IES Prof. Juan Bautista El Viso del Alcor
Matemáticas 2º (Ver. 3) Unidad 9: Sistemas lineales.
UNIDAD 9. SISTEMAS LINEALES. Unidad 9: Sistemas lineales. Al final deberás haber aprendido... El examen tratará sobre... •
•
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Interpretar enunciados que contengan dos incógnitas y traducirlos a lenguaje algebraico. Entender el concepto de solución de un sistema con dos incógnitas como par que representa un punto en el plano. Dominar los métodos de resolución de sistemas lineales de sustitución, igualación y reducción.
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Interpretar gráficamente un sistema lineal y diferenciarlos según sus soluciones.
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Resolver problema sencillos mediante la utilización de sistemas lineales.
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Saber reconocer qué es la solución de un sistema lineal.
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Saber representar gráficamente una ecuaci´lineal.
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Resolver sistemas lineales por los tres métodos estudiados.
•
Resolver gráficamente sistema lineal.
•
Resolver problemas mediante la utilización de algunas técnicas del álgebra.
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un
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Ya dijimos que había muchos tipos de ecuaciones, por ejemplo las de una sola incógnita de primer grado y las de una sola incógnita de segundo grado, que ya sabemos como se resuelven. En este tema aprenderemos a resolver ecuaciones de dos incógnitas de primer grado. Estas ecuaciones reciben el nombre de lineales. Por ejemplo: 3x + 2 = 2y. Empezaremos aprendiendo a representar gráficamente las ecuaciones lineales; es decir, a dibujarlas. Para ello recordaremos el conocido juego de “Los barquitos”. Este es un juego en el que sólo se necesita lápiz y papel y se realiza entre dos personas. Cada una de ellas dibuja, sin que el contrincante lo vea, sobre su papel (mejor que sea cuadriculado) dos cuadrados de dimensiones 10 x 10 cuadrículas. Justo encima del cuadrado se le ponen letras sucesivas (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j), que serán los nomres de las columnas; y a la izquierda se les ponen números seguidos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) nombrando así a las filas. Estos cuadrados dibujados simularán la pantalla de sendos radares que vigilan dos zonas marítimas. En uno se representará nuestra flota y en el otro habrá que ir colocando la flota de nuestro contrincante conforme la vayamos descubriendo. Cada cual dispone de 1 barco de 4 casillas, 2 barcos de 3 casillas, 3 barcos de 2 casillas y 4 barcos de 1 casilla. Podemos colocar nuestra flota distribuida como queramos en nuestra “pantalla” de 10 x 10, con sólo dos condiciones: que los barcos deben estar derechos, es decir, que las casillas de un mismo barco estarán en una única dirección, y que los barcos no se toquen, o sea, que haya al menos una casilla de separación entre uno y otro barco. Nuestro contrincante hará lo mismo en su “pantalla” con sus 10 barcos. El juego consiste en hundir toda la flota antes que el contrario nos la hunda a nosotros. Para ello cada cual, alternativamente, indica mediante un número y una letra, por ejemplo (3,d), la posición a la que disparamos. En este caso será en la cuadrícula donde se cruzan la fila 3 y la columna d. El contrincante nos responderá “¡AGUA!” si en esa posición no había colocado ningún barco; “¡TOCADO!” si hemos acertado una de las casillas de un barco de 2, de 3 o de 4; o “¡HUNDIDO!” si había un barco de 1 única casilla. Si hemos acertado total o parcialmente con un barco “enemigo” continuaremos diciéndole otra posición hasta que su respuesta sea “¡AGUA!”. Entonces pasa el turno al contrario, que hará el mismo proceso. Así sucesivamente hasta que uno descubra la flota completa del contrario. Por ejemplo, así veríamos nuestras pantalla de radar con una posible distribución de nuestros barcos,
