monocromador se utiliza para seleccionar sólo un color de luz de un rayo de luz blanca, mientras que un espectrómetro se usa para medir por separado el brillo de los colores individuales de la luz. Una rejilla de difracción (Figura 3.3) es un material delgado y traslúcido grabado con un patrón periódico. La forma más sencilla de una red de difracción es una pantalla opaca que se ha cortado en franjas a intervalos regulares.
d Figura 3.3 Rejilla de periodo d.
La difracción en una rejilla se puede explicar al considerar sólo dos orificios colocados a una distancia d utilizando básicamente el mismo cálculo que se usa para explicar el experimento de la doble rendija de Young, luego este análisis se aplica para más cantidad de orificios. Supongamos que una sola frecuencia de onda ilumina un par de orificios separados por una distancia d (Figura 3.4).
Punto de observación d
Figura 3.4 Difracción con dos orificios.
43
Si d es muy grande, se puede considerar la siguiente Figura 3.5
θ
1
θ d
2
dsin(θ)
Figura 3.5 Análisis de ángulos en la difracción con dos orificios.
Usando trigonometría, se tiene que la luz del orificio 2 tiene que viajar una distancia d sin(θ ) más allá de la luz del agujero 1. Si esa distancia es igual a una longitud de onda de la luz, entonces la luz de los dos agujeros permanece en fase e interfiere de forma constructiva en el punto de observación (Figura 3.6)
d
λ Figura 3.6 Luz en fase.
Si se cumple esta condición en un par de agujeros, para todos lo demás pares se puede escribir la condición de interferencia constructiva de la luz procedente de la rejilla como:
d sin(θ ) = nλ
n = 1,2,3...
(3.1)
Donde λ es la longitud de onda de la luz. Si esta condición no se cumple, entonces la luz que emana de los agujeros estará cada vez más fuera de fase a mayor distancia y si hay
44
combinación de frecuencias como en la luz blanca, éstas se separarán, debido a que el ángulo depende de la longitud de onda, los colores diferentes (frecuencias diferentes) viajan en distintas direcciones produciendo el espectro de color que se observa por ejemplo en discos compactos. Los agujeros de una rejilla de difracción están separados por distancias comparables, pero en general más grandes que una longitud de onda Una onda plana monocromática es una onda de frecuencia única, cuyo frente de onda (superficie de fase constante) forma planos. El frente de onda de la luz vista en dos dimensiones, se puede esquematizar como en la Figura 3.7, donde la onda se propaga fuera del plano de la rejilla z = 0 , en ángulo θ y con una longitud de onda de λ . Si viajamos en dirección x o en dirección z , vemos que la onda plana se repite en distancias λx y λz respectivamente (nota: no confundir con componentes vectoriales). z
λ
θ
λz
x
λx
Figura 3.7 Luz monocromática vista de lado.
A partir de esta representación, se puede usar la relación del inverso del cuadrado de la altura, desde la hipotenusa de un triángulo, que es igual a la suma de los inversos cuadrados de los catetos
1
λ
2
=
1
λx
2
+
1
λz
2
(3.2)
Debido a que la rejilla tiene un periodo d en la dirección x , se deduce que la luz que emana de la reja también debe tener un periodo d en la dirección x . Esto significa que solo las ondas planas que emanan de la rejilla pueden satisfacer nλ x = d , donde n es un entero,
45
ilustrando esto se muestra en la siguiente Figura 3.8.
λx=d
2λx=d
Figura 3.8 Ondas planas a través de la rejilla con diferente inclinación.
Por regla general, d es bastante mayor que λ , lo que hace que los ángulos de las ondas planas sean muy pequeños.
d >> λ
(3.3)
En esencia, esta descripción es el concepto matemático conocido como series de Fourier, que establece que una señal periódica se puede describir en su totalidad en términos de funciones periódicas de cada vez menor longitud de onda que se repiten en la distancia d . Así que, las ondas planas que se propagan solo fuera de una rejilla de difracción, tiene longitudes de onda horizontal de
λx =
d n (3.4)
Entonces, sustituyendo en la ecuación (3.2)
λz =
λ nλ 1− d
2
(3.5) Debido a que la longitud de onda vertical solamente puede tomar valores especiales, se puede demostrar que hay distancias verticales en los que todas las ondas planas que regresan a su relación de la fase inicial. Para demostrarlo, sea la fase φ = k z z donde z es la distancia de propagación y el número de onda
46
kz =
2π
λz
(3.6)
Entonces cuando la fase de una onda plana es 2π , la distancia z = λ z , usando la ecuación (3.5) en (3.6)
kz z =
2πz
λ
nλ 1− d
2
(3.7)
Usando la expansión binomial:
x2 1− x ≈1− 2 2
(3.8)
se tiene que
2π 2πn 2 λ z k z z = − 2d 2 λ
(3.9)
para el caso
λ 2d 2
z =1
(3.10) se tiene que
kz z =
2π
λz
z − 2πn 2 (3.11)
El segundo término es múltiplo de 2π , entonces, cada onda desde la rejilla, tendrá la misma fase en la distancia z que satisface (3.10). Resolvemos para z en (3.10)
z=
2d 2
λ
(3.12)
Que es la primera distancia Talbot.[6][7]
47
48
CAPÍTULO 4 OBTENCIÓN DE LA FASE DE UN PATRÓN DE FRANJAS
4.1
INTRODUCCIÓN Medir, es una de las bases de la ciencia, es comparar con un patrón de referencia para
poder expresar una cantidad (mensurado) y sea comunicable esa información con alguien más. Se pueden hacer mediciones de distancias desde escalas menores a micrómetros, hasta kilómetros, estas mediciones se pueden hacer con diferentes métodos, desde comparar directamente con algún patrón (pie, regla, brazo) o deducir con cálculos a partir de datos de un arreglo experimental. Las mediciones más finas deben tener una planeación estructurada y deben hacerse lo más detallado posible, llegando a ser incluso arte. Una buena parte de las diferentes técnicas que conforman la Metrología Óptica proporcionan la información del mensurando a través de la fase óptica en forma de variaciones espaciales de la intensidad, los denominados patrones de franjas. El proceso de decodificación que proporciona la distribución espacial de la fase óptica (el mapa de fase) empleando uno o varios de estos patrones de franjas se denomina habitualmente Método de Evaluación de la Fase y constituye una importante herramienta mensural en tanto en cuanto suministra la información del mesurando, definida habitualmente en un espacio bi o tridimensional, en un formato bidimensional. Esto último ha contribuido al empleo de estos métodos, desde los albores de la Óptica, en la medida de diversas magnitudes físicas en múltiples campos de la ciencia y de la ingeniería. Sin embargo, su uso ha estado inhibido durante un largo periodo de tiempo por la necesidad de llevar a cabo el proceso de forma manual, en donde en un principio, la cuantificación de la fase se realizaba mediante la localización de los puntos extremos de los patrones de franjas observados directamente o previamente fotografiados. Estas medidas tediosas y rutinarias resultaban poco eficaces debido a la gran cantidad de medidas realizadas a mano y a la necesidad de distinguir por
49
