UNA LEY DE PROBABILIDAD PARA EL ESTUDIO DE LOS FLUJOS DE CAJA DE UNA INVERSION

RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO HERMINIA CALVETE FERNÁNDEZ Departamento de Estadística Económica y Empresarial. Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales Universidad de Zaragoza. SUMMARY Se propone un modelo probabilístico para el flujo de caja de una inversión en el periodo t. Se calculan sus principales características estocásticas y se compara con los modelos más utilizados habitualmente: las distribuciones beta, triangular y uniforme. KEY WORDS: Modelo probabilístico. Flujo de caja de una inversión.

1. INTRODUCCIÓN En los problemas de selección de inversiones mediante los criterios d el valor actual neto (V.A.N.) o valor capital (V.C.) una de las mayores dificultades prácticas con que se encuentra el analista al evaluarlas y posteriormente seleccionarlas es la determinación de una estimación fiable de los flujos de caja pesimista, más probable y optimista que genera la inversión en el periodo t (respectivamente Q t p , Q tm , Q to ), así como del modelo probabilístico que mejor se adapta al comportamiento de dicho flujo de caja (Qtr ). Esta dificultad nace de la escasa información, de que, en general, dispone y se ve acentuada por el tiempo limitado que puede usar para resolver el problema. Por estas razones, en la práctica, se utilizan distribuciones que no han sido contrastadas, mediante test adecuados de ajuste, en cada problema particular. Entre los modelos más usados se encuentran las distribuciones de probabilidad continuas beta, triangular y uniforme. Esta última requiere un nivel de información mínimo que permita dar estimaciones de Qto y Qt p mientras que cualquiera de las dos primeras precisa de un nivel de información superior para poder, además, estimar puntualmente Qtm en general, es precisamente esta

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estimación la más comprometida y difícil de realizar con un grado alto de precisión. La distribución uniforme se utiliza fundamentalmente cuando no se dispone de información adecuada para estimar Qtm y aunque su cálculo es muy simple, presenta el inconveniente de que su gran varianza conduce a resultados excesivamente pesimistas. La distribución triangular se emplea casi exclusivamente cuando aún pudiendo dar una estimación del valor Qtm , ésta no merece una gran confianza por parte del analista, ya que dicha distribución no resalta tanto el valor de Qtm frente a los valores Qto y Qt p como la distribución beta. Esta distribución, la más habitualmente usada, ha sido fuertemente criticada ya que al utilizarla como aplicación de la metodología PERT-tiempo con incertidumbre, en la valoración de las inversiones con riesgo, se realizan ciertas simplificaciones (véase Suárez, 1980, pp. 148-149) en el cálculo de las dos principales características estocásticas, basándose en dos relaciones entre los parámetros p y q de la distribución, que no tienen justificación teórica sólida, viniendo avaladas, exclusivamente desde el punto de vista práctico, por su facilidad operativa. Dichas simplificaciones dan lugar a resultados que minorizan la varianza total, obteniéndose por tanto conclusiones optimistas, lo que está en contradicción con la práctica común del PERT de escoger la ruta de mayor varianza puesto que al reflejar mayor incertidumbre concluye con resultados más conservadores. Más detalles pueden encontrarse en Hillier y Lieberman, 1982 pp. 247-248; Taha, 1981, p. 374; Yu, 1980, p. 158. Otras estimaciones subjetivas de la media y la varianza basadas en la utilización de percentiles pueden verse en Perry y Greig, 1975. En este trabajo se propone un modelo probabilístico alternativo, para el flujo de caja en el periodo t, que requiere un nivel de información intermedio pues la estimación puntual del valor más probable

Qtm es sustituida por una estimación

por intervalo ( Q tm 1 , Qtm 2 ). Dicha estimación puede llevarse a cabo proponiendo un nivel de confianza determinado de forma análoga a la filosofía básica del método general de Neyman de construcción de intervalos de confianza y modificando las colas de la distribución, o proponiendo los valores Qtm1 y

Qtm 2 como extremos del intervalo donde se encuentra Qtm obteniéndose en este caso la "confiabilidad del intervalo" a posteriori. La distribución propuesta puede servir asimismo de alternativa a la distribución beta en la metodología general del PERT.

