Musterlösungen zu den Übungsaufgaben
Theoretische Elektrotechnik Übungszyklus Wintersemester 2012/13 und Sommersemester 2013
Basierend auf Mitschriften der Übungen von Dipl.-Ing. Fabian Ossevorth und M. Sc., Dipl.-Ing. (FH) André Manicke sowie eigenen Ausarbeitungen Version vom 12. Oktober 2015
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen 1.1 Metrische Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Koordinatentransformation für eine Vektorfunktion . . . . . . . . 1.3 Wegintegral einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Differentialoperatoren - Definition, Rechengesetze und Spezialfälle 1.5 Oberflächenintegral einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Berechnung der Skalarfunktion einer Vektorfunktion 1 . . . . . . 1.7 Berechnung der Skalarfunktion einer Vektorfunktion 2 . . . . . . 1.8 Anwendung des Laplace-Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Prüfen auf Quellen und Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Quellenfreies Wirbelfeld und wirbelfreies konservatives Vektorfeld
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5 5 7 8 9 13 13 14 14 15 15
2 Maxwell-Gleichungen und abgeleitete Gleichungen 2.1 Maxwell-Gleichungen in Differentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Überführung der Maxwell-Gleichungen von Differential- in Integralform . 2.3 Poisson-Gleichung für homogenes dielektrisches Medium . . . . . . . . . 2.4 Poisson-Gleichung für homogenes permeables Medium . . . . . . . . . . 2.5 Poisson-Gleichung für inhomogenes dielektrisches Medium . . . . . . . . 2.6 Entkoppelung der Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Diffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Wellengleichung (Helmholtzgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 Relaxationszeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 16 16 17 17 17 18 18 19 19 20
3 Elektrostatik - Punktladungen 3.1 Drei Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vier Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Bewegen von Ladungen im Potentialfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21 21 21 22
4 Elektrostatik - Coulombintegral 4.1 Linienladung 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Linienladung 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Kreisring mit Linienladung . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Kreisbogen mit Linienladung . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Geschlossener Halbkreisbogen mit Linienladung . . . . 4.6 Kreisscheibe mit konstanter Flächenladungsdichte . . . 4.7 Kreisscheibe mit ortsabhängiger Flächenladungsdichte 4.8 Parallele Platten mit Flächenladung . . . . . . . . . . 4.9 Homogene Raumladung in Form einer Kugel . . . . . .
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23 23 24 24 25 25 25 26 27 28
5 Elektrostatik - Gaußsche Methode 5.1 Unendlich langer Zylinderkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kugel mit homogener Raumladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29 29 31
6 Elektrostatik - Poisson- und Laplace-Gleichung 6.1 Kugel mit homogener Raumladungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 32
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Inhaltsverzeichnis
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7 Elektrostatik - Spiegelungsprinzip 7.1 Punktladung über leitender Ebene, influenzierte Ladung . . . . . . . . 7.2 Punktladung in einer rechtwinkligen Ecke aus leitendem Material . . . 7.3 Punktladung in einem rechtwinkligen Luftspalt aus leitendem Material 7.4 Punktladung innerhalb einer leitenden und geerdeten Hohlkugel . . . . 7.5 Punktladungen und Hohlkugel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Punktladungen und Hohlkugel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Punktladung innerhalb einer Hohlkugelhälfte über leitender Ebene . . 7.8 Punktladung über einer dielektrischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . 7.9 Punktladung und Hohlkugel mit Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . 7.10 Zwei Punktladungen innerhalb einer geerdeten Kugel mit 2 Dielektrika 8 Elektrostatik - Elektrisches Dipolmoment 8.1 Elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung (Näherung Punktdipol) 8.2 Punktladung im Feld eines elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Kreisförmige Doppelschicht mit konstanter Dipolmomentdichte . . . . 8.4 Feld von zwei elektrischen Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Dipol über einer leitenden Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung . . . . . . . . . . . . . . 9 Elektrostatik - Kapazität und Energie im Dielektrikum 9.1 Kapazität eines Kugelkondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Kapazität einer Koaxialleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Kapazität eines Kugelkondensators mit inhomogenem Dielektrikum 9.4 Energie in einer dielektrischen Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Energie in einer geladenen Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Energie in zwei dielektrischen Schichten . . . . . . . . . . . . . . . 10 Stationäres Strömungsfeld 10.1 Stromdurchflossener Bügel . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Halbkugelerder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Stromdurchflossenes Hohlzylindersegment . . . . . . 10.4 Zylindrischer Leiter mit ortsabhängiger Leitfähigkeit
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34 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44
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46 46 46 47 47 47 48
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49 49 50 50 51 51 52
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53 53 54 55 56
11 Magnetostatik - Durchflutungs- und Induktionsgesetz 11.1 Magnetischer Fluss durch eine ruhende rechteckige Leiterschleife . . . . . . . . . 11.2 Magnetischer Fluss durch eine bewegte rechteckige Leiterschleife . . . . . . . . . 11.3 Gegeninduktivität - Linienleiter und dreieckförmige Leiterschleife . . . . . . . . . 11.4 Gegeninduktivität - 2 Linienleiter und quadratische Leiterschleife . . . . . . . . . 11.5 Gegeninduktivität - Linienleiter und gleichschenklige dreieckförmige Leiterschleife 11.6 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Koaxialleiters . . . . . . . . . . . . . . . .
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57 57 58 59 60 61 61 62
12 Magnetostatik - Gesetz von Biot-Savart 12.1 Stromfaden aus drei Segmenten . . . 12.2 Geteilter Stromfaden . . . . . . . . . 12.3 Kreisförmige Leiterschleife . . . . . . 12.4 Rechteckige Leiterschleife . . . . . . 12.5 Sehr lange dünne Leiterbahn . . . . 12.6 Zylinderspule mit n Windungen . . . 12.7 Helmholtzspule . . . . . . . . . . . . 12.8 Gleichseitiges n-Eck . . . . . . . . . 12.9 Halbkreisförmige Leiterschleife . . .
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63 63 64 65 65 66 67 68 69 71
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Inhaltsverzeichnis
13 Quasimagnetostatik - Diffusionsgleichung und Skineffekt 13.1 Rechteckiger Leiter zwischen zwei hochpermeablen Ebenen . . . . 13.2 Leiter in der Nut eines hochpermeablen Körpers . . . . . . . . . . 13.3 Zwei rechteckige Leiter in der Nut eines hochpermeablen Körpers 13.4 Langer flacher Stahlstrang im magnetischen Wechselfeld . . . . . 13.5 Langer Leiter im (parallelen) magnetischen Wechselfeld . . . . . . 13.6 Langer Leiter mit niederfrequentem Wechselstrom . . . . . . . . .
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72 72 75 76 78 79 80
14 Ebene Wellen 14.1 Beschreibung ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Polarisationsarten ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Elektrische Feldstärke und magnetische Flussdichte einer ebenen Welle 14.4 Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenwiderstand einer ebenen Welle 14.5 Zwei zirkular polarisierte Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Ebene Wellen in komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Überlagerung zweier ebener Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Ebene Welle an einer dielektrischen Grenzschicht . . . . . . . . . . . . 14.9 Reflexion an einem Dielektrikum über einer leitenden Ebene . . . . . . 14.10TE-Wellen im Rechteckhohlleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81 81 83 85 86 87 88 89 90 91 94
15 Feld 15.1 15.2 15.3 15.4
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99 101 101 102 102
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103 103 105 107 108 109 113
von Linearantennen Anordnung mit einer Linearantenne . Anordnung mit zwei Linearantennen Kreisförmige Linearantenne . . . . . Zwei parallele Linearantennen . . . .
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16 Leitungstheorie der Zweidrahtleitung 16.1 Ersatzschaltbild und Leitungsgleichungen der Zweidrahtleitung . . . . . . 16.2 Eingangsimpedanz und Reflexionsfaktor der verlustlosen Zweidrahtleitung 16.3 Reflexionsfaktor einer induktiv abgeschlossenen Zweidrahtleitung . . . . . 16.4 Verlustlose Leitung mit Parallelwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Wellenwiderstand einer verlustlosen Zweidrahtleitung . . . . . . . . . . . . 16.6 Wellenwiderstand einer verlustlosen Koaxialleitung . . . . . . . . . . . . . A Formelsammlung
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MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
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1 Mathematische Grundlagen 1.1 Metrische Faktoren Für die metrischen Faktoren hi und die Einheitsvektoren ~ei sowie für das vektorielle Wegelement d~r, ~ i und das Volumenelement dV gelten folgende Beziehungen: die Flächenelemente dA ∂~r 1 ∂~r ~ei = hi = ∂ui hi ∂ui X d~r = dui hi~ei = du1 h1~e1 + du2 h2~e2 + du3 h3~e3 i
~i = dA
Y
dV
Y
z.B. für i = 1
duj hj ~ei
~ 1 = du2 h2 du3 h3~e1 dA
j6=i
=
dui hi = du1 du2 du3 h1 h2 h3
i
In Zylinderkoordinaten ist dann der Ortsvektor ~r x % cos ϕ ~r = y = % sin ϕ mit u1 = % , u2 = ϕ und u3 = z z z sind die metrischen Faktoren h1 = h%
h2 = hϕ
h3 = hz
cos ϕ q ∂~r = = sin ϕ = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 ∂% 0 −% sin ϕ q ∂~r = = % cos ϕ = %2 sin2 ϕ + cos2 ϕ = % ∂ϕ 0 0 ∂~r = = 0 = 1 ∂z 1
lauten die Basisvektoren ~e1 = ~e% =
~e2 = ~eϕ =
~e3 = ~ez =
cos ϕ 1 ∂~r = sin ϕ h% ∂% 0 −% sin ϕ − sin ϕ 1 1 ∂~r % cos ϕ = cos ϕ = hϕ ∂ϕ % 0 0 0 1 ∂~r = 0 hz ∂z 1
und gilt für das Wegelement, die Flächenelemente sowie das Volumenelement d~r = d%~e% + %dϕ~eϕ + dz~ez ~ % = %dϕdz ~e% dA dV
= %d%dϕdz
~ ϕ = d%dz ~eϕ dA
~ z = %d%dϕ ~ez dA
6
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Analog berechnet man in Kugelkoordinaten den Ortsvektor x r cos ϕ sin ϑ ~r = y = r sin ϕ sin ϑ mit u1 = r , u2 = ϑ und u3 = ϕ z r cos ϑ die metrischen Faktoren cos ϕ sin ϑ q ∂~r = = sin ϕ sin ϑ = sin2 ϑ cos2 ϕ + sin2 ϕ + cos2 ϑ = 1 ∂r cos ϑ r cos ϕ cos ϑ q ∂~r = = r sin ϕ cos ϑ = r2 cos2 ϑ cos2 ϕ + sin2 ϕ + r2 sin2 ϑ = r ∂ϑ −r sin ϑ −r sin ϕ sin ϑ q ∂~r = = r cos ϕ sin ϑ = r2 sin2 ϑ sin2 ϕ + cos2 ϕ = r sin ϑ ∂ϕ 0
h1 = hr
h2 = hϑ
h3 = hϕ
die sphärischen Basisvektoren ~e1 = ~er =
~e2 = ~eϑ =
~e3 = ~eϕ =
cos ϕ sin ϑ 1 ∂~r = sin ϕ sin ϑ hr ∂r cos ϑ r cos ϕ cos ϑ cos ϕ cos ϑ 1 ∂~r 1 = r sin ϕ cos ϑ = sin ϕ cos ϑ hϑ ∂ϑ r −r sin ϑ − sin ϑ − sin ϕ −r sin ϕ sin ϑ 1 ∂~r 1 r cos ϕ sin ϑ = cos ϕ = hϕ ∂ϕ r sin ϑ 0 0
sowie Wegelement, Flächenelemente und das Volumenelement d~r = dr~er + rdϑ~eϑ + r sin ϑdϕ~eϕ ~ r = r2 sin ϑdϑdϕ ~er dA dV
~ ϑ = r sin ϑdrdϕ ~eϑ dA
~ ϕ = rdrdϑ ~eϕ dA
= r2 sin ϑ drdϑdϕ
Weiterhin gilt für die Weg-, Flächen- und Volumenelemente der im Aufgabenheft abgebildeten Geometrien (von oben nach unten sowie von links nach rechts): (kartesisches) Flächenelement
~ = dxdy ~ez dA
(kartesisches) Volumenelement
dV = dxdydz
Wegelement (Polarkoordinaten) Flächenelement (Polarkoordinaten)
d~r = %dϕ ~eϕ ~ = %d%dϕ ~ez dA
Flächenelement (Zylinderkoordinaten)
~ = %dϕdz ~e% dA
Volumenelement (Kugelkoordinaten) Flächenelement (Kugelkoordinaten)
dV = r2 sin ϑdrdϕdϑ ~ = r2 sin ϑdϕdϑ ~er dA
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
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1.2 Koordinatentransformation für eine Vektorfunktion Eine Transformation der gegebenen Vektorfunktion F~ (~r) =
x2
1 (−y~ex + x~ey ) + y2
mit |~r| = 6 0
erreicht man durch Einführung von Zylinderkoordinaten mit x = % cos ϕ, y = % sin ϕ und z = z. Ortsvektor und Basisvektoren lauten damit x % cos ϕ ~ex = cos ϕ~e% − sin ϕ~eϕ ~ey = sin ϕ~e% + cos ϕ~eϕ ~r = y = % sin ϕ ~ez z z ~ez = sodass für die Funktion schließlich folgt F~ (~r) = = =
− % sin ϕ (cos ϕ~e% − sin ϕ~eϕ ) + % cos ϕ (sin ϕ~e% + cos ϕ~eϕ ) %2 cos2 ϕ + sin2 ϕ % − sin ϕ cos ϕ~e% + sin2 ϕ~eϕ + sin ϕ cos ϕ~e% + cos2 ϕ~eϕ %2 2 2 sin ϕ + cos ϕ ~eϕ 1 = ~eϕ % %
