Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen

Steven Köhler [email protected] mathe.stevenkoehler.de

2

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Definition I

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter Weise rechnen kann. Matrizen sind ein SchlÄ usselkonzept der linearen Algebra und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik auf. Matrizen stellen ZusammenhÄ ange, in denen Linearkombinationen eine Rolle spielen, u Ä bersichtlich dar und erleichtern damit Rechen- und GedankenvorgÄange. Sie werden insbesondere dazu benutzt, lineare Abbildungen darzustellen und lineare Gleichungssysteme zu beschreiben.

3

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Definition II Matrizen werden dargestellt durch eine tabellarische Au°istung der Werte, die durch ein gro¼es Klammerpaar umgeben ist. Die Form der Klammern ist dabei nicht fest vorgegeben, typisch sind aber runde oder eckige Klammern. 1 0 a11 : : : a1m B .. C .. A = (aij ) = @ ... . . A an1 2 A =

[aij ]

=

a11 6 .. 4 . an1

4

© 2012 Steven Köhler

::: ::: .. . :::

anm 3

a1m .. 7 . 5 anm

Matrizen

Addition von Matrizen

Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. 2 3 2 3 a11 a12 a13 b11 b12 b13 A + B = 4a21 a22 a23 5 + 4b21 b22 b23 5 a31 a32 a33 b31 b32 b33 2 3 a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13 = 4a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23 5 a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

5

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Subtraktion von Matrizen

Ebenso wie Vektoren werden Matrizen elementweise addiert und subtrahiert. 3 2 3 2 b11 b12 b13 a11 a12 a13 A ¡ B = 4a21 a22 a23 5 ¡ 4b21 b22 b23 5 a31 a32 a33 b31 b32 b33 3 2 a11 ¡ b11 a12 ¡ b12 a13 ¡ b13 = 4a21 ¡ b21 a22 ¡ b22 a23 ¡ b23 5 a31 ¡ b31 a32 ¡ b32 a33 ¡ b33

6

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Skalare Multiplikation

Eine Matrix kann mit einen konstanten Faktor ¸ 2 R multipliziert werden. Den Wert ¸ nennt man ein Skalar. 3 2 3 2 ¸a11 ¸a12 ¸a13 a11 a12 a13 ¸A = ¸ ¢ 4a21 a22 a23 5 = 4¸a21 ¸a22 ¸a23 5 a31 a32 a33 ¸a31 ¸a32 ¸a33

7

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Multiplikation von Matrizen I Neben der skalaren Multiplikation gibt es noch eine weitere Multiplikation fÄ ur Matrizen. Dabei werden 2 Matrizen miteinander mutlipliziert. Die folgende Formel zeigt dies exemplarisch fÄ ur zwei 3 £ 3 - Matrizen: A¢B a11 = a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

b11 ¢ b21 b31

a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 = a21 b11 + a22 b21 + a23 b31 a31 b11 + a32 b21 + a33 b31

8

b12 b22 b32

b13 b23 b33

a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a21 b12 + a22 b22 + a23 b32 a31 b12 + a32 b22 + a33 b32

© 2012 Steven Köhler

a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33

Matrizen

Multiplikation von Matrizen II

Die EintrÄ age der Ergebnismatrix C sind o®enbar die Skalarprodukte der Zeilenvektoren der Matrix A mit den Spaltenvektoren der Matrix B. Daraus lÄasst sich leicht eine Aussage u Äber eine essentielle Voraussetzung der Matrizenmultiplikation tre®en. Damit man zwei Matrizen multiplizieren kann, mÄ ussen die Anzahl der Spalten der ersten Matrix und die Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix u Äbereinstimmen.

9

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Multiplikation von Matrizen III

Gegeben seien sei Matrizen A 2 Rm£n und B = Rn£p . Das Produkt C der beiden Matrizen A und B ist dann eine m £ p - Matrix und lÄ asst sich allgemein durch die folgende Formel darstellen: C =A¢B £ ¤ £ ¤ = aij ¢ bij n X £ ¤ = cij mit cij = aik bkj k=1

10

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Multiplikation von Matrizen IV

Aufgabe · Es seien A =

¸

·

1 2 ¡1 und B = 3 4 0

Berechne A + B, A ¡ B und A ¢ B.

