´ UNIVERSIDAD DON BOSCO - DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

UNIDAD 5 : ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ´ ´ DE CLASE - SEMANA 10 - CICLO 01-2015 ALGEBRA LINEAL - GUION

Estudiante:

1.

Grupo:

Aplicaciones

1.1.

Aplicaciones. Definici´ on, Ejemplos y Tipos.

Una aplicaci´ on (o funci´ on) entre los conjuntos A y B es una “correspondencia” en la que a todo elemento de A “le hacemos corresponder” un elemento de B y s´ olo uno. f : A → B indica el hecho de que f es una aplicaci´on entre A y B. Al conjunto A se le llama Conjunto de Partida o Dominio de la Aplicaci´ on. Y al conjunto f (A) = {b ∈ B : para alg´ un a ∈ A, f (a) = b} ⊆ B se le llama Conjunto Imagen o Rango de la Aplicaci´ on. Al conjunto B se le llama Conjunto de Llegada. Por ejemplo, f (x) = x2 : Z → Z es la aplicaci´on (Verifique que es una aplicaci´on) tal que: f

2 → 4: f (2) = 4 : a 4 se le llama “imagen de 2 a trav´es de f ” f

−3 → 9: f (−3) = 9: a 9 se le llama “imagen de −3 a trav´es de f ” El Conjunto de Partida es Z. El Conjunto Imagen es N∪ {0}. El Conjunto de Llegada es Z. Una aplicaci´ on (o funci´ on) f : A → B se dice: ◦ Inyectiva Si elementos diferentes tienen im´ agenes diferentes, es decir, si a 6= a0 implica f (a) 6= f (a0 ), o tambi´en, si f (a) = f (a0 ) implica a = a0 . Ejemplos: 1) f (x) = x2 : Z → Z no es inyectiva ya que por ejemplo 3 6= −3 pero f (3) = 9 = f (−3). 2) f (x) = 2x : R → R si es inyectiva, ya que elementos distintos tienen im´agenes distintas.

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◦ Sobreyectiva Si f (A) = B, o equivalentemente, si para todo b ∈ B existe un a ∈ A tal que b = f (a). Ejemplos: 1) f (x) = x2 : Z → Z no es sobreyectiva ya que f (Z) = N∪ {0}; ´o dicho de otra manera: hay elementos en el Conjunto de Llegada (Z) que no son imagen de ning´ un elemento del Conjunto de Partida, por ejemplo, -9,-16,.. 2) f (x) = 2x : R → R si es sobreyectiva, ya que todo elemento del Conjunto de Llegada es imagen de alg´ un elemento del Conjunto de Part´ıda, es decir, f (R) = R. ◦ Biyectiva Si es Inyectiva y Sobreyectiva. Ejemplo: f (x) = 2x : R → R es biyectiva.

2.

Operaciones Binarias

2.1.

Operaciones Binarias. Definici´ on.

Hay aplicaciones (o funciones) que requieren de dos elementos para poder “aplicarse”; por ejemplo, en la operaci´ on suma: A cada par de n´ umeros naturales, les hacemos corresponder un u ´nico n´ umero natural. Por ejemplo, al par (3, 4) le hacemos corresponder el natural 7: +

(3, 4) → 7 En el caso de la resta, −

(3, 4) → −1 la diferencia es que, el resultado no es un n´ umero natural sino un entero. En s´ımbolos: +

−

N × N → N y N × N → Z. Definici´ on 1. Sea A un Conjunto no Vac´ıo. Se llama Ley de Composici´ on Interna u Operaci´ on Binaria y se representa por ∗ a toda operaci´on binaria que a todo par ordenado (a, b) que pertenece a A × A le hace corresponder un c ∈ A, con c = a ∗ b. ◦ La suma de n´ umeros naturales es una operaci´on binaria de N × N → N. ◦ La resta de enteros es una operaci´on binaria de Z × Z → Z. Observaciones: ◦ A × A es el Conjunto de todos los Pares Ordenados (a, b) cuyos elementos a y b est´an en A. ◦ a ∗ b es el resultado de operar a con b, mediante la operaci´on binaria.

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Definici´ on 2. Sea ∗ una operaci´ on binaria sobre un Conjunto S y sea A ⊆ S. Si a ∗ b ∈ A para cualquier par ordenado (a, b) de elementos de A, entonces decimos que A es cerrado ante la operaci´on ∗. Por supuesto que, de S ⊆ S y de que ∗ es una operaci´on binaria en S, se sigue que S es cerrado ante ∗. Ejemplos. ◦ La suma es una operaci´ on binaria sobre Z. Sea P el sub-conjunto de enteros pares de Z. Si (a, b) ∈ P , a + b ∈ P (la suma de pares es par). Por tanto, P es cerrado ante la suma. ◦ El subconjunto I de n´ umeros impares de N, no es cerrado ante la suma. Ej. (3, 9) ∈ I × I pero 3+9∈ / I. Operaci´ on Unaria. Se llama as´ı a la operaci´on que asigna un resultado a partir de un elemento. ↑2

Ej. a → a2 es una operaci´ on unaria.

3.

Propiedades de las Operaciones Binarias.

Sea ∗ una operaci´ on binaria en A:

3.1.

Propiedad Conmutativa

Se dice que ∗ es conmutativa en A siempre y cuando para todo a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a (con un par que no cumpla ya no es conmutativa). Ejemplos: ×

◦ (2, 5) → 10 ×

(5, 2) → 10 × : N × N → N es conmutativa. ◦ La suma de vectores en Rn es conmutativa. ~u + ~v = ~v + ~u. ◦ La diferencia de enteros no es conmutativa. 15 − 11 6= 11 − 15.

