Theorie der einfachen Lie-Gruppen Eine Einfu ¨hrung Notizen zur Vorlesung im Sommersemester 2009 23. Juli 2009

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INHALTSVERZEICHNIS

Inhaltsverzeichnis 1 Lie-Gruppen 1.1 Endliche kontinuierliche Gruppe . . . . . . . . . . . 1.2 Lie-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit 1.4 Darstellung von Lie-Gruppen . . . . . . . . . . . . . (i) Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Adjungierte Darstellung . . . . . . . . . . . . 1.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen . . . . . . . 1.6 Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 8 8 10 10 10 10 11 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gruppen . . . . . .

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14 14 15 15 16 18 20 21 22 23

3 Wurzeln und Gewichte 3.1 Darstellungstheorie der su(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen . . . . . . . . . . (i) Die Cartan-Unteralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) Auf- und Absteigeoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iv) Geometrie der Wurzeldiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . (v) Beispiel: su(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Einfache Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Die Cartan-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i) Definition und allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . (ii) Konstruktion s¨ amtlicher Wurzeln aus den einfachen Wurzeln (iii) Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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24 24 26 26 27 28 31 32 33 36 36 37 39

4 Dynkin-Diagramme 4.1 Die Zuordnung Lie-Algebra → Diagramm . . . . . . . . . . . 4.2 Cartan-Matrix ↔ Dynkin-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . (i) Cartan-Matrix → Dynkin-Diagramm . . . . . . . . . . (ii) Dynkin-Diagramm → Cartan-Matrix . . . . . . . . . . 4.3 H¨ochstes Gewicht und fundamentale Gewichte . . . . . . . . . 4.4 Verschiedene Basen des Raums der Gewichte bzw. Wurzeln . (i) Dynkin-Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Wurzel-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) Dynkin-Koeffizienten der einfachen Wurzeln . . . . . . 4.5 Fundamentale Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Konstruktion von Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i) Konstruktion von fundamentalen Darstellungen . . . . (ii) Die Konstruktion beliebiger Darstellungen . . . . . . . (iii) Dynkin-Koeffizienten → Dimension einer Darstellung

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40 40 41 41 41 42 42 42 43 43 44 44 44 46 48

2 Lie-Algebren 2.1 Tangentialraum . . . . . . 2.2 Vektorfelder . . . . . . . . 2.3 Lie-Klammer . . . . . . . 2.4 Lie-Algebra . . . . . . . . 2.5 Exponentialabbildung . . 2.6 Adjungierte Darstellung . 2.7 Killing-Form . . . . . . . 2.8 Einfache und halbeinfache 2.9 Zusammenfassung . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS ¨ 5 Uberblick u ¨ber die klassischen 5.1 Die SU(N ) . . . . . . . . . . 5.2 Die SO(N ) . . . . . . . . . . (i) Die so(2n) . . . . . . . (ii) Die so(2n + 1) . . . . 5.3 Die SP(2n) . . . . . . . . . . 5.4 Zusammenfassung . . . . . .

Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen 7 Untergruppen und Symmetriebrechung 7.1 Untergruppen und Unteralgebren . . . . . . . . . . . 7.2 Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen . . . . (i) Rezept: Verwenden von Projektionsmatrizen (ii) Konstruktion der Projektionsmatrizen . . . . 7.3 Abschließende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . .

49 49 51 51 52 53 54 55

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A Young-Tableaux A.1 Generelle Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (i) Tensor-Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Einf¨ uhrendes Beispiel: Symmetrische und antisymmetrische Tensoren zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (iii) Verallgemeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Standard-Anordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Zusammenhang zwischen Dynkin-Labels und Young-Tableaux f¨ ur die SU(N ) . . . A.4 Young-Tableaux zur Bestimmung der Dimension irreduzibler Darstellungen der SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5 Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler Darstellungen der SU(N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6 Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln . . . . . . . . . . . . . (i) Beispiel: SU(3) → SU(2) ⊗ U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (ii) Verallgemeinerung SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU(M ) ⊗ U(1) . . . . . . . . .

59 59 60 60 61 66 67 67 67 67 68 68 69 70 71 72 72 72

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Einleitung & Literatur

Einleitung Dies sind Notizen zur Vorlesung Gruppentheorie“, gehalten im Sommersemester 2009 an der ” T.U. M¨ unchen.

Warum Gruppentheorie? Symmetrien spielen eine Schl¨ usselrolle f¨ ur das derzeitige Verst¨andnis von fundamentaler Physik. Alle bekannten Grundkr¨ afte (Gravitation, Elektromagnetismus, schwache und starke Kraft) k¨onnen auf jeweils ein Symmetrieprinzip zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die entsprechenden Symmetrieoperationen bilden Gruppen, die mit der Gruppentheorie behandelt werden k¨onnen. F¨ ur die Grundkr¨afte spielen nur kontinuierliche Gruppen, d.h. Lie-Gruppen, eine Rolle; diese Vorlesung wird sich fast ausschliesslich mit solchen Gruppen besch¨aftigen. Diskrete Gruppen sind ebenfalls interessant und auch relevant f¨ ur Physik, es stellt sich jedoch heraus, dass man, wenn man die kontinuierlichen Gruppen verstanden hat, sich relativ leicht in die diskreten Gruppen einarbeiten kann. Beispiel zur Motivation. Das Standardmodell der Elementarteilchenphysik beschreibt drei der vier bekannten Grundkr¨ afte mit großer Pr¨azision. Es basiert auf der Symmetriegruppe GSM = SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y . Die sog. fundamentalen Fermionen transformieren mit den Quantenzahlen linksh¨ andige“ Quark-Dubletts q ” rechtsh¨ andige“ u-type Quarks u ” rechtsh¨ andige“ d-type Quarks d ” linksh¨ andige“ Lepton-Dubletts ℓ ” rechtsh¨ andige“ Lepton-Singletts e ”

: (3, 2)1/6 , : (3, 1)2/3 , : (3, 1)−1/3 , : (1, 2)−1/2 ,

: (1, 1)−1 .

Die erste Beobachtung ist, dass der Teilchencharakter der Fermionen durch die Transformationseigenschaften unter GSM festgelegt ist. Das bedeutet z.B. dass linksh¨andige“ Quark-Dubletts als ” 3-Vektor“ unter einer SU(3)C Transformation transformiert, ”    ′      qrot qrot qrot ∗ ∗ ∗ ′  =  ∗ ∗ ∗  ·  qgr¨un  .  qgr¨un  →  qgr¨ un ′ qblau qblau ∗ ∗ ∗ qblau {z } | SU(3)C Matrix

Zweitens ist der Materie-Inhalt des Standardmodells etwas merkw¨ urdig. Warum gibt es genau diese Darstellungen, und nicht andere? Um diese Frage zu beantworten, schreiben wir zun¨achst mal alle Teilchen des Standardmodells als linksh¨andige Fermionen, linksh¨ andige“ Quark-Dubletts q ” linkssh¨ andige“ Anti-u-type Quarks uc ” linksh¨ andige“ Anti-d-type Quarks dc ” linksh¨ andige“ Lepton-Dubletts ℓ ” linkssh¨ andige“ Anti-Lepton-Singletts e ”

: (3, 2)1/6 , : (3, 1)−2/3 , : (3, 1)1/3 , : (1, 2)−1/2 , : (1, 1)1 .

Man kann sich u ¨berlegen, dass GSM in SU(5) passt“, ” GSM ⊂ SU(5) .

5

Einleitung & Literatur

F¨ ur SU(3)C und SU(2)L ist das relativ einfach zu sehen, eine 3 × 3 und eine 2 × 2 Matrix k¨onnen zu einer 5 × 5 Matrix zusammengefasst werden, 

∗  ∗ ∗

∗ ∗ ∗

 ∗ ∗  ∗ 

∗ ∗ ∗ ∗





  →   

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗



   .  

Dar¨ uber hinaus findet man, dass sich die Standardmodell Materie in zwei SU(5) Multiplets zusammenfassen l¨ asst, c

d ℓ



 q  → 10 . → 5 , uc  ec

Diese Relationen sind gruppentheoretisch korrekt (wie wir in mehr Detail sehen werden), ob sie wirklich relevant f¨ ur die Natur sind ist eher spekulativ.1 Dar¨ uber hinaus findet man, dass SU(5) nicht nur SU(3)C und SU(2)L beinhaltet, sondern auch Hyperladung. Sp¨ater werden wir sehen, dass SU(N ) Rang N − 1 hat, so dass SU(3) und SU(2) zusammen Rang 3 besitzen, und Hyperladung den Rang auf 4 = Rang(SU(5)) erg¨anzt. All diese Relationen lassen sich sehr einfach explizit nachrechnen, f¨ ur Details sei auf die Vorlesung Elementarteilchenphysik 2 von Prof. Ibarra verwiesen. Interessanterweise passt die SU(5) in SO(10), wobei sich der Materie-Gehalt des Standardmodells weiter vereinfacht, 16 = 10 ⊕ 5 ⊕ 1 . Das explizit zu sehen ist immer noch m¨oglich, aber wird schon etwas umst¨andlicher. Nun ist es so, dass es eine (nat¨ urlich spekulative) Kette der Vereinheitlichung“ gibt, ” GSM ⊂ SU(5) ⊂ SO(10) ⊂ E6 ⊂ E7 ⊂ E8 . Diese Kette endet bei E8 ; ein Ziel der Vorlesung ist, diese Aussage besser zu verstehen. Tats¨achlich werden wir die Aussage in eine Diagramm-Sprache zu u ¨ bersetzen wissen, ×

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂

.

Daf¨ ur werden wir aber ein wenig arbeiten m¨ ussen. 1 Der Grund daf¨ ur ist, dass der experimentelle Nachweis erfordern w¨ urde, dass man die entsprechenden Eichbosonen sehen m¨ ußte. Man erwartet jedoch, dass diese relativ schwer sind. Diese Fragen werden in dieser Vorlesung nicht behandelt.

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Einleitung & Literatur

Ein paar Worte zum Inhalt Die Notizen und die Vorlesung sind in zwei Teile gegliedert. In dem ersten Teil werden die Begriffe der Lie-Gruppe und der Lie-Algebra eingef¨ uhrt. Hierbei wird von einer (differential)geometrischen Sichtweise bzw. Formulierung Gebrauch gemacht; dies z.T. auch deshalb, weil sich diese Beschreibung f¨ ur gewisse Bereiche der theoretischen Physik als vorteilhaft erweist (siehe z.B. die ebenfalls im Sommersemster 2009 stattfindende Vorlesung zur Allgemeinen Relativit¨atstheo” rie“, gehalten von S. Antusch). Im Prinzip muss man das erste Kapitel nicht im Detail verstehen, um den zweiten Teil nachvollziehen zu k¨onnen. Im zweiten Teil beschr¨ anken wir die Betrachtungen auf einfache Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren und klassifizieren diese anhand der zugeh¨origen Dynkin-Diagramme. Wir pr¨asentieren Regeln, mittels derer sich das System der Wurzeln bzw. der Gewichte ausgehend vom Dynkin-Diagramm bzw. der Dynkin-Koeffizienten des h¨ ochsten Gewichts konstruieren lassen.

Danksagung Es sei den Herren Christoph Promberger und Yasutaka Takanishi f¨ ur Korrekturen und Kommentare zu den online-Notizen gedankt.

Literatur Folgende Literatur wird empfohlen: X Begleitend: • Robert Cahn [1].

• Howard Georgi [3].

• Robert Gilmore [4]. X Erg¨anzend: • Die Diskussion der Young-Tableaux richtet sich an dem Buch von T.P. Cheng und L.F. Li [2]. • Viele n¨ utzliche Tabellen gibt es in dem Artikel von R. Slansky [7]. X Vertiefend: • viele Beweise, die in der Vorlesung nicht pr¨asentiert werden (k¨onnen), finden sich in dem Buch von M. Hamermesh [5]. • Geometrische Begriffe sind in dem Buch von M. Nakahara [6] beschrieben. Die ersten zwei Abschnitte der Vorlesung machen in Teilen Anleihen an die Vorlesung ‘Differentialgeometrie’ von Prof. K. Buchner.

Literatur

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Literatur [1] R. N. Cahn, Semisimple Lie algebras and their representations, Benjamin/cummings, 1984, 158 P. [2] T. P. Cheng und L. F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Oxford Science Publications, 1984, 536 p. [3] H. Georgi, Lie algebras in particle physics. From isospin to unified theories, Benjamin/cummings, 1982. [4] R. Gilmore, Lie groups, lie algebras and some of their applications, John Wiley, 1974, 587 p. [5] M. Hamermesh, Group theory and its application to physical problems, Addison-Wesley, 1962, 509 p. [6] M. Nakahara, Geometry, topology and physics, IOP Publishing, 1990. [7] R. Slansky, Group theory for unified model building, Phys. Rept. 79 (1981), 1–128. [8] R. F. Streater und A. S. Wightman, PCT, spin and statistics, and all that, Redwood City, USA: Addison-Wesley, 1989, 207 p. (Advanced book classics).

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Gruppentheorie

1

Lie-Gruppen

1.1

Endliche kontinuierliche Gruppe

Definition 1.1. Eine Menge G mit einer Verkn¨ upfung m heißt Gruppe, falls folgende Axiome erf¨ ullt sind: (i) Die Operation m, genannt Multiplikation, erf¨ ullt m : g, h 7→ m(g, h) = g · h ∈ G

(1.1)

f¨ ur alle g, h ∈ G. (ii) Assoziativit¨ at: g1 · (g2 · g3 ) = (g1 · g2 ) · g3

(1.2)

f¨ ur alle g1 , g2 , g3 ∈ G. (iii) Existenz des neutralen Elements e mit g·e = e·g = g

(1.3)

f¨ ur alle g ∈ G. (iv) Existenz des inversen Elements, d.h. f¨ ur alle g ∈ G existiert ein g −1 ∈ G mit g · g −1 = g −1 · g = e .

(1.4)

Im Folgenden sind wir haupts¨ achlich an kontinuierlichen Gruppen interessiert, bei denen, salopp gesprochen, die Gruppenelemente durch kontinuierliche Parameter charakterisiert werden. Definition 1.2. Eine kontinuierliche Gruppe mit einer endlichen Menge an Parametern heißt endliche kontinuierliche Gruppe. Beispiel 1.1. Betrachte z.B. die Drehungen in der Ebene,    ′        x x x cos ξ sin ξ x 7→ = D(ξ) = · . y y′ y − sin ξ cos ξ y

(1.5)

Die Hintereinanderausf¨ uhrung entspricht der (Matrix-)Multiplikation; damit bilden die D(ξ) eine Gruppe. Dabei dient ξ als Parameter bzw. als Koordinate“. ”

1.2

Lie-Gruppe

Definition 1.3. Eine C r -Lie-Gruppe G ist eine C r -Mannigfaltigkeit, die eine Gruppe mit einer Verkn¨ upfung ·“ ist, und wo f¨ ur alle g, h ∈ G die Abbildungen ” (1) (g, h) 7→ g · h und (2) g 7→ g −1 C r -Abbildungen sind.

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1.2 Lie-Gruppe

Z.B. f¨ ur die Multiplikation m : (g, h) 7→ m(g, h) = g · h bedeutet die Differenzierbarkeit definitionsgem¨ aß, dass mit den Kartenabbildungen ϕi aus m

(g, h) ϕ1

Rn ∋ a

g·h

ϕ2

ϕ3

b ∈ Rn

c ∈ Rn

die Abbildung −1 ϕ3 ◦ m ◦ (ϕ−1 1 , ϕ2 ) :

R2n → Rn

(1.6)

d.h. (a, b) 7→ c(a, b)

(1.7)

eine C r -Abbildung ist. Analog kann man die zweite Bedingung zur¨ uckf¨ uhren auf die Aussage, dass a(a) eine C r Funktion ist, wobei mit der Inversenbildung i : g 7→ g −1 : g

i

g−1

ϕ1

ϕ2

Rn ∋ a

a ∈ Rn

ist.

      

a = ϕ2 ◦ i ◦ ϕ−1 1 (a)

Beispiel 1.2. Betrachte wieder die Drehungen in der Ebene. Die Gruppenmultiplikation   D(ξ), D(η) 7→ D(ξ) · D(η) =: D(ζ)

(1.8)

kann durch ζ(ξ, η) = ξ + η

(1.9)

ausgedr¨ uckt werden. Die Multiplikation ist hier offensichtlich eine analytische Abbildung. Bemerkung 1.1.

(a) Eine C ω -Lie-Gruppe2 heißt einfach nur Lie-Gruppe.

(b) Oft definiert man eine Lie-Gruppe G als eine Gruppe, bei der g eine Abbildung von einem Parameterraum U ⊂ Rn nach G ist und mit g(c) = g(a) =

g(a) · g(b) , g −1 (a)

sowohl c(a, b) eine analytische Funktion von a und b als auch a eine analytische Funktion von a ist. Der Unterschied zu Obigem ist die Beschr¨ankung auf eine globale Parametrisierung. (c) Es gilt: Jede endlichdimensionale C 1 -Lie-Gruppe ist eine analytische Lie-Gruppe. Notation. Statt g · h schreibt man auch g h; das neutrale Element soll immer e heißen. 2C ω

heißt analytisch.

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Gruppentheorie

1.3

Wirkung einer Lie-Gruppe auf eine Mannigfaltigkeit

Definition 1.4. Sei G eine Lie-Gruppe und M eine Mannigfaltigkeit. Die Wirkung von G auf M ist eine differenzierbare Abbildung σ : G × M → M , die Folgendes erf¨ ullt: 1. σ(e, p) = p f¨ ur alle p ∈ M .
2. σ g1 , σ(g2 , p) = σ(g1 · g2 , p).

Notation. Anstatt σ(g, p) schreibt man oft auch kurz g p. Definition 1.5. Sei G = GL(n, R), d.h. die Gruppe der invertierbaren reellwertigen n×n Matrizen und M = Rn . Die Wirkung von GL(n, R) auf Rn ist definiert als σ(g, p) = g · p ∀ g ∈ GL(n, R), p ∈ Rn .

(1.10)

Die Wirkung von Untergruppen der GL(n, R) ist genauso definiert. Diese k¨onnen unter Umst¨anden auch auf Untermannigfaltigkeiten des Rn wirken. Beispiel 1.3. Es wirkt die O(n) auf die (n − 1)-Sph¨are σ : O(n) × Sn−1 (r) →

1.4

Sn−1 (r) .

Sn−1 (r) mit Radius r, (1.11)

Darstellung von Lie-Gruppen

Definition 1.6. Ein Lie-Gruppen-Homomorphismus zwischen zwei Lie-Gruppen G und H ist eine analytische Abbildung f : G → H mit f (g1 · g2 ) = f (g1 ) · f (g2 ) (i)

∀ g1 , g2 ∈ G .

(1.12)

Matrixdarstellung

Definition 1.7. Sei n ∈ N. H bezeichne die Gruppe GL(n, R) bzw. GL(n, C). Ein Lie-GruppenHomomorphismus f : G → H heißt n-dimensionale Darstellung der Lie-Gruppe G u ¨ ber dem uhrung; Darstellungsraum Rn bzw. Cn . Die Multiplikation in H ist dabei die Hintereinanderausf¨ sie entspricht also der Matrixmultiplikation. Man spricht in diesem Zusammenhang davon, dass die Lie-Gruppe G auf den Darstellungsraum M = Rn bzw. M = Cn wirkt. Seien also {yi }ni=1 die Koordinaten von p ∈ M . Dann l¨asst sich die Wirkung g ∈ G auf p, g∈G

p −−−→ σ(g, p) , in offensichtlicher Weise auswerten,   g11 · · · g1n  σ(g, p) = . . . . . . . . . . . . . .  gn1 · · · gnn (ii)

(1.13)  y1 ..  . .  yn

(1.14)

Adjungierte Darstellung

Um die adjungierte Darstellung zu konstruieren, fassen wir die Lie-Gruppe G als Transformationsgruppe auf, die auf sich selbst wirkt, d.h. M = G. Definition 1.8. Der Homomorphismus der adjungierten Darstellung wird erkl¨art u ¨ ber folgende Wirkung der Lie-Gruppe G auf sich selbst: ADh : g 7→ σAD (h, g) = h g h−1 . Diese Abbildung l¨ asst das Einselement fest.

(1.15)

1.5 Reduzible und irreduzible Darstellungen

1.5

11

Reduzible und irreduzible Darstellungen

Definition 1.9. Sei f : G → GL(n, R) bzw. GL(n, C) eine Darstellung der Lie-Gruppe G. Man nennt einen Untervektorraum V ⊂ Rn bzw. Cn invariant, falls f¨ ur alle g ∈ G gilt, dass x ∈ V

y

f (g) · x ∈ V .

(1.16)

Definition 1.10. Eine Darstellung f : G → GL(n, R) bzw. GL(n, C) heißt irreduzibel, wenn {0} und Rn bzw. Cn die einzigen invarianten Unterr¨aume sind. Andernfalls heißt f reduzibel. Ein invarianter Unterraum V heißt irreduzibel, wenn er außer {0} und V keinen invarianten Unterraum besitzt. Die Darstellung f heißt vollst¨andig reduzibel, falls sie entweder irreduzibel ist oder wenn der Rn bzw. Cn die direkte Summe irreduzibler Unterr¨aume ist. Wir werden uns jetzt u ¨berlegen, dass bei einer vollst¨andig reduziblen Darstellung f sich die Darstellungsmatrizen f (g) in Block-Diagonalform schreiben lassen,   ∗ ··· ∗ 0 ···  ..  ..  .  . 0 ···    ∗ ··· ∗ 0 ···     0 ··· 0 ∗ ··· ∗ 0 ···   . f (g) =  (1.17)   . . .. 0 · · ·  0 · · · 0 ..     0 ··· 0 ∗ ··· ∗ 0 ···     0 ··· 0 0 ··· 0 0 ··· 

Diese Form, d.h. die Bl¨ ocke der 0en, ergeben sich f¨ ur alle Gruppenelemente. F¨ ur irreduzible Darstellungen gibt es keine Blockstruktur. Das bedeutet, dass man im Wesentlichen irreduzible Darstellungen verstehen muss; die reduziblen ergeben sich dann als Matrizen in Block-Diagonalform, wobei die einzelnen Bl¨ ocke irreduziblen Darstellungen entsprechen. Um das zu sehen, ben¨otigen wir das sog. Schur’sche Lemma. Satz 1.1. Schur’sches Lemma – Teil I. Seien f : G → GL(n, R) bzw. GL(n, C) und h : G → GL(n, R) bzw. GL(n, C) zwei irreduzible Darstellungen der Lie-Gruppe G. Gibt es eine lineare Abbildung P : Rn → Rm mit P ◦ f (g) = h(g) ◦ P

∀ g∈G,

(1.18)

so gilt entweder Bild P = {0} oder Kern P = {0}. Definition 1.11. Zwei Darstellungen, f¨ ur die (1.18) mit Bild P 6= {0} gilt, heißen ¨ aquivalent.

