Trigonometrie, Analytische Geometrie, Vektorgeometrie, Raumgeometrie

Inhaltsverzeichnis 1 Trigonometrie

1

1.1

Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Worum geht es in der Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4

Einige didaktische Herausforderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5

Programm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.6

Sinussatz und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2 Analytische Geometrie, Vektorgeometrie

4

2.1

Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Zur historischen Entwicklung der analytischen Geometrie . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Analytische Geometrie und Vektoren im gymnasialen Unterricht . . . . . . . . .

6

3 Raumgeometrie

7

3.1

Unterrichtsthemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3.2

¨ Beispiele, Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1

Trigonometrie

1.1

Vorbemerkungen

¨ Winkel lassen sich durch Verh¨ altnisse von Strecken angeben. So benutzten die Agypter beim Pyramidenbau nicht unser Winkelmass, sondern das Verh¨altnis von Vertikalstrecke zur Horizontalstrecke. Man m¨ ochte aber ein additives Winkelmass haben. Daher f¨ uhren astronomische Berechnungsprobleme, Vermessungsprobleme, Berechnungen an ebenen Figuren und an K¨orpern zu Aufgaben wie • zu einem Winkel die zugeh¨ orige Sehne zu finden und umgekehrt • in Dreiecken Seiten und Winkel aus gegebenen Seiten und Winkeln zu berechnen Die Trigonometrie zielt darauf ab, die L¨angen- und Winkelmessung bei der Vermessung von ” Erde und Himmel koordiniert einzusetzen.“ (Wittmann) 1

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1.2

Fachdidaktik I

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Historische Entwicklung

• Sehnentafeln von Hipparch (141 - 126), Sehnentafeln mit Schrittweite 7 21 ◦ • Almagest von C. Ptolem¨ aus (150 n. Chr.), Sehnentafeln mit Schrittweite 12 ◦ . Ptolem¨ aus kann mit Hilfe seines Satzes u ¨ber Sehnenvierecke ausgehend von Sehnen zu den Winkeln von 90◦ , 60◦ und 36◦ (Seite des regelm¨assigen Zehnecks) die Sehnen zu 6◦ , 3◦ , 1 21 ◦ und 43 ◦ berechnen. Die Sehne zu 1◦ berechnet er durch Interpolation und kann nun seine Sehnentafel erstellen. • Weiterentwicklung durch J. Regiomontanus, 5 B¨ ucher u ¨ ber Dreiecke (1533, ebene und sph¨arische Trigonometrie) • Einf¨ uhrung der Formelsprache durch L. Euler (18.Jh.)

1.3

Worum geht es in der Trigonometrie

• Winkel im Einheitskreis sind durch die L¨ange der zugeh¨origen Sehnen bestimmt. Im recht¨ winkligen Dreieck sind die Winkel nach der Ahnlichkeitslehre durch Seitenverh¨altnisse bestimmt. • Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck lassen sich verallgemeinern auf beliebige Winkel (Definition im Einheitskreis). • Mit einer Winkelfunktion sind auch die anderen bestimmt (wenn man Wurzel ziehen kann). • Nur in wenigen Spezialf¨ allen ist die Dreiecksberechnung oder das Problem, Sehnen zu bestimmten Winkeln zu berechnen, einfach. Das heisst, nur in wenigen F¨allen lassen sich die Funktionswerte trigonometrischer Funktionen einfach berechnen. • Die Additionstheoreme erlauben eine im Prinzip beliebig genaue Bestimmung der Werte trigonometrischer Funktionen f¨ ur beliebige Winkel (verschiedene algorithmische Verfahren). Die Funktionswerte lassen sich im Prinzip auch mit Potenzreihen berechnen. • Die Trigonometrie rechtwinkliger Dreiecke l¨asst sich auf beliebige Dreiecke u ¨ bertragen: Mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz hat man Formeln, die es gestatten, aus Seitenl¨angen und Winkelmassen, die ein Dreieck festlegen, die Masse der restlichen St¨ ucke zu berechnen (Algebraisierung der Kongruenzs¨atze). • Mit den trigonometrischen Funktionen bekommt man grundlegende Funktionen, deren Bedeutung weit u ¨ber das Problem der Vermessung hinausgeht.

