TRIANGULO ISIACO 3-4-5

“Las alas de Isis es uno de los elementos mas usados en la danza oriental (es una de las danzas más antiguas del mundo que combina elementos de Medio Oriente y del norte de Africa) y en las danzas del vientre. Forma parte de las llamadas "danzas de fantasía" en la cual la bailarina se presenta como "la diosa". Se representa a la diosa Isis con sus brazos abiertos o extendidos portando las alas de milano para de esta forma "bendecir" a sus devotos”. El anterior es un párrafo típico de Internet cuando se busca algo relacionado con Isis, no digo que no tenga ningún valor, solo que no tienen interés para el tema que tratamos, el triángulo de Isis o isíaco. Realmente, el “mensaje”, como en otras ocasiones, es parte del enigma, la mitología solo puede dar respuestas más o menos poéticas, pero nunca aportan pruebas concluyentes del “significado” real.

Lo anterior es lo que nos cuentan los buscadores de mitos, no de realidades. En cuanto se pongan al descubierto, un poco más adelante, las propiedades del triángulo de Isis, tal vez se comprenda mejor su significado. En principio, me parece que como hizo miles de años después Leonardo, en este caso, la diosa Isis con los brazos extendidos, está indicando una medida, aunque el triángulo no se vea en ninguno de los dibujos, grabados o jeroglíficos de la época. Esto evidentemente, se comprende después de haber resuelto el problema del famoso triángulo Isiaco. Parece ser, que estos conocimientos, que para nosotros están en los albores de la Humanidad y la cultura, se perdieron hace miles de años, y afortunadamente, los estamos redescubriendo. Tengo un pequeño trabajo sobre los números, sirva este breve párrafo para justificar el preámbulo. Los números han estado presentes desde el origen de los tiempos, son una parte más del universo, tienen sus propias leyes, como la física o las química, esto es así desde la eternidad y no necesitan del hombre para manifestarse, los humanos exclusivamente podemos descubrir algunas de sus propiedades, pero no tenemos la capacidad de alterarlas, son inmutables. Los números no son ningún invento del hombre, éste a través de los siglos, lo único que ha hecho es descubrir algunas leyes que rigen las matemáticas y la geometría. Sus resultados se manifiestan con independencia de que los descubramos o no, están ocultos en la materia y la energía, en definitiva, en la esencia del universo.

Si multiplicados entre sí dos números irracionales no relacionados entre sí previamente, de hasta doce decimales, o más, y nos devuelve un número entero perfecto, solemos decir que casualidad, cuando lo que debíamos decir es que causalidad, ya que esto es así, también antes de demostrarlo. De las infinitas leyes que rigen los números y la geometría solo hemos descubierto algunas, la gran mayoría permanecen ocultas hasta la fecha, algún día se descubrirán otras nuevas. Cuando alguien deja un enigmático dibujo grabado en la piedra, como es el caso del tetragrama de la pirámide de Keops, nos está indicando que “ellos” si han descubierto la ley oculta en esa geometría y nos invitan a redescubrirla, para ello nos han facilitado una pista gráfica, el tetragrama. Si lo conseguimos, que no siempre es así, algunos, inevitablemente, imputarán a la casualidad el descubrimiento, sin pensar que desde el mismo momento que trazamos un círculo, estamos aplicando las leyes fundamentales que rigen el universo. Si al círculo o circunferencia le inscribimos o circunscribimos un triángulo, el número de leyes aumenta, y si a éste, le incorporamos una base, obtenemos una figura tridimensional, con lo que las posibilidades de realizar nuevos descubrimientos, son casi infinitas.

El triángulo de Isis, es algo más que un triángulo simbólico, en su interior contiene tanta geometría, que hasta que no se descubre parece imposible, entre otros están los números Phi, Phi al cuadrado, el codo “egipcio”, el número Pi, y la raíz de cinco.

TEOREMA DE PITAGORAS Sin entrar en muchos detalles, aunque el famoso Teorema se le atribuye a Pitágoras, está demostrado que los Chinos los Sumerios, y los Egipcios, entre otros, solucionaron este problema miles de años antes que Pitágoras. Los números “están desde el origen”, hayamos descubierto, o no, sus propiedades.

