UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 Definición y Clasificación de las Ecuaciones ...
UNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 1.1 Definición y Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es aquélla que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Ejemplos:
dy = 2 xy dx
∂u ∂ 2 u − =0 ∂t ∂x 2
D y − 4 Dx y + 5 = 3x 2 x
Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar en base a varios criterios: Según el tipo: ordinarias o parciales, dependiendo si las derivadas son ordinarias o parciales. Según el orden y el grado: el orden de la ecuación es el orden de la más alta derivada, y el grado es el exponente al cual está elevada esa misma derivada. La mayoría de las ecuaciones diferenciales que surgen de aplicaciones prácticas son de primer o segundo orden. Según la linealidad: es lineal si se puede reacomodar en la forma:
an ( x )
dny d n−1 y dy ( ) a x + + a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x ) n−1 n n−1 + dx dx dx
es decir, tiene que cumplir con las siguientes condiciones: (a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado (es decir, y y sus derivadas están elevadas a la potencia 1), y (b) cada coeficiente a depende sólo de la variable independiente x (constantes y cero también son valores válidos para los coeficientes). Ejemplos de ecuaciones lineales:
y′′− 2 y′+ y = 0
x3
2 d3y dy 2 d y − x +5 y = ex 3 2 + 3x dx dx dx
xdy + ydx = 0
Ejemplos de ecuaciones no lineales:
y′′− 2 y′ = sen y
d3y 2 3 + y =0 dx
x
4 d 3 y ⎛ dy ⎞ − 2 ⎜ ⎟ + y=0 ⎝ dx ⎠ dx3
1.2 Soluciones de las ecuaciones diferenciales Definición de solución: Se dice que una función f cualquiera, definida en algún intervalo I , es solución de la ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad. Ejemplos:
y = 3e x es solución de y′′− 2 y′+ y = 0
y=
dy x4 es solución de − xy1/ 2 = 0 dx 16
Resolver una ecuación diferencial es encontrar una o todas las funciones que son soluciones de esa ecuación diferencial. REVISIÓN 1 – 63897.55
Página 1-1
UNIDAD 1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Solución trivial: Es aquélla que es idénticamente igual a cero. Por ejemplo, y ′ = y sen x .
y = 0 es solución trivial de
Solución general (o familia de soluciones): es aquélla que contiene parámetros arbitrarios (constantes). Al x resolver una ecuación de orden n se obtienen n parámetros arbitrarios. Ejemplo: y = ce es una solución general de y′− y = 0 . Solución particular es aquélla en la que se han determinado valores específicos de los parámetros x x arbitrarios. Ejemplo: y = 5e y y =−2e son soluciones particulares de y′− y = 0 . Solución singular: Es una solución que no se puede obtener asignando valores a los parámetros de la solución general. Ejemplo: y = e es la solución general de yy ′′ = ( y ′ ) . La solución singular y = 2 también satisface la ecuación diferencial, pero no puede obtenerse a partir de la solución general con ningún valor del parámetro c . 2
cx
Solución explícita: Es aquella en la que la variable dependiente aparece despejada. Ejemplo:
y = sen x es una solución explícita de y′′+ y = 0
Solución implícita: Es aquella que no está despejada para la variable dependiente. Ejemplo:
x 2 + y 2 = 4 es solución implícita de
dy x =− . dx y
En algunos casos, se puede despejar la variable dependiente para convertir una solución implícita en explícita, pero no siempre es recomendable hacerlo pues en el proceso de despejarla puede cambiar la 2 naturaleza matemática de la solución. Si en el ejemplo anterior se despeja y para obtener y = 4 − x , la gráfica de la función ya no es la misma. Solución definida por partes: Es aquella para la que se emplean diferentes expresiones algebraicas en diferentes intervalos. Ejemplo:
