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Rl'Visla ~cllicana de Física 28 no. 4 (1982) 641-682

UNA INTRODUCCION A LOS CAMPOS DE NORMA CUANTIZADOS Jesús Instituto Universidad

Autónoma

San Luis Potosí. (recibido

septiembre

4,

Urias de Frsica de San Luis Potosí. S.L.P .• México

1981; aceptado

diciembre

4,

1981)

RE3i:'IEN

Las características más importantes (v.g., problemas de cuantiza ción, identidades de Ward y de Taylor-Slavnov, etc.) de las teorías de C.ml pos de norma cuantizados son ilustradas utilizando un método diagramático:DesIJUés de presentar lo que es una teoría de campos de norma, se discuten los problemas de la cuantización del campo electromagnético en la electrodinámica cuántica (QED), como ejemplo de una teoría de norma abelia na. Se muestra que aunque el esquema de cuantización no es único, los el~ mentos de la matriz S si están definidos de manera única. Una consecuen-cia de esto son las identidades de Ward, que son derivadas diagramáticarne~

te. En el caso no abeliano, es inevitable la introducción de campos auxiliares en la teoría (para los cuales no se definen estados asintóticos) de manera que los elementos de la matriz S sean independientes del esquema de cuantización. Finalmente se muestran los principios básicos del llamado mecanismo de Higgs (inevitable en cualquier teoría unificada) y las identidades de Taylor-slavnov son derivadas diagramáticarnente.

642

ABSf'lACf

The maio features oE quantum gauge fieIds (e.g., difficulties in quantizing a gauge theory, ward and Taylor-Slavnov identities, etc.) are illustrated by using a diagrarnmatic technique. After a general presentatian oE what a gauge theory is, the problems in quantizing the electromagnetic field in quantum electrodinamics (QED) are discussed, as example oE ao abelian gauge theory. lt 15 shown that the quantizing scherne i5 not unique, but the S-rnatrix elements are uniquely deffined. Generalized ward identities are then dcrived, diagrarnmatically. be done

For the non-abelian with the help oE sorne

case quantization oE gauge fieIds can only ad-hoe fieIds (having no asymptotic states)

as to make the S-matrix independent oE the quantization scherne. Finally, the main concepts at the basis of the so-called iliggs mechanism (essential for any unified theory) are illustrated and the Taylor-Slavnov identities are diagrammatically derived.

l I\fIROIJJCC ION Las teorías R.L. Mills(l),

de norma fueron inventadas en 1954 por C.N. Yang y

pero permanecieron casi

do a dos problemas difíciles

ignoradas durante quince años dcbi

de resolver:

campos de nonna }', si eran cuantizables,

no ~e sabía cómo cu:mtizar no se sabía como llevar

los

a cabo la

renomalización de la teoría.

r-n

1971 fueron resueltos

los dos problemas.

vieron L.S. r-adeev y U.N. PopoV(2), yel

El primero lo re~ol

segundo lo resolvió

c. 'tlk>oft (3)~

Una vez resuel tos ambos problemas, se desencadenó una gran (x) SOIl c;unpos de Dime, 1.({l,J ¡iP) (¡niCIDll'llte

()

g\/ u

'iJ

.u sultarl

por

a 1\»>

~)

---"-

"

i

entonces

en g cuando más de orden

onh.'1I ('1\ g son generados

3L(~,D :\ i

-----

1ibrC' de L(~)).

son un polinomio

de primer

"JL(;).i\l;;)

-

(parte

conservada

l'

(lO).

En este

de caso,

(ver más adelante,

y

don~

b-l7

,'" se incluye

la parte

2.

!lE ~IOVI~IIE\TOPARA A (x).

UNA EOJACION

u

En L(;., Du$) los campos de nonna deben considerar~e Para tratar ,\ (x) como un campo interno,

externos

conocidos.

diagramas

una parte

en

Esto quiere

"libre"clladr.1tica

adelante,

que, de las = i r"i(x)

M

en luc1es,

i.e.,

incluir

es necesario

decir

en f\(X),

como campos

tener

que a L (tP,Uu1l)

sin romper la

invaria!!.

de nonn.1. De aquí

tesimales

I\~ aparezcan

para I\(X).

de movimiento

hay que añadir local

Il

en que prop.:.lgadorcs de

tma ecuación cia

para ,\j(X)).

libre

).1

f:cs.