Beweis. Sei r der Rang von P . (1.18) impliziert, dass Bild P ein invarianter Unterraum des Rm ist. Nun ist h irreduzibel, somit gibt es zwei F¨alle. Entweder ist Bild P = {0} oder r = m mit n ≥ m. Wir nehmen nun an, dass Bild P 6= {0} und außerdem Kern P 6= {0}; die Strategie ist es, einen Widerspruch zu identifizieren. Betrachte nun ein x ∈ Kern P mit x 6= 0. Daf¨ ur gilt (h(g) ◦ P ) x = h(g) 0 = 0 .

(1.19)

Andererseits ist f irreduzibel, d.h. Kern P ist kein invarianter Unterraum. (Kern P = Rn ist ebenfalls nicht m¨ oglich, da dann Bild P = {0}
gelten w¨ urde.) Somit gibt es g ∈ G und x ∈ Kern P so dass f (g) x 6∈ Kern P . Damit ist P ◦ f (g) x 6= 0, was im Widerspruch zu (1.18) und (1.19) ist. Bemerkung 1.2. Aus den Relationen r = m und n ≥ m folgt mit Kern P = {0}, dass m = n gilt f¨ ur a ¨quivalente Darstellungen. P hat dann vollen Rang und man hat f (g) = P −1 · h(g) · P ,

(1.20)

¨ d.h. die a mit einem inver¨quivalenten Darstellungen gehen durch eine Ahnlichkeitstransformation tierbaren P auseinander hervor.

12

Gruppentheorie

Satz 1.2. Schur’sches Lemma – Teil II Eine endlichdimensionale Darstellung f : G → GL(n, R) bzw. GL(n, C) ist genau dann irreduzibel, wenn nur die Vielfachen λ 1 der Einheitsmatrix 1 (λ ∈ C) mit allen Matrizen f (g) vertauschen, A · f (g) = f (g) · A

∀g

y

A = λ·1.

(1.21)

Beweis. Wir beschr¨ anken uns hier auf den Beweis der Aussage: Falls f irreduzibel ist und A mit f (g) vertauscht, so ist A proportional zu 1. Sei U der Raum der Eigenvektoren von A zum Eigenwert κ und sei u ∈ U . Dann gilt
A · f (g) u = f (g) · A u = f (g) κ u = κ f (g) u , d.h. f (g) u ∈ U . Somit ist U ein invarianter Unterraum. Da f irreduzibel ist, ist U = Rn bzw. Cn . Damit gilt A = κ 1.

Damit k¨ onnen wir jetzt verstehen, dass f¨ ur reduzible Darstellungen die Darstellungsmatrizen block-diagonal (siehe (1.17)) sind und f¨ ur irreduzible nicht. Offensichtlich vertauscht f¨ ur blockdiagonale Matrizen nicht nur die Einheitsmatrix mit den Darstellungsmatrizen, sondern auch diag(λ1 , . . . λ1 , λ2 , . . . λ2 , . . . ), wobei die Anzahl der gleichen λs der jeweiligen Dimension des Blocks entspricht. Grob gesprochen setzen sich reduzible Darstellungen aus Bl¨ocke irreduzibler Darstellungen zusammen. Insbesondere sieht man, dass es relativ einfach sein wird, reduzible Darstellungen zu diskutieren, wenn die irreduziblen erst einmal verstanden sind.

1.6

Kurven

Definition 1.12. Eine C r -Kurve k auf einer Lie-Gruppe G ist eine Abbildung k :

R ⊃]t− , t+ [ → G ,

(1.22)

wo f¨ ur jede Karte (Ui , ϕi ) die Abbildung ϕi ◦ k vom Typ C r ist. Beispiel 1.4. Die Gruppe der Drehungen im Dreidimensionalen kann durch drei Winkel θ, ϕ und ψ parametrisiert werden, z.B. u ¨ ber D(φ, ψ, ϑ) = Rx (φ) · Ry (ψ) · Rz (ϑ) , wobei Rx (φ)

=

Ry (ψ) =

Rz (ϑ) =



1 0 0  0 cos φ sin φ 0 − sin φ cos φ  cos ψ 0 − sin ψ  0 1 0 sin ψ 0 cos ψ  cos ϑ sin ϑ 0  − sin ϑ cos ϑ 0 0 0 1

(1.23)



 , 

 ,



 .

Eine Kurve bildet dann z.B. die Abbildung: k : t 7→ D(0, 0, t) = Rz (t) .

(1.24)

Ein Produkt zweier Kurven kann erkl¨art werden u ¨ ber K ∋ (k1 , k2 ) 7→ k1 ◦ k2 , wobei (k1 ◦ k2 )(t) =



k1 (2t) , k1 (1) · k2 (2t − 1) ,

(1.25) 0 ≤ t ≤ 12 , 1 2 ≤ t≤ 1,

(1.26)

13

1.6 Kurven

k1 b

b

e

b

b

◦

e

k1 ◦ k2

= k2

b

e

b

Abbildung 1.1: Multiplikation von Kurven.

und k2 (0) = e. Anschaulich bedeutet das, dass man die Kurven aneinandersetzt (siehe Abbildung 1.1). Fazit Lie-Gruppen sind Mannigfaltigkeiten mit Gruppenstruktur. Diese sind (fast) automatisch analytische Mannigfaltigkeiten.

14

2 2.1

Gruppentheorie

Lie-Algebren Tangentialraum

Definition 2.1. Sei k eine Kurve mit k(0) = g ∈ G und f : G → R eine beliebige C 1 -Funktion. Ein Tangentialvektor X an G in g ∈ G ist eine Abbildung, die f den Wert  d f ◦ k(t) (2.1) X[f ] = dt t=0

zuordnet. Die Zahl

◦ k(t)) t=0 heißt Richtungsableitung von f in Richtung dk(0) dt an der Stelle g. d Bemerkung 2.1. (a) Die Richtungsableitung, d.h. die Zahl dt (f ◦ k(t)) t=0 , ist unabh¨angig von der Wahl der Karte. d dt (f

(b) In einer gegebenen Karte (U, ϕ) berechnet man die Richtungsableitung u ¨ber 
 d d  f ◦ k(t) ϕ k(t) . = d(f ◦ ϕ−1 )|ϕ(k(0)) · dt dt t=0 t=0

(2.2)

Definition 2.2. Seien X, Y Tangentialvektoren in g ∈ G. Mit (X + Y )[f ] := (aX)[f ] :=

X[f ] + Y [f ] ∀ f ∈ C 1 (G → R) , a X[f ] ∀ f ∈ C 1 (G → R), a ∈ R

bildet die Menge der Tangentialvektoren einen Vektorraum, den Tangentialraum Tg G. Definition 2.3. F¨ ur eine Karte (U, ϕ) und eine fest vorgegebene Basis {bj }nj=1 des Rn heißen alle Kurven der Form kj : t 7→ ϕ−1 (a + t bj )

(2.3)

mit einem a ∈ ϕ(U ) Koordinatenlinien. F¨ ur g = ϕ−1 (a) bilden die Tangentialvektoren zu kj f¨ ur 1 ≤ j ≤ n eine Basis des Tg G, die sog. nat¨ urliche Basis. Beispiel 2.1. Betrachte wieder die Drehungen im Raum, dann ist k : t 7→ D(0, 0, t) = Rz (t)

(2.4)

Koordinatenlinie bzgl. der Karte ϕ : D(φ, ψ, ϑ) 7→ (φ, ψ, ϑ) ∈ R3 .

(2.5)

Der zu k geh¨ orige Tangentialvektor wirkt auf f folgendermaßen: 
 d d  f ◦ k(t) ϕ D(0, 0, t) = d(f ◦ ϕ−1 )ϕ(D(0,0,0)) · dt dt t=0 t=0     0 ∂f ◦ ϕ−1 ∂f ◦ ϕ−1 ∂f ◦ ϕ−1 · 0  , , = ∂φ ∂ψ ∂ϑ (0,0,0) 1 =

∂f ◦ ϕ−1 (0, 0, 0) , ∂ϑ

d.h. er ordnet also f den Wert Bemerkung 2.2.

∂f ◦ϕ−1 ∂ϑ (0, 0, 0)

zu.

(a) Sei F eine Abbildung F : G → G. Dann gilt

X[f ◦ F ] = dF (g) X[f ] , wo dF das Differential von F und X ∈ Tg G ist.

(2.6)

15

2.2 Vektorfelder

(b) Seien xj die Koordinaten des Rn bzgl. der Basis {bj }nj=1 . Den zur Koordinatenlinie kj ∂ geh¨ origen Basisvektor Xkj bezeichnet man dann oft mit ∂x j , denn die Anwendung auf f liefert Xkj [f ] =

∂f ◦ ϕ−1 (a) . ∂xj

(2.7)

(c) Ein beliebiger Tangentialvektor X ist als Linearkombination der Basisvektoren darstellbar, X =

n X

X j Xkj = X j

j=1

∂ . ∂xj

(2.8)

Oft identifiziert man dann den Tangentialvektor mit seinen Komponenten, X

Identifizierung

=

(X 1 , . . . X n ) .

(2.9)

(d) Die Komponenten X i des Tangentialvektors geben die lineare Approximation an die Kurve im Koordinatenraum wieder, d.h.
i
i
i ϕ ◦ k(t) = ϕ ◦ k(0) + X i · t + O(t2 ) = ϕ(g) + X i · t + O(t2 ) . (2.10)

Konvention. Im Folgenden soll immer eine Karte (U, ϕ) betrachtet werden, in der U das Einheitselement e enth¨ alt und und in der o.E. ϕ(e) = 0 ∈ Rn gilt.

2.2

Vektorfelder

Definition 2.4. Ein Vektorfeld ist eine Abbildung, die jedem g ∈ G einen Tangentialvektor X ∈ Tg G zuordnet. Konvention. Bez¨ uglich der Karte (U, ϕ), die e enth¨alt, kann man X schreiben als ∂ X = X i (x1 , . . . xn ) i . ∂x Dabei sollen die X i : Rn → R mindestens C 2 sein.

2.3

(2.11)

Lie-Klammer

Definition 2.5. Seien X und Y Vektorfelder. Als Lie-Klammer bezeichnet man [X, Y ] mit     [X, Y ] [f ] = X Y [f ] − Y X[f ] . (2.12) Satz 2.1. Sei f ∈ C 2 (G, R). Die Lie-Klammer [X, Y ][·] zweier Vektorfelder X und Y ist f¨ ur solche f auch ein Vektorfeld. Beweis. Sei ∂ ∂ und Y = Y j (x) j . (2.13) i ∂x ∂x F¨ ur den Beweis werden nur Vektorfelder an e, d.h. nur X ∈ Te G, betrachtet; man kann jedoch beliege andere Punkte ansehen. Dann ist mit F := f ◦ ϕ−1     ∂ ∂F ∂F ∂ i j i j [X, Y ] [f ] = X (x) i Y (x) j (x) − Y (x) j X (x) i (x) ∂x ∂x ∂x ∂x x=0 x=0 X = X i (x)

∂F ∂X i ∂F ∂Y j (0) j (0) − Y j (0) (0) i (0) i j ∂x ∂x ∂x ∂x 2 ∂ F ∂2F + X i (0) Y j (0) i j (0) − Y j (0) X i (0) j i (0) ∂x ∂x ∂x ∂x   j j ∂ ∂Y ∂X = X i (0) (0) − Y i (0) (0) F (0) ∂xi ∂xi ∂xj {z } | = X i (0)

=:Zj (0)

wegen der Symmetrie der zweiten Ableitung.

2.4

Lie-Algebra

Definition 2.6. Sei h ∈ G. Durch Lh g = h · g

f¨ ur g ∈ G

(2.14)

definiert man die Linkstranslation Lh . Definition 2.7. Ein Vektorfeld X auf G heißt linksinvariant, falls X(h g) = dLh X(g) ∀h, g ∈ G .

(2.15)

Bemerkung 2.3. Man sollte (2.6) nicht mit (2.15) verwechseln. Oben wurde das Objekt, auf das der Tangentialvektor X wirkt, einer Transformation unterworfen, hier geschieht dies mit dem Punkt“ ” g, an dem das Vektorfeld X auszuwerten ist. In der Notation setzen wir zur Unterscheidung auch das Objekt, auf das X wirkt, in eckige Klammern [·]“, und den Punkt, an dem das Vektorfeld ” auszuwerten ist, in runde (·)“. ” Definition 2.8. Die Lie-Algebra g einer Lie-Gruppe G ist der Vektorraum aller linksinvarianten Vektorfelder mit der Lie-Klammer als Multiplikation. Bemerkung 2.4. (a) Die Multiplikation in der Algebra wurde so gew¨ahlt, da die Lie-Klammer zweier Vektorfelder wieder ein Vektorfeld ist. (b) Linksinvariante Vektorfelder erf¨ ullen X(g) = dLg X(e) .

(2.16)

Dies impliziert, dass [dLg X(e), dLg Y (e)] = dLg [X(e), Y (e)] .

(2.17)

Daher ist die Lie-Algebra isomorph zu Te G. Dies erlaubt es uns, die linksinvarianten Vektorfelder X(g) mit X ausgewertet an der Stelle“ e, d.h. X(e), zu identifizieren. ” (c) Die Basiselemente der Lie-Algebra bzw. von Te G heißen Generatoren. In der Physik erhalten sie meist noch einen Faktor i. Beispiel 2.2. Die gebr¨ auchlichen“ Lie-Gruppen haben die in Tabelle 2.1 aufgelisteten Lie” Algebren. Tabelle 2.1: Einige Matrix-Lie-Gruppen und die zugeh¨ origen Lie-Algebren. Physiker definieren die Generatoren mit einem zus¨ atzlichen Faktor i.

Lie-Gruppe

Definition

GL(n, R)

reelle n × n-Matrizen mit Determinante 6= 0

Lie-Algebra Mathematiker Physiker reelle n × n-Matrizen imagin¨are n × n-Matrizen

SL(n, R)

reelle n × n-Matrizen mit Determinante 1

reelle n × n-Matrizen mit Spur 0

O(n)

reelle n × n-Matrizen A mit AT A = e

reelle antisymmetrische n × n-Matrizen

imagin¨are n × nMatrizen mit Spur 0

imagin¨are antisymmetrische n × n-Matrizen Fortsetzung auf der n¨achsten Seite. . .

17

2.4 Lie-Algebra Lie-Gruppen & Lie-Algebren - Fortsetzung Definition Lie-Algebra Mathematiker

Lie-Gruppe

SO(n)

reelle n × n-Matrizen A mit AT A = e und det A = 1

U(n)

SU(n)

Physiker

reelle antisymmetrische n × n-Matrizen

imagin¨are antisymmetrische n × n-Matrizen

komplexe n × n-Matrizen A mit A† A = e

antihermitesche n × n-Matrizen

hermitesche n × n-Matrizen

komplexe n × n-Matrizen A mit A† A = e und det A = 1

antihermitesche n × n-Matrizen mit Spur 0

hermitesche n × n-Matrizen mit Spur 0

Begr¨ undung: Um die
Lie-Algebra zu bestimmen, muß man Te G bestimmen. Betrachte also Kurven K(t) = ϕ k(t) im Koordinatenraum, die durch 1 = ϕ(e) verlaufen. In K(t) =

1 + B · t + O(t2 )

(2.18)

entspricht B der Koordinatendarstellung eines Tangentialvektors. Z.B. bei der O(n) fordert man, dass K(t) K T (t) =

1.

(2.19)

Das bedeutet f¨ ur B, dass (1 + B t + . . . ) (1 + B t + . . . )T

1 + B t + B T t + O(t2 ) ! = 1 y B T = −B , =

(2.20)

d.h. B muß antisymmetrisch sein. Die Lie-Algebra der O(n) besteht also aus den antisymmetrischen n × n-Matrizen. Die Lie-Algebren der anderen Lie-Gruppen erh¨alt man aus analogen ¨ Uberlegungen. Bemerkung 2.5. Physiker-Konvention Wie man an Tabelle 2.1 erkennt, ist die Konvention der Physiker, die Generatoren mit einem Faktor i zu verzieren, gerade so gew¨ahlt, dass die Lie-Algebra der unit¨aren Matrizen aus den hermiteschen (und nicht den antihermiteschen) Matrizen besteht. Definition 2.9. Sei G eine Lie-Gruppe und {ti } eine Basis ihrer Lie-Algebra g. Dann heißen die Zahlen fijk mit [ti , tj ] = fijk tk

(2.21)

Strukturkonstanten der Lie-Algebra g. Notation. In der Physiker-Konvention erhalten die Strukturkonstanten einen zus¨atzlichen Faktor i, d.h. (2.21) liest sich   eti , etj = i feijk etk

mit etk = i tk und feijk = fijk . Wir werden die Schlange ˜“ im Folgenden weglassen. ”

(2.22)

18

Gruppentheorie

Bemerkung 2.6. Die Strukturkonstanten erf¨ ullen k fijk = −fji ℓ m ℓ m ℓ fijm fmk + fki fmi + fjk fmi = 0

(Antisymmetrie) ,

(2.23)

(Jacobi-Identit¨at) .

(2.24)

Beispiel 2.3. Die Lie-Algebra der Drehgruppe, die durch die SO(3) dargestellt werden kann, besteht aus den antisymmetrischen (imagin¨aren) 3 × 3-Matrizen. Eine Basis der Lie-Algebra ist beispielsweise:   0 0 0 Tx = (i)  0 0 1  , 0 −1 0   0 0 −1 Ty = (i)  0 0 0  , 1 0 0   0 1 0 Tz = (i)  −1 0 0  . 0 0 0

Es ergeben sich die Strukturkonstanten: fijk = εijk

(komponentenweise) .

(2.25)

Zu einer gegebenen Lie-Gruppe kann man sich mittels (2.21) die Strukturkonstanten bestimmen, d.h. man kommt von der Gruppe zur Lie-Algebra. Aber gibt es auch den umgekehrten Weg? Tats¨achlich charakterisieren die Strukturkonstanten die Lie-Gruppe in folgendem Sinn: Satz 2.2. Dritter Lie’scher Fundamentalsatz Zu beliebigen n3 Zahlen fijk , die (2.23) und (2.24) erf¨ ullen, existiert eine Lie-Gruppe G, deren Strukturkonstanten fijk sind. Bis auf Lie-Gruppen-Isomorphien gibt es genau eine zusammenh¨angende und einfach zusammenh¨angende Lie-Gruppe mit dieser Eigenschaft. Beweis. Siehe [4, S. 108 ff.]. Bemerkung 2.7. Die SU(2) hat die gleichen Strukturkonstanten wie die SO(3), hσ σ i σk i j = i fijk , 2 2 2

(2.26)

mit

k fik = εijk

(komponentenweise) .

Dabei bezeichnen die σi die u ¨ blichen Pauli-Matrizen,       0 1 0 −i 1 0 σ1 = , σ2 = , σ3 = . 1 0 i 0 0 −1

(2.27)

(2.28)

Die Gruppen sind dennoch nicht identisch, bei der SO(3) liefert eine Drehung um 360◦ = 2π die Identit¨at, bei der SU(2) erst die Drehung um 4π.

2.5

Exponentialabbildung

Es geht darum, einen Weg von der Lie-Algebra g (zur¨ uck) zur zugeh¨origen Lie-Gruppe G zu finden.

19

2.5 Exponentialabbildung

Definition 2.10. Eine Kurve y : der Bedingung

R → G heißt ein-parametrige Untergruppe von G, falls y

y(t) y(s) = y(t + s)

(2.29)

gen¨ ugt. Zu einer gegebenen ein-parametrigen Untergruppe y findet man ein Vektorfeld X, so dass

d f y(t) = X y(t) [f ] (2.30) dt  f¨ ur alle f ∈ C 1 G, R gilt. Man kann weiter zeigen, dass diese X linksinvariant sind und es zu jedem linksinvarianten X eine eindeutig bestimmte ein-parametrige Untergruppe y gibt, so dass (2.30) gilt [6]. Man spricht dabei von der durch X erzeugten einparametrigen Untergruppe y. Definition 2.11. Sei G eine Lie-Gruppe und g ihre Lie-Algebra. Dann ist die Exponentialabbildung exp : g → G durch exp(X) := y(1)

(2.31)

definiert, wo y die von X erzeugte einparametrige Untergruppe ist. Bemerkung 2.8. Man kann die Exponentialabbildung auch erkl¨aren durch die u ¨ bliche Potenzreihe. Dazu muß man jedoch von der Lie-Algebra g auf ihre Einh¨ ullende u ¨ bergehen, wo alle Produkte der Generatoren von g als neue Generatoren erkl¨art sind. Eigenschaften der Exponentialabbildung: 1. exp(0) = e.
2. exp (a + b) X = exp(a X) · exp(b X) f¨ ur alle a, b ∈ R.