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2. MODELO PROBABILÍSTICO TRAPEZOIDAL Se considera una ley de probabilidad cuya función de densidad tiene una representación gráfica trapezoidal (ver figura 1.), siendo las intersecciones con el eje de abcisas los flujos de caja pesimista y optimista, y determinando la proyección de la base menor sobre dicho eje el intervalo donde debe encontrarse el flujo de caja más probable.

p

Qt Qt

m1

Qt

m2

Qt

o

Figura 1 Tal ley de probabilidad puede considerarse como una distribución intermedia entre la triangular y la uniforme, coincidiendo con la primera en el caso límite Qtm1 = Qtm 2 y con la segunda cuando Qtm1 = Qt p y Qtm 2 = Qto . La función de densidad es:  0  r p k ( Q t − Qt )   Q m1 − Q p t f (Q tr ) =  t k   k (Q to − Qtr )   Q to − Qtm2

Qtr ≤ Q t p , Q tr ≥ Q to Q tp < Qtr < Q tm1 Q tm1 ≤ Qtr ≤ Qtm2 Q tm 2 < Qtr < Q to

Los momentos respecto al origen pueden calcularse haciendo uso de la siguiente fórmula: k E ( Q tr ) n = (Q to ) n +1 + Q tm 2 ( Q to ) n + (Q tm 2 ) 2 ( Qto ) n −1 + ... ( n + 2 )( n + 1)

[

]

[

+ (Q tm 2 ) n −1 (Q to ) 2 + (Q tm2 ) n Qto + ( Q tm 2 ) n +1 − (Q t p ) n +1 − Q tm1 (Q t p ) n − − (Q tm1 ) 2 ( Q tp ) n −1 − ... − (Q tm1 ) n −1 (Q tp ) 2 − (Q tm1 ) n Q t p − ( Qtm1 ) n +1

]

En particular, para n = 0, 1 y 2 se obtienen la constante normalizadora, K, y las dos principales características estocásticas de la distribución:

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k =

2 ( Qto

+

m Qt 2

m

) − (Q tp + Qt 1 )

valor esperado

[ ]

E Q tr =

 1 o Q to Qtm2 − Qt p Q tm 1 m m p Qt + Qt 1 + Q t 2 + Qt − o  m p m 2 1 3  (Q t + Q t ) − (Q t + Q t ) 

y varianza

[ ]

[

1 (Qto + Qtm2 ) 2 + (Qtp + Qtm1 ) 2 − 18 o − (Qt + Qtm2 )(Qtp + Qtm1 ) − 3(Qto Qtm2 + Qtp Qtm1 ) +

V Qtr =

+

[

]

(Qto Qtm2 − Qtp Qtm1 ) (Qto ) 2 + (Qtm2 ) 2 − (Qtp ) 2 − (Qtm1 ) 2  2  (Qto + Qtm2 ) − (Qtp + Qtm1 ) 

[

]

El modelo trapezoidal queda determinado si se asignan valores a los cuatro parámetros, Qtp , Qtm1 , Qtm 2 , Qto ; en ese caso, la probabilidad del "intervalo modal" [ Qtm1 , Qtm 2 ] viene dada por: P( Qtm1 ≤ Q tr ≤ Q tm 2 ) =

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2( Qtm2 − Qtm1 ) m

m

(Q to + Q t 2 ) − (Q tp + Q t 1 )

Puede también determinarse dando valores a los flujos de caja optimista y pesimista y asignando una probabilidad α al “intervalo modal”; en ese caso, los valores

Qtm 1 y Qtm 2 se obtendrían resolviendo el sistema:  Q tm1 − Q t p α1 = ( Q to + Q tm 2 ) − (Q t p + Q tm1 )    Q to − Q tm 2  α2 = (Q to + Q tm 2 ) − ( Q t p + Q tm 1 )   α + α = 1 − α  1 2

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3. MODELO TRAPEZOIDAL SIMÉTRICO Un caso particular de la anterior distribución, de gran interés por la notable simplificación que ofrece el cálculo de las principales características estocásticas, se presenta cuando la distribución representada en la figura 1. es simétrica, es decir, cuando

Qtm1 − Qt p = Qto − Qtm2 En este caso, la ley de probabilidad está definida por la función de densidad  0  r p k ( Q t − Qt )   Q m1 − Q p t f (Q tr ) =  t k   k (Q to − Qtr )   Q tm1 − Qt p

Qtr ≤ Q t p , Q tr ≥ Q to Q tp < Qtr < Q tm1 Q tm1 ≤ Qtr ≤ Qtm2 Q tm 2 < Qtr < Q to

siendo k =

1 m Qt 2

− Qt

p

=

1 Q to

m1

− Qt

La media y la varianza vienen dadas por: Q o + Qtp E Q tr = t 2 1 r m2 p 2 V Qt = ( Q t − Q t ) + ( Q to − Q tm 2 ) 2 12 1 V Q tr = ( Q to − Q tm 1 ) 2 − (Q tm1 − Q t p ) 2 12 Puede observarse que la media de esta distribución, que es independiente del intervalo en el que está el valor más probable, coincide con la media de la distribución uniforme en el intervalo ( Qt p , Qto ). Además, la varianza es la suma