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A
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B
C
D
E
F
G
H
I
J
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Este juego está basado en como se representa la Tierra (o una parte de ella) mediante un mapa o un plano. En las Ciencias Sociales se definen unas líneas imaginarias que cruzarían el planeta de Norte a Sur, son los meridianos, y de Este a Oeste, los paralelos. Se fijan uno de cada clase como referencia, que son el Meridiano 0, que es el que pasaría cerca de Castellón, y el Ecuador. A partir de ellos se les va numerando sucesivamente hacia arriba y hacia abajo, en el caso de los paralelos, y hacia la izquierda y la derecha, en el caso de los meridianos. Para determinarlos completamente se les añade una letra: N, si es un paralelo situado al norte del Ecuador; S, si está situado al sur; E, si es un meridiano situado al este del Meridiano 0, o bien O, si se trata de un meridiano situado al oeste del mismo. Las separaciones entre esas líneas se miden en el sistema sexagesimal; es decir, que el primer paralelo que nos encontramos si vamos hacia el norte a partir del Ecuador sería el paralelo 1º N; el siguiente 2º N; cuatro más allá sería el 6º N; mientras que el octavo meridiano hacia la derecha del Meridiano 0 sería el 8º E. La distancia comprendida entre dos líneas consecutivas se subdivide a su vez en 60 minutos, y éstos a su vez en 60 segundos. Utilizando adecuadamente este sistema podemos localizar un punto cualquiera sobre el mapa. Por ejemplo, El Viso del Alcor está situado en el punto 37º 24´ N y 5º 45´ O. Pero volvamos a nuestras ecuaciones, que es de lo que trata el tema.
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De la misma manera utilizamos dos ejes (llamados ejes cartesianos o ejes de coordenadas) para representar gráficamente las ecuaciones que estamos tratando. En el eje horizontal representaremos los valores de la incógnita X y en el eje vertical los valores de la Y. Procederemos de la forma siguiente: Comenzaremos elaborando la llamada tabla de valores, que es una tabla en la que en una columna se ponen los valores que toma una incógnita (la x) y en la segunda iremos escribiendo los valores que le correspondan a la otra incógnita (la y). Iremos dando los valores que queramos a la incógnita x (sería absurdo escoger cantidades complicadas, por tanto deberíamos escoger números enteros sencillos, por ejemplo 2, 1, 0, - 1, - 2) y calculando los que le correspondan a la incógnita y. Pongamos un ejemplo; representaremos la ecuación 3x + y = 4. x
Para calcular los valores de y despejamos la incógnita en la ecuación: y = 4 – 3x
y
A continuación vamos sustituyendo la x por los valores que hemos elegido y pasando las cantidades que vayamos obteniendo a la tabla:
2 1 0
Para x = 2 columna de las y.
y = 4 – 3·2 = 4 – 6 = –2. Lo colocamos en la
-1
Para x = 1
y = 4 – 3·1 = 4 – 3 = 1
-2
Para x = 0
y = 4 – 3· 0 = 4 – 0 = 4
Para x = - 1
y = 4 – 3·(- 1) = 4 + 3 = 7
Para x = - 2
y = 4 – 3·(- 2) = 4 + 6 = 10
La tabla quedaría así: x
y
2
-2
1
1
0
4
-1
7
-2
10
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Vamos señalando los puntos obtenidos como si fuera el juego de los barquitos pero en este caso no se dicen número y letra, sino dos números; el primero corresponde a la x y el segundo a la y. Señalemos el par (2, - 2): Contaremos 2 hacia la derecha (porque es positivo) en el eje X desde el punto donde se cruzan los dos ejes. También contaremos 2 hacia abajo en el eje Y (porque es negativo el segundo número). Donde se cruzan las líneas señalamos un punto. Seguiremos señalando los demás puntos del mismo modo. Para terminar uniremos con una línea los puntos conseguidos y así obtendremos la representación gráfica de la ecuación.
y ( -2, 10)
.
(-1, 7)
.
(0, 4)
.
