MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II.
UNIDAD DE APRENDIZAJE II Saberes procedimentales 1. 2.
Saberes declarativos
Multiplicar y dividir números enteros y fraccionarios Utilizar las propiedad conmutativas y asociativa
A
Concepto de base, potencia y raíz.
B
Propiedades de exponentes.
C
Propiedades de raíces.
D
Algoritmos de operaciones con exponentes y radicales.
E
Productos Notables.
INTRODUCCIÓN Cuadrados, cubos y exponentes La notación exponencial se emplea para indicar cuántas veces se utilizará una cantidad como factor. Por ejemplo, el área A del cuadrado puede escribirse como Léase “x cuadrada”. El exponente 2 indica que la x se utiliza dos veces como factor. De manera similar, el volumen de un V del cubo es Léase “x cúbica”. Esta vez, el exponente 3 indica que la
A
Concepto de base, potencia y raíz
Si una variable x (denominada la base) va a emplearse n veces como factor, utilizamos la definición siguiente n (denominada potencia) es un número natural, algunas de las potencias de x son a la quinta potencia a la cuarta potencia a la tercera potencia (también se lee “x cúbica”) a la segunda potencia (también se lee “x cuadrada”) a la primera potencia (también se lee x) Advierta que si la base no lleva algún exponente, se supone que el exponente es 1; es decir, , Además, para a distinta a cero,
y
se define como 1.
El concepto de raíz se puede explicar con la raíz cuadrada, esta se relaciona con el concepto de elevar al cuadrado un número. El número 36, por ejemplo, es el cuadrado de 6 porque . Seis, por otro lado, es la raíz cuadrada de 36; (√ ). De manera semejante, es decir, √ √ √
porque
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II.
√ porque
√ Observe que al ser cumpla con que
( )
, a no puede ser negativo. De este modo, para hallar √ , encontramos el número b que ; esto es es equivalente a
√
siempre y cuando
De igual manera la raíz cúbica, esta relacionada con el concepto de elevar a la tercera potencia (al cubo) un número. El numero 64, por ejemplo, es el cubo de 4 porque . Cuatro por lo tanto, es la raíz cúbica de 64; es decir (El número 3 de la raíz cúbica siempre se debe ser expresado de manera explicita). De manera semejante, √ √
porque
√
( ) porque
√ Al ser
, a si puede ser negativo. De este modo, para hallar √ , encontramos el número b que cumpla con que ; esto es es equivalente a
√
para toda
Observe que para raíces impares a si puede ser negativo, mientras para raíces pares no. Ejemplo 1 a. √
Determinación de raíces b.√
c. √
d. √
e. √
f. √
Solución a.
√
b. √
( )
c.
√
B
Propiedades de exponentes
Reglas de los exponentes
d.
√
e.
√
f.
√
Si m, n, y k son enteros positivos, se aplican las reglas siguientes: Regla Regla del producto para exponentes: Exponente cero: Exponente negativo:
Ejemplo
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II.
Regla del cociente para exponentes: Regla de potencia para exponentes: Regla de potencia para productos: Regla de potencia para cocientes:
( )
(
)
Conversión de exponente positivo en negativo:
C
Propiedades de radicales
Reglas de radicales
los
Si n y m son enteros positivos, se aplican las reglas siguientes: Regla Regla de radicales para productos:
Ejemplo √ √
√
√ √
Regla de radicales para cocientes:
√
Regla de radicales para potencias:
√
Racionalización del denominador:
√
√
√
√ , √
√
√
√
√
√
,√
⁄
√
√
√
⁄
√
√ √
√
√
√
D Algoritmos de operaciones con exponentes y radicales Ejemplo 1 a.
Simplificar usando las reglas del exponente negativo, producto, cociente para exponentes. b.
Solución a.
√ √
√
√ √
√ √
b. Regla del producto para exponentes
Regla del exponente negativo
Regla del cociente para exponentes
Regla del producto para exponentes
Regla del exponente negativo .
Regla del cociente para exponentes Regla del exponente negativo
⁄
√
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II.
Ejemplo 2
Simplificar usando conversión de exponente negativo, reglas de potencia para producto, cociente y exponente.
a.
b. (
b. (
)
)
Solución a.
