Typ I und Typ II Fehler

Analogie: Vergleich mit einem Gerichtsurteil

Gericht f¨ allt Entscheidung “unschuldig” Gericht f¨ allt Entscheidung “schuldig”

Angeklagter ist unschuldig

Angeklagter ist schuldig

richtige Entscheidung

ein Schuldiger wird freigesprochen

ein Unschuldiger wird verurteilt

richtige Entscheidung

Typ I und Typ II Fehler

Entscheidung auf Grundlage eines statistischen Tests: Nullhypothese H0 wird nicht verworfen Nullhypothese H0 wird verworfen

Wahrer Sachverhalt: H0 ist wahr korrekte Entscheidung (1 − α) Typ I Fehler

Wahrer Sachverhalt: H0 ist falsch Typ II Fehler korrekte Entscheidung (1 − β: “Power”)

Typ I und Typ II Fehler

Typ I Fehler: Wahrscheinlichkeit eine wahre Nullhypothese zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube an einen Zusammenhang, der tats¨achlich nicht existiert)

Typ I und Typ II Fehler

Typ I Fehler: Wahrscheinlichkeit eine wahre Nullhypothese zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube an einen Zusammenhang, der tats¨achlich nicht existiert) ⇒ Verwerfungsfehler

Typ I und Typ II Fehler

Typ I Fehler: Wahrscheinlichkeit eine wahre Nullhypothese zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube an einen Zusammenhang, der tats¨achlich nicht existiert) ⇒ Verwerfungsfehler

Typ II Fehler: Wahrscheinlichkeit eine tats¨achlich falsche Nullhypothese nicht zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube, daß kein Zusammenhang existiert, wo tats¨achlich einer besteht)

Typ I und Typ II Fehler

Typ I Fehler: Wahrscheinlichkeit eine wahre Nullhypothese zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube an einen Zusammenhang, der tats¨achlich nicht existiert) ⇒ Verwerfungsfehler

Typ II Fehler: Wahrscheinlichkeit eine tats¨achlich falsche Nullhypothese nicht zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube, daß kein Zusammenhang existiert, wo tats¨achlich einer besteht) ⇒ Nichtverwerfungsfehler

Typ I und Typ II Fehler

Typ I Fehler: Wahrscheinlichkeit eine wahre Nullhypothese zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube an einen Zusammenhang, der tats¨achlich nicht existiert) ⇒ Verwerfungsfehler

Typ II Fehler: Wahrscheinlichkeit eine tats¨achlich falsche Nullhypothese nicht zu verwerfen (irrt¨ umlicher Glaube, daß kein Zusammenhang existiert, wo tats¨achlich einer besteht) ⇒ Nichtverwerfungsfehler Gr¨ oße h¨angt ab von konkreter Alternativhypothese!

Typ I und Typ II Fehler

Signifikanzniveau: α = 0.01 0.4

Verteilung unter H0

Verteilung unter HA

0.2 Typ II Fehler

−5

−4

−3

−2

−1 Typ I Fehler

1

2

3

4

5

6

b

Typ I und Typ II Fehler

Signifikanzniveau: α = 0.05 0.4

Verteilung unter H0

Verteilung unter HA

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Typ I und Typ II Fehler

Signifikanzniveau: α = 0.1 0.4

Verteilung unter H0

Verteilung unter HA

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

Die ‘Power’ oder Trennsch¨arfe eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein tats¨achlich vorhandener Unterschied auch aufgedeckt werden kann,

Power

Die ‘Power’ oder Trennsch¨arfe eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein tats¨achlich vorhandener Unterschied auch aufgedeckt werden kann, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, mit der eine tats¨achlich falsche Nullhypothese auch verworfen werden kann!

Power

Die ‘Power’ oder Trennsch¨arfe eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein tats¨achlich vorhandener Unterschied auch aufgedeckt werden kann, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, mit der eine tats¨achlich falsche Nullhypothese auch verworfen werden kann! Die Power eines Tests ist die Gegenwahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten eines Typ II Fehlers Power = 1 − P(Typ II Fehler)

Power

Die ‘Power’ oder Trennsch¨arfe eines Tests gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein tats¨achlich vorhandener Unterschied auch aufgedeckt werden kann, das heißt, die Wahrscheinlichkeit, mit der eine tats¨achlich falsche Nullhypothese auch verworfen werden kann! Die Power eines Tests ist die Gegenwahrscheinlichkeit f¨ ur das Auftreten eines Typ II Fehlers Power = 1 − P(Typ II Fehler) Verglichen wird die Verteilung unter G¨ ultigkeit von H0 mit der Verteilung unter G¨ ultigkeit einer spezifischen Alternativhypothese.

Power

0.4

Verteilung unter H0

Verteilung unter HA

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

Power

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.4

Verteilung unter H0

Verteilung unter HA

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.4

Verteilung unter H0 Verteilung unter HA

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.4

Verteilung unter H0

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.4

Verteilung unter H0

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.4

Verteilung unter H0

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

Verteilung unter HA 0.4

0.2

Power

−5

−4

−3

Verteilung unter H0

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

Die Power eines Tests nimmt ceteris paribus zu, wenn der Stichprobenumfang vergr¨ oßert wird!

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

Power

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power

0.6

0.4

0.2

Power

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

b

Power Power-Funktionen eines m¨achtigeren und weniger m¨achtigen Tests (z.B. große und kleine Stichprobe): 1.0

großes N 0.5

0

β0 Close

α b

Power Power-Funktionen eines m¨achtigeren und weniger m¨achtigen Tests (z.B. große und kleine Stichprobe): 1.0

großes N 0.5

0

β0 Close

kleines N

α b