Matemática

1° Medio

UNIDAD 2. Lenguaje algebraico GUÍA N° 1 Evaluación de Expresiones Algebraicas

Conceptos básicos El lenguaje algebraico es una de las principales formas del lenguaje matemático y es mucho más que letras y números. Muchos problemas de la vida real se pueden traducir a un lenguaje algebraico y luego, usando este lenguaje, se intenta encontrar procedimientos de resolución para dar respuestas al problema. Pero antes de poder hacer eso, es necesario familiarizarse con este lenguaje. El álgebra usa letras y números. Las letras representan números que pueden ser conocidos o desconocidos. La expresión más simple se denomina término, y consta de un signo (+ ó -), una parte numérica y una parte literal. 2

A modo de ejemplo:


-5x

y Signo

Notas:

Parte Numérica

Parte Literal

1. Si el signo es “+”, no es necesario escribirlo. 2. Si la parte numérica es 1, no es necesario escribirla. 3. Entre cada componente de un término hay una multiplicación. Es decir, -5x2y es lo mismo que escribir: -5 · x2 · y

Sumando y/o restando diversos términos podemos construir expresiones más largas. A la suma (o resta) de dos términos lo denominamos binomio, a la de tres términos trinomio, y para sumas (o restas) más largas usamos el nombre polinomio. Lo primero con lo que debe uno familiarizarse es con la evaluación de expresiones: Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por valores numéricos.

(

)(

)

Por ejemplo, si queremos evaluar la expresión a x – a ⋅ a x + a , debemos saber (o tal vez inventar) el valor numérico de a y el de x. Nosotros inventaremos: usaremos a = 2 y x = 3. En este caso, el enunciado queda así: (23 – 2)(23 + 2) = (8 – 2)(8 + 2) = 6 · 10 = 60.

1 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

ACTIVIDADES

1. 1. Evalúa las expresiones a – b 1.1 a = 13; b = 5

y

b–a

para los siguientes valores de a y b:

1.2 a = -6; b = 10

1.3 a = 5,6; b = -8,2

¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración! (Si con los tres ejemplos aún no puedes sacar ninguna conclusión, invéntate otros valores para a y b y calcula). 2. Evalúa las expresiones 2.1 a = 9; b = 16

a+b

a+ b

y

para los siguientes valores de a y b:

2.2 a = 36; b = 64

¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración!

3. Evalúa las expresiones x – (3x – 1) 3.1 x = 8

3.2 x = -4

y

1 – 2x

para los siguientes valores de x:

1.3 x = 0

¿Qué conclusión puedes sacar de lo calculado? ¡Redacta una oración!

Los tres ejemplos anteriores te muestran que dos expresiones algebraicas pueden ser iguales, parecidas o completamente distintas. En las siguientes guías aprenderás a decidir eso, SIN tener que evaluar. Pero en caso de duda, siempre puedes evaluar.

4. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son iguales entre sí? Intenta con diferentes valores y luego decide. 4.1 (a – b)2

4.2 a2 – b2

4.3 (a + b) · (a – b)

4.4 a2 – 2ab + b2

5. Para saber el estado nutricional de una persona, se puede calcular el Índice de Masa Corporal (IMC). Para eso se divide la masa m (en kilogramos) por el cuadrado de la estatura h (en metros). Si el IMC está entre 18,5 y 25, se cataloga como normal; entre 25 y 30 se considera sobrepeso y sobre 30 se considera obesidad. Bajo 18,5 se considera infrapeso. Usando álgebra, el IMC se expresa como

m . h2

5.1 Calcula tu IMC, usando una calculadora. 5.2 Prueba con diferentes valores. Plantéate diferentes situaciones o preguntas y discútelas con tu compañero.