1.4

Einige didaktische Herausforderungen

• Winkeln werden Streckenverh¨ altnisse zugeordnet, das ist f¨ ur Anf¨anger sehr abstrakt. • Der Funktionsbegriff ist f¨ ur die SuS noch mehr oder weniger neu. • Zwei Definitionsm¨ oglichkeiten: Seitenverh¨altnisse in rechtwinkligen Dreiecken und Definition mit Koordinaten von Punkten auf dem Einheitskreis. • Motivation, Einstiegsproblem f¨ ur die Einf¨ uhrung • Die Berechnung beliebiger Funktionswerte ist alles andere als elementar. Die Werte sind im allgemeinen nicht rational oder einfache Wurzelausdr¨ ucke. Der Taschenrechner ist essentiell f¨ ur das L¨ osen von Aufgaben. Die SuS sollten aber seine Rolle“ verstehen. ” 2

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• Das Konzept der Umkehrfunktion, das in der Trigonometrie zentral ist, ist f¨ ur SuS eher schwierig.

1.5

Programm

• Satz von Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck. • ev. Einf¨ uhrung des Tangens im Zusammenhang mit der Steigung von Geraden • Studium der Beziehungen zwischen einem spitzen Winkel und den u ¨brigen Seiten im rechtwinkligen Dreieck; Definition der Winkelfunktionen als Wickelfunktionen des Einheits” kreises“(Wittmann), Umkehrfunktionen • Berechnung spezieller Funktionswerte • Symmetrieeigenschaften • ev. prinzipielle“ Berechnung beliebiger Werte durch Bogenhalbierung (siehe Handout) ” • Trigonometrie des rechtwinkligen Dreiecks • Anwendungen unter anderem auf die Himmelsgeometrie (Entfernung Erde/Mond, Radius der Mondkugel, Entfernung Erde/Sonne) • Trigonometrie in beliebigen Dreiecken mit Hilfe der H¨ohen auf rechtwinklige Dreiecke zur¨ uckf¨ uhren, Sinussatz, Kosinussatz , trigonometrische Grundaufgaben (Algebraisierung der Kongruenzs¨ atze) • Additionstheoreme, ev. Algorithmen zur prinzipiellen“ Berechnung von Sinus oder Kosi” nus (siehe Handout) • Anwendungen: Vermessungsaufgaben, z. B. Satz von Heron (Inhalt der Dreiecksfl¨ache aus den Seiten) etc., Berechnungen an K¨orpern • Graphen der trigonometrischen Funktionen

1.6

Sinussatz und Kosinussatz

Sinussatz

b c a = = = 2r sinα sinβ sinγ

(r Umkreisradius)

Kosinussatz c2 = a2 + b2 − 2abcosα Die S¨atze k¨ onnen in geeigneten Lernaufgaben von den SuS selbst¨andig hergeleitet werden. Beispiel: Die SuS berechnen, bevor sie den Sinussatz kennen, in einem Dreieck ABC aus den numerisch gegebenen St¨ ucken a, α und β die Seite b. Den gefundenen Weg verallgemeinern sie zu einer Formel f¨ ur beliebige a, α und β. ¨ Ubungsaufgabe Der Sinussatz l¨ asst auf weitere Arten herleiten: Er ergibt sich aus verschiedenen Ausdr¨ ucke f¨ ur a) die H¨ ohen, b) den Fl¨acheninhalt, c) den Umkreisradius. Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras. Daraus ergeben sich ¨ verschiedene M¨ oglichkeiten der Herleitung (siehe Ubung 5).

