TRIGONOMETRIA DEL TRIANGULO RECTO Copyright © 2009 Pearson Education, Inc.
Triángulos Rectángulos y Ángulos Agudos Un triángulo recto es un triángulo con un ángulo de 90º y dos ángulos agudos (menor que 90º). Se utilizan letras griegas (alpha), (beta), (gamma), (theta), and (phi) para nombrar ángulos, o letras mayúsculas A, B, C, etc. Nombramos los lados de un triángulo conforme a su relación con los ángulos. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Si nombramos el ángulo de la base , uno de los lados es el lado opuesto a y otro es el lado adyacente a .
Hypotenusa
Lado adyacente a
Lado opuesto
Razones Trigonométricas La longitud de los lados del triángulo recto se usan para definir seis razones trigonométricas. seno (sin) coseno (cos) tangente (tan)
Hypotenusa
Lado adyacente a
cosecante (csc) secante (sec) cotangente (cot) Lado opuesto
Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo Sea un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6 funciones trigonométricas de se definen:
side opposite sin hypotenuse
hypotenuse csc side opposite
side adjacent to cos hypotenuse
hypotenuse sec side adjacent to
side opposite tan side adjacent to
side adjacent to cot side opposite
Ejemplo En el triángulo que se muestra, hallar los valores de las 6 funciones trigonométricas de y . 12 13 Solución:
5
Funciones Recíprocas Note que existe una relación recíproca entre parejas de funciones trigonométricas.
1 csc sin 1 sec cos 1 cot tan
Ejemplo Dado un triángulo recto, en el que 4 3 4 sin , cos , and tan , 5 5 3 hallar csc , sec , y cot . Solución:
1 csc sin
5 1 4 4 5 5 1 1 sec 3 3 cos 5
1 cot tan
1 3 4 4 3
Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo Sea un ángulo agudo de un triángulo recto. Las 6 funciones trigonométricas de se definen: side opposite sin hypotenuse cos
side adjacent to hypotenuse
side opposite tan side adjacent to
csc
hypotenuse side opposite
sec
hypotenuse side adjacent to
side adjacent to cot side opposite
Hypotenusa
Lado adyacente a
Lado opuesto
Ejemplo 6 Si sin y es un ángulo agudo, determinar los 7 5 valores trigonométricos de . Solución: Use la definición de la función del seno como una razón 6 opp y dibuje el triángulo recto. 7 hyp Use la ecuación de Pitágora para hallar a. 7
6
a
a2 b2 c2 a2 62 72 a 2 36 49
a 2 49 36 13
a 13
Ejemplo continuación:
6
7 13
Use las longitudes de los 3 lados para determinar las cinco razones restantes.
6 sin 7
7 csc 6
13 cos 7
7 7 13 sec 13 13
6 6 13 tan 13 13
13 cot 6
Ejemplos Hallar el valor de las 6 funciones trigonométricas para cada ángulo utilizando la calculadora. Redondee a 4 lugares decimales: a) tan 29.7º b) sec 48º Solución: Asegúrate de que la calculadora esté en modo de grado.
a) tan 29.7º 0.5703899297 0.5704
1 b) sec 48º 1.49447655 cos 48º
0.9948409474 0.9948
Resolver el triángulo Resolver el triángulo rectángulo implica determinar las longitudes de todos los lados y las medidas de todos los ángulos.
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Ejemplo B En el triángulo rectángulo ABC, determinar a, b, y B si el triángulo se ha nombrado de forma estándar como se muestra en el diagrama.
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106.2
a
61.7º A b
C
B
Ejemplo (cont.) Solución: Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180o, la suma de A y B debe ser 90o.
106.2
a
B 90º A 90º 61.7º 28.3º
61.7º A b
C
Por lo tanto, las medidas de los ángulos son: A 61.7º
B 28.3º C 90º
B
Ejemplo (cont.) Solución (cont.):
hyp a sin 61.7º opp 106.2
a 106.2sin 61.7º a 93.5 adj b cos 61.7º hyp 106.2
106.2
a
61.7º A b
C
Las longitudes de los lados son:
a 93.5
b 106.2 cos61.7º
b 50.3
b 50.3
c 106.2
Aplicaciones:| Un globo de aire se calienta y comienza a subir, mientras que el personal de tierra viaja 1.2 mi hacia una estación de observación. La observación inicial estimó que el ángulo entre la tierra y el globo era 30º. Aproxime la altura al cual se encuentra el globo en ese momento.
Solución:
1.2 tan 30º h El globo está aproximadamente a 0.7 mi, or 3696 ft.
0.7 h
Aplicaciones:
Un edificio tiene una altura de 75m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 50º? Haz un dibujo del problema
Ejemplo
El ángulo de elevación de una rampa de 80 pies de largo que lleva hacia un puente que está encima de una carretera, es de 10.5o . Encontrar la altura a la cual se encuentra el puente por encima de la carretera.
Solución (cont)
La figura nos da
ℎ sin 10.5 = 80 (80)sin 10.5𝑜 = ℎ 𝑜
14.57884204 = ℎ ℎ ≈ 14.6 𝑓𝑡
El puente se encuentra a aproximadamente 14.6 pies por encima de la carretera.
Ejemplo
Desde el techo de una casa, el ángulo de depresión con un punto en el suelo es 25o. Este punto se encuentra a 35 metros de la base del edificio. ¿ Cuán alto es el edificio?
Ejemplo (cont)
𝐵𝐶 tan 25 = 35 𝑜
(35)tan 25𝑜 = 𝐵𝐶
16.32076804 = 𝐵𝐶 BC ≈ 16.3 m
El edificio tiene una altura de aproximadamente 16 metros.
Aplicaciones:
El extremo superior de una escalera esta apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 5 pies sobre el suelo. Si la escalera forma un ángulo 38º con el suelo, ¿Cuál es el largo de la escalera?
opuesto sin(38 ) hipotenusa 5 sin(38 ) x 5 x 8 pies sin(38 )
Aplicaciones El supervisor de pintura ha comprado escaleras nuevas que extienden hasta 30 pies. El manufacturero dice que, para mayor seguridad, se debe extender la escalera 25 pies y colocarla de tal forma que la base esté a 6.5 pies de la pared. ¿Qué ángulo debe hacer la base de la escalera con el suelo? Solución: Debe comenzar haciendo un esquema de la situación, nombrando las partes y anotando la información que se tiene.
Solución (cont)
adj cos hyp
6.5 ft 25 ft
0.26 Use la calculadora para hallar el ángulo que tiene coseno igual a 0.26:
74.92993786º Por lo tanto, la escalera está en su posición más seguara. con un ángulo de 75º con el suelo.
Aplicaciones:
Una palma de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
opuesto tan( ) adyacente 50 tan( ) 60 5 tan( ) 6 1 5 tan 40 6
