Universidad Cesar Vallejo Escuelas de Ingeniería Industrial y Sistemas Docentes de Matemática I y II Lord Barrera Bocanegra Juan Contreras Matos Elvia Perez Barturen Elbert Perez Diaz Antenor Leva Apaza Francisco Quiroz García Carlos Deudor Gomez

Magister Lord Barrera:

Coordinador del área de Matemática

Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones

Escuelas de Ingeniería Industrial Ingeniería de Sistemas Ingeniería Empresarial

La ciencia y la tecnología nos brindan cada momento importantes avances que nos permiten conocer más de nuestro universo. Sin la teoría de funciones esto no sería posible.

1.

Funciones, Gráficas y sus Aplicaciones

En esta sección se establece el concepto de función y se estudian sus operaciones básicas, que serán utilizadas en todo este libro.

1.1. ¿Qué es una Función? Comencemos ilustrando una máquina expendedora de bebidas. Algunas preguntas que surgen son las siguientes: ¿Qué tiene que ver la matemática con este asunto? y en particular ¿cómo relacionamos esta máquina expendedora de bebidas con funciones en matemática? Tomaremos en cuenta este hecho para introducir más adelante el concepto de función. Consideremos el caso de dos máquinas A y B que expenden bebidas. La máquina A tiene cuatro botones y cada uno permite obtener una bebida distinta. Lo mismo pasa con la máquina B que tiene 4 botones y cada uno de ellos expende diferente bebida. Los siguientes cuadros ilustran esta situación: Máquina A Botón n◦ 1 2 3 4

Máquina B Botón n◦ 1 2 3 4

Salida Coca cola Inca cola Pepsi Sprite 2

Salida Fanta Agua mineral Fanta Chola de oro

Máquina C

Es común que hayamos visto maquinas similares a A y B, pero no creo hemos encontrado una situación parecida a la siguiente:

Botón n◦ Salida 1 Coca/Sprite 2 Inca cola 3 Mirinda/Diet coca

Aquí, cuando usted presiona el boton 1 de la máquina C, consigue Coca o Sprite; es decir, nuestro boton de entrada n◦ 1, no permite una única bebida de salida. Las situaciones anteriores muestran las relaciones que hay entre entradas (en este caso los botones) y salidas (que son las bebidas).

Definición 1.1. Una función es una correspondencia f que asigna a cada entrada una única salida. Cuando una función f tiene entrada x, la salida se escribe como f ( x ), que se lee “ f de x”.

Si queremos indicar que la función f asigna a la entrada 2 la salida 5, entonces escribimos

nombre de la función

f (2) = 5 entrada

salida

que se lee “ f de 2 es 5”. La entrada se llama variable independiente y la salida variable dependiente. En lo que sigue, nuestras funciones serán reales, esto quiere decir que las entradas y salidas son números reales. 3

Ejemplo 1.1. entonces

Si usted habla por celular y cada minuto le cuesta S/0.5, 1 × 0.5 = 0.5 soles

en un minuto gasta

en dos minutos gasta 2 × 0.5 = 1 sol en tres minutos gasta .. .

3 × 0.5 = 1.5 soles .. = .

en x minutos gasta

x × 0.5 = 0.5x soles

O sea, por hablar x minutos le costará 0.5x. Para este modelo tenemos así una función que escribimos f ( x ) = 0.5x Aquí nuestra función es la regla que asigna a la entrada x (cantidad de minutos hablados por celular) la salida 0.5x (que consiste del costo que resulta de hablar x minutos). Definición 1.2. El dominio de una función f es el conjunto de todas sus entradas, denotado por dom( f ). El rango de f es costituido por todas sus salidas; más precisamente, el rango de f es el conjunto ran( f ) = { f ( x ) : x ∈ dom( f )}

Si damos la función y = f ( x ) y no especificamos el dominio, podemos pedir el dominio natural de f , que consiste de todos los posibles valores de x para los cuales existe f ( x ). Ejemplo 1.2. Consideremos la función f ( x ) = x2 . Esta hace corresponder a cada número su cuadrado, por ejemplo √ √ f (1) = (1)2 = 1, f (2) = (2)2 = 4, f ( 5) = ( 5)2 = 5 Aquí no hay restricción para las entradas x, o sea, el dominio natural es el conjunto de todos los números reales. 4

Ejemplo 1.3. El siguiente esquema de función representa los 10 terremotos más grandes del mundo entre los años 1900 y 2003.

MAGNITUD LOCALIZACION Y FECHA Chile (mayo 22 de 1960) 9.5 Alaska (marzo 28 de 1964) 9.2 Islas Aleutianas (marzo 9 de 1957) 9.1 Kamchatka (noviembre 4 de 1952) 9.0 Costas del Ecuador (enero 31 de 1906) 8.8 Islas Aleutianas (febrero 4 de 1965) 8.7 8.6 Frontera India-China (agosto 15 de 1950) Kamchatka (febrero 3 de 1923) 8.5 Mar de Indonesia (febrero 1 de 1938) Islas Kuriles (octubre 13 de 1963) Un ayuda-memoria para cerciorarse que una correspondencia es una función es tener en cuenta la disposición de la flecha:

o

Ejemplo 1.4.

pero no

Considere la función f ( x ) = x + 1.

(i) Calcule f (−1), f (2) y f (3). (ii) Determine el dominio natural de f . Solución. (i) Evaluando tenemos f (−1) = −1 + 1 = 0,

f (2) = 2 + 1 = 3

y

f (3) = 3 + 1 = 4 .

