Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Prof. Dr. F. Otto Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universit¨at Kassel 24.03.2011 Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarke...
Author: Jobst Bretz
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Prof. Dr. F. Otto Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universit¨at Kassel

24.03.2011

Klausur zur Vorlesung

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen WS 2010/2011

Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hinweise: – Tragen Sie zun¨achst Namen und Matrikelnummer oben ein. – Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben und einer Zusatzaufgabe, bei denen insgesamt 55 Punkte erreichbar sind. Die Bearbeitungszeit betr¨agt zwei Stunden. – Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung anfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antworten leider nicht gewertet werden k¨onnen! Achten Sie ferner auf die korrekte formale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz! – Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen, so k¨onnen Sie auf dem freien Blatt gegen¨ uber und auf den freien Bl¨attern am Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis auf der Aufgabenseite angeben. – Lose Bl¨ atter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur nicht beru ¨ cksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich beschriebenen Blatt zugelassen. – Die Ergebnisse finden Sie im Online-Pr¨ ufungsverwaltungssystem der Informatik. Der Ort und die Zeit f¨ ur die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushang und auf der WWW-Seite f¨ ur die Klausur angek¨ undigt. VIEL ERFOLG !

Punktzahl (von 55): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AUFGABE 1. [10 Punkte] a) Geben Sie einen NEA f¨ ur die Sprache L1 = {a, b}∗ · {b} · {a, b}3 · {b} · {a, b}∗ an. b) Ist die Sprache L2 = {a, b}∗ r L1 regul¨ar? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort! c) Geben Sie eine regul¨are Grammatik an f¨ ur die Sprache L3 = { w ∈ {0, 1}∗ | die Anzahl der 1 in w ist ungerade }. Hinweis: In a) ist nicht verlangt zu beweisen, dass Ihr NEA tats¨achlich genau die Sprache L1 akzeptiert. Ebenso ist in c) nicht verlangt zu beweisen, dass Ihre Grammatik tats¨achlich genau die Sprache L3 erzeugt.

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AUFGABE 2. [15 Punkte] Gegeben ist die Grammatik G := ({A, B, C, R, S, T, U, V, X, Y, Z}, {a, b, c}, P, S) mit den Regeln P := { S → T U, T → BA | BX | BY, X → T A, Y → CA | RA, U → AB | AV | AZ, Z → U B, V → RB, R → CR | c, A → a, B → b, C → c }. a) Woran ist zu erkennen, dass G in Chomsky-Normalform vorliegt? b) Pr¨ ufen Sie mithilfe des CYK-Algorithmus, ob die W¨orter w1 = bcaaacb und w2 = bcaaabb in der von der Grammatik G generierten Sprache L(G) enthalten sind. c) Geben Sie eine Ableitung f¨ ur das Wort w3 = bcaab an. Ist die Grammatik G eindeutig? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. d) Bestimmen Sie f¨ ur alle Nichtterminale D ∈ {A, B, C, R, S, T, U, V, X, Y, Z} die Sprache LG (D) = { w ∈ {a, b, c}∗ | D ⇒∗G w }. Hinweis: Gehen Sie in einer geeigneten Reihenfolge vor, um den Aufwand zur Bestimmung dieser Sprachen zu minimieren.

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AUFGABE 3. [10 Punkte] Gegeben sind die beiden Sprachen L1 := {w ∈ {a, b, c}∗ | |w|a = |w|b } und L2 := {w ∈ {a, b, c}∗ | |w|b = |w|c }. a) Zeigen Sie, dass L1 kontextfrei ist, indem Sie eine Grammatik oder einen Kellerautomaten angeben, die genau L1 generiert bzw. der genau L1 akzeptiert. b) Geben Sie die Schnittmenge L3 von L1 und L2 an (also L3 := L1 ∩ L2 ). c) Zeigen Sie, dass L3 nicht kontextfrei ist. d) Ist die Menge der kontextfreien Sprachen unter Durchschnitt abgeschlossen? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort. Hinweis: In a) braucht nicht bewiesen zu werden, dass Ihre Grammatik (bzw. Ihr Kellerautomat) genau die Sprache L1 erzeugt (bzw. akzeptiert).

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AUFGABE 4. [10 Punkte] a) Zeigen Sie, dass die Funktion f : N → N mit  1, falls n durch 4 teilbar ist, f (n) = 0, sonst, Turing-berechenbar ist. b) Geben Sie alle Funktionen an, die sich allein mit Komposition und Nachfolgerfunktion (s(n) = n + 1, n ∈ N) darstellen lassen. Definition der Komposition: F¨ ur eine k-stellige Funktion g : Nk → N und k mstellige Funktionen h1 , . . . , hk : Nm → N ist die m-stellige Funktion f (x1 , . . . , xm ) = g(h1 (x1 , . . . , xm ), . . . , hk (x1 , . . . , xm )) die Komposition von g und h. ur Funktionen u Hinweis: Beachten Sie die Definition der Turing-Berechenbarkeit f¨ ¨ber den nat¨ urlichen Zahlen!

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ZUSATZAUFGABE [10 Punkte] Zeigen Sie folgende Aussagen f¨ ur eine beliebige unendliche Menge A ⊆ N: a) L¨asst sich A durch eine streng monoton wachsende, totale und berechenbare Funktion f : N → N aufz¨ahlen, dann ist A entscheidbar. b) Wenn A entscheidbar ist, dann existiert eine streng monoton wachsende, totale und berechenbare Funktion f : N → N, die A aufz¨ahlt. Hinweis: Eine Funktion f : N → N z¨ahlt die Menge A ⊆ N auf, wenn f (N) = A gilt.

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