Institut für Leistungselektronik und Elektrische Antriebe
Universität Stuttgart
Prof. Dr.-Ing. J. Roth-Stielow
ÜBUNGEN ZU „ELEKTRISCHE ENERGIETECHNIK II“
Hinweis zur Pfeilung der Spannungen und zur Festlegung des Wickelsinnes:
Umdruck IV: Transformatoren
Die Punkte bezeichnen jene Wicklungsenden, von denen ausgehend der Kern (und damit der Fluss) in einem einheitlichen Sinn umkreist wird. Sind die primär- und sekundärseitigen Hauptfeldspannungen gegenüber den Punkten gleich gepfeilt (beide zu den Punkten hin oder von den Punkten weg), so weisen sie gleiche Phasenlage und damit gleiches Vorzeichen auf!
1
Idealer, festgekoppelter und realer Transformator
1.1 Idealer Transformator Zur Vereinfachung der Betrachtung des festgekoppelten und des realen Transformators wird ein idealer Transformator eingeführt, der durch verschwindende Ohmwiderstände, verschwindende Streuinduktivitäten und verschwindenden Magnetisierungsstrom (magnetischer Leitwert ch → ∞, d.h. kein Strom zur Erzeugung des magnetischen Flusses erforderlich) gekennzeichnet ist. Sein äußeres Verhalten wird durch folgende Gleichungen vollständig beschrieben:
N 1
N 2
u h 1
i1
uh1 =
N1 ⋅ uh2 N2
i1i = −
N2 i ⋅i N1 2
i
i2 N 1
uh1 N1 = uh2 N2
uh1 N1 = uh2 N2 u h 1
u h 2
N 1
N 2
u h 2
N 1
N 2
u h 2
i
N 1
N 2
u h 1
u h 2
u h 1
N 2
uh1 N =− 1 uh2 N2 u h 2
uh1 N =− 1 uh2 N2
u h 1
id e a le r T r a n s fo r m a to r
IV/1
IV/2
Φh = ch ⋅ θ = ch ⋅ (N1 ⋅ i1 + N2 ⋅ i2 )
1.2 Festgekoppelter Transformator
Zusammenhang:
Definition des festgekoppelten Transformators: keine Streufelder und ohne Ohmwiderstände
Mit der eingeprägten Spannung uh1 folgt, dass die Durchflutung
θ = N1 ⋅ i1 + N2 ⋅ i2 festliegt, aber die beiden Ströme i1 und i2 noch nicht.
Der Sekundärstrom i2 wird erst durch die jeweilige sekundäre Belastung d.h. den Verbraucher-Zweipol Z bestimmt! Hieraus berechnet sich wiederum der Primärstrom i1 für den vorliegenden Belastungsfall:
i1 =
θ − N2 ⋅ i2 N θ = − 2 ⋅ i2 N1 N1 N1 im1
i1i
im1: „auf die Primärwicklung bezogener Magnetisierungsstrom“
uh1 = N1 ⋅
dΦh dt
und
uh2 = N2 ⋅
dΦh dt
uh1 N1 = uh2 N2
Für die Durchflutung gilt:
θ=
1 1 1 ⋅ Φh = ⋅ ⋅ uh1 dt ch ch N1
Damit folgt für den Primärstrom: uh1: „primärseitige Hauptfeldspannung“ uh2: „sekundärseitige Hauptfeldspannung“
Wenn die Spannung uh1 eingeprägt ist, liegen zum einen der zeitliche
i1 =
N 1 1 1 ⋅ ⋅ uh1 dt − 2 ⋅ i2 = ⋅ uh1 dt c h N12 N1 Lh1 im1
N − 2 ⋅ i2 N1 i1i
Verlauf dieser Spannung uh1 und damit auch die zeitlichen Verläufe der Spannung uh2 und des Flusses Φh fest. Durchflutungsgesetz:
Lh1: „auf die Primärwicklung bezogene Hauptinduktivität“
