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The Tangent Line Problem The blue segments below are tangent to the  red curve, which means the segments  usually intersect the curve at only one point.

The Tangent Line Problem The difference in finding slope now as compared to the  past is that we will find slope using only one point,  whereas in the past we needed two points.

The Tangent Line Problem

April 09, 2013

The Tangent Line Problem We can find the rate of change of the curve  by finding the slope of the blue segments.

The Tangent Line Problem In the next five slides, notice that the  distance between the x values of the  coordinates is decreasing and  approaching zero.  We are going to find  the slope of a line tangent to the curve  at x=1 by using only one point in the  last slide whereas in the first four slides  we are approximating the slope of the  line tangent to the curve by using two  points.  As the difference in the x values  approaches zero, the slope of the line  tangent to the curve approaches 2.

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x2 x2

x1 x1

x2 ­ x1 = 2.00 ­ 1.00 = 1.00

x2 ­ x1 = 1.50 ­ 1.00 = 0.50

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The Tangent Line Problem

x2 x1

x2 ­ x1 = 1.10 ­ 1.00 = 0.10

The Tangent Line Problem

April 09, 2013

The Tangent Line Problem

x2 x1

x2 ­ x1 = 1.02 ­ 1.00 = 0.02

The Tangent Line Problem In the past we have used the equation below  for slope.

x2 x1

x2 ­ x1 = 1.00 ­ 1.00 = 0

The Tangent Line Problem The two limits below follow from the  difference quotient.

We have also used difference quotients in the past, but  now we will use them to find slope.

The value of h is the distance between x2 and x1.

The Tangent Line Problem Definition of the Slope of a Graph

The slope     of the graph of    at the point                 is equal to the slope of its tangent  line at            and is given by:

This is the important one

provided this limit exists.

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The Tangent Line Problem

Find the slope of the line tangent to the  graph at a certain point. If                 find the slope of the line  tangent to the graph at the point                               .

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The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem Since we know a point on the tangent line and  the slope of the tangent line, we can write the  equation of the tangent line using the point  slope form.

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The Tangent Line Problem We can rewrite this in slope intercept form:

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The Tangent Line Problem Now we will find a general formula for the  slope of any line tangent to a graph.

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem For the function below, we now have a  formula to find the slope of the tangent line  at any point on the graph.

What is the slope of the tangent line at x=5?

What is the slope of the tangent line at x=­4?

What is the slope of the tangent line at x=0?

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The Tangent Line Problem

What we have found when we  find a general formula for the  slope of the tangent line is called  the derivative.

April 09, 2013

The Tangent Line Problem Definition of the Derivative: The derivative of      at      is given by 

provided the limit exists.

The Tangent Line Problem The derivative can be denoted in different ways, but  they all represent the same thing.

If then the derivative can be written as:

The Tangent Line Problem Find the locations where the tangent  line is horizontal, given the following  conditions.

The Tangent Line Problem We have seen that when the line  tangent to the curve has a slope of  zero, there exists either a minimum or  maximum, but we can not always be  sure which one we are looking at.

The Tangent Line Problem The tangent line is horizontal when  the slope is zero.

So we are going to set the derivative  equal to zero.

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The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem

Find the locations where the tangent  line is horizontal, given the following  conditions.

The Tangent Line Problem

The Tangent Line Problem Find the locations where the tangent  line is horizontal, given the following  conditions.

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