(ii) Para determinar el dominio natural, debemos tener en cuenta que la salida x + 1 existe para todo número real, o sea, dom( f ) = R. 5

Actividades Propuestas Ejercicio 1.1. Completar a continuación los siguientes espacios (i) Si y = f ( x ) es una función, entonces x se llama variable .................. e y se llama variable .................. (ii) El conjunto de todas las entradas de una función es llamado .................. (iii) El conjunto de todas las salidas de una función es llamado .................. Ejercicio 1.2. ¿Cuál de las siguientes correspondencias puede ser modelada como función? Si alguna de ellas no es función, justificarla. (i) La correspondencia que asigna a una persona, su fecha de cumpleaños. (ii) Fijada una botella de un litro de capacidad, la correspondencia que asigna al volumen del líquido contenido, su respectiva altura. (iii) La correspondencia que asigna a cada estudiante universitario su respectivo código de matrícula. (iv) La correspondencia que asigna a cada alumno de ingeniería los nombres de sus cursos por semestre.

6

Ejercicio 1.3. ¿Cuáles de los siguientes diagramas representan funciones?

Air force one Miss congeniality O brother where art thou The Pelican brief Pretty Woman Remember the titans

Sandra Bullok

1 2 3 4 5

George Cooney Harrison Ford

a

Julia Roberts Denzel Washington

Ejercicio 1.4. En los siguientes diagramas, hallar la regla de correspondencia y dibujar flechas de tal manera que representen funciones

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4

2 4 6 8 10

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 4 9 16 25

Ejercicio 1.5. El colegio privado San Fernando ha lanzado una campaña para reunir fondos. Se supone que los directivos del colegio estiman que 10x llevará s( x ) = días lograr el x % de su objetivo. Hallar el dominio 100 − x e interpretar las salidas. Ejercicio 1.6. Determine el dominio natural de las siguientes funciones (i) f ( x ) = x − 2 1 x+2 √ x−3 (vii) m( x ) = x−1 (iv) j( x ) =

x +1 x (v) k( x ) = √ x−1 (ii) g( x ) =

(viii) n( x ) =

7

x2

x2 − 3 x2 + 1

x−2 . x+3 x+3 (vi) l ( x ) = 2 . x −1 (iii) h( x ) =

(ix) p( x ) =

x . x2 + x

1.2. Gráficando Funciones Funciones pueden ser representadas gráficamente, y es común ver estas representaciones. Casos concretos pueden verse por ejemplo en un sismógrafo para medir la magnitud de temblor del departamento de Lima. También, un aparato de electrocardiograma mide la actividad eléctrica en el corazón. Estas máquinas describen gráficas de funciones.

La función que describe el número de estudiantes en la UCV Lima Norte como una función del tiempo (en años) puede ser representada de manera simple mediante una gráfica:

n° estudiantes 18 760 15 340 12 400 11 050 9398 6350 6000

año 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011

8

Cuando graficamos funciones debemos tener presente que la variable independiente (entrada) se ubica a lo largo del eje horizontal, y la variable dependiente (salida) se ubica a lo largo del eje vertical. Las coordenadas de los puntos en la gráfica de la función son de la forma (entrada, salida). Dada la función f , para cada x en el dominio de f , el punto con coordenadas ( x, f ( x )) es un punto de la gráfica de f . Recordemos que el valor de la función f en el punto x se escribe como f ( x ). Así que los puntos de la gráfica son de la forma ( x, f ( x )). Más formalmente, dada la función f , la gráfica de f es el conjunto graf( f ) = {( x, f ( x )) : x ∈ dom( f )}. Podemos distinguir a una función notando que su gráfica es una curva en el plano, tal que cualquier recta vertical interseca a dicha curva en un solo punto. Esto se ve en la figura de la derecha. Ejemplo 1.5.

(i)

y

x

Identificar las gráficas que representan funciones

y

(ii)

y

x

(iii)

x

y

x

Solución. La gráfica en (i) representa claramente una función ya que cualquier recta vertical interseca a la curva en un solo punto. La gráfica de la (ii) no es una función debido a que podemos intersecar con una recta vertical a dicha curva en dos puntos. 9

En el caso (iii) el único punto en discusión es el punto donde hay un salto, pero en este caso esta curva también representa una función pues una recta vertical que pasa por este salto corta a la curva en un solo punto.

Ejemplo 1.6. Si x pertenece al dominio de la función, entonces ( x, f ( x )) pertenece a la gráfica de f . Si (2, 5) está en la gráfica de alguna función f , entonces 2 es la entrada de la función mientras que la salida es 5; así que f (2) = 5. Si la entrada 4 produce la salida 7, entonces (4, 7) está en la gráfica de la función. Más generalmente, si ( x, y) ∈ graf( f ), entonces f ( x ) = y; de manera recíproca, si f ( x ) = y, entonces ( x, y) ∈ graf( f ).

Ejemplo 1.7. Considere un recipiente en forma de botella. La siguiente gráfica describe el comportamiento del volumen de un líquido que es llenado en la botella.

altura

volumen

f

(11,3)

altura

volumen

Usar la gráfica para determinar el dominio y rango de f . Solución. Mirando la gráfica de f notamos que el dominio de la función es el conjunto de todos los posibles volumenes, es decir, [0, 11]. Además, el rango es el conjunto de todas las posibles alturas, es decir [0, 3].

10

O FERTA Y DEMANDA Comprender oferta y demanda es importante en economía, administración y negocios.