Hds = GdA = θ = N1 ⋅ i1 + N2 ⋅ i2 C
A
θ: „magnetisierende Durchflutung“ IV/3
IV/4
Das äußere elektrische Verhalten des festgekoppelten Transformators wird also durch die folgenden Gleichungen gekennzeichnet,
Im Ersatzschaltbild des realen Transformators werden die tatsächlich vorhandenen Streuflüsse und Ohmwiderstände durch herausgezogene, konzentrierte Bauelemente R1, Lσ1, R2 und Lσ2 berücksichtigt:
N uh1 = 1 ⋅ uh2 N2 uh1 = Lh1 ⋅
1.3 Realer Transformator
dim1 dt
N i1 = im1 − 2 ⋅ i2 = im1 + i1i N1
i
i
i1 = -
i1 = i1 + im 1 R 1
welche dann zum Ersatzschaltbild führen:
L s 1
N 1
im 1
N 2 N 1
i
i2
i2 = i2
T ra fo id e a l
N 2
L s 2
L h 1 i1
i1 im 1
i
i
u 1
i2 = i2 N 1
u h 1
i2 R 2
T ra fo fe s tg e k o p p e lt
u h 2
N 2
u 2
T ra fo re a l
L h 1 u h 1
u h 1
u h 2
u1 = R1 ⋅ i1 + Lσ1 ⋅
di1 + uh1 dt
u2 = R 2 ⋅ i2 + L σ2 ⋅
di2 + uh2 dt
id e a le r T r a n s fo r m a to r fe s tg e k o p p e lte r T r a n s fo r m a to r
Bei üblichen Transformatoren im normalen Betriebsbereich: R1 ⋅ i1 + L σ1 ⋅
IV/5
di1 uh1 dt
und
R 2 ⋅ i2 + Lσ 2 ⋅
di2 uh2 dt
IV/6
2
2.3 Vereinfachtes Ersatzschaltbild 1. Art
Ersatzschaltbilder des realen Transformators, Leistungsfluss
N 2
i
I1 = -
I1 R 1
I
L s 1
R F e
Im 1
R F e
L h 1
N 1
R 1 I2
i
I2
N 1
i
I2
N 2
I2
.
R F e
L s' 2
R 2'
R k Z a'
L h 1 U 2'
U 1
R 2
L s 2
L s 1
I 2'
I1
R F e
L k Z a'
L h 1 U 2'
U 1
Z a U h 2 =
U h 1
U 1
I 2'
I1
2.1 Vollständiges Ersatzschaltbild mit idealem Transformator
N 2 N 1
U 2
U h 1
2.4 Vereinfachtes Ersatzschaltbild 2. Art
2.2 Vollständiges Ersatzschaltbild ohne idealen Transformator
I1
I1 R 1
U 1
IV/7
I
L s 1
U h 1
R F e
Im 1
R F e
L h 1
i
I 2'
Z k = R k + jX k Z a'
I2
R 2'
L s' 2
X k = w L k
.'
U 1
~
R k
Z a' U 1
U 2'
Z a' U h' 2 =
N 1 N 2
U h 2
U 2'
IV/8
2.5 Leistungsfluss (Drehstrom-Wirkleistungen)
3
r e a le r T r a n s fo r m a to r
Betriebsverhalten von Transformatoren
3.1 Kurzschlussspannung
id e a le r T r a n s fo r m a to r i
j
i
P 1 = 3 .U 1 I1 c o s 1
=
j
j
P 1 = 3 .U 1
j
I 1 U 1
1
i
i
I1 c o s
=
h 1
j
j 1
i
i I1 U h 1
j
P 2 = i 3 .U h 2 I2 c o s 2
i
(c o s
j
=
j
j 2
i
i = - P 1
i
i
2
I 2 U h 2
= - c o s
j 1
i
)
P 2 = . . 3 .U 2 I2 c o s j 2 j 2. = j I . U 2 2
Die Kurzschlussspannung ist eine wichtige Kenngröße von Transformatoren. Sie dient u.a. der Berechnung der Kurzschlussimpedanz Zk. Beispiel: Sekundärseitiger Klemmenkurzschluss bei einem Einphasentransformator: I1 k
2 P C u 2 = 3 .R 2 .I2
P F e = 3 .R F e. I F e 2
2 P C u 1 = 3 .R 1 .I1
R k
X k
Z a' = 0 U 2' = 0
U 1 k
Bei Einphasentransformatoren fällt jeweils der Faktor 3 weg!