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Wiederum kann auch eine Berechnungsaufgabe die SuS zum Kosinussatz f¨ uhren: In einem Dreieck ABC berechnen sie aus den numerisch gegebenen St¨ ucken a, b und γ die Seite c, beschreiben ihren Rechenweg in Worten und verallgemeinern ihn dann zur entsprechenden Formel. ¨ Ubungsaufgabe Tragen Sie in die untenstehende Figur das N¨otige ein, sodass das Additionstheorem f¨ ur sin(α + β) ersichtlich ist. 1

Q b

b

P

b

R

β b

α

2 2.1

b

Qx

O

1

Analytische Geometrie, Vektorgeometrie Vorbemerkungen

In der analytischen Geometrie werden die rechnerischen und algebraischen Methoden, die schon im Zusammenhang mit L¨ ange, Fl¨ acheninhalt und Volumen und der Trigonometrie eingef¨ uhrt wurden, zu einer Algebraisierung der Geometrie ausgedehnt, indem geometrische Sachverhalte mit Hilfe von Koordinaten beschrieben werden. Vom genetischen Prinzip her gesehen ist die analytische Geometrie als Algebraisierung der Ele¨ mentargeometrie aufzufassen. Das Programm heisst also: Ubersetze geometrische Begriffe in ” die Algebra und n¨ utze dies f¨ ur die L¨ osung geometrischer Probleme aus.“ (E. Wittmann) In manchen Situationen ist rechnerisches Vorgehen zwar elegant und in gewissem Sinn einfa” cher“, weil klar ist, wie vorzugehen ist, hingegen die geometrische Einsicht besser durch elemen¨ ¨ targeomtrische Uberlegungen zu gewinnen, wie die folgende Ubungsaufgabe illustrieren soll. ¨ Ubungsaufgabe Es gilt der Satz: Die drei H¨ ohen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Beweisen Sie den Satz (a) mit Hilfe von Vektoren (b) elementargeometrisch.

4

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2.2

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Zur historischen Entwicklung der analytischen Geometrie

• Apollonius (262 - 190 v. Chr.) befasst sich intensiv mit Kegelschnitten und ben¨ utzt Methoden, die sp¨ ater Fermat und Descartes aufgreifen werden. • Die Neue Algebra“ von F. Vieta ( 1540 - 1603) arbeitet mit Symbolen statt bestimmten ” Zahlen. Damit holt die Algebra den Vorsprung der Geometrie gewissermassen auf, und es wird eine unabdingbare Grundlage f¨ ur die Entwicklung der analytischen Geometrie gelegt. • P. Fermat (1601 - 1665) ist stark von Vieta beeinflusst und kennt u.a. die Werke von Archimedes, Apollonius und Pappos. Er anvisiert eine neue Behandlung der Kegelschnittlehre, die wegen der Fortschritte in der Astronomie neue Bedeutung erlangt hat. Er geht ” von geometrischen Beziehungen aus und u ¨ bersetzt sie sofort in algebraische Aussagen. Das algebraische Rechnen mit geometrischen Gr¨ossen ist f¨ ur sein Vorgehen charakteristisch.“(Gericke, S. 291) Es gibt Arbeiten von Fermat, in welchen er im Prinzip schon ein Achsenkreuz verwendet. • R. Descartes (1596 - 1650) schreibt in seiner Geometrie (1637): Alle Probleme der Geo” metrie k¨ onnen leicht auf einen solchen Ausdruck gebracht werden, dass es nachher nur der Kenntnis der L¨ ange gewisser gerader Linien bedarf, um diese Probleme zu konstruieren.“ Den entscheidenden Schritt vollzieht Descartes, indem er das Produkt zweier Strecken nicht mehr als Rechteck auffasst, sondern als Strecke - vorausgesetzt, es ist eine Einheitsstrecke festgelegt: Es sei z.B AB die Einheit und es sei BD mit BC zu multiplizieren, so ” habe ich nur die Punkte A und C zu verbinden, dann DE parallel mit CA zu ziehen, und BE ist das Produkt dieser Multiplikation.“