Un ejemplo de demanda se puede ver en una gasolinera cuando el consumidor se encuentra con nuevos precios. Cuando el precio de la gasoliq millones de galones na aumenta, cada vez se compra 400 menos combustible. La figura de la derecha muestra la curva de 300 la demanda para la gasolina. Cuando el precio de la gasolina 200 es de 2.70 por galón, los peruap soles nos gastamos aproximadamente 100 por galón 367.2 millones de galones de ga0 2 4 6 8 10 solina diariamente. Notemos en la gráfica anterior que a medida que el precio de la gasolina aumenta, la cantidad de gasolina consumida es cada vez menor. Como consecuencia, el nivel de viajes en omnibus disminuye. 11

Definición 1.3. La función de demanda es la función q = D ( p) que relaciona la cantidad q adquirida (por el consumidor) de un producto, con el precio unitario p del producto en el mercado. La gráfica de la función de demanda se llama curva de demanda.

q D

p

Ejemplo 1.8. (Demanda de sillas). La demanda de sillas en una fábrica, es modelada por D ( p) = −0.01p + 5.55 docenas donde p es el precio (en soles) de una silla. (i) De acuerdo al modelo, ¿a qué precio el consumidor no consigue comprar ninguna silla? ¿Puede usted asegurar que existe un precio alto que el consumidor paga por una docena de sillas? (ii) ¿Qué cantidad de sillas compra el consumidor cuando el precio de mercado es de 99.95 soles? (iii) Calcule el precio que el consumidor es capaz de pagar para obtener 3 docenas de sillas. Solución. (i) El consumidor no consigue comprar ninguna silla cuando 0 = D ( p) = −0.01p + 5.55 que implica p = 555 soles. Cuando se demanda una docena, tenemos 1 = D ( p) = −0.01p + 5.55 12

⇔

p = 455

O sea, 455 soles por una docena de sillas. (ii) Cuando el precio de la silla es de 99.95 soles, la cantidad obtenida de sillas es D (99.95) = −0.01(99.95) + 5.55 ≈ 4.55 docenas de sillas O sea, 55 sillas aproximadamente. (iii) La cantidad de dinero que el consumidor gasta para obtener 3 docenas de sillas se obtiene haciendo 3 = −0.01p + 5.55 De aquí se consigue p = 255 soles.

Un ejemplo de cantidad ofertada también puede verse en la venta de gasolina cuando el vendedor determina el precio por galón.

q millones de galones 500 400

(3.158, 400) (2.699, 356.4)

300 200

(0.799, 175.9)

100 0 0

1

2

3

4

5

p soles por galón

Los productores no venden gasolina cuando el precio es menor a 0.799 soles por galón. Cuando el precio de mercado es 2.699, los productores venden 356.4 millones de galones. La oferta de 400 millones de galones se produce cuando el precio de mercado es de 3.158 soles por galón. 13

q Definición 1.4. La función de oferta es la función q = O( p) que relaciona la cantidad q ofrecida (por el productor) de un producto, con el precio unitario p del producto en el mercado. La gráfica de la función de oferta se llama curva de oferta.

O

p

Ejemplo 1.9. (Oferta de motos). La oferta en la venta de motos es modelada por ( 0 si p < 3 O( p) = 2.194(1.295 p ) si p ≥ 3 donde O( p) está en cientos y p es el precio en soles por moto.

(i) ¿Cuántas motos deben ser ofertadas cuando el precio es de 4000, 8000? (ii) ¿A qué precio debe producirse para ofertar 10,000 motos? (iii) Calcule la oferta, cuando el precio en el mercado es de 7500 soles. Solución. (i) Cuando el precio es de 4000, entonces p = 4 y la cantidad ofertada es O(4) = 2.194(1.2954 ) ≈ 6170 . Similarmente, cuando el precio es de 8000, entonces p = 8 y la cantidad ofertada es O(8) = 2.194(1.2958 ) ≈ 17353 . (ii) Para obtener el precio que resultan de vender 10000 motos, hace14

mos O( p) = 10, entonces resolvemos la ecuación 10 = 2.194(1.295 p )

⇔

O sea, p=

4.558 = 1.295 p

⇔

ln(4.558) = p ln(1.295)

ln(4.558) ≈ 5867 por moto ln(1.295)

(iii) La oferta cuando el precio por moto en el mercado es de 7500 soles, se obtiene haciendo p = 7.5. Entonces O(7.5) = 2.194(1.2957.5 ) ≈ 15.249 O sea, 15,249 motos aproximadamente.

Definición 1.5. (Precio de equilibrio). El equilibrio de mercado ocurre cuando la cantidad ofertada del producto es igual a la cantidad demandada. Para un producto con función de oferta O y función de demanda D, las coordenadas del punto de equilibrio ( p∗ , q∗ ) nos da el precio de equilibrio p∗ que satisface la ecuación D ( p) = O( p) y la cantidad q ∗ = D ( p ∗ ) = O ( p ∗ ).

Podemos representar a este punto de equilibrio geométricamente.

q

La curva de la demanda D ( p) es la curva de color rojo, mientras que la curva de la oferta O( p) es la curva de color verde. El punto de intersección ( p∗ , q∗ ) entre estas dos curvas es el punto de equilibrio.

O(p) ( p*, q* (

D(p) p

Ejemplo 1.10. Si las funciones de demanda y oferta para la venta de teléfonos celulares son, respectivamente D ( p) = −5p + 4000

y 15

O( p) = 15p + 1000

entonces el precio de equilibrio se obtiene haciendo D ( p) = O( p). De esto −5p + 4000 = 15p + 1000 ⇔ p = 150 O sea, p∗ = 150 soles es el precio de equilibrio, y desde que q∗ = O( p∗ ) = D ( p∗ ) = 3, 250 el punto de equilibrio es

( p∗ , q∗ ) = (150, 3250). Esto significa que la cantidad demandada de 3250 celulares por los consumidores es satisfecha por los vendedores, mientras cada celular se mantiene al precio de 150 soles.

