Un mosaico para Dubai Garro Garro, Juan Carlos (
[email protected]) Rojo Montijano, José (
[email protected]) Ros García, Juan Manuel (
[email protected]) Victoria Rodríguez, Susana (
[email protected]) Escuela Politécnica Superior
Universidad San Pablo- CEU
RESUMEN Se combina un recorrido por distintas teselaciones del plano con la génesis de la propuesta de un proyecto arquitectónico.
Palabras claves: Mosaicos aperiódicos, geometría y arquitectura.
ABSTRACT We combine a geometric walk through different kinds of plane tillings with the genesis of an architectonic project proposal.
Keywords Aperiodics tillings, geometry and architecture.
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1. INTRODUCCIÓN Esta comunicación resume uno de los trabajos realizados durante el curso 2008/2009 en los seminarios del grupo ARKhé (*). Se planteó la propuesta de proyectar un edificio icónico para un concurso abierto en Dubai, que entroncara la rica tradición geométrica de la ornamentación árabe con un escenario tan moderno, vanguardista y lleno de tensión hacia el futuro, como el que proporcionan las edificaciones de esta ciudad de los Emiratos Árabes. Tras varias sesiones deliberativas, cuajó una propuesta que envolvía un edificio en una alfombra diseñada como mosaico aperiódico de Penrose. La labor de conducir el proyecto hasta su forma final estuvo, naturalmente, salpicada de idas y venidas, de periodos de estudio y dudas y periodos de tomas de decisión. Resultó natural que buscáramos entender mejor la geometría de las teselaciones de Penrose, de modo que los autores de este trabajo nos propusimos elaborar una documentación que mostrara su interés con un lenguaje no especializado, que resultara asequible a todos los miembros del grupo. El plan de esta comunicación es el siguiente: 1) Iniciación a las teselaciones de un plano euclídeo 2) Iniciación a las teselaciones de Penrose 3) Epílogo: fachada propuesta para el “proyecto Dubai”
(*) Los miembros del grupo ARKhé ( de la Escuela Politécnica Superior de la Universidad San Pablo-CEU), agradecen la dedicación de los alumnos Juan Carpio, Guillermo Gago, Ignacio Gálvez y Andrés Velasco sin cuyo esfuerzo, aportación de ideas y colaboración, no hubiera sido posible este trabajo.
2. TESELACIONES DEL PLANO Una teselación (mosaico) del plano es una colección de regiones (compactos con interior no vacío) llamadas “teselas” tales que:
Dos teselas no tienen ningún punto interior en común, es decir, sólo pueden compartir parte de su frontera.
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La unión de las teselas cubre totalmente el plano. Una teselación se denomina “periódica” si existe una sección finita de la
teselación (que puede estar formada por varias teselas) que permite mediante traslaciones en dos direcciones no paralelas (sin recurrir a giros o reflexiones), crear la teselación completa.
Ahora bien, no todos los mosaicos son periódicos. De hecho, es muy fácil construir mosaicos sencillos no periódicos: basta cubrir el plano con teselas que no se repitan, e incluso si se repitiesen, bastaría por ejemplo, con que en sólo uno de los vértices comunes a un grupo de teselas, el mosaico presente una simetría rotacional. Es más, algunas teselas producen tanto mosaicos periódicos como no periódicos.
También hay teselas que sólo producen mosaicos no periódicos. En tal caso, se habla de mosaicos aperiódicos.
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2.1. Teselaciones periódicas 2.1.1. Teselaciones poligonales Un primer planteamiento en el estudio de cómo teselar periódicamente el plano, sería el de la utilización de teselas poligonales. Diseños con este tipo de teselas aparecen en motivos ornamentales de múltiples culturas (egipcia, griega, china, árabe…). Los mosaicos poligonales planos han sido detalladamente estudiados. El primer paso, consiste en emplear un único polígono regular. Si imponemos que polígonos adyacentes tengan vértices comunes (teselación “regular”), es fácil deducir que únicamente con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos se puede conseguir cubrir el plano.
El siguiente paso sería plantear teselaciones con más de un polígono regular, y, en un paso más, mediante polígonos no regulares. Algunos resultados sobre cuáles de estos polígonos permiten teselar el plano son:
Cualquier triángulo tesela el plano
Cualquier cuadrilátero tesela el plano
Algunos pentágonos y hexágonos no regulares teselan el plano
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Hay múltiples métodos para construir teselaciones poligonales con formas irregulares. Uno de ellos consiste en modificar polígonos que teselen el plano de forma que los polígonos resultantes permitan el “encaje” con otra tesela con igual forma.