3. Die Abbildung exp : g → G ist ein analytischer Diffeomorphismus, d.h. eine analytische injektive Abbildung von einer Umgebung von 0 ∈ g auf eine Umgebung von e ∈ G. Beispiel 2.4. Betrachte die SO(2). Als Generator w¨ahlt man T =



0 1 −1 0



= X(e) .

(2.32)

Es gilt:

dy (t) = X y(t) = X Ly(t) e = dLy(t) X(e) = y(t) · T . dt

(2.33)

Diese Differentialgleichung wird gel¨ost durch die Exponentialmatrix y(t) = y(0) · exp(T t) = e ·

∞ X (T t)n . n! n=0

(2.34)

In diesem Fall rechnet man nach, dass y(t) =



cos t − sin t

sin t cos t



.

(2.35)

20

Gruppentheorie

2.6

Adjungierte Darstellung

Ausgehend von der adjungierten Darstellung einer Lie-Gruppe (vgl. S. 10) konstruieren wir eine Abbildung zwischen Tg G und TADh g G durch das Differential dADh . Die Einschr¨ankung auf g = e bezeichnen wir mit Adh , Adh : Te G → Te G ,

Adh = dADh |Te G .

(2.36)

Mit der Identifizierung g ≃ Te G erhalten wir so die adjungierte Abbildung Ad : G × g → g. Mit Hilfe der Exponentialabbildung sehen wir, dass die adjungierte Abbildung formal die selbe Gestalt hat wie AD. Sei X ein Vektorfeld in Matrixdarstellung, dann gilt Adh X =

 d d  exp(t h X h−1 ) t=0 = h X h−1 . [ADh exp(t X)]|t=0 = dt dt

(2.37)

An Gleichung (1.15) erkennt man, dass AD = σAD (h, g) als Abbildung von zwei Argumenten angesehen werden kann; das Differential bzgl. des zweiten Arguments g definiert Ad. Nun kann man weiter das Differential der Abbildung h 7→ Adh betrachten. Definition 2.12. Die Abbildung ad := dAd(e)

(2.38)

bezeichnet das Differential der Abbildung h 7→ Adh und wird adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g genannt. Satz 2.3. F¨ ur X, Y ∈ g gilt ad(X) Y = [X, Y ] .

(2.39)

Als Motivation betrachte h = e + ε X + O(ε2 ). Dann gilt h−1 = e − ε X + O(ε2 ) und     h Y h−1 = e + ε X + O(ε2 ) y e − ε X + O(ε2 ) = Y + ε [X, Y ]− + O(ε2 ) .

Bemerkung 2.9. Es gilt die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel,
exp(A) exp(B) = exp A + B + 21 [A, B] + . . . .

(2.40)

(2.41)

Betrachte nun zwei Elemente der Lie-Gruppe g = exp(t X)

und

h = exp(t Y ) .

F¨ ur kleine t erhalten wir h g h−1

= exp(t Y ) exp(t X) exp(−t Y )
= exp t (X + Y ) + 21 t [Y, X] + . . . exp(−t Y )
= exp t X + 12 t [Y, X] − 21 t [X + Y, Y ] + . . . = exp (X + t [Y, X] + . . . ) .

Damit kann man (2.39) ebenfalls motivieren. Bemerkung 2.10. Man rechnet explizit nach, dass [ad(X), ad(Y )] W

= (2.24)

=

[X, [Y, W ]] − [Y, [X, W ]] = [X, [Y, W ]] + [Y, [W, X]] − [W, [X, Y ]] = [[X, Y ] , W ] = [Z, W ] = ad(Z) W

mit Z = [X, Y ], d.h. ad bildet eine Darstellung der Lie-Algebra.

(2.42)

21

2.7 Killing-Form

2.7

Killing-Form

Definition 2.13. Sei D eine Darstellung der Lie-Algebra g, d.h. jedem X ∈ g wird eine Matrix D(X) zugeordnet. Das Skalarprodukt zweier Elemente der Lie-Algebra ist erkl¨art u ¨ ber (X, Y )D(g) :=

1 Tr D(X)D(Y ) , kD

(2.43)

wo kD eine darstellungsabh¨ angige Normierungskonstante bezeichnet. Es sollte nun m¨ oglich sein, das Skalarprodukt zweier Elemente Y und Z der Lie-Algebra alleine durch die Kenntnis der Komponenten in n X

Y =

y i ti

und Z =

n X

z j tj ,

j=1

i=1

wo die Xi die Basiselemente bezeichnen, zu bestimmen. Wir suchen also eine Metrik“ gij mit ” (Y, Z)D(g) = y i gij z j .

(2.44)

Dies f¨ uhrt wegen (Y, Z)D(g) =

n X 1 1 yi z j Tr D(Y ) D(Z) = Tr D(ti ) D(tj ) kD kD i,j=1

auf folgende Definition 2.14. Die Killing-Form einer Darstellung D(g) der der Lie-Algebra g ist gegeben durch gij =

1 Tr D(ti ) D(tj ) . kD

(2.45)

Bemerkung 2.11. (a) Es ist zu beachten, dass gij kein gew¨ohnliches Skalarprodukt liefert. Es ist n¨ amlich (X, X)D(g) nicht positiv definit, insbesondere wenn man zur Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten u ¨ bergeht (y Bemerkung 3.2, S. 25). Deshalb spricht man besser von der Killing-Form“ [1]. ” ¨ (b) Da die Basen ¨ aquivalenter Darstellungen durch Ahnlichkeitstransformationen auseinander hervorgehen, und da die Spur invariant ist gegen¨ uber solchen Transformationen, ist das Skalarprodukt bis auf kD unabh¨angig von der Basis der Darstellung bzw. kD kann so gew¨ahlt werden, dass das Skalarprodukt unabh¨angig von der Darstellung dieselben Werte liefert. (c) Wir ermitteln f¨ ur festes m die Wirkung von ad(tk ) ◦ ad(tℓ ) auf tm in der adjungierten Darstellung, (ad(tk ) ◦ ad(tℓ )) tm

= =

n ad(tk )[tℓ , tm ] = [tk , [tℓ , tm ]] = [tk , i fℓm tn ] s n n i fℓm [tk , tn ] = −fkn fℓm ts ts . | {z } =:(M(kℓ)

)s

(2.46)

m

Insbesondere liefert die Spur der Matrix (M(kℓ) )s m die Beziehung zwischen der Killing-Form und den Strukturkonstanten, s n gkℓ = (tk , tℓ )ad(g) = Tr (ad(tk ) ◦ ad(tℓ )) = −fkn fℓs .

(2.47)

22

Gruppentheorie

(d) Wegen (ad(Z)X, Y )ad(g) + (X, ad(Z)Y )ad(g) = ([Z, X], Y )ad(g) + (X, [Z, Y ])ad(g) = 0 finden wir (Ad(g)X, Y )ad(g) = (X, Ad(g)Y )ad(g)

(2.48)

f¨ ur beliebige g ∈ G. (e) Es gilt: Ist gkℓ positiv definit, so ist g kompakt. In diesem Fall kann man gkℓ auch als Metrik auffassen. (f) Die Zahlen fijk = fijℓ gℓk sind stets total antisymmetrisch in den Indizes. (g) Im Folgenden sei (·, ·) := (·, ·)ad(g) .

2.8

(2.49)

Einfache und halbeinfache Lie-Algebren und Gruppen

Definition 2.15. Sei g eine Algebra mit Multiplikation [·, ·] und h ⊂ g ebenfalls eine Algebra bzgl. [·, ·], d.h. h1 , h2 ∈ h

[h1 , h2 ] ∈ h .

y

(2.50)

Dann ist h eine Unteralgebra von g. Definition 2.16. Eine Unteralgebra j ⊂ g einer Algbebra g heißt Ideal, falls die Multiplikation mit Elementen von j in g wieder nach j f¨ uhrt, d.h. [j, x] ∈ j

∀x∈g

falls j ∈ j .

(2.51)

Definition 2.17. Enth¨ alt eine Lie-Algebra kein Ideal, so heißt sie einfach. Enth¨alt sie kein abelsches Ideal, so heißt sie halbeinfach. Bemerkung 2.12. Gruppe.

(a) Eine (halb-)einfache Lie-Algebra generiert eine (halb-)einfache Lie-

(b) Eine halbeinfache Lie-Algebra ist die direkte Summe einfacher Lie-Algebren. Daher werden wir uns im Folgenden nur mit einfachen Lie-Algebren besch¨aftigen. Die Killing-Form liefert ein Entscheidungskriterium, ob eine gegebene Lie-Algebra g halbeinfach ist oder nicht: Satz 2.4. Ist die Killing-Form gkℓ nichtsingul¨ar, so ist g halbeinfach. Beweis. Wir nehmen an, gkℓ sei nichtsingul¨ar und g besitze ein abelsches Ideal b. Sei {b1 , . . . bm } eine Basis von b. W¨ ahle eine Basis {ym+1 , . . . yn } von g/b, d.h. wir legen die Basis von g so an, dass die Basisvektoren von g gegeben sind durch  bk , 1≤k≤m, Xk = yk , m+1≤k ≤n. Um die Killing-Form zu berechnen, betrachten wir s i −fki f1j Xs

(2.46)

=

[Xk , [b1 , Xj ]] .

Falls j ≤ m, verschwindet die rechte Seite, denn das Ideal ist abelsch und der innere Kommutator liefert 0. Wegen der linearen Unabh¨ angigkeit der Xk m¨ ussen dann die Koeffizienten auf der linken Seite verschwinden.

23

2.9 Zusammenfassung

Falls k ≤ m, verschwindet der ¨außere Kommutator, denn der innere Kommutator liegt in b. Gilt j, k > m, so ist die rechte Seite eine Linearkombination der bℓ , d.h. die Koeffizienten auf der linken Seite m¨ ussen verschwinden f¨ ur s > m. Damit folgt aber X s i −fki f1j = 0 , gk1 = s=j

und gkℓ ist singul¨ ar.

2.9

Zusammenfassung

Fazit Ausgehend von (der Matrixdarstellung) einer Lie-Gruppe G kann man sich relativ einfach die zugeh¨ orige Lie-Algebra g bestimmen. Diese jedoch ist charakteristisch f¨ ur die Lie-Gruppe, d.h. bis auf die globale Struktur gibt es zu einer vorgegebenen Lie-Algebra nur eine Lie-Gruppe: einfach zusammenh¨angende Lie-Gruppe G mehrfach zusammenh¨ angende Lie-Gruppen

G/D1

···

exp

···

Lie-Algebra g

G/Di

············

G/Dr

24

Gruppentheorie

3

Wurzeln und Gewichte

In diesem Abschnitt diskutieren wir zun¨achst die Lie-Algebra su(2). Die Begriffsbildungen, die wir hierbei vornehmen, lassen sich auf alle anderen einfachen Lie-Algebren u ¨bertragen.

3.1

Darstellungstheorie der su(2)

Bemerkung 3.1. Die Gruppe SU(2) als auch die SO(3) besitzen die selbe Lie-Algebra, die wir mit su(2) bezeichnen wollen. Wir verwenden die Physiker-Konvention, in der die Generatoren J i hermitesch sind, d.h. J †i = J i .

(3.1)

Die Lie-Algebra su(2) wird erzeugt durch die drei Generatoren X [J i , J k ] = i εikℓ J ℓ

{J i }3i=1 ,

die der Relation (3.2)

ℓ

gen¨ ugen. Wir w¨ahlen den Darstellungsraum so, dass J 3 diagonal ist. Sei weiterhin j der (m¨oglicherweise entartete) h¨ ochste Eigenwert von J 3 , d.h. J 3 |j, αi = j |j, αi .

(3.3)

Dabei kennzeichnet α die verschiedenen entarteten Eigenvektoren, und wir fordern die Normierung hj, α | j, βi = δαβ .

(3.4)

Nun definieren wir die Auf - und Absteigeoperatoren J ± durch J ± :=

1 2

(J 1 ± i J 2 ) = J †∓ .

(3.5)

Durch Nachrechnen erhalten wir f¨ ur diese die Relationen [J 3 , J ± ] = ±J ±

(3.6a)

[J + , J − ] = J 3 .

(3.6b)

und

Fassen wir den Kommutator als Wirkung des Elements J 3 auf die Lie-Algebra in der adjungierten Darstellung auf, X ε3ij J j , ad (J 3 )[J i ] = [J 3 , J i ] = i j

so finden wir



  |J1 i 0 i ad (J 3 )  |J2 i  =  −i 0 |J3 i 0 0

  0 |J1 i 0   |J2 i  = (ad (J 3 ))i j |Jj i . 0 |J3 i

Hierbei assoziieren wir mit jedem Generator einen Basis-Zustand des Darstellungsraumes, J i ↔ |Ji i; weiterhin bezeichnen wir (ad (J 3 ))i j als die Darstellungsmatrix von J 3 in der adjungierten Darstellung. Diese Darstellungsmatrix muß diagonalisiert werden, falls wir die Relation (3.6a) konstruieren wollen. Dies f¨ uhrt auf die Gleichung λ3 + λ = 0

y

λ1 = 0, λ2/3 = ±i .

¨ Die gesuchten Eigenvektoren zu λ2/3 sind nat¨ urlich |J± i = 21 (|J1 i ± i |J2 i). Durch den Ubergang zu |J± i haben wir J 3 diagonalisiert. Andererseits haben wir auch eine, eigentlich nicht zul¨assige, Operation durchgef¨ uhrt.

25

3.1 Darstellungstheorie der su(2)

Bemerkung 3.2. Durch diese Definition sind wir von der urspr¨ unglichen Lie-Algebra zur komplexen Erweiterung der Lie-Algebra, d.h. der Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten u ¨ bergegangen. Die hier verwendeten Generatoren sind nicht mehr hermitesch, und die von ihnen erzeugte Lie-Gruppe ist nicht mehr kompakt. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Vorteile der Diagonalisierung u ¨ berwiegen“. ” Sei nun weiter |m, γi ein normierter Eigenvektor zu J 3 mit Eigenwert m, d.h. J 3 |m, γi = m |m, γi ,

mit

hm, γ | m, γi = 1 .

(3.7)

Dann gilt J 3 J ± |m, γi = (m ± 1) J ± |m, γi ,

(3.8)

der Vektor J ± |m, γi ist also entweder 0 oder Eigenvektor zu J 3 mit Eigenwert m±1. Insbesondere gilt J + |j, αi = 0 ,

(3.9)

da j nach Voraussetzung den h¨ ochsten Eigenwert von J 3 bezeichnet, und J − |j, αi = Nj (α) |j − 1, αi

(3.10)

mit dem Normierungsfaktor Nj . Diesen k¨onnen wir ermitteln, indem wir die Orthogonalit¨at der |j, αi f¨ ur verschiedene α ausnutzen, Nj (β)∗ Nj (α) hj − 1, β | j − 1, αi

= hj, β | J + J − | j, αi

= hj, β | [J + , J − ] | j, αi = j δαβ .

(3.11)

Wir w¨ahlen Nj reell, p Nj (α) = j.

Insbesondere finden wir mit J − |j − k, αi =

J + |j − k − 1, αi =

Nj−k |j − k − 1, αi , Nj−k |j − k, αi

f¨ ur Nj−k die Rekursion 2 Nj−k

= =

hj − k, α | J + J − | j − k, αi = hj − k, α | [J + , J − ] + J − J + | j − k, αi 2 Nj−k+1 +j−k .

D.h. wir k¨ onnen 1 p Nm = √ (j + m) (j − m + 1) 2

(3.12)

w¨ahlen. Damit gilt

J − |m, αi

= Nm |m − 1, αi ,

J + |m − 1, αi = Nm |m, αi .

(3.13a) (3.13b)

2 Diese Iteration funktioniert solange Nm > 0 gilt. F¨ ur m = −j gilt Nm = 0 und die Iteration bricht ab. Zu festem α finden wir also 2j +1 Eigenvektoren zu J 3 mit den Eigenwerten m = j, j −1, · · ·−j. Insbesondere gilt: Damit −j in ganzzahligen Schritten von j erreicht werden kann, muß j halboder ganzzahlig sein. D.h. die endlichdimensionalen Darstellungen der su(2) sind charakterisiert durch halb- oder ganzzahlig gannzzahlige j.

Terminologie: Die Eigenwerte von J 3 heißen Gewichte, j nennt man das h¨ ochste Gewicht und die J ± bezeichnet man als Auf - bzw. Absteigeoperatoren.

26

Gruppentheorie

3.2

Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen

Es geht darum, die Konstruktion von J 3 und J ± auf beliebige einfache Lie-Algebren zu verallgemeinern. Dazu betrachten wir die Generatoren Xa einer einfachen kompakten Lie-Algebra g in einer nichttrivialen Darstellung D mit hermiteschen Generatoren und in der adjungierten Darstellung. Wir unterscheiden hier zwischen den fett gesetzten abstrakten Operatoren X k , die die Algebra erf¨ ullen, Darstellungsmatrizen Xk und den Basiselementen der adjungierten Darstellung |Xk i. (i)

Die Cartan-Unteralgebra Wir w¨ahlen Linearkombinationen H i der X a X Hi = Cia X a , i = 1, . . . r

(3.14)

a

mit Cia ∈ R, so dass diese untereinander kommutieren [H i , H j ] = 0

∀ i, j

(3.15)

und die Normierung 1 Tr(Hi Hj ) = (H i , H j ) = δij kD

(3.16)

gilt.3 Dabei muß die Wahl der H i so erfolgen, dass r m¨oglichst groß wird. Definition 3.1. Ein Element H ∈ g heißt regul¨ ar, falls es so wenig Eigenwerte 0 wie m¨oglich besitzt. Bemerkung 3.3. In der Praxis w¨ ahlt man ein regul¨ares H 1 und sucht sich dazu m¨oglichst viele weitere H i , so dass (3.15) erf¨ ullt ist. Die Zahl r der so konstruierten H i h¨angt nicht von der Wahl von H 1 ab, solange dieses regul¨ ar war [1]. Definition 3.2. Die von den H i aufgespannte Unteralgebra h von g heißt Cartan-Unteralgebra und die Zahl r Rang der Lie-Algebra g bzw. der Lie-Gruppe G. Weiterhin k¨ onnen wir die H i in einer beliebigen Darstellung diagonalisieren, d.h. wir betrachten in einer Darstellung D die mit den Operatoren H i assoziierten Matrizen Hi . Da diese nach Voraussetzung untereinander kommutieren, k¨onnen wir sie simultan diagonalisieren. Wir begeben uns also in eine Basis, in der H i |ω, λi = ωi |ω, λi

(3.17)

gilt. Daf¨ ur ist aber Voraussetzung, dass sich die Darstellungsmatrizen der H i in der adjungierten Darstellung diagonalisieren lassen. Dies erfordert i.a., dass wir zur komplexen Erweiterung der LieAlgebra, d.h. der Lie-Algebra mit komplexen Koeffizienten u ¨ bergehen (vgl. auch Bemerkung 3.2). Beispiel 3.1. Die komplexe Erweiterung der su(n) ist die gl(n, C) [4]. Die ω := (ω1 , . . . ωr ) heißen Gewichtsvektoren und λ bezeichnet einen Satz an zus¨atzlichen Quantenzahlen“. ” Bemerkung 3.4. (a) In einer irreduziblen Darstellung kann es mehrere Eigenvektoren zum selben Gewichtsvektor ω geben. (b) Die H i sind unabh¨ angig von der Darstellung, d.h. die H i einer Darstellung bilden auch in einer anderen Darstellung die Cartan-Unteralgebra. 3 Beachte:

Diese Konvention folgt [3], ist aber unterschiedlich von [1].

27

3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen

Betrachten wir nun die adjungierte Darstellung, in der die Lie-Algebra auf sich selbst wirkt. Hier k¨ onnen wir insbesondere als Basis des Darstellungsraums die den Darstellungsmatrizen Xk zugeordneten Vektoren {|Xk i}nk=1 w¨ahlen, d.h. X k |Xℓ i = |[Xk , Xℓ ]i ,

(3.18)

wo Xk die Darstellungsmatrix des k-ten Generators bezeichnet. m m Bemerkung 3.5. Wir k¨ onnen mit X k die Matrix fkℓ assoziieren, wo k fest ist und fkℓ die Strukturkonstanten bezeichnen, denn m m X k |Xℓ i = |[Xk , Xℓ ]i = |fkℓ Xm i = fkℓ |Xm i .

Dann haben wegen H i |Hj i = |[Hi , Hj ]i = |0i = 2 H i |Hj i

y

H i |Hj i = 0

die Zust¨ ande |Hi i Gewicht 0. (ii)

Wurzeln

Die Frage ist nun, welche Wahl der Basis der adjungierten Darstellung von g \ h besonders zweckdienlich ist. F¨ ur die Cartan-Unteralgebra h selbst haben wir ja die H i als Generatoren zur Verf¨ ugung. Um die Frage zu beantworten, betrachten wir den Raum der Zust¨ande |Eα i ∈ g \ h. Da die H i kommutieren, lassen sich diese so w¨ahlen, dass H i |Eα i = αi |Eα i

(3.19)

gilt. Weiterhin assoziieren wir in der adjungierten Darstellung mit jedem Zustand |Eα i ein Element der der Lie-Algebra E α ∈ g. Dies impliziert insbesondere in einer beliebigen Darstellung die folgende Relation [H i , E α ] = αi E α .

(3.20)

Die Eigenwerte αi heißen Wurzeln und die α = (α1 , . . . αr ) Wurzelvektoren. Die Schreibweise |Eα i suggeriert bereits, dass die |Eα i durch die Wurzelvektoren α eindeutig charakterisiert sind. Tats¨ achlich gilt: Satz 3.1. Zu jedem Wurzelvektor α 6= 0 existiert genau ein E α . Beweis. Wir betrachten in der adjungierten Darstellung die |Eα i und finden   0 = H i (|Eα i − |Eα′ i) y H i , E α − E ′α = 0 .

Das bedeutet aber, dass E α − E ′α ein Element der Cartan-Unteralgebra ist, X βi H i , E α − E ′α = i

die E α sind außerhalb der Cartan-Unteralgebra eindeutig.

