TEORIA GIER- semestr zimowy ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej

TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej 1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których...
0 downloads 5 Views 65KB Size
TEORIA GIER - semestr zimowy 2011 ZADANIA 3. Gry w postaci ekstensywnej

1. Jaś i Małgosia dostali do podziału między siebie cztery zabawki, z których każda jest niepodzielna: dwie identyczne lalki, misia i czołg. Małgosi najbardziej z tych zabawek podoba się miś, trochę mniej lalki, a czołg wcale nie. Jasiowi najbardziej podoba się czołg, miś nieco mniej, a lalki go nie interesują. Dzieci uzgodniły, że najpierw jedno z nich wybierze sobie jedną zabawkę, a potem drugie – dwie z trzech pozostałych. Czwartą zabawkę bierze dziecko, które wybierało jako pierwsze. (a) Podać postać ekstensywną gry, w której pierwsza wybiera Małgosia, oraz gry, w której pierwszy wybiera Jaś, i wyznaczyć równowagi doskonałe obu gier. (Można przyjąć dla każdego dziecka wypłatę 2 za najbardziej lubianą zabawkę, 1 za średnio lubianą i 0 za bezwartościową). W której grze pierwsze wybierające dziecko nie bierze najpierw najbardziej preferowanej zabawki i dlaczego? (b) Rozpatrzeć wersję gier z p. (a) z niepełną informacją, w których pierwsze wybierające dziecko mówi drugiemu tylko, czy wzięło lalkę, czy nie, i w tym drugim przypadku drugie dziecko wybiera między wzięciem dwóch lalek a wzięciem lalki i nieznanej zabawki. Jak zmienia się postać ekstensywna w porównaniu z grą z pełną informacją? Czy w którejś z nowych gier można przeprowadzić indukcję wstecz? 2. Dwaj gracze na przemian kładą po jednej monecie na początkowo pustym stole, przy czym zaczyna gracz I, a w każdym posunięciu można położyć 1 zł, 2 zł albo 5 zł. Gra kończy się w chwili, gdy na stole leży co najmniej 12 zł; wówczas gracz, który dokładał jako ostatni, zabiera ze stołu wszystkie pieniądze. Obaj gracze mają wystarczająco dużo monet, aby dołożyć dowolny nominał w każdej chwili. Który z graczy (jeśli w ogóle) ma w tej grze strategię gwarantującą dodatnią wypłatę i na czym ta strategia polega? Opisać równowagę doskonałą tej gry i podać, jakie są w niej wypłaty graczy. Czy odpowiedź zmieni się w sytuacji, gdy każdy z graczy ma dowolnie dużo złotówek i dwuzłotówek, ale tylko jedną pięciozłotówkę? 3. Firma A jest monopolistą na pewnym rynku, z czego osiąga zysk 15. Wie jednak, że wejście na ten rynek rozważa potencjalny konkurent - firma B. Jeżeli B wejdzie na rynek i A się do tego dostosuje, wówczas każda z firm będzie zarabiać po 5. Jeżeli jednak A rozpocznie wojnę cenową, to każda z firm poniesie stratę w wysokości 1. Jeśli B zrezygnuje z wejścia, zarobi 2. (a) Narysować drzewo tej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą. Czy gra ma inne równowagi? (b) Przypuśćmy, że rozpoczęcie wojny cenowej przez firmę A wiąże się nie tylko z obniżeniem ceny, ale także z przygotowaniem filmów i ulotek reklamowych informujących konsumentów o promocji cenowej. Firma A może zlecić tę kampanię i ponieść