(1, 1)
.
x (2, -2)
Como puedes observar, la representación gráfica de una ecuación de dos incógnitas y de primer grado es siempre una línea recta Otra observación importante que podemos hacer al observar la gráfica de la ecuación anterior es que, como es una línea recta, y las líneas rectas no tienen fin, o sea, que son infinitas, los puntos que podríamos haber dibujado son también infinitos, y por tanto las posibilidades de parejas de números (uno para la “x” y otro para la “y”) también son infinitas. Por lo que una ecuación lineal tiene infinitas soluciones. Entonces para qué nos sirve todo esto. Pues para muchas cosas. Veamos un ejemplo: Supongamos que Juan y Ana son dos comerciantes que han ido al almacén a comprar fruta. Juan compra 3 cajas de naranjas y 2 de peras costándole todo 335 euros. Mientras tanto, Ana compra 4 cajas de naranjas y 1 de peras por 305 euros. Pero no sabemos a cuánto estaba cada tipo de fruta y queremos averiguarlo. No podemos saber las soluciones (precio de la caja de naranjas y el de peras) aplicando el método explicado anteriormente del QUI-QUI-A-RE-DES-SIM-COM porque aquí hay dos incógnitas. Como vemos, tenemos dos situaciones (la de Juan y la de Ana) en las que hay las mismas incógnitas (el precio de la caja de naranjas y el de peras). Estas situaciones las podemos escribir en forma algebraica de la siguiente manera: La situación de Juan sería: 3n + 2p = 335 El caso de Ana sería: 4n + p = 305 Estas dos ecuaciones están relacionadas entre sí, ya que tienen las mismas incógnitas. Por eso se suelen escribir unidas por una llave ( { ) Forman lo que se llama un sistema de ecuaciones, concretamente de primer grado y dos incógnitas. Hagamos
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unos ejercicios para ponernos en situación adecuada para empezar a resolver los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
1.- Construye la tabla de valores y representa posteriormente en unos ejes cartesianos las siguientes ecuaciones: a) x + 2y = 5
b) –2x + y = 2
2.- Un grupo de amigos han ido al teatro pagando 63 € por 3 entradas de patio y 6 de palco. Otro grupo ha ido al fútbol comprando 2 entradas de gol norte y otras 2 de voladizo por 36 €. Escribe estas dos ecuaciones y explica por qué no forman un sistema. 3.- En un corral, entre conejos y gallinas, se cuentan 17 cabezas y 56 patas. Escribe el sistema corespondiente. 4.- Escribe algebraicamente los siguientes enunciados: a) La suma de dos números es 10. b) La diferencia de dos números es 10. c) Un padre y su hijo se llevan 25 años de diferencia. d) La edad de una madre es triple de la edad de su hijo. 5.- La consumición de 6 bocadillos y 12 refrescos cuesta 18 €. Esta relación se puede escribir con la ecuación 6b + 12 r = 18. Con estos datos, completa las siguientes ecuaciones: a) 12 b + 24r = ¿? c) b + 2r = ¿?
b) 3b + 6r = ¿? d) 5b + 10r = ¿?
6.- A partir de la ecuación 8x + 6y = 3000, completa las siguientes: a) 4x + .....y = 1500 c) .....x + 15 y = 7500
b) .....x + 3y = 1500 d) 24x + .....y = 9000
Estos ejercicios que acabamos de hacer son más o menos fáciles, pero intenta completar la ecuación 3x + 5y = ........., a partir de los datos del ejercicio 6º. Es más complicado, ¿verdad?. A partir de ahora vamos a aprender a resolver este tipo de ecuaciones. Hay varios métodos para resolver los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Nosotros veremos cuatro. ¡Vamos allá!
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1.- Método de sustitución. Consiste en seguir los siguientes pasos:
Despejar una incógnita de las ecuaciones.
●
Sustituir en la otra ecuación esa incógnita por la expresión obtenida. ●
●
Resolver la ecuación resultante.
●
Sustituir esa solución en una de las dos ecuaciones y resolverla.
●
Comprobar las dos soluciones en las dos ecuaciones.