¡i,

l

11

Como un primer

(X))

+!.-a (ai(x) g ~l

intento

sólo transfonnaciones

ir

infini

son de la fonn.1 ¡i)

dispongamos

(17)

que la parte

en LQm con :~\) = 3).1'\ - dVr\ (Ec. f camhia por la cantidad

la que aparece

mación infinitesimal Huv =

A.

consideraranos

(10) y (15),

(1)).

libre

es igual

a

Ante una transfor

uv

ai(x)

¡i,

fuv J + ¡[a;,(ai¡i),

,\]

- ¡[av(ai¡i),

'\] (18 )

Si no fuera transfonnarÍa truir

2, es

y f

lJV

la Tl,:Hte 1ihre de Au (x). ,-

JOOsañadir cele

por los dos últimos

convariantementc

[Au' ,'\].

indeseables

en Ji.:. (18).

Usando la ident idad de Jacobi

en la Ec. correcta

una expresión

que se transfonnc

I\nte una transfonnación

1 g

la elección

Para obtener

a f ~jV un nuevo ténnino

los ténninos

conmutadores

sería

covariantc

de manera tal

El ténnino

(18)

necesario.

fU\) se

para con~ debe-

que can_ de orden

infinitesimal

(19)

(l~)

se transfonna

en

6['\(X), A)X)1

i(ai,i,

=

[

'\"'vJ]

v] -

('u(aih,A

+ ~

(20)

g Comlnranoo Ecs.

(18) y (20) vemos que la expresión

r IJV - rI-lV se transforma F

~

I-lV

r\ , ,\ 1

ig

l

(21 )

v)

I-l

i .c.,

covariantcmentc,

r'I-lV =

u-,

U(x)F " uv

(22 )

(x)

OC manera que TrF

uv

1] tensor

FilV

es invariante.

F

(El.:. (21))

uv

Ihy otra

nada por los 1J(x).

(le. (14))

la definición

(,i"i] la h:.

es una matriz

=

e ijk

i

en la representación

fonna frecuente

Y el fílgebra

de prescntar

de G propare i~ a F

U8 + yivjl;l:~~

ig[a (vi.Xl +a X>,iXil Ai ~

En

J ~

(76)

En (76) el ténnino de mezcla iga yiX' Ai = O

~ ~ debido a la condición (74). Precisamente

la condición viX = O es la que define la norma unitaria(S) . Además, en (76) hay lID ténnino de masa para los campos de nonna:

donde

Mij

+

g2yivj

=

Mji

667

es la matriz de masa. Los elementos de M son no-nulos únicamente si i y j £G/H, tal que los campos acoplados a las cargas que aniquilan al vacío; i.c., los generadores

de H, son de masa cero.

El resultado de la definici6n eliminamos

de nuevos campos

n (= dim (G-H)) campos escalares

campos de nonna aparecen masivos.

es que

Lo que sucede es que los n campos, que

serian los bosones de Goldstone en el límite gitudinal

(Ees. (72))

de la teoría y n de los nuevos &-1'0.

constituyen la parte lo!!.

de n de los campos de nonna, que por eso aparecen ahora masivos. La situación

puede resumirse

en el siguiente

parte de la simetría rota espontáneamente Campos de norma masivos

Simetría del vacío. Campos de norma sin masa

La elipse representa

los generadores

del grupo G, el pedazo rna£

del grupo de simetría del estado vacío (subgT!:!.

cado H son los generadores

po de G) y el resto de la elipse son los generadores La regla de transformación ciones de norma es no lineal yen 6.

mitan definir

el propagador

(ver el Apéndice).

DE TAYLOR-SLAVNOV(6) .

el campo de Yang-Mills

la teoría las componentes

del coste G/H.

de los campos físicos ante transfo~

general complicada

LAS lDENfIl1\DES

Para cuantizar

diagrama:

longitudinales

es necesario

de Ai (de

~

del campo de Yang-Mills,

la forma

introducir

a ~¡\i)

en

que per

pero de tal manera que

no Se acoplen al resto de los campos; esto es, las a~Ai se deben propagar libremente. Para teorías abelianas

esto es fácil de lograr, como lo vimos en

el caso de la QED. Para teorías no-abclianas las a~Ai no pueden ponerse en juego librC!Ilcnte, por 10 cual hay que introducir un campo ficticio $1

668

(los fantasmas de Fadeev-Popov)

que cancele

las contribuciones

a

de

la matriz S. Las identidades

componentes

de Ward en QEDson una consecuencia

longitudinales

del fotón se propagan

la transformación

A (x) ~ A (x) +Ed

"

"

b(x).