3.2.

Propiedad Asociativa.

Se dice que ∗ es asociativa en A siempre y cuando para todo a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) (con una terna que no cumpla ya no es asociativa). Ejemplos: +

◦ R × R → R es asociativa. ◦ La suma de vectores en Rn es asociativa. ◦ La divisi´ on en Q no es asociativa: (80 ÷ 4) ÷ 2 6= 80 ÷ (4 ÷ 2). Estructuras Algebraicas - Mayra Morales

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3.3

3.3.

Elemento Identidad.

Elemento Identidad.

Un elemento e ∈ A se llama elemento identidad para ∗ siempre y cuando, para todo a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a. Ejemplos: +

◦ El elemento e de R para R × R → R es 0 : a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ R. ×

◦ El elemento e de R para R × R → R es 1 : a × 1 = 1 × a = a, ∀a ∈ R. −

◦ El elemento 0 de R no es el ”e” para R × R → R es: a − 0 6= 0 − a ∀a 6= 0 ∈ R.

3.4.

Inversos

Supongamos que A tiene un elemento identidad e ∈ A. Entonces, el elemento b se llama inverso de a, siempre y cuando a ∗ b = b ∗ a = e, a, b ∈ A. Ejemplos. ×

◦ Sea x ∈ Q, con Q×Q → Q una op. binaria. Entonces 2y

1 2

1 x

es el inverso de x (x 6= 0). Ej. 2× 12 = 21 ×2 = 1;

son inversos mutuamente. +

◦ Sea a ∈ Z y Z × Z → Z una op. binaria. Entonces −a es el inverso de a. Ej. 5 + (−5) = (−5) + 5 = 0, 5 y −5 son inversos mutuamente.

3.5.

Distributividad

Sea ⊕ tambi´en una operaci´ on binaria en A. Si para cualesquiera a, b, c ∈ A, a ∗ (b ⊕ c) = (a ∗ b) ⊕ (a ∗ c) se dice que la op. ∗ es distributiva sobre la op. ⊕. Por ejemplo, la multiplicaci´on usual en R es distributiva sobre la suma, pues a × (b + c) = a × b + a × c ∀a, b, c ∈ C.

3.6.

Propiedades de Cancelaci´ on.

Para cualesquiera a, b, c ∈ A y a 6= 0 si a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c y si b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c Esta propiedad se cumple en la suma y multiplicaci´on en R.

3.7.

Elemento Idempotente

Un elemento a ∈ A recibe el nombre de “elemento idempotente” con respecto a la operaci´on ∗, si a ∗ a = a. Ejemplos. ◦ 0 es un elemento idempotente bajo la suma ya que 0 + 0 = 0. ◦ 0 y 1 son elementos idempotentes bajo la multiplicaci´on, ya que 0 × 0 = 0 y 1 × 1 = 1. Estructuras Algebraicas - Mayra Morales

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4.

Homomorfismos

4.1.

Homomorfismos. Definici´ on y Ejemplos.

Sean (A, ∗) y (B, ◦) dos conjuntos dotados con las operaciones binarias ∗ y ◦ respectivamente, entonces la funci´ on f : A → B se dice que es un homomorfismo entre (A, ∗) y (B, ◦) si para cualesquiera x, y ∈ A f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y) ∈ B. Ejemplos. 1. Sea f : (R, +) → (R, +) dado por f (x) = 2x. ¿Es f un homomorfismo? es decir, ¿f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ Z?. En efecto, f (x + y) = 2 (x + y) = 2x + 2y................................. (1) y f (x) = 2x

y

f (y) = 2y

=⇒ f (x) + f (y) = 2x + 2y....... (2)

De (1) y (2) se tiene que f (x + y) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ Z. Por tanto, f : (R, +) → (R, +) dado por f (x) = 2x es un homomorfismo. 2. La aplicaci´ on f dada por f (x) = exp (x) es un homomorfismo de (R, +) en (R, ·) ya que: f (x + y) = exp (x + y) = exp (x) · exp (y) = f (x) · f (y) ∀x, y ∈ R. 3. La aplicaci´ on f : (M2 , ·) → (R, ·) dada por " f

#!

a

b

c

d

= ad − bc

es un homomorfismo. Ya que si A, B son matrices de orden 2: f (A · B) = det (A · B) = det (A) · det (B) = f (A) · f (B) .

4. f : (Z, +) → (Z, +) dada por f (x) = x + 2 no es un homomorfismo ya que: f (x + y) = (x + y) + 2 = x + y + 2........................ (1) y f (x) + f (y) = (x + 2) + (y + 2) = x + y + 4......... (2)

De (1) y (2) tenemos que f (x + y) 6= f (x) + f (y), por tanto, f no es un homomorfismo.

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4.1

Homomorfismos. Definici´on y Ejemplos.

* Ver otros ejemplos en el Libro de Texto. Un homomorfismo es una funci´ on, as´ı que puede ser inyectivo, sobreyectivo o biyectivo, o ninguno. ◦ Un homomorfismo inyectivo se llama “monomorfismo”. ◦ Un homomorfismo sobreyectivo se llama “epimorfismo”. ◦ Un homomorfismo biyectivo se llama “isomorfismo”. ◦ Si los Conjuntos de Part´ıda y Llegada del homomorfismo son iguales, al homomorfismo se le llama “endomorfismo”. ◦ Un endomorfismo que adem´ as es biyectivo se llama “automorfismo”.

Ejemplo. f : (R, +) → (R, +) dado por f (x) = 2x es un automorfismo.

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