[ ]

[ ] [ ]

[ [

] ]

de las varianzas de dos uniformes en los intervalos ( Qtm1 , Qto ) y ( Qt p , Q tm 1 ) ó ( Qt p , Qtm 2 ) y ( Qtm 2 , Qto ) por lo que es menor que la varianza de la distribución uniforme en ( Qt p , Qto ). Por otro lado, al comparar las varianzas de la distribución triangular con moda Q tm ε ∈ [ Q tm 1 , Qtm 2 ] y de la dis tribución trapezoidal simétrica se observa que:

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[ ]

V ∆ Qtr =

[

1 (Qto − Qtp ) 2 − (Qtm − Qtp )(Qto − Qtm ) 18

[ ] [ ] − 2 [( Q − Q )( Q

V ∆ Q tr = VTP Q tr − o t

m1 t

m1 t

1 36

{ [( Q to

− Q tm 1 ) − ( Q tm1 − Q t p )

]

2

− Q t p ) + 2 (Q tm − Q t p )( Q to − Q tm )

y la expresión entre llaves es no negativa por ser

[ ]

]

]}

[ ]

(Qtm − Qtm1 )(Qtm 2 − Qtm ) ≥ 0 ⇒ V∆ Qtr ≤ VTP Qtr Además,

[ ]

[ ]

V ∆ Q tr = V Beta Q tr +

( Qto − Q tm ) 2 + (Q tm − Qt p ) 2

[ ]

⇒ V Qr ≥ V

[Q ]

∆ t Beta 36 Y por tanto puede escribirse la cadena de desigualdades: V (Beta) ≤ V (Triangular) ≤ V (Trapezoidal simétrica) ≤ V (Uniforme)

r t

Resultado, por otra parte, esperable si se piensa que disminuye la incertidumbre al aumentar la información y que la utilización de la distribución trapezoidal supone un nivel intermedio de información. En cuanto a la media, puede observarse que si, Qtm = (Qto − Qt p )2 2 las medias

de

las

cuatro

distribuciones

son

sensiblemente

iguales;

si

Qtm > (Qto − Qt p )2 2 se tiene la cadena de desigualdades:

E (Beta) > E (Triangular) > E (trapezoidal simétrica) = E (uniforme)

siendo las desigualdades de sentido contrario si Qtm < (Qto − Qt p ) 2 2

4. EJEMPLO Con objeto de ilustrar el comportamiento del modelo trapezoidal se ha considerado una inversión que genera cobros y pagos durante 10 años y origina un desembolso inicial de 20 millones de pesetas. Los datos (en millones) sobre las estimaciones de los flujos de caja pesimista, optimista, así como las del intervalo más probable se dan en la tabla 1. Considerando un tipo de actualización o descuento del 7% la esperanza matemática y la varianza del valor capital son: µ(V , C ) = 14,41; σ 2 (V , C ) = 7,56 La tabla 2 presenta esas mismas inversiones cuando se estima puntualmente el flujo de caja más probable. La media y la varianza del valor capital son respectivamente, según se utilicen los modelos beta o triangular:

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µ(V , C ) = 14,66; σ 2 (V , C ) = 4,49 ó µ(V , C ) = 15,00 σ 2 (V , C ) = 7,23 Si se supone que solo se conocen los valores pesimista y optimista para el flujo de caja de cada año y se utiliza el modelo uniforme se obtienen como media y varianza de cada año los valores que se muestran en las dos últimas filas de la tabla 2 y como media y varianza del valor capital: µ(V , C ) = 15,33; σ 2 (V , C ) = 14,05 Se observa en el ejemplo la minusvaloración de la varianza por la distribución beta y la sobrevaloración por la distribución uniforme, comportamiento que ya fue apuntado en la introducción del trabajo. Las varianzas obtenidas con los modelos triangular y trapezoidal son notablemente parecidas con la ventaja para el segundo de no precisar una estimación puntual del flujo de caja más probable. Se ha llevado también a cabo un estudio del comportamiento de la distribución trapezoidal para distintos valores de los parámetros obteniéndose como fórmulas de cálculo aproximado de la media 1 E Q tr = Q to + Q t p + 0 ,495 (Q tm 1 + Q tm 2 ) (4.1) 3