Bemerkung 3.6. Da die H i hermitesch sind, sind die αi reell. Damit sind aber die E α wegen h i h i † † αi E †α = [H i , E α ] = (H i E α − E α H i ) = E †α , H i = − H i , E †α notwendigerweise nicht hermitesch und es gilt weiter E †α = E −α . Diese Relation ist die Verallgemeinerung zu (3.5), J †± = J ∓ .

(3.21)

28

Gruppentheorie

Bemerkung 3.7. Es bezeichne h die Cartan-Unteralgebra. Diese bildet offensichtlich einen rdimensionalen Vektorraum. Mittels der Killing-Form k¨onnen wir dazu einen Dualraum h∗ konstruieren, indem wir die Wirkung von η ∈ h∗ auf h ∈ h folgendermaßen erkl¨aren, η(h) = (hη , h)

(3.22)

mit einem (eindeutig bestimmten) hη ∈ h. Wie immer im Endlichdimensionalen sind h (als Vektorraum aufgefasst) und h∗ isomorph. Insbesondere k¨ onnen wir jedem Wurzelvektor α eine Linearform α ∈ h∗ u ¨ ber die Vorschrift α(H i ) := αi

(3.23)

zuordnen. In diesem Sinn ist der Raum der Wurzeln der zur Cartan-Unteralgebra (als Vektorraum aufgefaßt) duale Raum. Somit k¨ onnen wir jeder Wurzel α ein Element hα der Cartan-Unteralgebra zuordnen. ¨ Wir fordern, im Unterschied zu [1], daf¨ ur aber in Ubereinstimmung mit [3], die Normierungsbedingung (3.16), (H i , H i ) = δij .4 Wir k¨onnen ansetzen X α ei H i hα = i

mit irgendwelchen Koeffizienten α ei . Dann ist X α ˜ j (H i , H j ) ; αi = j

wegen (3.16) gilt also α ei = αi .

(iii)

Auf- und Absteigeoperatoren

Wir haben uns eine geeignete Wahl der Basiselemente der Lie-Algebra g erarbeitet. Indem wir (3.17) und (3.20) kombinieren, finden wir in einer beliebigen Darstellung H i E α |ω, λi = (ωi + αi ) E α |ω, λi ,

(3.24)

d.h. E α |ω, λi ist entweder 0 oder Eigenvektor zum Gewicht ω + α, E ±α |ω, λi = N±α,ω |ω ± α, λi .

(3.25)

Der Vektor E α |E−α i der adjungierten Darstellung hat Gewicht 0, denn man rechnet nach H i (E α |E−α i) = =

|[Hi , [Eα , E−α ]]i = |− [E−α , [Hi , Eα ]] − [Eα , [E−α , Hi ]]i |− [E−α , αi Eα ] − [Eα , αi E−α ]i = |0i .

Damit muß er eine Linearkombination der |Hi i sein, X βi |Hi i . E α |E−α i =

(3.26)

(3.27)

i

Lemma 3.2. Das Killing-Skalarprodukt zweier verschiedener Wurzeln verschwindet, d.h. (Eα , Eβ ) = 0

f¨ ur

α 6= −β .

(3.28)

Beweis. Betrachte die Wirkung der Wurzeln auf ein Element X in der adjungierten Darstellung, [Eα , [Eβ , X]] . Nun gibt es zwei F¨ alle: 4 Dank

an C. Promberger f¨ ur den Hinweis auf einen Fehler in einer fr¨ uheren Version dieser Notizen.

29

3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen

1. X ist aus der Cartan-Unteralgebra, X ∈ h. Die Doppel-Lie-Klammer ist entweder Null oder proportional zu Eα+β und weist damit keinen Anteil in Richtung X auf. 2. X ist eine Wurzel, etwa X = Eγ . Die Doppel-Lie-Klammer ist entweder Null oder proportional zu Eα+β+γ und damit wiederum nicht proportional zu X, solange α + β 6= 0. In beiden F¨ allen verschwindet die Spur u ¨ ber das Produkt der Darstellungsmatrizen Eα und Eβ . Damit bleibt die Freiheit der Normierung der Skalarprodukte (Eα , E−α ). Diese wird so gew¨ahlt, dass in der adjungierten Darstellung hE α | E β i := (Eα , Eβ ) =

1 Tr (Eα Eβ ) = δα,−β k

(3.29)

gilt, wo k = kad die entsprechende Normierungskonstante bezeichnet. Die so konstruierten und normierten E α bzw. E †α werden Ab- bzw. Aufsteigeoperatoren genannt und bilden die Verallgemeinerung von J ± . ¨ Ubung 3.1. Zeige, dass in dieser Normierung f¨ ur die Koeffizienten in (3.27) βi = αi

(3.30)

gilt. = = βi

=

1 hHi | E α | E−α i = Tr (H i [E α , E −α ]) k 1 1 Tr (H i E α E −α − H i E −α E α ) = Tr (E −α H i E α − E −α E α H i ) k k 1 Tr (E−α [Hi , Eα ]) = hEα | H i | Eα i = αi . k

Wir rechnen nach:

Dies bedeutet insbesondere in einer beliebigen Darstellung X αi H i . [E α , E −α ] =

(3.31)

i

F¨ ur ein festes α k¨ onnen wir durch Reskalierung mit |α| = E ± :=

1 E ±α |α|

und

E 3 :=

1 X αi H i |α|2 i

pP

i

α2i Operatoren (3.32)

konstruieren, die die selben Vertauschungsrelationen wie J ± und J 3 erf¨ ullen, [E 3 , E ± ] = ±E ±

und

[E + , E − ] = E 3 .

(3.33)

Damit gibt es in der Darstellung D einen Satz an Eigenvektoren der H i , |ω + p α, λi , |ω + (p − 1) α, λi . . . |ω − q α, λi , wobei p und q festgelegt sind durch E α |ω + p α, λi = 0 = E −α |ω − q α, λi . Diese {|ω + n α, λi}pn=q bilden eine irreduzible Darstellung von su(2). Die Eigenwerte von E 3 sind wegen 1 X αi hω + n α, λ | H i | ω + n α, λi hω + n α, λ | E 3 | ω + n α, λi = |α|2 i (unter der Annahme der Normierung der |ω + n α, λi) durch ω·α (ω + n α) · α = +n |α|2 |α|2

(3.34)

30

Gruppentheorie

ω·α ω·α gegeben und laufen von |α| 2 + p bis |α|2 − q. Dies muß aber wegen der Eigenschaft der E ± , E 3 , die su(2) zu generieren, einem Laufen von +j bis −j entsprechen, d.h.

ω·α +p = − j := |α|2



ω·α −q |α|2



,

wobei j ganz- oder halbzahlig ist. Dies impliziert j = 21 (p + q) oder α·ω = − 21 (p − q) , α·α

(3.35)

wobei p und q ganzzahlig sind. Weyl-Symmetrie. Insbesondere stellt die Operation ω 7→ ω ′ = ω −

2ω · α α, α·α

p 7→ p′ = q ,

q 7→ q ′ = p

(3.36)

eine Symmetrie-Operation dar. Diese Symmetrie heißt Weyl-Symmetrie und die Operation Weyl-Spiegelung. Die geometrische Deutung ist in Abbildung 3.1 skizziert.

ω − 4α ω − 3α ω − 2α ω−α

ω ω+α ω + 2α

α

Abbildung 3.1: Weyl-Symmetrie. Die Skizze zeigt einen Gewichtsvektor ω und eine Wurzel α. Die Zust¨ ande der su(2) Unteralgebra werden ausgehend von ω durch sukzessive (1 . . . p)-fache Addition bzw. (1 . . . q)-fache Subtraktion von α erreicht. Wir haben p = 4 und q = 2 skizziert. Insbesondere liegt eine Spiegelungssymmetrie, die sog. WeylSymmetrie vor, d.h. das Diagramm ist symmetrisch bzgl. Spiegelung an einer Ebene ⊥ α.

Die Operatoren E ± wirken wie folgt auf die Eigenvektoren von E 3 : E ± |ω + k α, λi = Nα,ω+kα |ω + (k ± 1) α, λi ,

(3.37)

wobei die |Nα,ω+kα |2 aus α, ω, p, q berechnet werden k¨onnen (wie wir sp¨ater teilweise sehen werden).

31

3.2 Wurzeln und Gewichte: Allgemeine Betrachtungen

(iv)

Geometrie der Wurzeldiagramme

Insbesondere entspricht in der adjungierten Darstellung jedem Gewicht ω 6= 0 eine Wurzel β, damit l¨ aßt sich (3.35) wie folgt wiedergeben: α·β n = − 21 (p − q) =: , α·α 2

(3.38)

d.h. β + p α ist Wurzel und β + (p + 1) α ist keine Wurzel und entsprechend ist β − q α Wurzel und β − (q + 1) α keine Wurzel. Umgekehrt k¨ onnen wir auch vom Gewicht ω ′ , das der Wurzel α entspricht, ausgehen und dazu die Wurzel β betrachten. In diesem Fall drehen sich in (3.35) bzw. (3.38) die Rollen von α und β um und wir erhalten n′ β·α = − 21 (p′ − q ′ ) =: . β·β 2

(3.39)

Durch Kombination von (3.38) und (3.39) ergibt sich n n′ (α · β)2 = cos2 ∢(α, β) , = | {z } 4 α2 β 2

(3.40)

=:θ

was wegen der Ganzzahligkeit von n und n′ eine Einschr¨ankung an die Winkel ∢(α, β) zwischen zwei Wurzeln α und β darstellt. Die m¨oglichen Werte sind in Tabelle 3.1 aufgef¨ uhrt. Offensichtlich gilt weiter |α|2 n′ . = n |β|2

(3.41)

nn′ 0 1 2 3 4

∢(α, β) ◦  90 ◦ 60 ◦ 120  ◦ 45 ◦ 135  ◦ 30 150◦  0◦ 180◦

(n, n′ ) (0, 0)  

  

(±1, ±1) (±1, ±2) (±2, ±1) (±1, ±3) (±3, ±1) (±1, ±4) (±2, ±2) (±4, ±1)

|α|2 |β|2

unbestimmt 1 

1 2

 21 3

3



1 4

4

Tabelle 3.1: Die m¨ oglichen Winkel zwischen zwei Wurzeln α und β. Wegen (3.40) kann das Produkt mm′ der ganzen Zahlen n und n′ nur zwischen 0 und 4 liegen. Die letzte Zeile ist ausgeschlossen, da α und 2α nicht simultan Wurzeln sein k¨ onnen (y Bemerkung 3.8).

Bemerkung 3.8. Es gilt: Sind α und c α beide zugleich Wurzeln, so gilt c = ±1.

Um dies zu zeigen, machen wir zun¨achst eine wichtige Vorbetrachtung. Es gilt [E α , E β ] = Nα,β E α+β .

(3.42)

Dabei verschwindet die Normierungskonstante Nα,β , falls α+β keine Wurzel ist. Um diese Relation einzusehen, betrachte H i E α |βi. Man hat H i E α |βi = H i (E α |βi) = (α + β)i (E α |βi) ,

(3.43)

32

Gruppentheorie

da E α das Gewicht β um α erh¨ oht, andererseits ist E α |βi = |[Eα , Eβ ]i ,

(3.44)

da die Wirkung von E β in der adjungierten Darstellung durch die Lie-Klammer erkl¨art ist. Kombination von (3.43) und (3.42) liefert (3.42). Beweis. (Begr¨ undung von Bemerkung 3.8) Wir nehmen an, α und 2 α seien zugleich Wurzeln. Betrachte nun [[E α , E −α ] , E 2α ]

(2.24)

= =

− [[E 2α , E α ] , E −α ] − [[E −α , E 2α ] , E α ] −N2α,α [E 3 α , E −α ] − N−α,2α [E α , E α ] , | {z } =0

wobei wir die Jacobi-Identit¨ at (2.24) verwendet haben. Andererseits liefert die linke Seite X [αi H i , E 2α ] = 2 α · α E 2α , l.S. = i

d.h. einen nichtverschwindenden Ausdruck. Damit die rechte Seite ebenfalls nicht-trivial ist, muß E 3 α existieren, d.h. 3α ebenfalls eine Wurzel sein. Das ist aber gem¨aß Gleichung (3.41) unm¨oglich. Betrachte nun zwei Wurzeln α 6= 0 und β 6= 0 und γ := −α − β 6= 0. Dann gilt gem¨aß (3.25) e E −α |E−β i |Eγ i = N

e verschwindet) oder Eigenvektor zum Gewicht −α − β = γ. und nach (3.24) ist |Eγ i entweder 0 (N Im ersten Fall ist [E α , E β ] = 0. Andernfalls ist γ eine Wurzel und es gilt [E α , E β ] = Nα,β E −γ .

(3.45)

Die Normierung Nα,β wird konventionell reell gew¨ahlt. Man erh¨alt wegen 0 = = =

[E α , [E β , E γ ]] + zyklisch(α, β, γ) Nβ,γ [E α , E −α ] + zyklisch(α, β, γ) X (αi Nβ,γ + βi Nγ,α + γi Nα,β ) H i

(3.46)

aufgrund der Tatsache, dass zwei der Vektoren α, β, γ linear unabh¨angig sind, die Gleichheit Nβ,γ = Nγ,α = Nα,β . (v)

(3.47)

Beispiel: su(3)

Als Standard-Basis der Physiker f¨ ur die su(3) dienen Ta = λa /2, wo die {λa }8a=1 die GellMann’schen Matrizen bezeichnen. Letztere sind gegeben durch:       0 1 0 0 −i 0 1 0 0 λ1 =  1 0 0  , λ2 =  i 0 0  , λ3 =  0 −1 0  , 0 0 0 0 0 0 0 0 0     0 0 1 0 0 −i λ4 =  0 0 0  , λ5 =  0 0 0  , 1 0 0 i 0 0       1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (3.48) λ6 =  0 0 1  , λ7 =  0 0 −i  , λ8 = √  0 1 0  . 3 0 0 −2 0 1 0 0 i 0 Sie sind so normiert, dass Tr(Ta Tb ) =

1 4

Tr(λa λb ) =

1 2 δab

.

(3.49)

33

3.3 Einfache Wurzeln

F¨ ur die Strukturkonstanten gilt: c fab

= −i Tr ([λa /2, λb /2] λc ) 1 Tr (λa λb λc − λb λa λc ) . = 4

(3.50)

Die nichtverschwindenden Strukturkonstanten sind (bis auf Permutationen): f 123

= 2 f 147 = 2 f 246 = 2 f 257 = 2 f 345 = −2 f 156 2 2 = −2 f 367 = √ f 458 = √ f 678 = 1 . 3 3

Die Generatoren T1 , T2 , T3 erzeugen die su(2)-Unteralgebra, offensichtlich ist ! .. σ . i λi = ··· 0 mit den Pauli-Matrizen σi f¨ ur i = 1, 2, 3. Als Generatoren der Cartan-Unteralgebra werden konventionell die Generatoren H1 = T3 und H2 = T8 gew¨ ahlt, da diese diagonal sind. Die euklidischen Basisvektoren, d.h. die Basisvektoren der Vektor- bzw. definierenden Darstellung, sind somit automatisch Eigenvektoren der Matrizen H1 und H2 mit folgenden Eigenwerten und den entsprechenden Gewichten   1   1 1  0  → |1, √ , (3.51a) y ω1 = 12 , 2√ 2 2 3i 3 0   0   1 1  1  → |− 1 , √ y ω2 = − 21 , 2√ , (3.51b) 2 2 3i 3 0   0    0  → |0, − √1 i y ω3 = 0, − √1 . (3.51c) 3 3 1 Die Gewichte sind in Abbildung 3.2 skizziert. Die Dimension der Cartan-Unteralgebra ist 2 und daher hat die su(3) Rang 2. Die u ussen durch ¨brigen Generatoren werden mit den Wurzeln assoziiert. Die Wurzelvektoren m¨ Differenzen der Gewichte gegeben sein. Durch Nachrechnen findet man E±(1,0)

=

E±( 1 , √3 )

=

E±(− 1 , √3 )

=

2

2

2

2

√1 (T1 2 √1 (T4 2 √1 (T6 2

± i T2 ) ,

(3.52a)

± i T5 ) ,

(3.52b)

± i T7 ) .

(3.52c)

Die Lage der Wurzeln ist in Abbildung 3.3 skizziert. Wir h¨atten sie bereits mittels der WeylSymmetrie erraten k¨ onnen, denn die Wurzeln m¨ ussen senkrecht auf die Symmetrieachsen stehen.

3.3

Einfache Wurzeln

Um die Wurzeln klassifizieren zu k¨onnen, ben¨otigen wir eine Ordnung >“ bzw. 0 α, β > 0

⇒ α < 0 ∨ α > 0, ⇔ α−β ≷ 0,

⇔ −α < 0 , ⇔ α+β > 0.

(3.53a) (3.53b) (3.53c) (3.53d)

34

Gruppentheorie

H2

1 ) (− 12 , 2√ 3

1 ) ( 21 , 2√ 3

H1

(0, − √13 )

Abbildung 3.2: Das Gewichtsdiagramm der definierenden Darstellung der su(3). Die Gewichte sind durch Punkte symbolisiert.

Eine M¨ oglichkeit, diese Anordnung zu definieren, ist α−β ≷ 0

erste nichtverschwindende Komponente von α − β ≷ 0 .

:⇔

(3.54a)

Alternativ k¨ onnen wir einen Vektor ϕ derart w¨ahlen, dass (α − β) · ϕ = 0 ⇒ α − β = 0 gilt, und dann die Ordnung durch α−β ≷0

:⇔

(α − β) · ϕ ≷ 0

(3.54b)

erkl¨aren. Im Folgenden werden wir haupts¨achlich von der ersten der beiden M¨oglichkeiten, (3.54a), Gebrauch machen. Nun ben¨ otigen wir noch eine Definition, damit wir uns auf die kleinsten“ der ” positiven Wurzeln beschr¨ anken k¨ onnen. Definition 3.3. Diejenigen positiven Wurzeln, welche nicht Summe zweier positiver Wurzeln sind, werden einfache Wurzeln genannt. Bezeichnung.

Die Menge der einfachen Wurzeln wird mit Π bezeichnet.

Folgerung. Ist β eine positive Wurzel und α eine einfache Wurzel, so ist β − α keine negative Wurzel. Begr¨ undung. Schreibe α = (α − β) + β . Darin w¨are dann die rechte Seite eine Summe zweier positiver Wurzeln, im Widerspruch zu Definition 3.3. ¨ Ubung 3.2. Zeige: Sind α, β zwei verschiedene einfache Wurzeln, dann ist ±(α − β) keine Wurzel. Wir nehmen an, α − β sei eine Wurzel. Dann ist entweder α − β oder β − α positiv. Damit kann entweder α = (α − β) + β oder β = (β − α) + α als Summe zweiter positiven Wurzeln geschrieben werden, was f¨ ur einfache Wurzeln nicht m¨ oglich ist.

Folgerung. Sind α und β zwei verschiedene einfache Wurzeln, so ist α · β ≤ 0.

35

3.3 Einfache Wurzeln

( 12 ,

b

√

3 2 ) b

Wurzeln ut

H2

Gewichte von 3 ut

Gewichte von 3

b

ut

ut

ut

(−1, 0) b

b

H1 ut

ut

ut b

b

Abbildung 3.3: Gewichtsdiagramm der Wurzeln der su(3) sowie der Vektordarstellungen 3 und 3. Die Gewichte der konjugiert komplexen Darstellung 3 gehen durch Punktspiegelung der Gewichte von 3 am Ursprung hervor. Die Diagramme weisen Symmetrien bzgl. der Achsen senkrecht zu den Wurzeln auf.

Begr¨ undung: Wir erinnern uns an (3.35), was f¨ ur ω = β α·β = − 21 (p − q) α·α

(3.55)

α · β = − 21 p α · α ≤ 0 .

(3.56)

liefert. Da β eine Wurzel ist, aber β − α keine Wurzel ist, gilt q = 0, und wir haben Satz 3.3. Die einfachen Wurzeln sind linear unabh¨angig. Beweis. Wir nehmen an, die α(i) seien nicht linear unabh¨angig. Dann gibt es eine nicht-triviale Linearkombination X ai α(i) = 0 , i

wobei mindestens zwei ai 6= 0 sind. Es k¨onnen aber auch nicht alle ai < 0 sein, denn dann w¨are die Summe kleiner 0. Wir bringen alle Terme mit ai < 0 auf die rechte Seite und erhalten X X bj α(j) ai α(i) = j

i

mit ai , bj ≥ 0. Dabei gilt: ai 6= 0 impliziert bi = 0 und umgekehrt. Multiplizieren dieser Gleichung mit der linken Seite liefert !2 X X ai α(i) ai bj α(i) · α(j) , = |{z} | {z } i i,j ≥0 | {z } ≤0 >0

also einen Widerspruch.

36

Gruppentheorie 2

negativ

   

ρ

  

positiv

   

1

  

positive Wurzeln negative

(b) Zu (3.54b)

(a) Zu (3.54a)

Abbildung 3.4: Verdeutlichung der Anordnungen der Wurzeln. In Abbildung 4(a) werden die Komponenten in einem kartesischenKoordinatensystem zugrundegelegt, um die ≷-Beziehung zu definieren, in Abbildung 4(b) die Projektion auf einen vorgegebenen Vektor ρ.

Satz 3.4. Alle positiven Wurzeln α lassen sich in der Form X ki α(i) α =

(3.57)

ausdr¨ ucken, wobei u ¨ber alle einfachen Wurzeln α(i) summiert wird und X ki = 0, 1, 2 . . . und k := ki ≥ 1

(3.58)

i

gilt.