parte del mensurador entre datos de franjas reales y ruido presente en el patrón. La posterior aparición en la década de los 60 de cámaras de televisión de estado sólido y computadoras permitió la adquisición y almacenamiento de los patrones de franjas en un formato adecuado para su posterior manipulación. Esto permitía, mediante programas de computadora específicamente desarrollados, la realización de medidas rápidas y promediadas, con el fin de aumentar el contraste, reducir el ruido y localizar más fácilmente los puntos extremos del patrón. Estas técnicas iniciales fueron rápidamente superadas por las nuevas técnicas de procesado de imagen a mediados de la misma década que proporcionaban el mapa de fase directamente. El desarrollo de computadoras en términos de velocidad y capacidad de almacenamiento, así como su abaratamiento, universalizó el uso de estas técnicas y propició su vertiginoso desarrollo, siendo actualmente una de las herramientas metrológicas más potentes y que presenta una mayor versatilidad respecto a sus campos de aplicación. Por todo ello, los métodos de evaluación de los patrones de franjas se han convertido en uno de los principales tópicos de investigación a nivel mundial en el campo de la Metrología Óptica, siendo muy numeroso el conjunto de los grupos de investigadores que dedican actualmente sus esfuerzos a diseñar nuevos métodos, mejorar los ya existentes o implantarlos en nuevas aplicaciones. Esto queda puesto de manifiesto analizando, desde finales del siglo pasado, el aumento del número de publicaciones referidas a los mismos, vertiginoso sobre todo a partir de la década de los 80, en comparación con otros tópicos en Metrología Óptica. Los métodos de evaluación pueden ser completamente clasificados en dos grandes grupos atendiendo a la necesidad de una portadora espacial como elemento básico del método (Tabla 4.1). De esta forma, podemos distinguir entre a) métodos con portadora espacial como el Método de Desplazamiento de Fase con Portadora Espacial (MDFPE), la Detección Síncrona Espacial (DSE), Método Moiré Lógico (MML), el Método Moiré Multiplicativo Analógico (MMMA), la evaluación por transformada de Fourier (ETF), el Método de Ajuste Sinusoidal (MAS) o el Método de los Sistemas Dependientes de los Datos (MSDD); y b) métodos sin portadora espacial como el Método Temporal de Desplazamiento de Fase (MTDF), el Método Espacial de Desplazamiento de Fase (MEDF), la Detección Síncrona (DS), el Método Heterodino (MH), la Interferometría con Realimentación de la Fase de Referencia (IRFR) o el Método de Modulación Sinusoidal de la Fase (MMSF). La mayor
50
parte de ellos asume una dependencia sinusoidal entre la intensidad y la fase, no existiendo un método que sea apropiado en todas las situaciones. Así mientras la mayoría de los métodos con portadora espacial hacen uso de un único patrón de franjas (excepto el MMMA), siendo por ello adecuados para la medida de la fase en situaciones de rápida variación del mensurando y/o ruido, los métodos sin portadora espacial presentan un mayor rango de medida. Por otra parte, una serie de estos métodos (MDFPE, DSE, MML, MMMA, MAS, MTDF, MEDF y DS) emplean los Algoritmos de Desplazamiento de Fase (ADF), con carácter general o para ciertos de éstos, como herramienta para obtener la fase óptica a través de una función trigonométrica inversa cuyo argumento es una combinación de valores de intensidad desplazados en fase, estos últimos obtenidos a partir de uno o varios patrones de franjas. Estos ADF, que datan al menos de 1966, permiten calcular la fase con su polaridad en un intervalo de tiempo relativamente corto, con una baja complejidad computacional (incluso en presencia de fronteras o discontinuidades) y sin necesidad de interacción por parte del mensurador una vez que los valores de intensidad han sido obtenidos. Estas razones justifican su uso en la mayoría de los actuales dispositivos ópticos de medidas comerciales.
Tabla 4.1 Clasificación de los Métodos de Evaluación. Se señalan aquellos que emplean ADF
Con portadora espacial
Sin portadora espacial
MDFPE
MTDF
DSE
MEDF
MML
DS
MMMA
MH
ETF
IRFR
MAS
MMSF
MSDD
51
Una forma óptica de medir distancias es mediante el análisis de patrones periódicos, los patrones más comunes son franjas pero también pueden ser cualquier otro patrón periódico, a los cuales se aplican corrimientos de fase controlados, a continuación se explica las bases teóricas de esto.
4.2
ALGORITMO DE FASE DE CUATRO PASOS El algoritmo de cuatro pasos requiere que cuatro interferogramas separados del objeto
de prueba sean grabados y digitalizados. Un cambio de fase óptico de 90 se introduce en el haz de referencia entre cada interferograma grabado secuencialmente. Entonces tomando la irradiancia total de la interferencia de dos ondas
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos(φ )
(4.1)
se le puede agregar una diferencia de fase dado por un ∆φn donde
∆φn =
π 2
( n − 1)
n = 1, 2,3, 4... (4.2)
Por lo tanto, resultan cuatro ecuaciones que describen los cuatro patrones de intensidad de los interferogramas medidos: π I n = I A + I B + 2 I A I B cos φ + ( n − 1) 2
(4.3)
Entonces, para el algoritmo de cuatro pasos se tiene: I1 = I A + I B + 2 I A I B cos (φ )
π I 2 = I A + I B + 2 I A I B cos φ + 2 I 3 = I A + I B + 2 I A I B cos (φ + π ) 3π I 4 = I A + I B + 2 I A I B cos φ + 2
(4.4)
En la Figura 4.1 se muestra patrones de franjas con un corrimiento de fase entre sí de
π 2. 52
a)
b)
c)
d)
Figura 4.1 Patrón de franjas con un corrimiento de fase de cuatro pasos: a) 0, b) π/2, c) π y d) 3π/2.
Estas cuatro ecuaciones con tres cantidades desconocidas ( I A , I B y φ ) pueden resolverse para encontrar el valor de φ en cada punto del interferograma. Despejando φ , como se muestra en el apéndice B se tiene que
tan(φ ) =
− (I 2 − I 4 ) ( I1 − I 3 )
(4.5)
Aplicando arctan a ambos lados de la ecuación[8]
− (I 2 − I 4 ) ( I1 − I 3 )
φ = arctan
4.3
(4.6)
ALGORITMOS DE RECONSTRUCCIÓN DE FASE Debido a la periodicidad de la función trigonométrica inversa empleada, los
algoritmos de desplazamiento de fase (ADF) proporcionan el valor de la fase en módulo π ;
53
no obstante, es posible identificar el cuadrante en el que se encuentra φ si se tienen en cuenta los signos del correspondiente argumento. Por ejemplo, cuando los algoritmos de desplazamiento de fase expresados por la ecuación (4.4) se programan utilizando los lenguaje Mathcad se suele emplear la función ATAN2(N,D) que realiza automáticamente la corrección de cuadrantes. Los ADF, por tanto, proporcionan valores de la fase φ en el rango [0, 2π ] rad , los denominados valores principales. De esta forma los resultados obtenidos presentan una discontinuidad cada vez que la fase aumenta o disminuye en 2π rad respecto a una cierta fase arbitraria (a la que usualmente durante el cálculo se le asigna el valor de cero). Como habitualmente se requiere obtener los valores continuos de la fase φ es necesario resolver estas discontinuidades. Este proceso se denomina reconstrucción de la fase (“phase unwrapping”) y se lleva a cabo sumando o restando valores 2π p rad (siendo p un número entero que se corresponde con el denominado orden de las franjas) cada vez que se detecta una discontinuidad en los valores principales de la fase φ , con objeto de obtener la fase reconstruida φ R (Figura 4.2) Se han diseñado distintos algoritmos de reconstrucción de la fase que llevan a cabo este proceso definiendo criterios para la identificación correcta de las discontinuidades en los correspondientes valores principales. Todos estos algoritmos exhiben un alto grado de complejidad en el procesamiento presentando como contrapartida un tratamiento bastante eficaz de los puntos problemáticos en el proceso de reconstrucción, es decir, los valores de intensidad que: a) presentan un ruido comparable a la amplitud de las franjas; b) contienen puntos con baja modulación; c) muestran cambios abruptos de fase debidos a discontinuidades; o d) presentan una densidad de muestreo demasiado baja. Sin embargo, ninguno de ellos puede dar cuenta de todos los posibles efectos que pueden aparecer, estando cada uno de ellos dedicado a resolver parcialmente el problema y necesitándose en muchos casos información adicional. Es por ello que actualmente no existe ningún proceso de reconstrucción de fase que se encuentre totalmente automatizado, siendo éste uno de los campos de investigación al cual se está dedicando más esfuerzo dentro del ámbito de la evaluación de la fase óptica.
