Unidad Educativa “Caranavi Bolivia”

MODULO I ALGEBRA (Tercer Bimestre)

Caranavi, La Paz, Bolivia 2016

1

MÓDULO: ALGEBRA 1. DATOS INFORMATIVOS: 2. NOMBRE DE LA U. E. 3. DIRECTOR 4. GRADO 5. ÁREA 6. DOCENTE 7. NOTA APROBATORIA 8. BIMESTRE

: Caranavi Bolivia : Lic. Juan Edwin Uño Ariviri : Quinto de Secundaria : Matemática : Prof. Elior Choque Quispe : Prof. J. Magdalena Laura F. : 51 : Tercero

2. PROYECTO SOCIOCOMUNITARIO PRODUCTIVO: “Comunicación y educación sobre el uso y disposición final de residuos sólidos”. 3. CONTENIDOS: EL ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y SU VALOR EN LA DIVERSIDAD CULTURAL. Cocientes

notables. sintética. Teorema del resto. Factorización División

4.

PLAN DE DESARROLLO CURRICULAR

TEMÁTICA ORIENTADORA: Reconstrucción de los fenómenos tecnológicos, naturales, sociales, culturales y su aplicación.

OBJETIVO HOLÍSTICO: Desarrollamos un ambiente comunitario mediante el reconocimiento de procesos abreviados de nuestra cultura, para determinar y registrar reglas de los cocientes notables, proponiendo procesos educativos que ayuden y simplifiquen las tareas en el cuidado del medio ambiente. CONTENIDOS Y EJES ARTICULADORES: Los Cocientes Notables desde nuestra cultura y comunidad. RECURSOS EVALUACIÓN EN EL ORIENTACIONES METODOLÓGICAS MATERIALE (Ser-Saber-Hacer-Decidir) S ¿Conoces alguna aplicación o herramienta Cuaderno de que haya simplificado la vida de las apuntes. Actitud de respeto y tolerancia en los personas? trabajos comunitarios. PRÁCTICA: Cámaras Visita y entrevista a una de las familias fotográficas. chocolateras de nuestra región, sobre la Participación, solidaridad y trabajo obtención de chocolate, enfatizando los Grabadoras grupal, durante lecturas y diálogos procesos empleados hace años con los de voz. en lengua materna. actuales. Plenaria y dialogo sobre procesos Material desarrollados para obtención de productos audiovisual. Identificación de cada caso de en las familias chocolateras. cocientes notables, indicando la Recolección y escritura de frases aymaras regla practica de aplicación. identificados en la entrevista. Computador. TEORÍA: Presentación y análisis de ciertos cocientes Proyectora. que se obtienen por simple inspección, sin Clasificación y reconocimiento de los que realizar la división. Texto de casos de cocientes notables. 2

Identificación de las reglas y rutinas que permiten abreviar procesos. Reconocimiento de los casos que implican cocientes notables. Desarrollamos y sintetizamos tres casos de cocientes notables. VALORACIÓN: Aplicación y buen uso de las reglas de cocientes notables, según cada caso.

matemática.

Diapositivas didácticas.

Software para editar Proposición de materiales audiovisuales videos. que orienten y simplifiquen las problemáticas de contaminación con Fotografías y residuos sólidos. vídeos.

Elaboración de diapositivas didácticas en Power Point y material audiovisual educativo sobre el uso y disposición final de residuos sólidos.

Disposición al cambio de conducta para cuidar el medio ambiente, a partir de conjeturas, argumentos y propuestas.

PRODUCTO: Diapositivas didácticas en Power Point y material audiovisual educativo para televisión. Bibliografía: Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima. Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz. Chungara Vìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo.

3

COCIENTES NOTABLES Se llaman cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen ciertas reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección. Los principales cocientes notables, verificables por simple inspección son: 1er caso: COCIENTE DE LA SUMA DE POTENCIAS IGUALES IMPARES ENTRE LA SUMA DE SUS BASES.

La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases.

Su estructura es:

Cuyas características son:  El primer término inicia con un grado menor, descendentemente hasta llegar al grado cero. El segundo término del binomio inicia en el segundo término del cociente, ascendentemente hasta llegar a un grado menor que su potencia.  El primer factor del resultado será positivo el segundo negativo y de esta manera seguirán alternándose hasta terminar el polinomio.  El exponente “n” siempre impar. Ejemplo 2. Recuerde que:

2do caso: COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES PARES O IMPARES ENTRE LA DIFERENCIA DE SUS BASES.