2 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

GUÍA N° 2 OPERATORIA BÁSICA DEL ÁLGEBRA Como vimos anteriormente, a veces dos expresiones algebraicas son equivalentes. Eso se puede comprobar evaluando las expresiones y verificando que los resultados coinciden. Ahora veremos cómo simplificar una expresión, es decir, cómo obtener una nueva expresión que sea equivalente a la expresión original, pero más simple. ► Suma y resta Sólo se puede simplificar una suma (o resta) de términos si hay términos semejantes. Términos semejantes son términos que poseen exactamente la misma parte literal. ¿Cómo se suman (o restan) términos semejantes? Se suman (o restan) las partes numéricas. El factor literal se mantiene. Ejemplo: 3x2y + 4x2y – 6xy = 7x2y – 6xy Nota: Sólo los dos primeros términos son semejantes. El tercero no tiene exactamente la misma parte literal, por lo tanto no se puede juntar con los otros dos. El resultado ya no se puede simplificar más.

► Multiplicación A diferencia de la suma, siempre se puede simplificar una multiplicación de términos. No necesitan ser términos semejantes. Para multiplicar términos, multiplicamos las partes numéricas entre sí y las partes literales entre sí. Ejemplo: 3x2y · 4x2y · 6xy = 72x5y3 Nota:

1. Multiplicamos las partes numéricas entre sí: 3 · 4 · 6 = 72. 2. Multiplicamos las partes literales entre sí. Para eso, multiplicamos las x entre sí, y las y entre sí. x2 · x2 · x = x2 + 2 + 1 = x5 y · y · y = y1 + 1 + 1 = y 3

► Prioridad de operaciones y uso de paréntesis El orden de las operaciones es: restas

Primero: Multiplicaciones y divisiones. Después: Sumas y

Si se desea alterar este orden, se debe usar paréntesis. Para eliminar paréntesis se utilizan ciertas reglas. ♦ Si al paréntesis lo antecede un signo “+”, se puede eliminar sin problema. ♦ Si al paréntesis lo antecede un signo “–”, se elimina tanto el signo “–” como el paréntesis, pero se cambian los signos de todos los términos dentro del paréntesis. Otras reglas se analizarán en las actividades.

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ACTIVIDADES

1. 1.1 Calcula y compara: a) 5p3q + 7p3q 1.2 ¿Es cierto que x + y = y + x?

b) 7p3q + 5p3q

2. 2.1 Calcula y compara: a) 12m2 – 4m2 2.2 ¿Es cierto que x – y = y – x?

b) 4m2 – 12m2

3. 3.1 Calcula y compara: a) (9ab + 3ab) + ab 3.2 ¿Es cierto que (x + y) + z = x + (y + z)?

b) 9ab + (3ab + ab)

4. 4.1 Calcula y compara: a) 4a3bc2 · 6ab3c3 4.2 ¿Es cierto que x · y = y · x?

b) 6ab3c3 · 4a3bc2

5. 5.1 Calcula y compara: a) (-2ab2 · 3ac3) · ac 5.2 ¿Es cierto que (x · y) · z = x · (y · z)?

b) -2ab2 · (3ac3 · ac)

6. 6.1 Calcula y compara: a) 2a · (a + 5a) 6.2 Calcula y compara: a) 4m2 · (3mn – 8m) 6.3 ¿Es cierto que x · (y + z) = x · y + x · z?

b) 2a · a + 2a · 5a b) 4m2 · 3mn – 4m2 · 8m

7. Busca en Internet los siguientes conceptos: “Propiedad Conmutativa de la suma”; “Conmutatividad de la multiplicación”; “Propiedad Distributiva”; “Asociatividad de la suma”; “Propiedad asociativa de la multiplicación”. Relaciona con los ejercicios anteriores. Confecciona un resumen en tu cuaderno. 8. Un terreno rectangular consta de un sector donde hay una casa, y de otro sector que se utiliza como jardín. Esto lo ves en el esquema de la derecha. a) ¿Cuál es el área del terreno completo? b) Compara con tus compañeros: ¿Todos hicieron el mismo cálculo que tú? c) ¿Utilizaste alguna de las propiedades anteriores? En caso de ser así, ¿cuál?

3b a

Casa

4a

9a

9. Un terreno rectangular fue dividido en cuatro terrenos rectangulares más pequeños, como ves en la figura de la derecha. a) Aparte de calcular el área usando el rectángulo grande, es posible descomponer el rectángulo en partes, como ves más abajo. ¿Hay alguna otra descomposición posible, además de las que te mostramos? b) Calcula el área en cada caso.