[ ] [

]

cuando las estimaciones de los valores de Qtr permitan suponer que su distribución será "razonablemente" simétrica ó en caso contrario 1 E Q tr = Q to + Q t p + 0 , 45 ( Q tm1 + Q tm 2 ) 3 Para el calculo de la desviación típica se propone, siguiendo las indicaciones de Pearson y Tukey: Q o − Qtp σ 2 Q tr = t (4.2) 4 ,65 La tabla 3 muestra los resultados obtenidos para los datos de la tabla 1 utilizando las fórmulas (4.1) y (4.2) siendo la media y la varianza del valor capital en este caso

[ ] [

]

[ ]

µ(V , C ) = 14,41; σ 2 (V , C ) = 7,83

CONCLUSIONES La escasa información de que se dispone cuando se analizan inversiones obliga a la elección de un modelo probabilístico que utilice esa poca información consiguiendo los mejores resultados posibles; esa filosofía ha guiado la presentación del modelo trapezoidal y los resultados obtenidos en los ejemplos considerados parecen corroborar la bondad de su aplicación.

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La posible aparatosidad de la fórmula para el cálculo de la varianza no es tal cuando se dispone de una pequeña calculadora programable y, en todo caso, siempre puede utilizarse la fórmula de cálculo aproximado. El modelo trapezoidal simétrico permite una ordenación de las varianzas que posibilita conocer a priori si las conclusiones serán optimistas o pesimitas según el modelo utilizado.Sin más que cambiar la variable flujo de caja por la variable tiempo de ejecución de una tarea puede hacerse uso del modelo propuesto en la metodología PERT con las mismas ventajas, ya comentadas, que en el análisis de inversiones. Año

Qtr

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Qt p Qtm1 Qtm 2 Qto

2

3

3

2

3

3

2

1

1

1

4

5

5

5

5

5

3

3

2

2

5

6

7

6

7

6

4

4

3

3

8

8

8

8

10

10

8

6

6

5

4,81

5,5

3,5

3,11

2,8

µ

σ

2

5,71 5,19 6,30 6,13 4,43

1,56 1,08 1,23 1,56 2,23 2,15 1,70 1,08 1,15 0,73 Tabla 1. Modelo Trapezoidal

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Año

Qtr

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Qt p

2

3

3

2

3

3

2

1

1

1

Qtm

4

6

6,5

5,5

7

6

3,5

3,5

3

2

Qto

8

8

8

8

10

10

8

6

6

5

4

3,5

1

0,69 0,69 0,44

µ σ

2

µ σ µ

2

σ2

4,33 5,83 6,17 5,33 6,83 6,17 1

0,69 0,69

1

1,36 1,36

4,67 5,67 5,83 5,17 6,67 6,33

4,5

3,5

3,17 2,33

3,33 2,67

1,56 1,06 1,10 1,51 2,06 2,06 1,63 1,04 1,06 0,72 5

5,5

5,5

5

6,5

6,5

5

3,5

3

2,08 2,08

3

4,08 4,08

3

2,08 2,08 1,33

Tabla 2. Modelos beta, Triangular y Uniforme

3,5

3

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Año

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

µ aprox 4,82 5,48 5,65 5,15 6,31 6,15 4,49 3,49 3,16 2,83 σ 2 aprox 1,67 1,16 1,16 1,67 2,27 2,27 1,67 1,16 1,16 0,74 Tabla 3. Cálculo aproximado de la media y la varianza

BIBLIOGRAFÍA HILLIER, I. Y LIEBERMAN, G.J. (1982) Introducción a la investigación de operaciones. McGraww-Hill PEARSON, E.S Y TUKEY, J.W. (1965). Approximate means and standard deviations based on distances between percentage points of frequency curves. Biometrika 52, 533-546. PERRY, C Y GREIG, D. (1975). Estimating the mean and variance of subjective distributions in PERT and Decision Analysis. Management Science, 21, 14771480. SUAREZ, A. (1980). Decisiones óptimas de inversión y financiación en la empresa . Pirámide TAHA, H.A. (1981). Investigación de Operaciones. Representaciones y Servicios de Ingeniería S.A. México. YU CHUEN-TAO, L. (1980). Aplicaciones prácticas del PERT y CPM. Gestión-Deusto.

Artículo del Libro -Homenaje al Profesor Dr. D. Gonzalo Arnaiz Vellando, publicado en 1987 por el I.N.E. Madrid. Páginas 279 a 296

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