54
a)
b) Figura 4.2 a) Fase envuelta, b) Reconstrucción de fase (fase desenvuelta); ambas en unidades de radianes.
4.4
RESUMEN DE LAS TÉCNICAS DE MODULACIÓN Podemos clasificarlas diferentes técnicas de modulación de fase de los valores de
intensidad I atendiendo a su origen en dos grandes grupos (Tabla 4.2): analógicas (temporal o espacial; continua o discreta) y digitales. A continuación presentaremos una descripción de las mismas, mencionando las principales estrategias que se utilizan en cada caso para llevar a cabo su implementación concreta.
Tabla 4.2 Las técnicas de modulación y su relación con los diferentes Métodos de Evaluación de Fase (MTDF: Método Temporal de Desplazamiento de Fase; DS: Detección Síncrona; MMMA: Método Moiré Multiplicativo Analógico; MDFPE: Método de Desplazamiento de Fase con Portadora Espacial; MAS: Método de Ajuste Senoidal; MEDF: Método Espacial de Desplazamiento de Fase; MML: Método Moiré Lógico; DSE: Detección Síncrona Espacial).
Analógica Temporal Continua
Discreta
MTDF
Digital Espacial
Continua
Discreta
MML DSE
MDFPE MAS MMMA
MEDF
MMMA
55
a)
Modulación analógica temporal
La modulación analógica temporal (empleada en los MTDF, DS y MMMA) puede llevarse a cabo de forma continua o discreta, siendo la diferencia entre ambas una variación no significativa, respecto a los algoritmos de desplazamiento de fase (ADF), en la modulación. En este caso el dispositivo analógico que lleva a cabo el proceso de introducir deliberadamente una fase adicional variable en los valores de intensidad (es decir, de modular la fase) se denomina modulador de fase, aunque este proceso puede ser el inducido por los cambios lentos y la inestabilidad del propio mensurando. Existen distintas técnicas para realizar este proceso, pudiéndose distinguir primariamente entre moduladores mecánicos y no mecánicos, según sea necesario o no el desplazamiento, lineal o angular, de algún componente del modulador para su operación. Durante este proceso, o bien uno (o varios) de los frentes de onda que proporcionan el patrón de franjas sufren un desfase que se refleja en este último, o bien se modula directamente el patrón de franjas. Los principales moduladores de fase se han representado en Figura 4.3 y son explicados en detalle a continuación. Dentro de los moduladores mecánicos empleados están: i)
El modulador formado por un conjunto de transductores piezoeléctricos (PZT)
que definen la posición de una superficie del sistema óptico. La aplicación de un voltaje eléctrico al mismo provoca su contracción o expansión, que se traduce en un movimiento de la superficie óptica y, por tanto, en una separación relativa entre los frentes de onda que da lugar al consiguiente desplazamiento de fase en el patrón de franjas. Este sencillo modulador presenta una serie de limitaciones debido a su histéresis y no linealidad, siendo además difícil de emplear para posicionar elementos ópticos grandes y pesados. ii)
El modulador formado por una fibra óptica por la que viaja uno de los frentes
de onda y un cilindro PZT, donde, en su configuración más típica, la primera se enrolla en el exterior del segundo. Al igual que en el caso anterior, la aplicación de un voltaje eléctrico provoca una expansión radial del cilindro, que da lugar a una variación de las dimensiones de la fibra y de su índice de refracción, induciendo un desplazamiento de fase. De hecho, en general puede emplearse cualquier fenómeno físico que cause una modificación en el camino óptico correspondiente a las fibras, como por ejemplo una variación de temperatura. Los principales inconvenientes de este modulador mecánico radican en la aparición de una cierta
56
variación en la polarización, junto con la presencia de no linealidades entre el voltaje eléctrico aplicado y la profundidad de modulación. iii)
Una lámina plano-paralela introducida en el camino de uno de los frentes de
onda presentando una cierta inclinación con respecto a la dirección de propagación del mismo. Variando el ángulo respecto a la incidencia normal del haz se pueden obtener una serie de desplazamientos de fase en el mismo, siempre y cuando la lámina sea de alta calidad a fin de obtener un valor uniforme para la fase adicional. iv)
Un compensador de cuña situado en una configuración similar a la de la
lámina plano-paralela, donde en este caso la fase adicional se introduce en uno de los frentes de onda mediante una traslación de una de las partes del compensador perpendicularmente a la dirección de incidencia. Al igual que ocurre con la lámina plano-paralela, el compensador debe ser de alta calidad con objeto de tener un valor uniforme de la fase adicional. v)
Red de difracción (lineal o radial; de reflexión o de transmisión) situada
perpendicularmente a la dirección de uno o varios frentes de onda, que resultan difractados por la misma, o el patrón de franjas directamente. En este caso la traslación de la red en su propio plano proporciona un desplazamiento de fase independiente de la longitud de onda de la fuente de iluminación y proporcional al orden de difracción y/o a la frecuencia de la red. A fin de no modificar significativamente al mensurando se requiere una red de calidad que presente variaciones espaciales de menor magnitud que su periodo. Si los efectos difractivos son relevantes se hace necesario evitar el empalme de los distintos haces difractados, así como el disponer de una misma eficiencia para todos los órdenes. vi)
Componentes polarizadores situados perpendicularmente a la dirección de
propagación de los haces. Aparte de los desplazamientos lineales anteriormente descritos, se pueden utilizar movimientos de rotación aplicados a dispositivos ópticos de cambio de polarización (como láminas de λ 2 ó λ 4 y polarizadores) cuando los haces presentan una polarización mutuamente perpendicular, con el fin de producir un desfase relativo entre ambos múltiplo de π rad para una rotación completa de los mismos. En este caso los distintos valores de la fase adicional se obtienen variando el ángulo de azimut de ciertos componentes, que puede ser determinado de una manera muy precisa. Como alternativa a los moduladores mecánicos (que presentan un ancho de banda
57
típicamente en el rango de los kHz, o a lo sumo decenas de kHz), se han diseñado otros moduladores que prescinden del movimiento mecánico de distintos componentes para obtener la fase adicional, los denominados moduladores no mecánicos (con un ancho de banda del orden de los MHz, e incluso GHz). Entre estos últimos podemos destacar: vii)
La modulación directa de un láser diodo, cuando éste se emplea como fuente
de iluminación. Esto se consigue variando la corriente o la temperatura de la región activa del láser diodo que provoca una variación de la longitud de onda, obteniéndose una fase adicional α que es proporcional a dicha variación de la longitud de onda y a la diferencia de camino óptico entre haces. El hecho de que la fase de referencia dependa en este caso de la diferencia de camino óptico implica que ésta debe ser controlada cuidadosamente y que esta técnica sólo puede ser aplicada en aquellas disposiciones en las cuales ésta no tenga un valor nulo. viii)
Las pantallas de cristal líquido, que presentan una birrefringencia inducida
controlada con un bajo voltaje eléctrico sin sufrir fenómenos de histéresis como los sistemas PZT, presentando una alta flexibilidad de diseño. Su principal limitación es el bajo rango de modulación en la fase obtenido junto con la aparición no deseada de una posible modulación en intensidad y una no uniformidad espacial en el desplazamiento de fase relativo. Por último, otros moduladores no mecánicos que pueden ser utilizados para producir el desplazamiento de fase son cámaras de presión, moduladores electro-ópticos, o moduladores acusto-ópticos.
58
Mecánicos Superficie de referencia Espejo
PZT
Fibra óptica
PZT
PZT
i)
ii)
Compensador de cuña
Lámina planoparalela
Rejilla de difracción
iii)
iv)
λ/4
λ/4 λ/2
v)
λ/2 λ/4
Polarizador
Polarizador
Polarizador
vi)
Figura 4.3 Principales moduladores analógicos temporales.