Un ejemplo: 3n + 2p = 335 4n + p = 305 1º. Despejamos p en la primera ecuación:
3n + 2p = 335; (Como 3n estaba sumando, al pasar al otro miembro lo hace restando) 2p = 335 – 3n; (Como la p está acompañada por el 2 multiplicando, pasa al segundo miembro
dividiendo)
p=
335 − 3n 2
2º. Sustituimos en la otra ecuación la letra p por la expresión obtenida: 4n + p = 305; (Al cambiar la p quedará...)
4n +
335 − 3n = 305 ; 2
3º. Resolvemos esa ecuación
4n +
335 − 3n = 305 ; (Recuerda que para resolver una ecuación de primer grado con una sola 2
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incógnita se hace con el qui-qui-a-re-des-sim-com)
2 ⋅ 4n + ( 335 − 3n ) = 2 ⋅ 305 ; 8n − 3n = 610 − 335 ; 5n = 275 ;
n=
275 ; 5
n = 55
4º. Sustituimos ese valor en una de las ecuaciones. Escogemos la segunda porque tiene los coeficientes más sencillos.
4n + p =305; 4⋅55 + p = 305; Resolvemos esa ecuación con el qui-qui-a-re-des-sim-com:
220 + p =305; p = 305 – 220; p = 85 Hemos obtenido así los valores de esas incógnitas: n = 55; p = 85.
5º. Ahora hay que comprobarlo en las dos ecuaciones: 3n + 2p = 335; 3⋅55 + 2⋅85 = 335; 165 + 170 = 335; 335 = 335. 4n + p =305; 4⋅55 + 85 = 305; 220 + 85 = 305; 305 = 305. Como estas dos igualdades son verdaderas, el sistema está bien resuelto.
Por lo tanto las soluciones son: La caja de naranjas estaba a 55 € y la de peras a 85 €
7.- Resuelve por sustitución los sistemas: a)
x + 2y = 5 4x + 2y = 14
b)
x + 2y = 5 2x + y = 7
c) 2x – 5y = –9 3x + 2y = –4
2.- Método de igualación.
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●
Despejar una incógnita en las ecuaciones.
●
Igualar las dos expresiones
●
Resolver la ecuación resultante.
●
Sustituir esa solución en una de las dos ecuaciones y resolverla.
●
Comprobar las dos soluciones en las dos ecuaciones.
Veámoslo con un ejemplo: 3x – 4y = –6 x + 2y = 8 1º. Despejamos una incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a despejar la incógnita x, que es la que tiene los coeficientes más sencillos, en las dos ecuaciones:
3x – 4y = –6 ; x + 2y = 8;
3x = –6 + 4y;
x=
− 6 + 4y 3
x = 8 – 2y
2º. Igualamos las dos expresiones obtenidas. Como los primeros miembros de esas ecuaciones son iguales, los segundos también lo serán. Entonces los igualamos:
− 6 + 4y = 8 − 2y 3
3º. Resolvemos la ecuación obtenida:
− 6 + 4y = 8 − 2y ; 3
–6 + 4y = 3⋅8 – 3⋅2y;
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–6 + 4y = 24 – 6y;
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4y + 6y = 24 + 6;
10y = 30;
y = 30 / 10;
y=3
Ya tenemos el valor de la y.
4º. Sustituimos ese valor en una ecuación. Para calcular el valor de la x sustituimos la y por el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones del principio y la resolvemos. Es mejor escoger la que tiene coeficientes más sencillos. Escogemos la segunda:
x + 2y = 8;
x + 2⋅3 = 8;
x + 6 = 8;
x = 8 – 6;
x=2
5º. Comprobar los resultados. Para ello sustituimos las letras por sus valores en las dos ecuaciones y vemos si nos dan al final igualdades ciertas:
3x – 4y = –6;
3⋅2 – 4⋅3 = –6;
6 – 12 = –6;
–6 = –6.