11

© 2012 Steven Köhler

¸

5 gegeben. 3

Matrizen

Multiplikation von Matrizen V

LÄ osung Es ergeben sich die folgenden Matrizen: ·

¸ 0 7 A+B = 3 7 · ¸ 2 ¡3 A¡B = 3 1 · ¸ ¡1 11 A¢B = ¡3 27

12

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Falksches Schema I

Das Falksche Schema (1951 von Sigurd Falk vorgeschlagen) ist eine einfache Methode, Matrizenmultiplikation u Äbersichtlicher darzustellen. Dazu werden die Matrizen A und B sowie deren Produkt C in eine bestimmte tabellarische Form gebracht, die vor allem eine optische Hilfe bietet.

13

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Falksches Schema II Gegeben seien die Matrizen A 2 R3£3 und B 2 R3£3 . Darstellung der Matrizenmultiplikation mit dem Falkschen Schema: 2 3 b11 b12 b13 4b21 b22 b23 5 (= B) b31 b32 b33 2

a11 (A =) 4a21 a31

a12 a22 a32

3 2 a13 c11 a23 5 4c21 a33 c31

c12 c22 c32

3

c13 c23 5 (= C) c33

Die Werte fÄ ur cij berechnen sich wie zuvor durch cij =

3 P k=1

14

© 2012 Steven Köhler

aik bkj .

Matrizen

Aufgaben

Aufgabe 1 Gegeben seien die Matrizen 2 1 A= 7 ¡1

0 0 6 2

1 3 ¡1 ;B= 1 3 1 4

2 0 1

¡1 2 ;C= 1 0

2

2 ¡2 ; D = 3 : ¡2

Entscheide, ob die folgenden Produkte de¯niert sind und berechnen diese, falls sie existieren: AB, BA, AC, AD, AA, BB, CD, DC.

15

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Aufgaben

Aufgabe 2 Gegeben seien die Matrizen 3 2 2 ¡1 ¡2 3 4 5 6 62 6 2 3 4 57 2 7 6 6 und B = A=4 43 3 1 2 3 45 0 1 4 7 7 4

3 1 ¡3 2

3

4 47 7: ¡35 0

Berechne das Element, das in AB in der dritten Zeile und zweiten Spalte steht. Berechne au¼erdem die vierte Spalte von AB.

16

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Aufgaben Aufgabe 3 Entscheide, welche der folgenden Aussagen wahr und welche falsch sind. BegrÄ unde deine Meinung! a) Die Addition von Matrizen ist nicht assoziativ. b) Die Multiplikation von Matrizen ist fÄ ur alle Matrizen kommutativ. c) Die Multiplikation von Matrizen ist niemals kommutativ. d) FÄ ur 2 £ 2 - Matrizen gilt das Distributivgesetz (A + B) ¢ C = AC + BC:

17

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Elementare Zeilenumformungen

Man darf Matrizen durch elementare Zeilenumformungen in eine andere Matrix u ÄberfÄ uhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Zeilen; ² Multiplikation einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. Diese Operationen dÄ urfen beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden.

18

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Elementare Spaltenumformungen I Ebenso wie durch elementare Zeilenumformungen darf man eine Matrix durch elementare Spaltenumformungen in eine andere Matrix u ÄberfÄ uhren. Diese Umformungen sind: ² Vertauschen von zwei Spalten; ² Multiplikation einer Spalte mit einer von Null verschiedenen Konstanten; ² Addition eines Vielfachen einer Spalte zu einer anderen Spalte.

Diese Operationen dÄ urfen ebenfalls beliebig kombiniert und beliebig oft wiederholt werden.

19

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Elementare Spaltenumformungen II

Generell sollten elementare Zeilen- und Spaltenumformungen nicht vermischt werden, da dies meist mehr Chaos als Nutzen bringt. Wir werden uns im Folgenden ausschlie¼lich mit elementaren Zeilenumformungen beschÄaftigen. Sollten einmal Umformungen der Spalten notwendig sein, werden wir die zugehÄ orige Matrix zunÄachst transponieren und anschlie¼end die Zeilen der transponierten Matrix umformen.