59
No Mecánicos Pantalla de cristal líquido
Láser diodo
vii)
viii)
Figura 4.3 Continuación.
b)
Modulación analógica espacial
Estas técnicas pueden a su vez ser divididas en: a) continuas, en donde el desplazamiento de fase entre valores de intensidad se obtiene introduciendo una portadora espacial en un único patrón de franjas (empleadas habitualmente en los MDFPE y MAS); y b) discretas (que se utilizan en el MEDF), en donde se producen simultáneamente n patrones de intensidad desplazados en fase y separados en el espacio empleando redes de difracción o componentes polarizadores. c)
Modulación digital
En este caso los valores de intensidad que se emplean en los ADF procedentes de un único patrón (utilizados en los MML y DSE), se obtienen realizando el proceso de modulación electrónicamente o por computadora.
4.5
ERRORES ASOCIADOS A LOS ADF Existen numerosas fuentes de error que afectan a las medidas realizadas con los
métodos de evaluación que hacen uso de los ADF, unos de carácter general debidos a la
60
propia formulación de estos algoritmos y comunes, por tanto, a todos los métodos de evaluación en los que son empleados, y otros de índole específica cuyo origen se encuentra en la manera en que son implantados los ADF en los distintos métodos de evaluación. Estas fuentes de error modifican la exactitud y repetibilidad de las medidas obtenidas y es, por ello que, para minimizar su efecto en la fase φ resulta importante el identificar y cuantificar la influencia en los resultados de cada una de ellas. En la literatura científica se han publicado distintos estudios sobre los errores asociados a los ADF llevados a cabo empleando diversas estrategias. Una primera aproximación al estudio de la influencia de estos errores consiste en la simulación por computadora de los distintos tipos de error para los ADF más comunes. Estos cálculos numéricos se llevan a cabo introduciendo artificialmente en los datos de entrada el error considerado, calculando la fase φ con los mismos y obteniendo el error en la fase ∆φ por diferencia con el valor de la fase exacto (calculado mediante el mismo ADF a partir de los datos sin error). Este sencillo método de análisis proporciona una información numérica del efecto que provoca una determinada fuente de error en un cierto ADF, permitiendo incluso la elección del algoritmo más adecuado dentro del conjunto analizado. La Tabla 4.3 muestra los principales tipos de error que pueden afectar a los ADF.
Tabla 4.3 Errores asociados a los ADF
Aleatorios
Sistemáticos
Turbulencias y corrientes laminares de aire
Aberraciones del sistema óptico
Derivas térmicas y relajación mecánica
Franjas parásitas
Vibraciones
Calibración
Ruido óptico
No sinusoidalidad
Ruido electrónico
Detección Cuantización
61
Aunque la naturaleza de los errores es compartida, en mayor o menor medida, por todos los métodos de evaluación que emplean los ADF, su efecto sobre la fase φ puede diferir en uno u otro caso. No existe, en nuestro conocimiento, ningún algoritmo inmune a todos los tipos de error, siendo habitual que la reducción o cancelación de un cierto error por parte de uno de éstos, conlleve un aumento de la sensibilidad a otros tipos de error. Asimismo se observa que algunos ADF son más sensibles que otros a ciertos errores, mientras que determinados errores afectan por igual a todos ellos. De esta forma, el ADF más apropiado en cada caso depende de las peculiaridades de la aplicación concreta.
4.5.1
ERRORES ALEATORIOS Este tipo de errores, también denominados errores ambientales o estocásticos, son
comunes a prácticamente todos los métodos de evaluación causando una degradación tanto de la exactitud como de la repetibilidad de las medidas y sus efectos pueden ser reducidos diseñando estrategias específicas en cada caso. Entre las diversas fuentes de errores aleatorios podemos destacar: a)
Turbulencias y corrientes laminares de aire. Los efectos de las primeras
pueden ser reducidos protegiendo los caminos ópticos, mientras que los debidos a los segundas se limitan si se emplea una configuración óptica perpendicular al flujo. b)
Derivas térmicas y relajación mecánica. Para que su efecto sobre la medida no
sea relevante se debe proveer aislamiento térmico y un tiempo de espera suficientemente largo para que el sistema alcance la estabilidad. Esto último se ve favorecido empleando materiales con bajo coeficiente de expansión y alta conductividad calorífica, con lo que se alcanza el equilibrio rápidamente. c)
Vibraciones. Si las vibraciones son de alta frecuencia en comparación con la
frecuencia temporal a la que se adquieren los patrones (que es típicamente de la decena de Hz), se produce una reducción de la modulación. Si las vibraciones son sinusoidales y la frecuencia de vibración es baja respecto a la adquisición, el empleo de ciertos ADF puede colaborar a reducir su efecto. En este último caso, aparece un error en la fase de ∆φ que presenta una dependencia en la fase φ con una frecuencia espacial doble de la
62
correspondiente a las franjas. Los procedimientos más usuales para mitigar su efecto consisten en el empleo de: i) componentes rígidos, con elevado amortiguamiento interno y aislados de las perturbaciones exteriores mediante suspensiones pasivas o incluso activas; ii) técnicas ópticas con configuraciones de camino óptico común; iii) ADF con un elevado número de valores de intensidad, y iv) ADF de 2(+1) patrones. d)
Ruido electrónico. Tiene su origen en el propio proceso de fotodetección y en
la amplificación de la señal detectada y es debido, entre otras causas, a la agitación térmica de los portadores de carga y a la naturaleza discreta de la energía luminosa. e)
Ruido óptico (“Speckle”). Ruido de alta frecuencia cuyo efecto puede ser
eliminado mediante diversos métodos: el filtrado espacial digital de los patrones reemplazando el valor de la intensidad en cada punto por el promedio, el promedio ponderado o la mediana de las intensidades medidas en ese punto o sus vecinos; el filtrado coherente de los valores de intensidad; el empleo de un difusor rotatorio que produce un ruido óptico variable con el tiempo que resulta promediado durante el periodo de integración del sistema de adquisición; el empleo de ADF específicos; etc.