b

E

b

b

D b

C

A b

B

Descartes ben¨ utzt f¨ ur sein Programm die Einf¨ uhrung eines Koordinatensystems: Ich w¨ahle ” zu dem Ende eine gerade Linie, etwa AB, um auf ihre Punkte die Punkte der krummen Linie EC beziehen zu k¨ onnen; ferner w¨ahle ich einen Punkt A auf AB, von dem aus als Anfangspunkt die Rechnung zu beginnen ist.“ Ein Koordinatensystem in unserem Sinn ist aber in Descartes Arbeiten noch nicht zu finden. • Wichtige Beitr¨ age zur Koordinatengeometrie leisten u.a. J. Wallis und vor allem I. Newton. Letzterer verwendet erstmals ebene Koordinaten in allen vier Quadranten und auch r¨aumliche Koordinaten, sowie Polarkoordinaten. Auch werden Kurven in Parameterdarstellungen gegeben. • A.-C. Clairaut und L. Euler (18. Jh.) gehen erstmals u ¨ber die analytische Geometrie der Ebene hinaus und betrachten gekr¨ ummte Fl¨achen im Raum. Bei Euler findet man unter

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anderem den allgemeinen Begriff der Gleichung einer Kurve, die Klassifikation der Kegelschnitte, die algebraische Behandlung ohne Differentialrechnung von Tangenten, Normalen Kr¨ ummung, Wendepunkten etc. • Im 19. Jh. wird die Begriffsbildung auf n-dimensionale“ R¨aume u ¨bertragen. Cauchy ¨ ” , in welcher es um Funktionen von mehr als schreibt 1847 eine Arbeit Analytische Orter“ ” zwei oder drei Variablen und ihre geometrische Bedeutung bei der Verwendung von Koordinaten geht. Da die Analogien zwischen dem Anschaulichen in zwei oder drei Dimensionen und dem H¨ oherdimensionalen am einfachsten bei linearen Begriffen zu sehen sind, geht die Entwicklung von n-dimensionaler Geometrie Hand in Hand mit der Entwicklung der linearen Algebra des Vektorbegriffs. • In der Physik wird der Vektorbegriff zuerst f¨ ur Geschwindigkeiten und Kr¨afte benutzt. Die Zerlegung von Kr¨ aften mittels Kr¨afteparallelogramm“ findet man erstmals um 1600 bei ” P. Varignon und bei W. Snellius im Zusammenhang mit der Statik. Die Entwicklung des physikalischen Vektorbegriffs erh¨ alt zu Beginn des 19. Jh. m¨achtigen Aufschwung bei der Untersuchung elektrischer und magnetischer Felder. Beim italienischen Mathematiker G. Bellavitis findet man 1832 erstmals die Aussage, dass sich Produkte von Translationen wie (physikalische) Vektoren verhalten. Der Vektorbegriff tritt in der Mathematik erst Mitte des 19. Jahrhunderts auf. Als Begr¨ under gelten W.R.Hamilton (1805 - 1865) und H.G.Grassmann (1809 - 1877). Hamilton versucht, die 1806 von J.R. Argand gegebene Interpretation des Rechnens mit komplexen Zahlen, auf den dreidimensionalen Raum zu u ¨bertragen und erfindet schliesslich 1843 die Quaternionen, die einen vierdimensionalen Raum bilden. Ein Quaternion l¨asst sich schreiben als x = x0 1 + x1 i + x2 j + x3 k F¨ ur i, j, k wird festgelegt i2 = j 2 = k2 = −1 und ij = +k, jk = +i, ki = +j sowie ji = −k, kj = −i, ik = −j. x = x0 1 ist der “skalare Teil“ , x1 i + x2 j + x3 k der “vektorielle Teil“. Im Produkt zweier Quaternionen x und y mit Skalarteil 0 ist die erste Komponente bis auf das Vorzeichen das heutige Skalarprodukt der vektoriellen Teile von x und y, die andern drei Komponenten bilden das heutige Vektorprodukt der vektoriellen Teile von x und y. Einen ganz anderen und weiter weisenden Weg hat Grassmann in seiner 1844 erschienenen Ausdehnungslehre“ beschrit” ten. Das bahnbrechende Werk war f¨ ur seine Zeitgenossen schwer verst¨andlich. Ohne den Begriff des Vektors zu benutzen, betrachtet Grassmann im Prinzip Linearkombinationen einer n-dimensionalen Basis eines linearen Raums und behandelt unter anderem lineare Abh¨angigkeit, den Dimensionssatz f¨ ur lineare Unterr¨aume, ein ¨ausseres und ein inneres Produkt. Schliesslich gibt G. Peano (1858 - 1932) motiviert durch Grassmanns Arbeiten 1888 erstmals einen axiomatisch gefassten Begriff eines Vektorraums. [3]