Man bezeichnet k als die Stufe der Wurzel. Die einfachen Wurzeln haben alle Stufe 1. Beweis. Die Aussage gilt offensichtlich f¨ ur die einfachen Wurzeln. Wir nehmen nun an, es g¨abe eine positive Wurzel, die sich nicht in der Form (3.57) schreiben l¨aßt. Betrachte die kleinstm¨ogliche solche Wurzel α. Andererseits ist α eine Superposition zweier positiver Wurzeln (andernfalls w¨are α einfach). Die beiden Summanden sind Linearkombinationen der Form (3.57), damit auch α. Folgerung. Insbesondere gibt es in einer Lie-Algebra von Rang r genau r einfache Wurzeln. Im Folgenden wollen wir die r einfachen Wurzeln mit α(1) , α(2) . . . α(r) bezeichnen, wobei diese der Gr¨oße nach angeordnet sein sollen, d.h. α(1) > α(2) > . . . > α(r)

(einfache Wurzeln) .

Bemerkung 3.9. Die Wahl dieser einfachen Wurzeln ist wegen der Freiheit der Definition der ≷Relation nicht eindeutig, jedoch sind die verschiedenen M¨oglichkeiten durch Weyl-Spiegelungen verbunden [7].

3.4 (i)

Die Cartan-Matrix Definition und allgemeine Eigenschaften

Definition 3.4. Seien α(i) die r einfachen Wurzeln einer Rang r Lie-Algebra. Die Matrix mit den Eintr¨agen Aij = 2

α(i) · α(j) α(j) · α(j)

heißt Cartan-Matrix. Eigenschaften der Cartan-Matrix:

(3.59)

37

3.4 Die Cartan-Matrix

1. Die Diagonalelemente haben den Wert 2. 2. A ist i.A. nicht symmetrisch. 3. Wegen (3.35) k¨ onnen die Nebendiagonalelemente nur die Werte 0, ±1, ±2, ±3 annehmen und ¨ somit wegen Ubung 3.3 nur 0, −1, −2, −3 sein. 4. Aus der Schwarz’schen Ungleichung (α(i) · α(j) )2 ≤ |α(i) |2 |α(j) |2 folgt Aij Aji < 4 ,

i 6= j ,

(3.60)

da die Gleicheit in der Schwarz’schen Ungleichung nur f¨ ur linear abh¨angige Wurzeln auftreten w¨ urde, und dies ist wegen Bemerkung 3.8 ausgeschlossen. 5. Wegen (3.60) gilt: Falls Aij = −2 oder −3, so ist Aji = −1. Beispiel 3.2. In der su(3) haben wir die einfachen Wurzeln  1   1  2√ √2 α(1) = und α = . (2) 3 3 − 2 2 Daraus berechnen wir die Cartan-Matrix der su(3)   2 −1 A = (Aij ) = . −1 2 (ii)

Konstruktion s¨ amtlicher Wurzeln aus den einfachen Wurzeln

Die Cartan-Matrix erlaubt es insbesondere, ausgehend von den einfachen Wurzeln die u ¨ brigen Wurzeln einer Lie-Algebra g zu bestimmen. Dabei gen¨ ugt es, die positiven Wurzeln zu ermitteln, denn die restlichen unterscheiden sich dann lediglich im Vorzeichen. Wegen Satz 3.4 m¨ ussen wir also herausfinden, ob f¨ ur ein gegebenes, positives X Satz 3.4 kj α(j) α = j

auch α + α(i) eine Wurzel ist. Hierzu benutzen wir (3.35), pi − qi = 2

X α(j) · α(i) X α · α(i) kj kj Aji = 2 = 2 2 |α(i) | |α(i) | j j

(3.61)

und folgern α + pi α(i) ist eine Wurzel

⇔

pi = qi −

X

kj Aji > 0 .

j

Das Verfahren besteht nun darin, die positiven Wurzeln mit den Koeffizienten ki aus (3.57) zu identifizieren, und dann mittels (3.61) f¨ ur jede Wurzel die Zahl pi zu ermitteln, die – falls sie positiv ist – angibt wie oft man α(i) addieren kann ohne den Raum der Wurzeln zu verlassen. Es ist pi = qi − k · ai

oder k¨ urzer p = q − k T · A ,

wo k = (k1 , . . . kr ) und ai die i-te Spalte der Cartan-Matrix bezeichnet.

(3.62)

38

Gruppentheorie

Beispiel 3.3. Die positiven Wurzeln der su(3). Die Cartan-Matrix ist

(Aij ) =



2 −1 −1 2



=: (a1 , a2 )

Wir beginnen mit α(1) und berechnen       0 2 −1 −2 p = − (1, 0) · = , 0 −1 2 1 d.h. wir k¨ onnen p2 mal, also einmal, α(2) addieren und erhalten eine weitere Wurzel mit k = (1, 1). Ausgehend von α(2) finden wir       0 2 −1 1 p = − (0, 1) · = , 0 −1 2 −2 und wir k¨ onnen lediglich einmal α(1) addieren und erreichen wiederum (1, 1). F¨ ur diese Wurzel ist q = (1, 1) und somit       1 2 −1 0 p = − (1, 1) · = , 1 −1 2 0

α(1) l k = (1, 0)

α(2) l k = (0, 1)

+α(2)

+α(1)

k = (1, 1) l α(1) + α(2)

d.h. es gibt keine weiteren positive Wurzeln. Beispiel 3.4. Die positiven Wurzeln der B2 . Die klassische Algebra B2 , die, wie wir sp¨ater sehen werden, der (komplexifizierten) Lie-Algbera so(5) entspricht, hat folgende Cartan-Matrix

A =



2 −2 −1 2



und somit finden wir folgende positive Wurzeln:

(0, 1)

(1, 0) +α(2)

+α(1)

(1, 1) +α(2)

(2, 1)

39

3.4 Die Cartan-Matrix

(iii)

Zusammenfassung

Fazit Die Generatoren einer Lie-Algebra g lassen sich aufteilen in die Generatoren der Cartan-Unteralgebra H i , und die AufAb-



steige-Operatoren



Eα E −α

i = 1, . . . r

,

wobei den einfachen Wurzeln α(i)    E α(i) Aufr elementare steige-Operatoren AbE −α(i) zugeordnet sind. Die anderen Auf- bzw. Absteigeoperatoren E α lassen sich als Kommutatoren der elementaren Auf- bzw. Absteigeoperatoren schreiben.

40

Gruppentheorie

4

Dynkin-Diagramme

In einem Dynkin-Diagramm werden die Beziehungen der einfachen Wurzeln in einer Skizze festgehalten.

4.1

Die Zuordnung Lie-Algebra → Diagramm

Einfache Wurzeln α und β, deren Skalarprodukt α · β nicht verschwindet, werden durch Linien verbunden. Die Zahl der Linien h¨ angt vom eingeschlossenen Winkel ab und ist in Tabelle 4.1 wiedergegeben. Konkret konstruieren wir also ein Dynkin-Diagramm durch folgende Vorschriften: ➊ Zeichne f¨ ur jede einfache Wurzel einen Kreis

.

➋ Verbinde zwei Wurzeln α und β, falls das Skalarprodukt α · β nicht verschwindet. Die Zahl der Verbindungslinien ist Tabelle 4.1 zu entnehmen. Gegebenenfalls ist die k¨ urzere Wurzel zu schraffieren. Dynkin-Diagramm

∢(α, β) 90◦ 120◦ 135◦ 150◦

Relative L¨ange unbestimmt 1:1 √ 1: 2 √ 1: 3

Tabelle 4.1: Die Zahl der Verbindungslinien, die entsprechenden Winkel zwischen einfachen Wurzeln und die relativen L¨ angen in einem Dynkin-Diagramm. Die relativen L¨ angen lassen gewisse Freiheiten zu, n¨ amlich zu erkl¨ aren, welche der beiden Wurzeln die l¨ angere ist. Um diese Zweideutigkeit zu beseitigen, werden die k¨ urzeren Wurzeln schraffiert.

Beispiel 4.1. Die su(2) hat Rang 1 und wird daher durch das Diagramm su(3) besitzt die einfachen Wurzeln entsprechend finden wir su(3)

↔

√ ( 21 , 23 )

und

√ ( 12 , − 23 ),

repr¨asentiert. Die

welche den Winkel 120◦ einschließen,

.

(4.1)

Ganz allgemein wird die su(n) durch eine Kette dargestellt (y Abschnitt 5.8): su(n) | {z }

Rang r=(n−1)

↔

|

{z

(n−1) Kreise

}

.

(4.2)

Bemerkung 4.1. In manchen Situationen ist das sog. erweiterte Dynkin-Diagramm sehr n¨ utzlich. Hier symbolisiert man die negativste Wurzel, die wir als θ bezeichnen wollen, durch einen zus¨atzlichen Kreis. Nat¨ urlich geht die Eigenschaft der linearen Unabh¨angigkeit der Wurzeln verloren. Allerdings bleiben die anderen Eigenschaften wie erhalten, z.B. ist die Differenz zweier Elemente {α(1) , . . . , α(m) , θ} keine Wurzel. Beispiel 4.2. F¨ ur su(3) hat ist die positivste Wurzel die Summe der einfachen Wurzeln α(1) + α(2) , somit ist θ = −α(1) − α(2) . Durch Nachrechnen erh¨alt man das erweiterte Dynkin-Diagramm aus Abbildung 1(a). V¨ ollig analog erh¨ alt man die erweiterten Dynkin-Diagramme f¨ ur su(n + 1) = Ar (vgl. Abbildung 1(b)).

4.2 Cartan-Matrix ↔ Dynkin-Diagramm

41

θ

α(1)

θ

α(2)

α(1)

(a) A2 ≃ su(3).

α(2)

α(n)

(b) An ≃ su(n + 1).

Abbildung 4.1: Erweiterte Dynkin-Diagramme von (a) A2 und (b) An .

4.2 (i)

Cartan-Matrix ↔ Dynkin-Diagramm Cartan-Matrix → Dynkin-Diagramm

Es ist auch m¨ oglich, das Dynkin-Diagramm aus der Cartan-Matrix abzuleiten. Die Konstruktion ist sehr einfach und Schritte sind [1] ➊ Zeichne f¨ ur jede einfache Wurzel einen Kreis

.

➋ Verbinde die Wurzeln α(i) und α(j) mit Aij Aji Linien. Die Zahl der Verbindungslinien ergibt sich auf diese einfache Weise, denn Aij Aji = 4

|α(i) · α(j) |2 = 4 cos2 ∢(α(i) , α(j) ) . |α(i) |2 |α(j) |2

(4.3)

Vergleich mit Tabelle 4.1 liefert die obigen Vorschriften. (ii)

Dynkin-Diagramm → Cartan-Matrix

Weiterhin kann man das Verfahren auch umkehren, d.h. wir finden zu einem Dynkin-Diagramm genau eine Matrix A mit den Eigenschaften einer Cartan-Matrix. Im Prinzip ist dies trivial, denn durch das Dynkin-Diagramm sind die Winkel zwischen den Wurzeln, also die Skalarprodukte festgelegt, und damit auch die Cartan-Matrix. Mit ein wenig Kombinatorik kann man sich das Berechnen der Skalarprodukte sparen, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 4.3. Cartan-Matrix der E6 Mit der exzeptionellen Gruppe E6 assoziiert man das in Abbildung 4.2 dargestellte DynkinDiagramm. Da die einfachen Wurzeln α(1) und α(2) einfach verbunden sind, muss A12 A21 = 1 α(6) α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) Abbildung 4.2: Dynkin-Diagramm der E6 .

gelten. Weiter wissen wir wegen der Eigenschaft 3 der Cartan-Matrix (y S. 37), dass Aij f¨ ur i 6= j nur die Werte −1, −2 bzw. −3 annehmen kann. Also muss A12 = A21 = −1 gelten. Weiterhin ¨ m¨ ussen alle Eintr¨ age A1i und Ai1 f¨ ur i ≥ 3 verschwinden. Durch analoge Uberlegungen k¨onnen wir die Cartan-Matrix komplett bestimmen und erhalten   2 −1  −1 2 −1     −1 2 −1 −1   . A(E6 ) =    −1 2 −1     −1 2 −1 2

42

4.3

Gruppentheorie

H¨ ochstes Gewicht und fundamentale Gewichte

Wir betrachten eine irreduzible Darstellung D einer Lie-Algebra g mit den einfachen Wurzeln α(i) , wobei i = 1, . . . r. Definition 4.1. Ein Gewicht Ω heißt h¨ ochstes Gewicht, falls Ω + α kein Gewicht ist f¨ ur alle positiven Wurzeln α. Da die positiven Wurzeln Linearkombinationen der einfachen Wurzeln mit nichtnegativen Koeffizienten sind, gen¨ ugt es, zu zeigen, dass Ω + α(i) (1 ≤ i ≤ n) keine Gewichte sind. Mittels Gleichung (3.35) finden wir 2α(i) · Ω = qi , |α(i) |2

(4.4)

wobei die qi nichtnegative ganze Zahlen sind. Somit l¨asst sich aufgrund der linearen Unabh¨angigkeit der α(i) ein h¨ ochstes Gewicht Ω stets durch die qi eindeutig charakterisieren. Insbesondere gibt es zu jedem Ω genau eine irreduzible Darstellung mit h¨ochstem Gewicht Ω; diese Darstellungen k¨ onnen durch sukzessives Anwendung der E −α(i) auf |Ωi konstruiert werden. Besondere Bedeutung haben diejenigen Darstellungen, in denen die qi nur Werte von 0 oder 1 annehmen und alle Eintr¨ age bis auf einen verschwinden. Definition 4.2. Zu einem vorgegeben Satz an einfachen Wurzeln α(i) konstruiert man Gewichtsvektoren µ(j) mit 2α(i) · µ(j) = δ ij . |α(i) |2

(4.5)

Diese Vektoren µ(j) heißen fundamentale Gewichte.

4.4 (i)

Verschiedene Basen des Raums der Gewichte bzw. Wurzeln Dynkin-Koeffizienten

Bisher haben wir die Gewichte immer durch die Eigenwerte bzgl. der Generatoren H i der Cartan-Unteralgebra h charakterisiert, ω = (ω1 , . . . ωr )

mit

H i |ω, λi = ωi |ω, λi ,

d.h. die H i legen eine kartesische Basis des Raums der Gewichte fest. Beachte jedoch, das dies kein Vektorraum in der naiven Weise darstellt, denn sind |ωi und |ξi Gewichte, so ist |ωi + |ξi i.A. kein Gewicht. Betrachte nun ein beliebiges Gewicht ω. Wir schreiben dies als Linearkombination der fundamentalen Gewichte, X ω bi µ(i) . (4.6) ω = i

Dann finden wir ω · α(j) =

X i

ω bi µ(i) · α(j)

Damit gilt f¨ ur die Koeffizienten ω ˆj = 2

α(j) · ω |α(j) |2

(4.5)

=

ω bj

|α(j) |2 . 2

(3.35)

= qj − pj ,

insbesondere sind die Koeffizienten ω bi ganzzahlig!

(4.7)

(4.8)

43

4.4 Verschiedene Basen des Raums der Gewichte bzw. Wurzeln

Definition 4.3. Die Basis {µ(i) }ri=1 heißt Dynkin-Basis des Raums der Gewichte. Die Koeffizienten der Gewichte in der Dynkin Basis werden Dynkin-Koeffizienten genannt. Die Komponenten eines Gewichtsvektors in der Dynkin-Basis sind also ganzzahlig. Wir haben damit das Gewichts-System einer einfachen Lie-Algebra gewissermaßen auf eine Gitterstruktur zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Winkel zwischen den Gitterachsen sind durch die Lage der fundamentalen Gewichte festgelegt, die Begrenzungslinien werden durch die Vorgabe des h¨ochsten Gewichtes bestimmt. (ii)

Wurzel-Raum

Weiterhin erkennen wir an der Relation (4.5), dass wir die Vektoren

2 |α(j) |2 α(j)

als die zu den

fundamentalen Gewichten µ(i) dualen Vektoren auffassen k¨onnen. Dieser Dualraum tr¨agt auch einen Namen. Definition 4.4. Die Vektoren 2 α(j) , |α(j) |2

1≤j≤r

spannen den sog. Wurzel-Raum auf. Insbesondere k¨ onnen wir jedes Gewicht schreiben in der Form ω =

X

ω ˇj

j

(iii)

2 α(j) . |α(j) |2

Dynkin-Koeffizienten der einfachen Wurzeln

Wesentlich ist die Rolle der Cartan-Matrix. Betrachte eine positive Wurzel α. Diese l¨asst sich, wie in Satz 3.4 gezeigt, schreiben in der Form (3.57) X ki α(i) (4.9) α = i

mit ganzzahligen, nichtnegativen Koeffizienten kj . Wir schreiben nun α in der Dynkin-Basis, X α bi µ(i) α = i

und finden wegen α · α(j) =

die Relation α bj =

X i

X i

α bi µ(i) · α(j)

(4.5)

=

α bj

|α(j) |2 ! X ki α(i) · α(j) = 2 i

X α(i) · α(j) ki Aij . ki 2 = 2 |α(j) | i | {z }

(4.10)

=Aij

Insbesondere gilt f¨ ur die einfachen Wurzeln α(i) , dass kj = 0 außer ki = 1, d.h. die Koeffizienten der einfachen Wurzeln in der Dynkin-Basis sind durch die Zeilen der Cartan-Matrix gegeben,   ..   .     α(i) ↔  i-te Zeile  Cartan-Matrix α d (4.11) (i) j = Aij ,   ..  .

44

Gruppentheorie

und wir k¨ onnen in der Dynkin-Basis die Zeilen der Cartan-Matrix mit den einfachen Wurzeln assoziieren. Wir k¨onnen das Skalarprodukt zweier Gewichte schreiben X (4.12) ω bi ξbj µ(i) · µ(j) . ω·ξ = i,j

Aus (4.5) folgt X µ(i) = (A−1 )ik α(k) ,

(4.13)

k

sodass µ(i) · µ(j) = (A−1 )ij

|α(i) |2 =: Gij , 2

(4.14)

d.h. wir haben eine Metrik“ G gefunden, die es erlaubt, f¨ ur die fundamentalen Gewichte Ska” larprodukte zu berechnen und dabei die Koeffizienten in der Dynkin-Basis zu verwenden. Die Matrizen G sind in Tabelle 7 von [7] aufgelistet.

4.5

Fundamentale Darstellungen

Wegen (3.35) gibt es Darstellungen, in denen die fundamentalen Gewichte Zust¨ande charakterisieren. Die Frage ist, ob sie in einer vorgegebenen Darstellung existieren. Tats¨achlich definieren die fundamentalen Gewichte eine Darstellung: Definition 4.5. Eine fundamentale Darstellung einer Lie-Algebra g ist diejenige Darstellung Di , f¨ ur die µ(i) das h¨ ochste Gewicht ist. Offensichtlich gibt es r fundamentale Gewichte und r fundamentale Darstellungen, wenn r den Rang der Lie-Gruppe bezeichnet. Jede einzelne dieser Darstellungen Di ist charakterisiert durch den Index i. Es hat sich folgende, intuitive Schreibweise eingeb¨ urgert: (0, . . . 0, 1, 0 . . . 0)

↔

Di .

ite Stelle Das h¨ochste Gewicht Ω einer beliebigen Darstellung l¨asst sich schreiben als X qi µ(i) . Ω =

(4.15)

i

Die Zahlen qi charakterisieren dann die Darstellung, d.h. q = (q1 , . . . qr )

↔

beliebige Darstellung D .

Definition 4.6. Die Koeffizienten qi des h¨ochsten Gewichtes einer fundamentalen Darstellung in der Dynkin-Basis heißen Dynkin-Koeffizienten.

4.6 (i)

Konstruktion von Darstellung Konstruktion von fundamentalen Darstellungen

Um herauszufinden, ob mit einem Gewicht ω auch ω −α(i) ein Gewicht ist, benutzen wir (3.35), ri = 2

α(i) · ω α(i) · α(i)

(3.35)

= −(pi − qi )

(4.16)

und folgern ω − α(i) ist Gewicht

⇔

qi = pi + ri > 0

(4.17)

45

4.6 Konstruktion von Darstellung

ri wird in der Dynkin-Basis berechnet, denn dort ist ri einfach die i-te Komponente des betrachteten Gewichts. pi ist die Zahl der Gewichte in positiver α(i) -Richtung und qi die Zahl in negativer α(i) -Richtung. Die Entartung der Gewichte wird nicht mitgez¨ahlt. Dies l¨ asst sich in folgendes Verfahren umsetzen. Wir schreiben die Wurzeln und Gewichte in der Dynkin-Basis, assoziieren also das fundamentale Gewicht mit seinen Dynkin-Koeffizienten und die einfachen Wurzeln mit den Zeilen der Cartan-Matrix, z.B. in der su(3) (1)

µ

↔ 10 ,

(Aij ) =



2 −1 −1 2



⇒

(

α(1) α(2)

↔ ↔

2 −1 −1 2

Zu ω gibt es die Gewichte ω − α(i) , . . . ω − qi α(i) . Weiterhin ordnen wir jedem Gewicht eine Stufe zu: Das h¨ochste Gewicht hat Stufe 0, jedes weitere Gewicht tr¨ agt eine Stufe entsprechend der Zahl der elementaren Absteiger, die man auf das h¨ ochste Gewicht anwenden muss, um das betrachtete Gewicht zu erreichen [7]. Weiterhin bezeichnen wir mit T (Ω) die h¨ ochste auftretende Stufe eines Gewichtssystems. Beispiel 4.4. Die Gewichte der Darstellung D(1,0) von su(3) Die Gewichte der Darstellung (1, 0) ermitteln wir mit folgender Systematik: Unser Ausgangspunkt ist das h¨ochste Gewicht mit ˆ = (1, 0). Da den Koeffizienten in der Dynkin-Basis Ω es keine h¨ oheren Gewichte gibt, gilt p = (0, 0) und 10 wir erhalten q = (1, 0), d.h. wir k¨onnen genau einmal in Richtung α(1) absteigen. Durch die Subtraktion ˆ − α(1) = (1, 0) − (2, −1) = (−1, 1) erhalten wir die Ω −α(1) Koeffizienten eines weiteren Gewichtes. Betrachten wir nun das Gewicht mit den Koeffizienten ω ˆ = (−1, 1). Hier gilt p = (1, 0), und es ist von −1 1 vornherein klar, dass wir nicht mehr in Richtung α(1) absteigen k¨ onnen. Wir finden jedoch q = (0, 1) und k¨ onnen genau einmal in Richtung α(2) absteigen. −α(2) Dadurch gelangen wir zum Gewicht ω ˆ = (0, −1). F¨ ur dieses ermitteln wir p = (0, 1) und somit q = (0, 0), d.h. wir k¨ onnen nicht mehr weiter absteigen und es 0 −1 existieren in der Darstellung keine weiteren Gewichte.