20

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Zeilenstufenform I Durch elementare Zeilenumformungen kann man jede Matrix in die sogenannte Zeilenstufenform bringen. Diese erfÄ ullt die folgenden Eigenschaften (vgl. Gramlich): ² Alle Zeilen, die nur Nullen enthalten, stehen in der Matrix ganz unten. ² Wenn eine Zeile nicht nur aus Nullen besteht, so ist die erste von Null verschiedene Zahl eine Eins. Sie wird als fÄ uhrende Eins bezeichnet. ² In zwei aufeinanderfolgenden Zeilen, die von Null verschiedene Elemente besitzen, steht die fÄ uhrende Eins in der unteren Zeile stets weiter rechts als in der oberen Zeile.

21

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Zeilenstufenform II

Besitzt die Matrix Zeilenstufenform und gilt zusÄatzlich noch ² Eine Spalte, die eine fÄ uhrende Eins enthÄalt, hat keine weiteren von Null verschiedenen EintrÄage, dann liegt die Matrix in reduzierter Zeilenstufenform vor.

22

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Zeilenstufenform III

Beispiel ·

¸ 2 8 Es sei A = . 3 5 Bringe die Matrix A in Zeilenstufenform!

23

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Zeilenstufenform IV ZunÄ achst wird die 1. Zeile mit 12 · 1 3

multipliziert: ¸ 4 : 5

Anschlie¼end wird das (¡3)-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile addiert: · ¸ 1 4 : 0 ¡7 Abschlie¼end wird die 2. Zeile mit ¡ 17 multipliziert: · ¸ 1 4 : 0 1

24

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Zeilenstufenform V

Aufgabe 4 Ä UberfÄ uhre die folgende Matrix in Zeilenstufenform! 2 3 1 2 1 1 62 1 ¡2 07 6 7 43 1 ¡3 15 1 3 2 1

25

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Einheitsmatrizen I Als Einheitsmatrix wird die spezielle quadratische Matrix En 2 Rn£n bezeichnet, deren Hauptdiagonalenelemente 1 sind; alle anderen EintrÄ age sind 0. 2 3 1 0 ::: 0 0 60 1 : : : 0 07 6 7 6 .. .. . . 7 . . . . En = 6 . . . . .7 6 7 40 0 : : : 1 05 0 0 ::: 0 1

26

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Einheitsmatrizen II

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element bezÄ uglich der Matrizenmultiplikation, d.h., fÄ ur alle Matrizen A (passende Dimensionen vorausgesetzt) gilt A ¢ E = E ¢ A = A:

27

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Diagonalmatrizen Diagonalmatrizen sind spezielle quadratische Matrizen, die lediglich auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente besitzen: 2 3 d1 0 : : : 0 0 6 0 d2 : : : 0 07 6 7 6 .. . . . .. 7 .. . . . .. D=6. 7: 6 7 4 0 0 : : : dn¡1 0 5 0 0 ::: 0 dn Die Einheitsmatrizen En sind spezielle Diagonalmatrizen.

28

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Skalarmatrizen I

Skalarmatrizen sind spezielle Diagonalmatrizen, besitzen also ebenfalls nur auf der Hauptdiagonalen von 0 verschiedene Elemente; zusÄ atzlich haben alle Hauptdiagonalenelemente denselben Wert: 3 2 ¸ 0 ::: 0 0 60 ¸ : : : 0 07 7 6 7 6 .. .. . . . . . . : S = 6. . . . .7 7 6 40 0 : : : ¸ 05 0 0 ::: 0 ¸

29

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Skalarmatrizen II

Wie man leicht sieht, ist die Skalarmatrix lediglich ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix: 3 2 ¸ 0 ::: 0 0 60 ¸ : : : 0 07 7 6 6 .. .. . . . . .. .. 7 S = 6. . 7 = ¸ ¢ En : . 7 6 40 0 : : : ¸ 05 0 0 ::: 0 ¸

30

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Dreiecksmatrizen I

Dreiecksmatrizen sind eine weitere spezielle Art von Matrizen. Sie werden unterschieden in obere und untere Dreiecksmatrizen. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass sie u Äber- bzw. halb der Hauptdiagonalen nur Nullen besitzen.

