www.clasesalacarta.com

1

SEPTIEMBRE 2016

Universidad de Castilla la Mancha – PAEG – Septiembre 2.016 Opción A 1.- En una granja hay vacas y caballos. El veterinario contratado tiene la obligación de supervisar diariamente entre 4 y 8 vacas, y además entre 2 y 5 caballos. Además, el número de vacas supervisadas debe ser al menos el doble que el número de caballos supervisados. El veterinario tarda una hora en supervisar cada animal y trata de averiguar cuál es el tiempo mínimo diario que le permite cumplir todas las condiciones del contrato. a) Expresa la función objetivo. b) Escribe mediante inecuaciones las restricciones del problema y representa gráficamente el recinto definido. c) Halla el número de vacas y caballos que debe supervisar diariamente para cumplir las condiciones en un tiempo mínimo 10 –

X: nº vacas

Y: nº caballos

9–

La función objetivo viene dada por: T(x, y) = x + y

8– 7– 6–

Restricciones

5– 4–

B (8,4)

3–

10 –

8–

6–

7–

4–

5–

2–

3–

0–

1–

0–

C (8,2)

A (4,2)

1–

9–

2–

4≤x≤8 {2 ≤ y ≤ 5 x > 2y

Para obtener el tiempo mínimo:  T(4, 2) = 6 horas  T(8, 4) = 12 horas  T(8, 2) = 10 horas Por tanto, el tiempo mínimo es de 6 horas. Y para ello debe supervisar 4 vacas y 2 caballos. 2.- He comprado 5 kg de almendras, 3 kg de avellanas y 2 kg de cacahuetes, y he pagado por todo ello 98 euros. La diferencia entre el precio por kg de las avellanas y de los cacahuetes, es igual al precio por kg de las almendras. Si hubiera comprado 1 kg de cada fruto seco, hubieras pagado 32 euros. a) Plantea el sistema de ecuaciones que nos permita averiguar el precio por kg de cada fruto seco. b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. X = €/kg almendras {

Y = €/kg avellanas

x + y + z = 32 5x + 3y + 2z = 98 1 y-z=x → { -x + y - z = 0 → (-1 x + y + z = 32 5x + 3y + 2z = 98 5

1 1 3

Z = €/kg cacahuetes

1 32 1 1 -1 0 ) → E2 =E1+E2 → (0 2 E3 =5E1 -E3 2 98 0 2

x + y + z = 32 1 32 = 32 → y = 16 0 32) → { 2y 3 62 2y + 3z = 62

→ z = 10 → x = 6 Por tanto, el precio es de 6€/kg de almendras, 16€/kg de avellanas y 10€/kg de cacahuetes.

2

-(x+3) si x3 a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 3. b) Para t = 2, representa gráficamente la función f. Para que sea continua en x = 3: lim - f(x) = lim - (t) = t

x→3

lim - f(x) = lim+ f(x) = f(3) →

x→3

2

-(x+3) Para t=2: f(x)= {2 2 -(x-3)

si x3

x→3

x→3 2

lim+ -(x-3) = 0

x→3

{ f(3) = t

→ t=0

Bárbara Cánovas Conesa –

2

–

Examen Selectividad _ Matemáticas _ CCSS _ Castilla la Mancha

–

f(x) = -(x + 3)2 = -x2 - 6x - 9

f(x) = -(x - 3)2 = -x2 + 6x - 9

– – –

– –

–

–

 Vy= 3

–

(3, 0)  Cortes con eje y:  (0, -9)



-2

–

=

3–

2a

–

 Vy= -3

-6

1–

(-3, 0)  Cortes con eje y:  (0, -9)

-2

2– -b

-1 –

=

Vértice:  Vx=



–

2a

6

–

-b

-3 –



Vértice:  Vx=

–



–

4.- De la función f(x) = ax4 + bx2 + c sabemos que pasa por el punto (0,0), que tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 3 y que la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto vale -18. Con estos datos halla el valor de los parámetros a, b y c. Si pasa por el origen de coordenadas significa que f(0)=0: 

c=0

Si tiene un punto de inflexión en x = 3 significa que f’’(3)=0: 

f’(x)= 4ax3 + 2bx



f’’(x) = 12ax2 + 2b



108a + 2b = 0

Si la pendiente de la recta tangente en x = 3 vale -18, significa que f’(3)=-18: 

108a + 6b = -18

Hacemos un sistema para calcular los parámetros que nos faltan { Por lo que la función queda: f(x) =

1

9 1 108a + 2b = 0 Restamos → -4b = 18 → b = → a= 108a + 6b = -18 2 12 9

x 4 - 2x 2

12

5.- De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG. a) Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG. b) Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso. c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el cuarto sean suspensos?  

A: “aprobar” S: “suspender”

La probabilidad de aprobar: P(A) P(A) =

74 → P(A) = 0.925 80

La probabilidad de que de 3 alumnos, los tres estén aprobados: 3

P(A1 ∩A2 ∩A3 ) = 0.925 → P(A1 ∩A2 ∩A3 ) = 0.791 La probabilidad de que de 4 alumnos, si el 1º y el 2º han suspendido, que el 3º y el 4º también hayan suspendido: 4

P(

(S1 ∩S2 ∩S3 ∩S4 ) (1 - 0.925) S3 ∩S4 S3 ∩S4 = ⁄S ∩S ) = ⁄S ∩S ) = 0.0056 2→ P( (S1 ∩S2 ) 1 2 1 2 (1 - 0.925)

6.- El gasto en electricidad por hogar y año sigue una distribución normal con media desconocida. Se elige una muestra aleatoria de 10 hogares y se observa que el gasto para los hogares de esta muestra (en euros) es: 828, 687, 652, 650, 572, 769, 860, 681, 589 y 755. Según la compañía eléctrica el gasto por hogar y año tiene una desviación típica σ = 100 euros. a) Determina el intervalo de confianza para la media poblacional del gasto en electricidad por hogar y año, con un nivel de confianza del 97 %. b) ¿Aceptarías con un nivel de confianza del 97% que la media poblacional es μ= 800 euros? ¿Y con un nivel de significación igual a 0.09? Razona tus respuestas.

www.clasesalacarta.com

3

SEPTIEMBRE 2016

̅ ± Zα⁄ · Nos piden el intervalo de confianza para la media poblacional con desviación típica conocida, es decir: IC = (x

σ

2 √n

Nos hace falta la media: ̅= x

).

828+687+652+650+572+769+860+681+589+755 ̅ = 704.3 →x 10

Para calcular el valor de Z/2, hay que tener en cuenta que a un nivel de confianza del 0.97, le corresponde un nivel de significación  = 0.03. Como el valor correspondiente a P(Z