Prof. Dr. F. Otto Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universit¨at Kassel

26.09.2011

Klausur zur Vorlesung

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen SS 2011

Name: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matrikelnummer: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hinweise: – Tragen Sie zun¨achst Namen und Matrikelnummer oben ein. – Die Klausur besteht aus 6 Aufgaben, bei denen jeweils 10 Punkte erreichbar sind. Die Bearbeitungszeit betr¨agt zwei Stunden. – Lesen Sie sich die jeweilige Aufgabenstellung genau durch, ehe Sie mit der Bearbeitung anfangen. Schreiben Sie deutlich und gut leserlich, da unleserliche Antworten leider nicht gewertet werden k¨onnen! Achten Sie ferner auf die korrekte formale Schreibweise und vergessen Sie nicht den entsprechenden Antwortsatz! – Bearbeiten Sie die Aufgaben auf dem jeweiligen Blatt. Sollte der Platz nicht ausreichen, so k¨onnen Sie auf dem freien Blatt gegen¨ uber und auf den freien Bl¨attern am Ende fortfahren. Im letzteren Fall bitte unbedingt einen entsprechenden Hinweis auf der Aufgabenseite angeben. – Lose Bl¨ atter sind nicht erlaubt! Insbesondere werden sie bei der Korrektur nicht beru ¨ cksichtigt. Ferner sind keine Hilfsmittel außer einem handschriftlich beschriebenen Blatt zugelassen. – Die Ergebnisse finden Sie im Online-Pr¨ ufungsverwaltungssystem der Informatik. Der Ort und die Zeit f¨ ur die Einsichtnahme in die Klausur werden durch Aushang und auf der WWW-Seite f¨ ur die Klausur angek¨ undigt. VIEL ERFOLG !

Punktzahl (von 60): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Note: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

AUFGABE 1. Gegeben ist die Turingmaschine M = ( {z0 , z1 , z2 , z3 , z4 , ze }, {0, 1}, {0, 1, 2}, δ, z0 , 2, {ze } ), wobei δ durch den folgenden Graphen gegeben ist: 0/0,N 2/0,N

@ABC / GFED z0

1/2,R

@ABC / GFED z1

0/2,R 1/2,R

2/2,N 1/2,R

0/2,R

 GFED @ABC z4

 @ABC / GFED z2

0/2,R 1/2,R

;

 @ABC / GFED z3

2/1,N

$# @ABC 89:; ?>=< / GFED z : e

0/2,R 1/2,R

2/0,N

Die von M berechnete Funktion ist f : N → N. a) Simulieren Sie M auf den Eingaben 1, 2 und 4. Geben Sie dazu f¨ ur jede Eingabe die Rechnung und den von M berechneten Funktionswert an. b) Geben Sie die von M berechnete Funktion f explizit an. c) L¨asst sich f primitiv-rekursiv darstellen? Begr¨ unden Sie! d) Geben Sie mindestens drei weitere Berechenbarkeitsmodelle an, in denen f dargestellt werden kann.

1

2

AUFGABE 2. Zeigen Sie, dass die Sprache H42 = { w | Mw h¨alt bei Eingabe 42 mit Ausgabe 24 an } unentscheidbar ist. Hierbei bezeichnet Mw die Turing-Maschine, die durch das Wort w kodiert wird. Hinweis: Zeigen Sie, dass sich eine bereits als unentscheidbar bekannte Sprache auf H42 reduzieren l¨asst.

3

4

AUFGABE 3. a) Stellen Sie die folgenden Funktionen primitiv-rekursiv dar. Alle in der Veranstaltung als primitiv-rekursiv nachgewiesenen Funktionen d¨ urfen verwendet werden. (i) f (n) = n3 + 2n2 + 2n + 1 n Q (ii) g(n) = (i + 3) i=0

b) Gegeben ist die µ-rekursive Darstellung der Funktion h : N → N: ˙ + (n−m ˙ 2 ). h(n) = µf (m, n) mit f (m, n) = (m2 −n) Berechnen Sie h(4) und h(8). Geben Sie nun h explizit an.

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AUFGABE 4. a) Kreuzen Sie f¨ ur jede der folgenden Fragen entweder wahr“ oder falsch“ an. Jede ” ” richtige Antwort ergibt 0,5 Punkte, f¨ ur jede falsche Antwort werden 0,5 Punkte abgezogen. Hinweis: F¨ ur – – – – – –

die folgenden Fragen bezeichnet: REG die Menge der regul¨aren Sprachen, DCFL die Menge der deterministisch kontextfreien Sprachen, CFL die Menge der kontextfreien Sprachen, CSL die Menge der kontextsensitiven Sprachen, L0 die Menge der Typ 0-Sprachen, RE die Menge der rekursiv-aufz¨ahlbaren (semi-entscheidbaren) Sprachen, – REC die Menge der rekursiven (entscheidbaren) Sprachen. wahr 2

falsch 2

2. { w#wR | w ∈ {a, b}∗ } ∈ CFL\DCFL

2

2

3. { w#wR #w | w ∈ {a, b}∗ } ∈ CSL\CFL

2

2

4. { w#wR #w#wR | w ∈ {a, b}∗ } ∈ L0 \CSL

2

2

5.