Stufe 0

1

2

Beispiel 4.5. Wir betrachten die su(3). Wir erhalten zu den einfachen Wurzeln α(1) = ( 12 , √ ( 21 , − 23 )

(1)

α(2) = die fundamentalen Gewicht µ 4.3. Der Vektor

=

1 ) ( 12 , 2√ 3

(2)

und µ

=

1 ( 12 , − 2√ ), 3

√

3 2 )

und

vgl. Abbildung

Ω = µ(1) = 1 · µ(1) + 0 · µ(2) ist das h¨ ochste Gewicht der Darstellung (q 1 , q 2 ) = (1, 0), d.h. wir haben die Darstellung durch die Koeffizienten q i charakterisiert, bzw. 3, womit wir die Dimension der Darstellung meinen. Anschaulich geben die q i an, wie oft man die elementaren Absteigeoperatoren E −α(i) auf das h¨ ochste Gewicht |ωi anwenden kann, ohne 0 zu erzeugen. Wir k¨onnen also ausgehend von |ωi = |µ(1) i zun¨ achst nur den Zustand E −α(1) |ωi = |ω − α(1) i erzeugen. Weiterhin finden wir gem¨ aß Beispiel 4.4 bzw. wegen der in Abbildung 4.3 erl¨auterten, durch die Weyl-Symmetrie gegebene Einschr¨ankung als drittes und letztes Gewicht |ω − α(1) − α(2) i. Die fundamentale Darstellung der su(3) hat also 3 Gewichte. Die Situation ist in Abbildung 4.3 skizziert.

46

negativ

+

+

Gruppentheorie

positiv α(1) = ( 12 ,

µ(1) − α(1) − α(2)

b

b

√

3 2 )

1 ) µ(1) = ( 21 , 2√ 3

1 ) µ(2) = ( 21 , − 2√ 3

+

b

µ(1) − α(1) α(2) = ( 12 , −

√ 3 2 )

Abbildung 4.3: Skizze der einfachen Wurzeln und der fundamentalen Gewichte der su(3). Letztere sind dadurch bestimmt, dass µ(i) ⊥ α(j) gelten muss, falls i 6= j. Desweiteren sind die Zust¨ ande, die man zum h¨ ochsten Gewicht Ω = µ(1) konstruieren kann, eingezeichnet (vgl. Beispiel 4.5). Die Weyl-Symmetrie definiert zusammen mit der Bedingung, dass man auf µ1 keine weitere positive Wurzel anwenden kann, einen Bereich, in dem alle Gewichte liegen k¨ onnen. Dieser Bereich ist schattiert dargestellt. Man sieht, dass man den Bereich verlassen w¨ urde, w¨ urde man α(1) oder α(2) auf µ1 − α(1) − α(2) anwenden.

(ii)

Die Konstruktion beliebiger Darstellungen

Betrachte nun allgemein eine Darstellung DΩ mit h¨ochstem Gewicht

Ω =

X

qi µ(i) .

i

Von 0 verschiedene Zust¨ ande lassen sich erzeugen durch E α1 E α2 · · · E αN |Ωi , wo die αi irgendwelche Wurzeln bezeichnen. Dabei kann es sich nicht um positive Wurzeln handeln, denn Ω bezeichnet ja das h¨ ochste Gewicht. Die Gewichte lassen sich mit dem oben pr¨asentierten Schema ermitteln. Allerdings ergibt sich eine Subtilit¨ at, denn ein Gewicht kann mehreren Zust¨anden entsprechen. Insbesondere erh¨alt man mit dem Schema nicht die Dimension der Darstellung. Beispiel 4.6. Die adjungierte Darstellung der su(3) Die adjungierte Darstellung der su(3) tr¨agt die Dynkin-Koeffizienten (1, 1), denn dies ist das h¨ochste Gewicht derjenigen Darstellung, die die beiden einfachen Wurzeln enth¨alt (vgl. Beispiel

47

4.6 Konstruktion von Darstellung

3.3). Mit dem Schema konstruieren wir die folgenden Gewichte: Stufe 0

11 −α(1)

−α(2)

−1 2

2 −1 −α(2)

1

−α(1) 00

2

2

−α(1)

−α(2) 1−2

−2 1 −α(1)

3

−α(2)

−1 − 1

4

Hierbei entspricht das Gewicht 0 0 zwei Zust¨anden, was durch den Index 2 angedeutet ist.. Dies ist in dem betrachteten Fall klar, denn beide den Generatoren Hi der Cartan-Unteralgebra assoziierten Zust¨ ande haben Gewicht (0, 0). Es gibt jedoch Methoden, den Entartungsgrad eines Gewichtes festzustellen. Sehr hilfreich ist das folgende Theorem von Dynkin [7], das die Form des Gewichtssystems beschreibt. Satz 4.1 (Spindel-Gestalt-Theorem). Sei D(Ω) eine Darstellung zum h¨ochsten Gewicht Ω und T (Ω) die h¨ochste Stufe. Dann gilt 1. Die Zahl der Zust¨ande, d.h. die Zahl der Gewichte multipliziert mit dem jeweiligen Entartungsgrad, zur Stufe k ist gleich der Zahl der Zust¨ande zur Stufe T (Ω) − k. 2. Die Zahl der Zust¨ande zur Stufe k + 1 ist gr¨oßer oder gleich der Zahl der Zust¨ande zur Stufe k, solange k < T (Ω)/2. Weiterhin ist es m¨ oglich, die Entartung nω eines gegebenen Gewichts ω in einer Darstellung zum h¨ ochsten Gewicht Ω rekursiv zu bestimmen. Man verwendet dazu die Freudenthal’sche Rekursionsformel (f¨ ur eine Herleitung siehe z.B. [1])   (Ω + δ)T · G · (Ω + δ) − (ω + δ)T · G · (ω + δ) nω X nω+k α (ω + k α)T · A · G · α , (4.18) = positive Wurzeln α k>0

wo A die Cartan-Matrix bezeichnet, G die in (4.14) eingef¨ uhrte Metrik“ bezeichnet, δ = (1, . . . 1) ” und alle Indizes in der Dynkin-Basis geschrieben werden.

48 (iii)

Gruppentheorie

Dynkin-Koeffizienten → Dimension einer Darstellung

Weiterhin ist es m¨ oglich, aus den Dynkin-Koeffizienten des h¨ochsten Gewichtes direkt die Dimension einer Darstellung zu ermitteln [7]. Satz 4.2 (Dimension einer irreduziblen Darstellung). Sei D(Ω) eine Darstellung zum h¨ochsten Gewicht Ω. Die Dimension der Darstellung berechnet sich ¨ uber dim D(Ω) =

Y

positive Wurzeln α

(Ω + δ) · α , δ·α

(4.19)

wobei sich das Produkt ¨ uber die positiven Wurzeln erstreckt und δ = (1, . . . 1) in der Dynkin-Basis gilt. P j P (i) Folgerung. Durch Einsetzen der Formeln (4.9), α = und der j k α(j) , (4.15), Ω = i qi µ Dualit¨atsbeziehung (4.5) folgt P (qi + 1) ki |α(i) |2 Y i P dim D(Ω) = . (4.20) kj |α(j) |2 positive Wurzeln α

j

Zusammen mit dem Konstruktionsschema aller positiven Wurzeln (y S. 37) haben wir hiermit eine Methodik, mit der wir im Prinzip in der Lage sind, die Dimension einer durch die DynkinKoeffizienten des h¨ ochsten Gewichtes charakterisierten Darstellung zu berechnen. Beispiel 4.7. In der SU(3) gibt es die positiven Wurzeln α(1) , α(2) bzw. α(1) + α(2) mit den zugeordneten k-Vektoren (1, 0), (0, 1) bzw. (1, 1). Am Dynkin-Diagramm erkennen wir sofort, dass beide einfachen Wurzeln gleichlang, d.h. o.E. auf 1 normiert sind. Somit ergibt sich f¨ ur die Dimension einer Darstellung mit Dynkin-Koeffizienten (q1 , q2 )     q1 + 1 q2 + 1 q1 + q2 + 2 dim D(q1 , q2 ) = . (4.21) 1 1 2 Es sei erw¨ ahnst, dass sich die Dimension einer Darstellung der SU(N ) auch mit den YoungTableaux ermitteln l¨ asst (y Anhang A).

¨ 5 Uberblick u ¨ ber die klassischen Gruppen

5 5.1

49

¨ Uberblick u ¨ ber die klassischen Gruppen Die SU(N )

Die SU(N ) ist definiert als die Gruppe der unit¨aren N × N -Matrizen mit Determinante 1. Die Lie-Algebra su(N ) wird generiert durch N 2 − 1 hermitesche spurfreie Matrizen (vgl. Tabelle 2.1). ¨ Ublicherweise werden die Generatoren Ta so gew¨ahlt, dass Tr(Ta Tb ) =

1 2 δab

(5.1)

gilt. Dem Rang N − 1 entsprechend finden wir die Generatoren der Cartan-Unteralgebra, die sich wie folgt konstruieren lassen: ! m X 1 (Hm )ij = p (5.2a) δik δjk − m δim+1 δjm+1 , 2m (m + 1) k=1   1   . .m   .     1   1  .  −m (5.2b) Hm = p   2m (m + 1)   0     ..   . 0

Durch Anwendung der Hm auf die kanonischen Basisvektoren ebi der N -dimensionalen (definierenden) Darstellung finden wir die Gewichte   1 1 1 1 √ √ √ ν (1) = ↔ eb1 , (5.3a) , . . . , , . . . , , 2 2 3 2m (m+1) 2N (N −1)   1 √ 1 √ 1 , . . . , ν (2) = − 21 , 2√ ↔ eb2 , (5.3b) , . . . , 3 2m (m+1) 2N (N −1)   1 √ 1 √ 1 , . . . , , . . . , ν (3) = 0, − √13 , 2√ ↔ eb3 , (5.3c) 6 2m (m+1)

.. .

ν (m+1)

= .. .

ν

(N )

=

 0, . . . . . . . . . 0, − √

m ,..., 2m (m+1)

2N (N −1)

1 2N (N −1)

√

 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , 0, √ −N +1



2N (N +1)

↔ ebm+1 ,

(5.3d)

↔ b eN ,

(5.3e)



die in vorliegender Form bereits nach Gr¨oße geordnet sind. Als Ordnungskriterium fungiert dabei der Wert der ersten nichtverschwindenden Komponente. Wie sich leicht nachrechnen l¨asst, weisen die Gewichte folgende Eigenschaften auf: 2  N −1 = ν (i) , (5.4a) 2N 1 ν (i) · ν (j) = − f¨ ur i 6= j , (5.4b) 2N X ν (i) = 0 . (5.4c) i

Die Wurzeln der su(N ) werden allgemein aus den Differenzen der Gewichte gebildet. Die in (5.3) pr¨asentierte Wahl der Gewichte hat den besonderen Vorteil, dass sich folgende einfache Zusam-

50

Gruppentheorie

menh¨ange ergeben: Wurzeln ↔ ν (i) − ν (j) positive Wurzeln ↔ ν (i) − ν (j)

(i 6= j) , (i < j) ,

einfache Wurzeln ↔ α(i) = ν (i) − ν (i+1)

(5.5a) (5.5b) (i = 1, . . . N − 1) .

(5.5c)

¨ Ubung 5.1. Zeige die folgende Relationen f¨ ur die Wurzeln: (α(i) )2 α(i) · α(i+1) α(i) · α(j)

=

1,

(5.6a)

= =

− 21

(5.6b) (5.6c)

, 0 f¨ ur |i − j| ≥ 2 .

Die Relationen (5.6) zeigen, dass einfache Wurzeln α(i) und α(j) einen Winkel von 120◦ einschließen, falls sie benachbart sind, d.h. |i − j| = 1, und ansonsten orthogonal sind. Damit ergibt sich folgende Cartan-Matrix   2 −1 0 0  −1 2 −1 0 · · ·     . (5.7) A(su(N )) =    0  −1  0 −1 2 Aus dieser oder mittels der in Tabelle 4.1 aufgef¨ uhrten Vorschriften zum Zeichnen des Dynkindiagramms erhalten wir die in (4.2) behauptete Form α(1)

α(2)

α(N −1)

=: AN −1 ↔

su(N ) .

(5.8)

Dabei haben wir von der in der Literatur u ¨ blichen Konvention Gebrauch gemacht, die komplexe Erweiterung der durch das Dynkin-Diagramm einer n-gliedrigen Kette charakterisierten Gruppe mit An zu bezeichnen. Die fundamentalen Gewichte lassen sich als Linearkombinationen der den kanonischen Basisvektoren entsprechenden Gewichte (5.3) einf¨ uhren. Ihre Gestalt sowie die zugeh¨orige fundamentale Darstellung ist in Tabelle 5.1 angegeben. Fundamentales Gewicht µ(1) = ν (1) µ(2) = ν (1) + ν (2) µ(3) = ν (1) + ν (2) + ν (3) .. . µ(N −1) = ν (1) + ν (2) + · · · + ν (N −1) = −ν (N )

zugeh¨orige Darstellung N (N ⊗ N )as (N ⊗ N ⊗ N )as .. . (N ⊗ N · · · ⊗ N )as = N

Tabelle 5.1: Die fundamentalen Gewichte der su(N ) sowie ihre zugeh¨ origen fundamentalen Darstellungen. Der Index as“ steht f¨ ur antisymmetrisiert“. ” ”

Bemerkung 5.1. Es ist m¨ oglich, die adjungierte Darstellung aus (1, 0, . . . 0, 1) zu gewinnen. Diese entspricht N ⊗ N (bis auf ein Singlett). Durch Ausreduzieren erh¨alt man mit der Methode der Young-Tableaux (vgl. A) beispielsweise in der SU(3) ⊗ 3

⊗

⊕

= 3

=

3

⊕ 6.

,

5.2 Die SO(N )

51

D.h., das antisymmetrisierte Produkt von 3 ⊗ 3 liefert eine andere fundamentale Darstellung, die 3. F¨ ur SU(4) hat man ⊗ 4

⊗

⊕

= 4

=

6

,

⊕ 10 .

Das 6-plet kann auch als Vektor-Darstellung der SO(6) aufgefasst werden, deren Lie-Algebra mit der der SU(4) identisch ist.

5.2

Die SO(N )

Die SO(N ) ist definiert als die Gruppe der orthogonalen N × N -Matrizen. Die Lie-Algebra so(N ) wird generiert durch N (N2−1) rein imagin¨are antisymmetrische N ×N Matrizen (vgl. Tabelle 2.1). Die Cartan-Unteralgebra wird u ¨ blicherweise in n = N/2 2-dimensionale Unterr¨aume zerlegt. Es hat sich folgende Wahl der Basis eingeb¨ urgert: (Hm )jk

=

−i (δj,2m−1 δk,2m − δk,2m−1 δj,2m ) , 

Hm

=

( 00 00 ) m − 1    ( 00 00 )      

0 −i i 0




(5.9a) 

( 00 00 ) n −

σ2

m

( 00 00 )

     ,    

(5.9b)

wobei nat¨ urlich m = 1, . . . n ist. Diese Generatoren besitzen offensichtlich keine Diagonalgestalt, sie kommutieren dennoch untereinander, da jeder Generator nur auf einen ganz bestimmten Teilraum wirkt. F¨ ur ungerade N m¨ ussen die Hm Matrizen (5.9b) um eine Zeile und Spalte mit 0en erweitert werden. Die Eigenwerte der Hi sind die von σ2 , n¨amlich ±1. Entsprechend sind die Gewichtsvektoren von folgender Gestalt (0, . . . 0, ±1, 0 . . . 0) := ±ei . ite Stelle

Diese gleichen formal den kanonischen Basisvektoren des Rn . Insbesondere l¨auft i nur von 1 bis n = N/2 bzw. (N − 1)/ f¨ ur ungerade N . Weiterhin ist das Vorzeichen von ei ist entscheidend, i i d.h. die mit +e bzw. −e assoziierten Zust¨ande sind linear unabh¨angig, wie wir das beispielsweise auch von den Wurzeloperatoren E α und E −α gewohnt sind. (i)

Die so(2n)

Wir konzentrieren uns zun¨ achst auf gerade N = 2n. Die Wurzeln sind in der Basis der ei gegeben durch ±ei ± ej

(i 6= j)

↔

Wurzeln ,

denn erstens sind dies offensichtlich Eigenzust¨ande zu den H m ,   H m ±ei ±ej = (±δmi ±δmj ) ±ei ± ej ,

52

Gruppentheorie

und außerdem gibt es von diesen genau die richtige Anzahl, um zusammen mit den H m die Lie-Algebra zu generieren, n(n − 1) Zahl der Wurzeln = 2 · 2 · 2 i j ±e ±e

=

1 N (N − 1) N N (N − 2) = − 2 2 2 dim g

(5.10)

dim h

In diesem Raum sind die Wurzeln wie folgt klassifiziert: positive Wurzeln ↔ ei ± ej , i < j ,  i  e − ei+1 , 1 ≤ i ≤ n − 1 , und einfache Wurzeln ↔  n−1 e + en .

Die Skalarprodukte der Wurzeln errechnen wir auf die naive Weise. Dies f¨ uhrt auf die CartanMatrix   2 −1 0 0  −1 2 −1 0 · · ·     0    . A(so(2n)) =  (5.11)  −1 −1    −1 2 0  0 −1 0 2 und finden also f¨ ur die so(2n) folgendes Dynkin-Diagramm α(n−1) α(1)

α(2)

α(n−2) α(n)

=: Dn

↔

so(2n) ,

(5.12)

wobei wir die in der Literatur f¨ ur die komplexe Erweiterung der so(2n) u ¨ bliche Bezeichnung Dn eingef¨ uhrt haben. (ii)

Die so(2n + 1)

Der einzige Unterschied zu der obigen Diskussion ist, dass es einen zus¨atzlichen eindimensionalen Unterraum gibt. Nun gibt es so(2n + 1) Generatoren mit Eintr¨agen in der letzten Zeile bzw. Spalte. Das Gewicht des Elements (0, . . . 0, 1) der (2n+1)-dimensionalen definierenden Darstellung ist (0, . . . 0). Da die Wurzeln die Differenzen der Gewichte sind, f¨ uhrt uns dies auf die zus¨atzlichen Wurzeln ±ei . Die einfachen Wurzeln sind ei − ei+1 mit 1 ≤ i ≤ n − 1 und en . Dies f¨ uhrt auf die Cartan-Matrix   2 −1 0 0  −1 2 −1     0 −1   (5.13) A(Bn ) =   −1 0     −1 2 −2  0 0 −1 2 Dementsprechend assoziieren wir mit der so(2n + 1) folgendes Dynkin-Diagramm: α(1)

α(2)

α(n−2) α(n−1)

α(n) =: Bn

↔

so(2n + 1) ,

wobei wir die in der Literatur u uhrt haben. ¨ bliche Bezeichnung Bn eingef¨

(5.14)

5.3 Die SP(2n)

5.3

53

Die SP(2n)

Die symplektische Gruppe SP(2n) besteht aus den 2n × 2n Matrizen B, die der Gleichung   0 1n T (5.15) B JB = J mit J = −1n 0 gen¨ ugen. Die B Matrizen sind von der Form B = i 12 ⊗ A + σ1 ⊗ S1 + σ2 ⊗ S2 + σ3 ⊗ S3 ,

(5.16)

wobei A antisymmetrisch und reell ist, die Si symmetrisch und rell sind und σi die σ-Matrizen bezeichnen. Die σ-Matrizen ihrerseits sind, wie u ¨ blich, gegeben durch         1 0 0 1 0 −i 1 0 σ0 = σ1 = σ2 = σ3 = . (5.17) 0 1 1 0 i 0 0 −1 Bemerkung 5.2. Die Matrizen der Form i 12 ⊗ A + σ3 ⊗ S3

mit

Tr S3 = 0

(5.18)

bilden die su(n) Unteralgebra, denn diese Matrizen k¨onnen durch su(n) Generatoren ausgedr¨ uckt werden,   Ta . −T∗a Die Cartan-Unteralgebra kann so gew¨ahlt werden, dass sie die Cartan-Unteralgebra der su(n) beinhaltet. Es gibt dann genau einen zus¨atzlichen Cartan-Generator, n¨amlich 1 Hn = √ σ3 ⊗ 1 2n

(5.19)

Die Wurzeln der su(n) Unteralgebra haben Eigenwert 0 bzgl. H n . Es gibt zus¨atzliche Wurzeln, diese entsprechen den Matrizen (siehe [3]) (σ1 ± i σ2 ) ⊗ S (ij) ,

wobei die S (ij) gegeben sind durch (ij)

Skℓ

= (δik δjℓ + δiℓ δjk ) .

p Die n-te Komponente der Gewichte dieser Wurzeln sind jeweils ± 2/n. Die Gewichte der einfachen Wurzeln sind r 2 (n+1) (i) (i+1) (n) ν . ν −ν mit 1 ≤ i ≤ n − 1 und 2ν + n Dies f¨ uhrt auf die Cartan-Matrix   2 −1 0 0  −1 2 −1     0 −1    = A(Bn )T . A(Cn ) =  −1 0     −1 2 −1  0 0 −2 2

(5.20)

(5.21)

Wir assoziieren dementsprechend mit der sp(2n) folgendes Dynkin-Diagramm α(1)

α(2)

α(n−2) α(n−1)

α(n) ↔

sp(2n) ≃ Cn ,

wobei wir die in der Literatur u uhrt haben. ¨bliche Bezeichnung Cn eingef¨

(5.22)

54

Gruppentheorie

5.4

Zusammenfassung

Die klassischen Lie-Gruppen werden durch Dynkin-Diagrammen in Form unendlicher Ketten repr¨asentiert. Eine Zusammenstellung findet sich in Tabelle 5.2. Dabei ist folgendes zu beachten ➊ Es gilt so(3) ≃ su(2). ➋ An den Diagrammen erkennt man so(5) ≃ sp(4). ➌ Die so(2) ≃ u(1) ist abelsch, inbesondere nicht einfach. ➍ Wegen so(4) ≃ su(2) ⊕ su(2) und so(6) ≃ su(4) startet n bei der Dn erst mit 4. Bezeichnung An Bn Cn

Dn

Gruppe su(n + 1) so(2n + 1) sp(2n)

n n = 1, 2, . . . n = 2, 3, . . . n = 3, 4, . . .

so(2n)

n = 4, 5, . . .