Veamos ahora en la otra ecuación:
x + 2y = 8;
soluciones obtenidas son:
2 + 2⋅3 = 8;
2 + 6 = 8;
x = 2; y = 3
8.- Resuelve por igualación los sistemas: a)
x + 2y = 5 4x + 2y = 14
b)
x + 2y = 5 2x + y = 7
c) 2x – 5y = –9 3x + 2y = –4
3.- Método de reducción.
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8 = 8. En esta también es cierto, luego las
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Nos fijamos en una incógnita y multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por el coeficiente que tiene la segunda, y los de la segunda por el coeficiente que tiene en la primera. ●
Sumamos (si tienen distinto signo) o restamos (en caso contrario) las dos ecuaciones miembro a miembro. ●
●
Resolvermos la ecuación resultante.
Sustituimos esa solución en una de las dos ecuaciones y la resolvemos. ●
●
Comprobamos las dos soluciones en las dos ecuaciones.
Vamos con un ejemplo:
6x + 5y = 27 8x – 2y = 10 1º. Multiplicar cada ecuación por los coeficientes de una de las incógnitas en la otra ecuación. Elegimos la incógnita y porque tiene los coeficientes más sencillos y signos diferentes. Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 5:
2 ⋅ (6x + 5y) = 2 ⋅ 27;
12x + 10y = 54; Como verás, hemos conseguido
5 ⋅ (8x – 2y) = 5 ⋅ 10;
40x – 10y = 50;
dos ecuaciones en las que una de las incógnitas tiene el mismo coeficiente.
2º. Sumamos miembro a miembro ambas ecuaciones. Como la y tiene distintos signos, sumamos las dos ecuaciones (recuerda que se suman los términos semejantes):
12x + 10y = 54 40x – 10y = 50 52x
= 104;
3º. Resolvemos la ecuación obtenida. Hemos obtenido una ecuación con una sola incógnita. La resolvemos:
52x = 104;
x = 104 / 52;
x = 2.
Ya tenemos el valor de la incógnita x.
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4º. Sustituimos ese valor en una ecuación de las dos y la resolvemos: 6x + 5y = 27; 5y = 15;
6 · 2 + 5y = 27;
y = 15 / 5;
12 + 5y = 27;
5y = 27 – 12;
y = 3.
5º. Comprobar los resultados en las dos ecuaciones: 6x + 5y = 27;
6 · 2 + 5 · 3 = 27;
12 + 15 = 27;
8x – 2y = 10;
8 · 2 – 2 · 3 = 10;
16 – 6 = 10;
27 = 27 10 = 10
Las dos igualdades son ciertas, luego las soluciones obtenidas también lo son: x = 2; y = 3
9.- Resuelve por reducción los sistemas: a)
x + 2y = 5 4x + 2y = 14
b)
x + 2y = 5 2x + y = 7
c) 2x – 5y = –9 3x + 2y = –4
4.- Método gráfico. Para resolver un sistema por este método se representan cada una de las ecuaciones en unos ejes cartesianos, como se ha explicado antes. El punto de corte de las líneas resultantes es el que tiene la coordenadas que “sirven” para las dos
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ecuaciones, por tanto sus coordenadas serán las soluciones del sistema. Veámoslo con un ejemplo con números: x – 2y = 2 x–y=2 Para representar una ecuación se despeja una incógnita, generalmente la y: x – 2y = 2 ;
–2y = 2 – x ;
2y = x – 2 ;
y=
x−2 2
Entonces asignamos una serie de valores (se suelen tomar números sencillos, como el 0, el 1, el 2, el –1 y el –2) a la incógnita “x” y buscamos los valores que toma la “y”. Los escribimos en una tabla de valores. Hagamos las operaciones: Si x = 0 ; la ecuación que nos había resultado y =
y=
x−2 , quedará así: 2
0−2 −2 = = −1 . Hemos obtenido que si “x” vale 0, “y” vale –1. Tenemos el par (0,-1) 2 2 Hagamos lo mismo con los siguientes valores que le hemos dado a “x”: Para x = 1;