Jede Teilmenge einer abz¨ahlbaren Sprache ist wieder abz¨ahlbar.

2

2

6.

Die Menge aller Teilmengen einer abz¨ahlbaren Sprache ist abz¨ahlbar.

2

2

7.

Die Funktion g(n) = µf (m, n) mit f (m, n) = 0 ist berechenbar aber nicht total

2

2

8.

Jede totale und berechenbare Funktion ist primitiv-rekursiv.

2

2

9.

Mehrband-Turingmaschinen k¨onnen mehr Sprachen akzeptieren als Einband-Turingmaschinen.

2

2

10.

Die Ackermann-Funktion ist nicht primitiv-rekursiv, weil ihr Funktionswert auf bestimmten Eingaben nicht definiert ist.

2

2

11.

Man kann entscheiden, ob eine Turingmaschine M auf einer Eingabe n nach t Schritten anh¨alt.

2

2

12.

Es gilt: abz¨ahlbare Sprachen ⊂ REC ⊂ RE

2

2

1. { w | w ∈ {a, b}∗ } ∈ REG\∅

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b) Beantworten Sie die folgenden Fragen kurz. 1. Vervollst¨andigen Sie: Sei L ⊆ Σ∗ mit L ∈ RE und L ∈ RE, dann gilt

........................................................................... 2. Geben Sie eine Sprache an, die nicht in L0 liegt.

........................................................................... 3. Geben Sie eine nicht berechenbare Funktion an.

...........................................................................
1
00
01 4. Geben Sie eine L¨osung folgender Instanz des PCP an: ( 0101 , 0 , 0 ). ...........................................................................

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AUFGABE 5. (Regul¨are Ausdr¨ ucke) a) Zeigen Sie, dass eine Sprache L ⊆ Σ∗ genau dann durch einen regul¨aren Ausdruck ohne ∗-Symbol beschrieben werden kann, wenn L endlich ist. Hinweis: Folgende zwei Aussagen sind also zu zeigen: (i) Wenn L endlich ist, dann l¨asst sich L durch einen regul¨aren Ausdruck ohne ∗-Symbol beschreiben. (ii) F¨ ur jeden regul¨aren Ausdruch r gilt: Wenn r kein ∗-Symbol enth¨alt, dann ist L(r) endlich. b) Sei r ein regul¨arer Ausdruck, in dem das ∗-Symbol vorkommt. Ist die Sprache L(r), die von r beschrieben wird, dann notwendigerweise unendlich? (Beweis oder Gegenbeispiel) c) Die erweiterten regul¨aren Ausdr¨ ucke“ ERA sind wie folgt definiert: ” – ∅ ist ein ERA mit L(∅) = ∅. – ε ist ein ERA mit L(ε) = {ε}. – F¨ ur alle Buchstaben a ∈ Σ ist a ein ERA mit L(a) = {a}. Seien r1 und r2 ERA. – Dann ist (r1 r2 ) ein ERA mit L(r1 r2 ) = L(r1 )L(r2 ), – es ist (r1 |r2 ) ein ERA mit L(r1 |r2 ) = L(r1 ) ∪ L(r2 ), – es ist (r1 )∗ ein ERA mit L((r1 )∗ ) = (L(r1 ))∗ , – es ist (r1 ∩ r2 ) ein ERA mit L(r1 ∩ r2 ) = L(r1 ) ∩ L(r2 ), – es ist (r1 )c ein ERA mit L((r1 )c ) = Σ∗ r L(r1 ). Welche Sprachklasse wird von den ERA charakterisiert? Begr¨ unden Sie kurz.

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AUFGABE 6. (Lineare Sprachen) Eine lineare Grammatik ist eine Grammatik der Form (V, Σ, P, S), bei der jede Produktion (` → r) ∈ P folgende Bedingungen erf¨ ullt: (i) ` ∈ V und

(ii) r ∈ (Σ∗ · V · Σ∗ ) ∪ Σ∗ .

Mit LIN bezeichnen wir die Klasse der linearen Sprachen, d.h., die Klasse der Sprache, die von linearen Grammatiken erzeugt werden k¨onnen. a) Zeigen Sie, dass LIN eine echte Obermenge der Klasse REG der regul¨aren Sprachen ist. b) Warum ist LIN eine Teilmenge von CFL (Klasse der kontextfreien Sprachen)? c) Zeigen Sie, dass die Klasse LIN unter Vereinigung abgeschlossen ist. d) Zeigen Sie, dass die Klasse LIN weder unter Durchschnitt noch unter Komplementbildung abgeschlossen ist.

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