Thema 5: Reduzierte Datenanforderungen II: Naive Diversifikation Problem: Kleinanleger verfügen oft nicht einmal über hinreichende Informationen zur Anwendung des Single-Index-Modells.

Im weiteren: Herleitung einer Handlungsempfehlung für den Fall fehlender Kenntnis der Momente von Renditeverteilungen.

Ergebnis: Optimalität der Aufnahme möglichst vieler Wertpapiere ins Portfolio.

Konkretisierung des betrachteten Problems: Voraussetzung eines risikoscheuen Anlegers mit µ-σ-Präferenzen, der in t = 0 über eine monetäre Anfangsausstattung in Höhe von A verfügt. Zur Auswahl stehen n Wertpapiere mit ungewissen Renditen ~r (i = 1, ..., n). i

Die Renditeverteilungen seien konkret gegeben durch  bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

1

s(1)

s(2)

s(3)

s(4)

s(5)

s(6)

s(7)

s(8)

s(9)

s(10)

11

6

7

−2

−1

13

−10

12

14

11

−9

2

15

13

1

18

16

−9

18

0

~r 3 ~r

10

18

−4

12

9

3

13

14

2

3

14

14

7

19

17

−4

10

19

−3

6

~r 5 ~r

−2

24

15

−5

12

−2

−2

18

3

−4

3

6

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23

24

7

3

−1

−1

14

~r 7 ~r

7

7

16

4

13

1

0

12

−3

8

17

−3

13

1

−2

17

8

8

2

−8

6

10

17

15

−10

6

17

2

10

5

10

8

5

7

3

−4

2

24

−4

6

~r 1 ~r

2

4

6

8

~r 9 ~r

10

Auf dieser Grundlage lassen sich alle Renditeerwartungswerte, -varianzen und -kovarianzen berechnen.

µi 1 1 56,89 2 −18,75 3 −19,3 4 −27,19 5 8,53 6 −28,42 7 1,65 8 11,37 9 −12,38 10 5,43

1 6,1

2 6,5

3 8

4 9,9

5 5,7

6 8,2

7 6,5

8 5,3

9 7,8

10 5,7

2 3 4 5 6 7 8 9 10 −18,75 −19,3 −27,19 8,53 −28,42 1,65 11,37 −12,38 5,43 104,25 −29,7 −50,95 −30,85 0−31,05 10,05 44,1 −60,35 −29,7 41,2 34,9 15,8 4,4 −3,4 −11,9 −6 23,9 −50,95 34,9 63,29 25,47 25,72 24,25 −14,27 −13,02 44,67 −30,85 15,8 25,47 100,61 −19,34 33,25 −11,01 −15,66 32,31 0 4,4 25,72 −19,34 74,96 10,8 −35,36 −23,76 −9,4401 −31,05 −3,4 24,25 33,25 10,8 33,45 −1,75 −15,3 24,65 10,05 −11,9 −14,27 −11,01 −35,36 −1,75 67,61 14,86 −0,61 44,1 −6 −13,02 −15,66 −23,76 −15,3 14,86 59,56 −9,6597 −60,35 23,9 44,67 32,31 −9,4401 24,65 −0,61 −9,6597 57,01

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

2

⇒ In Kenntnis dieser Größen Portfolioselektionsproblem wie im Thema 2 beschrieben prinzipiell lösbar.

Nun aber Annahme: Investor kenne obige Momente der Renditeverteilung nicht. ⇒ Was tun?

Gängige Empfehlung: „Naive Diversifikation“, d.h. zufällige Auswahl einer („hinreichend hohen“) Anzahl m von n Wertpapieren, in die typischerweise jeweils der gleiche Anteil 1 m des jeweiligen Anlegervermögens investiert wird.

Begründung für diese Verhaltensempfehlung: Unter Vernachlässigung etwaiger Transaktionskosten des Wertpapiererwerbs 1.) ist die erwartete Portfoliorendite unabhängig von der Anzahl m der ausgewählten Wertpapiere und 2.) fällt die Portfoliorenditevarianz mit wachsender Anzahl m ausgewählter Wertpapiere.

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

3

Zu 1.): Rendite eines Portfolios Q mit Wertpapieren Q1, Q2, ..., Qm: m m ~r = 1 ⋅ ∑ ~r ⇒ µ = 1 ⋅ ∑ µQ Q Q Q i = 1 i = 1 m m i

i

Aus Sicht des Zeitpunktes vor Wertpapierselektion ist das aus~ gewählte Portfolio eine Zufallsvariable Q . Die unbedingte erwartete Portfoliorendite µP ergibt sich hierbei einfach als

1 n µP = ⋅ ∑ µi n i=1 Verdeutlichung: m = 1: Jedes Wertpapier wird mit Wahrscheinlichkeit

1 selektiert, n

d.h., es gilt µQ = µi (i = 1, ..., n) mit Wahrscheinlichkeit

1 n

1 n ⇒ µP = ⋅ ∑ µi n i=1

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

4

m = 2:

n ⋅ (n − 1) mögliche Selektionen von Wertpapieren. Dabei je2 weils bedingte erwartete Portfoliorendite: µ Q =

µk + µl 2

Jedes Wertpapier i ist Bestandteil von n−1 der möglichen Portfolios.

Deswegen gilt:

µP =

n 1 2 µ 1 n ⋅ ∑ µQ = ⋅ ∑ (n − 1) ⋅ i = ⋅ ∑ µ i n ⋅ (n − 1) Q n ⋅ (n − 1) i =1 2 n i=1 2

m = 3: n ⋅( n − 1) ⋅(n − 2) mögliche Selektionen von Wertpapieren. Da3⋅ 2

bei jeweils bedingte erwartete Portfoliorendite: µQ =

µ j + µk + µ l 3

Jedes Wertpapier i ist Bestandteil von

( n − 1)⋅ (n − 2) der mög2

lichen Portfolios.

