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Transformadas de Laplace Algunas definiciones previas En general vamos a definir una transformaci´on integral, F (s), de una funci´on, f (t) como Z

b

K (s, t) f (t)dt = T {f (t)}

F (s) =

(1)

a

donde K (s, t) es una funci´ on conocida de s y t, denominada el n´ ucleo de la transformaci´on. Si a y b son finitos la transformaci´ on se dir´ a finita, de lo contrario infinita. Dependiendo de la selecci´ on del n´ ucleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales. En F´ısica las m´as comunes son: Nombre F (s) = T {f (t)} f (t) = T−1 {F (s)} R∞

L(s) =

Laplace Fourier de senos y cosenos

F(s) =

0

2 π

sen(st)

cos(st)

0

√1 2π

Z

f (t)dt

f (t) =

2 π



0



eist f (t)dt

f (t) =

√1 2π

tJn (st)f (t)dt

Z

est L(s)ds

sen(ts) F(s)ds cos(ts) ∞

e−ist F(s)ds

−∞



Z f (t) =

0

sJn (ts)F (s)ds 0



Z

ts−1 f (t)dt

M(s) =

Mellin

γ−i∞

q Z

−∞

F (s) =

R γ+i∞

1 2πi

f (t) =



Z Hankel (Fourier-Bessel)



q Z

F(s) =

Fourier compleja

e−st f (t)dt

0

f (t) =

1 2πi

R γ+i∞ γ−i∞

s−t M(s)ds

La idea detr´ as de la utilidad de las transformaciones integrales puede resumirse en el siguiente esquema EDO para f (t)

−→ transformaci´on directa −→ F (s) = T {f (t)}

↓ soluci´ on directa dif´ıcil ↓ se encuentra f (t)

←− transformaci´on inversa ←− f (t) = T−1 {F (s)}

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1

relaci´on para F (s) eventualmente m´as f´acil ↓ soluci´on para F (s) m´as f´acil ↓ se encuentra F (s)

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Transformada de Laplace

En nuestro caso ilustraremos el uso de transformaciones integrales con la transformada de Laplace, que denotaremos de manera simb´olica como F (s) = L [f (t)]. Esto es: Z ∞ F (s) = L [f (t)] = f (t)e−st dt , 0 ≤ t < ∞ . 0

Es bueno tener en cuenta que si la integral impropia Z ∞ f (t)e−st dt , 0 ≤ t < ∞ 0

converge para alg´ un valor de s = s0 , entonces converger´a para todo s > s0 . Si la integral existe se denominar´a la transformada de Laplace de f (t). Por ejemplo, podemos ver que si f (t) = t, entonces Z



L[t] = F (s) =

te

−st

Z dt = l´ım

0

 =

l´ım e

−st

h→∞



t 1 − − 2 s s

h→∞ 0 h 0

h

te−st dt

  he−sh e−sh 1 1 = l´ım − − 2 + 2 = 2. h→∞ s s s s

Se puede ver que si f (t) = 0, entonces Z L[0] =



0e−st dt = 0 .

0

Existen tablas con las transformadas de Laplace, de manera que no es necesario ir calculando las integrales impropias para cada una de las funciones. Otra posibilidad es con el programa Maple, por ejemplo: > with(MTM): > laplace(cos(t)); Las transformadas de Laplace son lineales, es decir: L[C1 f1 (t) + C2 f2 (t)] = C1 L[f1 (t)] + C2 L[f2 (t)] adem´as, existe tambi´en la transformaci´on inversa de Laplace. Esto significa que si L[f (t)] = F (s)



L−1 [F (s)] = f (t)

La transformaci´ on inversa de Laplace tambien es un operador lineal.