2.1.2. Teselaciones no poligonales Conocidas las teselaciones regulares a partir de polígonos, la generación de teselaciones también regulares del plano pero no poligonales, es un proceso que lleva desde construcciones sumamente simples, a otras mucho más complicadas y laboriosas. Modificando una pieza inicial que tesele el plano con “salientes” y “entrantes” no poligonales (igual que el proceso citado en el apartado anterior) que encajen con la pieza adyacente, se consigue este tipo de teselados.
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El artista holandés M.C.Escher estudió en profundidad las teselaciones: sus trabajos son bien conocidos, y como muestra de teselaciones del plano obtenidas por este autor, mostramos las siguientes imágenes:
2.1.3. Grupos de simetría de una teselación del plano: grupos cristalográficos. En el ámbito del plano afín euclídeo E 2 , una aplicación afín f se denomina “isometría” si conserva la distancia ( d ( P, Q) = d ( P ′, Q ′) , ∀P, Q ∈ E 2 , con f ( P) = P ′ y f (Q) = Q ′ ).
En E 2 existen 5 únicas aplicaciones isométricas: la identidad, la traslación, el giro alrededor de un punto, la reflexión (o simetría) respecto de una recta, y la reflexión (o simetría) con deslizamiento: composición de una reflexión respecto de una recta con una traslación de vector paralelo al eje de la reflexión. Una isometría f decimos que es una “simetría” para cierta figura, si al aplicar
f , la imagen vuelve a ser la misma figura. Así, una isometría es una simetría de una teselación, si al aplicar f a los puntos que “dibujan” dicha teselación, volvemos a obtener esa misma teselación. 338
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Llamando S (T ) al conjunto de simetrías de una teselación T , se cumple que dicho conjunto con la operación composición, tiene una estructura de “grupo”: i) la composición de dos simetrías de S (T ) , es también simetría de S (T ) ; ii) la composición de aplicaciones es asociativa (luego también las aplicaciones de S (T ) ; iii)
S (T ) contiene al elemento neutro i (la identidad); iv) toda simetría f ∈ S (T ) tiene en S (T ) otra simetría de T que la “deshace”, su inversa. Existen varios tipos de grupos de simetrías para las figuras del plano E 2 :
Grupo de simetría puntual (Grupo de Leonardo): no poseen ninguna traslación. Existe un punto invariante mediante todas las isometrías del grupo. Se trata de las simetrías de los denominados “rosetones”.
Grupo de simetría de frisos: contiene traslaciones en una sola dirección. Existen (según las isometrías que los formen) 7 tipos distintos de grupos de frisos (31 si se consideran bicolores).
Grupo cristalográfico: contiene traslaciones en dos direcciones linealmente independientes. Son 17 los distintos tipos de grupos cristalográficos planos ( 80 si se admite bicoloración).
A las teselaciones periódicas del plano les corresponden, como ya hemos mencionado, grupos de simetría del tercer tipo: mediante traslaciones en dos direcciones distintas de un motivo (formado por teselas), se obtiene la teselación completa del plano. Según las isometrías que constituyen cada grupo de simetría, ya en el año 1891 Fedorov demostró la existencia de 17 posibles grupos cristalográficos planos: 4 de ellos no presentan giros, en otros 5 grupos existen giros de 180º, en 3 aparecen giros de 120º, y en otros 3, de 90º, y hay otros 2 grupos con giros de 60º. En el siguiente cuadro aparece su clasificación, con los nombres (en notación internacional) de cada uno de ellos, las isometrías que lo componen, y la región elemental que genera la teselación.
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GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS PLANOS Sin isometrías inversas
Con isometrías inversas cm σL, σL’a/2 , a⎢⎢L, L’ ≠ L
p1 ta, tb
pg tb, σL,a/2, a ⊥ b
pm ta, tb, σL, a⎢⎢L, b ⊥ L
cmm p2
ta, σL, σM,b/2 , a⎢⎢L ⊥ M⎢⎢b
pmm
pgg
ta, tb, σL, σM, a⎢⎢L ⊥ Μ⎢⎢b
σL,a/2, σM,b/2 , L ⊥ M
p3m1
p3
σL, σM, σΝ, ∠ (L, M) = ∠ (M,N) = ∠ (L, N) = π /3 L∩ M∩ N =∅
3
p4m
p4
4
ta, rC,π/2
p6 rC,π/3, rC',π
2
2
ta, tb, rC,π
rC,2 π/3,rC',2π/3
pmg
rC,π, σL, σM, L ⊥ M, C ∉ L, C ∉ M
σL, σM, σΝ, L⊥M, ∠ (L, N) = ∠ (N,M) = π /4 L∩ M∩ N =∅
p6m
2 3
σL, σM, σΝ, L⊥M, ∠ (L, N) = π /3, ∠ (N,M) = π /6
p31m rC,2 π/3 , σL, C ∉ L
3
p4g 4
rC,π/2 , σL, C ∉ L
grupo cristalográfico plano generadores
En los palacios de la Alhambra de Granada aparecen mosaicos de cada uno de estos 17 grupos de simetría en arabescos de yeserías, embaldosados y celosías.