4.5.2
ERRORES SISTEMÁTICOS Los errores sistemáticos, también denominados deterministas, han sido estudiados
ampliamente ya que su influencia sobre la exactitud de la medida es apreciable. Los efectos de prácticamente todos ellos pueden ser convenientemente reducidos e incluso cancelados mediante la elección adecuada del correspondiente ADF. Estos errores son:
a)
Aberraciones del sistema óptico que da lugar al patrón de franjas o del
modulador de fase empleado. Su efecto sobre la fase φ puede ser cancelado mediante un adecuado proceso de calibración. b)
Franjas parásitas. Cuando se utilizan fuentes de iluminación de alta coherencia
temporal se pueden producir franjas parásitas producidas por la interferencia de haces adicionales. En ciertos casos, el error que aparece presenta una dependencia con la fase de igual frecuencia que la del patrón si la fase del haz adicional es constante sobre la imagen y
63
su efecto puede ser minimizado mediante un ADF genérico que combinan los usuales patrones desplazados con otros adicionales en los cuales se ha introducido un desfase de
p rad uno de los haces o se ha bloqueado éste. c)
Errores de calibración en la fase adicional ∆φn . Posiblemente sean éstos los
errores más problemáticos que puedan sufrir los ADF, no en vano están íntimamente relacionados con la propia naturaleza de los mismos. Es por ello que su estudio se ha convertido en uno de los principales tópicos en el ámbito de la evaluación mediante los mismos, estando su efecto sobre la fase φ ampliamente estudiado y analizado. Este error aparece cuando existe una discrepancia entre el valor real y el valor nominal de la fase adicional ∆φn . Estas inexactitudes en ∆φn , de carácter lineal o de orden superior con ∆φn , provocan en la mayoría de los casos un error en la fase φ de doble frecuencia que la de los valores de intensidad. En principio, el efecto del error lineal ∆φn puede ser cancelado a la vez que se reduce el efecto de no linealidades de orden superior, empleando algoritmos que calculen la diferencia de fase relativa ∆φn analíticamente en cada punto por separado a partir de los propios patrones como, por ejemplo, el algoritmo de Carré[9]. La mencionada dependencia del error con la fase φ , por otra parte, nos indica una manera simple de compensarlo mediante la media aritmética de conjuntos de patrones desplazados globalmente π 2 . Esto se debe a que el error presenta en ambos casos un mismo periodo pero con un desfase de π rad , con lo que al promediar éste se reduce. Así, por ejemplo, se obtiene la fase φ con un cierto grado de insensibilidad a errores lineales en la fase adicional ∆φn mediante un sencillo ADF. Asociados con los anteriores errores de calibración espacialmente uniformes, se encuentran los correspondientes a la variación espacial no uniforme de la fase adicional (como los debidos a grandes aperturas numéricas en los casos que emplean un sistema PZT, uno de los más utilizados en los sistemas metrológicos comerciales, o al empleo de celdas de cristal líquido como modulador). Esta variación efectiva en ∆φn puede llegar a ser alta, produciendo un error que presenta una dependencia complicada con la fase. Este error puede ser cancelado utilizando ADF con desplazamiento relativo de fase compensado. Al igual que
64
ocurre con la mayoría de los errores sistemáticos, también en este caso puede ser minimizado, incluso para grandes aberturas numéricas, con el empleo de algoritmos con un mayor número de patrones. d)
Perfil no sinusoidal de las franjas. Como ya hemos indicado, la mayoría de los
ADF asumen que los valores de intensidad tienen un perfil cosenoidal, ecuación (4.4). Cuando estos algoritmos se usan directamente para analizar patrones que no tienen este perfil, aparece un error con una dependencia en la fase φ complicada que depende del ADF empleado y de la amplitud de las distintas componentesarmónicas de orden superior y cuyo efecto puede ser minimizado empleando ADF genéricos con un mayor número de patrones. e)
Errores en la detección. Por una parte, los ADF asumen que el proceso de
fotodetección se produce linealmente, es decir, que existe una relación lineal entre la intensidad de incidencia de cada elemento del detector y su señal de salida. El efecto que produce este tipo de error sobre la fase medida resulta ser análogo al producido por el perfil no sinusoidal de las franjas, en tanto en cuanto la no linealidad del proceso de fotodetección da lugar a la aparición de términos de intensidad con dependencias armónicas en la fase típicamente de segundo y tercer orden, pudiendo por ello considerarse como un caso particular del anterior. f)
Error de cuantización. El error de cuantización está inducido por la
discretización de los valores de intensidad previa a un tratamiento informático. Este último proceso usualmente se realiza mediante un convertidor analógico-digital (A/D), en el cual una señal continua se transforma en una señal digital de valores discretos de intensidad. Los convertidores usuales utilizan 8 bits, lo que significa que existen 28=256 niveles discretos de cuantización. En la práctica suele suceder que, en zonas de baja visibilidad, el número efectivo de niveles de cuantización (es decir, los niveles presentes entre el máximo y el mínimo de intensidad alcanzables al variar la fase a lo largo de un ciclo en cada punto del detector) disminuye y el error ∆φn aumenta. La manera más eficaz de reducir este error es acondicionar la salida de la cámara de TV al convertidor A/D, de modo que se aproveche todo el rango dinámico de éste. Sin embargo también se puede reducir utilizando ADF con un mayor número de patrones. Así, por ejemplo, si la diferencia de fase ∆φn es constante entre los n patrones de franjas entonces el error en la fase ∆φ debido al empleo de Q niveles de
65
cuantización, expresado en forma de la desviación estándar en la fase φ , es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de patrones. Un tratamiento más general indica que, empleando 8 o más bits, el error en la fase φ es despreciable si los valores de intensidad cubren todo el rango de cuantización, dependiendo primordialmente su valor de la presencia de ruido en los mismos.
4.6
PRINCIPALES VENTAJAS Los ADF presentan, en general, como principales ventajas las siguientes: a)
Baja sensibilidad al ruido estacionario, a la intensidad promedio local, a la
visibilidad y a las variaciones locales de ganancia del detector que adquiere los valores de intensidad. b)
Se pueden emplear con patrones que presente un bajo contraste.
c)
La exactitud de los resultados está en último término limitada por la relación
señal-ruido de los patrones de franjas que proporcionan los valores de intensidad (errores de cuantización, etc.). El efecto de los errores sistemáticos puede ser reducido a un nivel en el cual sólo el ruido aleatorio limita la exactitud de la medida. d)
Pueden hacerse totalmente automáticos.
e)
El signo de la fase φ se determina unívocamente en cada punto.
f)
La resolución espacial es alta ya que el número de puntos de medida coincide
con el número de elementos detectores empleados para adquirir los valores de intensidad (típicamente 512x512 puntos). g)
Al calcular la fase φ sobre una red fija de puntos (la matriz de elementos
detectores del sistema digitalizador de imagen), se asegura una fidelidad geométrica alta y un muestreo uniforme incluso en los bordes o presencia de discontinuidades. En este caso, las aberraciones del sistema formador de imagen producen una distorsión que tiene un valor típico menor del 5%. h)
La potencia de cálculo actualmente disponible, incluso en computadoras
66
personales, permite realizar las operaciones que proporcionan la fase φ en tiempo cuasi-real. Asimismo estos algoritmos presentan como principal limitación el hecho de que la máxima variación de la fase φ entre puntos sucesivos está limitada a un valor de ±π rad debido a los requisitos impuestos por el sistema de adquisición. Con respecto a los errores asociados a los ADF, no existe en la actualidad un ADF que sea insensible a todas las posibles fuentes de error sistemático, siendo habitual que la reducción de una de ellas al emplear un ADF determinado conlleve la del aumento de sensibilidad a otra u otras fuentes de error. Los ADF que mejor comportamiento presentan frente al conjunto de errores sistemáticos son aquellos que emplean un número elevado de valores de intensidad, pero éstos requieren en ciertos casos un exhaustivo control de las condiciones estocásticas para evitar una excesiva influencia del conjunto de los errores aleatorios, Por lo tanto, se hace necesaria una solución de compromiso a la hora de elegir el ADF a emplear, ya que el empleo de un número pequeño de valores de intensidad reduce la influencia de los errores aleatorios así como el espacio de almacenamiento y tiempo de procesado, mientras que un elevado número de ellos reduce el de los errores sistemáticos[10].
67
68
CAPÍTULO 5 PARTE EXPERIMENTAL
5.1
CARACTERIZACIÓN DE UN LCD La utilización de LCDs comerciales como moduladores espaciales de luz plantea
varios problemas de índole práctico. En primer lugar, el usuario carece de información precisa acerca de los parámetros físicos que caracterizan la estructura helicoidal de las celdas, como son el giro molecular, la birrefringencia del material en ausencia de campo eléctrico o la orientación de las moléculas en la cara de entrada del dispositivo. Estos parámetros determinan el comportamiento modulador del LCD, por lo que se hace necesario un estudio previo de “ingeniería inversa” que permita hallar el valor de estas magnitudes físicas que se desconocen a priori. Para ello, se puede aplicar alguna de las técnicas que habitualmente se emplean en el control de calidad del procedimiento de fabricación de las celdas de cristal líquido, y que permiten verificar si los parámetros de éstas se hallan dentro de las tolerancias deseadas. Un método monocromático muy simple consiste en el ajuste numérico de las curvas de irradiancia obtenidas al situar el LCD (desconectado) entre dos polarizadores lineales. Su principal inconveniente es que los valores que se obtienen de los parámetros desconocidos están sujetos a ambigüedades, por lo que se hace necesaria la utilización de técnicas adicionales que las eliminen[11]. El dispositivo de cristal líquido nemático de giro helicoidal empleado es una pantalla HOLOEYE, modelo LC 2002. El tamaño del área activa es de 26.6mm×20.0mm y está constituida por 832×624 píxeles, siendo la distancia de centro a centro de los píxeles de 32µm tanto en la dirección horizontal como en la vertical. El LCD fue colocado entre dos polarizadores. Éstos se montaron en soportes giratorios no comerciales que poseen una precisión máxima de un grado. Para realizar el experimento se montó en el laboratorio el sistema óptico que se muestra en la Figura 5.1. Como fuente de iluminación se usó un láser diodo, que emite a 532nm y que genera un haz polarizado. Para medir la intensidad usamos un fotómetro comercial. Los datos experimentales se tomaron variando el ángulo del
69
analizador ( θ 2 ) entre 0º y 90º en intervalos de 5º. Para θ 2 usamos el convenio de signos habitual, según el cual un ángulo es positivo cuando, mirando a la fuente, gira en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Y
a)
θ1 X
ξ
b)
Y
c)
θ2 X
d) e) f)
g)
Figura 5.1 Montaje experimental para la medida del ángulo de giro de la celda de cristal líquido. a) Láser. b) Filtro espacial. c) Lente colimadora. d) Polarizador. e) LCD. f) Analizador. g) Fotodetector. θ1 ángulo del polarizador, θ2 ángulo del analizador, ξ ángulo de giro (nemático).