31

© 2012 Steven Köhler

unter-

Matrizen

Dreiecksmatrizen II 2

a1 60 6 6 O = 6 ... 6 40 0

2

a1 6? 6 6 U = 6 ... 6 4? ?

32

? a2 .. .

::: ::: .. .

? ? .. .

0 0

: : : an¡1 ::: 0

0 a2 .. .

::: ::: .. .

0 0 .. .

? ?

: : : an¡1 ::: ?

© 2012 Steven Köhler

3

? ?7 7 .. 7 .7 7 ?5 an

3

0 07 7 .. 7 .7 7 05 an

Matrizen

Transponierte Matrix I

Aus einer Matrix A erha Ält man die transponierte Matrix AT dadurch, dass man die Zeilen der Matrix A mit den Spalten der Matrix A vertauscht. Mit anderen Worten: Die Matrix A wird an der Hauptdiagonalen gespiegelt\. " Gegentlich wird die transponierte Matrix auch gestÄ urzte Matrix genannt.

33

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Transponierte Matrix II Es sei A 2 Rn£m gegeben durch: 2 a11 : : : 6 .. A = 4 ... . an1

3

a1m .. 7 : . 5

: : : anm

Durch Vertauschen der Zeilen und Spalten erhÄalt man die transponierte Matrix AT 2 Rm£n : 2 3 a11 : : : an1 6 .. 7 : .. AT = 4 ... . . 5 a1m : : : anm

34

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Symmetrische Matrizen

Eine quadratische Matrix A 2 Rn£n hei¼t symmetrisch, wenn fÄ ur alle i; j 2 N (1 · i · n und 1 · j · n) Folgendes gilt: aij = aji : FÄ ur symmetrische Matrizen gilt au¼erdem A = AT :

35

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Inverse Matrix I

Eine quadratische Matrix A hei¼t invertierbar, falls es eine Matrix ur die gilt: A¡1 gibt, fÄ A ¢ A¡1 = A¡1 ¢ A = E: Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar. Falls eine Matrix invertierbar ist, so ist ihr Inverses allerdings eindeutig bestimmt.

36

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Inverse Matrix II

Frage: Woher wei¼ man, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist oder nicht? Wenn man wei¼, dass eine Matrix invertierbar ist, wie kann man die inverse Matrix bestimmen?

37

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Inverse Matrix III

Antwort: Man wendet den Gau¼-Jordan-Algorithmus an. ² Ist die Matrix invertierbar, liefert dieser garantiert die inverse Matrix. ² Ist die Matrix nicht invertierbar, wird dies durch das Verfahren zweifelsfrei festgestellt.

38

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus I Der Gau¼-Jordan-Algorithmus besteht aus den folgenden einfachen Schritten, mit deren Hilfe man die inverse Matrix bestimmen kann, falls sie existiert. Vorbereitung Man erstellt die folgende Blockmatrix: h ¯ i A¯E : A ist die zu invertierende Matrix, E ist eine entsprechend dimensionierte Einheitsmatrix.

39

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus II 1. Schritt Man wÄ ahlt die erste Spalte, die noch nicht in der richtigen Form vorliegt (1 auf der Hauptdiagonalen, sonst nur Nullen). 2. Schritt Ist das Hauptdiagonalenelement der Spalte eine Null, so vertauscht man die Zeilen der Matrix auf geeignete Art, um ein von Null verschiedenes Element in die Hauptdiagonale zu bekommen. 3. Schritt Durch Multiplikation mit einem geeigneten Faktor macht man das Hauptdiagonalenelement der Spalte zu einer 1.

40

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus III

4. Schritt Durch Addition geeigneter Vielfacher der gerade multiplizierten Zeile bringt man alle anderen Elemente in der aktuellen Spalte auf Null. 5. Schritt Man wiederholt dieses Vorgehen, bis alle Spalten der Matrix A die richtige Form haben oder bis ein weiteres Umformen nicht mehr mÄ oglich ist.