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P2
p4
cm
pm
pg
p4g
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región unidad
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2.2. Teselaciones aperiódicas El problema de la existencia o inexistencia de mosaicos aperiódicos no es un problema trivial y de hecho, hasta se conjeturó en 1961(H. Wang) que “Si un conjunto de teselas producen una teselación del plano, entonces
lo pueden hacer
periódicamente.”.
Sin embargo tal conjetura se mostró falsa cuando Robert Berger demostró su axioma de indecibilidad en el que se establecía que “No hay algoritmo fijo que permita decidir si un conjunto de teselas dado, será capaz de cubrir el plano o no” y llegó a presentar primero un conjunto de 20426 teselas (en 1964) y posteriormente (1966) uno de 108 teselas que producían mosaicos aperiódicos. De modo que el problema pasó a ser el de conseguir el mínimo número de teselas que generan un mosaico aperiódico. En 1971, Raphael Robinson consiguió un mosaico aperiódico a partir de un conjunto de 6 teselas que eran esencialmente cuadrados con ciertos salientes y entrantes en sus lados de manera que el ensamblaje entre ellos se produjera siguiendo unas reglas concretas que determinan la aperiodicidad. Un poco más tarde Roger Penrose, en 1974, construyó mosaicos aperiódicos usando conjuntos de 2 teselas, como el famoso del dardo y la cometa, términos acuñados por J. Conway, o el de los rombos.
2.2.1. Teselaciones de Penrose Penrose comenzó obteniendo un conjunto de 6 teselas con los que se constituía un mosaico aperiódico, en un proceso que tuvo su génesis en el intento de rellenar el plano mediante pentágonos con la atención puesta en las formas que adoptan los espacios vacíos que quedan entre ellos. Si además se efectúan sucesivas subdivisiones de los pentágonos en otros más pequeños, estas formas derivan, salvo modificaciones de los lados, en pentágonos, barcos de papel, estrellas y diamantes.
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Cometas y dardos Cometa y dardo tienen relación con el número de oro: la proporción entre la longitud de los lados más largos y los más cortos es el número de oro
Es obvio que la disposición de cometa y dardo que forma los rombos de los que se pueden extraer, conforma una loseta que tesela el plano de manera periódica, de modo que la aperiodicidad se fuerza por diversos procedimientos que pueden pasar desde practicar entrantes y salientes en los lados, hasta simplemente, para no complicar el proceso de teselación,
establecer unas reglas para ensamblar las teselas en la
construcción del mosaico.
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Estas reglas para construir una teselación aperiódica con las teselas de Penrose, un mosaico de Penrose, tienen que ver con las siguientes condiciones:
Sólo son teselas adyacentes en el mosaico, obviamente, si lo son por lados con la misma longitud.
Se impone además una condición sobre como unir los lados en función de los vértices, que puede reflejarse con colores de manera que sólo se unan por vértices que tengan el mismo color, curvas dibujadas alrededor de los vértices que deben tener continuidad u otras técnicas.
Con estas condiciones las configuraciones admisibles alrededor de un vértice quedan reducidas a unos pocos casos a los que Conway puso nombres también: estrella, sol , rey , as , deuce, reina y arlequín.
A su vez, estas configuraciones básicas determinan un patrón definido alrededor de ellos (los denominados por Conway “imperios” de las configuraciones Jornadas Internacionales de Didáctica de las Matemáticas en Ingeniería
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anteriores) y el número de teselas que participan de estos imperios puede ir desde dos en el caso del deuce, a que incluso (en el caso del as o del sol) no haya restricciones reales y el imperio tenga infinitas teselas.
Bajo una aparencia de regularidad y simetría, en la estructura de los mosaicos de Penrose hay un gran desorden: no son periódicos. Además, hay un número infinito de mosaicos de Penrose diferentes. Pero quizás la propiedad más significativa de las teselaciones de Penrose es la que viene dada por el
denominado “Teorema del
isomorfismo local” y que dice que :
“cada región finita de cualquier mosaico está siempre contenida en cualquier otro (infinitas veces)”.
De modo que no hay manera de determinar mediante el examen de una porción finita de un mosaico de Penrose, de qué mosaico se trata. Lo que J. Conway demostró en este sentido es que “si se toma una región de diámetro d de un mosaico de Penrose y se elige un punto P en otro mosaico de Penrose, hay una copia de la primera región en el segundo mosaico a una distancia de P no mayor a 2d.” Es más, hay infinitas copias de la región tanto en el mosaico original como en el “nuevo”, de modo que dos mosaicos de Penrose sólo se podrán diferenciar de manera “global”. Una de las demostraciones de la no numerabilidad de las teselaciones de Penrose se extrae de la propiedad de “inflación” que poseen los mosaicos de Penrose. ¿En qué consiste este fenómeno? Dado un mosaico de Penrose, es posible dividir sus teselas y ensamblar las partes de esta división en nuevas teselas, de tal manera que éstas puedan constituir otro mosaico de Penrose cuyos dardos y cometas sean de mayor tamaño que las del primer mosaico.