TEOREMA DE PITAGORAS

5

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud) es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos (los otros dos lados del triángulo) B

3 Cateto a

A Segmento A-C = b Segmento A-B = c Segmento B-C = a 4

a2

=

c2

C Cateto b

c2 = a2 + b2

5* 5=3 *3 +4* 4

-

b2

b2

=

c2

-

a2

c=

a2 + b2

TRAZAR UNA TANGENTE UN POCO DE GEOMETRIA

SEMEJANZA DE TRIANGULOS

A UNA CIRCUNFERENCIA

C

Por el Teorema de Thales Asabemos que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

b

a h

C

1/2

D

m

n c

B

B

a2 = c * m

Unase el punto dado A con el centro de la circunferencia B y tomando el segmento AB como diámetro, trácese una circunferencia auxiliar, que cortará a la circunferencia dada en dos puntos de contacto C y D que son los puntos de tangencia de los segmentos AC y AD, que a su vez son perpendiculares con los radios CB y BD de la circunferencia.

c/b=b /n

b2 = c * n

m/h=h/n

h2 = m * n

a2 / b2 = m / n b2 = h2 + n2 a2 = h2 + m2 c 2 = b2 + a2

a/c=h /b

ab = ch

A

El llamado triángulo de Isis o isíaco, para los egipcios, era un triángulo “sagrado”, esto es lo que nos dice la Historia, pero para nosotros, es un trazado geométrico, que guarda una estrecha relación con la pirámide de Kefrén, ya que su pendiente es la misma, que se obtiene con este triángulo básico, cuyos lados están en una relación de 3,4,5.

4 No vamos a profundizar en la mitología dado que es un callejón sin salida, unos dicen que Isis se caso con Osiris, su hermano, y que tuvieron un hijo, Horus.

5

3

Otros, sin embargo, dicen que Osiris era el padre de Isis. Lo único seguro será lo que nos digan las matemáticas sobre el triángulo llamado Isiaco, y atribuido a Isis, aunque de esto, a ciencia cierta, tampoco hay ninguna constancia.

De los que no hay ninguna duda, es que los constructores de las pirámides lo utilizaron y que tenían unos conocimientos matemáticos y geométricos superiores a los nuestros.

G

C

D

K

E

H A

B F

CODO 0,523606797750

A-B

3,000000000000

B-C

4,000000000000

A-C

5,000000000000

D-F

2,500000000000

D-G

2,500000000000

F-G

5,000000000000

K-B

2,000000000000

K-C

2,000000000000

D-K

1,500000000000

K-E

1,000000000000

H-F

0,500000000000

De esta primera razón de la circunferencia con el perímetro parece que no hay nada de interés, pero si decimos que la razón es igual a 2,50 codos, la cosa en un momento, ha pasado a relacionar el triángulo con el codo de la Gran Pirámide.

CIRCUNFERENCIA

PERIMETRO

RAZON

15,708203932499

12,000000000000

1,309016994375

15,708203932499

0,523606797750

30,000000000000

15,708203932499

1,500000000000

10,472135955000

15,708203932499

3,000000000000

5,236067977500

15,708203932499

4,000000000000

3,141640786500

15,708203932499

5,000000000000

3,927050983125

De estas relaciones anteriores podemos sacar otras conclusiones, entre ellas, que la circunferencia circunscrita al triángulo isíaco mide exactamente 30 codos. Que dividida entre la mitad del lado menor, es igual al largo de la cámara del Rey de la pirámide de Keops, esto es 20 codos. Que divido por el lado menor es igual a 10 codos. Al dividir la circunferencia entre la hipotenusa se obtiene un número igual a 7,50 codos. Al dividir la circunferencia entre el lado mayor obtenemos exactamente el número Pi, que es igual a 6 codos. Como vemos, el triángulo de Isis está íntimamente relacionado con el codo egipcio, no lo escogieron al azar, conocían todas sus propiedades perfectamente. La absurda teoría de que lo utilizaban haciendo 12 nudos para hallar un ángulo recto, puede servir para los egipcios de la cuarta dinastía, pero no para los constructores de las pirámides. Antes de continuar y para el que no tenga los conocimientos suficientes sobre el codo y todavía se fie de lo que dicen los arqueólogos, que es una media antropométrica, esto es, el codo del Faraón, sin especificar de que Faraón, por supuesto, que sepan que esto es un disparate Histórico, ya que nadie se ha cuestionado que la famosa medida, es realidad es un segmento geométrico que se obtiene por trazado y se verifica matemáticamente con exactitud.