VALOR ABSOLUTO Y RAIZ CUADRADA La función f ( x ) = | x | se lee valor absoluto de x. Este valor mide la distancia de x al origen. Por tanto, | x | es siempre mayor o igual a cero. La figura abajo muestra una tabla de los valores x y f ( x ). La gráfica describe una forma de V y tiene punta en el origen. Como vemos, el dominio es el conjunto de todos los números reales, (−∞, +∞), y el rango es el conjunto de números reales mayores o iguales a cero [0, +∞). x

f ( x) = | x|

-4

4

-2

2

-1

1

0

0

1

1

2

2

4

4

y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

16

rango

dominio x 1 2 3 4 5

√ La función f ( x ) = x se lee raíz cuadrada de x. Desde que la raíz cuadrada de un número existe para valores positivos, incluído el cero, el dominio esta constituido por el conjunto { x ∈ R : x ≥ 0}. También, el rango de esta función es el conjunto { x ∈ R : x ≥ 0}. Su gráfica se muestra en la figura abajo x

f ( x) =

0

0

1

1

4

2

9

3

√

y

x

5 4 3 2 1

rango

dominio x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplo 1.11. (Movimiento de un péndulo). El periodo de un péndulo es el tiempo requerido por por el péndulo para moverse de un lado a otro un ciclo completo. El periodo t en (segundos) es una función de la longitud l del péndulo, y se define mediante r l t = f (l ) = 2π 9.8

l

Hallar el periodo de un péndulo cuya longitud es 40 centímetros. Solución. Al sustituir l = 40 cm = 0.4 m en la fórmula obtenemos r r l 0.4 t = 2π = 2π ≈ 0.12 9.8 9.8 O sea, el periodo es aproximadamente 0.12 s. 17

Actividades Propuestas Ejercicio 1.7. La gráfica de una función es la colección de . . . . . . . . . . . . o ( x, f ( x )) tal que x está en el dominio de f . √ Ejercicio 1.8. ¿Es la gráfica de f ( x ) = x + 4 igual a la gráfica de f ( x ) = √ x + 4? Explicar mediante dibujos. Ejercicio 1.9. En cada uno de los casos, use la prueba de la recta vertical para determinar en qué caso se tiene una función.

(i)

y

(ii)

y

x

(iii)

x

y

x

Ejercicio 1.10. (Ecología). Una región costera con una área de 250 hectáreas cuadradas, el año 2003 ha estado perdiendo 2.5 hectáreas cuadradas por año debido a la erosión. Así que el área de la región t años después del 2003 es v(t) = 250 − 2.5t. (i) Esbozar la gráfica de v para 0 ≤ t ≤ 100. (ii) ¿Qué representa en este problema el punto de intersección de la gráfica con el eje x?

18

Ejercicio 1.11. El siguiente gráfico representa el grado la eficiencia (en puntos) de un obrero recolector de espárragos en el norte del país (desde las 8.00 AM, que empieza su jornada)

Eficiencia 5 4 3 2 1 Tiempo 8

9

10

11

12

13

(i) ¿En qué intervalo de tiempo aumenta la eficiencia del obrero? (ii) ¿A qué hora tiene concentración máxima? (iii) ¿Entre que horas tiene una concentración constante? (iv) ¿A partir de qué hora pierde concentración? Ejercicio 1.12. La siguiente figura muestra la gráfica de una función (i) ¿Es f (0) positivo o negativo?

y f

(ii) Hallar f (−2), f (1), f (2) y f (3).

x

(iii) ¿Qué número es mayor, f (2) o f (4)? (iv) Hallar f (4) − f (1). (v) Hallar | f (4) − f (1)|. 19

1.3. Operaciones Aritméticas de Funciones En este apartado veremos que las funciones se parecen a los números, es decir, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Por ejemplo, si f ( x ) = x2 + 1 y g( x ) = x + 3, entonces f ( x ) + g ( x ) = ( x 2 + 1) + ( x + 3) = x 2 + x + 4 La nueva función y = x2 + x + 4 se llama función suma f + g. Similarmente, f ( x ) · g( x ) = ( x2 + 1) · ( x + 3) = x3 + 3x2 + x + 3

y la función y = x3 + 3x2 + x + 3 se llama función producto f · g. Definición 1.6. Las operaciones aritméticas de f con g producen: (i) La suma f + g es la función definida por

( f + g)( x ) = f ( x ) + g( x ) . (ii) La diferencia f − g es la función definida por

( f − g)( x ) = f ( x ) − g( x ) . (iii) El producto f · g es la función definida por

( f · g)( x ) = f ( x ).g( x ) . (iv) El cociente

f g

es la función definida por   f g

(x) =

20

f (x) g( x )

.

