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ASIGNACION DE PROBABILIDAD    A manera de introducción al tema analicemos las diferencias entre eventos mutuamente  excluyentes, no mutuamente excluye...
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ASIGNACION DE PROBABILIDAD    A manera de introducción al tema analicemos las diferencias entre eventos mutuamente  excluyentes, no mutuamente excluyentes, dependientes e independientes.    Ejemplo 1:  En un grupo de 200 estudiantes, 140 (80 mujeres y 60 hombres) son  estudiantes de tiempo completo y 60 (40 mujeres y 20 hombres) son de medio tiempo:      Tiempo completo Tiempo parcial Total  Mujeres  80  40  120  Hombres  60  20  80  Total  140  60  200      Considera A como el evento “el estudiante es  de tiempo completo” y  B como el evento   “el estudiante  es de tiempo parcial y  además hombre”. Observamos que ningún   estudiante  es de “tiempo completo”  y  de tiempo  parcial, simultáneamente, entonces  los eventos A y B son mutuamente excluyentes.    La siguiente figura plantea desde el punto de vista de conjuntos, el ejemplo de elegir  aleatoriamente de entre 200 estudiantes, un estudiante con base a los eventos A y B.      U     A B         80 40   mujeres mujeres   60 20     hombres hombres         140 60       Las  probabilidades  de  estos  eventos  con  base  a  la  expresión  algebraica  de  la  probabilidad son: 

P( A) =

140 7 = = 0.70 = 70%   200 10

P (B ) =

60 3 = = 0.30 = 30%   200 10

 

  Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ambos ocurran  al mismo tiempo es igual a 0, lo que nos permite  concluir que eventos  mutuamente  excluyentes  “no pueden ocurrir al mismo tiempo” es decir, si alguno de ellos sucede, los  restantes no pueden suceder.    Ejemplo 2: Consideremos el experimento de tirar dos dados y precisamos los siguientes  eventos:     (1,1)   (1,2)   (1,3)   (1,4)   (1,5)   (1,6)  (2,1)   (2,2)   (2,3)   (2,4)   (2,5)   (2,6)                                              (3,1)   (3,2)   (3,3)   (3,4)   (3,5)   (3,6)                                               (4,1)   (4,2)   (4,3)   (4,4)   (4,5)   (4,6)  (5,1)   (5,2)   (5,3)   (5,4)   (5,5)   (5,6)                                              (6,1)   (6,2)   (6,3)   (6,4)   (6,5)   (6,6)    ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 5 o un 9 cuando se lanza un par de dados?    Sea  A  el evento de que ocurra 5 y B de que suceda el 9; el  5  resulta en 4 de los 36  puntos muéstrales (14, 23, 32, 41), y el 9 resulta en 4 de los 36 resultados (36, 45, 54, 63).   Dado que todos los puntos muéstrales son igualmente posibles, tenemos que P (A) =  1 / 9   y    P (B)  =  1 / 9. Los eventos son mutuamente excluyentes dado que 5 y 9 no pueden  presentarse en un mismo lanzamiento, por tanto:                                                 

P( A ∪ B ) =

1 1 2 + = = 0.22 = 22%   9 9 9

  Si A y B son eventos no mutuamente excluyentes  (eventos que si tienen elementos  comunes), la probabilidad de que ocurra el evento A o el evento B o ambas es igual a la  probabilidad de que ocurra el evento A más la probabilidad de que ocurra el evento B  menos la probabilidad de que ambos eventos A y B ocurran.    Ejemplo 2.‐ Si la probabilidad de que el Equipo de Fútbol Soccer América gane su primer  juego en el torneo clausura 2004 es de 1/2, y la probabilidad de que gane su segundo  juego es 1/3; ¿Cual es la probabilidad de que al menos gane uno de sus dos primeros  juegos, si la probabilidad de que gane ambos es de 1/6?     Si llamamos A al  evento gane su primer juego.                    P (A) = 1 / 2                                                   B al evento gane su segundo juego.                                         P (B) = 1 / 3                                                     Por lo tanto el evento gane los dos primeros juegos será:   P ( A   B ) =  1 / 6                                                  Entonces la probabilidad de que el equipo América gane por lo menos uno de sus dos  primeros juegos será: 

         P (A o B) = P (A) + P (B) ‐ P (A  B) = 1/2  + 1/3 – 1/6 = 3/6 + 2/6 ‐1/6 =                                                                        =  4 / 6  = 0.667 = 66.7%    Se dice que dos sucesos A y B son dependientes, si el hecho de que ocurra o no uno de  ellos, influye en que suceda el otro. Por ejemplo al lanzar un dado, el suceso "salir impar"  y el suceso "salir 5" son dependientes, ya que el hecho de que salga 5 nos asegura que  ocurre el otro suceso.    Dos  eventos son independientes, si  la ocurrencia  de  uno  de  ellos no afecta a la  ocurrencia del otro. Por ejemplo: Consideremos el experimento de lanzar dos monedas,  ¿cuál es la probabilidad de que en la primera moneda aparezca águila y de que en la  segunda moneda aparezca sol?    Si A es el evento “aparece águila en la primera moneda” y si B es el evento “aparece sol en  la segunda moneda”, entonces: U = {(SS), (SA), (AS), (AA) }.   