Dynkin-Diagramm

Tabelle 5.2: Die klassischen Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren und die zugeordneten Dynkin-Diagramme.

55

6 Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen

6

Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen

Es geht darum, die einfachen Lie-Gruppen zu klassifizieren. Wie wir bereits gesehen haben, k¨ onnen wir in einer Rang r Lie-Gruppe r einfache Wurzeln finden (vgl. Abschnitt 3.3 auf S. 33). Diese m¨ ussen als Konsequenz von (3.35) und (3.38) die geometrische Relation α(i) · α(j) n = − 12 (p − q) =: − α(i) · α(i) 2

mit 0 ≤ n ≤ 3

(6.1)

erf¨ ullen. Die Idee ist nun, zu sehen, welche Dynkin-Diagramme (die ja die geometrischen Relationen der einfachen Wurzeln wiedergeben) mit (6.1) konsistent sind. Es stellt sich u ¨ berraschenderweise heraus, dass es abgesehen von den Dynkin-Diagrammen der klassischen Gruppen nur f¨ unf weitere Dynkin-Diagrammen gibt. Wir f¨ uhren nun den Begriff des π-Systems als eine Menge von Vektoren ein, die die notwendigen Bedingungen der einfachen Wurzeln erf¨ ullen. Definition 6.1. Ein System von Vektoren {α, β, . . . } heißt π-System, falls die Vektoren folgende Bedingungen erf¨ ullen: (π.1) Die Vektoren sind linear unabh¨angig. (π.2) F¨ ur beliebige Vektoren α, β gilt: 2

α·β ist eine nichtpositive ganze Zahl zwischen −3 und 0. |α|2

(6.2)

(π.3) Das System der Vektoren ist unzerlegbar, d.h. es kann nicht in zwei orthogonale Teilsysteme aufgespalten werden. Offensichtlich sind π-Systeme Kandidaten f¨ ur einfache Wurzeln einfacher Gruppen. Folgerung. Betrachte einfache Wurzeln, die ein π-System bilden. Dann garantiert die Bedingung (π.3), dass das zugeh¨ orige Dynkin-Diagramm zusammenh¨angend ist. Im Folgenden werden wir zu einem gegeben Rang r die erlaubten Dynkin-Diagramme finden. Wir kauen zun¨ achst die F¨ alle 1 ≤ r ≤ 3 durch, dann betrachten wir allgemeine r. Die erlaubten Dynkin-Diagramme sind diese in Tabelle 6.1 aufgef¨ uhrt. Rang 1 2

Dynkin-Diagramm

3

=

(

Bezeichnung A1 A2 B2 G2 A3

= B3 C3

rellle Lie-Algebra su(2) ≃ so(3) ≃ sp(2) su(3) so(5) ≃ sp(4) su(4) ≃ so(6) so(7) sp(6)

Tabelle 6.1: Erlaubte Dynkin-Diagramme f¨ ur Rang 1 ≤ r ≤ 3.

Weitere zul¨ assige Dynkin-Diagramme gibt es nicht. In Abbildung 6.1 sind drei Diagramme aufgelistet, welche auf linear abh¨angige Wurzelvektoren f¨ uhren. Die weiteren Diagramme sind ebenfalls geometrisch ausgeschlossen, denn die Winkel zwischen positiven Wurzeln k¨onnen nicht gr¨ oßer als 360◦ sein. F¨ ur Rang r ≥ 3 gibt es folgende Regeln:

56

Gruppentheorie

(b)

(c)

(a)

2 120◦

120◦

120◦ 150◦ 90◦ 3 1

120◦ (d)

135◦

(e)

135◦ 90◦ (f)

Abbildung 6.1: Die unzul¨ assigen Dynkin-Diagramme zu Rang 3. Die Geometrie ist jeweils so gestaltet, dass die Wurzeln linear abh¨ angig sind. Beispielsweise ist die Lage der Wurzeln von Diagramm 1(a) in 1(d) wiedergeben. Die drei Vektoren liegen automatisch in einer Ebene und k¨ onnen somit nicht linear unabh¨ angig sein. Dies trifft auch auf die Diagramme 1(b) bzw. 1(c) zu, wie die zugeh¨ origen Skizzen 1(e) bzw. 1(c) zeigen.

Satz 6.1. Eine unzerlegbare Teilmenge eines π-Systems ist ebenfalls ein π-System. Beweis. Die drei definierenden Eigenschaften eines π-Systems u ¨ bertragen sich offensichtlich auf unzerlegbare Teilmengen. Folgerung. Beliebige drei zusammenh¨ angende Vektoren eines π-Systems k¨onnen nur in der Form oder auftreten. Folgerung. Das einzige π-System mit einer dreifachen Verbindungslinie ist . Satz 6.2. Ist A

B

α

β

ein π-System, wo die Kasten A und B f¨ ur beliebige π-Systeme stehen, so ist A

B α+β

ebenfalls ein π-System. Beweis. Seien α und β die beiden Vektoren, die zusammengezogen werden sollen, und bezeichne Γ alle anderen Vektoren. In Γ kann es keinen Vektor geben, der sowohl mit α und β verbunden ist, denn dieser Vektor zusammen mit α und β ist nach 6.1 ebenfalls ein π-System, und wir hatten uns u ¨berlegt, dass das Diagramm 1(a) nicht zul¨assig ist. Der Vektor α + β hat die gleiche L¨ange wie α und β, denn (α + β)2 = α2 + β 2 + 2 α2 cos ∢(α, β) = α2 . Sei γ ∈ Γ ein Vektor, der mit α verbunden ist; dann gilt γ · (α + β) = γ · α .

57

6 Klassifizierung der einfachen Lie-Gruppen Analog hat man f¨ ur einen Vektor γ ′ ∈ Γ, der mit β verbunden ist, dass γ ′ · (α + β) = γ ′ · β .

Somit hat die Menge {α + β} ∪ Γ alle Eigenschaften eines π-Systems, falls das auf {α, β} ∪ Γ zutrifft. Folgerung. Kein π-System enth¨alt mehr als eine Doppellinie. Folgerung. Kein π-System enth¨ alt Schleifen. Satz 6.3. Ist α A

γ β

ein π-System, so ist

A

α+β oder 1 (α + β) 2

γ

ebenfalls ein π-System. Beweis. Aus dem Diagramm folgt, dass α · β = 0 und 2

α·γ β·γ β·γ α·γ = 2 2 = 2 2 = 2 2 = −1 . α2 γ β γ

Damit folgt, dass 2

γ · (α + β) γ · (α + β) = −2 und 2 = −1 . γ2 (α + β)2

Das liefert die Behauptung. Folgerung. Ein π-System enth¨ alt entweder genau eine Doppellinie oder genau eine Verzweigung oder keines von beidem. Satz 6.4. Die folgenden Kombinationen k¨onnen in einem π-System nicht enthalten sein:

(a)

(b)

,

,

58

Gruppentheorie

und

(c)

(d)

.

Beweis. Diese Aussagen beweist man, indem man die zu den Dynkin-Diagrammen ge¨origen Cartan-Matrizen ermittelt, und nachrechnet, dass diese verschwindende Determinanten besitzen. Da aber die Zeilen der Cartan-Matrix die einfachen Wurzeln beinhalten (in der Dynkin-Basis), bedeutet das, dass die Vektoren linear abh¨angig sind. Folgerung. Zus¨ atzlich zu den in Tabelle 5.2 aufgef¨ uhrten Dynkin-Diagammen der klassischen Gruppen gibt es lediglich f¨ unf weitere zul¨ assige Dynkin-Diagramme. Diese f¨ uhren tats¨achlich auf einfache Lie-Algebren bzw. Gruppen, welche als exzeptionelle Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren bezeichnet werden. Je nach Anzahl der auftretenden Doppellinien kennzeichnet man sie mit einem der Großbuchstaben E, F oder G. Die exzeptionellen Gruppen sind in Tabelle 6.2 aufgelistet. Die zugeh¨origen Cartan-Matrizen findet man analog zu Beispiel 4.3. Bez.

Dynkin-Diagramm

G2

F4

α(6) E6 α(1) α(2) α(3) α(4) α(5)

α(7) E7 α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(6)

α(8) E8 α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(6) α(7)



2 −1  2 −1  0 0 2 −1  0  0  0 0 2 −1  0  0  0  0 0 2 −1  0  0  0  0  0 0

 −3 2 −1 2 −1 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 0

Cartan-Matrix

0 −2 2 −1 0 −1 2 −1 0 −1 0 −1 2 −1 0 0 −1 0 −1 2 −1 0 0 0 −1

 0 0  −1 2 0 0 0 0 −1 0 2 −1 −1 2 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 −1 −1 2 0 −1 0 0 0 0 0 0 −1 0 2 −1 −1 2 0 −1 0 0 0 0

Tabelle 6.2: Die f¨ unf exzeptionellen Lie-Gruppen bzw. -Algebren.

 0 0  −1  0  0 2  0 0 0 0  0 −1  0 0  −1 0   2 0 0 2  0 0 0 0 0 0  0 0 −1  0 0 0  −1 0 0  2 −1 0   −1 2 0 0 0 2

59

7 Untergruppen und Symmetriebrechung

7

Untergruppen und Symmetriebrechung

In diesem Kapitel besch¨ aftigen wir uns damit, wie man große, einbettende Gruppen auf Untergruppen bricht.

7.1

Untergruppen und Unteralgebren

Zu einer gegebenen Algebra kann man Unteralgebren finden, d.h. Untervektorr¨aume, die bzgl. der Lie-Klammer abgeschlossen sind. Wenn die Wurzeln der Unteralgebra auch Wurzeln der einbettenden Lie-Algebra sind, spricht man von einer regul¨ aren Unter-Algebra bzw. Gruppe, sonst von einer speziellen. In den Tabellen in [7] sind die Optionen jeweils durch R“ bzw. S“ gekenn” ” zeichnet. Im Fall einer speziellen Unteralgebra ergeben sich die Wurzeln der Unteralgebra durch Projektion auf eine Hyperebene. Eine Unteralgebra h ⊂ g heißt maximal, wenn es keine Unteralgebra h′ ⊂ g gibt, so dass h ⊂ h′ . Die maximalen Unteralgebren k¨onnen mit Hilfe der Dynkin-Diagramme auf folgende Weise ermittelt werden: 1. Starte mit dem erweiterten Dynkin-Diagramm (vgl. Tabellen 7.1 und 7.2). Die Knoten in dem erweiterten Dynkin-Diagramm bilden ein erweitertes π-System, das alle Eigenschaften eines π-Systems hat bis auf die lineare Unabh¨angigkeit. 2. Streiche einen Knoten in dem erweiterten Dynkin-Diagramm. Das so erhaltene DynkinDiagramm ist in allen bis auf f¨ unf F¨allen das Dynkin-Diagramm einer maximalen Unteralgebra. Die f¨ unf Ausnahmen entstehen, wenn man die dritte einfache Wurzel von F4 , die dritte einfache Wurzel von E7 , die zweite, dritte bzw. f¨ unfte einfache Wurzel von E8 streicht. In manchen F¨ allen, z.B. bei der Betrachtung von An ≃ su(n + 1), muss man zwei Knoten streichen und einen davon als U(1) Faktor beibehalten. Die Untergruppen, die sich auf diese Weise ergeben, sind in Tabelle 7.3 zusammengestellt. Name

Reelle Algebra

Erweitertes Dynkin-Diagramm θ

An

su(n + 1)

α(1)

α(2)

α(n)

α(1) Bn

so(2n + 1)

Cn

sp(2n)

α(2)

α(n−2) α(n−1)

θ

θ

α(1)

α(2)

α(n−2) α(n−1)

α(1) Dn

α(n)

α(n−1) α(2)

so(2n) θ

α(n)

α(n−2) α(n)

Tabelle 7.1: Die klassischen Lie-Algebren und die zugeh¨ origen erweiterten Dynkin-Diagramme.

60

Gruppentheorie Name G2 F4

Erweitertes Dynkin-Diagramm θ

α(1)

α(2)

θ

α(1)

α(2)

α(3)

α(4)

θ α(6)

E6

α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(7) E7 θ

α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(6) α(8)

E8 α(1) α(2) α(3) α(4) α(5) α(6) α(7)

θ

Tabelle 7.2: Erweiterte Dynkin-Diagramme der f¨ unf exzeptionellen Lie-Algebren.

Beispiel 7.1. SO(10) ⊃ SU(4) × SU(2) × SU(2) Ausgehend vom erweiterten DynkinDiagramm streichen wir einen Knoten, α(5) α′(3) SU(2) θ α(1) α(2) α(3) α(4)

→

. α′(1) α′(2)

SU(2)

SU(4)×SU(2)×SU(2) ist die sog. Pati-Salam-Gruppe, die historisch vor der SU(5) als Erweiterung der Standard-Modell-Eichgruppe vorgeschlagen wurde.

7.2

Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen

Es gibt eine einfache Vorschrift, die der Projektionsmatrizen, die es erlaubt, Gewichte einer Gruppe G auf Gewichte einer Untergruppe H abzubilden [7]. Durch Anwendung sog. Projektionsmatrizen erh¨ alt man ausgehend von einem Gewicht von G in der Dynkin-Basis das Gewicht in H. (i)

Rezept: Verwenden von Projektionsmatrizen Wir starten mit einem Beispiel, das die Verwendung von Projektionsmatrizen illustriert.

Beispiel 7.2. Projektionsmatrix SU(3) → SU(2) × U(1) In diesem Beispiel kupfern wir einfach die Projektionsmatrix aus [7] ab,     1 0 P SU(3) ⊃ SU(2) × U(1) = , 1 2

61

7.2 Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen Gruppe SU(N + M ) SO(N + M ) SO(2N ) Sp(2N + 2M ) Sp(2N ) G2 G2 F4 F4 F4 F4 E6 E6 E6 E7 E7 E7 E7 E7 E8 E8 E8 E8 E8 E8 E8 E8

Untergruppe SU(N ) × SU(M ) × U(1) SO(N ) × SO(M ) SU(N ) × U(1) Sp(2N ) × Sp(2M ) SU(N ) × U(1) SU(2) × SU(2) SU(3) Sp(6) × SU(2) SU(3) × SU(3) SU(4) × SU(2) SO(9) SO(10) × U(1) SU(6) × SU(2) SU(3) × SU(3) × SU(3) SO(12) × SU(2) SU(6) × SU(3) SU(4) × SU(4) × SU(2) E6 × U(1) SU(8) SO(16) SU(8) × SU(2) SU(6) × SU(3) × SU(2) SU(5) × SU(5) SO(10) × SU(4) E6 × SU(3) E7 × SU(2) SU(9)

Kommentar N oder M gerade

nicht maximal

nicht maximal

nicht maximal nicht maximal nicht maximal

Tabelle 7.3: Maximale Unteralgebren bzw. -Gruppen der einfachen Lie-Algebren bzw. -Gruppen.

und erkl¨ aren, wie wir sie zu verwenden haben. Sei a b ein Gewicht in der Dynkin-Basis der SU(3). Dann ergibt sich der Dynkin-Koeffizient des entsprechenden Gewichtes in der SU(2) und die U(1)-Ladung“ durch Anwendung der Projektionsmatrix, ”      c 1 0 a P ab − → cd, = . d 1 2 b Betrachten wir konkret die adjungierte Darstellung der SU(3) (Abbildung 7.1). Wir reproduzieren insbesondere die Verzweigungsregel SU(3) ⊃

11 = 8 =

SU(2) × U(1) ,

1 3 + 1 −3 + 2 0 + 0 23 ⊕ 23 ⊕ 30 ⊕ 10 .

0

,

Weiterhin kann man an der Diagrammatik unschwer erkennen, dass die Wirkung der einfachen Wurzel α(1) weiterhin eine Symmetrie-Operation darstellt, die der einfachen Wurzel α(2) hingegen nicht. (ii)

Konstruktion der Projektionsmatrizen

Nun wollen wir uns damit besch¨aftigen, wie man die Projektionsmatrizen konstruiert. Wir zeigen anhand eines Beispiels, wie eine Verzweigungsregel auf eine (nicht eindeutig bestimmte) Projektionsmatrix f¨ uhrt.

62

Gruppentheorie

11 1 −α(1)

−α(2)

−1 2

−1 2 −1

−α(2)

−α(1) 00

−α(1) 1−2

0

0

0

0 −2 1

1

−α(1)

3

2

−2

2

−α(2)

−α(2)

3

0

0

−3

−1

−3

                 

23

30

10     

2−3

−1 − 1 Abbildung 7.1: SU(3) → SU(2) × U(1): 8 = 30 ⊕ 23 ⊕ 2−3 ⊕ 10 .

Beispiel 7.3. Projektionsmatrix SU(4) → SU(2)1 × SU(2)2 × U(1) Unser Ausgangspunkt ist die Verzweigungsregel definierende Darstellung der SU(4) SU(4) ⊃ SU(2)1 × SU(2)2 × U(1) 100

4

=

1 0

1

+ 0 1

−1

,

= (2, 1)1 ⊕ (1, 2)−1 .

Wir betrachten die Gewichts-Systeme beider Seiten der Gleichung, Abbildung 7.2, und definieren eine Zuordnung der Gewichte durch die eingezeichneten Pfeile. Diese Zuordnung erlaubt es uns, die Projektionsmatrix abzulesen. Beispielsweise gewinnen wir aus der Gleichung          P11 P12 P13 1 1 P11 1 !  P21 P22 P23   0  =  0  y  P21  =  0  P31 P32 P33 0 1 P31 1 und dann weiter      −1 1 P12 P13 −1 !  0 P22 P23   1  =  0  0 1 P32 P33 1 und schließlich      0 1 0 P13 0 !  0 0 P23   −1  =  1  1 1 2 P33 −1

   0 P12  P22  =  0  P32 2 

y

y

   0 P13  P23  =  1  . P33 1 

63

7.2 Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen

100 1 0

−α(1)

1

−1 0

−1 1 0 −α(2)

0 1

−1

0 −1

0 −11

1

−1

         

(2, 1)1

(1, 2)−1

−α(3) 00 −1 Abbildung 7.2: SU(4) → SU(2)1 × SU(2)2 × U(1).

Insgesamt haben wir damit die Projektionsmatrix konstruiert,   1 0 0   P SU(4) ⊃ SU(2)1 × SU(2)2 × U(1) =  0 0 1  . 1 2 1

(7.1)

Zun¨ achst bemerken wir, dass diese konsistent ist mit der Anwendung auf die vierte Zuordnung, d.h. tats¨ achlich ist      1 0 0 0 0  0 0 1   0  =  −1  1 2 1 −1 −1 Weiterhin, und das ist der wesentliche Punkt, kann man dieselbe Projektionsmatrix f¨ ur alle Darstellungen verwenden. Betrachten wir z.B. die Verzweigung f¨ ur die sechsdimensionale Darstellung der SU(4), Abbildung 7.3. Auch hier l¨asst sich das Diagramm so interpretieren, dass die Wirkung von α(2) gebrochen ist, w¨ ahrend die anderen beiden einfachen Wurzeln in den SU(2)-Untergruppen weiterleben“. ” In der Tat finden wir durch Anwenden der Projektionsmatrix auf die einfachen Wurzeln in der Dynkin-Basis, die ja den Zeilen der Cartan-Matrix entsprechen, P (2, −1, 0) = (2, 0, 0) ,

P (−1, 2, −1) = (−1, −1, 2) , P (0, −1, 2) = (0, 2, 0) ,

d.h. das Bild von α(2) vermittelt zwischen den einzelnen Faktoren der Untergruppe H = SU(2)1 × SU(2)2 × U(1), was keine Symmetrieoperation darstellt. Beispiel 7.4. Spinordarstellung der SO(10). Wie in der Motivation am Anfang des Semesters erw¨ahnt, kann eine Generation Materie des Standard-Modells der Teilchenphysik (mit einem rechtsh¨andigen Neutrino) zu einem SO(10) Spinor zusammengefasst werden. Wir konstruieren die Spinor-Darstellung in der Dynkin-Basis (Abbildung 7.4 (a)). Wie wir an Abbildung 7.4 (b) erkennen, spaltet der Spinor bzw. das 16-plett unter SO(10) → SU(5) × U(1)χ auf wie 16 = 101 ⊕ 5−3 ⊕ 15 .

(7.2)

64

Gruppentheorie

010 −α(2)

0 0

(1, 1)2

2

1 −11 −α(1)

−α(3)

−1 0 1

10 −1

−α(3)

−α(1)

1 1

0

−1 1 1 −1

0

0

−1 −1

0

−1 1 − 1 −α(2)

0 0

0 −10 Abbildung 7.3: Aufspalten der 6 der SU(4).