+

+

3b a

Jardín

+

d c a

b

+

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GUÍA N° 3 PRODUCTOS NOTABLES La propiedad distributiva establece que: a · (b + c) = a · b + a · c. En su forma más general plantea que: (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d. Los llamados productos notables son casos especiales de la forma más general de la propiedad distributiva. Si uno conoce los productos notables, puede acortar considerablemente los cálculos. Estos productos nacen de las siguientes preguntas: ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es exactamente igual al primero? ¿Qué sucede si el segundo paréntesis es exactamente igual al primero, excepto por un signo? Se obtienen las tres fórmulas siguientes:

► Cuadrado de binomio Fórmulas: (a + b)2 = a2 + 2ab +b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

(a+b) a

2

=

ab

b2

a2

ab

a + b

La primera se puede explicar mediante el siguiente esquema:

+b

► Suma por diferencia Fórmula: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

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ACTIVIDADES

1. Usa la propiedad distributiva para demostrar las fórmulas de los productos notables.

2. Explica la segunda fórmula del cuadrado del binomio usando algún esquema. Trata primero por tu cuenta. Si no se te ocurre, busca en Internet.

3. Calcula las siguientes expresiones. Verifica tu resultado evaluando. a) (x + 2)2 b) (4a – 1)2 c) (x + 2y)(x – 2y) d) (7m – 3n)(7m + 3n)

4. ¿Qué expresiones faltan en cada caso? Rellena los espacios que faltan para obtener dos expresiones equivalentes. a) (3x + █)2 = █ + █ + 49

b) (█ – 4)2 = █ – 48y + █

c) (█ + █)2 = 4x2 + 32x + █

5. 5.1 ¿Qué sucede si en vez de un binomio se tiene un trinomio dentro del paréntesis? Deduce una fórmula para (a + b + c)2. 5.2 Prueba tu resultado calculando (3 + 4 + 2)2 con tu fórmula y sin tu fórmula. 5.3 Calcula y verifica evaluando: a) (3m – 4n + 7q)2 b) (5p – 3q + 10r)2

Aunque normalmente asociamos las fórmulas de los productos notables con el álgebra (y por lo tanto con letras), pueden ser muy útiles también para hacer cálculos numéricos. Ejemplo. Calcular 28 · 32 Fíjate que 28 se puede escribir como 30 – 2 y que 32 se puede escribir como 30 + 2. Es decir: 28 · 32 se puede escribir como (30 – 2)(30 + 2), ¡que es una suma por diferencia! Aplicamos la fórmula y obtenemos que 28 · 32 = (30 – 2)(30 + 2) = 302 – 22 = 900 – 4 = 896. Es más fácil calcular 302 y 22 y restar, que multiplicar 28 por 32, ¿cierto?

6. Usa los productos notables para calcular los siguientes ejercicios: a) 41 · 39 b) 102 · 98 c) 252

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GUÍA N° 4 FACTORIZACIÓN Hasta el momento hemos utilizado la propiedad distributiva y los productos notables para eliminar paréntesis que pudiera haber en una expresión y luego simplificar. Sin embargo hay muchos ejercicios en que se requiere hacer justamente lo contrario, es decir poner paréntesis. Este proceso se conoce como factorización. Factorizar es transformar una suma o resta en una o varias multiplicaciones, o, dicho de otra manera, factorizar es descomponer en dos o más factores. En general factorizar es más complicado que eliminar paréntesis, pues uno debe reconocer qué ejercicio había originalmente y eso requiere de ejercitación. Además hay expresiones que no se pueden factorizar.

A continuación te presentamos una pauta que puedes seguir para tratar de factorizar un ejercicio:

► Busca factor común: Esto consiste en “deshacer” la propiedad distributiva. Normalmente se presenta en dos situaciones: ac + ad = a (c+d) (a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d) ¿Cómo reconocerlo? → Un factor (o varios factores) debe repetirse en cada término de la suma. (En el primer ejemplo era “a”. En el segundo era “(a + b)”). Ese es el factor común.