Observación 1.1. La suma f + g, la diferencia f − g y el producto f · g tienen como dominio dom( f + g) = dom( f − g) = dom( f · g) = dom( f ) ∩ dom( g) Sin embargo, el cociente

dom

Ejemplo 1.12.

f tiene como dominio g

  f = dom( f ) ∩ dom( g) ∩ { x : g( x ) 6= 0} g Sean f y g dos funciones definidas por f (x) =

1 x−1

y

g( x ) =

x . x+2

En cada caso, determine su dominio y halle el respectivo valor. (i) ( f + g)( x )

(ii) ( f − g)( x )

(iii) ( f · g)( x )

(iv)

  f g

(x)

Solución. El dominio de f es { x : x 6= 1} y el dominio de g es { x : x 6 = −2}. (i) En este caso el dominio de f + g es { x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f + g)( x ) = f ( x ) + g( x ) 1 x = + x−1 x+2 ( x + 2) + x ( x − 1) = ( x − 1)( x + 2) x2 + 2 = . ( x − 1)( x + 2)

21

(ii) En este caso el dominio de f − g es { x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f − g)( x ) = f ( x ) − g( x ) 1 x = − x−1 x+2 ( x + 2) − x ( x − 1) = ( x − 1)( x + 2) − x2 + 2x + 2 = . ( x − 1)( x + 2) (iii) En este caso el dominio de f · g es { x : x 6= 1, x 6= −2}. Además

( f · g)( x ) = f ( x ).g( x ) =

1 x x · = x−1 x+2 ( x − 1)( x + 2)

(iv) Desde que 1 x+2 x−1 = (x) = = x g g( x ) x ( x − 1) x+2   f En este caso el dominio de es { x : x 6= 1, x 6= −2, x 6= 0}. g   f

f (x)

Ejemplo 1.13. Una corporación tiene un ingreso modelado por la función R(t) = 40 + 2t, donde t es el número de años desde el 2003 y R(t) está en millones de dólares. Su costo de operación es modelado por la función C (t) = 35 + 1.6t, donde t es el número de años desde el 2003 y C (t) está en millones de dólares. Hallar la función de beneficio para dicha corporación. 22

Solución. Desde que el beneficio es igual al ingreso menos el costo, podemos escribir P(t) = R(t) − C (t) Sustituyendo las expresiones para R(t) y C (t), obtenemos P(t) = (40 + 2t) − (35 + 1.6t) = 40 + 2t − 35 − 1.6t = 5 + 0.4t Así que la función beneficio es P(t) = 5 + 0.4t, donde t es el número de años desde el 2003.

Actividades Propuestas Ejercicio 1.13. Si el dominio de la función f es el intervalo [1, 5] y el dominio de la función g es el intervalo [2, 7], entonces el dominio de la función f + g es el intervalo . . . . . . . . . . . . Ejercicio 1.14. Si f ( x ) = x2 y g( x ) = x − 1, entonces f ( x ) − g( x ) = ............ Ejercicio 1.15. En cada caso, determine las siguientes funciones (i) ( f + g)( x )

(ii) ( f − g)( x )

(iii) ( f · g)( x )

donde (i) f ( x ) = x − 1 y g( x ) = 2x + 3. (ii) f ( x ) = x2 + 1 y g( x ) = x − 2. (iii) f ( x ) =

x+2 1 y g( x ) = x + . 2 x−1

(iv) f ( x ) = x2 + x − 2 y g( x ) =

x−3 . x+5

23

(iv)

  f g

(x)

2.

Funciones Elementales y sus Aplicaciones

En esta sección estudiaremos algunos modelos de funciones elementales y sus gráficas. Estas funciones nos permitirán comprender los principales conceptos del cálculo diferencial e integral desarrollado a lo largo del libro.

2.1. Función Constante Podemos pensar de una función constante como una función que admite la misma salida para cada entrada. Por ejemplo, si consideramos 10 familias a quienes se les hará conexión telefónica. Digamos que el costo fijo por instalación es de 40 soles. Esta función se expresa mediante f ( x ) = 40,

y

1 ≤ x ≤ 10 .

Ubicamos los puntos 1, 2, . . . , 10 en el eje x y sus respectivos valores

40

f (1) = f (2) = . . . = f (10) = 40 en el eje y. La gráfica es una línea horizontal punteada que pasa por el nivel y = 40.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Definición 2.1. Una función constante es una función de la forma f ( x ) = c,

donde c ∈ R

el dominio natural es el conjunto de números reales. 24

2.2. Función Lineal

Supongamos que tenemos un resorte atado a un objeto quieto, y supongamos que jalamos el resorte una distancia de x unidades. Ahora bien, si el resorte es rígido deberíamos emplear mucha fuerza, mientras que si no es rígida haríamos un menor esfuerzo. Los físicos determinaron que la fuerza necesaria para desplazar el objeto x unidades de su posición original es dada por F = kx, donde k es una constante que depende del estiramiento del resorte. Esto se conoce como la Ley de Hooke. A partir de los siguientes datos

F = kx x

1

2

3

4

5

F

2

4

6

8

10

Hallemos la función que satisface el esquema gráfico. Solución. Debemos recordar que la Ley de Hooke es dada por

y

F ( x ) = kx. Para hallar el valor de k, es suficiente sustituir cualquier par de correspondientes valores ( x, F ) en la ecuación y vemos fácilmente que k = 2. Esto es F = 2x.

25

x

Definición 2.2. Una función lineal es una función de la forma f ( x ) = mx + b

donde m 6= 0

y Su gráfica es una línea recta con pendiente m que interseca al eje y en el punto (0, b). El dominio natural es claramente dom( f ) = R

x y el rango el conjunto ran( f ) = R .

Ejemplo 2.1.

La función lineal f ( x ) = 2x + 3 tiene la siguiente gráfica:

y 3

x

Esta gráfica resulta de los siguientes datos: (i) Hacer y = 2x + 3.

26

(ii) Determinar dos puntos de la recta, por ejemplo Si x = 0 entonces y = 3 y obtenemos el primer punto (0, 3)   3 3 Si y = 0 entonces x = − y obtenemos el segundo punto − , 0 2 2 (iii) A continuación ubicamos estos dos puntos en el plano. La gráfica de la función es la recta que pasa por estos dos puntos.