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Transformadas de Laplace y las ecuaciones diferenciales lineales

Vamos a considerar un m´etodo para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es decir, ecuaciones del tipo an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 = Q(x)

(2)

utilizando las transformadas de Laplace. Este m´etodo, como veremos a continuaci´on, permite obtener una soluci´ on particular dado un conjunto de condiciones iniciales. Si multiplicamos (2) por e−sx e integramos, podemos ver que Z ∞ Z ∞ h i e−sx Q(x)dx e−sx an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a2 y 00 + a1 y 0 + a0 dx = 0

0

t´ermino por t´ermino: Z ∞ Z −sx (n) an e y dx + an−1 0



e

−sx (n−1)

y

Z



Z



y dx + a1 e−sx y 0 dx + Z ∞0 Z0 ∞ −sx e−sx Q(x)dx e ydx = a0

dx + · · · + a2

0

e

−sx 00

0 0 i i h h  00   0 (n−1) (n) + · · · + a2 L y + a1 L y + a0 L [y] = L [Q(x)] + an−1 L y an L y

(3)

Ahora bien, podemos observar lo siguiente   L y0 =



Z

e−sx y 0 dx

0

y al integrar por partes, con u = e−sx y dv = y 0 dx, se tiene Z ∞ Z ∞  −sx b −sx 0 e y dx = l´ım e y 0 − (−s)e−sx ydx b→∞ 0 0 Z ∞ h i −sb ye−sx dx = l´ım e y(b) − y(0) + s b→∞

0

Si agregamos la suposici´ on adicional de que la soluci´on de la ecuaci´on diferencial, es decir, y(x) satisface h i l´ım e−sx y (k) (x) = 0 , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 , s > s0 x→∞

entonces:   L y0 =

Z



e−sx y 0 dx = −y(0) + sL [y]

0

Para calcular L [y 00 ] se procede de manera similar, pero ahora es necesario integrar dos veces por partes y utilizar el resultado para L [y 0 ]. Resultando:       L y 00 = −y 0 (0) + sL y 0 = s2 L [y] − y 0 (0) + sy(0) H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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Repitiendo el proceso:     L y 000 = s3 L [y] − y 00 (0) + sy 0 (0) + s2 y(0) h i   L y (4) = s4 L [y] − y 000 (0) + sy 00 (0) + s2 y 0 (0) + s3 y(0) y si seguimos hasta orden n, se puede demostrar que h i h i L y (n) = sn L [y] − y (n−1) (0) + sy (n−2) (0) + · · · + sn−2 y 0 (0) + sn−1 y(0) Al sustituir todos estos u ´ltimos resultados en (3), sacando los t´erminos que contienen a L [y], resulta que podemos escribir (3) de la manera siguiente: h i an sn L [y] − an y (n−1) (0) + sy (n−2) (0) + · · · + sn−2 y 0 (0) + sn−1 y(0) h i +an−1 sn−1 L [y] − an−1 y (n−2) (0) + sy (n−3) (0) + · · · + sn−3 y 0 (0) + sn−2 y(0) h i +an−2 sn−2 L [y] − an−2 y (n−3) (0) + sy (n−4) (0) + · · · + sn−4 y 0 (0) + sn−3 y(0) .. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

.. .

  +a2 s2 L [y] − a2 y 0 (0) + sy(0) +a1 sL [y] − a1 y(0) +a0 L [y] = L [Q(x)] factorizando para L [y] se tiene:   an sn + an−1 sn−1 + an−2 sn−2 + · · · + a2 s2 + a1 s + a0 L [y]   − an sn−1 + an−1 sn−2 + · · · + a2 s + a1 y(0)   − an sn−2 + an−1 sn−3 + · · · + a3 s + a2 y 0 (0) .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . − [an sn + an−1 ] y (n−2) (0) − an y (n−1) (0) = L [Q(x)] .

