Universidad de Buenos Aires. Colegio Nacional de Buenos Aires Guía de Trabajos Prácticos Matemática – 5º Año

2013

- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013

ÍNDICE Programa de 5to año

3

Trabajo Práctico 0

4

UNIDAD 1: Límite funcional. Continuidad

9

UNIDAD 2- Derivadas

14

UNIDAD 3- Integrales

28

UNIDAD 4- Sucesiones numéricas

32

UNIDAD 5- Combinatoria y probabilidad

36

Respuestas

43

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Programa de la Asignatura UNIDAD 0. Revisión de ecuaciones e inecuaciones en R. Revisión del concepto de función. Función inversa. Composición de funciones UNIDAD 1- Limite funcional. Continuidad. Limite de una función en un punto. Limite en el infinito. Cálculo de límites. Casos de indeterminación. El número e.. Límites trigonométricos. Límites laterales. Asíntotas. Continuidad de una función en un punto. Clasificación de discontinuidades. UNIDAD 2- Derivadas. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. Recta tangente y normal. Derivabilidad y continuidad. Función derivada. Cálculo de derivadas. Crecimiento y decrecimiento de una función. Extremos locales. Concavidad. Puntos de inflexión. Estudio de funciones. Aplicación de las derivadas a Ia resolución de problemas de optimización. UNIDAD 3- Integrales. Concepto de primitiva. Linealidad del proceso de cálculo de primitivas. Primitivas inmediatas. Cálculo de primitivas. Concepto de integral definida. Regla de Barrow. Aplicación al cálculo de áreas UNIDAD 4- Sucesiones numéricas. Monotonía. Acotación. Límite de una sucesión. Aplicaciones. Sucesiones aritméticas y geométricas finitas e infinitas. Problemas de aplicación. UNIDAD 5- Combinatoria y probabilidad. Variaciones, permutaciones y combinaciones simples y con repetición. Binomio de Newton. Aplicación al cálculo de probabilidades. Definición axiomática de probabilidad. Propiedades. Probabilidad condicional. Sucesos independientes. Probabilidad total. Teorema de Bayes. Variable aleatoria discreta. La distribución Binomial y la Hipergeométrica.

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TRABAJO PRACTICO Nº0, : Temas generales de introducción.

Para poder abordar esta asignatura es imprescindible por parte del alumno, un fluido manejo de la operatoria en el campo real como así también, de las expresiones algebraicas y la construcción de gráficas de funciones elementales. Funciones

1)

Las siguientes, son cuatro gráficas correspondientes a funciones lineales de dominio real. Acorde con los datos indicados en cada caso. Hallar sus respectivas formas explícitas. y

y f2

f1 3

4

2 4

f3

x

x

6

y

y f4

6 4

1,5 1

2)

2,5

x

7

x

De una función lineal “f” se saben los siguientes datos: Pasa por los puntos A = (8 ; − 1) y A = (10 ; − 2) . A partir de ello, indicar cuáles de las siguientes afirmaciones resultan verdaderas: a) Su ordenada al origen es b=3 y su conjunto de ceros es C 0 = {6}

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b)

El punto P0 = (5 ; 21 ) pertenece a gráfica de la misma

c)

La recta “r” de ecuación y = 2x + 4 es perpendicular a ella

d)

La expresión de la función inversa es f −1 (x ) = −2x + 6

e)

El conjunto de positividad de f es el intervalo C + = (6 ; + ∞ )

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 f)

La función y su inversa se interceptan en el punto M = (2 ; 2)

Hallar la expresión de la función cuadrática de ℜ → ℜ que cumple en cada caso con los requisitos pedidos: a) V = (1; 3 ) y contiene al punto P0 = (0 ; 2) b) x 1 = 2 ; x 2 = 4 y contiene al punto P0 = (3 ; 3 ) . c) La suma de sus raíces es -2, su producto es -24 y pasa por P0 = (0 ; 12 ) d) Pasa por los puntos A = (2 ; 3 ) ; B = (−2 ; − 9 ) ; C = (0 ; 5 ) e) Intercepta al eje y en el punto A = (0 ; 5 ) ; la xv = 2 y el coeficiente del término cuadrático y el lineal difieren en 1.