8
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MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
1.3 Wegintegral einer Vektorfunktion Die Vektorfunktion F~ (~r) sowie die orientierten Wege W1 und W2 sind gegeben durch y F~ (~r) = y~ex − x~ey + (x + y + z)~ez = −x x+y+z 1 x W1 : ~r(t) = ~ex + t~ez = 0 = y t ∈ [0; 1] t z cos(t) x t ~ez = sin(t) = y W2 : ~r(t) = cos(t)~ex + sin(t)~ey + t ∈ [0; 2π] 2π t z 2π Das differentielle Wegelement d~r entlang des Weges W1 bestimmt man zunächst aus der Ableitung des entsprechenden Ortsvektors ~r nach dem Parameter t und anschließendem Umstellen. Es gilt 0 d~r = 0 dt 1 Einsetzen in die jeweiligen Wegintegrale liefert dann ˆ ˆ1 ˆ1 0 0 2 1 1 3 −1 0 dt = (1 + t)dt = t + t =1+ = F~ (~r)d~r = 2 0 2 2 1+0+t 1 0 0 W1 ˆ
ˆ1 F~ (~r) × d~r =
W1
0
1 ˆ1 −1 0 0 −t −1 −1 × 0 dt = 0 dt = C1 = 0 = −~ex 1+0+t 1 0 C2 0 0 0
Für den Weg W2 folgt das vektorielle Wegelement hingegen aus − sin(t) d~r cos(t) = dt 1 2π
Die beiden Wegintegrale berechnet man damit unter Beachtung der Integrationsgrenzen zu ˆ ˆ2π − sin(t) sin(t) cos(t) dt − cos(t) F~ (~r)d~r = 1 t cos(t) + sin(t) + 2π 0 W2 2π ˆ2π 1 t = − sin2 (t) + cos2 (t) + cos(t) + sin(t) + dt 2π (2π)2 0
2π 1 t2 1 sin(t) + cos(t) + = . . . = − 2π 2π 2(2π)2 0 2 ˆ ˆ2π − sin(t) sin(t) × cos(t) dt − cos(t) F~ (~r) × d~r = t 1 cos(t) + sin(t) + 2π 0 W2 2π ˆ2π − cos(t) 1+t −π + cos(t) + sin(t) 2π − sin(t) 1+t + cos(t) + sin(t) dt = . . . = 1 − π = 2π 0 0 0
=
−t +
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
9
1.4 Differentialoperatoren - Definition, Rechengesetze und Spezialfälle Für die Differentialoperatoren Gradient, Divergenz, Rotation sowie den Laplace-Operator gelten folgende Darstellungen in kartesischen, Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten (hierbei sei Φ(~r) ein Skalarfeld und F~ (~r) ein Vektorfeld): ∂Φ ∂x
~ r) = ∂Φ = grad Φ(~r) = ∇Φ(~ ∂y ∂Φ ∂z
= = ∂ Fx ∂x ∂ Fy ∂y ∂ Fz ∂z
∂Φ ∂Φ ∂Φ ~ex + ~ey + ~ez ∂x ∂y ∂z ∂Φ ~e% + ∂% ∂Φ ~er + ∂r
1 ∂Φ ∂Φ ~eϕ + ~ez % ∂ϕ ∂z 1 ∂Φ 1 ∂Φ ~eϑ + ~eϕ r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
~ · F~ (~r) = div F~ (~r) = ∇
=
= =
∂Fz ∂Fx ∂Fy + + ∂x ∂y ∂z 1 ∂(%F% ) 1 ∂Fϕ ∂Fz + + % ∂% % ∂ϕ ∂z 2 1 ∂(sin ϑFϑ ) 1 ∂Fϕ 1 ∂(r Fr ) + + 2 r ∂r r sin ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
~ex ~ey ~ez Fx ∂ ∂ ∂ ~ × F~ (~r) = ∇ × Fy = ∂x ∂y ∂z F F F Fz x y z ∂Fy ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fx ∂Fz − ~ex + − ~ey + − ~ez ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂F% ∂Fz ∂Fϕ 1 ∂Fz 1 ∂(%Fϕ ) 1 ∂F% − ~e% + − ~eϕ + − ~ez % ∂ϕ ∂z ∂z ∂% % ∂% % ∂ϕ ∂(sin ϑFϕ ) ∂Fϑ 1 ∂Fr 1 ∂(rFϕ ) 1 ∂(rFϑ ) ∂Fr 1 − ~er + − ~eϑ + − ~eϕ r sin ϑ ∂ϑ ∂ϕ r sin ϑ ∂ϕ r ∂r r ∂r ∂ϑ ∂ ∂Φ ∂x ∂x ~ · ∇Φ(~ ~ r) = ∂ ∂Φ div(grad Φ) = ∇
rot F~ (~r) =
= = =
4 Φ(~r) =
= = =
∂y ∂ ∂z
∂y ∂Φ ∂z
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ % + 2 + % ∂% ∂% % ∂ϕ2 ∂z 2 1 ∂ ∂Φ 1 ∂2Φ 1 ∂ 2 ∂Φ r + sin ϑ + r2 ∂r ∂r r2 sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r2 sin2 ϑ ∂ϕ2
10
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Die Rechenregeln für den Gradienten lauten ∂(cΦ) ∂Φ c ∂Φ ∂x ∂x ∂x ∂Φ = c grad Φ grad(cΦ) = ∂(cΦ) = c ∂y = c ∂Φ ∂y ∂y ∂Φ ∂Φ ∂(cΦ) c ∂z ∂z ∂z ∂(Φ +Φ ) 1
grad(Φ1 + Φ2 ) =
∂(Φ grad(Φ1 · Φ2 ) =
2
∂(Φ1∂x +Φ ) ∂y 2 ∂(Φ1 +Φ2 ) ∂z
1 Φ2 ) ∂x ∂(Φ1 Φ2 ) ∂y ∂(Φ1 Φ2 ) ∂z
=
∂Φ1 ∂x ∂Φ1 ∂y ∂Φ1 ∂z
∂Φ1 =
∂x ∂Φ1 ∂y ∂Φ1 ∂z
+
∂Φ2 ∂x ∂Φ 2 ∂y ∂Φ2 ∂z
= grad Φ1 + grad Φ2
2 Φ1 · ∂Φ · Φ2 ∂x 2 · Φ2 + Φ1 · ∂Φ = Φ2 grad Φ1 + Φ1 grad Φ2 ∂y ∂Φ2 · Φ2 Φ1 · ∂z
Als Rechenregeln für die Divergenz ergeben sich ∂ cFx ∂x ∂Fx ∂Fy ∂Fz ∂ ~ cFy = c div cF = + + = c div F~ ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ cFz ∂z ∂ F1x + F2x ∂x ∂F1x ∂F1y ∂F1z ∂F2x ∂F2y ∂F2z ∂ ~ ~ F1y + F2y = div F1 + F2 = + + + + + ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ F + F 1z 2z ∂z = div F~1 + div F~2 ∂ ΦFx ∂x ∂ ΦFy = ∂Φ Fx + Φ ∂Fx + ∂Φ Fy + Φ ∂Fy + ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y ∂ ΦFz ∂z ∂Φ Fx ∂x ∂Φ Fy + Φ ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz = grad Φ · F~ ∂y ∂x ∂y ∂z ∂Φ Fz ∂z
div ΦF~
=
=
∂ F1y F2z ∂x ∂ F1z F2x ∂y ∂ F1x F2y ∂z
div F~1 × F~2
=
=
= =
∂Φ ∂Fz Fz + Φ ∂z ∂z + Φ div F~
− F1z F2y − F1x F2z − F1y F2x ∂F1y ∂F1y ∂F1z ∂F1x ∂F1x ∂F1z − F2x + − F2y + − F2z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y ∂F2y ∂F2z ∂F2z ∂F2x ∂F2x ∂F2y − F1x + − F1y + − F1z + ∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ~ez ~ez F1x ~ex ~ey F2x ~ex ~ey ∂ ∂ ∂ ∂ F2y ∂ F1y ∂ ∂y ∂z − ∂y ∂z ∂x ∂x F2z F1x F1y F1z F1z F2x F2y F2z F~2 rot F~1 − F~1 rot F~2
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
11
Für die Rotation gelten schließlich die Rechenregeln wie folgt ∂Fz ∂F ∂F ∂Fz ~ex c ∂y − c ∂zy − ∂zy ~ e ~ e y z ∂y ∂ ∂F ∂Fx ∂Fz ∂ ∂ ∂Fz x ~ rot cF~ = ∂x ∂y ∂z = c ∂z − c ∂x = c ∂z − ∂x = c rot F ∂Fy ∂Fy cF cF cF ∂Fx ∂Fx c ∂x − c ∂y x y z ∂x − ∂y ∂F1z ∂F1y ∂F2z ∂F2y ~ex ~ e ~ e y z ∂y − ∂z ∂y − ∂z ∂F ∂ ∂F ∂ ∂ ∂F1z ∂F2z 1x 2x ~ ~ ~ ~ rot F1 + F2 = ∂x ∂y ∂z = ∂z − ∂x + ∂z − ∂x = rot F1 + rot F2 ∂F ∂F F1x+F2x F1y+F2y F1z+F2z 1y 2y ∂F1x ∂F2x ∂x − ∂y ∂x − ∂y ∂Φ ∂Fy ∂Fz ∂Φ F + Φ − F − Φ ~ e ~ e ~ e z y y z ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂Φ ∂ ∂ ∂Fx ∂Fz ∂Φ rot ΦF~ = ∂x = F + Φ − F − Φ x z ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x ∂x ∂Fy ΦF ΦF ΦF ∂Fx ∂Φ ∂Φ x y z ∂x Fy + Φ ∂x − ∂y Fx − Φ ∂y ∂Fy ∂Fz ∂Φ ∂Φ − F − F z y ∂y ∂z ∂z ∂y ∂F ∂Fz ∂Φ x ~ ~ = ∂Φ ∂z Fx − ∂x Fz + Φ ∂z − ∂x = grad Φ × F + Φ rot F ∂Φ ∂Φ ∂Fy ∂F x ∂x Fy − ∂y Fx ∂x − ∂y ∂ F1y F2z−F1z F2y F1x F1x F2x ∂x ∂F2x ∂F2y ∂F2z ∂ F2y = rot F1z F2x−F1x F2z = F1y + + − F1y ∂y rot F~1 × F~2 ∂x ∂y ∂z ∂ F1x F2y−F1y F2x F1z F1z F2z ∂z ∂ F2x F1x F2x ∂x ∂F1x ∂F1y ∂F1z ∂ F1y − F2y + F2y ∂y + + ∂x ∂y ∂z ∂ F2z F1z F2z ∂z ~ F~2 + F~2 ∇ ~ F~1 − F~2 div F~1 = F~1 div F~2 − F~1 ∇ Bei wiederholter Anwendung der Differentialoperatoren sind folgende Rechenregeln zu beachten ∂Φ ∂ ∂Φ 2 2 2 ∂x ∂x ∂x = ∂ ∂Φ = ∂ Φ + ∂ Φ + ∂ Φ = 4 Φ div (grad Φ) = div ∂Φ ∂y ∂y ∂y 2 2 ∂x ∂y ∂z 2 ∂Φ ∂ ∂Φ ∂z
∂z
∂z
2 ∂2Φ ∂ Φ ~e − ~ e ~ e 0 x y z ∂y∂z ∂z∂y ∂x ∂x 2Φ ∂ ∂2Φ ∂ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ × ∂y = ∂x ∂y ∂z = ∂z∂x − ∂x∂z = 0 = ~0 rot (grad Φ) = ∂y ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂Φ ∂2Φ ∂2Φ 0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂x∂y − ∂y∂x ∂ ∂Fz ∂Fy − ∂y ∂z ∂x ∂ 2 Fy ∂ 2 Fy ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx ∂ ∂Fx z div rot F~ = ∂y ∂z − ∂F ∂x = ∂x∂y − ∂x∂z + ∂y∂z − ∂y∂x + ∂z∂x − ∂z∂y = 0 ∂Fy ∂ ∂Fx ∂z ∂x − ∂y ∂ 2 Fy ∂ 2 Fx ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz ∂ ∂Fz ∂Fy − ∂y2 − ∂z 2 + ∂x∂z − ∂y ∂z ∂x ∂x∂y 2 2 2F 2F ∂F ∂ ∂Fz ∂ x ~ z x rot rot F = × ∂z − ∂x = ∂y∂z − ∂∂zF2y − ∂∂xF2y + ∂∂x∂y ∂y ∂F 2 ∂ y ∂Fx ∂ Fy ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz ∂ 2 Fz − ∂z ∂x ∂y ∂x∂z − ∂x2 − ∂y 2 + ∂y∂z 2 2 ∂ 2 Fx ∂ 2 Fy ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx ∂ 2 Fx ∂ 2 Fx 2 2 ∂ Fy ∂ Fx ∂ Fx ∂ Fz + + 2 + ∂y 2 + ∂z 2 2 + ∂x∂y + ∂x∂z ∂x∂z ∂y 2 ∂z 2 ∂x∂y ∂x ∂∂x 2F 2F 2F 2F 2F 2F 2F 2F ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y ∂ ∂ z x y y x z − y ∂ 2 Fy ∂ 2 Fy = = + + 2 + ∂y∂z − ∂x2 + ∂y 2 + ∂z 2 2 2 ∂x∂y + ∂y∂z ∂x∂y ∂y ∂x ∂z 2 2 ∂ 2 Fz ∂ 2 Fz ∂ 2 Fy ∂ 2 Fy ∂ 2 Fz ∂ 2 Fx ∂ 2 Fx ∂ 2 Fz + ∂∂yF2z + ∂∂zF2z + 2 + ∂y 2 ∂x ∂x2 ∂x∂z ∂y∂z ∂x∂z + ∂y∂z + ∂z 2 ∂ 2 Fx 2 2 ∂x ∂F ∂F ∂F ∂ ∂ ∂ y x z ∂ Fy = grad div F~ − 4 F~ = ∂y + + − + + ∂x ∂y ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂ Fz ∂z ∂Φ
∂Φ
12
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Spezialfälle der Anwendung der Vektor-Differentialoperatoren sind ∂ x ∂x p 2x 2y 2z 1 ~r ∂ 2 2 2 y = grad r = x + y + z = √ ~ex + √ ~ey + √ ~ez = ∂y r r 2 ··· 2 ··· 2 ··· ∂ z ∂z ∂ ~r (r)~er = ~er = ∂r r ∂ x ∂x 1 1 2x 2y 2z 1 ~r ∂ p grad = ∂y = − √ 3 ~ex − √ 3 ~ey − √ 3 ~ez = − 3 y = − 3 2 2 2 r r r x +y +z 2 ··· 2 ··· 2 ··· ∂ z ∂z ∂ 1 1 ~r = ~er = − 2 ~er = − 3 ∂r r r r ∂ x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂ y = div ~r = ∂y + + =3 ∂x ∂y ∂z ∂ z ∂z =
= div
~r r3
=
4(ln r) = =
rot ~r =
rot (~c × ~r) =
=
3r2 1 ∂ 2 r · r = 2 =3 r2 ∂r r 1 1 3 ∂ 1 3 3 3 3 div | {z ~r} · r3 + ~r · grad r3 = r3 + ~r · ∂r r3 ~er = r3 − ~r r4 ~er = r3 − r3 = 0 =3 ~er ~r ∂ (ln r)~er = div = div div grad(ln r) = div ∂r r r2 1 1 3 ∂ 1 3 2 3 2 1 div | {z ~r} · r2 + ~r · grad r2 = r2 + ~r · ∂r r2 ~er = r2 − ~r r3 ~er = r2 − r2 = r2 =3 ∂z ∂y ∂ ~ e ~ e ~ e 0 x ∂y − ∂z ∂x x ∂y ∂z ∂x = − ∂z ∂ × y = ∂ 0 = ~0 ∂y ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x = ∂y ∂ ∂x 0 z x y z ∂z ∂x − ∂y ∂vz ∂v ~ex ~ey ~ez − ∂zy cy z − cz y vx ∂y ∂ ∂v ∂ ∂ ∂vz x rot cz x − cx z = rot vy = ∂x ∂y ∂z = ∂z − ∂x ∂vy v ∂vx cx y − cy x vz vy vz x ∂x − ∂y cx − (−cx ) cx cy − (−cy ) = 2 cy = 2~c cz − (−cz ) cz
∂ f (r) ~er × ~r rot (f (r)~r) = grad f (r) × ~r + f (r) · rot ~r = |{z} ∂r =~0
0
= f (r)~er × (r~er ) = ~0
(da ~er × ~er = ~0)
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
13
1.5 Oberflächenintegral einer Vektorfunktion Gegeben ist ein Vektorfeld F~ (~r) durch x2 F~ (~r) = x2~ex + y 2~ey + z 2~ez = y 2 z2
Das Integral über die Oberfläche des Einheitswürfels berechnet sich unter Nutzung des Gaußschen Integralsatzes gemäß ~ · F~ (~r) = ∂ x2 + ∂ y 2 + ∂ z 2 = 2(x + y + z) div F~ (~r) = ∇ ∂x ∂y ∂z ‹
˚
ˆ1 ˆ1 ˆ1 div F~ (~r)dV = 2
~ = F~ (~r)dA
0
V
∂V
(x + y + z)dxdydz
ˆ1 ˆ1 = 2 0
0
0
1 + y + z dydz = 2 2
ˆ1
z2 (1 + z)dz = 2 +z 2
0
0
1 =3 0
1.6 Berechnung der Skalarfunktion einer Vektorfunktion 1 Damit das Vektorfeld
x + 2y + az ~ (~r) = (x + 2y + az)~ex + (bx − 3y − z)~ey + (4x + cy + 2z)~ez = bx − 3y − z V 4x + cy + 2z wirbelfrei ist, muss die Rotation ~ex ∂ ~ ~ ~ rot V (~r) = ∇ × V (~r) = ∂x V 1
~ey ∂ ∂y
V2
~ez V3y − V2z c+1 ∂ V1z − V3x = a − 4 ∂z = b−2 V2x − V1y V 3
verschwinden. Dies ist der Fall, wenn die Konstanten a = 4, b = 2 und c = −1 sind. Die zugehörige Skalarfunktion Φ(~r) bestimmt sich nun aus dem Gradienten ∂Φ ~ r) = grad Φ(~r) = ∇Φ(~
∂x ∂Φ =! ∂y ∂Φ ∂z
V1 ~ (~r) V2 = V V3
wie folgt ∂Φ Φx = ∂x ∂Φ Φy = ∂y ∂Φ Φz = ∂z
ˆ
x2 + 2(y + 2z)x + C1 (y, z) 2 ˆ 3 ! 0 = 2x + C1 (y, z) = 2x − 3y − z ⇒ C1 (y, z) = C10 (y, z)dy = − y 2 − zy + C2 (z) 2 ˆ ! = 4x − y + C20 (z) = 4x − y + 2z ⇒ C2 (z) = C20 (z)dz = z 2 + K = x + 2y + 4z
Φ(x, y, z) =
⇒
Φ(x, y, z) =
Φx dx =
1 2 3 2 x − y + z 2 + 2xy + 4xz − yz + K 2 2
mit K ∈ R
14
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
1.7 Berechnung der Skalarfunktion einer Vektorfunktion 2 Das gegebene Vektorfeld 2xy 3 z 4 + 2 ~ (~r) = (2xy 3 z 4 + 2)~ex + (3x2 y 2 z 4 )~ey + (4x2 y 3 z 3 )~ez = 3x2 y 2 z 4 V 4x2 y 3 z 3 ist ein Potentialfeld genau dann, wenn es wirbelfrei ist, d.h. wenn die Rotation ~ex ~ey ~ez 12x2 y 2 z 3 − 12x2 y 2 z 3 V3y − V2z ∂ ∂ ∂ ~ (~r) = ∇ ~ ×V ~ (~r) = 8xy 3 z 3 − 8xy 3 z 3 rot V ∂x ∂y ∂z = V1z − V3x = V V V V2x − V1y 6xy 2 z 4 − 6xy 2 z 4 1 2 3 verschwindet. Die Berechnung des Potentials erfolgt analog zu Aufgabe 1.6. Das Vektorfeld ist wiederum über dessen Gradienten ∂Φ V1 ∂x ~ (~r) ~ r) = ∂Φ =! V2 = V grad Φ(~r) = ∇Φ(~ ∂y ∂Φ V3 ∂z definiert. Konkret erhält man hieraus nun ∂Φ ∂x ∂Φ Φy = ∂y ∂Φ Φz = ∂z
Φx =
= 2xy 3 z 4 + 2
ˆ
Φx dx = x2 y 3 z 4 + 2x + C1 (y, z) ˆ ! 2 2 4 0 2 2 4 = 3x y z + C1 (y, z) = 3x y z ⇒ C1 (y, z) = C10 (y, z)dy = 0 + C2 (z) ˆ ! 2 3 3 0 2 3 3 = 4x y z + C2 (z) = 4x y z ⇒ C2 (z) = C20 (z)dz = 0 + K ⇒
Φ(x, y, z) = x2 y 3 z 4 + 2x + K
Φ(x, y, z) =
mit K ∈ R
Mit der zusätzlichen Bedingung, dass Φ0 = Φ(0, 0, 0) = 0 gelten soll, folgt K = 0 und damit Φ(x, y, z) = x2 y 3 z 4 + 2x
1.8 Anwendung des Laplace-Operators Die Skalarfunktion
Φ(~r) = cos(mx) cos(ny)e−
√
m2 +n2 z
erfüllt die Laplace-Gleichung, da für ihre jeweiligen Ableitungen √
m2 +n2 z √ − m2 +n2 z
Φx = −m sin(mx) cos(ny)e− Φxx = −m2 cos(mx) cos(ny)e Φy = −n cos(mx) sin(ny)e− Φyy = −n2 cos(mx) cos(ny)e
√
= −m2 Φ
m2 +n2 z
√ − m2 +n2 z
= −n2 Φ
√ p 2 2 Φz = − m2 + n2 cos(mx) cos(ny)e− m +n z √ 2 2 Φzz = m2 + n2 cos(mx) cos(ny)e− m +n z = m2 + n2 Φ
gilt und damit insgesamt folgt 4 Φ(~r) = Φ(~r)xx + Φ(~r)yy + Φ(~r)zz = −m2 − n2 + m2 + n2 Φ(~r) = 0
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
15
1.9 Prüfen auf Quellen und Wirbel Für die Vektorfunktionen F~1 (~r) und F~2 (~r), gegeben durch F~1 (~r) = cr~er = c~r
bzw.
F~2 (~r) = cr cos ϑ~er = Fr~er
mit c ∈ R
gilt div F~1 (~r) = div (c~r) = c div | {z ~r} = 3c 6= 0 =3
rot F~1 (~r) = rot (c~r) = c rot ~r = ~0 |{z} =~0
womit gezeigt ist, dass F~1 keine Quellen und keine Wirbel aufweist. Zur Berechnung von Divergenz und Rotation der Funktion F~2 nutzt man zweckmäßigerweise die Darstellung der Differentialoperatoren in Kugelkoordinaten und erhält mit 1 ∂ r2 Fr 1 ∂ cr3 cos ϑ π ~ div F2 (~r) = = 2 = 3c cos ϑ 6= 0 für ϑ 6= 2 r ∂r r ∂r 2 ∂ 1 − (cr cos ϑ) ~eϕ = c sin ϑ~eϕ 6= ~0 rot F~2 (~r) = r ∂ϑ die Aussage, dass diese weder quellen- noch wirbelfrei ist.