jej koszt w wysokości 8 przed decyzją konkurenta, w taki sposób, że B podejmując decyzję o wejściu (bądź nie) już wie, czy A zleciła kampanię reklamową. W przypadku zwalczania konkurenta obecnego na rynku, i tylko wtedy, kampania zwiększa przychody firmy A o d = 7, natomiast wypłaty firmy B nie zmieniają się. Narysować drzewo tak zmienionej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą. (c) Jaka jest minimalna wielkość d, przy której firma A w równowadze doskonałej zleca druk ulotek i produkcję reklam? 4. Trzej sprzedawcy, A, B i C, kolejno oferują dużemu klientowi sprzedaż wyposażenia fabryki. Cena nie gra roli, natomiast ważne jest, czy oferta zawiera serwis pogwarancyjny: każdy sprzedawca zarobi 3, gdy sprzeda produkt bez obowiązku serwisowania, a 1, jeżeli z serwisem. Decyzją każdego z graczy jest zaproponowanie serwisu pogwarancyjnego lub nie. Jeśli wszyscy trzej złożą jednakowe oferty, oferta A zostanie wybrana z prawdopodobieństwem 1/6 , B z prawdopodobieństwem 1/3 , a C z prawdopodobieństwem 1/2. Jeżeli oferty będą różne, klient na pewno nie przyjmie oferty bez serwisu, a jeżeli serwisowanie zaproponują dwie firmy, to stosunek prawdopodobieństw ich wybrania będzie taki sam, jaki był przy trzech = 1/3 = 23 i wobec tego jednakowych ofertach (np. jeśli będą to B i C, to p(B) p(C) 1/2 p(B) = 25 , p(C) = 53 ). (a) Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie oferty są publicznie znane, tj. każdy następny oferent zna wszystkie poprzednie oferty. Wyznaczyć równowagę doskonałą tej gry, opisując dokładnie strategie w tej równowadze. (b) Wyznaczyć jedyną równowagę Nasha wersji tej gry, w której wszystkie oferty są tajne. (Wskazówka: jeden z graczy ma strategię dominującą). (c) Czy takie utajnienie ofert jest korzystne dla klienta? 5. Gracz M ma pozycję monopolisty na pewnym rynku, dzięki czemu uzyska użyteczność 5, o ile na ten rynek nie wejdzie konkurencja. Potencjalny konkurent, gracz K, operuje na rynku lokalnym, z czego czerpie użyteczność 1, i rozważa wejście na rynek monopolisty. Jeżeli wejdzie, M musi zadecydować, czy go zwalczać, czy tolerować; w pierwszym wypadku użyteczność obu graczy wyniesie 0, a w drugim 2. Przypuśćmy teraz, że przed tą grą M może (ale nie musi) zainwestować 2 w dodatkową linię produkcyjną, która zostanie uruchomiona tylko w przypadku zwalczania konkurenta wchodzącego na rynek, co wówczas zmieni wypłatę M z 0 na 3. Konkurent dowiaduje się o tej decyzji monopolisty przed podjęciem własnej. W razie takiej decyzji od wszystkich wypłat gracza M trzeba odjąć koszt 2, natomiast wypłaty gracza K pozostają bez zmian. (a) Podać postać ekstensywną tej gry i wyznaczyć jej równowagę doskonałą (podając dokładny opis strategii) . Czy w tej równowadze M zainwestuje w nową linię i czy będzie ona użyta? (b) Podać postać ekstensywną i normalną gry, w której konkurent nie wie, czy monopolista zainwestował. Znaleźć wszystkie jej równowagi w czystych strategiach.