3)

2  Dadas las funciones f ( x ) = x − 3 x − k . Analizar, para qué valores de “k”, la recta resulta g( x ) = x + 2k secante, tangente o exterior a la parábola.

4)

5) Sea “f” la función lineal que tiene pendiente -2 y pasa por el punto A = (4 ; 2) y la parábola definida por g( x ) = (x − 3 ) . (x − 5 ) . Representar gráficamente ambas curvas y analizar en qué intervalo o unión de intervalos se verifica que f ( x ) ≥ g( x ) .

6)

Factorizar el polinomio P( x ) = 61 x3 − 32 x 2 + 61 x + 1 y hallar sus intervalos de positividad y negatividad.

7)

Hallar la expresión polinómica de grado 4 que cumple las siguientes condiciones: El conjunto de ceros es C 0 = 21 ; − 1; 1; 3 y además contiene al punto; A = ( − 21 ;− 21 ). 4

8)

En el polinomio A( x ) = x 4 − ax 3 + bx 2 dos de sus raíces son x = 3 y x = −1 . ¿Qué valores toman a y b? ¿Cuál es su expresión factorizada?

9)

Dadas las funciones definidas por las fórmulas:

{

}

(21 )x

a)

f1 : A → ℜ / f1( x ) = 1 − 21 . 2 x

b)

c)

f 3 : A → ℜ / f 3 ( x ) = 2 log 2 (2x − 4 ) − 1

d) f 4 : A → ℜ / f 4 ( x ) = 1 + log 1 (3 − x )

f 2 : A → ℜ / f 2 ( x ) = 4 − 2. 2

Se pide, para cada una de ellas, hallar: Dominio, ecuación de la recta asíntota, ceros, gráfico aproximado, crecimiento, decrecimiento, positividad, negatividad y calcular la función inversa. Graficar ambas funciones en un mismo sistema de ejes coordenados.

10) Calcular ceros, máximos y mínimos y graficar aproximadamente las funciones dadas a continuación en el intervalo [−2π , 2π] :

a) f1( x ) = sen(2.x − π)

(

c ) f 3 ( x ) = 1 − 2 sen 2x − 6π

(32x − π) 2 − 2 sen( 2x − 4π )

b) f 2 ( x ) = −3 cos

)

d) f 4 ( x ) =

Hallar dominio y ceros de las siguientes funciones:

11) a)

f1 ( x) = 2 x +3 + 4 x − 48

b)

f 2 ( x) = 4 x +1 − 2 x − 3

c)

f3 ( x) = log 2 ( x − 2 ) − log 2 5 + log 2 3 − 1

d)

f 4 ( x) = ( log x ) − log x 2

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 ALGEBRA DE FUNCIONES IGUALDAD Dos funciones f: Df → B y g: Dg → C son iguales cuando: Df = Dg ; B = C y para todo x: f(x) = g(x) Por ejemplo: Las funciones f : R − {2} → R / f ( x ) =

x2 − 4 x−2

y g: R→R/ g (x) = x+2

no son iguales ya que Df ≠ Dg , sin embargo, notemos que para todo x≠2, f(x) = g(x). Es decir, sus gráficas serán iguales salvo en el punto de abscisa 2 en el cual f no está definida y tiene un "agujero" y sin embargo g(2) = 4 x2 − 4

si x ≠ 2

 Si definimos una función h: R→R/ h ( x ) =  x − 2 4 

, resulta h = g

si x = 2

SUMA, PRODUCTO Y COCIENTE Se pueden definir operaciones entre funciones que llamaremos suma, producto y cociente de la siguiente manera:

(f + g)(x )

(f . g)(x )

= f (x ) + g(x ) ∀ x , siendo D(f + g) = Df ∩ Dg

= f (x ). g(x ) ∀ x , siendo D(f . g) = Df ∩ Dg

f f (x )   = (x ) g g   (x )

∀ x , siendo D

( ) = Df ∩ Dg − { x ∈ R / g( x) ≠ 0} f g

Ejemplo:

