Semana 7 - Clase 21
Tema 3: Transformadas de Laplace
Transformadas de Laplace 1.
Definiciones para Comenzar En general vamos a definir una transformaci´on integral, F (s) , de una funci´on, f (t) como Z
b
K (s, t) f (t)dt = T {f (t)}
F (s) =
(1)
a
donde K (s, t) es una funci´ on conocida de s y t, denominada el n´ ucleo de la transformaci´on. Si a y b son finitos la transformaci´ on se dir´ a finita, de lo contrario infinita. Dependiendo de la selecci´ on del n´ ucleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales. En F´ısica las m´as comunes son: Nombre F (s) = T {f (t)} f (t) = T−1 {F (s)} Laplace
R∞
F (s) =
0
∞
Z Fourier de senos y cosenos
sen(st) f (t)dt cos(st)
F (s) = 0
Z Fourier compleja
e−st f (t)dt
f (t) =
2 π
ei
st f (t)dt
f (t) =
Hankel
∞
F (s) =
tJn (st)f (t)dt
∞
e−i
st F (s)ds
−∞ ∞
Z f (t) =
0
sJn (ts)F (s)ds 0
Z Mellin
Z
2 π
est F (s)ds
sen(ts) F (s)ds cos(ts)
0
−∞
Z
γ−i∞
∞
Z
∞
F (s) =
R γ+i∞
1 2πi
f (t) =
F (s) =
∞
ts−1 f (t)dt
0
f (t) =
1 2πi
R γ+i∞ γ−i∞
s−t F (s)ds
La idea detr´ as de la utilidad de las transformaciones integrales puede resumirse en el siguiente esquema EDO para f (t)
transformaci´on directa −→ F (s) = T {f (t)}
↓ soluci´ on directa dif´ıcil ↓ se encuentra f (t)
←− transformaci´on inversa f (t) = T−1 {F (s)}
H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
1
relaci´on para F (s) eventualmente m´as f´acil ↓ soluci´on para F (s) m´as f´acil ↓ se encuentra F (s)
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
2.
Tema 3: Transformadas de Laplace
Tranformada de Laplace En nuestro caso ilustraremos el uso de transformaciones integrales con la transformada de Laplace, que denotaremos de manera simb´olica como F (s) = L {f (t)} .La siguiente tabla resume las transformaciones de algunas funciones. f (t) = L−1 {F (s)} ←→
1 ea
t
cos (at)
←→
s2
s , + a2
s>0
p > −1
←→
Γ (p + 1) , sp+1
←→
sen (bt) cos (bt)
t
s>0
n! , sn+1
cosh at
tn ea
a , + a2
←→
←→
n∈ℵ
H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
←→
s>a
s2
n>0
sen hat
1 , s−a
←→ ←→
tp
ea
t
sen (at)
tn
F (s) = L {f (t)} 1 , s>0 s
s>0 s>0
s2
a , − a2
s > kak
s2
s , − a2
s > kak
a 2 (s − a) + b2
s−a (s − a)2 + b2
n! , (s − a)n+1
←→
2
s > kak
s>a
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
uc (t)
f (t) = L−1 {F (s)} t0
e−c s
←→
t≥c
t
s>0
uc (t) f (t − c)
←→
e−c t F (s)
ec t f (t)
←→
F (s − c)
f (c t)
←→
f (t − τ ) g (τ ) dτ
1 cF
←→
s c
,
c>0
F (s) G (s) e−c
s
δ (t − c)
←→
f (n) (t)
←→
sn F (s) − sn−1 f (0) − · · · − f (n−1) (0)
(−t)n f (t)
←→
F (n) (s)
Ejemplos Sencillos
Como un ejemplo de lo anterior, encontraremos la soluci´on a las siguientes ecuaciones diferenciales 1. Ecuaci´ on diferencial inhomog´enea, continua, con valores iniciales y(0) = 0 y 00 + y = sen 2t con 0 y (0) = 1 L y 00 + y = L {sen 2t} Y (s) =
s2 Y (s) − sy (0) − y 0 (0) + Y (s) =
⇒
5 2 s2 + 6 as + b cs + d 3 3 = + = − (s2 + 1) (s2 + 4) s2 + 1 s2 + 4 s2 + 1 s2 + 4
mediante la transformada inversa en cada t´ermino n 5 o L−1 s23+1 = 53 sen t L−1
n
2 3
s2 +4
H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
o
= 13 sen 2t
3
5 1 ⇒ y (t) = sen t − sen 2t 3 3
(2) 2 s2 + 4
(3) (4)
(5)
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
Tema 3: Transformadas de Laplace
2. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on escal´on: π ≤ t ≤ 2π y(0) = 1 1 00 con y + 4y = h (t) = 0 y (0) = 0 0 0≤t≤π t 1 2π y 00 + y = h (t) = uπ (t) − u2π (t)
⇒ L y 00 + 4y = L {uπ (t) − u2π (t)}
e−πs e−2πs ⇒ s2 + 4 Y (s) − sy (0) − y 0 (0) = − s s Y (s) =
(6)
(7) (8)
s e−πs e−2πs + − s2 + 4 s (s2 + 4) s (s2 + 4)
(9)
mediante la transformada inversa L
L
−1
e−πs s (s2 + 4)
−1
s s2 + 4
= cos 2t
(10)
−1