(4)

En (4) se puede apreciar que es necesario conocer las cantidades: y(0), y 0 (0), y 00 (0), ... , y (n−1) (0), las cuales se pueden determinar v´ıa las condiciones iniciales. Por otra lado, tambi´en se puede ver que la transformada de Laplace de la funci´ on que estamos buscando L [y] se puede despejar directamente de (4). Ejemplos

Encontraremos la soluci´ on a las siguientes ecuaciones diferenciales

1. Ecuaci´ on diferencial inhomog´enea, continua, con valores iniciales   y(0) = 0 00 y + y = sen(2x) con:  0 y (0) = 1 H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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Si nos fijamos en (4) vemos que para este caso se tiene: a2 = 1, a1 = 0 y a0 = 1, entonces:  2  a2 s + a1 s + a0 L [y] − [a2 s + a1 ] y(0) − [a2 ] y 0 (0) = L [sen(2x)]  2  s + 1 L [y] − sy(0) − y 0 (0) = L [sen(2x)]  2  2 s + 1 L [y] − 1 = 2 s +4  1 2 L [y] = 2 +1 s + 1 s2 + 4 por lo tanto: L [y] =

5 − 23 2 5 s2 + 6 3 = − + = + (s2 + 1) (s2 + 4) 3(s2 + 4) 3(s2 + 1) s2 + 4 s2 + 1

mediante la transformada inversa en cada t´ermino " #   2 − 1 −1 2 1 −1 3 L = − L = − sen(2x) 2 2 2 s +4 3 s +2 3 # "   5 1 5 5 −1 L = sen(x) L−1 2 3 = 2 s +1 3 s +1 3 se tiene

  5 −2 1 5 L [y] = L − sen(2x) + sen(x) = 2 3 + 2 3 3 3 s +4 s +1

por lo tanto, nuestra soluci´ on particular para las condiciones iniciales dadas es: 1 5 y(x) = − sen(2x) + sen(x) . 3 3 2. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on escal´on:   0≤x≤π  0  y(0) = 1 y 00 + 4y = h(x) = con:   0 1 π < x ≤ 2π y (0) = 0 podemos escribir y 00 + y = h(x) = uπ (x) − u2π (x) volviendo a fijarnos en (4)  2  a2 s + a1 s + a0 L [y] − [a2 s + a1 ] y(0) − [a2 ] y 0 (0) = L [h(x)]  2  s + 4 L [y] − sy(0) − y 0 (0) = L [uπ (x) − u2π (x)]  2  e−πs e−2πs − s + 4 L [y] − s = s  s −πs  e e−2πs 1 L [y] = 2 s+ − s +4 s s H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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por lo tanto   e−πs e−2πs s 1 e−πs e−2πs s+ = 2 L [y] = 2 − + − s +4 s s s + 4 s (s2 + 4) s (s2 + 4) mediante las transformadas inversas   s −1 L = cos(2x) s2 + 4   e−πs = uπ (x)g (x − π) , L−1 s (s2 + 4)

con g (τ ) = L

−1



1 2 s (s + 4)



por lo tanto        e−πs 1 s 1 −1 −1 1 L = uπ (x)L − = uπ (x) {1 − cos[2(x − π)]} s (s2 + 4) 4 s s2 + 4 4 del mismo modo −1



L

   1 e−2πs = u2π (x) {1 − cos[2(x − 2π)]} s (s2 + 4) 4

Recordemos que hemos definido la funci´on escal´on como  t 0.  1 t≥c Por lo tanto:      1 1 L [y] = L cos(2x) + uπ (x) {1 − cos[2(x − π)]} + u2π (x) {1 − cos[2(x − 2π)]} 4 4 e−πs e−2πs s + − , = 2 s + 4 s (s2 + 4) s (s2 + 4) y finalmente la soluci´ on ser´ a 

   1 1 y(x) = cos(2x) + uπ (x) {1 − cos[2(x − π)]} + u2π (x) {1 − cos[2(x − 2π)]} . 4 4 3. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on impulso (delta de Dirac)   y(0) = 0 00 0 y + 2y + 2y = δ (x − π) , con:  0 y (0) = 0

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La funci´ on (distribuci´ on) delta de Dirac viene definida por Z ∞ dτ δ (τ − τ0 ) = 1 δ (t − t0 ) = 0 con t 6= t0 y