1 Df = R-{1} y g(x)= x Dg= R 0+ entonces, x −1 1 ( f + g) (x ) = + x D f + g = R 0+ − {1} x −1

Sean f(x) =

( f .g) (x ) =

1 . x x −1 1

f   =  g  (x ) (x − 1). x

D f .g = R 0+ − {1}

D f = R + − {1} g

Ejercicios

12)

Dados los siguientes pares de funciones f y g indicar para cada una dominio mayorante e imagen y hallar f+g, f.g y f/g indicando el dominio mayorante de cada una. a) f ( x ) = x 2 g( x ) = 2x − 1 b) f ( x ) = x 2

g( x ) =

x

1 x−2 d) f ( x ) = ln(x − 1)

g( x ) = e x

e) f ( x ) = sen x

g( x ) = (x − 1)

c) f ( x ) =

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g( x ) = 3 x + 2

2

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 13) Dadas las siguientes funciones, indicar dominio e imagen, buscar su inversa (restringiendo si es necesario para la biyectividad) y componer para obtener la identidad. Indicar en todos los casos, dominios e imágenes. a) f(x) = x2+2

b)f(x) =

3

x−3

c) f(x) = 2 x + 1 x−3

d) f(x) = ln(x+1)

14) Hallar el conjunto de ceros, conjunto positividad, negatividad y a partir de ello esbozar una gráfica de las siguientes funciones cuyas fórmulas se indican a continuación..

(

a) f ( x) = x2 +

2 3

)x

(

b) g( x) = x2 −

4 9

)(x

2

−

1 2

)

(

c ) h( x) = x2 −

3 2

). (x + 1) 2

15) Representar gráficamente las funciones que se indican:

 1 si x ≤ 2 a )f ( x ) =  2 x si x > 2    x 2 si x ≤ −1 1 si − 1 < x < 1   3 b ) g( x ) =  −x si x < 1 c ) h( x ) =  ln 1 − x si − 1 < x < 1   −x 2 si x ≥ 1 1   si x > 1  x   2 − x si x ≤ 0  x + 1 si x ≤ −π   d ) h( x ) = 2 cos x si 0 < x < π e ) h( x ) = 1 + sen( x + π ) si − π < x < 0   π ex si x ≥ 0   si x ≥ π  x 16) Considere las funciones: 2

f ( x ) = ( x − 1) + 1 g( x ) = − x + 2 h( x ) = 3 − x   h( x ) si x ≤ 0  a) Representar gráficamente j : R → R / j( x ) = f ( x ) si 0 < x ≤ 2  1  si x > 2  g( x ) b) Determinar: i) conjunto de ceros de j ii) si existen valores de x ∈ R /j(x)>0 iii) conjunto de negatividad iv) punto de intersección con el eje y. 17) Dadas las siguientes funciones:

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 f : A → R / f ( x ) = log2 ( x + 2 ) 1

g : B → R / g( x ) =

2

5x − 10x 2

h : R → R / h( x ) = ( x + 1) + 1 n( x ) función lineal tal que n(0)=2 y n(-2)=0 a)

b)

Hallar: i.

C = {x ∈ R / x ∈ A ∩ B}

ii.

D = {x ∈ R / 1 < f ( x ) < 4}

 h( x ) − 2 si x ≤ −2  Se define k : R → R / k ( x ) = n( x ) si − 2 < x < 0 . f ( x ) − 1 si x ≥ 0  i. Hallar conjunto de ceros, de positividad y negatividad ii. Realizar un gráfico aproximado. iii. A partir del gráfico obtenido definir conjunto imagen e intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

18) a)Sean las funciones “f” y “g” definidas por las fórmulas dadas a continuación: f ( x ) =

5 y x+4

3 . Se pide: Graficar ambas funciones en un mismo sistema cartesiano de ejes. x−8 Hallar gráfica y analíticamente los puntos donde se verifica la condición f ( x ) = g( x ) . b)Dadas las funciones cuyas fórmulas se indican a continuación se pide: Definir “ f − g ” y hallar g( x ) =

su conjunto de ceros. f ( x ) =

2x + 3 2 x5 y g( x ) = x+5 x+9

19) Dadas f y g hallar el conjunto de todos los x / f ( x ) = g( x ) : a ) f ( x) = x + 2 y g ( x) = 2 x + 7 b) f ( x) = 1 + x + 1 y g ( x) = 2 x + 3