"

"

Pafa las teorías no-abelianas das de Taylor-Slavnov.

"

de que las

con ,\(x) mediante

De esta manera etiquetamos

de A (x) y podemos seguirles

longitudinales

a

y las deriv~

libremente,

mos con la ayuda de un campo escalar b(x) que mezclamos componentes

i

A

las

la pista.

existen identidades análogas 11~

Pafa obtenerlas

usaremos un método

sllnilar al que

usamos para derivar

las identidades

sidad de introducir

un campo extra bi(x) pues ya tenemos a la mano los cam

pos ~i(x) de los fantasmas

a

~i(x), se comportan

" L

~

=

completo

+ L g f 1 Fi Fi _ ~¡;teA) .C(A) 4 \.IV \.IV +

YM

donde C(I\)

~, C(A)

que, mediante

como las componentes

El lagrangiano L

el acoplamiento

derivativo

longitudinales

de Ai(x).

para el campo de Yang-Mills

"

es

L

O es la condición

A

d

de Ward en QED, sólo que no habrá nec~

(x).

~t ?: - g~ .cq~)

,

(77)

que fija la nonna.

Nosotros usamos

El último término en (77) contiene

Hl.J

la nor-

los campos de los :t

-+

fantasmas, ~, a través del término 6C(- _

-~

~

(87b)

Ji

(87c)

ij~

(87d)

,~'.

~1' ;r-.-i'. ,

( "-J

{1 '

--'>

)

I3 )

---..,.

--7>

~,

H.,(

~ 'l.-

'(11'

N+/

(3)

f.o/X l'

r

¡N'

:t.

Vt,

2'1.....•.

'!,\~ ,

--';>

Para el térmi

( If)

.,.

I

(92)

674

~tese que al aplicar los pasos (1)-(4) al término a la izquierda de la Ee. (91) se transformó en el primer término a la derecha de (91). Ahora aplicamos los pasos (1)-(4) al primer término a la derecha de (91):

(f

)

-----~

Para el segundo ténnino a la derecha de (91) con i f N+l:

(o

(.

(94) ¡.}'

El término

i

= N+' requiere atenci6n especial:

675

Para poder aplicar aquí el paso (4)

y

representarlo por un diagrama defi

nimos un vértice especial:

(96)

La doble línea en el vértice es para indicar que el bosón de norma y el fantasma de índice j estaban originalmente conectados a la fuente N+l. Con

el vértice especial (96) podemos efectuar el paso (4) de (95): ¡'

"\

I

;.

~

('1)

."

(- 1)

-

-)0-

~

"

/

(97)

l

N.

El factor (-1) en este diagrama es para compensar el signo negativo por el bucle de fantasmas. Para el último término a la derecha de (91) con i ; N+' I

I

p .• t

\\t \

i

I

f

I

J

~ \

(98) I

(;ei, /Ji, N) )

/.

r •

•

676

y para

N+l:

'.h ~ ,

t~",

(3) ----?

(99)

\ \

X \ f Este término es cero a menos que q paso (4) mediante

un diagrama

=

O.

Para representar

definimos

el resultado

del

otro vértice especial

(lOO)

La doble

raya en la línea

estaba originalmente

de momento p es para

conectada

a la fuente N+l.

el resultado del paso (4) lo podemos

( i' ) - - _o>

representar

7

(-1 ) -

->-

__ 1r ' "\

"

~'

indicar

que es la 1inca que

Con este vértice

especial

como

1

II

(10 1)

El signo menos en este diagrama es para compensar el signo menos del bucle de fantasmas.

677

Finalmente, después de aplicar los pasos (1)-(4) a la Ec. (91), obtenemos la ecuación

- •...

1

,(:='

+

(102)

+

678

Para continuar con la iteracción. aplicamos los pasos (1)-(4) a la Ec. (102).

El resultado

N

+

es

...

+

o""

+

••4-

+

,>--lo ---.¡ \

~-'