(5)

−∞

con la u ´til propiedad: Z



dτ δ (τ − τ0 ) f (τ ) = f (τ0 )

(6)

−∞

La transformada de Laplace de la funci´on (distribuci´on) Delta de Dirac es: L [δ (t − c)] = e−cs , por lo tanto, para nuestra ecuaci´ on problema y 00 + 2y 0 + 2y = δ (x − π) vemos que seg´ un (4)  2  a2 s + a1 s + a0 L [y] − [a2 s + a1 ] y(0) − [a2 ] y 0 (0) = L [δ (x − π)]  2  s + 2s + 2 L [y] − [s + 2] y(0) − y 0 (0) = L [δ (x − π)]  2  s + 2s + 2 L [y] = e−πs L [y] = por lo tanto: L [y] =

e−πs s2 + 2s + 2

e−πs 1 = e−πs 2 s + 2s + 2 (s + 1)2 + 1

miramos la transformada inversa   h i 1 −(x−π) −1 −πs = u (x) e sen (x − π) L e π (s + 1)2 + 1 esto significa que: h h ii L [y] = L uπ (x) e−(x−π) sen (x − π) = resultando

h i y(x) = uπ (x) e−(x−π) sen (x − π)

o si lo preferimos en la otra notaci´on:   0 y(x) =  −(x−π) e sen (x − π) H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

e−πs s2 + 2s + 2

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x 1

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Sobre la funci´ on Gamma

Con la funci´ on Gamma es posible generalizar la idea del factorial cuando n es cualquier n´ umero real positivo. La funci´ on Gamma se define de la siguiente manera Z ∞ xk−1 e−x dx , k > 0 (7) Γ(k) = 0

Por ejemplo, si k = 1, tenemos ∞

Z Γ(1) = 0

 b x0 e−x dx = l´ım −e−x 0 = 1 b→∞

Podemos integrar (7) por partes:  Γ(k) = l´ım

b→∞

e−x xk k

b

1 + k 0

Z



xk e−x dx ,

k>0

(8)

0

se puede demostrar que el primer t´ermino de (8) se hace cero, por lo tanto: Γ(k) =

1 Γ(k + 1) , k

k>0

(9)

k > 0.

(10)

es decir: Γ(k + 1) = kΓ(k) , Veamos: k k k k

→ → → →

=1 =2 =3 =4

Γ(2) = 1Γ(1) = 1 = 1! Γ(3) = 2Γ(2) = 2 · 1 = 2! Γ(4) = 3Γ(3) = 3 · 2 · 1 = 3! Γ(5) = 4Γ(4) = 4 · 3 · 2 · 1 = 4!

entonces, si k = n es un entero positivo, se tiene que Γ(n + 1) = n!

(11)

Ahora bien, podemos hacer lo siguiente. Partimos de (9): Γ(k) =

1 Γ(k + 1) , k

k 6= 0

(12)

reemplazamos k → k + 1 en (12) y obtenemos: Γ(k + 1) =

1 Γ(k + 2) , k+1

k 6= −1

(13)

si sustituimos (13) en (12) resulta: Γ(k) = H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

Γ(k + 2) , k(k + 1) 8

k 6= 0, −1

(14)

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si reemplazamos k → k + 1 en (13) obtenemos Γ(k + 2) =

Γ(k + 3) , (k + 2)

k 6= −2

(15)

al sustituir (15) en (14) resulta lo siguiente Γ(k) =

Γ(k + 3) , k(k + 1)(k + 2)

k 6= 0, −1, −2

(16)

k 6= 0, −1, −2, . . . , −(n − 1) .