1.10 Quellenfreies Wirbelfeld und wirbelfreies konservatives Vektorfeld ~ (~r) = rot F~ (~r) ist stets quellenfrei, denn es gilt Ein Wirbelfeld W ~ (~r) = div rot F~ (~r) = 0 div W Ein Vektorfeld F~ (~r), welches sich als Gradient einer skalaren Funktion Φ darstellen lässt (d.h. ein konservatives Vektorfeld), ist stets wirbelfrei, da gilt F~ (~r) = grad Φ
⇒
rot F~ (~r) = rot (grad Φ) = ~0
16
2
MAXWELL-GLEICHUNGEN UND ABGELEITETE GLEICHUNGEN
2 Maxwell-Gleichungen und abgeleitete Gleichungen 2.1 Maxwell-Gleichungen in Differentialform Die Maxwell-Gleichungen lauten in Differentialform ~+ ∂B ~ =0 rot E ∂t ~ − ∂D ~ = J~ rot H ∂t
~ =% div D ~ =0 div B Zusammen mit den Materialgleichungen
~ ~ + P~ ~ = ε0 E = ε0 εr E D ~ ~ +M ~ = µ0 µr H ~ = µ0 H B ~ J~ = κE beschreiben sie das Verhalten elektrischer und magnetischer Felder in Materie. Für homogene, isotrope, lineare Medien (d.h. ε = ε0 εr und µ = µ0 µr sind räumlich konstante, skalare Größen und nicht vom Betrag der Feldgrößen abhängig) folgt nun ~ = ε div E ~ =% ~ =% ~ = div εE → div E div D ε ~ ~ ~ ~ div B = div µH = µ div H = 0 → div H = 0 ~ ∂ ~ ~ + µ ∂H = 0 µH = rot E ∂t ∂t ~ ~ ~ + ∂ εE ~ = κE ~ + ε ∂E ~ = J~ + ∂ D = κE rot H ∂t ∂t ∂t
~+ rot E
~ ∂B ∂t
~+ = rot E
~ = −µ rot E
→
~ ∂H ∂t
2.2 Überführung der Maxwell-Gleichungen von Differential- in Integralform Für die Umformung der Maxwellschen Gleichungen von Differential- in Integralform werden die Integralsätze von Gauß und Stokes benötigt. Sie lauten ‹ ˚ ˛ ¨ ~= ~ F~ dA div F~ dV F~ d~r = rot F~ dA ∂V
Damit schreibt man nun
V
˚
‹
~ = %V div D
~ div DdV = V ˚
~ =0 div B
˚ ~ A ~ = Dd
‹
~ div BdV =
~ A ~ = Bd ∂V
¨
0dV = 0 V
¨
¨ ~ ∂B ~ = ~=0 dA 0dA ∂t
A
˛
~ A ~+ rot Ed A
%V dV = Q V ˚
∂V
V
~ ~ + ∂B = 0 rot E ∂t
A
∂A
A
¨
~ r = − Ed~
~ − rot H
~ ∂D = J~ ∂t
¨
¨ ~ A ~− rot Hd
A
A
∂A
~ ∂D ~ = dA ∂t
¨
A
~ A ~ Jd A
˛
¨ ~ r = Hd~
∂A
~ ∂B ~ dA ∂t
¨ ~ A ~+ Jd
A
A
~ ∂D ~ dA ∂t
2
MAXWELL-GLEICHUNGEN UND ABGELEITETE GLEICHUNGEN
17
2.3 Poisson-Gleichung für homogenes dielektrisches Medium Bei Betrachtung des elektrostatischen Feldes ist die zeitliche Ableitung in der betreffenden Maxwell~ Damit ist dieses ein konservatives Vektorfeld und Gleichung Null und es folgt die Wirbelfreiheit von E. als Gradient eines Potentialfeldes Φ darstellbar. Es gilt ~ ~ + ∂ B = rot E ~ = ~0 rot E ∂t |{z}
⇒
~ = − grad Φ E
=0
In einem isotropen, linearen und homogenen Dielektrikum ist die Permittivität ε = ε0 εr wegen der Isotropie ein Skalar (d.h. sie wird nicht von der Richtung des Feldes bestimmt), aufgrund der Homogenität räumlich konstant (also ε 6= ε(~r)) und infolge der Linearität auch nicht selbst vom Betrag der ~ Feldstärke abhängig (ε 6= ε(E)), sodass man weiterhin schreiben kann % ~ r) = div εE(~ ~ r) = ε div(− grad Φ(~r)) = −ε 4 Φ(~r) = % div D(~ ⇒ 4 Φ(~r) = − ε
2.4 Poisson-Gleichung für homogenes permeables Medium ~ ist Im Falle eines in einem Medium fließenden Gleichstromes, d.h. mit konstanter Stromdichte J~ = κE, die zeitliche Ableitung des elektrischen Verschiebungsfeldes Null. Für die magnetische Induktion führt ~ ein, für das gelten soll man nun ein Vektorpotential A (i)
(ii)
~ = rot A ~ B
~=0 div A
Die zweite Bedingung wird dabei als sogenannte Coulomb-Eichung bezeichnet und ist notwendig, da das Vektorpotential durch (i) nicht eindeutig bestimmt ist und man beispielsweise schreiben kann ~0 = A ~ + grad χ mit A
⇒
~ 0 = rot A ~ + rot (grad χ) = rot A ~ rot A | {z } =0
Damit leitet sich die Poisson-Gleichung des magnetischen Vektorpotentials aus den Maxwellschen Gleichungen wie folgt ab ~ ∂D ~ = 1 rot rot A ~ = 1 ~ −4A ~ rot H grad div A = J~ + µ µ ∂t | {z } |{z} =0
=0
1 ~ = J~ − 4A µ ~ = −µJ~ 4A
2.5 Poisson-Gleichung für inhomogenes dielektrisches Medium Analog zu Aufgabe 2.3 berechnet man für ein inhomogenes Dielektrikum (mit ortsabhängiger Permittivität ε = ε(~r)) ~ r) = div ε(~r)E(~ ~ r) = − grad ε(~r) · grad Φ(~r) − ε(~r) · 4 Φ(~r) = % div D(~
18
2
MAXWELL-GLEICHUNGEN UND ABGELEITETE GLEICHUNGEN
2.6 Entkoppelung der Maxwell-Gleichungen Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen in Differentialform wie in Aufgabe 2.1 und unter Anwen~ = grad(div A) ~ − 4A ~ berechnet man für das magnetische Feld dung der Beziehung rot(rot A) ∂ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + rot ∂ εE ~ rot rot H = grad div H − 4 H = rot J + D = rot κE ∂t ∂t | {z } =0 ~ = κ rot E ~ + ε ∂ rot E ~ =κ −∂B ~ +ε ∂ − ∂ B ~ −4H ∂t ∂t ∂t ∂t 2 ~ + εµ ∂ H ~ ~ = κµ ∂ H 4H ∂t ∂t2 2~ ~ 1 ~ = ∂ H + κ ∂H 4H εµ ∂t2 ε ∂t und gleichermaßen für das elektrische Feld ∂ ~ ∂ ~ ~ ~ ~ rot rot E = grad div E − 4 E = rot − B = − rot µH ∂t ∂t 1 ∂ ∂ ~ ∂ ~ ~ ~ ~ grad div D − 4 E = −µ rot H = −µ J+ D ε ∂t ∂t ∂t | {z }
=%
2 ~ − εµ ∂ E ~ ~ = −κµ ∂ E − 4E ∂t ∂t2 2~ ~ 1 ~ = ∂ E + κ ∂E 4E 2 εµ ∂t ε ∂t
mit % = const. oder % = 0 folgt
Wiederum wurde hier genutzt, dass ε = ε0 εr und µ = µ0 µr für isotrope Medien skalare Größen darstellen und diese zudem aufgrund der Homogenität im gesamten Medium konstant sind bzw. wegen der Linearität auch keine Abhängigkeit von den Feldgrößen aufweisen. Die Betrachtung erfolgte weiterhin für eine gleichmäßige Ladungsverteilung % = const. bzw. im ladungsfreien Raum mit der Raumladungsdichte % = 0.
2.7 Diffusionsgleichung ~ ~ | ∂D Für niederfrequente Vorgänge mit konstanter Kreisfrequenz gilt aufgrund der Beziehung |J| ∂t | die ~ = J~ (Quasi-Magnetostatik). Weiterhin sind die Materialgrößen ε und quasistatische Näherung rot H µ in einem linearen, isotropen und homogenen Medium skalar, räumlich konstant und nicht selbst von den Feldgrößen abhängig, womit sich schreiben lässt ~ = grad div H ~ − 4H ~ = rot J~ = rot κE ~ = κ rot E ~ rot rot H ! ~ ~ 1 ~ = κ − ∂ B = −µκ ∂ H ~ −4H grad div B µ ∂t ∂t | {z } =0
~ ~ = µκ ∂ H 4H ∂t ~ = He ~ jωt bzw. durch Fourier-Transformation ergibt Unter Verwendung komplexer Zeigergrößen mit H sich aus der letzten Gleichung schließlich die Beziehung ~ = jωµκH ~ 4H
2
MAXWELL-GLEICHUNGEN UND ABGELEITETE GLEICHUNGEN
19
2.8 Wellengleichung (Helmholtzgleichung) Im Falle zeitharmonischer Vorgänge lassen sich die Feldgrößen in komplexer Form wie folgt darstellen ~ = De ~ jωt D
~ = εE ~ D
~ jωt ~ = He H
~ = µH ~ B
∂ ~ ∂ ~ jωt ~ jωt = jω D ~ D= De = jω De ∂t ∂t ∂ ~ ∂ ~ jωt ~ jωt = jω B ~ B= Be = jω Be ∂t ∂t
Damit vereinfachen sich die zeitlichen Ableitungen in den Maxwell-Gleichungen und es gilt ~ = −jω B ~ rot E ~ = (κ + jωε)E ~ rot H
~ =% div D ~ =0 div B
Weiterhin lässt sich für ein isotropes, lineares und homogenes (ε = ε0 εr und µ = µ0 µr sind skalar, räumlich konstant und unabhängig von den Feldgrößen) sowie verlustfreies Medium (mit elektrischer Leitfähigkeit κ = 0 bzw. κ ωε) schreiben h i ~ = grad div H ~ = (κ + jωε) rot E ~ −4H ~ = rot (κ + jωε)E ~ rot rot H | {z } =0
~ ~ = (κ + jωε)jωµH ~ κ=0 = −ω 2 εµH 4H ⇒
~ + ω 2 µεH ~ = 0 4H
2.9 Kontinuitätsgleichung Ausgehend von den Maxwell-Gleichungen und mithilfe des Integralsatzes von Gauß erhält man ~ = J~ + ∂ D ~ rot H ∂t ∂ ~ ∂ ~ ~ ~ = div J~ + ∂ %V div rot H = 0 = div J + D = div J~ + div D ∂t ∂t ∂t ˚ ˚ ∂ ~ 0 = div JdV + %V dV ∂t V V ‹ ~ A ~+ ∂Q = Jd ∂t ∂V
Diese als Kontinuitätsgleichung bezeichnete Relation beschreibt den Zusammenhang zwischen der elektrischen Ladung Q und dem elektrischen Strom innerhalb eines Mediums. Konkret besagt sie, dass die ~ Ladungsänderung ∂Q ∂t in einem abgeschlossenen Volumen einen entsprechenden Ladungsstrom J durch die das Volumen umschließende Oberfläche hervorruft. Anders ausgedrückt können Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden. Eine Erhöhung der Ladung innerhalb des Volumens ist stets mit einem hineinfließenden Strom verbunden und umgekehrt.
20
2
MAXWELL-GLEICHUNGEN UND ABGELEITETE GLEICHUNGEN
2.10 Relaxationszeit Als Relaxation wird der Vorgang zur Herstellung eines Gleichgewichtszustandes bezeichnet, wie er z.B. in einem Medium der Leitfähigkeit κ nach Einbringen einer Ladungsverteilung der Raumladungsdichte %V abläuft. Die einzelnen Ladungsträger verteilen sich hiernach auf der Oberfläche des Körpers, bis sein Inneres ladungs- und feldfrei ist. Beschreiben lässt sich dies mit der in Aufgabe 2.9 hergeleiteten Kontinuitätsgleichung in differentieller Formulierung ∂%V div J~ = − ∂t ~ und D ~ = εE ~ und des Gaußschen Gesetzes die mithilfe der beiden Materialgleichungen J~ = κE der Maxwell-Gleichungen unter Annahme eines homogenen, isotropen und linearen Mediums der Permittivität ε weiter umgeformt wird zu ! ~ κ D ~ ~ ~ = − ∂%V = div div J = div κE = κ div D | {z } ε ε ∂t =%V
Die entstehende Differentialgleichung erster Ordnung ∂%V κ + %V = 0 ∂t ε löst man beispielsweise mittels Trennung der Variablen und anschließender Integration und erhält %ˆV (t)
d%V %V
κ = − ε
ˆt dt0 0
%V (0)
κ ln %V (t) − ln %V (0) = − t | {z } ε =:%V0
⇒
κ t %V (t) = %V0 exp − t = %V0 exp − ε τR
mit
τR =
ε κ
d.h. der Ladungsausgleich im Medium erfolgt gemäß einer exponentiellen zeitlichen Abhängigkeit. Die hierin vorkommende Zeitkonstante τR wird dabei auch Relaxationszeit genannt. Sie besitzt die Einheit As Vm [τR ] = Vm A = s und ist jeweils charakteristisch für das entsprechende Material.
3
ELEKTROSTATIK - PUNKTLADUNGEN
21
3 Elektrostatik - Punktladungen 3.1 Drei Punktladungen Die von den Ladungen Q2 = −Q und Q3 = Q auf die Punktladung Q1 = Q wirkende Kraft F~ berechnet sich nach dem Coulomb-Gesetz und mithilfe des Superpositionsprinzips gemäß F~ij
=
~r1 =
Qi Qj (~rj − ~ri ) Kraft von Qi auf Qj , Ladungen am Ort ~ri bzw. ~rj 4πε |~rj − ~ri |3 T T T 0 a 0 ~r2 = −a 0 0 ~r3 = a 0 0
Q2 (a~ex + a~ey ) Q2 (~ex + ~ey ) Q2 Q1 (~r1 − ~r2 ) √ = − = − 4πε |~r1 − ~r2 |3 4πε |a~ex + a~ey |3 4πε a2 2 2 Q3 Q1 (~r1 − ~r3 ) Q2 (−a~ex + a~ey ) Q2 (~ex − ~ey ) √ = = = − 4πε |~r1 − ~r3 |3 4πε | − a~ex + a~ey |3 4πε a2 2 2 Q2 (~ex + ~ey + ~ex − ~ey ) Q2 √ √ ~ex = F~21 + F~31 = − =− 4πε a2 2 2 4πεa2 2
F~21 = F~31 F~
3.2 Vier Punktladungen Analog zu Aufgabe 3.1 berechnet man wieder die von den drei Punktladungen Q0 , Q1 = −k1 Q0 und Q2 = −k2 Q0 auf Q3 wirkende Kraft zu x 0 x ~r3 = y ~ri = 0 ~ri3 = y z zi z − zi p |~ri3 | = x2 + y 2 + (z − zi )2 = ri3 mit i = {0, 1, 2} Qi Q3 ~r3 − ~ri Qi Q3 ~ri3 Qi Q3 x~ex + y~ey + (z − zi )~ez = = 3 3 3 4πε |~r3 − ~ri | 4πε |~ri3 | 4πε ri3 2 X x~ex +y~ey +(z−z1 )~ez x~ex +y~ey +(z−z2 )~ez Q0 Q3 x~ex +y~ey +(z−z0 )~ez = F~i3 = − k − k 1 2 3 3 3 4πε r03 r13 r23 i=0
F~i3 = F~
Damit die resultierende Kraft F~ verschwindet, müssen alle Komponenten in x-, y- und z-Richtung Null werden. Hieraus erhält man zwei Bedingungen für die Parameter k1 und k2 (die Auswertung der xund y-Komponente liefert identische Ergebnisse) 1 k1 k2 k1 k2 1 k1 k2 1 ~ex , ~ey : 0 = x 3 − 3 − 3 =y − 3 − 3 → = 3 + 3 3 3 r r13 r23 r03 r13 r23 r03 r13 r23 03 1 k1 k2 z0 k1 z1 k2 z2 z0 k1 z1 k2 z2 ~ez : 0 = z − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 → = 3 + 3 3 3 r r13 r23 r03 r13 r23 r03 r13 r23 | 03 {z } =0
Für die Lösung dieses linearen Gleichungssystems nutzt man z.B. die Cramersche Regel ! ! ! ! 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 k r13 r23 r03 1 = A1 = rz030 rz232 A2 = rz131 rz030 z1 z2 z0 k 2 3 3 3 3 3 3 3 r r r03 r03 r23 r13 r03 | 13 {z 23 } =A
det A =
⇒
k1 =
z2 − z1 (r13 r23 )3
z2 − z0 z 0 − z1 det A2 = 3 (r03 r23 ) (r03 r13 )3 det A1 det A2 z2 − z0 r13 3 z0 − z1 r23 3 = k2 = = det A z2 − z1 r03 det A z2 − z1 r03 det A1 =
22
3
ELEKTROSTATIK - PUNKTLADUNGEN
3.3 Bewegen von Ladungen im Potentialfeld Die mechanische Arbeit zum Bewegen der Ladung Q3 = −Q im elektrostatischen Feld der beiden T Punktladungen Q1 = +Q und Q2 = +Q bei ~r1/2 = 0 0 ±a ist allgemein definiert als das vektorielle Wegintegral der auf Q3 wirkenden (Coulombschen) Kraft F~ 0
ˆ~r3 mit
F~ d~r
Wmech = −
0 b 0 ~r3 = 0 , ~r3 = 0 0 0
~ r3
x 1 und ~r = 0 , d~r = 0 dx 0 0
Die Kraft berechnet man wiederum mittels Superposition zu " # 2 x~ e − a~ e 2x~ex x~ e + a~ e Q2 Q x z x z + F~ = F~31 + F~32 = − = − √ √ √ 3 3 3 4πε 4πε 2 2 2 2 x +a x +a x2 + a2 Entsprechend ergibt sich die mechanische Energie für die Verschiebung aus dem Ursprung nach P3 zu Wmech
Q2 = 4πε
ˆb 0
b Q2 1 Q2 1 1 √ = −√ √ 3 dx = 2πε − x2 + a2 0 2πε a b2 + a2 x2 + a2 207
2x
und zum Entfernen von Q3 aus dem Wirkungsbereich der Ladungen Q1 und Q2 zu Wmech
Q2 lim = 4πε b→∞
ˆb 0
207
Q2 lim dx = √ 3 2πε b→∞ x2 + a2 2x
Integral #207 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik : ˆ xdx 1 √ = −√ X X3
1 1 −√ 2 a b + a2
mit
X = x2 + a2
=
Q2 1 2πε a
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
23
4 Elektrostatik - Coulombintegral 4.1 Linienladung 1 Da die Ladung Q1 über den Bereich 0 ≤ z ≤ c mit der Linienladungsdichte λ = Qc1 gleichmäßig verteilt ist, wird zunächst der Anteil der Kraft dF~ auf Q2 , hervorgerufen durch das differentielle Ladungselement dQ1 = λdz 0 , betrachtet: dF~ =
dQ1 Q2 ~r2 − ~r1 Q1 Q2 ~r2 − ~r1 = dz 0 4πε |~r2 − ~r1 |3 4πεc |~r2 − ~r1 |3
Die Gesamtkraft erhält man anschließend durch Integration über den Bereich der Linienladung. Aufgrund der Zylindersymmetrie des Problems ist hier die Wahl von Zylinderkoordinaten sinnvoll. Mit ~r1 = z 0~ez und ~r2 = %~e% + z~ez ist dann dF~
F~
=
= 206 207
Q1 Q2 %~e% + (z − z 0 )~ez 0 dz p 4πεc %2 + (z − z 0 )2 3 Q1 Q2 4πεc
=
Q1 Q2 4πεc
=
Q1 Q2 4πεc
ˆc
%~e% +(z−z 0 )~ez 0 dz p 2 0 23
ˆc
dz 0
ˆc
(z−z 0 )dz 0
Q1 Q2 %~e% p + ~ez p 4πεc 2 +(z−z 0 )2 3 2 +(z−z 0 )2 3 % +(z−z ) % % 0 0 0 #c #c ! " " 0 1 z−z + ~ez p %~e% − p 2 2 0 2 2 % % +(z−z ) 0 % +(z−z 0 )2 0 ! ! # " z−c 1 1 z p − p ~e% + p −p ~ez %2 +(z−c)2 % %2 +z 2 % %2 +(z−c)2 %2 +z 2 =
Hinweis: Die Kraft F~ kann auch direkt aus dem Coulomb-Integral berechnet werden. Die Linienladung drückt man dazu mithilfe der Delta-Distribution als Raumladung durch %V (x0 , y 0 , z 0 ) = λ(z 0 )δ(x0 )δ(y 0 ) aus mit λ(z 0 ) = λ im Bereich z 0 ∈ [0, c] und λ(z 0 ) = 0 außerhalb. Bei der Bildung des Integrals über den gesamten Raum verbleibt dann aufgrund der Ausblendeigenschaft der Delta-Distribution die Integration entlang der z-Achse: ˚ ˚ e% +(z−z 0 )~ez Q2 r2 − ~r1 Q2 0 0 0 ~ 0 0 0 0 %~ 0 0 0 ~ F = %V (x , y , z ) dV = λ(z )δ(x )δ(y ) p 3 dx dy dz 4πε |~r2 − ~r1 |3 4πε %2 +(z−z 0 )2 ˆ ˆc e% +(z−z 0 )~ez 0 Q1 Q2 %~e% +(z−z 0 )~ez 0 Q2 0 %~ = λ(z ) p dz = dz p 3 4πε 4πεc 2 +(z−z 0 )2 3 %2 +(z−z 0 )2 % 0
206
207
Integral #206 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik : ˆ x dx √ = √ 2 3 a X X Integral #207 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik : ˆ xdx 1 √ = −√ X X3
mit
X = x2 + a2
mit
X = x2 + a2
24
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
4.2 Linienladung 2 QL Die von der Linienladung mit der Linienladungsdichte λ = a−b hervorgerufene elektrische Feldstärke ~ berechnet sich wieder nach dem differentiellen Ansatz wie in Aufgabe 4.1. Dabei ist ~r = x~ex der E Beobachtungspunkt auf der positiven x-Achse und ~r0 = x0~ex der Ort eines Ladungselementes dQ.