−2

                      

(2, 2)0

(1, 1)−2

65

7.2 Verzweigungsregeln und Projektionsmatrizen

0 0 0 1 0 (1)

0 0 0 1 0 (1)

4

4

0 0 1 − 1 0 (1)

0 0 1 − 1 0 (1)

3

3

0 1 − 1 0 1 (1)

0 1 − 1 0 1 (1)

5

2

0 1 0 0 − 1 (1) 2

2

1 − 1 0 0 1 (1)

0 1 0 0 − 1 (1)

1 − 1 0 0 1 (1)

1

2

1

5

1 − 1 1 0 − 1 (1) 3

−1 0 0 0 1 (1) 1

1 0 − 1 1 0 (1) 4

5

3

−1 0 1 0 − 1 (1)

1 0 − 1 1 0 (1)

3

4

−1 1 − 1 1 0 (1)

1 0 0 − 1 0 (1)

2

1

1

1 0 0 − 1 0 (1) 1

1 − 1 1 0 − 1 (1)

4

−1 1 0 − 1 0 (1)

0 − 1 0 1 0 (1)

2

4

−1 0 0 0 1 (1) 1 −1 0 1 0 − 1 (1) 1

3 −1 1 − 1 1 0 (1)

4

−1 1 0 − 1 0 (1)

2 0 − 1 0 1 0 (1)

2

4

0 − 1 1 − 1 0 (1)

0 − 1 1 − 1 0 (1)

3

3

0 0 − 1 0 1 (1)

0 0 − 1 0 1 (1)

5 0 0 0 0 − 1 (1)

0 0 0 0 − 1 (1)

(a) 16-plett.

(b) 10 + 5 + 1.

Abbildung 7.4: (a) Gewichtsdiagramm der 16 von SO(10). (b) zeigt die Zerlegung unter SO(10) → SU(5).

66

Gruppentheorie

7.3

Abschließende Bemerkungen

1. Die Symmetrien des Dynkin-Diagramms entsprechen den ¨außeren Automorphismen. In vielen F¨ allen hat das Dynkin-Diagramm eine Symmetrie der Ordnung 2, dies entspricht der komplexen Konjugation, z.B. in der SU(n) bzw. su(n)

1

2

n−2

n−1

.

Unter dieser Transformation kehrt sich die Reihenfolge der Dynkin-Koeffizienten um, (m1 , m2 , . . . mn−1 ) = (mn−1 , . . . m2 , m1 ) . F¨ ur SO(8) hat man eine Symmetrie der Ordnung 3, die z.B. die Spinor-Darstellung 8s , die komplex konjugierte Spinor-Darstellung 8s und die Vektor-Darstellung 8v austauscht.

SO(8) spielt eine wichtige Rolle f¨ ur die Darstellungstheorie masseloser Teilchen in 10 Dimensionen. Sie bezeichnet die Stabilisator-Gruppe der 10er-Impulse. 2. In der Physik sind die ‘simply laced’ Lie-Algebren An , Dn und En manchmal von besonderem Interesse. Hier treten keine Doppel- oder Dreifach-Linien im Dynkin-Diagramm auf. F¨ ur solche Algebren ist der Tensor G, der es erlaubt, Skalarprodukte zwischen Gewichten in der Dynkin-Basis zu berechnen, einfach durch das Inverse der Cartan-Matrix gegeben. 3. Im Allgemeinen besitzen die Tensoren G fraktionale Eintr¨age; das ist aber nicht der Fall f¨ ur E8 , die eine besondere Rolle in supersymmetrischen Eichtheorien in mehr als vier Dimensionen und in Stringtheorie spielt.

67

A Young-Tableaux

A

Young-Tableaux

A.1 (i)

Generelle Eigenschaften Tensor-Notation

Wir betrachten in diesem Abschnitt Tensoren der SU(N ), d.h. Elemente einer Darstellung der j ...j speziellen unit¨ aren Gruppe. Mit einem (p, q)-Tensor |ψi assoziieren wir die Komponenten ψi11···iqp , E E i ···i j1 ...jp j ...j ψi1 ···iq = j11 ...jqp ψi11···iqp .

(A.1) j ...j

Wir werden im Folgenden nicht zwischen dem Tensor |ψi und seinen Komponenten ψi11···iqp unterscheiden. (ii)

Einf¨ uhrendes Beispiel: Symmetrische und antisymmetrische Tensoren zweiter Stufe

Betrachte nun einen (0, 2)-Tensor Ψij . Offensichtlich l¨aßt sich dieser zerlegen in einen symme(−) (+) trischen Anteil ψij und einen antisymmetrischen Anteil ψij , (+)

1 2 1 2

= =

ψij (−) ψij

(Ψij + Ψji ) (Ψij − Ψji )

)

↔

(+)

(−)

ψij = ψij + ψij

.

(A.2)

Wesentliche Beobachtung ist, dass unter einer Transformation die Anteile nicht mischen, d.h. wegen (ψ (+) )′kℓ

(+)

=

Uk i Uℓ j ψij

Symmetrie

=

Uk i Uℓ j ψji

Umindizierung (i↔j)

Uk j Uℓ i ψij

(+)

=

(+)

= (ψ (+) )′ℓk

(A.3)

(−) ¨ und der analogen Uberlegung f¨ ur ψij bleiben die Symmetrieeigenschaften erhalten. Es hat sich die Notation eingeb¨ urgert, Antisymmetrie mit einem ;“ zu kennzeichnen, ” (−)

= Ψ[ij] ,

ψi;j := ψij

(A.4a)

und bei einem fehlenden ;“ von Symmetrie auszugehen, ” (+)

ψij = ψij

= Ψ{ij} .

(A.4b)

Die Idee der Young-Tableaux ist nun, die Symmetrieeigenschaften mit K¨astchen darzustellen. Nebeneinander angeordnete K¨ astchen deuten Symmetrie und untereinander angeordnete K¨asten Antisymmetrie an, d.h. ψ i j ↔ ψij

und ψ i ↔ ψi;j , j

oder k¨ urzer (wir sparen uns das ψ auf der linken Seite in den Formeln) i j

(+)

↔ ψij

und

i j

(−)

↔ ψij

In der Sprache der Young-Tableaux schreibt sich (A.2) demzufolge als Ψij = ψij + ψi;j =

i . i j + j

(A.5)

68

Gruppentheorie

(iii)

Verallgemeinerungen

Ein beliebiger (0, q)-Tensor l¨ aßt sich stets zerlegen in Anteile definierter Symmetrie, Ψi1 ...iq

=

ψi1 ...iq +ψi1 ···iq−1 ;iq + ψi1 ···iq−2 ;iq−1 iq + · · · + ψi1 ;i2 ···iq

+ψi1 ···iq−2 ;iq−1 ;iq + · · · + ψi1 ;i2 ···iq−1 ;iq .. . +ψi1 ;i2 ;··· ;iq

(A.6)

Analog zu (A.3) finden wir, dass die Transformationen nur innerhalb der Zust¨ande definierter Symmetrie vermitteln. Ein Young-Tableau ist also ein Schema:

das mit Indizes aufgef¨ ullt wird. Mit den Indizes repr¨asentiert es einen Tensor gemischter Symmetrie, z.B. i j ↔ ψ ij;k , k wobei die K¨ astchen den Pl¨ atzen der Indizes entsprechen. Der wesentliche Aspekt ist, dass die Anordnung der K¨ astchen die Symmetrie bzgl. Austausch der Indizes i, j, k festlegt: X Sind die K¨ astchen nebeneinander angeordnet, so ist der Tensor symmetrisch bzgl. Austausch der Indizes, und X sind die K¨ astchen u ¨bereinander angeordnet, so ist der Tensor antisymmetrisch bzgl. Austausch der Indizes. Im obigen Fall ist der Zustand also symmetrisch bzgl. der Vertauschung i ↔ j und antisymmetrisch bzgl. i ↔ k. Folgerung. Nach Konstruktion l¨ aßt sich jeder Tensor mit einer definierten Symmetrie durch solch ein Schema beschreiben. Solche Zust¨ ande mit n K¨astchen sind Tensoren einer irreduziblen Darstellung der Sn .

A.2

Standard-Anordnung

Wegen der Symmetrieeigenschaften ist beispielsweise ψ21;3 durch ψ12;3 oder ψ1;22 = −ψ2;12 durch −ψ12;2 gegeben. Es gen¨ ugt also, einige wesentliche Komponenten von ψ zu kennen [5]. Unter der Standard-Anordnung eines Young-Tableaux versteht man eine Anordnung, die die folgenden Bedingungen erf¨ ullt: X Die Zeilen werden immer k¨ urzer und sind linksb¨ undig,

und nicht

.

X Die Zahlen nehmen nach rechts nicht ab, 1 2 3 4

oder

1 2 2 3

, aber nicht

1 2 3 2 .

A.3

Zusammenhang zwischen Dynkin-Labels und Young-Tableaux f¨ ur die SU(N )

69

X Die Zahlen werden nach unten gr¨oßer, 1 2 3

, aber nicht

1 3 2

oder

1 2 . 2

Satz A.1. Jeder einer irreduziblen Darstellung der Sn angeh¨orige Tensor n-ter Stufe, der sich als Tensorprodukt von Tensoren erster Stufe eines N -dimensionalen Multipletts der SU(N ) schreiben l¨aßt, transformiert unter einer irreduziblen Darstellung der Gruppe SU(N ). Folgerung. Jeder Tensor mit n Indizes, der einem Young-Tableau entspricht, ist ein Basiszustand einer Darstellung der SU(N ). Die Zahl der Young-Tableaux in Standardanordnung mit dieser K¨ astchenanordnung ist die Dimension dieser irreduziblen Darstellung. Beispiel A.1. Die M¨ oglichkeiten, zwei Teilchen in zwei Zust¨anden symmetrisch anzuordnen, sind die drei Standard-Anordnungen: 1 1

,

2 2

und

1 2 .

Dies entspricht einer dreidimensionalen irreduziblen Darstellung der SU(2), also beispielsweise dem Triplett bei der Drehimpulskopplung zweier Spin- 12 -Teilchen. Umgekehrt gibt es nur ein Young-Tableau in Standard-Anordnung f¨ ur den antisymmetrischen Fall, 1 . 2 Dieser entspricht dem Singlett und spiegelt wieder, dass eine antisymmetrische 2 × 2 Matrix nur eine linear unabh¨ angige Komponente hat. Es zeigt sich also, dass der horizontalen Anordnung der K¨astchen drei Tableaux in StandardAnordnung entsprechen, der vertikalen Anordnung nur eine. Im folgenden werden allgemeine Regeln aufgestellt, womit man aus der K¨astchenanordnung sofort die Anzahl der Tableaux in Standard-Anordnung ermitteln kann. Beispiel A.2. Wir betrachten nun einen Tensor mit gemischter Symmetrie, Ψij;k = ψijk + ψjik − ψjki − ψkji .

(A.7)

Im Fall N = 3 ergeben sich die folgenden Tableaux in Standard-Anordung: 1 1 , 2

1 1 , 3

1 2 , 2

1 3 , 3

1 3 , 2

1 3 , 3

3 3 3

und

2 3 . 3

Das bedeutet, dass dieser Tensor 8 unabh¨angige Komponenten hat. Alle weiteren Komponenten k¨ onnen auf diese zur¨ uckgef¨ uhrt werden.

A.3

Zusammenhang zwischen Dynkin-Labels und Young-Tableaux fu ¨r die SU(N )

Die vorangehenden Betrachtungen lassen sich auf Tensoren Darstellungen beliebiger Gruppen anwenden. Nun pr¨ asentieren wir eine Relation, die es erlaubt, ausgehend von den Dynkin-Koeffizienten des h¨ ochsten Gewichts einer Darstellung der SU(N ) das zugeh¨orige Young-Tableau zu finden. Satz A.2. Eine Darstellung mit den Dynkin-Koeffizienten des h¨ochsten Gewichts q1 . . . qN −1 wird durch ein Young-Tableaux mit Einbuchtungen der L¨ange q1 , . . . qN −1 repr¨asentiert, q1 ↔ | {z } qN −1

q1 . . . qN −1

(A.8)

70

Gruppentheorie

Bemerkung A.1. Eine N te Zeile mit L¨ ange 6= 0 muss nicht betrachtet werden, siehe (A.10). Beispiel A.3. Die adjungierte Darstellung der SU(3) tr¨agt die Koeffizienten 1 1 und wir assoziieren daher mit ihr das Young-Tableau .

A.4

Young-Tableaux zur Bestimmung der Dimension irreduzibler Darstellungen der SU(N )

Die SU(N ) hat eine definierende Darstellung der Dimension N ; physikalisch bedeutet das N Basiszust¨ande, beispielsweise beschreibt die SU(2) den Spin von Teilchen mit zwei Einstellm¨oglichkeiten f¨ ur den Spin. Definition A.1. Jedem K¨ astchen eines Tableaus entspricht eine Wegl¨ange L. Diese ist durch die Anzahl der nach rechts und unten durchquerten K¨astchen erkl¨art, z.B. • × × × ×

↔

Wegl¨ ange = 5

Definition A.2. Der Abstand D zum ersten K¨astchen ist definiert als die Zahl der Schritte, die man ben¨otigt um vom linken oberen K¨astchen zu einem gegebenen K¨astchen zu kommen. Dabei z¨ahlen Schritte nach rechts positiv und Schritte nach unten negativ, z.B. 0 −1 −2

+1 0

+2 +1

+3

+4 .

Es wurde bereits erw¨ ahnt, dass jede Anordnung von K¨astchen einer irreduziblen Darstellung entspricht. Die Dimension M dieser Darstellung ist gerade die Anzahl der Young-Tableaux in Standard-Anordnung. Satz A.3. Dimension M einer irreduziblen Darstellung Aus den Wegl¨angen und den Abst¨anden der K¨astchen berechnet man sich M wie folgt: M=

Y Di + N Li

i

=

Produkt aller Abst¨ande+N Produkt aller Wegl¨angen

Beispiel A.4. Betrachte die SU(2): 0 0 1 0 − 1

2 = 2, 1 2·3 : M = = 3, 2·1 2·1 = 1. : M = 2·1 : M =

Insbesondere tr¨ agt ein Young-Tableau mit N Zeilen immer Dimension 1,    ···   .. .

···

N .. .    

→

Dimension M = 1 .

(A.9)

A.5

Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler Darstellungen der SU(N ) 71

Daraus resultiert die Regel, dass man eine Spalte mit N Zeilen aus einem Young-Tableau einfach herausstreichen darf,

→

N

A.5

(A.10)

Young-Tableaux zur Ausreduktion von Produkten irreduzibler Darstellungen der SU(N )

Das ausreduzierte Produkt zweier irreduziblen Darstellungen kann durch ein Produkt zweier Schemata dargestellt werden. Die Produktbildung der Schemata erfolgt in folgenden Schritten [2]: Schritt 1. Kennzeichne im ersten der beiden Tableaux alle K¨astchen der ersten Zeile mit einem a, die der zweiten mit einem b usw. Schritt 2. (a) Summiere u ¨ ber alle Schemata mit abfallender Skyline, die sich durch Zusammensetzen des zweiten der Ausgangsschemata mit den K¨astchen des Typs a ergeben. Dabei darf keine Spalte mehr als N Zeilen enthalten. (b) Fahre auf die selbe Weise fort mit den K¨astchen des Typs b. (c) usw. Schritt 3. Streiche alle Spalten mit N Zeilen, solange das Schema nicht nur die Spalte ist. Schritt 4. Bilde f¨ ur jedes der resultierenden Schemata eine Zeichenkette, indem die Label der ersten Zeile r¨ uckw¨ arts gelesen werden, dann die zweite Zeile r¨ uckw¨arts gelesen und angef¨ ugt usw. Wenn die Zeichenkette links von einem beliebigen Element mehr b als a oder mehr c als b usw. enth¨ alt, verwerfe das entsprechende Schema. Beispiel A.5. Betrachte die SU(3). Quarks sind Farb-Tripletts. Wir reduzieren das Tensorprodukt der adjungierten Darstellung mit sich selbst aus: ⊗

Schritt 1 −−−−−→ a a ⊗ b

a a ⊕

Schritt 2a

−−−−−−→

a

a a b ⊕

Schritt 2b

−−−−−−→

a ⊕ Schritt 3

−−−−−→ Schritt 4

b

a

= =

a b

⊕

a

a a ⊕

⊕

b

a a a a ⊕

b a

⊕

a

 a b ⊕  a  ⊕

b

a

a b ⊕

a

a ⊕

a

a a ⊕

a b ⊕

⊕

a a

a a ⊕

b

a a b

 a b ⊕  a 

a b a b ⊕ ⊕ ⊕  b a a  a a a a b 

⊕

⊕

27 ⊕ 10 ⊕ 10 ⊕ 2 · 8 ⊕ 1

a a b

b ⊕

b

a

⊕2·

⊕

a a b

72

Gruppentheorie

A.6 (i)

Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln Beispiel: SU(3) → SU(2) ⊗ U(1)

Die SU(2) ist auf folgende, offensichtliche Weise in die SU(3) eingebettet: !   տ ր 0 SU(2) ∗∗ ւ σi ց 0 SU(3) . ↔ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 Der Generator λ8 vertauscht mit den eingebetteten SU(2)-Generatoren λ1−3 , generiert deshalb eine U(1). Folglich haben wir SU(2) ⊗ U(1) in die SU(3) eingebettet. Weiterhin sieht man, dass die 3 in 21/3 und 1−2/3 zerf¨ allt. Das relative Vorzeichen der U(1)-Ladungen ergibt sich aus       x x iα  y  , exp(iαλ8 )  y  = exp √ 3 0 0       0 0 −2iα  0  . exp(iαλ8 )  0  = exp √ 3 z z

Die Frage ist nun, wie ein SU(3)-Tensor ψi1 ···iq unter SU(2) ⊗ U(1) transformiert. Jeder Index kann entweder als Singlett oder Dublett unter der SU(2) transformieren. Um dies herauszufinden, verteilt man alle K¨ astchen eines zu einer Darstellung geh¨origen Young-Tableaux auf die SU(2) und die U(1), und konstruiert alle Young-Tableaux die sich als Tensorprodukt der aufgeteilten Schemata ergeben. Ein K¨ astchen in der U(1) entspricht +1 f¨ ur die U(1)-Ladung, und es ist klar, dass die U(1)-Schemata keine vertikale Ausdehnung gr¨osser als 1 besitzen d¨ urfen. Desweiteren ergibt sich f¨ ur ein Schema mit n K¨ astchen, wovon j unter SU(2) als Dubletts transformieren, eine Gesamt-Ladung“ von ” 1 2 2 Y = j − (n − j) = − n + j . (A.11) 3 3 3 Ergibt sich das Ausgangs-Tableau n mal, so tritt die Kombination in der Zelegung n mal auf. Beispiel A.6 (Zerlegung der 6).

→ : • ⊕ : ⊕ • : 6 → 32/3 ⊕ 2−1/3 ⊕ 1−4/3 .




Dabei bedeutet ein • die Abwesenheit von K¨astchen unter SU(2) bzw. U(1).

Beispiel A.7 (Zerlegung der 8).    → : • ⊕ 8

(ii)

→ 21 ⊕ 10 ⊕ 30 ⊕ 2−1

:



⊕

:




⊕

:




Verallgemeinerung SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU(M ) ⊗ U(1)

Das Vorgehen des letzten Abschnitts l¨aßt sich auf SU(N + M ) → SU(N ) ⊗ SU ⊗ U(1) verallgemeinern. Offensichtlich sind Block-Matrizen mit Bl¨ocken aus SU(N ) bzw. SU(M ) selbst Matrizen aus SU(N + M ),   ∗ ··· ∗  ..  .  . N ..     ∗ ··· ∗    . (A.12)   ∗ · · · ∗     .. .  . M ..  ∗ ···

∗

A.6

Young-Tableaux zur Bestimmung der Verzweigungs-Regeln

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Dar¨ uberhinaus gibt es immer eine Superposition der Cartan-Generatoren, welche mit den Generatoren der Untergruppen vertauscht, n¨amlich   M   . .N   .     1 M   . (A.13) H=p   −N 2 N M (N + M )     . .M   . −N

Die K¨ astchens eines Tableaux unter SU(N + M ) k¨onnen analog zum vorangehenden Abschnitt verteilt werden. Aus der Gestalt des eingebetteten U(1) Generators (A.13) resultiert die U(1)Ladung nM − mN f¨ ur ein Schema mit n K¨astchen in SU(N ) und m K¨astchen in SU(M ). Beachte, dass Physiker dabei oft – wie auch bei SU(3) → SU(2) ⊗ U(1) – die U(1)-Ladung umnormieren.

Beispiel A.8 (SU(5) → SU(3) ⊗ SU(2) ⊗ U(1)). Die U(1)-Ladung ergibt sich zu 5 · j − 2 · n, wobei n die Gesamtzahl und j die Zahl der K¨astchen bezeichnet, die unter SU(3) transformieren. Physiker multiplizieren diese Zahl noch mit einem Konventionsfaktor von 1/6. (a) Zerlegung der 10.   
⊕ • : : • ⊕ :
10 → 3 ⊗ 1 −4/6 ⊕ (3 ⊗ 2)1/6 ⊕ (1 ⊗ 1)6/6 . | {z } | {z } | {z } →



qL

uR

eR

(b) Zerlegung der 5.



→  =

:



⊕



(1 ⊗ 2)−3/6 ⊕ 3 ⊗ 1 | {z } | {z ℓL



:

dR




2/6

}

.

Der Teilchengehalt einer Generation von Standard-Modell-Teilchen l¨asst sich also aus 5 und 10 unter SU(5) gewinnen. Das rechtsh¨andige Neutrino kann als Singlett unter SU(5) eingef¨ uhrt werden. Bemerkung A.2. Das Young-Tableau der komplex konjugierten Darstellung erh¨alt man, indem man ein gegebenes Young-Tableau auff¨ ullt sodass alle Spalten die L¨ange N besitzen. Das Komplement, d.h. der fehlende Teil, entspricht dann nach einer Punktspiegelung genau dem YoungTableau der komplex konjugierten Darstellung. Betrachte z.B. die SU(5):

→

→