(17)

Estas operaciones se pueden repetir hasta n: Γ(k) =

Γ(k + n) , k(k + 1)(k + 2) · · · (k + n − 1)

Todo esto sirve para lo siguiente. Si k = −1/2, entonces por (12)     1 1 = −2Γ Γ − 2 2  el valor de Γ 21 lo podemos buscar en alguna tabla matem´atica O con el programa Maple, por ejemplo: > GAMMA(1/2);  √ En este caso, lo que se obtiene es Γ 12 = π.  Esto significa que si conocemos Γ 21 se puede determinar Γ − 12 , por lo tanto   √ 1 Γ − = −2 π 2 Algunos ejemplos:

4.

0!

=

Γ(0 + 1) = Γ(1) = 1

 − 12 !

=

Γ(− 21 + 1) = Γ

 − 32 !

=

 √ Γ(− 23 + 1) = Γ − 12 = −2 π

1 2

=

Γ( 12 + 1) = Γ



!

3 2

1 2





=



= 12 Γ

π

1 2



=

1√ 2 π

Integral de Convoluci´ on

Algunas veces es posible identificar la transformada de Laplace H(s) como el producto de dos transformadas de Laplace, F (s) y G(s) las cuales son las transformadas de funciones conocides f (t) y g(t). Pero eso es algunas veces: en general la transformada del producto de funciones no es el producto de transformadas. Esas veces est´an contenidas en el llamado Teorema de Convoluci´on, seg´ un el cual se establece una especie de “producto generalizado” de funciones f y g. H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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Teorema de Convoluci´ on: Sean F (s) = L [f (t)]

y G(s) = L [g(t)]

definidas en el intervalo s > a > 0 ,

entonces H(s) = F (s)G(s) = L [h(t)] ,

para s > a

donde −1

h(t) = L

t

Z

Z

t

f (τ ) g(t − τ ) dτ = (f ∗ g) (t)

f (t − τ ) g(τ ) dτ =

[F (s)G(s)] =

0

0

y h(t) se indentifica como la convoluci´on de f y g. Las integrales arriba expuestas se conocen con integrales de convoluci´ on y hemos denotado h(t) = (f ∗ g) (t) para insistir que se trata de un “producto generalizado” de funciones f y g, que comparte, con el producto ordinario de funciones, las siguientes propiedades f ∗g =g∗f

(conmutatividad)

f ∗ [g + k] = f ∗ g + f ∗ k

(distributividad)

f ∗ [g ∗ k] = [f ∗ g] ∗ k

(asociatividad)

f ∗0=0∗f =0 Sin embargo f ∗ 1 6= f , tal y como se puede apreciar de Z t Z t (f ∗ 1) (t) = f (t − τ ) 1 dτ = f (t − τ ) dτ 6= f (t) 0

0

en el caso particular de que f (t) = cos (t) tendremos Z t (cos ∗1) (t) = cos(t − τ ) 1 dτ = sen(t − τ )|ττ =t =0 = sen(0) − sen(t) = −sen(t) . 0

Por la misma raz´ on, no hay garant´ıa que (f ∗ f ) (t) > 0 ∀ f 6= 0. El ejemplo m´ as emblem´ atico de la aplicaci´on del Teorema de Convoluci´on es el estudio del oscilador amortiguado y forzado, el cual viene descrito por la ecuaci´on diferencial   x(0) = x0 2 x ¨ + 2λ x˙ + ω0 x = f (t) , con:  x(0) ˙ = dx ˙0 dt t=0 = x la transformada de Laplace (ecuaci´ on (4)) no conduce a lo siguiente  2  a2 s + a1 s + a0 L [x] − [a2 s + a1 ] x(0) − [a2 ] x(0) ˙ = L [f (t)]  2  2 s + 2λs + ω0 L [x] − [s + 2λ] x(0) − x(0) ˙ = L [f (t)]  2  2 s + 2λs + ω0 L [x] − [s + 2λ] x0 − x˙ 0 = F (s) F (s) + [s + 2λ] x0 + x˙ 0 L [x] = s2 + 2λs + ω02 H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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por lo tanto L [x] =