Evidentemente los constructores de la Pirámide no conocían el famoso Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci, pero sí algunos otros enigmas geométricos, éste es uno de ellos.

El arco subtendido por el lado de un hexágono inscrito en una circunferencia de diámetro unidad, es igual al “codo “ Esta medida no sirve como patrón, dado que habría que rectificar el arco, o bien toda la circunferencia. Esto nos indica claramente, que aunque hay otros métodos para hallar el codo, si sabían rectificar la circunferencia, o bien, que sabían tanta geometría como para resolver este enigma.

3,141640786500 / 6

0,523606797750

Aunque actualmente el número Pi difiere ligeramente del que sale del codo egipcio no cabria preguntarse si el de “ellos” es el bueno, ya que la cantidad de “pistas” que nos han dejado en los trazados de las pirámides rebasa la mera “coincidencia”. De cualquier forma, ya hemos visto que el codo y el metro piramidal son unidades geométricas de trazado exacto, no el codo de ningún Faraón, ni nada parecido.

La cámara esta formada por cinco niveles de bloques iguales, por tanto cada boque mide 2,2360679775 codos.

MEDIDAS DE LA CAMARA EN CODOS

El volumen de la cámara en codos es cien veces la diagonal de la misma.

E

5 = 2,2360679775 B

A- B

11,1803398875

(A-B) / 5

2,2360679775

A- C

22,3606797750

VOLUMEN

2.236,0679775

125 15

25

A C

10

20 D

CODO = 0,523606797750

TRIANGULO FUNDAMENTAL Una de las cosas más curiosas que se deducen de la cámara real es que hay un triangulo que cumple que el perímetro en unidades es igual a la superficie del mismo. ¿ Es una forma sutil de indicarnos que conocían perfectamente la geometría y las matemáticas, o este descubrimiento como tantos otros, es una casualidad como apuntan los arqueólogos egipcios para casos como este ?

La pirámide es una “coincidencia” para la ciencia oficial y no reconocen en ningún momento que los constructores de las pirámides poseían conocimientos geométricos y matemáticos del más alto nivel, necesarios para construirla. PRIMETRO SUPERFICIE

5,2360679775

10,4721359550

11,7082039325

27,4164078650

10,4721359550

5,2360679775

2.0000000000

27,4164078650

La ciencia oficial nos habla de todas la dinastías de los Faraones, los rangos, las familias, los parentescos, pero curiosamente nadie, ha conseguido determinar con exactitud las dimensiones de la Gran Pirámide, ni el plano constructivo, ni las medidas reales de la misma en términos globales, ni para que fue construida, ni por quién, el atribuir la construcción a los egipcios es lo más sencillo, dado que fue el pueblo que convivió durante siglo con las pirámides pero nadie ha demostrado que las construyeran, ni si conocían los metales, ni si tenían instrumentos, solamente nos queda su legado enigmático, pero los egipcios orgullosos de su pueblo no quieren que nadie pueda demostrar que los constructores fueron otros.

Resolución gráfica de la altura de la Cámara del Rey

Cuando alguna medida gráfica es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y los catetos son unidades exactas, ya sea en codos o metros piramidales, la hipotenusa no divide exactamente por estos sino por la cotangente de un triángulo que sea la décima parte del original. A su vez esta cotangente es el doble de la hipotenusa del triángulo reducido.

5,8541019662

COTANGENTE

1,17082039325

2,6180339887

0,26180339887 1,17082039325

0,52360679775

5,2360679775

1,04721359550

5,00

5,2360679775

0,52360679775

10,00

2,6180339887

1,04721359550

2,50

2,6180339887

0,52360679775

5,00

5,8541019662

1,17082039325

5,00

Con el procedimiento gráfico se demuestra que las medidas, incluso las que a primera vista parece que no tienen un divisor exacto, son unidades gráficas exactas. En este caso es la cotangente del triángulo.

