The Story of the Cubic

Dramatis Personae • Scipione del Ferro, a mathematical gentleman of  Balogna. • Annibale del Nave, his son‐in‐law. • Antonio Maria Fior, his student. • Niccolo Fontana (Tartaglia), a mathematician and  possible scoundrel • Girolamo Cardano, a mathematician and possible  scoundrel • Ludovico Ferrari, Cardano’s hot‐headed assistant. • Various sons, daughters, French soldiers, and the  Spanish Inquisition.

No One Expects the Spanish  Inquisition!

When we last left our story…. • Antionio Fior had acquired the solution of a  “depressed” cubic (missing the  ଶ term) from  the papers of his teacher, Scipione del Ferro. • As was the custom of the day, he challenged  the mathematician Niccolo Fontana, known as  Tartaglia, to a battle of mathematical wits.   Tartaglia had bragged that he could solve  cubics with a missing x term.  

Niccolo Fontanta (Tartaglia) • Left impoverished when  his father, a rider and  messenger/delivery  man, was killed. • Badly wounded by a  French soldier as a boy,  he was left with a  speech impediment and  so was called Tartaglia,  or “Stammerer.”  

The (Mathematical) Duel • Fior and Tartaglia each supplied 30 problems and  the one who solved the most at the end of a  month would be the winner. • Fior knew the  “no  ଶ ” depressed case; Tartaglia steered clear of that. • Tartaglia knew the “no x” case.  Fior steered clear  of those. • On the evening of February 13, 1535, Tartaglia solved the “no  ଶ ” case, too.  • Tartaglia was the clear winner, and Fior faded  away into obscurity.

Enter Girolamo Cardano (1501 – 1576) • Clearly one of the most  interesting characters in the  history of mathematics.   • “A Renaissance man.”  ‐‐ Hal  Hellman, author of Great  Feuds in Mathematics. • “A Scoundrel  mathematician” whose life  was “deplorable even by the  standards of the times.”  ‐‐ David M. Burton, A History  of Mathematics.

Cardano • Likely an illegitimate child, he was nevertheless  well schooled by his father, a lawyer and lecturer  in geometry, and a friend of Leonardo da Vinci.   • Studied the first six books of Euclid by age 12;  medical degree by age 25.  Very sought‐after as a  physician throughout northern Italy.  He treated  the Pope. • An inveterate gambler who wrote the first serious  book on the mathematics of probability.  It also  included a section on how to cheat in games of  chance. 

Cardano • “Quick tempered and vindictive and often  unable to control his anger.  At times this  involved him in brawls of the most serious  kind.”   • Numerous lawsuits, all of which he claims to  have won.   • He also cast horoscopes.  Surprise.

The Game’s Afoot • Cardano was writing Ars Magna (The Great Art) and  upon hearing of Tartaglia’s solution to the depressed  conic, wanted to include it in the book (with proper  credit, of course).  At this time, Cardano knew nothing  of del Ferro’s solution. • Tartaglia resisted.  Then there were a series of letters  ranging between “sharp and friendly.”   • Cardano: “Greedy and unwilling to help mankind.” • Tartaglia: “I will not say that you are a great ignoramus,  but that you are a person of poor judgment.” • Cardano sniped at Tartaglia’s book on Ballistics.

The Game’s Afoot • Finally, by dropping names, implying  introductions to important people, and so  forth, Cardano got Tartaglia to visit him, and  eventually got the solution out of Tartaglia.  It  was given in the form of a cryptic verse, and  was given only after extracting a solemn  promise that Cardano would never reveal it.   • Ever.   • I mean it.

Mathematics? When the cube and its things near Add to a new number, discrete, Determine two new numbers different By that one; this feat Will be kept as a rule Their product always equal, the same, To the cube of a third Of the number of things named. Then, generally speaking, The remaining amount Of the cube roots subtracted Will be our desired count.

Why This Mattered to Cardano • Cardano could solve all cubic equations if he  could solve the depressed case, so he needed it  to finish that project.  Moreover, he and his  assistant Ludovico Ferrari had gone further and  figured out how to reduce quartic (i.e. fourth‐ degree) equations to depressed cubics as well.   • So he had an important piece of mathematics  that he couldn’t publish because of his promise  to Tartaglia.

The Game’s Afoot Again • Finally, Cardano and Ferrari heard that there  might be another solution to the depressed  cubic in Bologna.  They travelled there and  met with della Nave.  Finding that del Ferro  had the solution before Tartaglia, they decided  the promise was no longer valid, and they  published the whole thing in Ars Magna.  They  credited both del Ferro and Tartaglia.  

The Aftermath • Tartaglia was furious.  He sent some pretty  nasty letters to Cardano.   • They were handled by Ferrari, who eventually  challenged Tartaglia to a contest.  • The details are sketchy, but at least one source  has this to say:

The Second (Mathematical) Duel • On 10 August 1548 the contest took place in the  Church in the Garden of the Frati Zoccolanti.  Tartaglia was vastly experienced in such debates  and he expected to win. However, by the end of  the first day, it was clear that things were not  going his way. Ferrari clearly understood the  cubic and quartic equations more thoroughly, and  Tartaglia decided that he would leave Milan that  night and thus leave the contest unresolved. With  Tartaglia departing ignominiously, victory was left  to Ferrari. 