2.3

Analytische Geometrie und Vektoren im gymnasialen Unterricht

¨ Uberlegungen an der Zahlengeraden zu den Rechenoperationen sind eine wichtige Vorbereitung ( Vektorgeometrie“ im eindimensionalen Fall). Nach der Einf¨ uhrung von Koordinaten (auch ” nicht-kartesischen) zur Festlegung von Punkten in der Ebene, k¨onnen die SuS erste Erfahrungen mit dem Rechnen mit ebenen kartesischen Koordinaten machen, zum Beispiel Punkte Abbildungen unterwerfen, einen fehlenden Punkt eines Parallelogramms oder den Mittelpunkt einer Strecke berechnen etc. Daran k¨ onnen sich auch schon einfache Aufgaben in drei Dimensionen anschliessen. ¨ Ubungsaufgabe Stellen Sie geeignete Aufgaben zusammen. ¨ Im Rahmen der Behandlung des Satzes von Pythagoras und der Ahnlichkeit k¨onnen Aufgaben gestellt werden, die auf die Gleichung eines Kreises und die Gleichung einer Geraden f¨ uhren 6

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¨ (siehe Ubung 5). ¨ Ubungsaufgabe Einf¨ uhrung der Gleichung einer Geraden in der Ebene als Anwendung der Strahlens¨atze: Erstellen Sie eine Aufgabensequenz, mit der die SuS eine Gleichung der Geraden durch die Punkte A(1/2) und B(7/5) finden. Bemerkung Die Verwendung von Lernaufgaben ist dankbar. Es lassen sich gut Aufgabensequenzen entwickeln, die den verschiedenen Leistungsm¨oglichkeiten der SuS einer Klasse Rechnung tragen. Vektoren sind ein praktisches Hilfsmittel in der analytischen Geometrie und im heutigen Unterricht unverzichtbar, obwohl man die Aufgaben im Prinzip auch ohne Vektoren l¨osen k¨onnte (bis ca. 1960 wurde analytische Geometrie im gymnasialen Mathematikunterricht ohne Vektoren behandelt). Die Begriffsbildung ist nicht einfach. In der Schule kann man ja nicht die Vektorraumaxiome an den Anfang stellen. Es stellt sich die Frage, was SuS von Vektoren wissen und welche Vorstellungen sie haben sollten. Es ist auch zu ber¨ ucksichtigen, dass auch in der Physik von Vektoren gesprochen wird. Je nach Kontext haben Vektoren ein anderes Gesicht“. Es gibt ” verschiedene M¨ oglichkeiten (und Ansichten) zur Einf¨ uhrung von Vektoren. • G. Malle: Ein Vektor ist ein algebraisches Objekt, n¨amlich ein Zahlenpaar oder ein Zah” lentripel, f¨ ur diese werden Rechenoperationen definiert. Die Zahlenpaare, resp. -tripel und ihre Rechenoperationen werden in der Ebene, resp. im Raum mithilfe von Punkten und Pfeilen lediglich geometrisch gedeutet.“ [2] • Ein Vektor ist eine Klasse gleich langer, paralleler und gleich orientierter Pfeile. • Einen Vektor zun¨ achst als Verschiebungsvektor einer Translation definieren: Eine Translation ist gegeben durch eine Verschiebungsrichtung und eine Verschiebungsl¨ange. Dies stellen wir durch einen Pfeil dar, der einen sogenannten Vektor (auch Verschiebungsvektor genannt) repr¨ asentiert. Das Produkt zweier Translationen τ~v und τ~u ist wieder eine Translation, sagen wir τw~ . Es ist klar, wie der Vektor τw~ zu konstruieren ist. w ~ heisst Sum” me“ von ~v und ~u. Auf der Menge der Vektoren ist damit eine Addition definiert. Vektoren k¨onnen umgekehrt in Komponenten parallel zu gegebenen Geraden zerlegt werden. Die Identit¨ at entspricht dem Nullvektor, und die zu τ~v inverse Translation wird durch den sogenannten Gegenvektor von ~v , geschrieben −~v , repr¨asentiert. Damit l¨asst sich nun auch die Subtraktion von Vektoren in naheliegender Weise definieren. - Vektoren k¨onnen auch mit Zahlen multipliziert werden, und mithilfe der Strahlens¨atze l¨asst sich das Distributivgesetz einsehen. In einem Koordinatensystem werden Vektoren durch ihre Komponenten parallel zu den Achsen dargestellt. Eine operative Sichtweise eines Vektors im Koordinatensystem wie gehe a Einheiten in x-Richtung und b-Einheiten in y-Richtung“, die beim Rechnen mit ” Koordinaten n¨ utzlich ist, schliesst gut an die Interpretation als Verschiebungsvektoren an. Die in der Physik auftretenden Geschwindigkeitsvektoren und Kr¨aftevektoren verhalten sich in Bezug auf Addition und Zerlegung wie Verschiebungsvektoren. Bemerkung Wie immer man in die Vektorrechnung einsteigt, die SuS sollten auch die Benutzung von Vektoren in nicht-geometrischem Kontext kennenlernen. Anregungen findet man in [1].