Sin hacer ninguna comprobación previa, podemos decir que el segmento C-E y el segmento M-X, son iguales por ser diámetros de la misma circunferencia. No obstante se puede verificar por Pitágoras, ya que sabemos que M-N vale 1, y que N-X es igual a 0,5. Demostrado anteriormente.

Por construcción, la recta N-Y es perpendicular a M-X en el punto Y El segmento V-N y V-Z por trazado son la mitad del segmento N-Z C

1/2

M

Y

Z

V N

X E

W

M- N

1,000000000000

N-X

0,500000000000

C-E

1,118033988750

M- X

1,118033988750

M-Y

0,894427191000

Y-X

0,223606797750

N-Y

0,447213595500

Y-Z

0,200000000000

Z-X

0,100000000000

N-Z

0,400000000000

V-Z

0,200000000000

X-W

0,223606797750

V-W

0,523606797750

2

1

Con estas dos perpendiculares y las circunferencias correspondientes se determina gráficamente el valor del codo de la pirámide, su doble es igual al “metro”.

PERPENDICULAR

La primera perpendicular determina el punto de tangencia y el radio de la circunferencia, la segunda determina el diámetro de la circunferencia.

A

Gráficamente se resuelve al trazar una perpendicular al vértice del triángulo ABC, el resto es trazado gráfico. Por tanto el segmento FG, 0,523606797750, es la medida del codo.

Para resolver los triángulos se pueden aplicar las fámulas de la tabla adjunta.

SEMEJANZA DE TRIANGULOS C

b

a h m

A

D

c

B

F - G 0,523606797750

n

a2 = c * m c/b=b /n

b2 = c * n

m/h=h/n

h2 = m * n a2 / b 2 = m / n

G

ab = ch

C

a/c=h /b

E

c 2 = b2 + a2

F

a2 = h2 + m2

B

b2 = h2 + n 2

Esta es la forma gráfica más sencilla que conozco para hallar el codo de la Gran Pirámide de Keops.

En realidad el codo es una fracción de la unidad del sistema métrico decimal. Se puede dibujar a partir de una recta que mida la unidad.

En principio se parte de la recta A - B igual a la unidad, lo que implica que también conocían el sistema métrico decimal.

G El resto trazado gráfico y verificar por Pitágoras. En D el ángulo es recto por construcción.

C D

E

F

A

B

A- B

1,000000000000

B-C

0,500000000000

A- C

1,118033988750

A- D

0,894427191000

D-C

0,223606797750

B-D

0,447213595500

C-E

0,100000000000

E-B

0,400000000000

E-F

0,200000000000

F-B

0,200000000000

C-F

0,300000000000

C-G

0,223606797750

F-G

0,523606797750

F-G

CODO / CODO REAL

A

Los perímetros de todos los triángulos de la parte superior numerados del 1 al 9 miden exactamente los mismo, un codo 0,523606797750. Comprobar por Pitágoras. Los perímetros de los triángulos inferiores miden un codo, y un metro piramidal, esto es, el doble del codo, y hay dos triángulos llamados Isiacos, proporcionales a los números 3,4,5

6

3 4

5

2

1 8

7

9

E-D- C

0,523606797750

A- B

1,000000000000

B-E-D

1,047213595500

B-C

0,500000000000

F-E-C

1,047213595500

A- C

1,118033988750

B-F-E

0,3 - 0,4 - 0,5

C-D

0,223606797750

B-E-G

0,3 - 0,4 - 0,5

D-A

0,894427191000

B-D

0,447213595500

E-F

0,400000000000

F-C

0,200000000000

B-F

0,300000000000

C-E

0,447213595500

B-E

0,400000000000

E-F

0,200000000000

0,523606797750

E-C

0,100000000000

1,047213595500

E-D

0,200000000000

D-C

0,223606797750

E

G

D

B

F

E

Dominaban la geometría, y como se ve, el codo y el metro son segmentos que se pueden obtener gráficamente.