A = [( AS )( AA)]∴ P( A) =

2 1 =                       4 2

B = [(SS )( AS )]∴ P (B ) =

2 1 =   4 2

Como A y B son eventos independientes, porque la ocurrencia de A no afecta a la  concurrencia de B y viceversa, entonces:      P AoB = P A • P B     Si dos sucesos A y B son independientes, es evidente que:   

(

)

( ) ( )

⎛B⎞ ⎛ A⎞ P ⎜ ⎟ = P ( A )                                      P ⎜ ⎟ = P (B )                                 ⎝ A⎠ ⎝B⎠ Consideremos la experiencia compuesta de lanzar un dado y sacar una carta de una baraja  española. Consideremos los sucesos A = "salir un 6 en el dado"  y     B =  "sacar una carta  de oros".    Evidentemente, se trata de dos sucesos independientes, ya que el hecho de que ocurra un  suceso no influye en que suceda el otro, pues la probabilidad de A Ç B es: 

P (A ∩ B

)=

1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 12 ⎞ P⎜ = 0 . 04 ⎟P⎜ ⎟ = 24 ⎝ 6 ⎠ ⎝ 48 ⎠

 

  La posibilidad de que se presente un evento de un experimento aleatorio, cuyo espacio  muestral contiene un numero finito de elementos, se evalúa por medio de un conjunto de  números reales llamados pesos o probabilidades los cuales caen en el rango de 0 a 1.  A  cada punto en el espacio muestral se le asigna una probabilidad tal que la suma de todas  las probabilidades es 1.       Existen tres tipos de probabilidades que se presentan bajo condiciones ya sea de  dependencia o de independencia estadística:                                                  MARGINAL    PROBABILIDAD             CONJUNTA                                                CONDICIONAL       Una probabilidad marginal es la probabilidad simple de presentación de un evento. Para  su calculo se pueden utilizar cualquiera de los enfoque de probabilidad vistos con  anterioridad, ya sea el clásico o el de frecuencia relativa, mediante la suma de las  probabilidades de todos los eventos en los que se presenta el evento sencillo.     Por ejemplo si en el juego de DOMINO  mezclamos las fichas de acuerdo con las normas  convencionales, la probabilidad de extraer  cualquier ficha  en el primer intento es  =  1 /  28; si no se reintegra, la probabilidad de extraer alguna de las restantes en  el  segundo  intento es  =   1 / 27, si no se reintegra en el tercer intento será de 1/26 y así  consecutivamente.    La probabilidad de dos o más eventos independientes que se presentan juntos o en  sucesión es el producto de sus probabilidades marginales:     P (A y B) = P (A) P (B)    Ejemplo 1: Una caja de fusibles contiene 20 piezas de las cuales 5 están defectuosas.  Si se  seleccionan al azar 2  y se sacan de la caja en sucesión sin reemplazo del primero ¿Cual es  la probabilidad de que ambos fusibles resulten defectuosos?    Sea  A  el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el que el  segundo fusible  también; entonces se interpreta   A y B como el evento de que  A ocurre y a continuación   lo hace B.    

La probabilidad de sacar primero un fusible defectuoso es  5/20  o sea  1/4; la  probabilidad de extraer un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es  igual a 4/19.   Por lo tanto:                                 P  (A y B)   =  (1/4) (4 /19)   =  1 /19 =  0.05 = 5 %.     Bajo condiciones de dependencia estadística los modelos cambian a los siguientes:                            P (A y B) = P(A)  P (B/A)     o      P (B y A) = P (B)  P(A/B)    Ejemplo: un jurado consiste en 9 personas nacidas en el país y tres personas nacidas en el  extranjero. Si seleccionamos para una entrevista a 2 miembros del jurado, ¿Cual es la  probabilidad de que ambos sean extranjeros?    Si designamos E  al evento que el primer jurado elegido sea extranjero y como B que el  segundo jurado elegido sea extranjero, y suponemos probabilidades iguales para cada  alternativa, la probabilidad de que el primer jurado seleccionado sea extranjero es P (E) =  3/12.      De acuerdo a esto si el primer jurado seleccionado es extranjero la probabilidad de que el  segundo jurado también sea extranjero es P (B/E) = 2 / 11.     Por lo tanto la probabilidad de tener dos jurados nacidos en el extranjero es:             P (E y B) = P(E)  P (B/E) = (3/12) ( 2/11) = 1 /22 = 0.045 = 4.5%