3

Raumgeometrie

Raumgeometrie soll auf allen Stufen, zu jedem geometrischen Thema eingeplant werden. Das r¨ aumliche Vorstellungsverm¨ ogen soll immer wieder trainiert werden. Hilfreich sind 7

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Baus¨ atze zur 3- dimensionalen Visualisierung von r¨aumlichen Situationen.

3.1

Unterrichtsthemen

– Grundbegriffe wie Ebenen, Geraden, Kugeln, Abst¨ande . . . , schneiden, ber¨ uhren . . . Einsatz von Vektorgeometrie – Bewegungen im Raum – K¨ orper: Welche K¨ orper gibt es? Eigenschaften? Ordnen Eulersche Polyederformel Volumina, Oberfl¨ achen, Winkel, etc. Tetraedergeometrie Platonische K¨ orper – Geometrie auf der Kugel – Himmelserscheinungen, Bsp. Tagesl¨ange – Darstellung r¨ aumlicher Situationen, Parallelprojektion, Axonometrie, Zentralprojektion, Objekte in wahrer Gr¨ osse durch Umklappverfahren“ finden. Anregungen finden ” sich auch in den Aufgaben der Eignungstests f¨ ur zuk¨ unftige Medizinstudenten. – Kegelschnitte (Dandelinkugeln)

3.2

¨ Beispiele, Ubungsaufgaben

1. Dandelinkugeln Ein Kreiskegel wird so mit einer Ebene geschnitten, dass die Schnittkurve eine geschlossene Kurve ergibt. Dann gibt es zwei Kugeln, die den Kegel von innen und die Schnittebene ber¨ uhren. Das sind die sogenannten Dandelin-Kugeln, benannt nach dem belgischen Ingenieur Pierre Dandelin (1794 - 1847). Die Ber¨ uhrpunkte der Kugeln mit der Schnittebene seien F1 und F2 . Was l¨asst sich u ¨ber die Summe der Abst¨ande eines Punktes der Schnittkurve zu den Punkten F1 und F2 aussagen? Wie ist es, wenn anstelle des Kreiskegels ein Kreiszylinder betrachtet wird? 2. Wu ¨rfel, Quader (a) Ein W¨ urfel wird von einer Ebene in den Punkten I, J, K geschnitten. Konstruieren Sie die Schnittfigur. Man ben¨ utzt – F¨ ur Schr¨ agbilder (Parallelprojektion) gilt: Parallele Geraden besitzen parallele Bildgeraden. – Im Raum gilt: Wird eine Ebene von zwei parallelen Ebenen geschnitten, so sind die Schnittgeraden parallel.