La diferencia de dos potencias de exponentes iguales, ya sea pares o impares, siempre es divisible entre la diferencia de sus bases. Ejemplo 1 Exponente par o impar Potencias iguales

Cociente

Ejemplo 2. Expresando como potencias las cantidades grandes, de modo que logremos potencias iguales. Expresando como potencia

= 4

Ejemplo 3. Aplicando la regla de la estructura:

3er caso: COCIENTE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES PARES ENTRE LA SUMA DE SUS BASES. La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible exactamente entre la suma de sus bases. Se estructura exactamente igual que en los casos anteriores, sin diferencias. Ejemplo 1.

Ejemplo 2. La estructura del cociente es igual que en los casos anteriores.

x4  y 4  x3  x 2 y  xy 2  y 3 x y Ejemplo 3. Complete la estructura del cociente resultante.

En síntesis los tres casos presentados son: 1er caso:

2do caso:

3er caso:

Tabla Ahora te toca a ti. Encuentra el cociente por simple inspección. 1) 2) 3)

5

4)

=

5)

=

6)

=

7)

=

8) 9)

= = =

10)

HOJA DE EVALUACIÓN COCIENTES NOTABLES APELLIDOS Y NOMBRES:……………………………………………………………………………………………PROMEDIO: CURSO:…………………………………………………………………………FECHA: ……………………………………… Escribir el cociente sin efectuar la división: 1er caso: 11)

=

12)

=

13)

=

14)

=

15)

=

2do. Caso: 16)

=

17)

=

6

18)

=

19)

=

20)

=

3er caso: 21)

=

22)

=

23)

= HOJA DE AUTOEVALUACIÓN

FECHA

FECHA

SER AUTO OBSERVACIÓN

100 PTS

DECIDIR AUTO OBSERVACIÓN

100 PTS

SABER AUTO OBSERVACIÓN COCIENTES NOTABLES

100 PTS

HACER AUTO OBSERVACIÓN CONSTRUCCIÓN

100 PTS

7

TEOREMA DEL RESTO Y DIVISIÓN SINTÉTICA. TEOREMA DEL RESTO Se lo conoce también como Teorema del Residuo o Teorema de Horner, y tiene como propósito determinar el Residuo de una división Algebraica, sin realizar la División. El teorema expresa que: “El Residuo de dividir el polinomio: P(x) entre un Binomio de la forma: − , o incluso por el valor de:

± o

es igual al valor numérico que asume el polinomio P(x) al remplazar en él,

± .“

Ejemplo 1. Vamos a hallar el residuo de la división de − 7 + 17 − 6 +3 −4 + 17 4 − 12 5 −6 −5 + 15

−

−3 −

−7

+ 17 − 6 entre

− 3.

+

Del divisor

−3=0 Despejamos como = Entonces tendremos: = 3

La división no es exacta y el residuo es 9. Si ahora, en el Dividendo ( )

−7

+ 17 − 6 remplazamos la

por 3 , tendremos:

= 3 − 7(3) + 17(3) − 6 = 27 − 63 + 51 − 6 =

También es posible aplicar en las divisiones donde el divisor sea de la forma Ejemplo 2. Hallar el resto de la división de 6 Solución: Remplazando

= 3 2 en ( ) = 6 =

( )

=

±

.

− 5 + 8 entre 2 − 3. − 5 + 8, tendremos: =6

−5∙ +8 =

Este método será muy útil para calcular el resto de una división en situaciones como el que sigue. Ejemplo 3. Vamos a hallar el resto de la división de =

( )

=1

+ 1 entre

− 1.

+ 1 = 2. El resto de la división vale 2.

8

DIVISIÓN SINTÉTICA Sin efectuar la división, no solamente es posible hallar el residuo, sino también el cociente siguiendo una regla práctica llamada división sintética. −5

Ejemplo 1. Dividamos

−

−5 +3 −2 2

+ 3 + 14

+ 3 + 14 entre

− 3 por la forma clásica.

−3 − −

El Cociente es

− − y el Residuo 5

+3 −6 −3 + 14 3 − 9

Ahora veamos cómo es posible, hallarlos directamente: Coeficientes del Dividendo (Segundo término del divisor con el signo cambiado)

1

+3

−5

+3

+ 14

+3 −

−6 −

−9 +

Resto

Coeficientes del cociente

El Cociente será un polinomio en x de 2° grado, uno menos que el Dividendo de 3° grado. El cociente de la división es: − − y el residuo 5. Estos son el cociente y el residuo que se obtuvieron efectuando la división anterior.