~ = dE ~ = E
=
dQ ~r − ~r0 dx0 λdx0 (x − x0 )~ex QL = = ~ex 4πε |~r − ~r0 |3 4πε (x − x0 )3 4πε(a − b) (x − x0 )2 −b ˆ−b dx0 QL 1 QL = ~ex ~ex 4πε(a − b) (x − x0 )2 4πε(a − b) x − x0 −a −a QL 1 QL ~ex 1 ~ex = − 4πε(a − b) x + b x + a 4πε (x + a)(x + b)
4.3 Kreisring mit Linienladung Zur Bescheibung des Problems wählt man günstigerweise Zylinderkoordinaten, sodass sich die durch Q0 den Kreisring gebildete Ladungsverteilung mit der Linienladungsdichte λ = 2πa als Raumladungsverteilung mit der Raumladungsdichte %V (%, ϕ, z 0 ) = λδ(%−a)δ(z 0 ) schreiben lässt. Beobachtungspunkt ist ein Punkt auf der z-Achse mit ~r = z~ez , der Ort der Ladungsverteilung wird beschrieben durch den Quellpunktvektor ~r0 = a~e% . Für das Potential folgt dann ˚ ˚ 1 %V (%, ϕ, z 0 ) 1 λδ(% − a)δ(z 0 ) Φ(z) = dV = %dϕd%dz 0 4πε |~r − ~r0 | 4πε |z~ez − a~e% | ˆ2π adϕ 2πa Q0 Q0 Q √ √ √ 0 = = = 2 2 2 2 4πε(2πa) 4πε(2πa) z + a z +a 4πε z 2 + a2 0
~ = − grad Φ zu Das elektrische Feld bestimmt sich nun aus der Beziehung E " ! # ∂Φ(z) ∂Φ(z) Q Q0 ∂Φ(z) z~ez 2z 0 ~ ~ez = E(z) = − √ 3 ∂x ~ex + ∂y ~ey + ∂z ~ez = − 4πε − √ 2 4πε z 2 + a2 3 2 z + a2 | {z } | {z } =0
=0
1
1
2 2 a)
0.4 0.2 0 −8 −6 −4 −2
0.5
√
0.6
Ez (z)/Ez (
Φ(z)/Φ(0)
0.8
0 z/a
2
4
6
8
0
−0.5
−1 −8 −6 −4 −2
0
2
4
6
z/a
Abbildung 4.1: Normierte Verläufe des elektrischen Potentials Φ( az ) und der Feldstärke Ez ( az )
8
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
25
4.4 Kreisbogen mit Linienladung Die Berechnung des Potentials und der elektrischen Feldstärke erfolgt analog zu Aufgabe 4.3. Statt eines geschlossenen Kreisrings besteht die Ladungsverteilung nun allerdings aus zwei Viertelkreisbögen und für die Raumladungsdichte gilt ( 2Q0 für ϕ ∈ [ π2 , π] ∨ [ 3π 0 0 2 , 2π] %V (%, ϕ, z ) = λ(ϕ)δ(%−a)δ(z ) mit λ(ϕ) = πa 0 sonst Somit ist Φ(z) =
=
˚
%V (%, ϕ, z 0 ) 1 dV = 0 |~r − ~r | 4πε
˚
λ(ϕ)δ(% − a)δ(z 0 ) %dϕd%dz 0 |z~ez − a~e% | ˆ2π ˆπ ˆ2π λ(ϕ)adϕ Q 1 Q √0 √ 0 √ = dϕ + dϕ = 2 2 2 2 2 4πε z +a 2π ε z + a π 2πε z 2 + a2 1 4πε
0
3π 2
2
"
∂Φ(z) Q0 ~ E(z) = − ~ez = − ∂z 2πε
2z − √ 3 2 z 2 + a2
!
# ~ez =
Q0 z~ez √ 2πε z 2 + a2 3
4.5 Geschlossener Halbkreisbogen mit Linienladung Da die gegebene Ladungsverteilung keine spezielle Symmetrie aufweist, berechnet man das Potential abschnittsweise - für das geradlinige Wegstück P1 P2 in kartesischen und für den Halbkreisbogen P2 P3 P1 Q . in Zylinderkoordinaten. Die Linienladungsdichte beträgt auf dem gesamten Weg λ = 2a+πa ˚ ˚ 1 λ(y 0 )δ(x0 )δ(z 0 ) 0 0 0 1 λ(ϕ)δ(% − a)δ(z 0 ) Φ(z) = dx dy dz + %dϕd%dz 0 4πε |z~ez − y 0~ey | 4πε |z~ez − a~e% | 3π ˆa ˆ2 0 1 Q dy adϕ = + √ p 2 4πε (2 + π)a z 2 + a2 z + y 02 π −a 2 # " √ 192 Q aπ a + z 2 + a2 √ = ln + √ 2 a − z 2 + a2 4πε(2 + π)a z + a2
4.6 Kreisscheibe mit konstanter Flächenladungsdichte Die Raumladungsdichte der mit der konstanten Flächenladung %F belegten Kreisscheibe drückt sich in Zylinderkoordinaten durch %V (%, ϕ, z 0 ) = %F δ(z 0 ) für % ≤ a und ϕ ∈ [0, 2π] aus. Mit dem Quellpunktvektor ~r0 = %~e% berechnet sich das Potential auf der z-Achse zu ˚ ˚ 1 %V (%, ϕ, z 0 ) 0 1 %F δ(z 0 ) Φ(z) = dV = %dϕd%dz 0 4πε |~r − ~r0 | 4πε |z~ez − %~e% | ˆa ˆ2π i a % p √ %F % %F hp 2 F p = dϕd% = z + %2 = z 2 + a2 − z 2 4πε 2ε 2ε 0 z 2 + %2 0
0
Entsprechend folgt für die elektrische Feldstärke % 2z % z 1 1 ∂Φ(z) 2z F F ~ √ √ −√ E(z) = − ~ez = − − √ ~ez = ~ez ∂z 2ε 2 z 2 + a2 2 z 2 2ε z 2 + a2 z2 192
Integral #192 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik : ˆ √ dx √ = ln x + X + C1 X
mit
X = x2 + a2
und
C1 ∈ R
26
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
4.7 Kreisscheibe mit ortsabhängiger Flächenladungsdichte Besitzt die Kreisscheibe aus Aufgabe 2 4.6 keine gleichmäßige, sondern eine radial verteilte Flächenladung mit Ladungsdichte %F (%) = %F0 a% , so bestimmt sich die elektrische Feldstärke auf der z-Achse zu ~ E(z)
=
=
t:=z 2+%2
=
=
˚ z~ez − %~e% ~r − ~r0 1 0 %V (%, ϕ, z ) dV = %F (%)δ(z 0 ) %dϕd%dz 0 0 3 |~r − ~r | 4πε |z~ez − %~e% |3 ˆa ˆ2π ˆa ez − %~e% %F0 %3 z~ez %F0 3 z~ % dϕd% = p p 3 3 d% 4πεa2 2εa2 2 + %2 2 + %2 z z 0 0 0 t(a) t(a) ˆ ˆ ˆt(a) 2 t−z %F0 z 1 dt dt %F0 z 1 √ − z2 ~ez · √ 3 dt = √ 3 ~ez 2 2 2εa 2 2εa 2 t t t t(0) t(0) t(0) " #a %F0 z p 2 2z 2 z2 %F0 z 2z 2 + a2 2 √ ~ez −√ z +% + p ~ez = 2εa2 2εa2 z 2 + a2 z2 z 2 + %2 0 1 4πε
˚
0
Bei der vektoriellen Integration ist zu beachten, dass der Radialeinheitsvektor ~e% im Gegensatz zum kartesischen Einheitsvektor ~ez nicht konstant bleibt und sich die Beiträge in radialer Richtung im Falle einer symmetrischen Integration über den Winkel ϕ gegenseitig aufheben. Dies wird deutlicher, wenn man den Radialeinheitsvektor in kartesischen Koordinaten formuliert: ˆ2π ˆ2π ˆ2π ˆ2π ~e% dϕ = (cos ϕ~ex + sin ϕ~ey ) dϕ = ~ex cos ϕdϕ +~ey sin ϕdϕ = ~0 0
0
|0
{z
=0
}
|0
{z
=0
}
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
27
4.8 Parallele Platten mit Flächenladung Zur Beschreibung des Problems wählt man kartesische Koordinaten. Der Beobachtungspunkt auf der x-Achse ist durch den Ortsvektor ~r = x~ex , der Ort der Ladungsverteilung auf den parallelen Platten 0 bei z 0 = ±c durch die Quellpunktvektoren ~r1/2 = x0~ex + y 0~ey ± c~ez gegeben. Die Raumladungsdichte 0 0 formuliert sich somit als %V1/2 = %F1/2 (x , y )δ(z 0 ∓ c) mit %F1/2 = ±%0 im Bereich x0 ∈ [−a, a] und y 0 ∈ [−b, b]. Die elektrische Feldstärke ist dann ˚ ˚ ˚ 1 r − ~r0 ~r − r~1 0 1 ~r − r~2 0 0 0 0 ~ 0 0 0 ~ E(x) = %V (x , y , z ) %V1 dV = dV + %V2 dV 4πε |~r − ~r0 |3 4πε |~r − r~1 0 |3 |~r − r~2 0 |3 "¨ # ¨ (x − x0 )~ex − y 0~ey − c~ez 0 0 (x − x0 )~ex − y 0~ey + c~ez 0 0 %0 = dx dy − p p 3 3 dx dy 4πε (x − x0 )2 + y 02 + c2 (x − x0 )2 + y 02 + c2 ˆb ˆa ˆa ˆb 0 0 dx dy % c %0 dy 0 m:=(x−x0 )2 +c2 0 0 = − = −2c~ez ~ez p p 3 3 dx 4πε 2πε 0 2 02 2 02 (x − x ) + y + c m+y −b −a
ˆa
"
−a −b
ˆa
#b
%0 c y0 dx0 %0 bc p p ~ez dx0 = − ~ez 2πε πε [(x−x0 )2 + c2 ] (x−x0 )2 + b2 + c2 m m + y 02 −b −a −a " #a %0 bc 1 (x − x0 )b ~ez arctan p πε bc c (x−x0 )2 + b2 + c2 −a ! %0 (x − a)b (x + a)b ~ez arctan p − arctan p πε c (x−a)2 + b2 + c2 c (x+a)2 + b2 + c2
−
= 267
=
=
1
Ez (x)/Ez (0)
0.8 0.6 0.4 0.2 0 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x/a Abbildung 4.2: Normierter Verlauf der elektrischen Feldstärke Ez ( xa ), beispielhaft für 2a = b = c.
267
Integral #267 nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik : √ ˆ dx 1 x ag−bf p = √ √ arctan √ p b ag−bf (ax2 + b) f x2 +g b f x2 +g
(ag−bf > 0)
28
4
ELEKTROSTATIK - COULOMBINTEGRAL
4.9 Homogene Raumladung in Form einer Kugel Die kugelsymmetrische und homogene Raumladung wird durch die Ladungsverteilung %(r0 , ϑ, ϕ) = %0 im Bereich r0 ∈ [0, a], ϑ ∈ [0, π] und ϕ ∈ [0, 2π] mit dem Quellpunktvektor ~r0 = r0 e~r 0 beschrieben. Der Beobachtungspunkt befindet sich bei ~r = r~er . Zur Vereinfachung legt man diesen auf die positive z-Achse, was aufgrund der Kugelsymmetrie ohne Einschränkungen möglich ist. Damit entfällt die Abhängigkeit des Abstandes |~r − ~r0 | vom Winkel ϕ, der Betrag des Differenzvektors lässt sich mithilfe des Kosinussatzes als |r~er − r0 e~r 0 |2 = r02 + r2 − 2rr0 cos ϑ schreiben und für das Skalarpotential folgt Φ(~r)
1 4πε
=
˚
ˆ2πˆπ ˆa
%V (r0 , ϑ, ϕ) 0 %0 dV = 0 |~r − ~r | 4πε
0
%0 4πε
=
ˆ2π
ˆπ dϕ
0 m = 2rr0 n = r2 +r02
=
0
%0 2ε
r02
%0 2ε
ˆa
0
t:=cos ϑ
=
ˆπ ˆa
r02 sin ϑdr0 dϑ r2 + r02 − 2rr0 cos ϑ 0 0 ˆa ˆt(π) %0 dt 0 √ r02 − dr 2ε n − mt √
0
0
ˆa 0
=
0
0
%0 r02 sin ϑdr0 dϑ √ = 2 02 0 2ε r + r − 2rr cos ϑ
π ˆa ˆ %0 sin ϑdϑ 0 r02 √ dr 2ε n − m cos ϑ 0
=
ˆa
r02 sin ϑdr0 dϑdϕ |r~er − r0 e~r 0 |
t(0)
t(π) ˆa 0 hp iπ 2√ r %0 0 n − mt r2 +r02 − 2rr0 cos ϑ dr0 dr = m 2ε r 0 t(0) 0
ˆa 0 p %0 r 0 p r 0 0 2 0 2 (r + r ) − (r − r ) dr = |r + r0 | − |r − r0 | dr0 r 2ε r
0
0
Befindet man sich innerhalb der Kugel, so ist eine Fallunterscheidung zum Auflösen der Beträge und somit eine Aufspaltung in zwei Bereichsintegrale notwendig: r ˆa ˆa 0 ˆ %0 r % 0 Φ(~r) = |r+r0 |−|r−r0 | dr0 = r0 r+r0 −r+r0 dr0 + r0 r+r0 +r−r0 dr0 2ε r 2εr r 0 0 r 03 r 02 a 2 ˆ ˆa %0 r r %0 a r2 %0 02 0 0 0 = +r = − (r ≤ a) r dr + r r dr = εr εr 3 0 2 r ε 2 6 r
0
Außerhalb der Ladungsverteilung gilt dagegen %0 Φ(~r) = 2ε
ˆa
%0 r0 |r + r0 | − |r − r0 | dr0 = r εr
0
ˆa
a %0 r03 %0 a3 r dr = = εr 3 0 ε 3r 02
0
0
Das elektrische Feld bestimmt sich wiederum aus dem Gradienten des Potentials ∂Φ ∂Φ ~ r) = − ∂Φ ~er + 1 ∂Φ ~eϑ + 1 ~eϕ = − ~er E(~ ∂r r |{z} ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ∂r |{z} =0
~ r) = E(~
=0
% r %0 0 ~er = ~r 3ε 3ε
r≤a
3 3 %0 a ~er = %0 a ~r 3ε r2 3ε r
r>a
(r > a)
5
ELEKTROSTATIK - GAUßSCHE METHODE
29
5 Elektrostatik - Gaußsche Methode 5.1 Unendlich langer Zylinderkondensator Das Skalarpotential des unendlich langen Zylinderkondensators mit Innenradius Ri und Außenradius Ra soll unter Nutzung der Gaußschen Methode bestimmt werden. Der hierfür erforderliche Ansatz leitet sich aus den Maxwellschen Gleichungen durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes ab ~ r) = ε div E(~ ~ r) = %V (~r0 ) div D(~ ‹ ˚ 1 0 ~ ~ ~ E(~r)dA = div E(~r)dV = %V (~r0 )dV 0 ε
˚
∂V 0
V0
V0
Das Integrationsvolumen V 0 ist dabei beliebig wählbar. Aufgrund der vorliegenden Zylindersymmetrie wird daher ein koaxial um die Ladungsverteilung angeordnetes Zylindervolumen mit Radius % gewählt. Dies gestattet zugleich die Vereinfachung des vektoriellen zu einem skalaren Integral, da der Feldvektor ~ = E%~e% und der Normalenvektor der Oberfläche dA ~ = dA~e% an jedem Punkt parallel zueinander E ~ A ~ = E% dA ist. Man kann also schreiben verlaufen und somit Ed ‹ ˚ 1 E% (%)%dϕdz = %V Θ(%0 − Ri )Θ(Rl − %0 )%0 d%0 dϕ0 dz 0 ε ∂V 0
ˆ2π E% (%)%
ˆ∞ dz =
dϕ 0
V0 ˆ2π %V
ε
−∞
dϕ0 −∞
0
E% (%) =
%V ε%
ˆ%
ˆ∞ dz 0
%0 Θ(%0 − Ri )Θ(Rl − %0 )d%0 0
ˆ% %0 Θ(%0 − Ri )Θ(Rl − %0 )d%0 0
Zur Darstellung der Raumladungsdichte wurde hierbei die Einheitssprungfunktion1 Θ genutzt, um auszudrücken, dass %V nur im Bereich Ri ≤ % ≤ Rl definiert ist. Befindet man sich innerhalb der Innenelektrode mit % < Ri , so wird vom Integrationsvolumen keine Ladung umschlossen und das elektrische Feld ist Null. Im Inneren der Ladungsverteilung ist nur ein Teil der Ladung im Integrationsvolumen enthalten und es ist % ˆ% %V %V %02 %V Ri2 0 0 E%,i (%) = % d% = = %− (Ri ≤ % ≤ Rl ) ε% ε% 2 Ri 2ε % Ri
Außerhalb der Ladungsverteilung umschließt man dagegen die gesamte Ladung, wobei die HeavisideFunktion allerdings nur einen Beitrag für Ri ≤ % ≤ Rl zur Integration liefert, sodass gilt %V E%,a (%) = ε%
ˆRl
R %V %02 l %V Rl2 − Ri2 = % d% = ε% 2 Ri 2ε % 0
Ri
0
(% > Rl )
Das Skalarpotential berechnet sich nun über den Gradienten aus dem elektrischen Feld gemäß ~ r) = − grad Φ(~r) = − ∂Φ(~r) ~e% E(~ ∂% ˆ% ˆ% Φ(~r0 )d%0 = Φ(%) − Φ(%0 ) − E(~r0 )d%0 = %0 1
%0
Diese auch als Heaviside-Funktion oder Stufenfunktion bezeichnete Distribution ist definiert durch ( 0 : x Rl )
und für das Potential im Inneren gilt ˆRl Φi (%) = −
ˆ% 0
0
E%,a (% )d% −
Ra
|
%V E%,i (%0 )d%0 = Φa (Rl ) − 2ε
Rl
{z
=Φa (Rl )
ˆ%
R2 % − 0i % 0
d%0
Rl
}
% %V %02 %V Rl2 −%2 % 2 0 2 = Φa (Rl )− +Φa (Rl ) (Ri ≤ % ≤ Rl ) −Ri ln |% | = +Ri ln 2ε 2 2ε 2 Rl Rl Speziell auf der Innenelektrode und der Außenschicht der Ladungsverteilung ergeben sich damit die Potentiale Ri %V Rl2 − Ri2 2 + Ri ln + Φ(Rl ) Φ(Ri ) = Φi (Ri ) = 2ε 2 Rl %V Ra 2 2 Φ(Rl ) = Φa (Rl ) = Rl − Ri ln 2ε Rl
1
Φ(%)/Φ(Ri )
0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 %/Ra
0.6
0.7
0.8
0.9
Abbildung 5.1: Normierter Verlauf des elektrischen Potentials Φ( R%a ) für Ra = 4Ri = 2Rl .