El polarizador es colocado de tal manera que su eje coincida con el eje de polarización de la luz que proviene del láser. En este caso θ1 = 0º . El eje de polarización del analizador es colocado también a un ángulo de θ 2 = 0º . Sin la presencia del LCD, la intensidad medida por el fotodetector es la intensidad máxima transmitida a través de los dos polarizadores, midiendo esta intensidad se obtuvo un valor de 0.287mW. Al colocar ahora el LCD apagado entre los polarizadores se detectó un valor de intensidad de 0.009mW lo cual significa que el LCD ha cambiado la polarización de la luz de entrada. Para encontrar el ángulo ξ que correspondería al ángulo de giro del LCD, se gira el analizador en el sentido de las manecillas del reloj a diferentes valores de θ 2 . Cuando el eje del analizador coincide con el eje de polarización de la luz de salida, se obtiene una intensidad máxima, lo cual correspondería al ángulo de giro ξ . La Figura 5.2 muestra que el ángulo de giro está entre 00 y 900. Para obtener una mayor resolución, se gira el analizador en el intervalo de 600 y 900 ahora cada 5º, (Figura 5.3).[12]
70
Figura 5.2 Intensidad de luz trasmitida vs ángulo.
Figura 5.3 Intensidad vs ángulo en un rango de 60º a 90º.
Este ángulo máximo es aproximadamente 80º, que es interpretado como el ángulo de giro de las moléculas del LCD. Posteriormente se tomaron datos experimentales variando θ 2 entre 00 y 3600 en intervalos de 100, esto con la finalidad de apreciar que la variación de intensidad es cíclica al cambiar el ángulo (Figura 5.4).
71
Figura 5.4 Intensidad vs ángulo (0º≤θ2≤360º).
Durante el análisis del LCD se observó la variación de la intensidad que se transmite cuando se tiene el LCD activado y se envía, mediante la computadora, una imagen de escala de nivel de grises fija en 0 (Figura 5.5), al cambiar el ángulo del analizador comenzando en
0° hasta llegar a 180°, se mide la variación de la intensidad (Figura 5.6)[11].
a)
b)
Figura 5.5 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen negra. b) Proyección de la imagen en un plano de observación.
72
Figura 5.6 Intensidad con una imagen negra en el LCD vs ángulo θ2.
Cuando el LCD transmite una imagen de escala de nivel de grises fija en 255 (Figura 5.7) y se varió el ángulo del analizador comenzando en 0° hasta llegar a 180°, (Figura 5.8).
a)
b)
Figura 5.7 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen blanca. b) Proyección de la imagen en un plano de observación.
73
Figura 5.8 Intensidad con una imagen blanca en el LCD vs ángulo θ2.
Se hace notar que al ángulo de 0° la imagen negra (0) permite la mayor transmisión de intensidad de luz y la imagen blanca (255) deja pasar un mínimo de luz, al cambiar el ángulo del analizador a 90° los contrastes proyectados son correspondientes a la señal mandan al LCD, es decir, la imagen negra deja pasar el mínimo y la imagen blanca permite pasar el máximo de luz. Por lo que la polarización de la luz también se ve influenciada por la señal que puede transmitir LCD proveniente de la computadora. Por lo que se hace un análisis del cambio de intensidades transmitidas del láser con respecto a la señal que se le proyecta en el LCD. Ahora se mantiene el analizador en un ángulo fijo y se varía la imagen del LCD de 0 a 255 en escala de grises (Figura 5.9), a continuación se mide la intensidad del haz del láser.[13]
74
Figura 5.9 Variación de intensidad con respecto al cambio de nivel de gris.
La gráfica muestra que tienen puntos de inflexión para cada ángulo del analizador, asimismo, se observa que de 0 a 100 de gris la intensidad de la luz no varía, también tiende a mantenerse constante de 225 a 255, por lo que el rango en que la intensidad varia significativamente es de 100 a 225, significando que para alguna imagen transmitida en el LCD que abarque una gran cantidad de tonalidades no todas serán notables, por lo que es recomendable (si no afecta alguna medición) que la imagen sea reescalada para estar en el rango en que la variación es casi lineal. También se aprecia que no hay una transmisión de luz completa debido a la absorción de los materiales y tampoco hay una atenuación total. El ángulo del analizador ayuda a seleccionar el contraste deseado de la imagen indicada por la computadora que se proyectará en la pantalla, por lo que en las siguientes observaciones se usa un analizador puesto a 80º que es el ángulo que, en forma normal, permite un mayor paso de luz y la variación entre 100 y 225 de gris es casi lineal.
5.1.1 OBSERVACIÓN DE PIXELES Tanto el LCD como un CCD son aparatos que contiene un arreglo en forma matricial donde se colocan segmentos o píxeles de materiales especializados para su aplicación conectados por una red conductora que se conecta al circuito que controla la salida o entrada de una señal dada. En el caso del LCD, los píxeles de cristal líquido están conectados a través
75
de transistores de película fina (Thin-Film Transistor TFT) a través de los cuales llega la cantidad de voltaje que es controlado por un circuito de interfase entre la señal emitida por la computadora y el cristal líquido, para formar una imagen requerida y vista en la pantalla de la computadora. El manual de operación del LCD muestra que la pantalla es de 832x624 píxeles de
64 µm cada uno, pero no muestra a qué resolución debe estar la señal de la computadora que le transfiere la información de la imagen que se muestra en el LCD en escala de grises; el equipo que se usó muestra las opciones de 1024x768 y 800x600 píxeles, por lo que probando con ambas resoluciones a simple vista, muestra imágenes que coinciden con lo visto en la computadora, pero haciendo una observación a través de un objetivo de microscopio se aprecia que hay una variación de la imagen. Haciendo una imagen de líneas horizontales y verticales que forman patrones de frecuencia conocida (Figura 5.10) se colocan en la pantalla de la computadora haciendo que a la vez se aprecie en el LCD, junto a este se coloca un objetivo de microscopio DIN40 y se hace incidir un haz colimado, por lo que se puede formar una imagen amplificada en una pantalla blanca.
Figura 5.10 Imagen de prueba para ver píxeles.
76
a)
b) c) d)
e) f) g)
h)
i)
Figura 5.11 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. Esquema del arreglo de observación de imagen en píxeles. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.
Observando para una resolución de la computadora de 1024x768 píxeles la imagen es borrosa (Figura 5.12); si hay desplazamiento de la posición de la imagen en la computadora, la imagen en el LCD se hace aun más borrosa (Figura 5.13).
Figura 5.12 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles.
Figura 5.13 Desplazamiento lateral de la imagen, se deja de ver la línea vertical del centro.
77
Cuando la resolución de la pantalla de la computadora es de 800x600 píxeles se puede contar el mismo número de píxeles en la imagen del LCD (Figura 5.14); cuando hay un desplazamiento en la pantalla de la computadora no hay pérdidas de píxeles en la imagen del LCD (Figura 5.15 y Figura 5.16).