► Busca si hay diferencia de cuadrados (suma por diferencia): ¿Cómo reconocerlo? →

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

1. Debe haber dos términos. 2. Ambos términos deben ser cuadrados perfectos. 3. Ambos términos deben estar restados. (Para ser más precisos, deben tener distinto signo).

► Busca si hay un trinomio cuadrado perfecto (cuadrado de binomio): a2 ¿Cómo reconocerlo? →

± 2ab + b2 = (a ± b)2

1. Debe haber tres términos. 2. Dos términos deben ser cuadrados perfectos. 3. El tercer término se debe verificar aparte.

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► Busca si hay un trinomio de la forma x2 + px + q Este trinomio se factoriza: x2 + px + q = (x + a)·(x + b), con a + b = p y a · b = q ¿Cómo reconocerlo? → Debe haber un polinomio de segundo grado. El coeficiente de x2 debe ser 1. ¿Cómo factorizarlo? → Busca dos números, a y b, que sumados den p (el coeficiente de x) y que multiplicados den q (el coeficiente libre)

► Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores: Ejemplo: ac + bc + ad + bd = c ( a + b ) + d ( a + b ) =     agrupamos estos dos

( a + b )·( c + d )

agrupamos estos dos

► Recuerda que si no logras factorizar un ejercicio, puede ser porque no se te ocurrió el método correcto, o tal vez porque se debe usar algún método que desconoces (hay muchos métodos más aparte de los que mencionamos) o simplemente porque no se puede factorizar. En este caso, la respuesta es: “no puedo factorizar este ejercicio con los métodos que disponemos”. Si hay más de tres términos, agrupa algunos de ellos y aplica los métodos anteriores:

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ACTIVIDADES Inicio

1. A la derecha ves un diagrama de flujo que explica cómo sacar factor común. ¿Hay sumas?

a) Analiza el diagrama de flujo con tu compañero. b) Usa el diagrama para tratar de factorizar las siguientes expresiones: 1.1 1.3 1.5 1.7

2

2

xy + y w 24a3b2 – 12a3b3 x(a + 7) + 5(a + 7) 8a – 8abc

1.2 1.4 1.6 1.8

no

sí

2

5xy – 15y 4xy + 8xy2 – 12xy3 2x(a – 1) – 3y(a – 1) 3x + 5y + z

¿Hay algún factor que se repita en cada término?

2. a) Construye un diagrama de flujo para la diferencia de cuadrados. sí b) Construye un diagrama de flujo para el trinomio cuadrado perfecto. Saca b) ¿Puedes hacer un diagrama de flujo que fusione los dos factor común diagramas anteriores c) Puedes hacer un diagrama que fusione “factor común”, “diferencia de cuadrados” y “trinomio cuadrado perfecto”?

no

No hay factor común

3. Factoriza las siguientes expresiones. Ten presente que se quiere factorizar al máximo, es decir puedes aplicar varios métodos uno tras otros. No te detengas hasta que hayas comprobado que ningún método funciona más. 3.1 x2 – 100 3.4 16x2 + 8x +1 3.7 x2 + 8x + 15 3.10 xm – ym + xn – yn

3.2 25a2 – 144b2 3.3 9x2y4 – 121z8 2 3.5 4y – 24y + 36 3.6 25x2 + 30xy + 9y2 2 3.8 n + n – 20 3.9 m2 – 12m + 27 2 2 2 2 2 3.11 a x – 8bx + a y – 8by2

4. La expresión x2 + 6x + 9 puede analizarse como trinomio cuadrado perfecto y también como trinomio de la forma x2 + px + q. ¿Cuál de las dos debe privilegiarse? ¿O da lo mismo? 5. Calcula los siguientes ejercicios de la manera más eficiente posible: 5.1 3 · 15 – 3 · 12 – 3 · 3 5.3 772 – 232

5.2 5.4

0,2 · 3,5 + 0,2 · 1,5 – 0,2 · 4 142 - 16

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