El criterio para graficar una función lineal es más general como se ve en la siguiente observación: Observación 2.1. Para graficar la función lineal f ( x ) = ax + b, debemos tener en cuenta los siguientes pasos: (i) Hacer y = ax + b. Los valores x se ubican en el eje de abscisas y los valores y en el eje de ordenadas. (ii) Determinar dos puntos de la recta ( x1 , y1 ) y ( x2 , y2 ). Una manera fácil de determinar estos puntos es haciendo primero x = 0 y luego y = 0. Si x = 0 entonces y = b y obtenemos el primer punto (0, b)   b b Si y = 0 entonces x = − y obtenemos el segundo punto − , 0 a a

(iii) A continuación ubicar estos dos puntos en el plano. La gráfica de la función es la recta que pasa por estos dos puntos. 27

Actividades Propuestas Ejercicio 2.1. ¿Cuál de las siguientes funciones son lineales? Explicar su respuesta (i) f (t) = 1 + 5t. (ii) g(t) =

1 t − 5. 2

1 + 4. x √ (i) l (s) = s + 2s. (i) h( x ) =

Ejercicio 2.2. (Salario de un vendedor). Un vendedor de una tienda de computadoras cobra 250 soles semanales más 50 soles por cada computadora vendida.

(i) Expresar el ingreso semanal del vendedor como una función lineal dependiendo del número de computadoras que vende. (ii) Hallar los puntos de intersección de la gráfica de esta función con los ejes coordenados, e interpretarlos.

28

Ejercicio 2.3. (Aficionados al cine). El número total de aficionados al cine (en miles) en el Perú, crece de acuerdo a la función lineal m(t) = 1.4t + 160 donde t es el número de años desde el 2002. (i) De acuerdo a esta función, ¿Cuántos aficionados hubieron en el 2006.? (ii) El punto de intersección de la gráfica con el eje y, ¿Qué representa en el problema? Ejercicio 2.4. (Viajando en auto). El Director Ejecutivo de la UCV está dirigiéndose en su auto a su casa de verano. La función d(t) = 60t + 100 representa la distancia total recorrida en kilómetros, y t el número de horas desde las 8:AM. (i) Cuántos kilómetros habrá recorrido el Director a las 12: AM. (ii) El punto de intersección de la gráfica con el eje y, ¿Qué representa en el problema? Ejercicio 2.5. (Computadoras vendidas). El número total de computadoras vendidas por año desde el 2001 por T.C COMPUTER, se expresa como la función lineal n(t)) = 25t + 350; aquí t es el número de años desde el 2001. (i) ¿Cuántas computadoras se vendieron el año 2005? (ii) El punto de intersección de la gráfica con el eje y, ¿Qué representa en el problema? (iii) De acuerdo a la función, ¿ En qué año se vendieron 600 computadoras?

29

2.3. Función Cuadrática

Muchos problemas requieren conocer de funciones cuadráticas. Por ejemplo, supongamos que se tiene una tienda de venta de celulares, donde las cantidades (en la variable x) y los precios (en la variable p) se relacionan como se muestra en la tabla: Precio por celular en dolar p 60 65 70 75 80 85 90

Número de celulares x 12,000 11,250 10,500 9,750 9,000 8,250 7,500

Desde que el precio de un producto determina la cantidad que debe ser comprada, nuestra variable independiente es el precio. Realmente, el número x de celulares vendidos y el precio p por celular, se relacionan por la ecuación x = 21, 000 − 150p Entonces el ingreso I que resulta de vender x celulares al precio p por celular es I = xp o también I ( p) = (21, 000 − 150p) p = −150p2 + 21, 000p Su gráfica se muestra en la figura:

30

I

800,000 700,000 600,000 500,000 400,000 300,000 200,000 100,000

p 0

14 28 42 56 70

84 98 112 126 140

Este es un ejemplo de función cuadrática como definiremos a continuación

Definición 2.3. Una función cuadrática es una función de la forma f ( x ) = ax2 + bx + c

donde a 6= 0

Su gráfica es como se indica abajo

y

y a >0

a 0, y a 6= 1 Su dominio natural es dom( f ) = R y su rango ran( f ) = R >0 .

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

y

y )a < 1)

f )x ) = a

x

f )x ) = a

x

)0 < a < 1)

x

x

34

Ejemplo 3.1.

Graficar f ( x ) = 2x .

Solución. Tabulando algunos puntos ( x, y) tenemos

y

f ( x ) = 2x x

f (x)

( x, f ( x ))

-1

1/2

(−1, 1/2)

0

1

(0, 1)

1

2

(1, 2)

2

4

(2, 4)

3

8

(3, 8)

Ejemplo 3.2.

(3,8)

f (x) = 2

x (2,4)

(-1,1/2)

(1,2) (0,1)

x

 x 1 . Graficar f ( x ) = 2

 x 1 hallaremos varios puntos ( x, y) 2 cuyas coordenadas satisfacen la ecuación, luego pasaremos una curva por estos puntos. Solución. Para graficar f ( x ) =

 x 1 f (x) = 2 x

f (x)

( x, f ( x ))

-3

8

(−3, 8)

-2

4

(−2, 4)

-1

2

(-1, 2)

0

1

(0, 1)

1

1/2

(1, 1/2)

y (-3,8)

f (x) = 12

x

((

(-2,4) (-1,2) (0,1)

35

(1,1/2)

x

I NTERÉS COMPUESTO Y CONTINUO Una de las importantes aplicaciones de crecimiento exponencial consiste de la inversión de un dinero a un interés compuesto. Usando la función exponencial podemos desarrollar una fórmula que permita calcular el interés compuesto cuando el ahorro es continuo. Suponga que un capital C se invierte a una tasa r de interés anual. Si al final del primer año el interés se añade al capital C, entonces tenemos el nuevo capital C1 = C + Cr = C (1 + r ) El resultado de multiplicar el capital previo por 1 + r, repitiendo sucesivamente cada año se muestra en la siguiente tabla: Balance al final del año

Año 0

C

1

C1 = C (1 + r )

2

C2 = C1 (1 + r ) = C (1 + r )(1 + r ) = C (1 + r )2

3 .. .