Figura 5.14 Imagen inicial con resolución 800x600 píxeles.
Por lo que la imagen a resolución de 800x600 píxeles, se aprecian los píxeles de las líneas correctamente según la imagen de la computadora
Figura 5.15 Desplazamiento vertical de la imagen, se conserva la proporción de píxel a píxel.
78
Figura 5.16 Desplazamiento horizontal de la imagen, se conserva la proporción de la imagen.
De las pruebas anteriores, se tiene que la resolución de la imagen es óptima cuando la relación entre los píxeles del LCD y la computadora es 1:1. Al igual se procura centrar la imagen en el LCD (Figura 5.17).
i) h)
e) f)
g)
d) c) b)
a)
Figura 5.17. Montaje del arreglo para observar la influencia de la relación del número de píxeles entre la pantalla de la computadora y la pantalla de cristal líquido en la resolución de la imagen observada en h). a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.
79
5.1.2
OBTENCIÓN DE IMÁGENES DE TALBOT DE UNA REJILLA GENERADA MEDIANTE EL LCD Se implementó un programa en LabVIEW (Figura 5.18) para el cálculo de las
distancias Talbot. El arreglo óptico (Figura 5.19) para la obtención de las imágenes de Talbot consiste en un láser, cuyo haz es expandido mediante un objetivo de microscopio (60X) y a su vez el haz es filtrado mediante un pequeño orificio (20µm) para evitar luz espuria; se coloca luego una lente colimadora a su distancia focal (f=15cm) con respecto al objetivo; luego el LCD posterior a la lente colimadora. Una vez generada la rejilla cosenoidal en el LCD se procede a la localización de la imagen de Talbot de la rejilla, tomando en consideración el cálculo mediante el programa implementado en LabVIEW. Para una mejor observación de la imagen de Talbot se trabaja en condiciones de oscuridad en el laboratorio. Las imágenes de Talbot son captadas mediante una cámara CCD (sin lente) colocada en las distancias de Talbot. La Figura 5.20 muestra la imagen de Talbot que corresponde a una rejilla binaria de líneas verticales, de un periodo de 8 píxeles, es decir, 256µm. La distancia Talbot corresponde aproximadamente a 24.6cm. La Figura 5.20 corresponde a imágenes captadas por una CCD para el caso de rejillas binarias de líneas horizontales y verticales de un mismo periodo. Se observa que la distancia de Talbot en este caso es de aproximadamente 25.3cm por lo que su periodo calculado es de 259µm, debido posiblemente a las microconexiones de los píxeles del LCD.
Figura 5.18 Programa para calcular las distancias Talbot.
80
a)
b) c) d) e) f) g)
h)
i)
Figura 5.19 Esquema del arreglo de observación de la imagen Talbot. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) Polarizador. f) LCD. g) Analizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.
b)
a)
Figura 5.20 Autoimágenes Talbot captadas por una CCD generadas en una LCD correspondiente a: a) franjas verticales, b) franjas horizontales.
5.1.3
VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS El patrón de franjas es generado a través de una función cosenoidal (Ecuación 4.1),
donde se tendrá un valor máximo y uno mínimo en intensidad. La calidad de las franjas es evaluada a través de la ecuación de la visibilidad ( V )[8]:
V =
I max − I min I max + I min
(5.1)
La Figura 5.21 muestra un patrón de franjas cuya visibilidad corresponde a uno.
81
Figura 5.21 Patrón de franjas de visibilidad 1.
Mediante un programa estructurado en el software LabVIEW 8.6 Professional Development System (Figura 5.22) se generan franjas senoidales, con periodos cuantificados en píxeles, en escala de grises, con contraste variable controlado mediante los valores asociados al fondo y amplitud. Haciendo uso del algoritmo de corrimiento de fase de las franjas (ecuación 4.3) se obtiene la fase del patrón de franjas corrimiento de las franjas.
Figura 5.22 Estructura de programa generador de franjas cosenoidales.
Al hacer la ejecución, el programa muestra una ventana de 800 x 600 píxeles con las franjas correspondientes a los datos que se le indiquen, como se observa en la Figura 5.23.
82
Figura 5.23 Pantalla en ejecución de programa generador de franjas.
Haciendo esto, se cargan las franjas en la pantalla LCD comenzando con 10 píxeles de periodo realizando un barrido en toda la escala de contrastes de grises para evaluar las franjas proyectadas sobre una pantalla de superficie plana, capturando las imágenes con una cámara CCD puesta en ángulo con respecto al plano de referencia. En total se tomaron 36 imágenes de combinaciones de fondo con amplitud. La Tabla 5.2 muestra la visibilidad del patrón de franjas cuando se tienen variaciones en los valores de la amplitud y el fondo de las franjas.
Tabla 5.1. Visibilidad de las franjas.
Fondo 0
51
102
153
204
255
0
0.272
0.275
0.382
0.570
0.568
0.559
51
0.280
0.348
0.554
0.573
0.573
0.561
102
0.338
0.497
0.570
0.566
0.559
0.573
153
0.480
0.571
0.571
0.566
0.559
0.566
204
0.566
0.566
0.558
0.566
0.559
0.566
255
0.564
0.533
0.558
0.566
0.559
0.573
Amplitud
83
La visibilidad depende del contraste, pero el LCD tiene contrastes similares en los rangos extremos, por esa razón hay valores de visibilidad que se repiten en la tabla. La Tabla 5.2 muestra algunas imágenes de rejilla con el valor de fondo y amplitud asociados.
Tabla 5.2 Algunas imágenes con variación de fondo y amplitud.
5.2
(255,0)
(255,153)
(255,255)
(153,0)
(153,153)
(153,255)
(0,0)
(0,153)
(0,255)
OBTENCIÓN DE TOPOGRAFÍA DE UN OBJETO Los valores seleccionados para la generación de la rejilla corresponden a los valores
de fondo 255 y amplitud 255, correspondientes a una visibilidad máxima del patrón de franjas de 0.573. Para la obtención de la fase de las franjas se utiliza la técnica de corrimiento de fase de cuatro pasos ya explicada en el capítulo 4. En esta sección se reporta una posible aplicación del uso del LCD en la obtención de la topografía de un objeto de prueba, utilizando el efecto de Talbot. La técnica consiste en la proyección de franjas[14] sobre el
84
objeto de prueba el cual es colocado en la distancia Talbot. Inicialmente las franjas son proyectadas en un plano de referencia, obteniendo la fase de éstas. Posteriormente es colocado el objeto de prueba fijándolo en el plano de referencia. Se toma una segunda imagen que corresponde a las franjas proyectadas sobre el objeto. Se obtiene la fase de las franjas que corresponde a éstas. El objeto bajo estudio corresponde a una navaja textil tipo 1020[15][16] (Figura 5.24a) colocada en la primera imagen de Talbot, la cual es de 77cm. La fuente de iluminación corresponde a láser que emite en el verde y que corresponde a una longitud de onda de 532nm. Las franjas corresponden uno a uno con las franjas de la pantalla LCD pero con un corrimiento de π .
a)
b)
Figura 5.24 Objeto para obtención de forma. a) Navaja 1020, b) parte superior de navaja
La topografía obtenida corresponde a una de las secciones de la muesca de la navaja (Figura 5.24b). La Figura 5.25 muestra las franjas proyectadas con un corrimiento de π 2 .
a)
b)
c)
d)
Figura 5.25 Proyección de franjas sobre el objeto desfasadas a) 0 π, b) π/2, c) π, d) 3π/2.
Posteriormente se aplicó el algoritmo de obtención de fase, donde primero se obtiene la fase envuelta y después se hace el desenvolvimiento de fase[8].
85
a)
b) Figura 5.26 a) Fase envuelta, b) fase desenvuelta.