( (
)
.
Conversión de exponente negativo
(
Regla de la potencia para exponentes
(
Regla del cociente para exponentes
)
Regla del exponente negativo
) )
Regla de la potencia para cociente
Regla de la potencia para producto
.
Conversión de exponente negativo
Regla del cociente para exponentes
Regla de la potencia para exponentes y producto
Ejercicios 1.
Simplificar 2.
Ejemplo 3
3. (
(
)
4.
)
5.
Uso de reglas de radicales con reglas de potencias para simplificar.
a. √
b.
√ ⁄
Solución b.
a. √
√ ⁄
√
√
Regla de la potencia para exponentes
√
√
Regla de radicales para productos
⁄ ⁄
√
.
Exponente cero
√
.
Regla de radicales para cocientes
√ √ ⁄
√
Ejercicios 1. √ Ejemplo 4 a.
√
Regla de radicales para potencias
⁄
Regla del cociente para exponentes
√
⁄
Regla del cociente para exponentes
⁄
División de constantes
√
Regla de radicales para potencias
Regla de radicales para potencias Simplificación de fracción de potencia
Simplificar 2.
√ ⁄
3. (
(
)
⁄
4.
)
√ √
5.
√
Racionalización del denominador b.
⁄
√
√
√
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II.
Solución a.
c.
√ √
√
√
√
√
⁄
√
⁄
√
b.
√
⁄
√ √
√
⁄
⁄
⁄
⁄
d.
√
⁄
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√
⁄
√
√
⁄
⁄
√
⁄
⁄
√
* También se puede aplicar en el numerador.
Ejercicios 1.
Racionalizar 2.
√
3.
√
√
4.
√
5.
√
D Productos Notables Se llaman productos notables ciertas multiplicaciones que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, realizar la operación. Binomio al cuadrado Elevar al cuadrado equivale a muktiplicar dos veces este binomio por si mismo, e decir, Al realizar la multiplicación se tiene:
Lo anterior traducido del lenguaje algebraico al común: Binomio al cuadrado
El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término más el cuadrado del segundo término.
NOTA: recuerda que la operación de suma incluye la adición y la sustracción. Ejemplos
Obtener el resultado de los siguientes binomios al cuadrado.
a.
b. (
c.
)
Solución a.
b. (
) (
)
( )
( )
c.
Ejercicios 1.
Obtener el resultado de los siguientes binomios al cuadrado por simple inspección. 2.
3.
4.
5.
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II. Binomios Conjugados Es el producto de binomios con signo contrario, es decir, el producto obtiene:
, al efectuar esta multiplicación se
Lo anterior traducido del lenguaje algebraico al común: Binomio conjugado
El cuadrado del término que tiene el mismo signo (llamado idéntico), menos el cuadrado del término con signo diferente (llamado simétrico).
Ejemplos a.
b.
Solución a.
b.
NOTA: No importa el orden en el que aparezcan los términos de los binomios, en tanto sean los mismos y no de ellos tenga el signo contrario en este caso y . Ejercicios 1.
Binomio al Cubo Elevar al cubo
2.
3.
4.
5.
equivale a multiplicar tres veces este binomio por sí mismo:
Por binomio al cuadrado tenemos que por , entonces se tiene:
, por lo que solo nos falta multiplicar una vez
Lo anterior traducido del lenguaje algebraico al común: Binomio al cubo
El cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple del producto del primero por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término.
Ejemplos a.
b.
MATEMÁTICAS I. ALGEBRA Unidad de Aprendizaje II. Solución a.
Ejercicios 1.
b.
Obtener el resultado de los siguientes binomios al cubo 2.
3. (
4.(
)
5.
)
Binomios con un término en común Al analizar el producto más general que resulta de multiplicar dos binomios con un término común:
Se concluye que el resultado de multiplicar dos binomios que tienen un término común es: Binomio con término común Ejemplos a.
El cuadrado del término común más la suma algebraica de los términos no comunes por el común, más el producto de los no comunes. b.
c.
Solución a.
b.
c.
Ejercicios 1.
Obtener el resultado de los siguientes binomios con término común 2.
EJERCICIOS ADICIONALES
3.
4.
5.(
)(
)