41

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus IV Beispiel

2 ¡1 2 Gesucht ist das Inverse der Matrix A = 4 0 0 4 4

3

0 35. 1

LÄ osung ZunÄ achst stellen wir die entsprechende Blockmatrix auf. 2 3 ¡1 2 0 1 0 0 4 0 0 3 0 1 0 5 4 4 1 0 0 1

42

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus V Zuerst bringen wir das Hauptdiagonalenelement der ersten Spalte in die richtige Form, indem wir die erste Zeile mit ¡1 multiplizieren. 3 2 1 ¡2 0 ¡1 0 0 4 0 0 3 0 1 0 5 4 4 1 0 0 1 Um den Rest der ersten Spalte in die richtige Form zu bringen, addieren wir das (¡4)-fache der ersten Zeile zur dritten Zeile. 3 2 1 ¡2 0 ¡1 0 0 4 0 0 3 0 1 0 5 0 12 1 4 0 1

43

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus VI Weiter mit Spalte 2. ZunÄ achst vertauschen wir die zweite und dritte Zeile. 2 3 1 ¡2 0 ¡1 0 0 4 0 12 1 4 0 1 5 0 0 3 0 1 0 1 Durch Multiplikation mit 12 bringen wir das Hauptdiagonalenelement von Zeile 2 in die richtige Form. 3 2 1 ¡2 0 ¡1 0 0 7 6 1 4 1 7 6 0 1 0 12 5 12 12 4 0 0 3 0 1 0

44

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus VII Durch Addition des doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile bringen wir die zweite Spalte in die richtige Form. 3 2 2 4 2 1 0 12 ¡ 12 0 12 7 6 4 1 7 6 0 1 1 0 12 5 12 12 4 0 0 3 0 1 0 Weiter mit Spalte 3. Multiplikation der dritten Zeile mit 3 2 2 4 2 1 0 12 ¡ 12 0 12 7 6 4 1 7 6 0 1 1 0 12 5 12 12 4 1 0 0 1 0 0 3

45

© 2012 Steven Köhler

1 3

ergibt:

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus VII Addition geeigneter Vielfacher zu den ersten beiden Zeilen bringt schlie¼lich die dritte Spalte in die richtige Form. 3 2 1 1 1 1 0 0 ¡ 3 ¡ 18 6 7 6 1 1 1 7 6 0 1 0 ¡ 36 12 5 3 4 1 0 0 1 0 0 3 Wir haben also die inverse Matrix zu A gefunden. 2 1 3 1 1 ¡ 3 ¡ 18 6 6 1 7 ¡1 1 7 1 6 ¡ 36 12 5 A =4 3 1 0 0 3

46

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Gauß-Jordan-Algorithmus VIII

Ist die Matrix A nicht invertierbar, so lÄ asst sie sich mit dem Gau¼-Jordan-Algorithmus nicht zur Einheitsmatrix E umformen. Im Gegenzug kann die Matrix A immer genau dann zur Einheitsmatrix E umgeformt werden, wenn sie invertierbar ist.

47

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Aufgaben Aufgabe 5 3 2 1 1 0 a) Es sei A 2 R3£3 gegeben durch A = 42 1 15. 2 2 1 Berechne A¡1 mit Hilfe des Gau¼-Jordan-Algorithmus. Ä UberprÄ ufe dein Ergebnis auf Richtigkeit! b) Zeige, dass die folgende Matrix B 2 R3£3 nicht invertierbar ist: 3 2 1 ¡2 3 4 ¡15 : B = 42 2 ¡12 13

48

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Aufgaben

Aufgabe 6 · Zeige anhand der Matrix A = Eigenschaft gilt:

49

¸ 1 2 , dass die folgende 3 7

¡ T ¢¡1 ¡ ¡1 ¢T = A : A

© 2012 Steven Köhler

Matrizen

Anwendungen für Matrizen Matrizen haben eine Vielzahl von Anwendungsgebieten: ² Wachstumsmatrizen ² Populationsmatrizen ² Kosten-Preis-Kalkulationen ² LÄ osen von linearen Gleichungssystemen ² Darstellung von linearen Abbildungen ² Anwendungen in der Computergra¯k (Rotation, Translation, etc.)

50

© 2012 Steven Köhler