20) Dadas las funciones indicadas a continuación hallar, en forma analítica y gráfica (cuando se indique, el conjunto A ⊂ Df que satisface: a) f ( x ) ≥ g( x )

si

f ( x ) = 3 + 2x

y

g( x ) = 4 x − 5

b) f ( x) > 4 si f ( x) = x 2 − 3 x

c) f ( x) ≥ g ( x) si f ( x) = 3 x y g ( x) = 6 − 3 x 21) Hallar, en el intervalo [0;2π) , los ceros de las funciones cuyas fórmulas se indican a continuación. a) f ( x ) = sen x − 1 2

2

c ) h( x ) = cos x − sen x − 1

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b) g( x ) = 2 .cos(2x ) − 1 d) t( x ) = −2 . cos x − 2

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UNIDAD 1: Límite funcional. Bernard Bolzano (Praga: 1781 / Praga: 1848) Fuente: www.mat.usach.cl/histmat/html/bolz.html Bernard Bolzano, liberó al cálculo del concepto infinitesimal. También dio ejemplos de la correspondencia de las funciones 1-1. Fue un filósofo, matemático y teólogo quien hizo significantes contribuciones tanto a las matemáticas como a la Teoría de la Ciencia, en algunos aspectos constituye un interesante precedente de la lógica matemática. En su obra póstuma "Paradojas de lo infinito" presenta conceptos que aparecen como una anticipación de la Teoría de Cantor acerca de los números transfinitos. Bolzano ingresó a la facultad de filosofía en la Universidad de Praga en el 1796, estudió filosofía y matemática. Allí escribió :Mi especial placer por las matemáticas En la rama de la metafísica se opuso a Kant, reivindicando el carácter constructivo, y no simplemente regulativo de algunas ideas metafísicas como las relativas a Dios y a la mortalidad del alma. Por interesantes que sean las especulaciones metafísicas y teológicas de Bolzano es hoy común acuerdo que la más importante e influyente contribución de este pensador se halla en sus ideas sobre lógica y teoría de conocimiento. Bolzano influyó sobre muchos que intentaron depurar la lógica de todo psicologismo y fundarla en el análisis de preposiciones. Según Bolzano, la lógica tiene como misión estudiar las proposiciones como tales, es decir las proposiciones en si. Las proposiciones son enunciados mediante los cuales se declara que algo es o no es, con independencia de que sea verdadero o falso. Bolzano, se adelantó a los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros científicos, o de permanecer inéditos, como su importante Teoría de Funciones, que apareció en 1830, la influencia de sus ideas fue escasa.

1.1 – Cálculo de límites. 1)

En los siguientes casos, completar la tabla estableciendo si la función está definida o no en el punto e inferir el resultado indicado para el límite : a-

lim ( x 2 + 1) = 5 x →2

1,9

x

1,995

1,9992

2

2,004

2,01

2,1

2,994

2,9996

3

3,002

3,03

3,1

0,994

0,9992

1

1,004

1,01

1,1

f(x)

b - lim x →3

1 =∞ x−3 2,92

x f(x)

cx

x2 − 1 =2 x→1 x − 1 lim

0,9

f(x)

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 2x 2 + 3 =∞ x →∞ x + 1

d - lim

103

x

104

105

106

→∞

104

105

106

→∞

104

105

106

→∞

f(x)

e-

3x 2 + 1 =3 2 x →∞ x + 2 lim

103

x f(x)

x

f-

1  lim 1 +  = e x x → ∞ 103

x f(x)

2)

Calcular, si existen, los límites indicados a continuación.