1
5
ELEKTROSTATIK - GAUßSCHE METHODE
31
5.2 Kugel mit homogener Raumladungsverteilung Skalarpotential und elektrische Feldstärke der kugelförmigen Raumladungsverteilung aus Aufgabe 4.9 sollen nun unter Nutzung der Gaußschen Methode bestimmt werden. Der Ansatz lautet wieder ‹ ˚ ~ r)dA ~=1 E(~ %V (~r0 )dV 0 ε ∂V 0
V0
Aufgrund der Rotationssymmetrie wird ein konzentrisch um die Ladungsverteilung angeordnetes Kugel~ = Er~er und Normalenvektor der Oberfläche dA ~ = dA~er volumen mit Radius r gewählt. Feldvektor E ~ A ~ = Er dA vereinfachen lässt zu verlaufen wiederum parallel, sodass sich das Integral mit Ed ‹ ˚ 1 Er (r)r2 sin ϑdϑdϕ = %0 Θ(a − r0 )r02 sin ϑdr0 dϑdϕ ε ∂V 0
ˆ2π Er (r)r2
ˆπ dϕ
|0
sin ϑdϑ =
%0 ε
V0 ˆ2π
0
{z
=4π
dϕ |0
} Er (r) =
ˆπ
%0 εr2
ˆr sin ϑdϑ
0
{z
ˆr
=4π
Θ(a − r0 )r02 dr0
}0
Θ(a − r0 )r02 dr0 0
mit der Einheitssprungfunktion Θ zur Beschreibung der Raumladungsdichte wie in Aufgabe 5.1. Befindet man sich innerhalb der Ladungsverteilung, so umschließt das Integrationsvolumen nur einen Teil der Ladung und es ist r ˆr ˆr %0 %0 r03 %0 r %0 0 02 0 02 0 = (r ≤ a) Ei (r) = 2 Θ(a − r )r dr = 2 r dr = 2 εr εr εr 3 0 ε 3 0
0
Außerhalb der Ladungsverteilung wird dagegen die gesamte Ladung umschlossen. Die HeavisideFunktion liefert bei der Integration allerdings nur einen Beitrag für r ≤ a, sodass gilt a ˆr ˆa %0 a3 %0 %0 %0 r03 0 02 0 02 0 = Ea (r) = 2 Θ(a − r )r dr = 2 r dr = 2 (r > a) εr εr εr 3 0 3ε r2 0
0
Das Skalarpotential berechnet sich über den Gradienten aus dem elektrischen Feld gemäß ~ r) = − grad Φ(~r) = − ∂Φ(~r) ~er E(~ ∂r ˆr ˆr − E(~r0 )dr0 = Φ(~r0 )dr0 = Φ(r) − Φ(r0 ) r0
r0
Zweckmäßigerweise beginnt man die Integration im Unendlichen, da man das Potential Φ(r0 ) = Φ0 für r0 → ∞ als verschwindend annimmt. So folgt für einen Punkt außerhalb der Kugel ˆr ˆr 0 %0 a3 dr %0 a3 1 r %0 a3 0 0 = − − = (r > a) Φa (r) = Φ(r0 ) − Ea (~r )dr = − | {z } 3ε r02 3ε r0 r0→∞ ε 3r =0
r0
r0
Die Integration bis zu einem Punkt im Inneren erfordert wieder eine Zerlegung in zwei Bereichsintegrale a ˆ ˆr ˆa 0 ˆr 3 %0 a dr %0 Φi (r) = − Ea (~r0 )dr0 + Ei (~r0 )dr0 = − + r0 dr0 3ε r02 3ε r0 a r0 a a 02 r ! %0 1 r %0 r 2 − a2 %0 a2 r2 3 2 = − a − 0 + = a − = − (r ≤ a) 3ε r r0→∞ 2 a 3ε 2 ε 2 6
32
6
ELEKTROSTATIK - POISSON- UND LAPLACE-GLEICHUNG
6 Elektrostatik - Poisson- und Laplace-Gleichung 6.1 Kugel mit homogener Raumladungsverteilung Für die Raumladungsverteilung aus Aufgabe 4.9 lässt sich das Skalarpotential und die elektrische Feldstärke ebenfalls mithilfe der Poisson-Gleichung berechnen. Aus der Rotationssymmetrie der An~ ein Zentralfeld ist und nur eine Raordnung ergibt sich zunächst, dass das elektrostatische Feld E ~ = − grad Φ mit dem dialkomponente aufweist. Da das zugehörige Potential gemäß der Beziehung E elektrischen Feld verknüpft ist, folgt hieraus, dass auch Φ kugelsymmetrisch ist und keine Abhängigkeit von ϑ und ϕ aufweist. Somit kann man schreiben ∂Φ(r) 1 ∂ 1 ∂ 1 %V (~r) ∂ 2 Φ(r) sin ϑ ∂Φ(r) + 4 Φ(~r) = 2 r2 + 2 = − 2 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ε r sin ϑ ∂ϕ | ∂ϑ {z } | {z } =0 =0 ∂Φ(r) %0 1 ∂ 2 r = − Θ(a − r) 2 r ∂r ∂r ε Zur Formulierung der Raumladungsdichte wurde wieder die Heaviside-Funktion Θ verwendet, da sich die Ladung nur im Bereich 0 ≤ r ≤ a befindet. Entsprechend gilt im Inneren sowie außerhalb der Ladungsverteilung
1 ∂ r2 ∂r ∂ ∂r
Innenbereich, r ≤ a %0 2 ∂Φ(r) r = − ∂r ε ∂Φ(r) %0 r2 = − r2 ∂r ε ∂Φ(r) %0 r3 r2 = − + C1 ∂r ε 3 ∂Φ(r) %0 r C1 = − + 2 ∂r ε 3 r %0 r2 C1 − + C2 Φi (r) = − ε 6 r
1 ∂ r2 ∂r ∂ ∂r
Außenbereich, r > a 2 ∂Φ(r) r = 0 ∂r 2 ∂Φ(r) r = 0 ∂r ∂Φ(r) r2 = C3 ∂r ∂Φ(r) C3 = ∂r r2 C3 Φa (r) = − + C4 r
ˆ dr ˆ dr
mit den noch zu bestimmenden Integrationskonstanten Ci ∈ R (i = 1..4). Es muss nun C1 = 0 sein, da das Potential im Raumladungsmittelpunkt bei r = 0 sonst gegen unendlich streben würde. Aus der Forderung, dass Φa für r → ∞ verschwinden soll, folgt gleichfalls C4 = 0. Weiterhin darf das Potential an der Oberfläche der Ladungsverteilung nicht unstetig sein, woraus man die Relation Φi (r = a) = −
%0 a2 C3 + C2 = − = Φa (r → a) ε 6 a
⇒
C2 =
%0 a2 C3 − ε 6 a
erhält. Die vierte Bedingung ergibt sich aus der Stetigkeit des elektrischen Feldes % r 0 ~er : r ≤ a ε 3 %0 a C3 ~ = − grad Φ = − ∂Φ ~er = E ⇒ Ei (r = a) = = − 2 = Ea (r → a) ∂r ε 3 a − C3 ~er : r > a r2
6
ELEKTROSTATIK - POISSON- UND LAPLACE-GLEICHUNG
33
Damit berechnet man die Konstanten C2 und C3 zu %0 a3 C3 = − ε 3
%0 C2 = ε
a2 a2 + 6 3
=
%0 a2 ε 2
1
1
0.8
0.8 E(r)/E(a)
Φ(r)/Φ(0)
und für das Potential und die elektrische Feldstärke folgt schließlich 2 % r2 %0 a 0 : r ≤ a − ~r ε 3ε 2 6 ~ r) = Φ(~r) = E(~ %0 a 3 3 % a 0 ~r : r>a 3ε r ε 3r
0.6 0.4 0.2 0
:
r≤a
:
r>a
0.6 0.4 0.2
0
1
2
3 r/a
4
5
6
0
0
1
2
3 r/a
4
5
Abbildung 6.1: Normierte Verläufe des elektrischen Potentials Φ( ar ) und der Feldstärke E( ar )
6
34
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
7 Elektrostatik - Spiegelungsprinzip 7.1 Punktladung über leitender Ebene, influenzierte Ladung ~ der Punktladung +Q am Ort ~r0 = a~ez über der leitenden Zur Bestimmung des elektrischen Feldes E + xy-Ebene nimmt man entsprechend des Spiegelungsprinzips eine gleich große Ladung mit entgegenge0 = −a~ setztem Vorzeichen −Q auf der gegenüber liegenden Seite, d.h. im negativen z-Halbraum bei ~r− ez an und berechnet das Gesamtfeld aus der Superposition beider Einzelfelder. " # 0 0 ~ r − ~ r ~ r − ~ r x~ e +y~ e +(z−a)~ e x~ e +y~ e +(z+a)~ e Q 1 x y z x y z + − ~ r) = Q E(~ 0 |3 − Q |~ 0 |3 = 4πε p 3 − p 2 3 4πε |~r − ~r+ r − ~r− x2 +y 2 +(z−a)2 x +y 2 +(z+a)2 Dieses Feld ist allerdings nur im oberen Halbraum (z ≥ 0) definiert, da es sich bei der Konstruktion der Spiegelladung unterhalb der leitenden Ebene lediglich um eine gedankliche Erweiterung als Hilfe zur Berechnung des Feldes im Raum der Punktladung handelt. Tatsächlich ist die elektrische Feldstärke im Bereich z < 0 überall Null. Der Ansatz zur Berechnung der in der leitenden Ebene influenzierten Flächenladung leitet sich aus den Maxwellschen Gleichungen unter Nutzung des Gaußschen Integralsatzes wie folgt her ˚
~ r) = ε div E(~ ~ r) = %V (~r0 ) = %F (~r0 )δ(z) div D(~ ‹ ˚ ¨ 1 ~ r)dV = ~ r)dA ~ = 1 div E(~ E(~ %V (~r0 )dV = %F (~r0 )dA ε ε
V
A0
V
∂V
Als geschlossenes Integrationsvolumen wählt man nun einen infinitesimal dünnen Zylinder, welcher die Flächenladung auf der Ebene einschließt. Die Mantelfläche liefert somit keinen Beitrag, sodass eine Integration über Grund- und Deckfläche verbleibt (Abbildung 7.1). ~1 E
~1 A h→0
~2 E
~2 A
%F
Abbildung 7.1: Integration über Zylindervolumen an der Grenzschicht der leitenden Ebene
~ 2 unterhalb der leitenden Ebene Null ist, kann man schließlich schreiben Da das elektrische Feld E ‹ ~ ~ A ~ A ~=E ~ 1A ~1 + E ~ 2A ~ 2 A2 =− ~ 1~n = εE ~ F~n ~1 − E ~ 2 )~nA = %F A ⇒ %F = εE Ed = 1 (E ε ∂V
~ F das Feld an einem Ort innerhalb der Ebene bezeichnet. wobei ~n den Normaleneinheitsvektor und E Im vorliegenden Fall berechnet sich die influenzierte Flächenladung also zu " # Q −a a Q a ~ = 0)~ez = %F,infl = εE(z −p =− p p 3 3 4π 2π x2 +y 2 +a2 3 x2 +y 2 +a2 x2 +y 2 +a2 Um die influenzierte Gesamtladung Qinfl zu erhalten, muss die Flächenladungsdichte schließlich noch über den Bereich der xy-Ebene integriert werden. ¨ Qinfl
Qa %F,infl dA = − 2π
=
−∞ −∞
A0 t:=%02 +a2
=
ˆ∞ ˆ∞
dx0 dy 0
0
Qa − 2π
ˆ2π
t(∞) ˆ
dϕ 0
t(0)
x02+y 02 =%02
=
p 3 x02 +y 02 +a2 "
Qa dt 2 −p √ 3 =− 2 %02 + a2 2 t
Qa − 2π
ˆ2πˆ∞ 0
#∞ 0
0
%0 d%0 dϕ p 3 %02 +a2
1 = Qa 0 − = −Q a
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
35
7.2 Punktladung in einer rechtwinkligen Ecke aus leitendem Material Um das elektrische Feld der Punktladung +Q am Ort P1+ (a, b, 0) vor der leitenden xz- und yz-Ebene zu berechnen, konstruiert man drei Spiegelladungen −Q am Punkt P1− (−a, b, 0) und P2− (a, −b, 0) bzw. +Q am Punkt P2+ (−a, −b, 0). Für die Ortsvektoren gilt dann a a x∓a x∓a 0 0 0 0 = ± b = ± −b = y∓b = y±b ~r+1/2 ~r−1/2 ⇒ ~r −~r+1/2 ~r −~r−1/2 0 0 z z und es ergibt sich durch Superposition der von den vier Ladungen ausgehenden Einzelfelder " # 2 2 0 0 X X ~ r −~ r ~ r −~ r 1 +i −i ~ r) = E(~ +Q 0 |3 − Q 0 |3 4πε |~r −~r+i |~r −~r−i i=1 i=1 " (x+a)~ex + (y+b)~ey + z~ez Q (x−a)~ex + (y−b)~ey + z~ez = p 3 + p 3 4πε 2 2 2 (x−a) + (y−b) + z (x+a)2 + (y+b)2 + z 2 # (x+a)~ex + (y−b)~ey + z~ez (x−a)~ex + (y+b)~ey + z~ez −p (x, y ≥ 0) 3 − p 3 (x−a)2 + (y+b)2 + z 2 (x+a)2 + (y−b)2 + z 2 Analog zu Aufgabe 7.1 bestimmt sich die in der yz-Ebene influenzierte Flächenladungsdichte zu ~ = 0)~ex %F,infl yz = εE(x # " −a a −a a Q = p 3+p 2 3−p 2 3−p 2 3 4π a2+(y−b)2+z 2 a +(y+b)2+z 2 a +(y+b)2+z 2 a +(y−b)2+z 2 # " Q −2a 2a = p 3 + p 2 3 4π a2 + (y−b)2 + z 2 a + (y+b)2 + z 2 # " Qa 1 1 = p 3 − p 2 3 2π a2 + (y+b)2 + z 2 a + (y−b)2 + z 2 und die in der xz-Ebene influenzierte Flächenladungsdichte zu ~ = 0)~ey %F,infl xz = εE(y # " Q b b −b −b = p 3+p 3−p 3−p 3 4π (x−a)2+b2+z 2 (x+a)2+b2+z 2 (x−a)2+b2+z 2 (x+a)2+b2+z 2 " # Q −2b 2b = +p p 3 3 4π (x−a)2 + b2 + z 2 (x+a)2 + b2 + z 2 " # 1 Qb 1 = p 3 − p 3 2π (x+a)2 + b2 + z 2 (x−a)2 + b2 + z 2
36
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
7.3 Punktladung in einem rechtwinkligen Luftspalt aus leitendem Material Das Skalarpotential der Punktladung +Q am Ort P (a, b, 0) innerhalb des Luftspaltes (Breite c) eines leitenden Körpers berechnet sich wieder mittels Superposition der von der Ladung selbst sowie allen Spiegelladungen hervorgerufenen Einzelpotentiale. Die Spiegelladungen konstruiert man jeweils durch eine Spiegelung an der yz- und x = c-Ebene sowie der xz-Ebene. Hierbei ist zu beachten, dass aufgrund der beiden gegenüber stehenden leitenden Ebenen durch Spiegelung von Spiegelladungen letztlich eine unendliche Anzahl Ladungen erforderlich ist (Abbildung 7.2). y −Q
−Q
+Q
−Q
+Q
−Q
+Q
−Q
+Q
+Q
b
−4c
+Q
−3c
−Q
−2c
+Q
−c
0
−b
−Q
+Q
a
−Q
c
2c
+Q
3c
−Q
x
4c
+Q
−Q
Abbildung 7.2: Konstruktion der Spiegelladungen der im Luftspalt befindlichen Punktladung
Die Punktladungen befinden sich im oberen Halbraum (y 0 = b, z 0 = 0) bei +Q
x0 = a
x0 =
2c + a, 4c + a, 6c + a, . . . , 2nc + a, . . .
x0 = − 2c + a, −4c + a, −6c + a, . . . , −2nc + a, . . . −Q
x0 = −a
x0 =
2c − a, 4c − a, 6c − a, . . . , 2nc − a, . . .
x0 = − 2c − a, −4c − a, −6c − a, . . . , −2nc − a, . . . und im unteren Halbraum (y 0 = −b, z 0 = 0) an den Stellen +Q
x0 = −a
x0 =
2c − a, 4c − a, 6c − a, . . . , 2nc − a, . . .
x0 = − 2c − a, −4c − a, −6c − a, . . . , −2nc − a, . . . −Q
x0 = a
x0 =
2c + a, 4c + a, 6c + a, . . . , 2nc + a, . . .
0
x = − 2c + a, −4c + a, −6c + a, . . . , −2nc + a, . . . womit man für den Abstand zwischen Aufpunkt und Quellpunkt schreiben kann p 0 ~r − ~rn+ = (x − 2nc ∓ a)2 + (y ∓ b)2 + z 2 0 y =±b p 0 ~r − ~rn− = (x − 2nc ± a)2 + (y ∓ b)2 + z 2 mit n ∈ Z y 0 =±b Das Gesamtpotential im Luftspalt (0 ≤ x ≤ c, y ≥ 0) ist schließlich " ∞ # ∞ X X 1 +Q −Q −Q +Q + + + Φ(~r) = 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 4πε n=−∞ |~r − ~rn+ |~r − ~rn+ |~ r − ~ r |~r − ~rn− y =b y =−b y =b y =−b n− n=−∞ " ∞ Q X 1 1 p = +p 2 2 2 4πε n=−∞ (x−2nc−a) +(y−b) +z (x−2nc+a)2 +(y+b)2 +z 2 # 1 1 −p −p (x−2nc+a)2 +(y−b)2 +z 2 (x−2nc−a)2 +(y+b)2 +z 2
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
37
7.4 Punktladung innerhalb einer leitenden und geerdeten Hohlkugel Für die auf der z-Achse im Inneren einer geerdeten Hohlkugel befindliche Punktladung +Q kann nach dem Spiegelungsprinzip eine negative Ladung −q außerhalb der Kugel konstruiert werden. Diese 0 (Abbildung 7.3). befindet sich aufgrund der Symmetrie ebenfalls auf der z-Achse am Ort ~r− r a
+Q bei P (0, 0, d), −q bei Q(0, 0, d0 ) ~r ϑ
−a
0
0 ~r+
r1
0 = d~ ~r+ ez
r2 −q
+Q d
a
0 ~r−
d0
0 = d0~ ~r− ez
~r = x~ex + y~ey + z~ez = r~er p 0 |= r1 = |~r − ~r+ x2 + y 2 + (z − d)2 √ = r2 + d2 − 2rd cos ϑ p 0 |= r2 = |~r − ~r− x2 + y 2 + (z − d0 )2 √ = r2 + d02 − 2rd0 cos ϑ
z
−a
Abbildung 7.3: Punktladung +Q am Punkt P innerhalb einer leitenden geerdeten Hohlkugel
Den Ort der Spiegelladung −q bzw. ihren Abstand d0 zum Kugelmittelpunkt bestimmt man durch Inversion am Kreis (Kreisspiegelung) gemäß der Abbildung −−→ R2 −−→ a2 0 a2 0 ~r− = OQ = −−→ OP = 0 2 ~r+ = 2 d~ez = d0~ez |~r+ | d |OP |2
⇒
d0 =
a2 d
Die Größe ihrer Ladung lässt sich aus der Bedingung des Potentials Φ(r = a) = 0 auf der Oberfläche der geerdeten Kugel ermitteln: 1 +Q q Q 1 1 q √ Φ(r, ϑ) = − √ 0 | − |~ 0 | = 4πε 4πε |~r − ~r+ r − ~r− r2 + d2 − 2rd cos ϑ Q r2 + d02 − 2rd0 cos ϑ 1 1 q Q ! √ − √ =0 Φ(a, ϑ) = 2 2 2 02 0 4πε a + d − 2ad cos ϑ Q a + d − 2ad cos ϑ v u r a 2 a 2 u 1 + a − 2 cos ϑ d d a2 + d02 − 2ad0 cos ϑ a u =Q ⇒ q = Q = Qt 2 2 2 a + d − 2ad cos ϑ d d2 a + 1 − 2 a cos ϑ d
d
Damit ist das elektrische Skalarpotential insgesamt Q 1 a 1 Q 1 a 1 √ Φ(r, ϑ) = − √ = − 4πε 4πε r1 d r2 r2 + d2 − 2rd cos ϑ d r2 + d02 − 2rd0 cos ϑ
(r ≤ a)
Die elektrische Feldstärke im Inneren folgt wiederum aus dem Gradienten des Potentials
⇒
∂Φ ~ ϑ) = − grad Φ(r, ϑ) = − ∂Φ ~er + 1 ∂Φ ~eϑ + 1 E(r, ~eϕ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ |{z} =0 " # 0 ∂Φ Q 2r − 2d cos ϑ a 2r − 2d cos ϑ Q r − d cos ϑ a r − d0 cos ϑ = − + =− − √ 3 √ 3 ∂r 4πε d 4πε d r13 r23 2 ··· 2 ··· " # ∂Φ Q Qr d sin ϑ a d0 sin ϑ 2rd sin ϑ a 2rd0 sin ϑ = − √ 3 + = − − √ ∂ϑ 4πε d 2 · · ·3 4πε d r23 r13 2 ··· Q (r−d cos ϑ)~er +d sin ϑ~eϑ a (r−d0 cos ϑ)~er +d0 sin ϑ~eϑ Q ~r1 a ~r2 ~ E(r, ϑ) = − = − 4πε d 4πε r13 d r23 r13 r23
38
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
os ϑ
Letztere Vereinfachung folgt aus den geometrischen Beziehungen zwischen den Ortsvektoren, wie man sich leicht anhand von Abbildung 7.4 verdeutlicht:
r−
dc
~r1 = (r−d cos ϑ)~er +d sin ϑ~eϑ 0 ~r1 =~r −~r+
dc
os ϑ
~r = r~er
~r2 = (r−d0 cos ϑ)~er +d0 sin ϑ~eϑ
d si
nϑ ~eϑ
ϑ
analog ist
~er
0 = d~ ~r+ ez
Abbildung 7.4: Formulierung der Abstandsvektoren ~r1 und ~r2 in Kugelkoordinaten