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b

b

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K

I b

J

(b) Im Quader ABCDEF GH schneidet die Raumdiagonale DF das Dreieck EBG, das von den Fl¨ achendiagonalen EB, BG und GE gebildet wird. Es soll der Schnittpunkt S konstruiert werden. 3. Ars perspectiva (siehe M. Bettinaglio, U. Kirchgraber Perspektive verstehen“, Orell F¨ ussli, 2011) ” Um anschauliche Bilder von r¨aumlichen Situationen zu erhalten, kann man die sogenannte “ars perspectiva” verwenden. Mathematisch betrachtet ist dies eine Abbildung eines Halbraums auf die den Halbraum begrenzende Ebene, die sogenannte Bildebene β. Im anderen Halbraum ist ein Punkt A als sogenannter Augpunkt ausgezeichnet. Das Bild P ′ eines Punkts P ist der Schnittpunkt der Verbindungsgeraden durch P und A mit der Ebene β. Im Folgenden sei dies die Situation: Ausgangspunkt ist ein xyz-Koordinatensystem. Als Bildebene β wird die xz-Ebene gew¨ahlt und der Augpunkt A habe die Koordinaten (a, −b, c), mit b > 0. Dann wird der abzubildende Halbraum durch die Gleichung y > 0 beschrieben.

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y

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Grundrissebene

x

b

A

z

Bildebene

x

(a) Es sei a = 1, b = 1, c = 2. i. Konstruieren Sie das perspektivische Bild des Strahls, der im Punkt (0.5, 0, 0) beginnt und parallel zur positiven y-Achse verl¨auft. ii. Betrachten Sie das in der xy-Ebene liegende Einheitsquadrat Q mit zur x- und zur y-Achse parallelen Seiten und Mittelpunkt (1, 0.5, 0), und konstruieren Sie sein perspektivisches Bild Q′ . (b) Seien jetzt a, b > 0, c beliebig und P = (x, y, z), y > 0. Bestimmen Sie das perspektivische Bild P ′ = (x′ , y ′ , z ′ ) von P rechnerisch. (c) Benutzen Sie (b) um Ihre Konstruktion von Q′ in (a) zu kontrollieren. (d) Wie l¨ asst sich das Bild einer quadratischen S¨aule mit dem Grundriss Q und der H¨ ohe 1.5 konstruieren? (e) Wie lassen sich Fluchtpunkte berechnen?

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4. Parallelprojektion einer Kugel ¨ Gegeben ist die senkrechte Parallelprojektion einer Kugel mit dem Aquator. Konstruieren Sie den Nord - und den S¨ udpol.

b

O

5. Dreidimensionale Variante des Satzes von Pythagoras Begr¨ unden Sie die folgende dreidimensionale Variante des Satzes von Pythagoras: Stehen in einer dreiseitigen Pyramide die Kanten in der Spitze senkrecht aufeinander, so ist die Summe der Quadrate der Seitenfl¨acheninhalte gleich dem Quadrat des Grundfl¨ acheninhalts.

Literatur [1] Linnemann, T., N¨ uesch, A., R¨ uede, C. und Stocker, H.: Vektoren. Orell F¨ ussli, 2009. [2] Malle, G.: Neue Wege in der Vektorgeometrie. Mathematik lehren, 133:8–14, 2005. [3] Scriba, C.J. und Schreiber, P.: 5000 Jahre Geometrie. Springer, 2010.

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