1

a) lim

2

x +1

x →2

x− 5 x−5

d) lim x →5

1 x+5

g) lim x →∞

j) lim x →∞

3)

2x 3 x2 + 1

2x − 6

b) lim

x −9

x →3

x →3

f ) lim x →2

3x 2

h) lim

i) lim

2

x +1

x →∞

x →∞

x5

k ) lim

l) lim

x3 − 4

x →∞

x2 − 1 1

x → −1

x +1 x−3

e) lim

x2 − x − 2

c ) lim

2

x →∞

x2 − 4 2x 3 − 1 5x 3 + 2 2x

3x 2 + 1

Calcular, si existen, los límites indicados a continuación. x3 + 1

a) lim x → −1

d) lim x →2

g) lim x →1

j) lim x →0

m) lim x→∞

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2

x +1 2

x − 2x x 2 − 4x + 4

b) lim e) lim x →1

h) lim

1+ x − 1− x x

k ) lim

x2 + 1

2

x − 25

x →5

x −1 x −1

(x + 1)2

x 2 − 5 x + 10

x →7

h →0

n) lim x→∞

3

x − 3x + 2 x 4 − 4x + 3 2− x−3 x 2 − 49 x+h − x h

1000 x 2

x −1

x2 − 1

c ) lim x → −1

x + 3x + 2

(x + h)3 − x 3

f ) lim

h

h →0

i) lim

2

3− 5+x

x →4

l) lim x →3

ñ) lim x→∞

1− 5 − x

x 2 − 2 x + 6 − x 2 + 2x − 6 x 2 − 4x + 3 x 2 − 5x + 1 3x + 7

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- Colegio Nacional de Buenos Aires Matemática - 5º Año – Guía de Trabajos Prácticos – Año 2013 o) lim

2x 2 − 5 x + 3

p) lim

x 3 − 8x + 5

x →∞

r ) lim

x +1− x

s) lim

x (x + 2) − x

1  x ) lim 1 −  x x → ∞

 x −1 z2) lim   x → ∞ x + 3 

2  y ) lim 1 +  x x →∞

x

 x2 + 2   w ) lim  2   x → ∞ 2 x + 1 

 1  x +1 v ) lim  2  x → ∞ x 

x

x5 + 5

2+ x t ) lim   x → ∞ 3 + x 

2x

x +1

(2x + 3 )3 (3 x − 2)2

x→∞

x →∞

 x −1  u) lim  2  x → ∞ x − 1 

x

 x  z1) lim   x → ∞ x + 1 

x2

x

x+2

Calcular los siguientes límites trigonométricos: a) lim x→0

sen(3 x ) x

b) lim

x

h) lim

1 − cos x

x →0

c ) lim

4x 2 sen(4 x ) e ) lim x x→0

sen x x →0 tg x

g) lim

1 − cos x x →0 sen x

sen 2 x

x →0

d) lim

5)

q) lim

3x 3 + 1

x →∞

x →∞

4)

(x + 1)(3 x − 2)2

f ) lim x→ 0

tg x − sen x

x →0

x

sen2 3x x2

sen(a + x ) − sen(a − x ) x x →0

i) lim

3

Indicar si las respuestas expresadas para cada uno de los siguientes límites es correcta:

a) lim x →− ∞

d)

(31 )x = 0

b) lim 2

16 x + 1

lim

= −2

2

x→ − ∞

1

j)

e) lim x →− ∞

25 x + 9 + 3 x

x →0

lim x→ − ∞

() 2

m) lim x→ 0

−

2

1 x 1

x

k)

= +∞ +6 +3

= +∞

x→+∞

lim

x − 3 = +∞

x→ +∞

=1

 2x + 3  f ) lim   x→+ ∞  x + 1 

−

3

n) lim x→ +∞

5 5

x

1 x

+6 +3

=2

ñ)

+

5x

= +∞

(21 )x = 0 2

l) lim x→ 0

1

= − 21

2x − 2

−

i) lim

h) lim e x = −∞

+

1 x 2

()

x −1

c ) lim x→ 1

1 x 3

1

g) lim e x = +∞ x →0

x−3 = 0

x→ 3+

5

lim x→ − ∞

1 1

−1

x

5 5

1

=

−4

x

x

1

x

+6 +3

2 5

=1

1.2 - Continuidad. 1)

Analizar cuáles de las siguientes funciones son continuas en los puntos indicados. En aquellos casos que presente discontinuidad clasificarla y de ser factible, redefinirla para que sea continua en ℜ . Graficar en cada caso. a)

f1 (x ) =

x2 − 1 x −1

2x − 1 b) f 3 (x ) =  2 x − 4 C.N.B.A. 5ºAño - 2013

en

x0 = 1

si si

x≥0 x