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

5

Deswegen gilt: µP =

1 ⋅ ∑µ n ⋅ ( n − 1) ⋅ (n − 2) Q Q 3⋅ 2

n ( n − 1) ⋅ ( n − 2) µ 3⋅ 2 = ⋅∑ ⋅ i n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) i=1 2 3

1 n = ⋅ ∑ µi n i =1

Analog kann für m > 3 argumentiert werden. Zu 2.): Für die unbedingte Varianz der Portfoliorendite gilt: σ2 = E[ ~r 2 ] − E 2 [~r ] P

P

P

=

1 ⋅ ∑ E[ ~rP2 | Q] − E 2 [~rP ] a ( m, n ) Q

=

1 1 ⋅ ∑ Var[ ~rP | Q] + ⋅ ∑ E 2[ ~rP | Q] − E 2[ ~rP ] a ( m, n ) Q a ( m, n ) Q

Nun gilt: a)

1 ~ ⋅ ∑ Var[~rP | Q] = E[Var[~rP | Q]] a ( m, n ) Q

b)

1 ~ ~ ⋅ ∑ E 2 [ ~rP | Q] − E 2 [ ~rP ] = E[ E 2 [~rP | Q]] − E 2[ E[ ~rP | Q]] a ( m, n ) Q (wieso?)  bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

6

Daraus folgt: ~ ~ Var [~rP ] = E[Var [~rP | Q ]] + Var[ E[~rP | Q]] streng monoton fallend in m und Null für m = n (wieso einleuchtend?) Näher zu Var[ ~ r P | Q ]: Var[ ~rP | Q] 1 m m = 2 ⋅ ∑ ∑ σQ Q j m i=1 j=1 i

1 m 2 1 m m = 2 ⋅ ∑ σQ + 2 ⋅ ∑ ∑ 2 ⋅ σQ Q m i =1 m i =1 j=i +1 i

m

i

m

j

(wieso?)

m

∑ ∑ σ Qi Q j σ 1 ∑ m − 1 = ⋅ i =1 + ⋅ i=1 j=i+1 m m m m ⋅ ( m − 1) 2 2 Qi

=

1 m −1 ⋅ σQ2 (Q) + ⋅ σQ Q j (Q) m m

=

1 ⋅ σ Q2 (Q ) − σQ Q j (Q ) + σQ Q j (Q ) m

i

[

i

i

i

]

(Interpretation?)

i

Dabei gilt: σQ2 (Q ): i

durchschnittliche Varianz der Rendite eines der m Wertpapiere in Q

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

7

σQ Q j (Q ): durchschnittliche Kovarianz zwischen den Rendii

ten von zwei (verschiedenen) Wertpapieren aus Q

Zusammenfassung: σ2P =

=

(

)

1 ~ 1  ⋅ ∑  ⋅ σQ2 (Q ) − σQ Q j (Q ) + σQ Q j ( Q)  + Var[ E[ ~rP | Q]] a ( m, n ) Q  m  i

i

i

1 ~ ⋅ (σi2 − σij ) + σij + Var[ E[ ~rP | Q]] m

σ2i : über alle möglichen Portfolios gebildeter Durchschnitt der Durchschnittsvarianz der Renditen der jeweils im selektierten Portfolio enthaltenen Wertpapiere; entspricht einfach der durchschnittlichen Renditevarianz über alle n zur Auswahl stehenden Wertpapiere σij : entsprechend zu σi die zugehörige „doppelt“ durch-

schnittliche Kovarianz zwischen zwei Wertpapierrenditen; entspricht einfach der durchschnittlichen Renditekovarianz über alle möglichen Paare aus den n zur Auswahl stehenden Wertpapieren Wegen σi2 > σij folgt sofort σ 2p ↓ für m ↑.  bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

8

⇒

Optimalität der Setzung m = n!

(wieso?)

Im Beispiel: (Angaben in Zehntausendstel)

m

σ2P ( m)

~ Var [E[ ~rP | Q]]

1

67,78912

1,90612

2

32,64077

0,84716

3

20,92464

0,49416

4

15,06658

0,31767

5

11,5518

0,21182

6

9,208519

0,141164

7

7,534809

0,09076

8

6,279526

0,052955

9

5,303169

0,023526

10

4,522101

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

0

9

70

σ 2P

60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

m

Ferner gilt: µP = 6,97 % für alle m

Also: Durch naive Diversifikation mit m = n erhebliche Reduktion der Portfoliorenditevarianz möglich.

Maßzahl zur Beurteilung des Diversifikationseffekts: Diversifikationseffizienz D(m, n) =

Varianz der Portfoliorendite bei Selektion von m Wertpapieren Varianz der Portfoliorendite bei Selektion von 1 Wertpapier

Im Beispiel mit m = n = 10:

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

10

4,52 ⋅ 10 −4 D(10, 10) ≈ ≈ 6,67 % −4 67,79 ⋅ 10

(Interpretation?)

Aber: Noch besser ist natürlich bewußte µ-σ-Optimierung in Kenntnis von allen entscheidungsrelevanten Renditemomenten: σ Naiv diversifiziertes Portfolio 2,13 %

6,97 %

8,13 %

µ

Daher: Vielleicht lohnt sich Einschaltung professioneller Fondsmanager. ⇒ Thema 6

 bfw, Prof. Dr. W. Breuer, Thema 5

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