C

Además del codo y el metro piramidal, con el triángulo doble se puede obtener el número Phi, su cuadrado, su inverso y algunas otras relaciones métricas. Por ejemplo Phi, es igual a la suma de la hipotenusa más el cateto base. A A- C

1,118033988750

B-C

0,500000000000

PHI

1,618033988750

1 / PHI

0,618033988750

PHI - 1

0,618033988750

PHI + 1

2,618033988750

2

2,618033988750

A- B - C

2,618033988750

(A - C ) / 5

0,223606797750

CODO

ANTERIOR + 0,30

CODO

0,523606797750

CODO x 2

1,047213595500

METRO

1,047213595500

PHI +1 / METRO

2,500000000000

( PHI )

Hay otra serie de relaciones geométricas y matemáticas, solo es cuestión de coger la calculadora y descubrirlas. Me pregunto como lo hicieron los Egipcios.

B

C

Si en un triángulo se trazan líneas paralelas a cualquiera de sus lados se obtienen triángulos semejantes.

Dado un triangulo ABC, si se traza un segmento paralelo DE a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triangulo ADE cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. C Para dividir un segmento dado AB en un número determinado de partes, se traza una recta cualquiera AC, en la AB / AE = AC / AD cual, se marcan con una medida D cualquiera tantos segmentos como en los se quiere dividir la recta origen y se une el último punto con el de la recta y se trazan paralelas a ésta por el resto de los puntos, con lo que la recta quedará dividida en un número de parte iguales.

A

E

B

En la pagina siguiente veremos el trazado en detalle.

DIVIDIR UN SEGMENTO EN SIETE PARTES IGUALES Con este procedimiento, basado en el Teorema de Thales, se puede dividir un segmento en un número de partes iguales sin hacer un solo cálculo matemático. Solo se precisa una regla y un compás.

C

Este ejemplo nos sirve para ilustrar como los antiguos dividían los segmentos en un número de partes iguales.

A

B

CIRCUNFERENCIA INSCRITA

A

h=(a+c-b)/2 v = Raíz (( 4 a2 c2 - ( c2 + a2 - b2 )2 )) / 2 ( a + b + c ) h=(3+5-4)/2

4

v = Raíz (( 4 * 9 * 25 - ( 25 + 9 - 16 )2 )) / 2 ( 3 + 4 + 5 ) b Una vez conocidos ( v - h ) se calcula ( x ) mediante el Teorema de Pitágoras.

c 5

B-C (a)

3,000000000000

C-B (b)

4,000000000000

A-B ( c )

5,000000000000

B-D (h)

2,000000000000

D-E (v)

1,000000000000

B -E (x)

2,236067977500

RAIZ ( 5 )

2,236067977500

E

x v

h B

a

D

3

C

A B-C

3,000000000000

A-C

4,000000000000

A-B

5,000000000000

B-D

2,000000000000

D-C

1,000000000000

D-E

1,000000000000

B-E

2,236067977500

E-F

1,000000000000

B-D

3,236067977500

B-G

1,618033988750

G-F

1,618033988750

En este momento hemos obtenidos dos números uno raíz de cinco y el otros el número Phi.

F Aunque se puede verificar matemáticamente nosotros solo utilizamos el método gráfico para hallar los números ( segmentos ).

E G

B

D

C

B-H

1,000000000000

H-J

1,333333333333

B-J

1,666666666667

J-A

3,333333333333

(A- B ) / 3

1,666666666667

B-K

2,000000000000

K-A

3,000000000000

D-L

2,666666666667

B-L

3,333333333333

L-A

1,666666666667

E-C

1,414213562373

E-C

RAIZ ( 2 )

A

Las medidas ya conocidas no las repetiremos. Los triángulos que se desconocen se pueden solucionar por razones de semejanza, o bien por el Teorema de Pitágoras. L 2/3

K F

J 1/3

E G

B

H

D

C

B-G

1,618033988750

B-M

1,618033988750

B-H

1,000000000000

M-H

2,618033988750

M-H

( PHI )2

En esta ocasión hemos hallado Phi al cuadrado y si este segmento lo dividimos en cinco partes iguales hallaremos el codo.

Hay varias procedimientos para dividir un segmento en cinco partes iguales, pero la más sencilla es aplicar el Teorema de Thales.