C3 = C2 (1 + r ) = C (1 + r )2 (1 + r ) = C (1 + r )3 .. .

t

Ct = C (1 + r )t

Podemos colocar el interés con más frecuencia (trimestral, mensual o diario) para calcular el interés compuesto. Sea n el número de veces por año al que se deposita el capital y sea t el número de años, entonces la tasa r de interés anual resulta , y el capital total despues de t años es n  r nt P = C 1+ n

Si hacemos que el número de composiciones por año n sea cada vez más grande, el proceso es llamado composición continua. En la fórmula para 36

n composiciones anuales, sea m = n/r. Esto produce  r nt capital con n composiciones por año P = C 1+ n   r mrt = C 1+ sustituyendo mr por n mr   1 mrt = C 1+ simplificando m  rt  1 m = C 1+ propiedad de exponentes m Cuando m crece ilimitadamente, la tabla de abajo muestra que   1 m →e cuando m → +∞ 1+ m De esto concluímos que la fórmula para el interés compuesto continuo es   1 m rt A = Ce sustituyendo e en lugar de 1 + m m

(1 + 1/m)m

1

2

10

2.59374246

100

2.704813829

1000

2.716923932

10,000

2.718145927

100,000

2.718268237

1’000,000

2.718280469

10’000,000

2.718281693

↓

↓

+∞

e

37

Definición 3.2. (Fórmulas para el interés compuesto). Despues de t años, el capital P que resulta de depositar un capital inicial C a una tasa de interés anual r (en su forma decimal) es dada por las siguientes fórmulas  r nt (i) Si el interés es compuesto n veces por año: P = C 1 + n (ii) Si el interés compuesto es continuo: P = Cert .

Ejemplo 3.3. Un capital de 12,000 dolares es depositado a una tasa de interés anual del 9 %. Hallar el capital acumulado luego de 5 años de interés compuesto (i) trimestral

(ii) mensual

(iii) continuo

Solución. (i) Para el interés compuesto trimestral hacemos n = 4. De esta manera, en 5 años al 9 %, el capital acumulado es  r nt fórmula para el interés compuesto P = C 1+ n   0.09 (4)(5) = 12, 000 1 + sustituyendo C, r, n y t 4 ≈ 18, 726.11 use calculadora (ii) Para el interés compuesto mensual hacemos n = 12. Así que, en 5 años al 9 % el capital acumulado es  r nt P = C 1+ fórmula para el interés compuesto n   0.09 (12)(5) = 12, 000 1 + sustituyendo C, r, n y t 12 ≈ 18, 788.17 use calculadora

38

(iii) Para el interés compuesto continuo, en 5 años al 9 % el capital acumulado es P = Cert

fórmula para el interés compuesto continuo

= 12, 000e(0.09)(5) ≈ 18, 819.75

sustituyendo C, r y t use calculadora

Actividades Propuestas Ejercicio 3.1. Graficar cada una de las funciones exponenciales  x 1 (iii) f ( x ) = 4(2)− x (i) f ( x ) = 4x (ii) f ( x ) = 5  x 2 2x (vi) f ( x ) = 3− x (iv) f ( x ) = 3 (v) f ( x ) = 3

Ejercicio 3.2. (Interés compuesto). En cada uno de los casos se hace un depósito de 1500 soles. Hallar la cantidad total que se encuentra en el banco despues de 5 años para las tasas de interés compuesta dadas por (i) 61.6 % compuesto anualmente. (i) 62.3 % compuesto semianualmente. (i) 63.6 % compuesto mensualmente. (i) 64.3 % compuesto trimestralmente. Ejercicio 3.3. (Farmacología). Cuando un medicamento se administra de forma oral, la cantidad de antibiótico que se presenta en el flujo sanguíneo delm paciente puede ser modelado por una función de la forma C (t) = ate−bt 39

donde C (t) es la concentración del medicamento en miligramos por litro (mg/L), t es el número de horas desde que el antibiótico fue administrado, y a con b son cantidades positivas. Para una dosis de megacilina de 300 miligramos, su función es C (t) = 4.5te−0.275t (i) ¿Qué concentración de antibiótico se presenta en el flujo sanguíneo en el tiempo t = 0? ¿La respuesta de este problema tiene sentido en el contexto del problema? (ii) ¿Qué concentración de antibiótico se presenta en el flujo sanguíneo después de 1 hora? (iii) Hacer una gráfica de esta función con t variando entre 0 y 20. (iv) ¿Qué sucede con el valor de esta función cuando t → +∞? Decir si el resultado tiene sentido en el contexto del problema ¿porque? Ejercicio 3.4. (Infección de un virus). La Escherichia Coli es una bacteria que se reproduce de forma exponencial. Una pequeña cantidad de E. Coli en el intestino largo del ser humano puede provocar una seria infeccuión en pocas horas. Considere una infección particular de E. Coli que comienza con 100 bacterias. cada bacteria se divide en dos partes cada media hora. Suponiendo que ninguna de las bacterias se mueren, la cantidad total de bacterias luego de t horas es dada por P(t) = 100(2)2t , donde 0 ≤ t ≤ 16. (i) Hallar P(3) y P(6). (ii) ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la cantidad total de bacterias sea de un millón?