6. Dwie firmy, A i B, stworzyły prototypy nowego produktu i zastanawiają się nad podjęciem jego masowej produkcji. Firma A może wybudować nową fabrykę już teraz, za rok albo wcale, a firma B – dopiero za rok albo wcale. Za rok będzie jednak wiadomo, czy popyt na ten towar będzie duży czy mały, i firmy będą mogły wziąć to pod uwagę podejmując decyzje o budowie, nie będą natomiast znać podejmowanej równocześnie decyzji konkurenta. Jeśli obie firmy produkują na duży rynek, to zarabiają po 3, a jeżeli na mały, to po −2. Ponadto w tej sytuacji (tj. gdy produkuje też B) firma A, inwestując od razu, dodatkowo zarobi na pierwszeństwie 1 w porównaniu z zainwestowaniem za rok. Monopolista na dużym rynku osiąga zysk 7, a na małym 2. (a) Podać postać ekstensywną tej gry. (Zwrócić uwagę, w którym momencie następuje posunięcie losowe). (b) Jak powinna postąpić firma B wiedząc, że A zainwestowała od razu? 7. Monopolista operuje na rynku, na którym cena jego produktu jest zadana odwrotną funkcją popytu p(q) = (32 − q)+ , gdzie q jest wielkością podaży. Dwaj potencjalni konkurenci rozważają wejście na ten rynek, przy czym drugi będzie o tym decydować dopiero po decyzji pierwszego, a więc może uzależnić swoją decyzję od tego, czy pierwszy wszedł na rynek, czy nie. Koszt produkcji jednostki towaru wynosi 2, a koszt wejścia na rynek 50. Wszystko to jest wspólną wiedzą wszystkich trzech graczy. Naszkicować drzewo tej gry, wyznaczyć jej równowagę doskonałą (podając dokładny opis strategii) oraz cenę rynkową i wypłaty graczy w tej równowadze. 8. Dwie firmy, A i B, jako jedyne na świecie są w stanie wytwarzać pewien produkt. Firma A jako pierwsza decyduje, czy go produkować w ogóle i czy budować małą linię produkcyjną, czy dużą. Następnie analogiczną decyzję podejmuje firma B, znając już wybór firmy A. Następnie obie firmy równocześnie wybierają wielkość swojej produkcji. Mała linia produkcyjna umożliwia wytworzenie do 12 jednostek, a duża do 25 jednostek, przy czym koszt produkcji jednostki wynosi każdorazowo C = 17. Cena rynkowa jednostki produktu jest dana wzorem p = 65 − Q, gdzie Q jest łączną wielkością produkcji. Budowa małej linii produkcyjnej kosztuje KM = 240, a dużej KD = 420. Firma nie budująca żadnej linii zarabia 0 i nie ponosi kosztów. (a) Przy założeniu, że gracz, który zbudował małą linię produkcyjną, w równowadze każdej podgry następującej po tej decyzji wybierze maksymalną możliwą produkcję (12), obliczyć wielkości produkcji i wypłaty w równowadze każdej podgry ostatniego etapu gry. (b) Narysować drzewo gry z pełną informacją powstającej z wyjściowej gry przez zastąpienie każdej jej końcowej podgry wierzchołkiem końcowym z wypłatami w równowadze tej podgry. Znaleźć równowagę doskonałą tej gry i opisać strategie w równowadze doskonałej. Jakie rzeczywiste zjawisko ekonomiczne opisuje ta równowaga? (c) Czy istnieje równowaga gry z punktu (b), w której obaj gracze budują małe linie produkcyjne? Jeśli tak, to jak wygląda i czy jest doskonała? Uzasadnić odpowiedź. (d) Udowodnić, że założenie przyjęte w punkcie (a) jest prawdziwe.