F (s) + [s + 2λ] x0 + x˙ 0 2λ x0 + x˙ 0 + sx0 F (s) = + 2 , 2 2 2 2 s + 2λs + ω0 s + 2λs + ω0 s + 2λs + ω02

para el primer sumando de la expresi´ on anterior, se tiene lo siguiente: L [x](1) =

x˙ 0 + x0 λ 2λ x0 + x˙ 0 + sx0 x0 (s + λ) = +  2 2 2 s2 + 2λs + ω02 (s + λ) + ω0 − λ (s + λ)2 + ω02 − λ2

y mediante la transformada inversa: # " x˙ 0 + λx0 x0 (s + λ) x˙ 0 + x0 λ −1 = x0 e−λt cos(ωt) + L sen(ωt) +  2 2 2 2 2 2 ω (s + λ) + ω0 − λ (s + λ) + ω0 − λ (1) p con ω = ω02 − λ2 . Para el segundo sumando L [x](2) =

s2

F (s) , + 2λs + ω02

por el teorema de convoluci´ on se obtiene   Z t F (s) 1 −λ(t−τ ) −1 L = e sen[ω (t − τ )] f (t) dτ 2 2 s + 2λs + ω0 (2) 0 ω La soluci´ on ser´ a entonces: −λt

x (t) = x0 e

x˙ 0 + λx0 cos(ωt) + sen(ωt) + ω

Z 0

t

1 −λ(t−τ ) e sen[ω (t − τ )] f (t) dτ . ω

Ejercicios 1. Resuelva, utilizando transformadas de Laplace, las siguientes ecuaciones a) y 0 − y = 0, b)

y0

c)

y0

−y =

ex ,

+y =

e−x ,

y(0) = 1 y(0) = 1 y(0) = 1

d ) y 00 + 4y 0 + 4y = 0,

y(0) = 1, y 0 (0) = 1

e) y 00 − y 0 − 2y = 5sen(x), f ) y 000 − 2y 00 + y 0 = 2ex + 2x,

y(0) = 1, y 0 (0) = −1 y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y 00 (0) = 0

2. Eval´ ue cada una de las siguientes funciones a) Γ(6) b) Γ(7) H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

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c) Γ(−5/2) d ) Γ(5/2) 3. Eval´ ue cada una de las siguientes funciones factoriales  a) − 25 !  b) − 27 !  c) 32 !  d ) 52 !

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La siguiente tabla resume las transformaciones de Laplace para algunas funciones. f (t) = L−1 [F (s)]

Rt 0

F (s) = L [f (t)] k , s>0 s

k

←→

ekt

←→

sen (kt)

←→

cos (kt)

←→

tn

←→

tp

←→

senh (kt)

←→

cosh (kt)

←→

ert sen (kt)

←→

k , (s − r)2 + k 2

s > krk

ert cos (kt)

←→

s−r , (s − r)2 + k 2

s > krk

tn ert

←→

n! , (s − r)n+1

f (t − τ ) g (τ ) dτ

←→

L[f (t)] · L[g(t)] = F (s) G (s)

←→

e−c t , s

uc (t) f (t − c)

←→

e−c t F (s)

ec t f (t)

←→

F (s − c)

uc (t) =

  0

tk

k , + k2

s>0

s , s2 + k 2

s>0

s2

n! sn+1

,

s > 0, n > 0

Γ (p + 1) , sp+1

s > 0, p > −1

s2

k , − k2

s > kkk

s2

s , − k2

s > kkk

s > r, n ∈ ℵ

s>0

y c>0

Universidad de Los Andes, M´erida

Semana 7 - Clase 19

19/01/11

Tema 3: E. D. O. de orden > 1

f (t) = L−1 [F (s)] f (c t)

←→

F (s) = L [f (t)]  1 s c>0 F c c ,

δ (t − c)

←→

e−c

f (n) (t)

←→

sn F (s) − sn−1 f (0) − · · · − f (n−1) (0)

(−t)n f (t)

←→

F (n) (s)

H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez

s

14

Universidad de Los Andes, M´erida