Einfacher lässt sich die Gradientenbildung zur Berechnung der elektrischen Feldstärke allerdings in kartesischen Koordinaten durchführen: " # ∂ 1 a 1 Q ~ p · − p E(x, y, z) = − grad Φ(x, y, z) = − 4πε ∂~r x2 + y 2 + (z − d)2 d x2 + y 2 + (z − d0 )2 # " Q x~ex + y~ey + (z − d)~ez a x~ex + y~ey + (z − d0 )~ez Q ~r1 a ~r2 = p 3 − dp 2 3 = 4πε r 3 − d r 3 4πε 1 2 x2 + y 2 + (z − d)2 x + y 2 + (z − d0 )2
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
39
7.5 Punktladungen und Hohlkugel 1 Skalarpotential und elektrische Feldstärke der vorliegenden Anordnung zweier Punktladungen außerhalb einer leitenden Hohlkugel berechnet man ganz analog zur Aufgabe 7.4. Die Orte der beiden Spiegelladungen im Inneren folgen wieder aus einer Kreisspiegelung, womit sich die in Abbildung 7.5 2 dargestellte Konstellation mit s = ad ergibt. Ebenso kann die Größe der Spiegelladungen auf gleiche Weise zu q = Q ad ermittelt werden. r a r2 −Q −d
−a
~r
r4 +q −s
Punktladung
ϑ 0
r3 −q s
0 Spiegelladung ±q am Ort ~r±S = ∓s~ez
r1 +Q a
d z
0 ~r±S =
a2 0 r∓ 0 |2 ~ |~ r∓
2
= ∓ ad ~ez = ∓s~ez
0 | r1/2 = |~r − ~r± =
r3/4 −a
0 = ±d~ ±Q am Ort ~r± ez
p x2 + y 2 + (z ∓ d)2 √ = r2 + d2 ∓ 2rd cos ϑ p 0 | = |~r − ~r∓S = x2 + y 2 + (z ∓ s)2 √ = r2 + s2 ∓ 2rs cos ϑ
Abbildung 7.5: Punktladungen +Q und −Q bei z = d bzw. z = −d außerhalb einer leitenden Hohlkugel
Das Gesamtpotential lautet dementsprechend +q +Q −Q −q 1 Φ(r, ϑ) = 0 | + |~ 0 | + |~ 0 | + |~ 0 | 4πε |~r − ~r+ r − ~r− r − ~r−S r − ~r+S Q 1 1 a 1 a 1 = − − + (r ≥ a) 4πε r1 r2 d r3 d r4 und die elektrische Feldstärke außerhalb ist Q ~r1 ~r2 a ~r3 a ~r4 ~ E(r, ϑ) = − grad Φ(r, ϑ) = − − + 4πε r13 r23 d r33 d r43 Für den Fall, dass die Hohlkugel nicht geerdet ist und das Oberflächenpotential ΦK = Φ0 besitzt, modifiziert man obige Ergebnisse und nimmt eine zusätzliche Punktladung Q0 im Ursprung an, welche auf der Kugeloberfläche das vorgegebene Potential hervorruft. Q 1 1 a 1 a 1 1 Q0 ! Φ(a, ϑ) = − − + + = Φ0 ⇒ Q0 = 4πεΦ0 a 4πε r1 r2 d r3 d r4 r=a 4πε r r=a | {z } =0 Q 1 1 a 1 a 1 a ⇒ Φ(r, ϑ) = − − + + Φ0 (r ≥ a) 4πε r1 r2 d r3 d r4 r ~ ϑ) = Q ~r1 − ~r2 − a ~r3 + a ~r4 + a ~r Φ0 E(r, 4πε r13 r23 d r33 d r43 r3
40
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
7.6 Punktladungen und Hohlkugel 2 Wie in den vorangegangenen beiden Aufgaben ist für die gegebene Anordnung zunächst die Position und Größe der Spiegelladungen q1 und q2 von Q1 und Q2 durch Kreisspiegelung zu bestimmen. Diese befinden sich im Inneren der Hohlkugel bei y = a2 bzw. y = a5 und haben eine Ladung von q1 = − Q21 1 bzw. q2 = 2Q 5 (Abbildung 7.6). Punktladungen
z a ϑ −a
~r r4 r3 q2 q1
0 d2 d1
−a
r1
Q1 , Q2 am Ort
Spiegelladungen q1 , q2 am Ort r2 Q1
a
~r10 = 2a~ey , ~r20 = 5a~ey 0 =d ~ 0 =d ~ ~r1S r2S 1 ey , ~ 2 ey
Q2 c = 5a y
b = 2a d1 =
a2 2a
=
a 2
a q1 = − 2a Q1 = − Q21
d2 =
a2 5a
=
a 5
a q2 = − 5a Q2 =
2Q1 5
Abbildung 7.6: Punktladungen Q1 > 0 und Q2 = −2Q1 außerhalb einer geerdeten Hohlkugel
Das gesamte elektrische Feld im Außenraum erhält man durch Superposition der von den einzelnen Ladungen erzeugten Felder und es gilt 0 0 ~r − ~r1S ~r − ~r2S 1 ~r − ~r10 ~r − ~r20 ~ E(~r) = Q1 + Q2 + q1 0 |3 + q2 |~ 0 |3 4πε |~r − ~r10 |3 |~r − ~r20 |3 |~r − ~r1S r − ~r2S a a ~r − 2a~ey ~r − 5a~ey 1 ~r − 2 ~ey Q1 2 ~r − 5 ~ey −2 − = + (r ≥ a) 4πε |~r − 2a~ey |3 |~r − 5a~ey |3 2 |~r − a2 ~ey |3 5 |~r − a5 ~ey |3 ~ r0 ) am Ort der Ladung, wobei nur Die Kraft auf die Ladung Q1 berechnet sich nun aus der Feldstärke E(~ 1 das von den übrigen (Spiegel-)Ladungen und nicht das von ihr selbst hervorgerufene elektrostatische Feld berücksichtigt werden muss. Somit folgt 0 0 0 0 2 0 0 ~ r10 ) = Q1 −2 ~r1 − ~r2 − 1 ~r1 − ~r1S + 2 ~r1 − ~r2S F~ = Q1 E(~ 0 |3 0 |3 4πε |~r10 − ~r20 |3 2 |~r10 − ~r1S 5 |~r10 − ~r2S (2a − 5a)~ey 2 (2a − a5 )~ey Q21 1 (2a − a2 )~ey −2 − + = 4πε (2a − 5a)3 2 (2a − a2 )3 5 (2a − a5 )3 # " Q21 2 1 1 2 1 = ~ey − + 3a 2 2 2 4πε (3a) 2( 2 ) 5 ( 9a 5 ) Q21 1 1 2 25 5 Q21 ·4 + · ~ey = = 2 − ~ey 2 4πε (3a) 2 5 9 162 πεa2
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
41
7.7 Punktladung innerhalb einer Hohlkugelhälfte über leitender Ebene Befindet sich eine Punktladung Q auf der z-Achse innerhalb einer leitfähigen Hohlkugelhälfte, welche leitend mit der darunter liegenden und geerdeten xy-Ebene verbunden ist, so konstruiert man ihre Spiegelladungen einerseits durch eine Spiegelung an der Ebene und andererseits durch Kreisspiegelung an der Halbkugelschale, sodass die in Abbildung 7.7 dargestellte Anordnung entsteht. z −q d
(Spiegel-)Ladungen
a +Q
r3 2 3a
−a
0 −Q −23 a
0 = ± 2 a~ ~r± 3 ez
±q am Ort
0 ~r±S = ∓d~ez
r1
ϑ ~r
±Q am Ort
d= r2
a
x
a2 2 a 3
= 23 a
q=
a 2 a 3
Q = 23 Q
r4 0 ~r1/2 = ~r − ~r±
0 ~r3/4 = ~r − ~r∓S
+q −d Abbildung 7.7: Punktladung Q bei z = 32 a innerhalb einer leitenden Hohlkugelhälfte
Für Potential und elektrische Feldstärke folgt wieder durch Superposition: 1 +Q −Q −q +q Q 1 1 3 1 3 1 Φ(r, ϑ) = + + + = − − + 4πε r1 r2 r3 r4 4πε r1 r2 2 r3 2 r4 Q ~r1 ~r2 3 ~r3 3 ~r4 ~ E(r, ϑ) = − grad Φ(r, ϑ) = − − + 4πε r13 r23 2 r33 2 r43
(r ≤ a)
42
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ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
7.8 Punktladung über einer dielektrischen Grenzschicht Betrachtet man eine Punktladung Q in einem Dielektrikum der Permittivität ε1 , welche sich im Abstand a auf der positiven z-Achse vor der durch die xy-Ebene gebildeten Grenzschicht zu einem Dielektrikum der Permittivität ε2 befindet, so lässt sich das elektrische Skalarpotential Φ(~r) im Punkt ~r = %~e% + z~ez auf ähnliche Weise wie bei der klassischen Spiegelladungsmethode berechnen. Während die Ermittlung des Bildpunktes weiterhin über die bekannten Transformationen geschieht, sind hier nun neue bzw. veränderte Bildladungen in beiden Medien zu berücksichtigen. Als Ansatz im oberen Halbraum (mit z > 0) formuliert man das Potential Φ1 als Superposition aus dem Potential der ursprünglichen Punktladung Q und dem Potential einer Bildladung Q∗ , welche sich am Ort ~rQ∗ = −a~ez auf der gegenüberliegenden Seite der Grenzfläche befindet. Dabei nimmt man im gesamten Raum ein Dielektrikum mit der Permittivität ε1 an. p 1 Q 1 Q Q∗ Q∗ Φ1 (~r) = = + mit r1/2 = %2 + (z ∓ a)2 + 4πε1 |~r − ~rQ | |~r − ~rQ∗ | 4πε1 r1 r2 Für den unteren Halbraum (mit z < 0) hingegen wird das Gesamtpotential Φ2 als Überlagerung der Potentiale der Punktladung Q und einer Bildladung Q∗∗ am selben Ort ~rQ = ~rQ∗∗ = a~ez in einem Raum, welcher mit einem Dielektrikum der Permittivität ε2 gefüllt ist, angesetzt. Q Q∗∗ 1 Q + Q∗∗ 1 Q + Q∗∗ 1 + = = Φ2 (~r) = 4πε2 |~r − ~rQ | |~r − ~rQ∗∗ | 4πε2 |~r − ~rQ | 4πε2 r1 Die Bestimmung der Bildladungen Q∗ und Q∗∗ erfolgt aus den Stetigkeitsbedingungen des Potentials und der elektrischen Feldkomponenten an der Grenzfläche zwischen den beiden Dielektrika bei z = 0: " # Q Q∗ 1 Q + Q∗ 1 Q + Q∗∗ 1 ! p p p +p = = = Φ2 (z = 0) Φ1 (z = 0) = 4πε1 4πε1 %2 + a2 4πε2 %2 + a2 %2 + a2 %2 + a2 Q + Q∗ ε1
=
Q + Q∗∗ ε2
(I)
Eine Auswertung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E t = E% liefert das gleiche Ergebnis wie die Stetigkeit des Potentials zuvor. Die zweite Bedingung erhält man daher aus der Stetigkeit der Normalkomponente des elektrischen Verschiebungsfeldes Dn = Dz wie folgt D1n (z = 0) = ε1 Ez1 (z = 0) ∂Φ1 −ε1 grad Φ1 (z = 0)~ez = −ε1 ∂z z=0 " # 1 z−a z + a ∗ Qp 3 +Q p 2 3 4π 2 2 % + (z − a) % + (z + a)2 z=0 −Q + Q∗ ap 3 %2 + a2 Q − Q∗
!
= ε2 Ez2 (z = 0) = D2n (z = 0) ∂Φ2 = −ε2 = −ε2 grad Φ2 (z = 0)~ez ∂z z=0 " # Q + Q∗∗ z−a = p 3 4π %2 + (z − a)2 z=0
Q + Q∗∗ = −a p 3 %2 + a2 = Q + Q∗∗
(II)
Aus den Bedingungen (I) und (II) bestimmt man die Bildladungen somit zu Q∗ =
ε1 − ε2 Q ε1 + ε2
Q∗∗ = −Q∗ =
ε2 − ε1 Q ε1 + ε2
und das Potential in den beiden Halbräumen lautet schließlich Q 1 ε1 − ε2 1 Φ1 (~r) = + 4πε1 r1 ε1 + ε2 r2 Q ε2 − ε1 1 Q 2ε2 1 Φ2 (~r) = 1+ = 4πε2 ε1 + ε2 r1 4πε2 ε1 + ε2 r1
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
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7.9 Punktladung und Hohlkugel mit Dielektrika Für die gegebene Anordnung einer Punktladung Q bei ~rQ = a3 ~ez innerhalb einer leitenden und geerdeten Hohlkugel vom Radius a, deren eine Hälfte die Permittivität ε0 aufweist, während die andere mit einem Dielektrikum der Permittivität ε = εr ε0 gefüllt ist, konstruiert man die Ersatzanordnung, wie in Abbildung 7.8 dargestellt, durch dielektrische Spiegelung innerhalb der Kugel und anschließender Kreisspiegelung an der Kugelsphäre. (Spiegel-)Ladung
r a r4 q∗ −d0
Q∗ −a
−d
r2 ~r r1 Q ϑ 0 d
ε = ε0 εr
Q/Q∗ am Ort ~rQ/Q∗ = ±d~ez q/q ∗ am Ort ~rq/q∗ = ±d0~ez
r3 q a
d0 z
ε0
r1/2 = |~r − ~rQ/Q∗ | = r3/4 = |~r − ~rq/q∗ | =
−a
Abbildung 7.8: Punktladung Q bei z = d =
d0 =
a 3
√ √
a2 a2 = a = 3a d 3
r2 + d2 ∓ 2rd cos ϑ r2 + d02 ∓ 2rd0 cos ϑ
innerhalb einer leitenden Hohlkugel mit Dielektrika
Die Größe der beiden außerhalb befindlichen Spiegelladungen berechnet sich nach der aus vorigen Aufgaben gleichen Typs bekannten Beziehung zu q = − ad Q = −3Q bzw. q ∗ = − ad Q∗ = −3Q∗ . Weiterhin erhält man die dielektrische Spiegelladung Q∗ mithilfe der Ergebnisse aus Aufgabe 7.8 (mit den Permittivitäten ε1 = ε0 und ε2 = ε = ε0 εr ), sodass folgt Q∗ =
ε1 − ε2 ε0 − ε Q= Q ε1 + ε 2 ε0 + ε
⇒
q ∗ = −3Q∗ = −3
ε0 − ε Q ε0 + ε
Das Gesamtpotential in der Kugelhälfte mit z > 0 und der Permittivität ε0 am Punkt ~r = r~er bestimmt sich wiederum durch Superposition der Potentiale von Punktladung und allen Spiegelladungen und ist Q 1 ε0 − ε 1 3 ε0 − ε 3 Φ1 (~r) = + − − 4πε0 r1 ε0 + ε r2 r3 ε0 + ε r4 Die elektrische Feldstärke folgt letztlich durch Bilden des Gradienten von Φ1 zu ε0 − ε ~r2 ~r3 ε0 − ε ~r4 Q ~r1 ~ E1 (~r) = + −3 3 −3 4πε0 r13 ε0 + ε r23 ε0 + ε r43 r3
44
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
7.10 Zwei Punktladungen innerhalb einer geerdeten Kugel mit 2 Dielektrika Wird in der Anordnung aus Aufgabe 7.9 zur Punktladung Q1 = Q, welche sich nun bei ~rQ1 = 2a ez im 3~ Medium der Permittivität ε1 befinde, eine weitere Ladung Q2 = −Q am Punkt ~rQ2 = − a3 ~ez innerhalb der zweiten, mit einem Dielektrikum der Permittivität ε2 ausgefüllten Kugelhälfte hinzugenommen, so kann bei der Berechnung des Skalarpotentials auf die vorigen Ergebnisse zurückgegriffen werden und sind lediglich die zusätzlich auftretenden Spiegelladungen zu berücksichtigen. Es werden zunächst nur die Ladung Q1 und ihre Spiegelladungen betrachtet, die wie in Abbildung 7.9 arrangiert sind. (Spiegel-)Ladung
r a r4 q1∗ −d01−a
r2
Q∗1
r1 Q1
~r ϑ
−d1 ε2
q1 /q1∗ am Ort ~rq1 /q1∗ = ±d01~ez
r3
d01 =
q1 a d0 1
d1
Q1 /Q∗1 am Ort ~rQ1 /Q∗1 = ±d1~ez
z
ε1
a2 a2 3a = 2a = d1 2 3
r1/2 = |~r − ~rQ1 /Q∗1 | =
p
r2 + d21 ∓ 2rd1 cos ϑ
r3/4 = |~r − ~rq1 /q1∗ | =
p
0 r2 + d02 1 ∓ 2rd1 cos ϑ
−a Abbildung 7.9: Konstruktion der Spiegelladungen der Punktladung Q1 = Q bei z = d1 =
2a 3
Die beiden Spiegelladungen außerhalb der Kugel berechnen sich dabei gemäß q1 = − da1 Q1 = − 32 Q1 und q1∗ = − da1 Q∗1 = − 32 Q∗1 . Für Q∗1 erhält man dagegen Q∗1 =
ε1 − ε2 Q1 ε 1 + ε2
3 3 ε 1 − ε2 q1∗ = − Q∗1 = − Q1 2 2 ε 1 + ε2
⇒
Als Zwischenergebnis folgt das Potential dieser vier Punktladungen am Ort ~r = r~er im Medium mit der Permittivität ε1 zu 1 Q1 Q∗1 q1 q1∗ Q1 1 ε1 − ε 2 1 3 1 3 ε1 − ε 2 1 Φ11 (~r) = + + + = + − − 4πε1 r1 r2 r3 r4 4πε1 r1 ε1 + ε2 r2 2 r3 2 ε1 + ε2 r4 Bei der Konstruktion der Spiegelladungen von Q2 ist nun zu beachten, dass das Potential im der Ladung gegenüberliegenden Dielektrikum bestimmt werden soll und für die dielektrische Spiegelung daher ein anderer Ansatz zu wählen ist. Mit dem Ergebnis aus Aufgabe 7.8 gelangt man somit zu einer Ladungskonstellation, wie sie Abbildung 7.10 zeigt. (Spiegel-)Ladung
r a r6 q2 +q2∗∗ −d02
−a
r5 Q2 +Q∗∗ 2
q2 /q2∗∗ am Ort ~rq2 /q2∗∗ = −d02~ez ~r
d02 =
ϑ a
−d2 ε2
Q2 /Q∗∗ rQ2 /Q∗∗ = −d2~ez 2 am Ort ~ 2
ε1
z
a2 a2 = a = 3a d2 3
r5 = |~r − ~rQ2 /Q∗∗ | = 2
p r2 + d22 + 2rd2 cos ϑ p 0 r6 = |~r − ~rq2 /q2∗∗ | = r2 + d02 2 + 2rd2 cos ϑ
−a Abbildung 7.10: Konstruktion der Spiegelladungen der Punktladung Q2 = −Q bei z = d2 =
a 3
7
ELEKTROSTATIK - SPIEGELUNGSPRINZIP
45
∗∗ Unter Beachtung der Permittivitäten gilt für Q2 + Q∗∗ 2 sowie für die Größe der Spiegelladung q2 + q2 2ε1 a 2ε1 ε1 −ε2 ∗∗ Q2 = Q2 ⇒ q2 + q2∗∗ = − (Q2 +Q∗∗ Q2 Q2 + Q2 = 1 + 2 ) = −3 ε1 +ε2 ε1 +ε2 d2 ε1 +ε2
Das von dieser Ladungsverteilung im Medium 1 hervorgerufene Potential lautet demnach 1 Q2 + Q∗∗ q2 + q2∗∗ Q2 2ε1 1 6ε1 1 2 Φ12 (~r) = + = − 4πε1 r5 r6 4πε1 ε1 + ε2 r5 ε1 + ε2 r6 und man erhält als Gesamtpotential durch Addition beider Teilergebnisse 1 ε1 − ε2 1 3 1 3 ε1 − ε2 1 Q2 2ε1 1 6ε1 1 Q1 + − − + − Φ1 (~r) = 4πε1 r1 ε1 + ε2 r2 2 r3 2 ε1 + ε2 r4 4πε1 ε1 + ε2 r5 ε1 + ε2 r6 Q 1 ε1 − ε2 1 3 1 3 ε1 − ε2 1 2ε1 1 6ε1 1 = + − − − + 4πε1 r1 ε1 + ε2 r2 2 r3 2 ε1 + ε2 r4 ε1 + ε2 r5 ε1 + ε2 r6 bzw. für die elektrische Feldstärke Q ~r1 ε1 − ε2 ~r2 3 ~r3 3 ε1 − ε2 ~r4 2ε1 ~r5 6ε1 ~r6 ~ E1 (~r) = − grad Φ1 (~r) = + − − − + 4πε1 r13 ε1 + ε2 r23 2 r33 2 ε1 + ε2 r43 ε1 + ε2 r53 ε1 + ε2 r63
46
8
ELEKTROSTATIK - ELEKTRISCHES DIPOLMOMENT
8 Elektrostatik - Elektrisches Dipolmoment 8.1 Elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung (Näherung Punktdipol) Die Ladungen Q1 = Q und Q2 = −Q in den Punkten P1 (a, 0, 2l ) und P2 (a, 0, − 2l ) bilden zusammen einen parallel zur z-Achse ausgerichteten elektrischen Dipol mit Dipolmoment p~ = Ql~ez . Im Feld der Punktladung Q0 im Koordinatenursprung wirkt auf die beiden Ladungen des Dipols eine Kraft, die sich nach dem Coulombschen Gesetz berechnen lässt. Es gilt: X ~ ri ) = Q0 Q1 ~r1 − ~r + Q2 ~r2 − ~r = Q0 Q ~r1 − ~r − ~r2 − ~r E(~ F~ = Q0 4πε |~r1 − ~r|3 |~r2 − ~r|3 4πε |~r1 − ~r|3 |~r2 − ~r|3 i a~ex − 2l ~ez Q0 Q Q0 Q a~ex + 2l ~ez 1 l l = − = a~ e + ~ e − a~ e + ~ e q x z x z q 3 2 3 q 2 3 4πε 4πε 2 2 2 a2 + l4 a2 + 2l a2 + 2l =
Q0 Q0 Ql~ez p~ q 3 = 4πε q 4πε 2 a2 + l4 a2 +
l→0 l2
3
≈
Q0 p~ 4πε a3
4
Für den Punktdipol, d.h. beim Grenzübergang des Abstandes l → 0 zwischen den Ladungen Q1 und Q2 mit der zusätzlichen Forderung, dass p = Ql konstant bleibt, geht der Abstand des Dipols von der Punktladung Q0 in den radialen Abstand a über.