40

3.2. La Función Logaritmo

En la sección anterior estudiamos funciones exponenciales y algunos modelos exponenciales. En estos casos necesitamos responder a algunas cuestiones: ¿cuánto tiempo llevará a una cantidad de bacterias alcanzar una cantidad determinada? ¿cuánto tiempo lleva una cantidad readiactiva para disminuir en 1 % de su tamaño original? Para resolver estas cuestiones necesitamos resolver ecuaciones exponenciales, y la manera de hacerlo es usando logaritmos

Definición 3.3. Si a es un número positivo, entonces el logaritmo en base a de x es definido por loga x = y

si y sólo si

ay = x

De acuerdo a la definición vemos que el logaritmo de x es un exponente: este exponente resulta de elevar a a la y. loga x = y = loga ay = y Ejemplo 3.4. (i) log5 25,

Hallar los logaritmos en las diferentes bases. (i) log3 27,

(iii) log4 64,

(iv) log5 125

Solución. Para calcular dichos logaritmos debemos expresar los números como potencias (i) log5 25 = log5 52 = 2. (ii) log3 27 = log3 33 = 3. (iii) log4 64 = log4 43 = 3. (iv) log5 625 = log5 54 = 4. 41

Ejemplo 3.5.

Evaluar los siguientes logaritmos.

(i) log8 1,

(iii) log2 215 ,

(i) log3 3,

(iv) 5log5 12

Solución. Ejercicio para el lector.

Definición 3.4. (Función logarítmica). La función logaritmo con base a, es la función f ( x ) = loga x,

donde a > 0, a 6= 1

Su dominio natural es dom( f ) = R >0 y su rango ran( f ) = R.

Su gráfica es tal como se muestra en la figura

y

y

)a < 1)

)a < 1)

x

x

Observación 3.1. Cuando la base es a = e, el logaritmo log x se denota por ln x y es llamado logaritmo natural. En este caso tenemps ln x = y

⇔ 42

ey = x .

Ejemplo 3.6.

Graficar f ( x ) = log2 x.

Solución. Tabulando algunos puntos ( x, y) tenemos f ( x ) = log2 x

y

x

f (x)

( x, f ( x ))

1/16

−4

(1/16, −4)

1/4

-2

(1/4, -2)

1/2

-1

(1/2, -1)

1

0

(1, 0)

2

1

(2, 1)

1/8

-3

4 3 2 1

(1/8, -3)

f (x) = log 2 x

-1 -2 -3 -4

Proposición 3.1. (Propiedades del logaritmo). Se cumplen (i) loga ( AB) = loga ( A) + loga ( B).   A = loga ( A) − loga ( B). (ii) loga B (iii) loga ( AC ) = C loga ( A). Ejemplo 3.7.

Hallar los posibles valores de x tal que log3 x + log3 ( x + 2) = 1 .

Solución. De acuerdo a la propiedad (ii) tenemos log3 [ x ( x + 2)] = 1

o

log3 ( x2 + 2x ) = 1 .

Escribiendo esta última ecuación de forma exponencial x2 + 2x = 3

⇔

y la única solución resulta x = 1.

43

( x + 3)( x − 1) = 0

x

Actividades Propuestas Ejercicio 3.5. En la siguiente tabla completar los espacuios en blanco 103

x

102

100

10

10−1

10−2

10−3

101/2

103.4

log10 x Ejercicio 3.6.

(i) Sabiendo que 53 = 125, entonces log✷ ✷ = ✷.

(ii) Sabiendo que log5 25 = 2, entonces ✷✷ = ✷. Ejercicio 3.7. La función log9 x es la función logaritmo con base . . . . . . Así que f (9) = . . . . . . . . ., f (1) = . . . . . . . . ., f (1/9) = . . . . . . . . ., f (81) = . . . . . . Ejercicio 3.8. Identificar la función con su respectivo gráfico (i) f ( x ) = 6x ,

(ii) g( x ) = log6 x

y

y 15

1

10

x 5

10

5

15

x 0

-1

1

Ejercicio 3.9. (Astronomía). La luminosidad de una estrella es designada por una escala numérica llamada magnitud, el cual se define por la fórmula M( I ) = − log2.5 44

I I0

donde I es la intensidad de la energía de la estrella y I0 es la intensidad del punto de partida. Un decrecimiento de una unidad en la magnitud representa un incremento en la intensidad de la energía de un factor de 2.5 (i) Si la estrella Spica tiene magnitud 1, hallar su intensidad en términos de I0 . (ii) La estrella Sirius es una estrella más brillante que el Sol, teniendo magnitud de −1.46. Hallar su intensidad en términos de I0 . ¿Cuál es la razón de la intensidad de Sirius con respecto a Spica? Ejercicio 3.10. En la escala Richter, la magnitud R de un sismo de intensidad I es dada por I R = log I0 donde I0 es una determinada intensidad mínima. (i) Si la intensidad de un sismo es 1000 I0 , hallar R. (ii) Expresar I en términos de R y I0 . Ejercicio 3.11. (Peso de un niño). La relación de Ehrenberg ln W = ln 2.4 + (1.84)h es una fórmula empírica que relaciona la altura h (en metros) con el peso promedio W (en kilogramos) para un niño entre 5 y 13 años de edad. (i) Expresar W como función de h donde no involucre ln. (ii) Expresar el peso promedio de un niño de 8 años de edad cuya talla es de 1.5 metros.

45