y=
x − 2 1− 2 −1 = = = −0´ 5 2 2 2
Para x = 2;
y=
x−2 2−2 0 = = = 0 ; el par será (2,0) 2 2 2
Para x = -1;
y=
x − 2 −1− 2 − 3 = = = −1´ 5 ; obtenemos el par (-1, -1´5) 2 2 2
Para x = -2;
y=
x −2 −2−2 −4 = = = −2 ; el par será (-2, -2) 2 2 2
. Tenemos el par (1, -0´5)
Observa que al escribir los pares siempre el primer número corresponde al valor de “x”, mientras que el segundo corresponde a la “y”. Esto se resume escribiendo la tabla de valores:
X
Y
0
-1
1
-0´5
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2
0
-1
-1´5
-2
-2
Hacemos lo mismo con la otra ecuación: x – y = 2. Despejamos la incógnita “y”, asignamos los mismos valores que antes a la incógnita “x”, hacemos las operaciones correspondientes y vamos anotando los resultados en otra tabla de valores: x – y = 2; - y = 2 – x; y = x – 2;
X
Y
Para x = 0; y = 0 – 2 = –2
0
-2
Para x = 1; y = 1 – 2= –1
1
-1
Para x = 2; y = 2 – 2 = 0
2
0
Para x = –1; y = –1 – 2 = –3
-1
-3
Para x = –2; y = –2 – 2 = –4
-2
-4
Una vez que tenemos las dos tablas de valores las representamos en los ejes cartesianos. Hay que tener recordar que en el eje horizontal se representan los valores de la “x”, y en el vertical los de la “y”. Como se puede observar, las líneas se cruzan en el punto (2,0), por lo tanto la solución del sistema es:
X=2 Y=0
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10.- Resuelve gráficamente los sistemas: a)
x + 2y = 5 4x + 2y = 14
b)
x + 2y = 5 2x + y = 7
c) 2x – 5y = –9 3x + 2y = –4 Para adquirir destrezas te proponemos que resuelvas los siguientes ejercicios. 11.- Resuelve los siguientes sistemas por los cuatro métodos estudiados a)
x + 2y = 5 2x + y = 7
b) x + y = 9 20x – 3y = –4
c) 3x – 2y = 12 x + 5y = 38
d) 5x – y = 23 –9x + 5y = 13
e) x – y = –18 10x – 2y = –12
f)
y – 3x = –8 3y – 5x = y – 3
g) 6x + 5y = 23 –4x + y = –11
h)
6x + 5y = 27 8x – 2y = 10
i)
j)
2x – 5y = 25 3x + 3y = 11
3x + 5y = 27 4x – 3y = 10
12.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 2x – y = 1 x+y=0
b) x – y = 0 x+y=1
c) –x + 4y = –1 2x – 3y = 0
13.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a)
x+y=0 2x + 2y = 4
b)
x+y=0 2x + 2y = 0
c)
x – 2y = 1 –2x + 4y = –2
14.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 2x + 4y = 1 3x + 6y = 3/2
b) 2x + 4y = 1 3x + 6y = 3
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c) 2x + 4y = 1 3x + 4y = 0
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15.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) 3/2 x + 2/3 y = 1 2/3 x – 2/3 y = 0
b) 1/2 x + 1/4 y = 1/8 1/3 x – 1/5 y = 1/5
16.- Halla dos números cuya suma es 14 y su diferencia 8. 17.- Dos números suman 40 y su cociente exacto es 4. ¿Cuáles son esos números? 18.- ¿Qué números son los que su suma y su producto dan la unidad? 19.- Dos números suman doce y sus inversos 12/35. Búscalos. 20.- Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántas habitaciones de cada tipo tiene? 21.- La edad de un padre de familia es triple que la de su hijo. Dentro de 16 años será solamente el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? 22.- Hace un año, la edad del padre era 3 veces mayor que la del hijo, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble. Halla las edades que tienen en la actualidad.
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