8.2 Punktladung im Feld eines elektrischen Dipols Das vom Dipol mit Dipolmoment p~ = p~ez am Ort ~rD = a~ez ausgehende elektrische Feld ist allgemein definiert durch 1 (~rp~)~r p~ ~ ED (~r) = 3 5 − 3 4πε r r Mit dem Aufpunktvektor der Punktladung ~rQ = √2a~ey + 3a~ez schreibt sich der Abstandsvektor als ~r = ~rQ − ~rD = 2a(~ey + ~ez ), der Abstand ist r = 2a 2 und es folgt für die Kraft auf die Ladung Q # " (2a(~ e + ~ e )p~ e 2a(~ e + ~ e ) Q (~ r p ~ )~ r p ~ Q p~ e y z z y z z ~ D (~r) = F~ = QE 3 5 − 3 = 3 − √ 5 √ 3 4πε r r 4πε 2a 2 2a 2 " # ~ey + ~ez (2a)2 (~ey + ~ez ) p p Q Q √ 3 − ~ez = − ~ez = √ 3 √ 2 4πε 2a 2 3 4πε 16 2a3 2 2a 2 =
Q p √ (3~ey + ~ez ) 4πε 32 2a3
8
ELEKTROSTATIK - ELEKTRISCHES DIPOLMOMENT
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8.3 Kreisförmige Doppelschicht mit konstanter Dipolmomentdichte Das Skalarpotential auf der z-Achse am Ort ~r = z~ez , hervorgerufen durch die in der xy-Ebene befindliche kreisförmige Schicht mit Radius a und der Dipolmomentdichte m(~ ~ r0 ) = m0~ez , bestimmt sich mit dem Quellpunktvektor ~r0 = %0~e% gemäß Φ(~r) =
1 4πε
˚
−∞ 0
V
=
m0 z 2ε
ˆa
%0 d%0 p
0
ˆ∞ ˆa ˆ2π
m(~ ~ r0 )(~r − ~r0 ) 1 dV = 0 3 |~r − ~r | 4πε
z 2 + %02
t:=z 2 +%02 3
=
ˆt(a)
m0 z 2ε 2
t(0)
0
m0 δ(z 0 )~ez (z~ez − %0~e% ) 0 0 0 0 % dϕ d% dz p 3 z 2 + %02
dt m0 −1 t(a) z z m0 √ z √ −√ =− √3 = 2ε 2ε t t(0) z 2 + a2 z2 t
Die elektrische Feldstärke ergibt sich aus dem Gradienten des Potentials zu ~ r) = − grad Φ(~r) = − ∂Φ(z) ~ez = m0 ∂ √ z ∓ 1 ~ez E(~ ∂z 2ε ∂z z 2 + a2 √ ! ! 2z z 2 + a2 − z 2√z 2 +a2 m0 m0 m 0 z 2 + a2 − z 2 a2 = ~ e = ~ez ~ e = z z √ √ 3 2ε z 2 + a2 2ε 2ε z 2 + a2 3 z 2 + a2
8.4 Feld von zwei elektrischen Dipolen Mit dem Aufpunktvektor ~r = y~ey auf der y-Achse berechnet sich das Skalarpotential beider Dipole 0 p~1 = p0 (~ex + ~ey ) und p~2 = −~ p1 am Ort ~r1/2 = ±a~ex durch Superposition der Einzelpotentiale zu Φ(~r) =
=
2 1 ~r − ~r10 ~r − ~r20 1 X p~i (~r − ~ri0 ) = p ~ + p ~ 1 2 4πε |~r − ~ri0 |3 4πε |~r − ~r10 |3 |~r − ~r20 |3 i=1 # " −a~ex + y~ey a~ex + y~ey p0 p0 −2a(~ex + ~ey )~ex p0 a −p = =− (~ex + ~ey ) p p p 3 3 3 4πε 4πε 2πε y 2 + a2 3 y 2 + a2 y 2 + a2 y 2 + a2
8.5 Dipol über einer leitenden Ebene Zur Bestimmung des elektrischen Feldes des Dipols mit dem Moment p~ = p0 (~ex +~ey ) am Ort ~rD = a~ex vor der leitenden und geerdeten yz-Ebene nimmt man nach dem Spiegelungsprinzip einen zweiten 0 = −a~ Dipol mit dem Dipolmoment p~0 = p0 (~ex − ~ey ) auf der gegenüber liegenden Seite bei ~rD ex an und berechnet das Gesamtfeld als Summe der elektrischen Felder beider Dipole. Mit dem Aufpunktvektor ~r = y~ey eines Beobachtungspunktes auf der y-Achse ist dann " # 0 )~ 0 (~ 0 ) 0 (~ r −~ r )~ p (~ r −~ r ) (~ r −~ r p r −~ r 1 p ~ p ~ D D D D ~ r) = E ~ D (~r)+ E ~ 0 (~r) = E(~ 3 − +3 − D 0 |5 0 |3 4πε |~r −~rD |5 |~r −~rD |3 |~r −~rD |~r −~rD −a 1 −a 1 a 1 a 1 p0 p0 p0 p0 y 1 y 1 y −1 y −1 1 3 −p +3 −p = p p 5 3 5 3 4πε y 2 + a2 y 2 + a2 y 2 + a2 y 2 + a2 =
=
" # (y − a)p0 (−a~ex + y~ey − a~ex − y~ey ) p0 (~ex + ~ey + ~ex − ~ey ) 1 3 − p p 5 3 4πε y 2 + a2 y 2 + a2 " # " # p0 2a(y − a)~ex 2~ex p0 3a(y − a) 1 −3 p ex 5 − p 3 = − 2πε p 5 + p 3 ~ 4πε y 2 + a2 y 2 + a2 y 2 + a2 y 2 + a2
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8
ELEKTROSTATIK - ELEKTRISCHES DIPOLMOMENT
8.6 Elektrischer Dipol im Feld einer Punktladung Wie in Aufgabe 8.2 bestimmt man zunächst das elektrische Feld des Dipols mit dem Dipolmoment p~ am Ort ~rD , wobei sich der Abstandsvektor mit dem Ort der Punktladung ~rQ als ~r = ~rQ − ~rD schreibt. " # (~ r − ~ r )~ p (~ r − ~ r ) 1 (~ r p ~ )~ r p ~ 1 p ~ Q D Q D ~ D (~r) = 3 − 3 = 3 − E 4πε |~r|5 |~r| 4πε |~rQ − ~rD |5 |~rQ − ~rD |3 Die Coulomb-Kraft der Punktladung Q auf den Dipol berechnet sich damit zu " # (~ r − ~ r )~ p (~ r − ~ r ) p ~ Q Q D Q D ~D = − 3 − F~ = −F~D = −QE 4πε |~rQ − ~rD |5 |~rQ − ~rD |3 Das negative Vorzeichen ergibt sich dabei aus dem Wechselwirkungsprinzip, d.h. es wirkt eine betragsmäßig gleich große, entgegengesetzte Kraft von der Punktladung auf den Dipol wie vom Dipol auf die Punktladung ausgeübt wird („actio=reactio“).
9
ELEKTROSTATIK - KAPAZITÄT UND ENERGIE IM DIELEKTRIKUM
49
9 Elektrostatik - Kapazität und Energie im Dielektrikum 9.1 Kapazität eines Kugelkondensators Aufgrund der Rotationssymmetrie des Kugelkondensators bietet es sich an, zunächst das elektrische ~ = Er~er im Innenbereich a ≤ r ≤ b zwischen den beiden Elektroden nach der Gaußschen Feld E Methode zu berechnen. Die Integration erfolgt dabei über das Volumen bzw. die Oberfläche einer ~ = dA~er und dA = r2 sin ϑdϑdϕ folgt dann konzentrischen Kugel mit Radius r. Mit dA ‹ ˚ ~ ~ ε E(~r)dA = %V (~r0 )dV V
∂V
ˆ2πˆπ
ˆ2πˆπ ˆr %V (~r0 )r02 sin ϑdr0 dϑdϕ
Er (r)r2 sin ϑdϑdϕ = 4πεr2 Er (r) =
ε 0
0
0
0
0
Für r < a befindet man sich innerhalb der Innenelektrode, womit das Integrationsvolumen keine Ladung enthält, da diese nur auf den beiden Elektroden verteilt ist. Die rechte Seite in obiger Gleichung ist dementsprechend Null und die elektrische Feldstärke im Inneren verschwindet. Gleichermaßen ist das Feld im Außenraum Null, denn ˝ der Kondensator ist insgesamt neutral und für die eingeschlossene Ladung beider Elektroden gilt %V dV = +Q − Q = 0. Im Bereich des Dielektrikums mit ε = ε0 εr schließt man dagegen die innere Elektrode ein und berechnet somit für die Feldstärke 4πεr2 Er (r) = Q
⇒
Er (r) =
Q 1 4πε r2
Das Skalarpotential folgt aus dem Gradienten des elektrischen Feldes mit der Randbedingung Φ(b) = 0 an der geerdeten Außenelektrode ∂Φ Er = − ∂r
ˆr
Q ⇒ Φ(r) = Φ(b) − Er (r )dr = − 4πε b Q 1 1 Q b−a U0 = Φ(a) = − = 4πε a b 4πε ab 0
ˆr
0
b
Q Q 1 r 1 1 dr0 =− − 0 = − r02 4πε r b 4πε r b ⇒
Q = 4πεU0
ab b−a
Die an den Kugelkondensator angelegte Gleichspannung U0 entspricht der Potentialdifferenz zwischen beiden Elektroden, womit sich Feldstärke und Potential schließlich wie folgt ausdrücken lassen Er (r) =
ab U0 b − a r2
Φ(r) = U0
Als Kapazität der Anordnung erhält man nun C=
ab Q = 4πε U0 b−a
b−ra b−ar
(a ≤ r ≤ b)
50
9
ELEKTROSTATIK - KAPAZITÄT UND ENERGIE IM DIELEKTRIKUM
9.2 Kapazität einer Koaxialleitung Wie bereits in Aufgabe 9.1 für einen Kugelkondensator geschehen, berechnet man für die gegebene Koaxialleitung zunächst das elektrische Feld im Inneren unter Nutzung der Gaußschen Methode ˆ2πˆ l ε
E% (%)%dϕdz = 2πεl%E% (%) = Q 0
⇒
E% (%) =
Q 1 2πεl %
(a ≤ % ≤ b)
0
und aus diesem mithilfe des Gradienten das elektrische Potential bzw. die Potentialdifferenz zwischen Innen- und Außenelektrode ˆa
∂Φ E% = − ∂% ⇒
Q ⇒ Φ(a) = Φ(b) − E% (%)d% = Φ(b) − 2πεl b b Q ln U = Φ(a) − Φ(b) = 2πεl a
ˆa
a d% Q = Φ(b) − ln % 2πεl b
b
Hiermit folgt die Kapazität C der Leitung zu C=
Q 2πεl = U ln ab
Die im Dielektrikum gespeicherte elektrostatische Energie bestimmt sich nun gemäß ˚ ˚ 1 ε ~ ~ W = E DdV = E 2 dV 2 2
=
ε 2
V ˆl
0
V
ˆb ˆ2π a
Q 1 2πεl %
2
Q2 %dϕd%dz = 2 2 8π εl
ˆl
ˆ2π dz
ˆb dϕ
|0 {z } |0 {z }
0
=l
d% Q2 = ln % 4πεl
b a
a
=2π
9.3 Kapazität eines Kugelkondensators mit inhomogenem Dielektrikum Besitzt der Kugelkondensator aus Aufgabe 9.1 ein inhomogenes Dielektrikum, so muss die Rechnung entsprechend abgeändert und die vom Radius abhängige Permittivität ε(r) = ε0 ar berücksichtigt werden. Während sich hierbei der gleiche Ausdruck für die elektrische Feldstärke ergibt, so bestimmt sich die Potentialdifferenz zwischen beiden Elektroden nun jedoch zu ˆa
ˆa
Qa Q 1 Φ(a) = Φ(b) − Er (r)dr = Φ(b) − dr = Φ(b) − 2 4πε(r) r 4πε0 b b a Qa 1 Qa 1 1 Qa b2 − a2 Φ(a) − Φ(b) = − − 2 = − = 4πε0 2r b 8πε0 a2 b2 8πε0 a2 b2 und die Kapazität lautet in diesem Fall C=
Q Q ab2 = = 8πε0 2 U Φ(a)−Φ(b) b − a2
ˆa b
dr r3
9
ELEKTROSTATIK - KAPAZITÄT UND ENERGIE IM DIELEKTRIKUM
51
9.4 Energie in einer dielektrischen Kugel Die Berechnung der im Dielektrikum der Kugel und im Außenraum enthaltenen elektrostatischen Energie W setzt die Kenntnis der elektrischen Feldstärke voraus, wofür wieder auf das Ergebnis aus Aufgabe 9.1 zurückgegriffen werden kann. Statt der auf der Innenelektrode des Kugelkondensators befindlichen Ladung Q schließt das Integrationsvolumen hier nun die Punktladung Q0 im Ursprung ein und die Feldstärke lautet 4πεr2 Er (r) = Q0
⇒
Er (r) =
Q0 1 4πε r2
Somit folgt für die Energie im Volumen zwischen einem Radius a und dem Außenradius b der Kugel ε 2
Wi =
˚
ε Er (r) dV = 2 2
a
V
Q20 32π2 ε
=
ˆb ˆ2πˆπ
ˆπ
ˆ2π dϕ
|0 {z } |0 =2π
0
ˆb sin ϑdϑ a
{z
=2
Q0 1 4πε r2
2
r2 sin ϑdϑdϕdr
0
b dr Q20 1 Q20 1 1 = − = − r2 8πε r a 8πε a b
}
und für die Energie außerhalb mit εr = 1 bzw. ε = ε0 ε0 lim Wa = 2 R→∞
ˆR ˆ2πˆπ b
0
Q0 1 4πε0 r2
2
0
R Q20 1 Q20 1 = r sin ϑdϑdϕdr = lim − 8πε0 R→∞ r b 8πε0 b 2
9.5 Energie in einer geladenen Kugel Für die geladene Kugel mit Radius a und der homogenen Raumladung %V = %0 Θ(a − r) bestimmt man analog zu den vorangegangenen Aufgaben in einem ersten Schritt zunächst das elektrische Feld im betreffenden Raumbereich, d.h. das Feld im Inneren der Ladungsverteilung ‹ ˚ ~ ~ ε E(~r)dA = %V (~r0 )dV V
∂V
ˆr ˆ2πˆπ
ˆ2πˆπ 2
ε 0
0
⇒
Er (r) =
02
0
0
0
r %0 r03 %0 = r 2 εr 3 0 3ε
0
(r ≤ a)
und hieraus die im Kugelvolumen enthaltene Energie W
=
=
ˆa ˆ2πˆπ ˆa ε %0 2 2 2π%20 Er (r) dV = r r sin ϑdϑdϕdr = r4 dr 2 3ε 9ε 0 0 0 0 V 5 a 2 2 2π%0 r 2π%0 5 = a 9ε 5 0 45ε ε 2
˚
2
r02 dr0
%0 Θ(a − r )r sin ϑdϑdϕdr = 4π%0
Er (r)r sin ϑdϑdϕ = 4πεr Er (r) = 0
ˆr 0
2
52
9
ELEKTROSTATIK - KAPAZITÄT UND ENERGIE IM DIELEKTRIKUM
9.6 Energie in zwei dielektrischen Schichten Die vorliegende Anordnung einer Kugel mit Radius a, in deren Mittelpunkt sich die Punktladung Q und auf derem Äußeren sich zwei dielektrische Schichten mit den Außenradien b = 2a bzw. c = 3a sowie den Permittivitäten ε1 bzw. ε2 = ε31 befinden, ähnelt derjenigen aus Aufgabe 9.4, weshalb die dort erhaltenen Ergebnisse zur Lösung genutzt werden können und nur geringfügig modifiziert werden müssen. Für die elektrische Feldstärke gilt wiederum 4πεr2 Er (r) = Q
⇒
Er (r) =
Q 1 4πε r2
Im inneren Dielektrikum mit a ≤ r ≤ b ist ε = ε1 , womit für die darin gespeicherte Energie folgt W1 =
=
ε1 2
ˆb ˆ2πˆπ
a 2 Q
0
−
8πε1
Q 1 4πε1 r2
2 r
2
0
1 r
2a = a
Q2
8πε1
1 a
Q2 sin ϑdϑdϕdr = 8πε1 Q2 1 = − 2a 16πε1 a
ˆ2a
dr r2
a
In der äußeren dielektrischen Schicht mit b ≤ r ≤ c ist ε = ε2 und die Energie somit W2 =
=
ε2 2
ˆc ˆ2πˆπ
b 2 Q
8πε2
0
−
Q 1 4πε2 r2
2
Q2 r sin ϑdϑdϕdr = 8πε2
0
1 r
ˆ3a
2
dr r2
2a
3a = 2a
Q2 8πε2
1 1 − 2a 3a
=
Q2 48πε2 a
Als Gesamtenergie des geschichteten Dielektrikums erhält man dementsprechend Q2 1 1 Q2 1 3 Q2 WGes = W1 + W2 = + = + = 8πa 2ε1 6ε2 8πε1 a 2 6 8πε1 a
10
STATIONÄRES STRÖMUNGSFELD
53
10 Stationäres Strömungsfeld 10.1 Stromdurchflossener Bügel Infolge der gleich bleibenden Querschnittsfläche ist der Betrag der Stromdichte J = AI über die Länge ~ = des Leiterbügels konstant, weshalb wegen der homogenen Leitfähigkeit κ des Materials mit J~ = κE −κ grad Φ auch der Gradient des Potentials Φ konstant sein und Φ damit linear vom Winkel ϕ abhängen muss. Aus den Potentialwerten an den Leiterenden kann daher die Relationsgleichung Φ(ϕ) = mϕ + n wie folgt bestimmt werden: Φ(ϕ) − n ϕ=π Φ(π) − Φa Φa − Φb = =− ϕ π π Φa − Φb ϕ Φ(ϕ) = − ϕ + Φa = Φa − (Φa − Φb ) π π n = Φ(ϕ = 0) = Φa
⇒
m=
Die Stromdichte ist gemäß obiger Materialgleichung mit dem elektrischen Feld verknüpft, welches sich aus dem Gradienten des Potentials berechnen lässt ~ = −κ grad Φ(ϕ) = −κ ∂Φ ~e% + 1 ∂Φ ~eϕ + ∂Φ ~ez = − κ ∂Φ ~eϕ J~ = κE ∂% % ∂ϕ ∂z % ∂ϕ |{z} |{z} =0 =0 κ (Φa − Φb ) κ = − − ~eϕ = (Φa − Φb )~eϕ % π %π Den Widerstand R eines Leiters der Länge l und Querschnittsfläche A bestimmt man allgemein nach dem Ohmschen Gesetz aus dem Quotienten der über diesem abfallenden Spannung U und dem ´ darin ~ r= fließenden Strom I, wobei sich die Spannung aus dem Wegintegral des elektrischen Feldes U = Ed~ ˜ ~ A ~ = JA ergibt. Somit folgt El und der Strom aus dem Flächenintegral über die Stromdichte I = Jd R=
U El El 1 l = = = I JA κEA κA
Der Widerstand des Bügels ergibt sich nun durch Zerlegung des Leiters in infinitesimal schmale, koaxiale Hohlzylinderelemente mit der Querschnittsfläche A = b · d% und Länge l = π%, welche bei lateraler Durchströmung parallel zueinander liegen und jeweils einen Beitrag dG zum Gesamtleitwert G liefern. Aufgrund der Parallelschaltung wird nun über alle Leitwerte integriert und man erhält dG = κ
A bd% =κ l π%
ˆ%a G = %i
bd% κb κ = π% π
ˆ%a %i
d% κb = ln % π
%a %i
⇒
R=
1 π = G κb ln %%ai
54
10
STATIONÄRES STRÖMUNGSFELD
10.2 Halbkugelerder ~ aus der Zur Berechnung des Skalarpotentials Φ(~r) bestimmt man zunächst das elektrische Feld E ~ Stromdichte J im Abstand r zum Mittelpunkt des Halbkugelerders. Da der Strom I vom Erdungspunkt ~ = E(r)~er radial ins Erdreich abfließt, besitzen Stromdichte J~ = J(r)~er und elektrostatisches Feld E ~ = dA~er jeweils nur eine Radialkomponente und das Flächenelement lautet in Kugelkoordinaten dA 2 mit dA = r sin ϑdϑdϕ. Man integriert nun über die untere Halbebene des Erdreichs und erhält ˆ2πˆπ
¨ ~ A ~= Jd
I =
0
A
~ E(r) =
Jr2 sin ϑdϑdϕ = J 2πr2 π 2
~ J(r) I ~er = κ 2πκr2