= uπ (t) g (t − π)
con g (τ ) = L
1 2 s (s + 4)
por lo tanto e−πs 1 s 1 −1 −1 1 L = uπ (t) L − = uπ (t) (1 − cos 2 (t − π)) s (s2 + 4) 4 s s2 + 4 4
(11)
(12)
del mismo modo L
−1
e−2πs s (s2 + 4)
1 = u2π (t) (1 − cos 2 (t − 2π)) 4
recordemos que hemos definido la funci´on escal´on como t0 1 t≥c
(13)
(14)
y finalmente la soluci´ on ser´ a 1 1 y (t) = cos 2t + uπ (t) (1 − cos 2 (t − π)) − u2π (t) (1 − cos 2 (t − 2π)) 4 4
(15)
3. Ecuaci´ on diferencial, con valores iniciales, inhomog´enea a una funci´on impulso (delta de Dirac) y(0) = 0 y 00 + 2y 0 + 2y = δ (t − π) con (16) 0 y (0) = 0 H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
4
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
Tema 3: Transformadas de Laplace
donde la funci´ on (distribuci´ on) delta de Dirac viene definida por Z ∞ dτ δ (τ − τ0 ) = 1 δ (t − t0 ) = 0 con t 6= t0 y
(17)
−∞
con la u ´til propiedad de
∞
Z
dτ δ (τ − τ0 ) f (τ ) = f (τ0 )
(18)
−∞
En una de las tablas anteriores hemos mostrado la transformada de Laplace de la funci´ on (distribuci´ on) Delta de Dirac: L {δ (t − c)} = e−c s por lo tanto y 00 + 2y 0 + 2y = δ (t − π) ⇒ L y 00 + 2y 0 + 2y = L {δ (t − π)} (19) s2 + 2s + 2 Y (s) = e−π
s
⇒ Y (s) =
e−π s 1 = e−π s 2 (s + 2s + 2) (s + 1)2 + 1
(20)
por lo tanto y (t) = L−1 e−π o tambi´en y (t) =
s
1 (s + 1)2 + 1
h i = uπ (t) e−(t−π) sen (t − π)
0
4.
(21)
t a > 0 Entonces H(s) = F (s)G(s) = L {h(t)}
para s > a
donde −1
h(t) = L
Z
t
Z f (t − τ ) g(τ ) dτ =
(F (s)G(s)) = 0
t
f (τ ) g(t − τ ) dτ = (f ∗ g) (t) 0
y h(t) se indentifica como la convoluci´on de f y g. Las integrales arriba expuestas se conocen con integrales de convoluci´ on y hemos denotado h(t) = (f ∗ g) (t) para insistir que se trata de un H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
5
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
Tema 3: Transformadas de Laplace
“producto generalizado” de funciones f y g. que comparte, con el producto ordinario de funciones, las siguientes propiedades f ∗g =g∗f
(conmutatividad)
f ∗ [g + k] = f ∗ g + f ∗ k
(distributividad)
f ∗ [g ∗ k] = [f ∗ g] ∗ k
(asociatividad)
f ∗0=0∗f =0 sin embargo f ∗ 1 6= f tal y como se puede apreciar de Z t Z t (f ∗ 1) (t) = f (t − τ ) 1 dτ = f (t − τ ) dτ 6= f (t) 0
0
en el caso particular de que f (t) = cos (t) tendremos Z t (cos ∗1) (t) = cos(t − τ ) 1 dτ = sen (t − τ )|ττ =t =0 = sen (0) − sen (t) = −sen (t) 0
y por la misma raz´ on, no hay garant´ıa que (f ∗ f ) (t) > 0 ∀ f 6= 0 El ejemplo m´ as emblem´ atico de la aplicaci´on del Teorema de Convoluci´on es el estudio del oscilador amortiguado y forzado, el cual viene descrito por la ecuaci´on diferencial x0 = x(0) dx x ¨ + 2λ x˙ + ω02 x = f (t) con x˙ = (23) dt dx x˙ 0 = dt t=0 la transformada de Laplace nos lleva a s2 X(s) − sx0 − x˙ 0 + 2λ sX(s) − 2λ x0 + ω02 X(s) = F (s) resolviendo
(24)
2λ x0 + x˙ 0 + sx0 F (s) + 2 2 2 s + 2λs + ω0 s + 2λs + ω02
(25)
2λ x0 + x˙ 0 + sx0 x0 (s + λ) x˙ 0 + x0 λ = + 2 2 2 s2 + 2λs + ω02 (s + λ) + ω0 − λ (s + λ)2 + ω02 − λ2
(26)
X(s) = el primer sumando queda como X1 (s) =
y por lo tanto devolviendo el cambio x1 (t) = x0 e
−λt
x˙ 0 + λx0 cos ωt + sen ωt ω X2 (s) =
H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
F (s) s2 + 2λs + ω02 6
con
q ω = ω02 − λ2
(27) (28)
Universidad de Los Andes, M´erida
Semana 7 - Clase 21
Tema 3: Transformadas de Laplace
y por el teorema de convoluci´ on Z x2 (t) = 0
t
1 −λ(t−τ ) e sen ω (t − τ ) f (t) dτ ω
(29)
y por lo tanto la soluci´ on general ser´ a −λt
x (t) = x0 e
x˙ 0 + λx0 sen ωt + cos ωt + ω
H´ector Hern´ andez / Luis N´ un ˜ez
7
Z 0
t
1 −λ(t−τ ) e sen ω (t − τ ) f (t) dτ ω
(30)
Universidad de Los Andes, M´erida