The Second (Mathematical) Duel • Tartaglia suffered as a result of the contest.  After giving his lectures for a year in Brescia,  he was informed that his stipend was not  going to be honored. Even after numerous  lawsuits, Tartaglia could not get any payment  and returned, seriously out of pocket, to his  previous job in Venice, nursing a huge  resentment of Cardano. The defeat in Milan  would appear to be responsible for Tartaglia's non‐payment. 

And Thus We See • Things didn’t end well for Tartaglia. Most  sources list Tartaglia’s date of death as 13  December 1557, about nine years after the  duel with Ferrari.  • How did things turn out for Cardano and  Ferrari?

Cardano’s End Story: Cardano had three children: • Chiara, married into a good family, but her  promiscuity led to an annulment, legal battles for  restitution. • Giambattista married a woman from a poor  family, poisoned her, and was eventually  executed.  The strain led to some paranoia on  Cardano’s part. • Aldo – a gambler and drunk. Broke into his  father’s house to steal money or goods.

Cardano’s End Story: • Cardano eventually lost his university  positions and was exiled from Milan. • Some think that Tartaglia may have been  behind many of the refusals he got looking for  positions. • Finally, on October 13, 1570, and apparently  partly from evidence provided by Cardano’s son Aldo, Cardano was arrested by the  inquisition.

Evidence Against Cardano: • Refusal to serve as the Pope’s astrologer • He cast a horoscope of Jesus. • Some of his writings suggested that God loved  non‐Christians, too. • Etc. • He was jailed, and released a few months later  by his friend, Archbishop Hamilton.

Epilogue: • Cardano died in obscurity in Rome, where he  wrote his autobiography.  He died not  knowing his daughter Chiara died of syphilis,  and that Aldo had betrayed him and was  rewarded with an appointment as official  torturer and executioner in Bologna. • He died September 20, 1576.

An Interesting Twist on the Story • This story as told in the book Great Feuds in  Mathematics by Hal Hellman gets even more  interesting.  In Hellman’s version, Tartaglia was  behind Cardano’s arrest, conspired with Aldo  to provide evidence, and thus had his carefully  plotted revenge on Cardano.  There’s only one  problem.  

The Problem with Hellman’s Version • If Tartaglia died in 1557, he wasn’t even  around when Cardano was arrested and tried  by the Inquisition.  Not even close. • So where is this all coming from? • Glad you asked. 

Tartaglia’s Death: • Almost every source I find gives his death date  as 1557, and when a day is listed it is  consistently 13 Dec 1557.  I tend to accept  that date. • But the more interesting point is that the  same person who claimed the erroneous  death date, also claimed that Tartaglia was  behind Cardano’s arrest.  So can we trust that?

Sources: 1. Great Feuds in Mathematics, by Hal Hellman,  © 2006. 2. Doctor Cardano:  Physician Extrordinary, by  Alan Wykes, © 1969 3. Cardano’s Solution, by Allan Ashworth, in  January 1999 History Today. 4. Cardano:  The Gambling Scholar, by Oystein Ore, © 1953.

Sources: • Hellman draws directly from Wykes.   • Ashworth cites both Wykes and Ore but is not  specific about which says what. • Ore doesn’t implicate Tartaglia, and cites 1557  as his death date.   • So it all seems to come down to Source 2,  Wykes.

Quotes from Wykes: • P. 174:  “The boy Aldo, to whom I had promised the  reward of the appointment of public torturer and  executioner in that city, came to me in Rome with the  intelligence that his father was in Bologna awaiting an  interview with the syndics.  I thought to myself, ‘Ah!  This will be pleasant, to raise his hopes that at last the  restrictions are to be lifted from him and then, an  instant before the realization of these hopes, to cast  him into prison.  And so it was.  I hastened to Bologna,  and there he still sheltered, in the ruins of a hovel,  awaiting an ascent to his former status.  I instructed  the guards to arrest him as he set out for his  appointment.” 2

Quotes from Wykes: • Notice that this quote, which directly  implicates Tartaglia and has him alive and well  in 1570, actually has a footnote, #2 in Chapter  18. • The Notes in the back have only one footnote  reference for Chapter 18; it is for footnote 1,  and is to Cardano’s own work.  Footnote 2 is  conspicuous by its absence. 

So the search for truth continues • My best guess:  Wykes misremembered the  1557 date as 1577, which puts it one year  after Cardano’s death. • My best guess: The quote is that of someone  else involved with the arrest, and not  Tartaglia.  But who? • See what happens when you’re not careful?

Epilogue: • Lodovico Ferrari left Cardano, taught in Milan,  became a professor at Bologna, and died one  year later, possibly poisoned by his own sister.  • Oh, and by the way:  Tartaglia created a  method for finding binomial coefficients using  something called “Tartaglia’s Triangle.”  You  might know it under another name.