La regla es:  El primer coeficiente del dividendo es el primer coeficiente del cociente. Por lo tanto se copia, en este caso el 1.  El siguiente coeficiente (− ) se obtiene multiplicando el anterior coeficiente (1) por (+3), y sumando este producto con el coeficiente −5 que ocupa la segunda columna.  El coeficiente (-3) se obtiene multiplicando el anterior coeficiente -2 por +3 y sumando este producto con el coeficiente -6, de la tercera columna.  El residuo es el término sobrante (+ ), que no llevará variable alguno.

ACTIVIDADES 1) Sin realizar la división, calcular el resto de las siguientes divisiones algebraicas.

)−5 ) 8

+ +2

+ 2 entre +3

−3

− 13 + 8 entre

2) ¿Cuál es el resto de la división de 5

−1 −3

+ 6 − 1 entre

− 1?

3) Sin realizar la división decir si la división es o no, exacta.

(

+ 64) ÷ ( − 2)

9

4) Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes: a) 2 b)

3

−5

+6

− 4 − 105 entre

+ 5 + 4 entre

−2

c)

− 7 + 5 entre

d)

−5

+ 4 − 48 entre

+

− 5 + 4 entre

e) 3

+2

−3 +2 +1

HOJA DE TRABAJO TEOREMA DEL RESTO. DIVISIÓN SINTÉTICA Apellidos y nombres:………………………………………………………………….Nota:……………. Curso:…………………………………………………………...…Fecha:………………..…………….. Hallar el teorema del resto, hallar los residuos sin efectuar las divisiones: 1. El residuo de dividir 7 − 6 + 8 entre − 3 es: a) 62 b) 63 c) 60 d) -63 e) 0 2. ¿Cuál es el residuo de dividir 8 − 4 − 9 entre 2 − 5? a) -31 b) 31 d) 0 e) 30 3.

Hallar por simple inspección, el residuo de a) 5 b) 6 c) -6

−5 + d) 0

d) -30

− 1 entre e) -5

+5 d) 7

Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes: 5. El cociente y residuo de la división a) Cociente + 7 + 14 − 20 b) Cociente − 7 + 14 − 24 c) Cociente − 3 + 14 − 24

− 5 + 4 − 48 entre resto 0 resto 0 resto -5

6. El cociente y residuo de la división de − 3 + 5 entre − 1 a) Cociente + + − 5 y resto 3 b) Cociente + 5 + − 2 y resto -3 c) Cociente + + − 2 y resto 3 7. Indicar si son exactas o no, las divisiones siguientes: a) − − 6 entre −3 exacta b) 2 − 2 − 4 + 16 entre + 2 exacta

+ 2 es:

no exacta no exacta 10

FACTORIZACIÓN Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación indicada de sus factores primos. Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entres sí dan como producto la primera expresión. En la multiplicación algebraica se tiene: ( + 2)( + 3) =

Factores

∙

+5 +6

=

Factores Producto

Producto

Ahora estudiaremos la manera de descomponer polinomios en dos o más factores distintos de 1. I. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Factor Común Monomio Ejemplo 1. Descomponer en factores +3 . Los dos términos y 3 tienen en común . Anotamos el factor común delante de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los cocientes de dividir cada término entre el factor común. +3 = ( + ) = y = Ejemplo 2. Descomponer en factores 10 − 30 Los coeficientes 10 y 30 tienen como máximo común divisor a 10. De las letras el único factor común es b, porque está en los dos términos de la expresión dada. Consideramos con su menor exponente. ( − ) 10 − 30 = = =− Factor común polinomio Ejemplo 3. Descomponer en factores 2 ( + 1) − ( + 1) El factor común es ( + 1), dividiendo los dos términos entre el factor común ( + 1) tendremos: (

)

=2

(

)

=

2 ( + 1) − ( + 1) =

− .

Ejemplo 4. Descomponer en factores ( + )( + 1) − 3( + 1) El factor común es ( + 1), por lo que se divide cada termino entre ésta. (

)(

)

Por tanto:

=( + )

(

)

=3

( + )( + 1) − 3( + 1) = ( + 1)[( + ) − 3] = ( + )[ +

− ] R.

Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) − 2) − 3) + + 4) 8 − 12

5) 6) 2 7) 8) 8

+ +2 −3 +6 − 24 11

13) ( + 1) − − 1 14) ( − 3)( − 4) + ( − 3)( + 4) 15) ( + 1) − ( + 1) − − 1

9) + + − 10) 10 −2 11) 2( − 1) + ( − 1) 12) 3 ( − 2) − 2 ( − 2)

II. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Se aplica sobre trinomios que son exactamente el desarrollo del Cuadrado de un Binomio. + + =( + ) Para verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto, se debe buscar que el primer y último tenga para extraer la raíz cuadrada de su coeficiente y parte literal. Luego verificar que el doble producto de ellos corresponda al segundo término del trinomio. Ejemplo 1. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto. a − 10a + 25 = ( − 5)

Las raíces del primer y último término son exactas, √ √ √ = y√ = 5 El doble producto de estas raíces es el segundo tér2∙ ∙5 mino del trinomio. Se verifica que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto, entonces sus factores serán el cuadrado de estos últimos términos. Ejemplo 2. Factorizar por el método del trinomio cuadrado perfecto. 9

+ 30

+ 25

3

= (3 + 5

) . El signo del binomio depende del signo del segundo término del trinomio. En éste caso es (+)

5 2∙3 ∙5

Ahora te toca a ti 1) 4 − 20 + 25 2) −2 + 3) −2 +1 4) 9 − 6 + 5) − 2 + 25 6) −2 +1

7) 4 − 12 + 9 8) 9 − 30 + 25 9) +6 +9 10) −2 +1

III. MÉTODO DE DIFERENCIA DE CUADRADOS Se aplica a binomios que contengan una diferencia entre sus términos cuadráticos. Es una aplicación de productos notables de la Diferencia de Cuadrados. −

= ( + )( − )

si se presenta un caso de Diferencia de Cuadrados, se extrae la raíz de ambos términos y se expresa como el producto de una Suma por la Diferencia de las raíces.

12

− 25.

Ejemplo 1. Factorizar

Las raíces cuadradas de ambos términos es a y 5. El producto de la suma por la diferencia de estas Raíces es la factorización.

− 25 = ( + )( − ) 5 Ejemplo 2. Factorizar 100 − =(

100 − √

+

)(

−

)

√

10 Ahora te toca ti Factorizar o descomponer en dos factores 1) − 81 = 2) − = 3) −9 4) −4 5) 1 − 4

6) 4 − 9 7) 16 − 8) 25 9) − 49 10) −

−1

IV. MÉTODO DE TRINOMIOS DE LA FORMA + + )( ). Los signos de Se descompone como producto de factores que serán de la forma ( operación en el primer factor corresponden del coeficiente b, y del segundo factor del producto de signos de los coeficientes b y c. Luego se buscan dos números m y n tal que su producto sea c y la suma b. Ejemplo 1. Factorizar por el método de trinomios + 5 + 6 = ( + 3)( + 2)

Los signos en ambos factores resultan positivos. Los números multiplicados que resulten en 6 son 3 y 2.

( + 3)( + 2 ) Ejemplo 2. Factorizar por el método de trinomios de la forma

+

+

+ 4 − 32 = ( + 8)( − 4)

El signo del primer factor ( + 8) es positivo, como el coeficiente +4 del trinomio. ( + 8)( − 4 ) El segundo factor ( − 4 )lleva el signo negativo, como el producto de los signos de los coeficientes +4 − 32. Es decir(+) ∙ (−) = (−) . El producto (+8)(−4) = −32 y la resta son +8 − 4 = +4. Por lo tanto los factores buscados son ( + 8)( − 4). Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) 2)

+ +7 + 10 + 5 − 14

3) 4)

− − 20 + 10 + 21 13

− 2 − 35 − 13 − 14 + 7 − 60

5) 6) 7)

8) + +7 + 10 9) 20 + − 21 10) + 4 + 3

V. MÉTODO DE RUFFINI Se emplea para factorizar polinomios de grado superior. Se trata de la división sintética de un polinomio entre el binomio de la forma − , donde es un divisor del término independiente del polinomio. Ejemplo 1. Factorizar por la regla de Ruffini. +2

− 11 −

El polinomio es de tercer grado. El término independiente −12 tiene como divisores a 1,2,3,4,6,12, -1,-2,-3.-4,-6,-12; valores que puede asumir a. Se considera el divisor = 2. Sin embargo el residuo no es cero, tiene resto – . Por tanto no es posible factorizar por − 2.