9. Monopolista produkujący pewien towar ustala cenę h, po której będzie go sprzedawać do sieci hipermarketów, po czym ta decyduje o wielkości zamówienia. Cena detaliczna, po której hipermarkety sprzedają towar konsumentom, jest wyznaczona q przez odwrotną funkcję popytu p(q) = 120 − 400 , gdzie q jest ilością towaru na rynku (jak w modelu Cournota). Koszt produkcji wynosi C(q) = 20 · q. (a) Wyznaczyć równowagę doskonałą tej gry. (b) Porównać cenę producenta, wielkość produkcji oraz łączny zysk producenta i sieci hipermarketów w tej równowadze z odpowiednimi wielkościami w sytuacji, gdy monopolista sprzedaje swój towar bezpośrednio konsumentom. (c) Która z dwóch sytuacji z punktu (b) jest korzystniejsza dla konsumentów? 10. Pracownik wybiera poziom wykształcenia √ zawodowego a – liczbę naturalną ze zbioru {0 , 1 , 2 , ... , 16}, co kosztuje go a a, po czym zgłasza się do dużej firmy z ofertą zatrudnienia się w niej. Jego praca jest warta dla firmy 5,4 · a ; z tej kwoty firma musi zapłacić płacę w, gdzie w może być dowolną liczbą naturalną nie większą niż 100. Opcją zewnętrzną pracownika jest praca na własny rachunek, na czym zarobi 4,5 · a. Wszystko to jest wspólną wiedzą obu stron. Naszkicować drzewa i znaleźć równowagi doskonałe dwóch gier: pierwszej, w której wielkość płacy w proponuje firma, a pracownik przyjmuje tę propozycję albo idzie na swoje, i drugiej, w której wielkość płacy w proponuje pracownik, a firma zatrudnia go albo nie. Porównać poziom przygotowania zawodowego i zarobki pracownika oraz zyski firmy w równowagach doskonałych obu gier. 11. Dwie konkurujące firmy A i B rozważają podjęcie produkcji nowego typu gadżetu. To, na ile jego produkcja będzie opłacalna, zależy od tego, czy produkcję podejmie konkurent, a także od nieznanej obecnie wielkości rynku. Rynek może być mały lub duży; obie firmy oceniają, że prawdopodobieństwo dużego rynku wynosi 0,4 , a małego 0,6 . Na dużym rynku monopolista zarobi na czysto 100 (firma A) lub 120 (firma B), a jeśli będą na nim obecne obie firmy, to zarobią po 30. Na małym rynku monopolista zarobi na czysto 5 (firma A) bądź straci 10 (firma B), a jeśli będą na nim obecne obie firmy, to A straci 25, a B 40. Żadna z firm nie zna decyzji drugiej w chwili podejmowania własnej, ale obie wiedzą, że firma B (i tylko ona) prowadzi badanie rynku i podejmie decyzję znając już jego wielkość. Podać postać ekstensywną tej gry i wyznaczyć jej równowagę. 12. Trzy siostry dzielą między siebie trzy odziedziczone obiekty: mieszkanie, jacht i cenny obraz. Uzgodniono następującą procedurę podziału: najmłodsza siostra oznajmia, z którego obiektu rezygnuje, najstarsza zgodnie z tym przydziela jej jeden z dwóch innych obiektów, a na koniec spośród dwóch, których nie dostała najmłodsza, jeden wybiera dla siebie średnia siostra. Ostatni z obiektów zostaje dla najstarszej siostry. Każda z sióstr kieruje się tylko swą preferencją co do przypadającego jej dobra, nie interesując się tym, której przypadły inne obiekty. (a) Podać postać ekstensywną gry, w której wszystkie siostry najbardziej chciałyby dostać mieszkanie, ale najstarsza woli dostać jacht niż obraz, a obie pozostałe odwrotnie. (Można przyjąć dla każdego gracza wypłatę 2 za najbardziej preferowany obiekt, 1 za średni i 0 za najmniej preferowany). Znaleźć w tej grze dwie równowagi

doskonałe, w których najmłodsza siostra rezygnuje z różnych obiektów. Która z tych dwóch jej strategii wydaje się Pani / Panu rozsądniejsza i dlaczego? (b) Pokazać, że gdy każda z sióstr najwyżej ceni sobie inny obiekt, to w równowadze doskonałej każda dostanie najbardziej preferowany. Opisać dokładnie strategie wszystkich trzech w tej równowadze. 13. Dwaj gracze targują się o podział sumy 19,99 zł. Pierwszą propozycję podziału składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to z sumy 19,99 ubywa 6 zł i gracz II składa propozycję podziału mniejszej sumy; jeśli ta z kolei zostanie odrzucona przez gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dostają po 5,50 zł, a resztę zabiera arbiter. Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje uzgodniony podział. Zakładamy, że legalne są tylko takie propozycje podziału, w których oferent otrzymuje całkowitą liczbę złotówek (czyli np. pierwsza propozycja gracza I musi być postaci: n zł 99 gr dla ciebie, 19 − n zł dla mnie). Gracze nie dyskontują wypłat. Narysować fragment drzewa tej gry z co najmniej jedną gałęzią każdej możliwej długości. Znaleźć jej równowagę doskonałą i podać pełny opis tworzących ją strategii oraz otrzymany podział. 14. Dwaj gracze targują się o podział sumy 100 zł, przy czym możliwe są tylko takie podziały, w których każdy dostaje całkowitą liczbę złotówek. Pierwszą propozycję podziału składa gracz I. Jeśli gracz II ją odrzuci, to składa kontrpropozycję; jeśli ta z kolei zostanie odrzucona przez gracza I, to gra się kończy i obaj gracze dostają po 50 zł. Przyjęcie którejkolwiek propozycji także kończy grę i wtedy następuje uzgodniony podział. Użyteczność z uzyskania przez gracza i sumy x zł po k odrzuconych propozycjach wynosi x · δik . Narysować fragment drzewa tej gry. Znaleźć jej równowagę doskonałą i co najmniej jedną równowagę niedoskonałą i podać podziały otrzymane w tych równowagach (a) przy δ1 = 5/6, δ2 = 4/5 , (b) przy δ1 = 4/5, δ2 = 5/6 (uwaga: w tym przypadku równowag doskonałych jest więcej). 15. Sprzedawcy lodów na plaży – wersja sekwencyjna (trudniejsze). Trzej gracze, A, B i C sprzedają lody tego samego producenta, który ustala cenę sprzedaży i płaci graczom proporcjonalnie do liczby sprzedanych przez nich lodów. Plaża dzieli się na 5 równych sektorów, do każdego z nich prowadzi (pośrodku sektoru) jedno wejście od strony promenady. Gracze podejmują w kolejności alfabetycznej (A, B, C) decyzje o wyborze wejścia na plażę, przy którym postawią swoją budki z lodami; graczowi wolno zająć tylko wolny sektor, tj. taki, w którym jeszcze nie stoi budka innego gracza. Wszystkie sektory plaży są jednakowo zatłoczone plażowiczami. Wiadomo, że każdy plażowicz kupi dokładnie jedną porcję lodów w budce, do której ma najbliżej, a jeżeli ma najbliżej do dwóch budek, to wybierze losowo jedną z nich. Zarobek sprzedawcy z obsłużenia jednego pełnego sektora plaży wynosi 10, a z połowy sektora 5. Przyjmujemy dla uproszczenia, że gracz A zajmie sektor numer 1, 2 lub 3 (a) Narysować drzewo tej gry z wypłatami graczy w wierzchołkach końcowych. (b) Czy istnieje równowaga tej gry, w której gracz A zajmuje sektor numer 3, i czy

istnieje równowaga doskonała o tej własności? Uzasadnić odpowiedź. (c) Wyznaczyć metodą indukcji wstecz co najmniej dwie równowagi doskonałe tej gry. Czy istnieje równowaga doskonała, w której jeden z graczy uzyskuje wypłatę większą niż 20? 16. Trzy karty – król, dama i walet – zostały starannie potasowane, po czym gracze I i II dostają po jednej. Gracz I musi zdecydować, czy wchodzi do gry, czy pasuje. Jeśli pasuje, płaci 10 zł graczowi II i gra się kończy. Jeśli wchodzi, gracz II musi zadecydować, czy pasuje, czy sprawdza. Jeśli gracz II pasuje, płaci 10 zł graczowi I. Jeśli sprawdza, karty zostają odkryte i gracz, który ma niższą kartę, płaci przeciwnikowi w zł (w > 10). (a) Przedstawić tę grę w postaci ekstensywnej. (Zacząć od posunięcia losowego i dobrze zaplanować rysunek drzewa). (b) Czy racjonalny gracz II z jakąś kartą na pewno sprawdzi? Czy z jakąś kartą na pewno spasuje? Uzasadnić odpowiedzi. (c) Czy racjonalny gracz I z jakąś kartą na pewno wejdzie? Czy z jakąś kartą na pewno spasuje? Czy odpowiedź zależy od w? Uzasadnić odpowiedzi. (d) Czy ta gra ma równowagę w czystych strategiach? Wskazać tę równowagę lub udowodnić, że nie istnieje. (e) Wyznaczyć strategie optymalne i obliczyć wartość tej gry, gdy w = 20.