A continuación, se calcula la topografía del objeto (Figura 5.27) mediante el uso de la siguiente ecuación[14]
z=
φ p 2π sin (θ )
(5.2)
donde φ corresponde a la diferencia de fase asociada al plano de referencia y la asociada al objeto, θ es el ángulo de observación y p es el periodo de la rejilla proyectada. El periodo de la franjas fue de 20 píxeles, es decir, 0.64mm, y el ángulo de observación θ es de 5º. Se realizaron ajustes de promedio para reducir los relieves no deseados. y [pixeles]
z [µm]
x[
p íx
x [píxeles]
ele s
]
y [pixeles]
b)
z [µm]
z [µm]
a)
y [pixeles]
c)
x [píxeles]
d)
Figura 5.27 Obtención de la topografía del objeto. a) vista en ángulo. b) vista superior. c) vista frontal. d) vista lateral.
86
El grosor del objeto de prueba de acuerdo a la gráfica mostrada en la Figura 5.27, es aproximadamente de 72µm. El grosor reportado por el fabricante de las cuchillas es de
65µm[16], esto indica que el error es de 7µm, lo cual corresponde al 10.7% de error en la medición calculado mediante la ecuación:
M o − M ref (6.3) ×100 M ref donde M 0 es la medida obtenida mediante la técnica óptica, M ref es la medida dada por el Error =
fabricante y considerada como la medida de referencia. Algunos factores que contribuyen al error en la medición de la topografía del objeto son: la visibilidad de las franjas proyectadas no corresponden a uno, se está incluyendo el espesor de la cinta doble cara usada para pegar la navaja a la pantalla, posición aproximada del objeto de prueba en la distancia Talbot, el perfil de las franjas capturadas ya no corresponde a un perfil exactamente cosenoidal, entre otros.
87
88
CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES
En este trabajo se hizo la implementación de herramientas computacionales, teóricas y experimentales enfocadas hacia la caracterización de una pantalla LCD. Se presentan resultados preliminares de una aplicación del LCD para la obtención de la topografía de un objeto, para ello se generó una rejilla cosenoidal y se aplicó en el efecto de Talbot. Mediante el uso del LCD es posible aplicar la técnica de desplazamiento de fase, pues los patrones de franjas son generados desde la computadora hacia el LCD con el corrimiento en fase deseado sin la necesidad de utilizar métodos mecánicos para hacer cambios de fase de las franjas. El tamaño del objeto bajo estudio queda restringido al tamaño del LCD, es decir, el tamaño máximo del objeto que se puede estudiar es de 21x26mm. Con respecto a la caracterización del LCD, se encuentra que el ángulo de giro, ξ , es de 80º. La imagen generada en el LCD debe estar reescalada entre 100 a 225 en escala de grises. La resolución en píxeles entre la señal enviada de la computadora hacia el LCD debe ser aproximadamente la misma para no perder resolución en la imagen proyectada del LCD en una pantalla de observación. Una pantalla de cristal líquido de transmisión es un instrumento capaz de manejar no solo franjas, sino también otras figuras como patrones para evaluar elementos ópticos, hologramas generados por computadora, patrones de difracción, entre otros. Por lo tanto, la pantalla de cristal líquido LC 2002 de la marca Holoeye ha servido como una herramienta en la obtención de forma de un objeto, aunque no se pueden formar franjas de una visibilidad más aceptable, su versatilidad de uso y manejo es mayor que usar otros dispositivos que requieren procesos mecánicos para realizar el desfase de franjas. El uso de polarizadores en posición adecuada es esencial para ésta y otras aplicaciones.
89
APÉNDICE A En las señales cosenoidales puras el valor medio es cero, pero en señales complejas, el valor medio siempre representa el valor de componente continua asociada a la señal. Sea T
Vm = v(T ) =
1 v(t ) dt T ∫0
Donde v(t ) = cos 2 (α ) y α = k ⋅ r − ωt Y su expansión cos 2 (α ) =
1 1 + cos ( 2α ) 2 2
Entonces a través de sustituciones T
Vm =
1 1 1 + cos 2 k ⋅ r − ωt T ∫0 2 2
(
T
(
T
T
) dt
1 1 1 1 Vm = ∫ + cos 2k ⋅ r cos ( 2ωt ) − sin 2k ⋅ r sin ( 2ωt ) dt T 02 2 2
Vm =
)
(
)
T
1 1 1 1 1 1 dt + ∫ cos 2k ⋅ r cos ( 2ωt ) dt − ∫ sin 2k ⋅ r sin ( 2ωt ) dt ∫ T 02 T 02 T 02
(
)
(
)
1 T 1 1 sin ( 2ωT ) 1 1 cos ( 2ωT ) Vm = cos 2k ⋅ r + + sin 2k ⋅ r 2ω T 2 2ω T 2 T 2 T →∞ 1 Vm = 2
(
)
(
)
Se demuestra que
(
cos 2 k ⋅ r − ωt
)
=
1 2
El valor medio de las funciones cos 2 ( x) calculado en un intervalo de tiempo largo comparado con el periodo de las ondas es ½
De manera similar para v(t ) = sin 2 (α )
90
sin 2 (α ) =
1 1 − cos 2α 2 2 T
1 1 1 ⇒ Vm = ∫ − cos 2α dt T 02 2 T →∞ Vm =
1 2
(
sin 2 k ⋅ r − ωt
)
=
1 2
Para v(t ) = sin 2 (α ) cos 2 (α ) 1 1 − cos ( 2α ) 2 2 1 1 cos 2 (α ) = + cos ( 2α ) 2 2 1 1 1 1 sin 2 (α ) cos 2 (α ) = − cos ( 2α ) + cos ( 2α ) 2 2 2 2 1 1 1 1 sin 2 (α ) cos 2 (α ) = − cos ( 2α ) + cos ( 2α ) − cos 2 ( 2α ) 4 4 4 4
sin 2 (α ) =
T
Vm =
1 ( sin 2 (α ) cos2 (α ) )dt T ∫0 T →∞
1 1 1 Vm = ∫ − cos 2 ( 2α ) dt T 04 4 1 4 T →∞ Vm = 0 T
(
)
(
sin 2 k ⋅ r − ωt cos 2 k ⋅ r − ωt
)
=0
91
APÉNDICE B La ecuación de interferencia dada por
π I n = I A + I B + 2 I A I B cos φ + ( n − 1) 2
n = 1, 2,3...
Es aplicada para cuatro pasos, teniendo
I1 = I A + I B + 2 I A I B cos (φ )
π I 2 = I A + I B + 2 I A I B cos φ + 2 I 4 = I A + I B + 2 I A I B cos (φ + π ) 3π I 4 = I A + I B + 2 I A I B cos φ + 2 Aplicando la identidad trigonométrica de
cos ( A ± B ) = cos ( A ) cos ( B ) ∓ sin ( A) sin ( B ) Se hace la sustitución de los cosenos
π π π cos φ + = cos (φ ) cos − sin (φ ) sin = − sin (φ ) 2 2 2 cos (φ + π ) = cos (φ ) cos (π ) − sin (φ ) sin (π ) = − cos (φ ) 3π cos φ + 2
3π = cos (φ ) cos 2
3π − sin (φ ) sin 2
= sin (φ )
Teniendo ahora para los cuatro pasos lo siguiente
I1 = I A + I B + 2 I A I B cos (φ ) I 2 = I A + I B − 2 I A I B sin (φ ) I 3 = I A + I B − 2 I A I B cos (φ )
92
I 4 = I A + I B + 2 I A I B sin (φ ) Restando I 2 − I 4 y I1 − I 3
I 2 − I 4 = −4 I A I B sin (φ )
I1 − I 3 = −4 I A I B cos (φ )
−( I 2 − I 4 ) = 4 I A I B sin (φ ) Dividiéndolas se obtiene la tangente tan (φ ) =
− ( I2 − I4 )
( I1 − I3 )
Donde la fase es
− ( I2 − I4 ) ( I1 − I 3 )
φ ( m, n ) = tan −1
Que está relacionada con la diferencia de camino óptico de acuerdo a la superficie donde se observen esas franjas.[8]
93
94
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