Leistungsbilanz: P2 = P1 − (PCu1 + PFe + PCu2 )
Betrag:
U 1 k j
U1k = I1k ⋅ (Rk + jXk ) = I1k ⋅ Zk
U X k = jX k . I 1 k k
U R k= R k . I1 k
U1k = I1k ⋅ Rk2 + Xk2 = I1k ⋅ Zk
I1 k
Verluste
Definitionen: „Kurzschlussimpedanz“
Zk = Rk2 + Xk2
„Nennkurzschlussspannung“
U1kN = I1N ⋅ Zk
In Worten: Die Nennkurzschlusspannung ist jene Primärspannung, die bei sekundärseitigem Klemmenkurzschluss primärseitig den Nennstrom durch den Transformator treibt. IV/9
IV/10
U I ⋅Z ukN = 1kN = 1N k U1N U1N
„Relative Nennkurzschlusspannung“
Bei Zerlegung in ohmsche und induktive Komponente: 2
ukN
3.2 Parallelbetrieb von Transformatoren
Parallelbetrieb von Transformatoren liegt dann vor, wenn die Transformatoren primär- und sekundärseitig parallel geschaltet sind (Spannungsgleichheit nach Betrag und Phase erforderlich).
2
I ⋅R I ⋅ X 2 = 1N k + 1N k = uRN + u2XN U1N U1N
ukN, uRN und uXN werden üblicherweise in Prozent angegeben. Ist die relative Nennkurzschlussspannung eines Transformators bekannt, so kann mit Hilfe von Nennscheinleistung und Nennspannung dessen Kurzschlussimpedanz berechnet werden.
U 1
U 1
T ra fo I I
T ra fo I
I
U 2
U 2
Parallelbetrieb Mit I1N
S = 1N ergibt sich beim Einphasentransformator: U1N
Nenn-Sternspannung Nenn-Leiterspannung Nenn-Scheinleistung Kurzschlussimpedanz eines Wicklungsstranges
D U
I1kN =
IV/11
U1N U1N ⋅ I1N I1N = = Zk U1kN ukN
I1 II Z a'
Z k II U 1
Allgemein:
Hieraus folgt: „Nennkurzschlussstrom“ (stationärer Dauerkurzschlussstrom bei Nennspannung):
I1 I
I1
I ⋅Z I ⋅Z ⋅ 3 S = 1N k = 1N k = Zk ⋅ N 2 U1N UN UN
U1N: UN : SN : Z k:
kein Parallelbetrieb
Z k I
Beim Drehstromtransformator gilt (bei Zugrundelegung des einphasigen Ersatzschaltbildes und Sternschaltung der Wicklungen):
mit
U 2
Ersatzschaltbild bei Parallelbetrieb (einphasig, vereinfachtes ESB 2. Art):
U2 Zk = ukN ⋅ 1N S1N
ukN
II
U 2
I1 = I1I + I1II
und
ΔU = I1I ⋅ ZkI = I1II ⋅ ZkII
I1I ZkII ZkII ⋅ e jϕkII = = I1II ZkI ZkI ⋅ e jϕkI
Beim Parallelbetrieb von Transformatoren ist anzustreben, dass sich die einzelnen Transformatoren im Verhältnis ihrer Nennleistungen an der Gesamtleistung beteiligen.
IV/12
Hierfür sind folgende Bedingungen zu erfüllen: - die Transformatorströme müssen phasengleich sein, so dass gilt: I1 = I1max = I1IN + I1IIN Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Kurzschlussphasenwinkel gleich groß sind ( ϕkI = ϕkII ). - Für ϕkI = ϕkII muss gelten: I1I ⋅ ZkI = I1II ⋅ ZkII Diese Bedingung ist erfüllt, wenn die Transformatoren gleiche relative Nennkurzschlussspannungen aufweisen ( ukNI = ukNII ). - Drehstromtransformatoren müssen zusätzlich gleiche Kennzahlen in der Schaltgruppe aufweisen, damit die Phasenlage der Sekundärspannungen übereinstimmt.
3.3 Schaltzeichen
(siehe DIN 40 714) Beispiele:
Einphasentransformator
Drehstromtransformator
6 0 k V 6 3 0 0 k V A 5 0 H z Y d 5 1 5 k V
IV/13