Das zugehörige Skalarpotential bestimmt sich aus dem Gradienten des elektrischen Feldes, wobei die Integration - im Unendlichen beginnend, da hier das Potential verschwindet - bis zum Abstand r vom Erdermittelpunkt durchgeführt wird. Das Oberflächenpotential ergibt sich dann durch Einsetzen des Radius a des Erders. ˆr Φ(r) = Φ(∞) − | {z } =0
I E(r )dr = − 2πκ 0
ˆr
0
dr0 I = r02 2πκr
∞
∞
Für den Erdungswiderstand folgt schließlich R=
U Φ(a) − Φ(∞) 1 = = I I 2πκa
,
Φ(a) =
I 2πκa
10
STATIONÄRES STRÖMUNGSFELD
55
10.3 Stromdurchflossenes Hohlzylindersegment Um die übrigen gesuchten Größen zu berechnen, wird zunächst der Widerstand R des gesamten Hohlzylindersegmentes bestimmt, wobei wieder wie in Aufgabe 10.1 verfahren und der Leiter in differentielle Leiterelemente zerlegt wird. Der Beitrag dR eines infinitesimal dünnen, koaxialen Hohlzylinderelementes der Querschnittsfläche A = h · %α und Länge l = d% zum Gesamtwiderstand ist dabei dR =
1 l 1 d% = κA κ h%α
Bei radialer Durchströmung des Segmentes ergibt sich eine Reihenschaltung aller Leiterelemente, weshalb man über sämtliche Widerstandsbeiträge integriert. ˆb R=
1 d% 1 = κ h%α κhα
a
ˆb
ln ab d% = % κhα
a
Der von außen nach innen durch den Leiter fließende Strom I ist aufgrund der Kontinuitätsgleichung konstant. Lediglich die Querschnittsfläche A variiert, sodass die Stromdichte J~ an der inneren Man~ = %dϕdz~e% in Zylinderkoordinaten telfläche größer ist als an der äußeren. Mit J~ = −J(%)~e% und dA berechnet man für Strom und Stromdichte κhα U (Φ − Φa )κhα = b I = = Φ(b) − Φ(a) b R ln a ln ab ¨
ˆh ˆα ~ A ~=− Jd
=
J(%)%dϕdz = −J(%)%αh 0
⇒
0
I (Φb − Φa )κ ~ ~e% J(%) = − ~e% = − %αh % ln ab
~ sowie über den Gradienten des Feldes Hieraus folgt direkt der Ausdruck für die elektrische Feldstärke E das Skalarpotential Φ ~ E(%) =
~ J(%) Φb − Φa ~e% =− κ % ln ab ˆ% a
∂Φ(%) ~e% ∂%
Φb − Φa E(% )d% = Φa + ln ab 0
Φ(%) = Φ(a) −
=−
ˆ%
0
a
ln d%0 = Φ + Φ − Φ a a b %0 ln
% a b a
56
10
STATIONÄRES STRÖMUNGSFELD
10.4 Zylindrischer Leiter mit ortsabhängiger Leitfähigkeit Analog zu Aufgabe 10.3 berechnet man zuerst den elektrischen Widerstand des zylindrischen Leiters. Der Beitrag dG eines infinitesimal dünnen, koaxialen Hohlzylinderelementes der Querschnittsfläche A = 2π% · d% und Länge l zum Gesamtleitwert ist dG = κ(%)
A % 2π%d% = κ0 1 − l 2a l
Bei axialer Durchströmung des Zylinders ergibt sich eine Parallelschaltung aller Leiterelemente mit ˆa %2 2πκ0 % 2π%d% %− d% G = = κ0 1 − 2a l l 2a 0 0 a 2 a 2πκ0 a2 πκ0 πκ0 2 %3 2 % − a − = = = l 3a 0 l 3 3l 1 3l R = = G 2πκ0 a2 ˆa
⇒
Stromdichte J~ und Strom I lassen sich nun aus dem Potential Φ berechnen, für welches analog zu Aufgabe 10.1 wieder ein linearer Verlauf entlang der Zylinderachse angenommen werden kann. Es ist Φ(z) = Φ(0) + |{z}
Φ(l) − Φ(0) Φ(l) U z= z= z l l l
=0
U κ0 U % ~ = −κ(%) grad Φ(z) = −κ0 z ~ez = − 1− ~ez J~ = κE l l 2a ¨ ˆa ˆ2π ˆa κ U % 2πκ U %2 0 0 ~ ~ I = JdA = 1− %dϕd% = %− d% l 2a l 2a 0 0 0 a πκ0 U 2 %3 2πκ0 U a2 = % − = l 3a 0 3l
% ∂ 1− 2a ∂z
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
57
11 Magnetostatik - Durchflutungs- und Induktionsgesetz 11.1 Magnetischer Fluss durch eine ruhende rechteckige Leiterschleife Bevor der magnetische Fluss durch die rechteckige Leiterschleife berechnet werden kann, muss zunächst das vom Gleichstrom I hervorgerufene Magnetfeld um den Leiter bestimmt werden. Ausgehend vom ~ mit der Stromdichte Durchflutungsgesetz der Maxwell-Gleichungen, welches das magnetische Feld H ~ J verknüpft und in dem für die magnetostatische Betrachtung die zeitliche Ableitung der elektrischen ~ entfällt, gelangt man durch Bildung des Flächenintegrals zu einem Ausdruck für den Flussdichte D Strom durch den Draht. ~ ~ = J~ + ∂ D rot H ∂t} | {z =0 ¨ ˛ ¨ ~ A ~=I ~ A ~ = Hd~ ~ r = Jd rot Hd A
A
∂A
Als Fläche wird aufgrund der Zylindersymmetrie eine konzentrische, senkrecht auf dem Leiter stehende Kreisfläche mit Radius % gewählt, welche den gesamten Strom I umfasst. Das Flächenintegral über die Rotation des Feldes schreibt sich dabei mithilfe des Stokesschen Integralsatzes als Wegintegral ~ = H(%)~eϕ wegen des gleich bleibenden über den Rand der Fläche, wobei die magnetische Feldstärke H Abstandes % zum Leiter auf dem gesamten Weg konstant bleibt. Mit dem vektoriellen Wegelement ~ = µH ~ erhält man also d~r = %dϕ~eϕ und unter Verwendung der Materialgleichung B ˆ2π H(%)~eϕ %dϕ~eϕ = 2π%H(%) = I 0
~ H(%) =
⇒
I ~eϕ 2π%
bzw.
µI ~ B(%) = ~eϕ 2π%
Der magnetische Fluss ΦA ergibt sich nun durch Integration der magnetischen Flussdichte über die gesamte Rechteckfläche der Leiterschleife ¨
zˆ 0 +b 0 +h %ˆ
µI B(%)~eϕ d%dz~eϕ = 2π
~ A ~= Bd
ΦA = A
z0
%0
zˆ 0 +h
%ˆ0 +b
dz z0
%0
d% µIh = ln % 2π
%0 + b %0
58
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
11.2 Magnetischer Fluss durch eine bewegte rechteckige Leiterschleife Da bis auf die Bewegung der Leiterschleife die gleiche Situation wie in Aufgabe 11.1 vorliegt, können im Wesentlichen die zuvor erhaltenen Ergebnisse übernommen und müssen lediglich die Integrationsgrenzen bei der Berechnung des magnetischen Flusses modifiziert werden. Entfernt sich die Leiterschleife mit der Geschwindigkeit v0 in radialer Richtung vom stromdurchflossenen Leiter, sind Unter- und Obergrenze bei der Integration nach dem Abstand % zeitabhängig mit %i (t) = %0 +v0 t und %a (t) = %0 +b+v0 t, sodass gilt zˆ a (t) 0 +h %ˆ
¨
µI B(%)d%dz = 2π
~ A ~= Bd
ΦA (t) =
z0
A
%0 +b+v ˆ 0t
zˆ 0 +h
dz z0
%i (t)
d% µIh = ln % 2π
%0 +v0 t
%0 + b + v0 t % 0 + v0 t
Alternativ lässt sich der magnetische Fluss auch dadurch berechnen, dass die Leiterschleife als ruhend und der Linienleiter als bewegt angenommen wird, was letztlich der selben Relativbewegung entspricht. Mit %(t) = %0 + v0 t ist dann zˆ a (t) 0 +h %ˆ
ΦA (t) = z0
µI µIh d%dz = 2π%(t) 2π
t
%i (t)
µIh %0 + v0 t + ln 2π %0 + v0 t
=
t+∆t ˆ
b v0
t+ vb
ˆ
v0 dt µIhv0 = %0 + v0 t 2π
= µIh ln 2π
%0 + v0 t + b % 0 + v0 t
t
0
dt %0 + v0 t
Für die in der Leiterschleife induzierte Spannung uind folgt aus dem Induktionsgesetz der MaxwellGleichungen nach Bildung des Flächenintegrals über die Rechteckfläche und unter Anwendung des Stokesschen Integralsatzes die Beziehung ~ = − rot E ¨
˛ ~ A ~= rot Ed
A
~ ∂B ∂t ¨
~ r = − Ed~
~ ∂B ~=−∂ dA ∂t ∂t
A
∂A
| {z } =uind
⇒
uind
¨ ~ A ~ Bd |A {z } =ΦA
∂ΦA = − ∂t
Im konkreten Fall liefert die zeitliche Ableitung des magnetischen Flusses eine Spannung von i µIh ∂ h ∂ΦA (t) =− ln(%0 + b + v0 t) − ln(%0 + v0 t) ∂t 2π ∂t µIh v0 v0 µIhv0 1 1 = − − = − 2π %0 + b + v0 t %0 + v0 t 2π %0 + v0 t %0 + b + v0 t
uind (t) = −
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
59
11.3 Gegeninduktivität - Linienleiter und dreieckförmige Leiterschleife Die Gegeninduktivität L21 der Anordnung aus Linienleiter mit dem Strom I1 entlang der x-Achse und der den Strom I2 führenden dreieckigen Leiterschleife in der xy-Ebene ist allgemein definiert als L21 =
Φ21 I1
mit dem magnetischen Fluss Φ21 durch die Fläche der Leiterschleife, welcher sich aus dem vom Strom I1 verursachten Magnetfeld bestimmt. Mithilfe der Gleichung für die magnetische Flussdichte des geraden Linienleiters aus Aufgabe 11.1, die entsprechend der vorliegenden Geometrie anzupassen ist, berechnet man also zunächst den die Dreiecksfläche durchsetzenden Fluss. Für das entstehende Flächenintegral muss die schräg zu den Koordinatenachsen liegende Dreieckseite dabei als obere Integrationsgrenze in Abhängigkeit entweder von x oder y ausgedrückt werden1 . ¨ Φ21 = =
ˆc x(y) ˆ ˆc ~ ~ BdA = B(y)~ez dxdy~ez =
a (c−y) c−b
ˆ
ˆc µI1 µI1 a c−y dxdy = dy 2πy 2π c − b y 0 A b 0 b b ic µI a c µI ac b µI1 a h 1 1 ln −a c ln(y) − y = c ln +b−c = 2π c − b 2π c − b b 2π b − c c b
Hieraus folgt schließlich direkt die Gegeninduktivität zu Φ21 µ ac b L21 = = ln −a I1 2π b − c c
1
Obwohl die Integrationsreihenfolge prinzipiell auch vertauscht werden kann, führt die hier gewählte Integration auf einem kürzeren Rechenweg zum Ergebnis und für die obere Grenze der inneren Integration ist x(y) als Gleichung der Hypotenuse aufzustellen.
60
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
11.4 Gegeninduktivität - 2 Linienleiter und quadratische Leiterschleife Wie bereits in Aufgabe 11.3 ausgeführt, wird zur Berechnung der Gegeninduktivität der Anordnung zuerst der magnetische Fluss durch die quadratische Leiterschleife bestimmt. Das dabei zu berücksichtigende Magnetfeld ergibt sich aus der Überlagerung der Felder beider Linienleiter bei y = 0 und y = 3a, durch die in entgegengesetzter Richtung jeweils der Strom I1 fließt. Die gesamte magnetische Flussdichte ist somit µI 1 µI µI 1 1 1 1 ~ ~1 + B ~2 = B(y) =B ~ez ~ez + ~ez = + 2πy 2π(3a−y) 2π y 3a − y als magnetischen Fluss erhält man ¨ Φ21 =
a
~ ~ = µI1 B(y)d A 2π
A
=
b+a ˆ2 ˆ
b
1 1 + y 3a − y
µI1 a dxdy = 2π
− a2
b+a ˆ
1 1 + y 3a − y
dy
b
µI1 a µI1 a b+a 3a − (b + a) b + a 3a − b ln − ln = ln · 2π b 3a − b 2π b 2a − b
und für die Gegeninduktivität folgt L21
Φ21 µa = = ln I1 2π
b + a 3a − b · b 2a − b
Um den für eine minimale Kopplung der Schleife, d.h. für eine möglichst geringe Gegeninduktivität der Anordnung zu wählenden Abstand bmin mit 0 < bmin < 2a zu ermitteln, bestimmt man das (lokale) Minimum von L21 durch Ableiten nach b und Null-Setzen des resultierenden Ausdrucks. ∂L21 ∂b
(3a − b) + b (3a − b)b 3ab − b2
i µa ∂ h ln(b + a) − ln(b) + ln(3a − b) − ln(2a − b) 2π ∂b µa 1 1 1 1 ! = − − + =0 2π b + a b 3a − b 2a − b (2a − b) + (b + a) = (2a − b)(b + a) = 2ab − b2 + 2a2 − ab ⇒ bmin = a =
Es zeigt sich also, dass die geringste Kopplung für den Fall erreicht wird, bei dem sich die Leiterschleife genau mittig zwischen beiden Linienleitern befindet, wie man dies auch aufgrund der Geometrie erwarten würde. Die Gegeninduktivität ist dann L21 (bmin ) =
µa µa ln 4 = ln 2 2π π
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
61
11.5 Gegeninduktivität - Linienleiter und gleichschenklige dreieckförmige Leiterschleife Die gegebene Anordnung eines entlang der x-Achse verlaufenden und den Strom I1 führenden Linienleiters und einer Leiterschleife in Form eines gleichschenkligen Dreiecks, durch welche der Strom I2 fließt, ähnelt derjenigen aus Aufgabe 11.3, weshalb sich die Gegeninduktivität dementsprechend auf gleichem Wege berechnen lässt. Mit b = a3 und c = 4a 3 sowie unter Ausnutzung der Symmetrie der Leiterschleife bezüglich der y-Achse bestimmt man den magnetischen Fluss zu a
¨ Φ21 = =
ˆc x(y) ˆ ˆ 3 ˆc y− ˆc µI1 a µI1 ~ ~ BdA = 2 B(y)~ez dxdy~ez = 2 1− dy dxdy = 2πy π 3y 0 A b 0 b b i µI a a µI1 h 2 µI1 b a 1 c − b + ln = 1 − ln 2 a − ln 4 = π 3 c π 3 π 3
Die Gegeninduktivität ist demzufolge L21
µa Φ21 = = I1 π
2 1 − ln 2 3
11.6 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Für den sehr langen, in z-Richtung verlaufenden Leiter mit Radius a, durch den der Gleichstrom I0 ~ r) = H(%)~eϕ analog zu Aufgabe 11.1 aus dem fließt, berechnet sich die magnetische Feldstärke H(~ Durchflutungsgesetz. Wegen der konstanten Leitfähigkeit ist auch die Stromdichte J~ = J~ez über dem gesamten Querschnitt des Leiters konstant und man kann schreiben ˛ ¨ ~ ~ A ~ Hd~r = Jd A
∂A
ˆ2π
ˆ% ˆ2π JΘ(a − %0 )%0 dϕd%0 = 2πJ
H(%)%dϕ = 2π%H(%) = 0
ˆ%
0
0
Θ(a − %0 )%0 d%0 0
Während bei der Integration über die senkrecht zum Leiter stehende Kreisfläche mit dem Radius % für den Fall % > a, d.h. außerhalb des Leiters, der gesamte Strom I0 erfasst wird und somit gilt ˆa %0 d%0 = Jπa2 = I0
2π%H(%) = 2πJ 0
⇒
~ H(%) =
I0 ~eϕ 2π%
(% > a)
schließt man im Leiterinneren für % ≤ a nur einen Teil des Gesamtstromes ein und erhält dementsprechend eine geringere magnetische Feldstärke ˆ% %0 d%0 = Jπ%2
2π%H(%) = 2πJ
Jπa2 =I0
=
I0
% 2 π%2 = I 0 πa2 a
0
⇒
~ H(%) =
I 0 % 2 I0 ~eϕ = %~eϕ 2π% a 2πa2
(% ≤ a)
62
11
MAGNETOSTATIK - DURCHFLUTUNGS- UND INDUKTIONSGESETZ
11.7 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Koaxialleiters Die Berechnung der magnetischen Feldstärke im gesamten Raum des Koaxialleiters, bestehend aus Innenleiter mit Radius a, durch den der Strom Ii = +I fließt, und Außenleiter mit Innenradius b und Außenradius c, welcher den Strom Ia = −I führt, erfolgt auf gleiche Weise wie in Aufgabe 11.6 für den Einzelleiter. Innerhalb des Innenleiters mit % ≤ a gilt ˛ 2 ~ r = H(%)2π% = Ji π%2 = +I % Hd~ a ∂A
~ H(%) =
⇒
I %~eϕ 2πa2
(% ≤ a)
Im Zwischenraum zwischen Innen- und Außenleiter, d.h. für a < % ≤ b, erfasst man den gesamten Strom Ii des Innenleiters und es ist ˛ ~ r = H(%)2π% = Ji πa2 = Ii = +I Hd~ ∂A
~ H(%) =
⇒
I ~eϕ 2π%
(a < % ≤ b)
Befindet man sich im Leiterinneren des Außenleiters mit b < % ≤ c, ist zusätzlich zum Strom Ii des Innenleiters ein Teil des entgegengesetzt fließenden Rückstromes Ia zu berücksichtigen ˛
ˆ%
%2 −b2 π(%2 −b2 ) =I 1− 2 2 % d% = I + Ja π(% −b ) = I + Ia π(c2 −b2 ) c −b b I %2 − b2 1− 2 ~eϕ (b < % ≤ c) 2π% c − b2
~ r = H(%)2π% = Ii + 2πJa Hd~ ∂A
⇒
~ H(%) =
0
0
2
2
Außerhalb der gesamten Koaxialleiteranordnung dagegen umschließt man sowohl den hin- als auch den rückfließenden Strom, welche in der Summe Null ergeben, weswegen auch das Magnetfeld im Außenraum für % > c verschwindet ˛ ~ r = H(%)2π% = Ii + Ia = I − I = 0 Hd~ ∂A
⇒
~ H(%) = ~0
Insgesamt folgt somit für die magnetische Feldstärke I % 2π a2 I 1 2π % Hϕ (%) = I 1 %2 −b2 1 − c2 −b2 2π % 0
(% > c)
: :
%≤a a