1 + 2 − 11 − 12 2

3 ( ( (

+2 1 +4

8 6 −3 −

Entonces se considera el divisor = 3. El residuo es cero, entonces uno de los factores será ( − 3), ademas del cociente (1 + 5 + 4) luego factorizamos el ultimo trinomio por métodos conocidos, quedando asi:

1 + 2 − 11 − 12 +3 15 12 1 +5 4 0 − )(1 + 5 + 4) − )( + 5 + 4) − )( + )( + )

Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores: 1) −6 +5 + 2) −3 −2 3) 2 + 9 + 4 − 21 − 4) − 10 + 31 − 5) + 10 + 35 + 50 + 24 VI. MÉTODO DEL ASPA Este método del aspa permite factorizar trinomios de la forma + + ; + + ; a + + y otros. Por su versatilidad, permite mayor aplicación y sustitución de algunos casos estudiados. Ejemplo 1. Factorizar o descomponer en dos factores: 10

+

+ 36

=(

5

4 =

2

9 =

+

)(

+

) Se disponen el primer término y 10

y tercer término 36 en dos factores: 5 ∙ 2 = 10 y 4 ∙9 = 36 Verificar que la suma de los productos de diagonales + sea exactamente el segundo término del trinomio: , si no se cumple, buscar otros factores para 10 y 36 . Los factores de la primera fila (5 + 4 ) y segunda fila (2 + 9 ) son los factores requeridos. 14

Ejemplo 2. Factorizar o descomponer en dos factores: 8

−

+ 15

=(

4

−5 = −

2

−3 = − −

+

)(

+

)

Ahora te toca a ti. Factorizar o descomponer en dos factores 1) 2) 3) 4) 5)

15 + 7 − 4 3 + 13 + 4 8 + 43 + 15 14 − 19 − 3 4 + 18 + 8

6) 6 + 14 + 4 7) + 9 + 18 8) 5 + 4 − 1 9) + − 56 10) 9 + 30 + 25

15

EVALUACIÓN FACTORIZACION Apellidos y nombres:………………………………………………………………….Nota:……………. Curso:…………………………………………………………...…Fecha:………………..…………….. Descomponer o factorizar en dos factores: 1) Los factores de 8 − 12 son: (Factor Común Monomio) a) 4 (2 − 3 ) b) 4 (2 + 3 ) c) 4 (2 − 3 ) 2) Los factores de 3 ( − 2) − 2 ( − 2) son: a) (3 − 2)( − 2) b) (3 − 2 )( − 2) c) (3 − 2 )( + 2) −2

3) La descomposición en factores de a. ( − 5)( − 5) b. ( − 5)( − 5) c. ( + 5)( + 5)

+ 25 es:

(Factor Común Polinomio)

(Trinomio Cuadrado Perfecto)

4) Los factores de 4 − 9 son: a) (2 − 3)(2 − 3) b) (2 − 3)(2 + 3) c) (4 − 3)(4 + 3) 5) Los factores de la expresión de a) ( − 1)( − 14) b) ( + 14)( − 1) c) ( − 14)( + 1)

(Diferencia de Cuadrados)

− 13 − 14 son:

6) Los factores de − 10 + 31 − a) ( − 2)( − 3)( − 5) b) ( − 1)( − 3)( − 4) c) ( + 2)( − 3)( − 5)

(Trinomios de la forma

son:

7) Los factores de 4 + 18 + 8 son: a) (2 − 4)(2 − 2) b) (2 − 8)(2 − 1) d) (2 + 1)(2 + 8)

+

+ )

(Método por Ruffini)

(Método del Aspa)

BIBLIOGRAFÍA: Baldor, Aurelio (2010) Matemática fácil con Baldor. Editorial Septiembre, Lima. Reque, Oscar. (2000) Matemática 8. Santillana de Ediciones, La Paz. Chungara Vìctor (2016) Algebra Básica. Editorial Leonardo.

Columba R. y Cascos F. (2000) Matemática práctica. Santa Cruz. 16

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES MATEMÁTICA MODULAR – NIVEL SECUNDARIO Curso: Tercero de Secundaria FECHA

ACTIVIDAD

28 al 31 – 08 – 16

Socializacion de la pagina web y del módulo educativo.

31 – 08 –16 1 – 09 –16

5 – 09 - 16

12 – 09 –16 15 – 09 –16

Descarga e inicio del módulo Primera sesion presencial Asistencia a trabajos de grupo individual y colectivo. Tercera sesion tutorial Evaluacion presencial / virtual

Tercer Bimestre (25 De Junio al 18 de Septiembre) MODULO

HORA

Horario de clases ALGEBRA

LUGA R

RESPONSAB LE

Salon de clases.

Docentes del area de matemática

Platafor ma virtual 13:30 – 18:00 Salón de clases.

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Tutores del área.

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17