G

M

B

H

M-H

2,618033988750

M-N

0,523606797750

Procedimiento de Thales para dividir un segmento M-H en un número de parte iguales. M

H

CODO 0,523606797750

M

N

H

M-H

2,618033988750

M-N

0,523606797750

P - H ( PI )

3,141640786500

PI ( PHI2) / PI )2 = 1 PHI4 Para no extendernos más, aunque puede haber otros números notables, con el triangulo doble, damos por finalizado el estudio del triángulo de Isis.

P

N M

TRIANGULO DE ISIS 3-4-5

RADIO

1,000000000000

CODOS

CIRCUNFERENCIA

6,283281573000

12

CIRCULO

3,141640786500

6

ESFERA

4,188854382000

8

CIRCUNFERENCIA 6,283281573000

PERIMETRO 12,000000000000

1

El codo mide 0,523606797750, y como vemos todas las medidas están relacionadas con este número, que además de ser un segmento de medición, es un elemento verificador de líneas, superficies y volúmenes.

Otro número de gran transcendencia es Pi que equivale a 6 codos, esto es, 3,141640786500

Solamente después de hacer el descubrimiento se entiende porque a este triángulo le llaman “sagrado”

Hemos visto algunas de las propiedades del triángulo de Isis, por algo le atribuían el calificativo de “sagrado”, sin llegar a este extremo, hemos visto que tiene una serie de propiedades geométricas y matemáticas de suma transcendencia, que las conocían hace milenios, ¿como poseían este conocimiento ?, este es realmente el enigma. RAIZ DE 5

2,236067977500

RAIZ DE 2

1,414213562373

NUMERO PHI

1,618033988750

PHI AL CUADRADO

2,618033988750

INVERSO PHI

0,618033988750

PHI - 1

0,618033988750

CODO

0,523606797750

NUMRO PI

3,141640786500

Evidentemente, si trabajamos con un triángulo doble, pirámide, hallaríamos nuevas propiedades a este triángulo, pero con las encontradas hasta el momento creo que es suficiente para darle la categoría que merece dentro de la geometría a una figura tan simple, y a la vez con tales propiedades.

PIRAMIDES DE GIZA - GISEH KEOPS

KEFREN

CUADRO RESUMEN CON LAS MEDIDAS PRINCIPALES DE LAS TRES PIRAMIDES DE GIZA (GISEH)

MICERINOS

228,9635369125

1,272019649514

180

114,4817684563

1,272019649514

90

145,6230589875

1,618033988750

90

212,0682448664

1,178156915925

180

106,0341224332

1,178156915925

90

141,3788299109

1,570875887900

90

106,0341224332

0,589078457962

180

53,0170612166

0,589078457962

90

67,4387436270

0,749319373634

90

UNA VEZ RESUELTAS LAS PIRAMIDES Y SU DISPOSICION EN LA MESETA PASAMOS A VER LAS RELACIONES ENTRE ELLAS TANTO EN SUPERFICIE COMO EN VOLUMENES

TANTO LAS DIMENSIONES COMO LOS ANGULOS SE DIBUJAN PARTIENDO DE ALGUNA MEDIDA SENCILLA LUEGO SE REPRODUCEN TALES MEDIDAS

EL AREA LATERAL DE UNA DE LAS CARAS DE LA PRAMIDE DE KEOPS ES IGUAL AL AREA DEL CUADRADO FORMADO CON LA ALTURA

228,96353 x 185,23539 = 21.206,07530 145,62305 X 145,62305 = 21.206,07530 ESTA IGUALDAD EVIDENTEMENTE CON OTRAS MEDIDAS SE PRODUCE EN LA PIRAMIDE DE MICERINOS

EL VOLUMEN DE LA PIRAMIDE DE KEOPS ES OCHO VECES EL DE LA ESFERA INSCRITA EN LA DE MICERINOS 6.284.888,799969 / 785.611,099961 = 8

V = ( área base x altura ) / 3 EL VOLUMEN DE LA ESFERA CIRCUNSCRITA EN LA PIRAMIDE DE KEFREN ES OCHO VECES EL DE LA CIRCUNSCRITA EN LA PIRAMIDE DE MICERINOS 14.124.417,360245 / 1.765.552,170030 = 8

V = (( pi x r3 ) x 4 )) / 3

Fernando Güemes [email protected]