¿Cómo se lleva a cabo el proceso de inflación? a) Se dividen los dardos por la mitad por su eje de simetría, la línea que va desde sus puntas a sus colas. b) Se unen las mitades obtenidas a las teselas que tocaban a la original por el lado más corto
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¿Cómo se usa el proceso de inflación en la comprobación de la no numerabilidad de las teselaciones de Penrose? Si x =
c es la proporción entre cometas y dardos en una región del plano, d
después del proceso de inflación la nueva proporción será x =
1+ 2x , ya que, a partir 1+ x
de un dardo y dos cometas de la teselación inicial se obtiene una cometa de mayor tamaño y a partir de un dardo y una cometa se obtiene un nuevo dardo. De modo que si el proceso de inflación se repite un número infinito de veces la proporción entre dardos y cometas tiende al número de oro, φ =
1+ 5 , proporción incompatible con una 2
teselación periódica.
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Otros mosaicos de Penrose
Quizás los mosaicos aperiódicos de Penrose, diferentes de los construidos con cometas y dardos, más comunes sean los construidos con una pareja de rombos, de lados con la misma longitud y ángulos de 72º y 108º y de 36º y 144º ,respectivamente. Obviamente, de nuevo y tal como sucedía con las cometas y los dardos, se han de imponer condiciones sobre como han de ensamblarse los rombos para que el mosaico correspondiente sea aperiódico . En la figura, las reglas de unión vienen reflejadas por las flechas señaladas en los lados, de modo que, sólo se pueden unir los lados con las mismas flechas dibujadas en ellos con los mismos sentidos, o con bandas coloreadas para que el ensamblaje deje continuidad en ellas.
También, la proporción entre rombos de un tipo y de otro presentes en estas teselaciones es el número de oro, así como la proporción entre las áreas de ambas piezas. Se mantiene para ellos las propiedades de inflación y de no numerabilidad de mosaicos posibles con ellos .
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2.2.2. Otras teselaciones aperiódicas John Conway y Charles Radin construyeron una teselación aperiódica a partir de una única tesela básica triangular, un triángulo rectángulo de modo que uno de sus catetos tiene longitud doble que la del otro (teselación pinwheel o ”molinillo”). En realidad no es estrictamente una teselación en el mismo sentido que los mosaicos de Penrose, ya que su construcción permite la unión de teselas sin que éstas tengan vértices comunes . Las restricciones en la unión de las teselas para conseguir la aperiodicidad son bastante complicadas, pero se basan en una construcción en la que estos triángulos se agrupan (o dividen) en grupos de cinco de los mismos, para configurar conjuntos con las mismas características; es decir, comparte, en cierta manera, las propiedades de inflación y deflación con los mosaicos de Penrose.
Por lo demás, la característica que distingue a estos mosaicos es que las posibles orientaciones en las que teselas pueden aparecer en él son infinitas, a diferencia de lo que sucede en los mosaicos aperiódicos anteriores.
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2.3. Epílogo Desde tiempos remotos abundan decoraciones de muros y cubiertas de edificaciones en las que los motivos se construyeron a base de repeticiones, génesis de mosaicos periódicos. En general, los países de cultura islámica tienen una muy rica y abundante muestra de decoraciones en sus espacios públicos, que toman motivos geométricos como conductores.
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Con esa idea como elemento de partida, el grupo ARKhé ha participado en el concurso de ideas arquitectónicas para la construcción de una estructura alta y emblemática en el parque Za’abeel de Dubai, con un proyecto de torre-escultura que pretende aunar tradición y modernidad.
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Después de plantearse una torre que recordara las formas de las tiendas de los beduinos, el proyecto se materializó en una propuesta de un edificio de planta rectangular, con ancho y largo en relación 1/7 y altura igual al largo, y que, entre otras características, propone una piel a modo de alfombra, superpuesta sobre el edificio, con un diseño asociado a las teselas de Penrose.
3.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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GARDNER, M (1977) Mathematical games. Scien. Americ. 236, pp. 111-119
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PENROSE, R. (1978) . Pentaplexity, Eureka 39, pp. 16-22
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PÉREZ, R.; RUIZ, C.(1999) Kaleidoscopes in the Alhambra. Proceeding of the 4th Workshop on Electromagmetically Induced Two-Hadron Emission. Granada
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RADIN, C.(1994). The pinwheel tiles of the plane. Annals of Math.,139, pp. 661-702.
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